比例线段+黄金分割+相似概念测试
初三数学基础练习卷(比例线段与相似形)
初三数学基础练习卷(比例线段与相似形)1初三数学基础练习卷（比例线段与相似形）班级 姓名 学号 得分一．填空题： 1．已知32=y x ，则yx y x 3223-+= 。
2．已知435zy x ==，则z y x z y x ++-+32= 。
（题3图）3．如图，已知ΔABC 中，DE ∥BC ，AC=7cm ，CE=3cm ，AB=6cm ，则AD= 。
4．已知线段AB 长为1cm ，P 是AB 的黄金分割点，则较长线段PA= cm ， PB= cm ．5．已知两个相似三角形的面积之比是4∶9,那么这两个三角形对应边的比是______________. 6．如图，已知∠ACB ＝∠E ，AC ＝6，AD ＝4，则AE ＝ 。
7．如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC ，交AC 于D ，DE ∥BC 交AB 于E,若AB=6, DE=4则BC= 。
（题6图）8．如图，∠1=∠2，∠C=∠E，AB=2AD ，当DE=4时，BC= cm9．如图，AD, BE 是△ABC 的两条中线，它们相交于G 连结GC ，若△ABC 的面积为12 cm 2，则△BGC 的面积为 cm 2（题7图） （题8图） （题9图）（题11图）10．直角三角形斜边长为6，那么三角形的重心到斜边中点的距离为_______。
11．如图，已知等腰△ABC 中，顶角∠A=36°，BD 为∠ABC 的平分线，那么ACAD的值为_______________。
12．如图，矩形ABCD 中，AB=5，AD=2，点P 是AB 边上不与A 、B 重合的点，要使△DPA 与△PCB 相似（相似比不为1），需加一个条件，这个条件可以是________________________（只需写出一个条件）。
二．选择题：13．如图，DF ∥AC ，DE ∥BC ，下列各式中正确的是（ ）(A) AD BD =BF CF (B) AE DE =CE BC (C) AE CE =BD CD (D) AD DE =ABBC14．如果D 、E 分别在ΔABC 的两边AB 、AC 上，由下列哪一组条件可以推出DE ∥BC （ ）（A ） AD BD = 23 ，CE AE = 23 (B) AD AB = 23 ，DE BC = 23（C ） AB AD = 32 ，EC AE = 12 (D) AB AD = 34 ，AE EC = 4315．点P 为△ABC 的AB 边上一点（AB>AC ），下列条件中不一定能保证△ACP ∽△ABC 的是（ ） （A ）∠ACP ＝∠B （B ）∠APC ＝∠ACB （C ）AC AB =AP AC （D ）PC BC =ACAB16．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，垂足为D ，DE ⊥BC ，垂足为E ，则图中与△ADE 相似的三角形个数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4三．解答题：17.如图， 正方形DEFG 是△ABC 的内接正方形，AM ⊥BC 于M ，交DG 于H ，若AH 长4cm ，正方 形的边长为6cm 。
北师大版九年级数学上册《黄金分割》 同步测试题(含答案)
北师大版九年级数学上册第四章4.4.4黄金分割 同步测试题一、选择题1．已知点C 把线段AB 分成两条线段AC ，BC ，下列说法错误的是( )A ．如果AC AB ＝BCAC ，那么线段AB 被点C 黄金分割B ．如果AC 2＝AB ·BC ，那么线段AB 被点C 黄金分割C ．如果线段AB 被点C 黄金分割，那么AC 与AB 的比叫做黄金比D ．一条线段有两个黄金分割点2．已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，则下列各式中正确的是( )A ．AB 2＝AC ·BC B ．BC 2＝AC ·AB C ．AC 2＝BC ·ABD ．AC 2＝2AB ·BC3．已知AB ＝2 cm ，C 为AB 上的黄金分割点，且AC ＞BC ，则AC 的值为( )A ．(5－1)cmB ．0.618 cmC ．(3－5)cmD.3－52cm4．若点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，则下列说法正确的有( )①AB ＝5＋12AC ；②AC ＝3－52AB ；③AB ∶AC ＝AC ∶BC ；④AC ≈0.618AB. A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5.我们把宽与长的比值等于黄金比5－12的矩形称为黄金矩形．如图，在黄金矩形ABCD(AB ＞BC)的边AB 上取一点E ，使得BE ＝BC ，连接DE ，则AEAD等于( )A.22B.5－12C.3－52D.5＋12二、填空题6.已知线段AB，点P是它的黄金分割点，AP＞BP，设以AP为边的正方形的面积为S1，以PB，AB为边的矩形的面积为S1与S2的关系是S1＝S2．7．相邻两边长的比值是黄金分割数的矩形，叫做黄金矩形，从外形看，它最具美感．现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20 cm，那么相邻一条边的边长等于(105－10)cm.8．已知线段AB＝4 cm，C为AB的黄金分割点，则AC的长为(25－2)cm或(6－25)cm．9．宽与长的比是5－12(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：如图，作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连接EF；以点F为圆心，FD的长为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中是黄金矩形的是矩形DCGH．10．如图，△ABC是顶角为36°的等腰三角形，若△ABC，△BDC，△DEC都是黄金三角形(底与腰的比为5－12的三角形是黄金三角形)．已知AB＝4，则DE＝6－25．11．乐器上一根弦AB长80 cm，两个端点A，B固定在乐器板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则CD的长为(805－160)cm.9．如图，连接正五边形ABCDE的各条对角线围成一个新的五边形MNPQR.图中有很多顶角为36°的等腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形的底与腰之比为5－1 2.若AB＝5－12，则MN＝5－2．三、解答题12．如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，点F在BC的延长线上，且EF＝DE，以CF为边作正方形CFGH，点H在CD边上．试说明点H是线段CD的黄金分割点．13.如图，以长为2 cm的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AFEM，点M落在AD上．(1)试求AM，DM的长；(2)点M是线段AD的黄金分割点吗？请说明理由．14．如图，在△ABC中，AC＝BC，在边AB上截取AD＝AC，连接CD，若点D恰好是线段AB 的一个黄金分割点，且有AD＞BD，求∠A的度数．15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E.若AE＝BC，则点E是线段AB的黄金分割点吗？说明你的理由．参考答案1-5、CCACB6、S1＝S2．7、(105－10)cm.8、(25－2)cm或(6－25)cm．9、矩形DCGH．10、6－25．11、5－2．12、解：∵点E是BC的中点，∴EC＝1.∴EF＝DE＝22＋12＝ 5. ∴CF＝5－1.∵四边形CFGH是正方形，∴CH＝CF＝5－1.∴CHCD＝5－12.∴点H是线段CD的黄金分割点．13、解：(1)在Rt△APD中，AP＝1 cm，AD＝2 cm，由勾股定理，得PD＝AD2＋AP2＝ 5 cm.∴AM＝AF＝PF－AP＝PD－AP＝(5－1)cm.∴DM＝AD－AM＝(3－5)cm.(2)点M是线段AD的黄金分割点，理由如下：∵AM2＝(5－1)2＝6－25，AD·DM＝2×(3－5)＝6－25，∴AM2＝AD·DM.∴点M是线段AD的黄金分割点．14、解：∵点D是线段AB的一个黄金分割点，且AD＞BD，∴AD2＝BD·AB.∵AD＝AC＝BC，∴BC2＝BD·AB，即BC∶BD＝AB∶BC.∵∠CBD＝∠ABC，∴△BCD∽△BAC.∴∠A＝∠BCD.设∠A＝x，则∠B＝x，∠BCD＝x，∴∠ADC＝∠BCD＋∠B＝2x.∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝2x.在△ABC中，x＋(2x＋x)＋x＝180°，解得x＝36°，∴∠A＝36°.15、解：点E是线段AB的黄金分割点．理由如下：连接EC.∵DE是AC的垂直平分线，∴EA＝EC.又∵AE＝BC，∴EC＝BC.∴∠BEC＝∠B.∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B.∴∠BEC＝∠ACB.又∵∠B＝∠B，∴△CEB∽△ACB.∴BEBC＝BCAB，即BC2＝BE·AB，又∵AE＝BC，∴AE2＝BE·AB.∴点E是线段AB的黄金分割点1、在最软入的时候，你会想起谁。
初中数学相似三角形题型归类——成比例线段专项练习1(附答案详解)
【解析】
【分析】
根据若点 是线段 的黄金分割点（ ），则 = 计算即可．
【详解】
当PM＞PN时，PM= MN= ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查的是黄金分割，掌握黄金比值是 是解题的关键．
13．
【解析】
【分析】
如图，连接PD．由B、D关于AC对称，推出PB=PD，推出PB+PE=PD+PE，推出当D、P、E共线时，PE+PB的值最小，观察图象可知，当点P与A重合时，PE+PB=9，推出AE=EB=3，AD=AB=6，分别求出PB+PE的最小值，PC的长即可解决问题.
【详解】
如图，连接PD．
∵B、D关于AC对称，
∴PB＝PD，
∴PB+PE＝PD+PE，
∴当D、P、E共线时，PE+PB的值最小，
观察图象可知，当点P与A重合时，PE+PB＝9，
∴AE＝EB＝3，AD＝AB＝6，
在Rt△AED中，DE＝ ，
∴PB+PE的最小值为3 ，
∴点H的纵坐标为3 ，
∵AE∥CD，
【分析】
根据题意先计算出BD=60-13=47，AE=BE=30，AF=37，则E点为AB的中点，则计算BD：AB和AF：AB，然后把计算的结果与0.618比较，则可判断哪一点最接近线段AB的黄金分割点．
【详解】
解：∵线段AB=60，AD=13，DE=17，EF=7，
∴BD=60-13=47，AE=BE=30，AF=37，
∴BD：AB=47：60≈0.783，AF：AB=37：60=0.617，
∴点F最接近线段AB的黄金分割点．
故选：C．
【点睛】
初中数学相似三角形题型归类——成比例线段专项练习1(附答案详解)
（1）如图2，点C是线段AB的黄金分割点（AC>CB），取线段AB的中点O，作点C关于点O的对称点 ，则 ；继续取线段AC的中点 ，作点 关于点 的对称点 ，试猜想点 是否线段A 的黄金分割点，若是，请证明，若不是，请说明理由；
∴S1=S2．
故选B．
【点睛】
本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点．
6．A
【解析】
【分析】
根据黄金分割的定义可得到AC＝ AB，然后把AB＝4代入计算即可．
【详解】
21．在人体躯干（脚底到肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618，越给人以美感．张女士原来脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高 ，她应该选择多高的高跟鞋穿上看起来更美？（精确到十分位）
22．已知a，b，c，是△ABC的三边，满足 = = ，且a+b+c=24
adchbdchabch直线cd是abc的黄金分割线bcdacdacdabcbdadadab是线段ab的黄金分割点adab直线cd是abc的黄金分割线acdbcdbcdabcadbdbdab是线段ab的黄金分割点bdab1010点睛此题考查线段的中点对称点的性质待定系数法求函数解析式黄金分割的性质解题中注意分类讨论的思想避免漏解241236解析分析设雕像下部的设计高度为xm那么雕像上部的高度为2xm
初三复习基本训练卷--比例线段、相似形(A)
卷12 比例线段、相似形（A ）命题人 张树森班级 学号 姓名 得分一、填空题（每题3分，共36分）1.若线段b 是线段a 和c 的比例中项,且a=4cm,c=9cm ，则b=2.如果地图上A 、B 两地的图距是4cm,表示的实际距离为160公里,则实际距离为400公里的两地，在地图上的图距为3.已知，线段AB=1cm,C 是AB 的黄金分割点,且AC ＞BC ，则AC=4.如图，DE ∥BC ，BD=2AD ，DE=2，则BC=5.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，D BCE AD E S S 四边形=∆，BC=4，则DE=6.如图，G 是的△ABC 重心,EF 过G 且EF ∥BC,若7.两个相似三角形对应角平分线的比为3∶4,则周长的比为 8.如图,E 、F 分别在AC 、BC 上,若AE=3，AC=7，FC=3.2，BC=5.6,则EF 与AB (填平行或不平行)9.一个直角三角形的两边长分别是3和6,另一个直角三角形的两边长分别是2和4,那么这两个三角形 相似。
（填“一定”，“不一定”或“一定不”）10.如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ，EF ∥BC ，AD=2，BC=8，且DF ∶FC=2∶3，则EF=11.在△ABC 中,AC =6，BC=9，在BC 上取一点D,使△ABC ∽△DAC,则BD= 12.如图CD 是Rt △ABC 斜边上的高,若AD=6，BD=2，CE=3，则BE= 二、选择题（每题3分，共12分）13.如图，能推得DE ∥BC 的条件是（ ）AB CDE 5题6题A BCDE4题AB C EF A D FE CABED8题10题12题A.AD ∶AB=DE ∶BC ；B.AD ∶DB=DE ∶BC ；C.AD ∶DB=AE ∶EC ；D.AE ∶AC=DE ∶BC. 14.如图，AG ∥BD ，AF ∶FB=2∶5，BC ∶CD=4∶1，AG=4，则CD=（ ） A.1； B.2； C.3； D.4.15.下列命题错误的是（ ）A.相似三角形周长之比等于对应高之比；B.两个等腰直角三角形一定相似；C.各有一个角等于︒91的两个等腰三角形相似；D.两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似16.顺次连接三角形各边中点，所成的三角形的高与原三角形对应高之比为（ ） A. 2∶1； B. 1∶2； C. 1∶4； D. 4∶1. 三、简答题（每题10分，共40分）17.已知，EF ∥AB ，ED=DF ，AF 交BC 于G ，求证：CDBCGD BG =18.如图，ABCD 为正方形，过A 一条直线依次与BD 、DC 及BC 的延长线交于点E 、F 、G ，AE=5cm ，EF=4cm ，求FG 。
北京汇文中学九年级数学下册第二单元《相似》测试卷(有答案解析)
一、选择题1．如图，在平行四边形ABCD 中，:2:1AE BE =，F 是AD 的中点，射线EF 与AC 交于点G ，与CD 的延长线交于点P ，则AG GC的值为（ ）．A ．5:8B ．3:8C ．3:5D ．2:52．如图，在▱ABCD 中，M 、N 为BD 的三等分点，连接CM 并延长交AB 与点E ，连接EN 并延长交CD 于点F ，则DF ：FC 等于（ ）．A ．1：2B ．1：3C ．2：3D ．1：4 3．下列图形中一定是相似形的是（ ） A ．两个等腰三角形 B ．两个菱形 C ．两个矩形 D ．两个正方形 4．若点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC BC >，则下列各式中不正确的是（ ）． A ．::AB AC AC BC = B ．352BC AB -= C ．512AC AB = D ．0.618AC AB ≈5．已知两个相似三角形一组对应高分别是15和5，面积之差为80，则较大三角形的面积为（ ）A ．90B ．180C ．270D ．3600 6．如果两个相似三角形的对应高之比是1:2，那么它们的周长比是（ ）A ．1:2B ．1:4C ．2D ．2:1 7．如图，在□ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交DC 于点F ，则△DEF 与四边形EFCO 的面积比为（ ）A ．1: 4B ．1:5C ．1:6D ．1: 78．如图，在ABC ，AB AC a ==，点D 是边BC 上的一点，且BD a =，1AD DC ==，则a 等于（ ）A ．512+B ．512- C ．1 D ．2 9．如图，地面上点A 处有一只兔子，距它10米的B 处有一根高1.6米的木桩，大树、木桩和兔子刚好在一条直线上．一只老鹰在9.6米高的树顶上刚好看见兔子，则大树C 离木桩B( )米．A ．60B ．50C ．40D ．4510．已知四个数2，3，m ，3成比例的线段，那么m 的值是（ ）A ．3B ．23C ．2D ．23 11．如图，在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，则在下列五个条件中：①AED B ∠=∠；②//DE BC ；③AD AE AC AB=；④AD BC DE AC ⋅=⋅，能满足ADE ACB 的条件有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．如图，在△ABC 中，AB ＝AC=5，BC ＝25，若点O 为△ABC 三条高的交点，则OA 的长度为（ ）A ．35B ．253C ．5D ．35 二、填空题13．如图，将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到A′B′C′的位置，如果点A′恰好是△ABC 的重心，A′B′、A′C′分别于BC 交于点M 、N ，那么△A′MN 面积与△ABC 的面积之比是_____．14．如图，直线////AF BE CD ，直线AC 交BE 于B ，直线FD 交BE 于E ，2AB cm =，1BC cm =， 1.8EF cm =，求DE 的长为______cm ．15．如图，点D 是ABC 的边AB 上的一点，//DE BC 交AC 于点E ，作//DF AC 交BC 于点F ，分别记ADE ，BDF ，平行四边形DFCE ，ABC 的面积为1S ，2S ，3S ，S 有以下结论：①若12S S ，则DE 为ABC 的中位线；②若13S S =，则23BC DE =；③()212S S S =+； ④3122S S S =．其中正确的是______．（把所有正确结论的序号都填上）16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点D 在x 轴上，(2,0)D ，点D 的上方为点(2,1)C ，以原点O 为位似中心，相似比为1:3，在第一象限内把线段CD 扩大后得到线段AB ，则点A 的坐标为___________．17．如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，D 是AB 边的中点，P 是BC 边上一动点（点P 不与B 、C 重合），若以D 、C 、P 为顶点的三角形与ABC 相似，则线段PC ______．18．如图，在ABC 中，点D 是线段BC 的黄金分割点（DC BD >），若ABD △的面积是252-，则ABC 的面积是_______．19．如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝20cm ，弦BC ＝12cm ，F 是弦BC 的中点．若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，设运动时间为t （s ）（0≤t≤10），连接EF ，当△BEF 是直角三角形时，t （s ）的值为_______．20．若25x y =，则x y y+=____________． 三、解答题21．如图，在ABC 中，AB AC =，点D 在BC 上，点E 在AB 上，连结AD ，DE ，12∠=∠．（1）求证：ACD DBE ∽△△；（2）若6BD =，2CD =，5AC =，求AE 的长．22．如果一条线段可以将一个三角形分成两个三角形，其中一个是等腰三角形，另一个三角形与原三角形相似，我们把这样的三角形叫做完美三角形，这条线段叫做这个完美三角形的完美分割线．（1）根据完美三角形的定义，老陆、栋栋、勇士分别提出如下命题：①等腰直角三角形是完美三角形；②含30°的直角三角形是完美三角形；③等边三角形不是完美三角形．在上述三个命题中，是真命题的为______．（填序号）（2）如图1，在ABC 中，CD 为角平分线，40A ∠=︒，60B ∠=︒．求证：CD 为ABC 的完美分割线．（3）如图2，在ABC 中，5AB =，6BC =，4AC =．求证：ABC 是完美三角形．23．如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，顶点A 、B 都在反比例函数()0k y x x=>的图象上，直线AC x ⊥轴，垂足为D ，连结OA ，使OA AB ⊥于A ，连结OC ，并延长交AB 于点E ，当2AB OA =时，点E 恰为AB 的中点，若()1,A n ．（1）求反比例函数的解析式；（2）求EOD∠的度数．24．如图，△ABC中，E、F分别是边AB、AC的中点，EF＝a，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，（1）当CQ＝12CE时，求EP+BP的值．（2）当CQ＝13CE时，求EP+BP的值．（3）当CQ＝1nCE时，直接写出EP+BP的值．25．如图1，在矩形ABCD中，AD＝2，点E是AD的中点，连接BE，且BE⊥AC交AC于点F．（1）求证：△EAB∽△ABC；（2）求AB，EF的长；（3）如图2，连接DF，BD，求DFBD的值．26．将ABC绕点A逆时针方向旋转θ，并使各边长变为原来的n倍，得到AB C''△，我们将这种变换记为[],nθ．（1）问题发现如图①，对ABC 作变换603⎡⎤︒⎣⎦得AB C ''△，则:AB C ABC S S ''=△△______；直线BC 与直线B C ''所夹的锐角度数为______．（2）拓展探究如图②，ABC 中，35BAC ∠=︒且:2AB AC =，连结BB '，CC '．对ABC 作变换603⎡︒⎣得AB C ''△，求:ABB ACC S S ''△△的值及直线BB '与直线CC '相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说明理由．（3）问题解决如图③，ABC 中，30BAC ∠=︒，90ACB ∠=︒，对ABC 作变换[],n θ得AB C ''△，使点B 、C 、C '在同一直线上，且四边形ABB C ''为矩形，请直接写出n 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】证明AFE △≌△()DFP AAS ，推出=AE DP ，由:2:1AE BE =，设BE k =，2AE k =，推出3AB CD k ==，5PC k =，由//AE BC ，可得AG AE GC CP=的值． 【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AB PC ，AB CD =，∴AEF P ∠=∠，∵AFE DFP ∠=∠，AF DF =，∴AFE △≌△()DFP AAS ，∴=AE DP ，∵:2:1AE BE =，设BE k =，2AE k =，∴3AB CD k ==，5PC k =，∵//AE BC ， ∴2255AG AE k GC CP k ===， 故选：D ．【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用已知条件证明三角形全等、利用参数解决问题，属于中考常考题型．2．B解析：B【分析】由题意可得DN=NM=MB ，据此可得DF ：BE=DN ：NB=1：2，再根据BE ：DC=BM ：MD=1：2，AB=DC ，故可得出DF ：FC 的值．【详解】解：由题意可得DN=NM=MB ，AB//CD ，AB//BC∴△DFN ∽△BEN ，△DMC ∽△BME ，∴DF ：BE=DN ：NB=1：2，BE ：DC=BM ：MD=1：2，又∵AB=DC ，∴DF ：AB=1：4，∴DF ：FC=1：3故选：B ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，两相似三角形对应线段成比例，要注意比例线段的应用． 3．D解析：D【分析】根据对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形进行判断即可．【详解】A 、两个等腰三角形，三个角不一定相等，因此不一定相似，故本选项错误，不符合题意．B 、两个菱形对应角不一定相等，故本选项不符合题意；C 、两个矩形的边不一定成比例，故不一定相似，故本选项错误，不符合题意．D 、两个正方形四个角相等，各边一定对应成比例，所以一定相似，故本选项正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了相似图形的判定，掌握对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形是解题的关键．4．C解析：C【分析】根据黄金分割点的定义逐项排除即可．【详解】解：∵点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC BC >，∴2AC BC AB =⋅，∴::AB AC AC BC =，则选项A 正确；∵点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC BC >，∴0.618AC AB =≈，则选项C 错误；选项D 正确；BC AB AC AB AB AB =-=-=，则选项B 正确. 故选：C ．【点睛】 本题考查了成比例线段，熟练掌握黄金分割的定义成为解答本题关键．5．A解析：A【分析】由两个三角形的高之比可得出两个三角形的相似比，进而得出两个三角形的面积之比，根据两个三角形的面积之比设未知数，列方程，求出较大三角形的面积即可．【详解】由题意得，两个三角形的相似比为：15∶5=3∶1，故面积比为：9∶1，设两个三角形的面积分别为9x ，x ，则9x －x =80，解得：x =10，故较大三角形的面积为：9x =90．故选：A ．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，熟记相似三角形的高之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方是解题关键．6．A解析：A【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比，周长的比等于相似比解答．【详解】解：∵对应高之比是1：2，∴相似比=1：2，∴对应周长之比是1：2．故选：A ．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，周长的比等于相似比．7．B解析：B【分析】设△DEF 的面积为S ，分别用S 表示出△AEB ，△AOB ，△DOC 的面积，即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，AB=CD ，AD=BC ，设△DEF 的面积为S ，∵DF ∥AB ，DE ：EB=1：3，∴△ABE 的面积为9S ，∵EO ：BO=1：2，∴△AOB 的面积=△DOC 的面积=6S ，∴四边形FEOC 的面积为6S-S=5S ， ∴15DEF S S EFOC =四边形=1:5， 故选：B ．【点睛】 本题考查了相似三角形的性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．8．A解析：A【分析】证明△ABC ∽△DAC 得AB BC DA AC =，然后列方程求解即可． 【详解】解：∵AB AC a ==，∴∠B=∠C又∵1AD DC ==，∴∠C=∠DAC∴△ABC ∽△DAC∴AB BC DA AC = ∴11a a a += 解得，152a +=或152a （舍去） 故选：A【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 9．B解析：B【分析】如图，证明△ABE ∽△ACD ，根据相似三角形的性质列式求解即可．【详解】解：如图，根据题意得，△ABE ∽△ACD ，∴AB BE AC CD= ∵AB=10m ，BE=1.6m ，CD=9.6m∴10 1.6=9.6AC ∴AC=60m ∴BC=AC-AB=60-10=50m故选：B ．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 10．B解析：B【分析】利用比例线段的定义得到233m =：：m 即可．【详解】根据题意得233m =：：所以3m =，所以3m =． 故选：B ．【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a ：b=c ：d （即ad=bc ），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．11．B解析：B【分析】根据相似三角形的判定逐个判断即可得．【详解】①在ADE 和ACB △中，AED B A A ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ADEACB ∴，则条件①能满足； ②//DE BC ，ADE ABC ∴，则条件②不能满足；③在ADE 和ACB △中，AD AE AC AB A A⎧=⎪⎨⎪∠=∠⎩，ADE ACB ∴，则条件③能满足；④由AD BC DE AC ⋅=⋅得：AD DE AC BC=， 对应的夹角ADE ∠与C ∠不一定相等，∴此时ADE 和ACB △不一定相似，则条件④不能满足；综上，能满足的条件有2个，故选：B ．【点睛】 本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定方法是解题关键．12．A解析：A【分析】设BC 边上的高为AD ，结合三角形高线的性质及等腰三角形的性质证明△OBD ∽△BAD ，可得BD:AD=OD:BD ，利用勾股定理可求解AD 的长，进而可求解OD 的长．【详解】解：如图，设BC 边上的高为AD ，∵点O 为△ABC 三条高的交点，∴AD ⊥BC ，BO ⊥AC ，∴∠ADB=90°，∠OBC+∠C=90°，∴∠CAD+∠C=90°，∴∠OBD=∠CAD ，∵AB=AC ，∴D 为BC 的中点，∠BAD=∠CAD ，∴∠OBD=∠BAD ，∴△OBD ∽△BAD ，∴BD:AD=OD:BD ，∵BC=25∴5在Rt △ABD 中，AB=5，∴()22225525AB BD -=-= ∴5255OD =，解得152 ∴OA=AD−OD=1352552=， 故选A ．【点睛】 本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的高线，相似三角形的性质与判定，勾股定理等知识的综合运用 ．二、填空题13．【分析】由重心的性质可得AD ＝AD 由相似三角形的性质可得△A′MN 面积与△ABC 的面积之比＝【详解】解：∵点A′恰好是△ABC 的重心∴AD ＝AD ∵将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到A ′B′C′的位解析：19【分析】由重心的性质可得A 'D ＝13AD ，由相似三角形的性质可得△A ′MN 面积与△ABC 的面积之比＝21()9A D AD '=． 【详解】 解：∵点A′恰好是△ABC 的重心，∴A'D ＝13AD ， ∵将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到A′B′C′的位置，∴△ABC ∽△A'MN ，∴△A′MN 面积与△ABC 的面积之比＝21()9A D AD '=， 故答案为：19． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及重心的性质，掌握重心的性质是本题的关键． 14．09【分析】直接根据平行线分线段成比例定理求解即可【详解】解：∵∴即：∴DE=09cm 故答案为：09【点睛】此题主要考查了平行线分线段成比例定理熟练运用定理是解答此题的关键解析：0.9【分析】直接根据平行线分线段成比例定理求解即可．【详解】解：∵////AF BE CD ， ∴AB EF BC DE= 即：2 1.8=1DE∴DE=0.9cm故答案为：0.9【点睛】 此题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练运用定理是解答此题的关键15．①②③④【分析】①根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出AD=BD 求出AE=CE 即可得出答案；②根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出AM=2MN 即可得出答案；③由平行线可得对应线段成比例再 解析：①②③④【分析】①根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出AD=BD ，求出AE=CE ，即可得出答案； ②根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出AM=2MN ，即可得出答案； ③由平行线可得对应线段成比例，再由相似三角形的面积比等于对应边的平方比，进而代入求解即可；④先判断出△BFD ∽△DEA ，然后根据面积比等于相似比的平方得出△ABC 的面积，进而根据S 3=S ABC -S ADE -S DBF 可得出答案【详解】解：①、∵DE ∥BC ，DF ∥AC ，∴△ADE ∽△ABC ，△BDF ∽△BAC ，∵S 1=S 2， 22()()∴=AD BD AB AB∴AD=BD ，∵DE ∥BC ，∴AE=EC ，∴DE 是△ABC 的中位线，∴①正确；②、过A 作AN ⊥BC 于N ，交DE 于M ，∵DE ∥BC ，∴AN ⊥DE ，∵DE ∥BC ，DF ∥AC ，∴四边形DECF 是平行四边形，∴DE=CF ，∵S 1=S 3，12∴⨯⨯=⨯DE AM CF MN ∴AM=2MN ，∵DE ∥BC ，∴△ADE ∥△ABC ，2223∴===+DE AM MN BC AN MN MN ∴2BC=3DE ，∴②正确；③、∵DE ∥BC ，DF ∥AC ∴四边形DECF 是平行四边形，∴DE=CF ，DF=CE ，∵相似三角形的面积比等于对应边的平方比， 12==S S AD BD AB AB S S 121+=+=S S AD BD AB ABS S 12S S S =∴2S =；∴③正确； ④∵由题意得：△BFD ∽△DEA ，∴可得：=BD AD∴=BD AB=x ∵ABC S =S ，22()∴=S BD S AB∴可得122=++S S S S 又∵△ADE 、△DBF 的面积分别为S 1和S 2，32S =--==ABC ADE DBF S S S S ，∴④正确； 故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了面积及等积变换、相似三角形的性质和判定等，难度适中，对于此类题目要先根据相似得出比例式，然后根据比例的性质得出要求图形的面积表达式，进而得出答案． 16．（63）【分析】根据位似变换的性质可知△ODC ∽△OBA 相似比是根据已知数据可以求出点A 的坐标【详解】解：由题意得△ODC ∽△OBA 相似比是∴又∵∴OD=2CD=1∴OB=6AB=3∴点A 的坐标为：解析：（6，3）【分析】根据位似变换的性质可知，△ODC ∽△OBA ，相似比是1:3，根据已知数据可以求出点A 的坐标．【详解】解：由题意得，△ODC ∽△OBA ，相似比是1:3， ∴13OD DC OB AB ==， 又∵(2,0)D ，(2,1)C ∴OD=2，CD=1，∴OB=6，AB=3，∴点A 的坐标为：（6，3），故答案为：（6，3）．【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用．17．或【分析】分两种情况求解或利用相似三角形对应边成比例求出PC 的长【详解】解：①如图∵且D 是AB 中点∴∴∵∴∴∵∴∴解得；②如图此时∴即解得故答案是：或【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定解题的关键 解析：4或254 【分析】分两种情况求解，90CPD ∠=︒或90CDP ∠=︒，利用相似三角形对应边成比例求出PC 的长．【详解】 解：①如图，90CPD ∠=︒，∵90ACB ∠=︒，且D 是AB 中点，∴AD BD CD ==，∴DCP ABC ∠=∠，∵90CPD BCA ∠=∠=︒， ∴CPD BCA ，∴CP CD BC BA=， ∵6AC =，8BC =，∴10AB =，5AD BD CD ===， ∴5810CP =，解得4CP =；②如图，90CDP ∠=︒，此时CDPBCA ， ∴CP CD BA BC =，即5108CP =，解得254CP =．故答案是：4或254． 【点睛】 本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定． 18．【分析】根据黄金分割的定义以及等高的两个三角形面积之比等于底之比即可求出的面积【详解】解：∵在中点是线段的黄金分割点（）∴∵的面积是∴的面积故答案为：【点睛】本题考查了黄金分割的概念也考查了三角形的 解析：252【分析】根据黄金分割的定义，以及等高的两个三角形面积之比等于底之比，即可求出ABC 的面积．【详解】解：∵在ABC 中，点D 是线段BC 的黄金分割点（DC BD >）， ∴5135BD BC 1--==： ∵ABD △的面积是252∴ABC 的面积()352522522=÷= 故答案为：252．【点睛】本题考查了黄金分割的概念，也考查了三角形的面积公式，解题的关键是正确理解黄金分割的概念．19．5或82【分析】求出BF 和AO 的长分为两种情况①∠EFB=90°②∠FEB=90°分别利用三角形中位线的性质以及相似三角形的判定和性质求出AE 的长再求出t 即可【详解】∵AB 是⊙O 的直径∴∠C=90° 解析：5或8.2【分析】求出BF 和AO 的长，分为两种情况，①∠EFB=90°，②∠FEB=90°，分别利用三角形中位线的性质以及相似三角形的判定和性质求出AE 的长，再求出t 即可．【详解】∵AB 是⊙O 的直径，∴∠C=90°，∵AB=20cm ，弦BC=12cm ，F 是弦BC 的中点，∴BF=12BC=6cm ， 有两种情况：①当∠EFB=90°时，如图：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠C=90°，∵∠EFB=90°，∴AC ∥EF ，∵F 为BC 的中点，∴E 为AB 的中点，即E 和O 重合，∵AB=20cm ，∴AE=AO=12AB=10cm ， ∴1052t ==； ②当∠FEB=90°时，如图：∵∠B=∠B ，∠FEB=∠C=90°，∴△FEB ∽△ACB ，∴BE BF BC AB =， ∴61220BE =， 解得：BE=3.6（cm ），∵AB=20cm ，∴AE=AB-BE=16.4cm ，∴16.48.22t ==；故答案为：5或8.2．【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定等知识点，分类讨论是解此题的关键．20．【分析】由根据比例的性质即可求得的值【详解】解：∵∴=故答案为：【点睛】此题考查了比例的性质此题比较简单注意熟记比例变形 解析：75【分析】 由25x y =，根据比例的性质，即可求得x y y+的值． 【详解】解：∵25x y = ∴x y y +=2+57=55． 故答案为：75． 【点睛】此题考查了比例的性质，此题比较简单，注意熟记比例变形．三、解答题21．（1）见解析；（2）135AE =【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明∠C=∠B ，即可证明ACD DBE ∽△△；（2）利用相似三角形的性质求得BE 的长，再利用等腰三角形的定义求解即可．【详解】（1）∵AB AC =，∴∠C=∠B ，∵12∠=∠，∴ACD DBE ∽△△；（2）∵ACD DBE ∽△△， ∴AC CD BD BE=， ∵6BD =，2CD =，5AC =， ∴526BE =，∴125BE =， ∵5AB AC ==， ∴1213555AE AB BE =-=-=． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．22．（1）①②③ （2）证明见解析．（3）证明见解析．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和完美三角形判定即可求证①；根据含30°的直角三角形的性质、角平分线的性质、完美三角形判定即可求证②；根据等边三角形的性质和完美三角形判定即可求证③； （2）由40A ∠=︒，60B ∠=︒．可得∠ACB ＝80°，继而判定△ABC 不是等腰三角形，△ACD 是等腰三角形，再由△BCD ∽△BAC 即可证明结论；（3）作CAD B ∠=∠，易知△CAD ∽△CBA ，继而根据相似三角形的性质可得CD 、AD 的长，继而判定△ABD 是等腰三角形，继而求证△ABC 是完美三角形．【详解】解：（1）①等腰直角三角形底边的中线将原三角形，分成两个等腰直角三角形，CD ∴为等腰直角ACB △的完美分割线，等腰直角ACB △是完美三角形，故①正确；②在Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，60CAB ∠=︒，当AD 平分CAB ∠时，30CAD DAB B ∠=∠=∠=︒，ACD BCA ∴∽，ADB △是等腰三角形，AD ∴是直角ACB △的完美分割线，∴含30°角的直角三角形是完美三角形，故②正确；③一条线段不可能将等边三角形分成一个等边三角形和一个等腰三角形，故等边三角形不可能是完美三角形，故③正确，∴真命题有①②③．（2）40A ∠=︒，60B ∠=︒，80ACB ∴∠=︒∴△ABC 不是等腰三角形，∵CD 平分∠ACB ， 1402ACD BCD ACB ∴∠=∠=∠=︒， 40ACD A ∴∠=∠=︒， ∴△ACD 为等腰三角形，40DCB A ∠=∠=︒，CBD ABC ∠=∠，∴△BCD ∽△BAC ，CD ∴是△ABC 的完美分割线． （3）作CAD B ∠=∠，CAD B ∠=∠，C C ∠=∠，CAD CBA ∴∽△△， CA CD AD CB CA AB∴==， 4CA =，6CB =，5AB =4645CD AD ==，83CD ∴=，103AD =， 810633BD BC CD =-=-=， BD AD ∴=，ABD ∴是等腰三角形，AD ∴是ABC 的完美分割线，ABC ∴是完美三角形．【点睛】本题考查新定义的理解，各类三角形的判断及性质，相似三角形的判定及其性质的应用，解题的关键是熟练运用所学知识点．23．（1）反比例函数的解析式为12y +=2）22.5° 【分析】（1）根据同角的余角相等和相似三角形的判定可证得△AOD ∽△BAC ，则有AO OD AD AB AC BC==，进而有AC=2，BC=2n ，则点B 坐标为（2n+1，n ﹣2），由（2n+1）(n ﹣2)=1·n 解出n 值，即可求得k 值进行解答； （2）根据直角三角形的中线等于斜边的一半可证得BE=CE=AE=12AB=OA ，进而∠AEO=2∠ECB=45°，由BC ∥x 轴得∠EOD=∠ECB 即可解答·【详解】解：（1）∵直线AC x ⊥轴，OA AB ⊥，∴∠OAE=90°，∠ADO=90°，∴∠AOD+∠OAD=90°，∠BAC+∠OAD=90°，∴∠AOD=∠BAC ，又∠ACB=∠ADO=90°，∴△AOD ∽△BAC ， ∴AO OD AD AB AC BC==， ∵()1,A n ，∴OD=1，AD=n ，又2AB OA =，∴AC=2OD=2，BC=2AD=2n ，∵∠ACB=∠ADO=90°，∴BC ∥x 轴，∴点B 的坐标为（2n+1，n ﹣2），∵点A 、B 都在反比例函数()0k y x x =>的图象上， ∴（2n+1）(n ﹣2)=1·n ，解得：n 1= 1n 2= 1(负值，舍去)，则A(1，1，则k=1×（1+=1+∴反比例函数的解析式为1y x=； （2）∵Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点E 为AB 的中点，∴BE=CE=AE=12AB ， 又∵AB=2OA ，∠OAE=90°，∴∠AEO=∠AOE=45°，∠ECB=∠EBC,∵∠AEO=2∠ECB ，∴∠ECB= 12∠AEO=22.5°， ∵BC ∥x 轴，∴∠EOD=∠ECB=22.5°．【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式、相似三角形的判定与性质、坐标与图形、直角三角形的斜边中线性质、等腰三角形的性质、三角形的外角、平行线的性质等知识，是一道与反比例函数有关的几何题，难度适中，解答的关键是熟练掌握相关知识的运用，利用数形结合思想找寻知识的关联点，进行推理、探究与计算．24．（1）2a ；（2）4a ；（3）2an ﹣2a ．【分析】（1）延长BQ 交EF 的延长线于点G ，根据三角形中位线定理求出BC ，证明△BQC ∽△GQE ，根据相似三角形的性质得到EG=BC=2a ，根据角平分线的定义、平行线的性质得到PB=PG ，得到答案；（2）（3）仿照（1）的解法解答．【详解】解：（1）如图1，延长BQ 交EF 的延长线于点G ，∵E 、F 分别是边AB 、AC 的中点，∴EF 是△ABC 的中位线，∴BC=2EF=2a ，EF ∥BC ，∴△BQC ∽△GQE ， ∴1EG EQ BC QC==， ∴EG=BC=2a ，∵BQ 是∠CBP 的平分线，∴∠PBQ=∠CBQ ，∵EF ∥BC ，∴∠EGQ=∠CBQ ，∴∠PBQ=∠EGQ ，∴PB=PG ，∴PE+PB=PE+PG=EG=2a ；（2）如图2，延长BQ 交EF 的延长线于点M ，由（1）可知，△BQC ∽△MQE ， ∴1.2BC CQ EM EQ ==， ∴EM=2BC=4a ，∴PE+PB=PE+PM=EM=4a ；（3）如图2，当1CQ CE n=时，则EQ=（n-1）CQ ， 由EF ∥BC 得，△MEQ ∽△BCQ ， ∴1EM EQ n BC QC==-， ∴EM=（n-1）BC=2a （n-1），即EP+BP=2an-2a ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的定义、平行线的性质，延长BQ 构造出相似三角形，求出EP+BP=EM 并得到相似三角形是解题的关键．25．（1）见解析；（2）2AB =3EF =；（33【分析】（1）根据矩形的性质得出90EAB ABC ∠=∠=︒和∠AEB ＝∠BAC ，即可证明结论； （2）由（1）的结论，得AB EA BC AB=，即可求出AB 的长，再由勾股定理求出BE 的长，再由△AEF ∽△CBF ，即可求出EF 的长； （3）由△AFE ∽△CFB 得12EF AE BF CB ==，证明3ED EF BE ED==，则△DEF ∽△BED ，即可求出结果．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 为矩形，∴90BAE CBA ∠=∠=︒ ，AD ∥BC ，AD ＝BC ，AB ∥CD ，AB ＝CD ，∴90BAC CAE ∠+∠=︒，∵BE ⊥AC ，∴90CAE AEB ∠+∠=︒，∴∠AEB ＝∠BAC ，∴△EAB ∽△ABC ；（2）由（1）知△EAB ∽△ABC ， ∴AB EA BC AB=， ∵AD ＝2，点E 是AD 的中点，∴AE ＝1，BC ＝2，∴22AB AE BC =⋅=， ∴AB =在Rt △ABE 中，BE =， ∵AD ∥BC ，∴△AEF ∽△CBF ， ∴12EF AE BF CB ==，∴13EF BE ==； （3）∵AD ∥BC ，∴△AFE ∽△CFB ， ∴12EF AE BF CB ==， ∴3BE EF ==∴ED EF BE ED==， ∵∠DEB ＝∠FED ，∴△DEF ∽△BED ， ∴DF EF BD ED =，∴DF BD = 【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定． 26．（1）3:1，60；（2）35︒，理由见解析；（3）2n =．【分析】（1）利用新定义得出[],n θ的意义，利用旋转的性质得到AB C ''△∽ABC ，且相似比，60BAB '∠=︒，进而求出面积比，通过外角的性质得到DEB '∠即可求出直线BC 与直线B C ''所夹的锐角度数；（2）利用新定义得出[],n θ的意义，得到::AB AB AC AC ''==35BAC B AC ''∠=∠=︒，进而可以得到BAB CAC ''∠=∠，下证BAB '△∽CAC '△，通过题中给的相似比即可求出面积之比，延长CC '交BB '于D ，通过DEB AEC ''∠=∠，BB A CC A ''∠=∠，可以证得DEB '△∽AEC '，从而得到C DB ''∠的度数，即可得直线BB '与直线CC '相交所成的较小角的度数；（3）由四边形ABB C ''为矩形，得到90BAC '∠=︒，进而求出CAC '∠的度数，利用含30角的直角三角形的性质即可得到AC AC '的值，进而求出n 的值． 【详解】解：（1）由题意可知：对ABC 作变换60,3⎡⎤︒⎣⎦得AB C ''△，∴AB C ''△∽ABC ，且相似比为3:1，60BAB '∠=︒，∴B B '∠=∠，∴()2:3:13:1AB C ABC S S ''==， ADE B BAB '∠=∠+∠，ADE B DEB ''∠=∠+∠，∴60DEB BAB ''∠=∠=︒，即直线BC 与直线B C ''所夹的锐角度数为：60︒．故答案为：3:1，60．（2）根据题意得：::1:3AB AB AC AC ''==，35BAC B AC ''∠=∠=︒， ∴BAC B AC B AC B AC ''''∠+∠=∠+∠，∴BAB CAC ''∠=∠，∴BAB '△∽CAC '△，∴相似比AB k AC=，BB A CC A ''∠=∠， :2AB AC =， ∴()2:22ABB ACC S S ''==，延长CC '交BB '于D ，如图，设CC '交AB '于E ．DEB AEC ''∠=∠，BB A CC A ''∠=∠，∴DEB '△∽AEC '，∴35C DB B AC ''''∠=∠=︒，∴:2ABB ACC S S ''=△△，直线BB '与直线CC '相交所成的较小角的度数为35︒． （3）四边形ABB C ''为矩形，∴90BAC '∠=︒，30BAC ∠=︒，∴60CAC BAC BAC ''∠=∠-∠=︒，90ACB ∠=︒，∴90ACC '∠=︒，在Rt ACC '△中，12AC AC '=， ∴21AC AC '=， ∴2AC n AC'==， 即n 的值为2．【点睛】本题考查了图形的旋转，相似三角形的判定和性质，新定义运算，三角形的外角性质以及含30角的直角三角形的性质，解题的关键是根据题意得出[],n θ的意义．。
4.1 比例线段 第3课时 比例中项与黄金分割练习题 2021—2022学年浙教版九年级数学上
第3课时比例中项与黄金分割【基础练习】知识点1比例中项1.如果a︰b=3︰2,且b是a,c的比例中项,那么b︰c等于()A.4 3B.3 4C.2 3D.3 22.如果a=3,b=2,且b是a,c的比例中项,那么c=.3.已知三个数a,b,c,其中a=1,b=4,c是a,b的比例中项,则c=.4.已知线段a=2 cm,b=8 cm,它们的比例中项c为cm.知识点2黄金分割5.已知点C是线段AB的黄金分割点,且AC>BC,则下面的等式成立的是()A.AB2=AC·BCB.BC2=AC·ABC.AC2=BC·ABD.AC2=2AB·BC6.图5是意大利著名画家达·芬奇的名画《蒙娜丽莎》.画中脸部被围在矩形ABCD内,点F 是AB的黄金分割点,BF>AF,若AB=10,则BF的长为.图57.已知点E是线段AB的黄金分割点,且BE>AE,若AB=2,则AE=.【能力提升】8.已知线段AB及AB上一点P,再添加一个条件,使P为AB的黄金分割点,其中错误的是()A.AP=√5-12AB B.PB=3-√52AB C.APPB=√5-12D.ABAP=√5-129.如果三条线段的长a,b,c满足ba =cb=√5-12,那么a,b,c叫做“黄金线段组”.黄金线段组中的三条线段()A.必构成锐角三角形B.必构成直角三角形C.必构成钝角三角形D.不能构成三角形10.如图6,已知P是线段AB的黄金分割点,且P A>PB,若S1表示以P A为一边的正方形的面积,S2表示长是AB,宽是PB的矩形的面积,则S1S2(填“>”“=”或“<”).图611.已知顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形(底边长与腰长的比值为黄金分割比).如图7,△ABC,△BDC,△DEC都是黄金三角形,已知AB=1,求CE的长度.图712.如图8,用纸折出黄金分割点:裁一张正方形的纸片ABCD,先折出BC的中点E,再折出线段AE,然后通过折叠使EB落在线段EA上,折出点B的新位置B',因而EB'=EB.类似地,在AB上折出点B″,使AB″=AB'.这时点B″就是线段AB的黄金分割点.请你证明这个结论.图8答案1.D [解析] ∵a ∶b=3∶2,b 是a ,c 的比例中项,∴a ∶b=b ∶c ,∴b ∶c=3∶2. 2.433.±2 [解析] 根据比例中项的概念,得c 2=a ×b=4×1,解得c=±2.4.4 [解析] 根据比例中项的概念得c 2=ab ,则c 2=2×8,解得c=±4. ∵线段长是正数,∴c=4 cm .5.C6.5√5-5 [解析] ∵点F 是AB 的黄金分割点,BF>AF , ∴BF=√5-12AB=√5-12×10=5√5-5. 7.3-√5 [解析] ∵E 是线段AB 的黄金分割点,且BE>AE , ∴BE AB =√5-12,则BE=√5-12AB=√5-12×2=√5-1,故AE=AB -BE=3-√5.8.D9.D [解析] ∵ba =cb =√5-12, ∴b=√5-12a ,c=√5-12b=3-√52a , ∴b+c=√5-12a+3-√52a=a , ∴长为a ,b ,c 的三条线段不能构成三角形. 故选D .10.= [解析] ∵P 是线段AB 的黄金分割点,且P A>PB ,∴P A 2=PB ·AB.又∵S 1表示以P A 为一边的正方形的面积,S 2表示长是AB ,宽是PB 的矩形的面积, ∴S 1=P A 2,S 2=PB ·AB ,∴S 1=S 2.11.解:∵△ABC ,△BDC ,△DEC 都是黄金三角形, ∴DE=CD ,BC AB =√5-12,CD BC=√5-12,CE CD =√5-12. ∵AB=1, ∴BC=√5-12AB=√5-12, ∴CD=√5-12BC=√5-122=3-√52, ∴CE=√5-12CD=√5-12×3-√52=√5-2.12.证明:设正方形ABCD的边长为2.∵E为BC的中点,∴BE=1,∴AE=√AB2+BE2=√5.又∵B'E=BE=1,∴AB'=AE-B'E=√5-1,∴AB″=AB'=√5-1,∴AB″∶AB=(√5-1)∶2,∴点B″是线段AB的黄金分割点.。
0521黄金比例相似图形
0521黄金比例相似图形一．选择题（共14小题）1．（2016•闸北区一模）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB=4，那么AP的长是（）A． B．C． D．2．（2016秋•固镇县期末）若线段AB=2，且点C是AB的黄金分割点，则BC等于（）A．B．3﹣C．D．或3﹣3．（2015•建湖县校级模拟）已知如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论中正确的是（）A．AB2=AC2+BC2B．BC2=AC•BA C．D．4．（2015•合肥校级四模）已知，C是线段AB的黄金分割点，AC＜BC，若AB=2，则BC=（）A．﹣1 B．（+1）C．3﹣D．（﹣1）5．（2015秋•贵阳期末）根据有关测定，当外界气温处于人体正常体温的黄金比值时，人体感到最舒适（人体正常体温约为37℃），这个气温大约为（）A．23℃ B．28℃ C．30℃ D．37℃6．（2015秋•东明县期末）爱美之心人皆有之，特别是很多女士，穿上高跟鞋后往往会有很好的效果，事实上，当人体的下半身长度与身高的比值接近0.618时，会给人以美感，某女士身高165cm，下半身长与身高的比值是0.60，为了尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm7．（2015春•威海期末）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC=2，BD平分∠ABC交AC 于点D，则AD等于（）A．﹣1 B．C．1 D．8．（2015秋•泰州校级期中）已知点C是线段AB的黄金分割点，且CB＞AC，则下列等式中成立的是（）A．AB2=AC•CB B．CB2=AC•AB C．AC2=CB•AB D．AC2=2BC•AB9．（2015春•达县期中）如图，点C是线段AB的黄金分割点，则下列各式正确的是（）A．B．C．D．10．（2014•闸北区一模）已知点C是线段AB上的一个点，且满足AC2=BC•AB，则下列式子成立的是（）A．B．C．D．11．（2016•邯郸校级自主招生）如图，A、B是双曲线上的点，A、B两点的横坐标分别是a、2a，线段AB的延长线交x轴于点C，若S△AOC=9．则k的值是（）A．9 B．6 C．5 D．412．（2016•端州区一模）函数是反比例函数，则m的值是（）A．m=±1 B．m=1 C．m=±D．m=﹣113．（2016•丹东模拟）如图，反比例函数的图象经过点A（2，1），若y≤1，则x的范围为（）A．x≥1 B．x≥2 C．x＜0或0＜x≤1 D．x＜0或x≥214．（2016•深圳校级模拟）函数y=ax﹣a与y=（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．二．填空题（共2小题）15．（2010•本溪）如图，△ABC顶角是36°的等腰三角形（底与腰的比为的三角形是黄金三角形），若△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB=4，则DE=．16．（2015•杭州模拟）顶角为36°的等腰三角形被叫做“黄金三角形”，如图所示，△ABC为顶角为36°等腰三角形．BD为∠ABC的平分线，过点D作BC的平行线交AB于点E （1）图中共有等腰三角形个；（2）等腰三角形ABC中，腰AB与底边BC的比值是．三．解答题（共11小题）17．（2013•莆田）定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB=AC=2，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长．18．（2015•杭州模拟）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，CE平分∠ACB交AB于点E，（1）试说明点E为线段AB的黄金分割点；（2）若AB=4，求BC的长．19．（2014•大丰市模拟）阅读理解：如图1，点C将线段AB分成两部分，若=，则点C为线段AB的黄金分割点．某研究学习小组，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，而给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果=，那么称直线l为该图形的黄金分割线．问题解决：如图2，在△ABC中，若点D是AB的黄金分割点．（1）研究小组猜想：直线CD是△ABC的黄金分割线，你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组探究发现：过点C作直线交AB于E，过D作DF∥CE，交AC于F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．20．（2011•密云县二模）三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在△ABC中，已知：AB=AC，且∠A=36°．（1）在图1中，用尺规作AB的垂直平分线交AC于D，并连接BD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）△BCD是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；（3）设，试求k的值；（4）如图2，在△A1B1C1中，已知A1B1=A1C1，∠A1=108°，且A1B1=AB，请直接写出的值．21．（2016春•泗阳县校级月考）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC．求证：．22．（2016•虹口区一模）如图，DC∥EF∥GH∥AB，AB=12，CD=6，DE：EG：GA=3：4：5．求EF和GH的长．23．（2016•黄浦区一模）如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，DE∥BC，点F是DE延长线上的点，，联结FC，若，求的值．24．（2016•崇明县一模）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，，AC=14；（1）求AB、BC的长；（2）如果AD=7，CF=14，求BE的长．25．（2016秋•固镇县期末）如图，DE∥BC，EC=AD，AE=2cm，AB=7.5cm，求DB的长．26．（2016春•咸丰县校级月考）如图所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF．27．（2015•厦门）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，AD=3，AB=5，求的值．0521黄金比例相似图形参考答案一．选择题（共14小题）1．A；2．D；3．C；4．A；5．A；6．C；7．A；8．B；9．B；10．B；11．B； 12．D； 13．D； 14．D；二．填空题（共2小题）15．6-2； 16．5；；三．解答题（共11小题）17．；18．；19．；20．；21．；22．；23．；24．；25．；26．；27．；。
《图形的相似》中考常考考点专题(基础篇)(专项练习)-2022-2023学年九年级数学
专题4.52 《图形的相似》中考常考考点专题（基础篇）（专项练习）一、单选题【知识点一】相似图形相关概念及性质【考点一】比例的性质✮✮线段的比（2018·甘肃陇南·中考真题）1. 已知23a b =（a ≠0，b ≠0），下列变形错误的是（ ）A. 23a b = B. 2a =3b C. 32b a = D. 3a =2b （2020·安徽阜阳·二模）2. 某零件长40厘米，若该零件在设计图上的长是2毫米，则这幅设计图的比例尺是（ ）A. 1：2000B. 1：200C. 200：1D. 2000：1【考点二】成比例线段✮✮黄金分割（2018·河北·模拟预测）3. 如图，画线段AB 的垂直平分线交AB 于点O ，在这条垂直平分线上截取OC OA =，以A 为圆心，AC 为半径画弧交AB 于点P ，则线段AP 与AB 的比是（ ）A. 2B.C.D. 2（2022·福建莆田·一模）4. P 是线段AB 上一点（AP BP >），则满足=AP BP AB AP，则称点P 是线段AB 的黄金分割点．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割点”．如图，一片树叶的叶脉AB 长度为10cm ，P 为AB 的黄金分割点（AP BP >），求叶柄BP 的长度．设cm BP x =，则符合题意的方程是（ ）A. ()21010x x -=B. ()21010x x =-C. ()21010x x -=D.()210110x x -=-【考点三】相似图形✮✮相似多边形（2021·四川成都·一模）5. 下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（ ）A. B. C. D.（2020·河北衡水·一模）6. 在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下：甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，它们的对应边间距为1，则新菱形与原菱形相似．乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新菱形与原菱形相似；对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）．A. 两人都对B. 两人都不对C. 甲对，乙不对D. 甲不对，乙对【考点四】相似多边形的性质（2022·山东淄博·二模）7. 如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是（ ）A. 2：1B. 3：1C. 3：2D. （2022·湖北省直辖县级单位·一模）8. 如果两个相似多边形的周长比是2：3，那么它们的面积比为（ ）A. 2：3B. 4：9C.D. 16：81【考点五】平行线分线段成比例（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）9. 如图，在平面直角坐标系中，C 为AOB 的OA 边上一点，:1:2AC OC ，过C 作CD OB ∥交AB 于点D ，C 、D 两点纵坐标分别为1、3，则B 点的纵坐标为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7（2020·新疆·中考真题）10. 如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，D 是AB 的中点，过点D 作BC 的平行线交AC 于点E ，作BC 的垂线交BC 于点F ，若AB ＝CE ，且△DFE 的面积为1，则BC 的长为（ ）A. 10B. 5C.D. 【知识点二】相似三角形【考点一】相似三角形的判定（2022·浙江绍兴·二模）11. 如图，如果∠BAD ＝∠CAE ，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ADE 与△ABC 相似的是（ ）A. B ＝∠DB. ∠C ＝∠AEDC. AB AD ＝DE BCD. AB AD ＝AC AE （2022·山东东营·中考真题）12. 如图，点D 为ABC 边AB 上任一点，DE BC ∥交AC 于点E ，连接BE CD 、相交于点F ，则下列等式中不成立的是（ ）A. AD AE DB EC =B. DE DF BC FC =C. DE AE BC EC =D. EF AE BF AC=【考点二】相似三角形的性质和判定➽➸求解✮✮证明（2021·山东济宁·中考真题）13. 如图，已知ABC ．（1）以点A 为圆心，以适当长为半径画弧，交AC 于点M ，交AB 于点N ．（2）分别以M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径画弧，两弧在BAC ∠的内部相交于点P ．（3）作射线AP 交BC 于点D ．（4）分别以A ，D 为圆心，以大于12AD 的长为半径画弧，两弧相交于G ，H 两点．（5）作直线GH ，交AC ，AB 分别于点E ，F ．依据以上作图，若2AF =，3CE =，32BD =，则CD 的长是（ ）A. 510 B. 1 C. 94 D. 4（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校三模）14. 如图，点F 是矩形ABCD 的边CD 上一点，射线BF 交AD 的延长线于点E ，则下列结论错误的是（ ）A. ED DF EA AB =B. DE EF BC FB =C. BC BF DE BE =D. BF BC BE AE=【考点三】相似三角形的性质和判定➽➸坐标✮✮网格（2016·江苏南京·一模）15. 如图，在平面直角坐标系中，点B 、C 在y 轴上，△ABC 是等边三角形，AB=4，AC 与x 轴的交点D0），则点A 的坐标为（ ）A. （1，B. （2，C. （1）D. （，2）（2012·湖北荆门·中考真题）16. 下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是（ ）A. B. C. D.【考点四】相似三角形的性质和判定➽➸动点问题（2020·山东菏泽·一模）17. 如图，在△ABC 中，AC ＝6，AB ＝4，点D ，A 在直线BC 同侧，且∠ACD ＝∠ABC ，CD ＝2，点E 是线段BC 延长线上的动点．若△DCE 和△ABC 相似，则线段CE 的长为（ ）A. 43 B. 23 C. 43或3 D. 23或4（2021·河北石家庄·九年级期中）18. 如图，在锐角三角形ABC 中，6cm AB =，12cm AC =，动点D 从点A 出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与 相似时的运动时间为（）ABCA. 3s或4.8sB. 3sC. 4.5sD. 4.5s或4.8s【考点五】相似三角形的性质和判定➽➸应用举例（2022·湖北十堰·中考真题）19. 如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，则零件的厚度x为（）A. 0.3cmB. 0.5cmC. 0.7cmD. 1cm（2020·山西·中考真题）20. 泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。
分割黄金智力测试题(3篇)
第1篇一、选择题1. 下列关于黄金分割的描述，正确的是：A. 黄金分割是指将一条线段分为两部分，其中较大部分与整体的比例等于较小部分与较大部分的比例。
B. 黄金分割是指将一条线段分为两部分，其中较大部分与整体的比例等于较小部分与较大部分的比例，且比例为1：1。
C. 黄金分割是指将一条线段分为两部分，其中较大部分与整体的比例等于较小部分与较大部分的比例，且比例为2：1。
D. 黄金分割是指将一条线段分为两部分，其中较大部分与整体的比例等于较小部分与较大部分的比例，且比例为3：2。
2. 黄金分割的比值约为：A. 1.618B. 2.618C. 0.618D. 1.4143. 黄金分割在以下哪个领域有广泛的应用？A. 数学B. 物理C. 建筑D. 以上都是4. 下列哪个不是黄金分割的应用实例？A. 斐波那契数列B. 古希腊建筑C. 印度教神像D. 荷兰风车5. 黄金分割在音乐中的运用体现在：A. 旋律B. 和弦C. 节奏D. 以上都是6. 黄金分割在艺术创作中的运用体现在：A. 形状B. 色彩C. 线条D. 以上都是7. 下列哪个不是黄金分割的特点？A. 比例关系B. 美学价值C. 经济效益D. 生物学意义8. 黄金分割在建筑设计中的运用体现在：A. 室内布局B. 外观造型C. 结构设计D. 以上都是9. 黄金分割在植物生长中的运用体现在：A. 叶片排列B. 花朵形态C. 果实分布D. 以上都是10. 下列哪个不是黄金分割的应用领域？A. 设计B. 科学研究C. 农业种植D. 医学治疗二、填空题1. 黄金分割的比值是__________。
2. 黄金分割在数学中被称为__________。
3. 黄金分割在自然界中普遍存在，如__________、__________等。
4. 黄金分割在艺术创作中的应用实例有__________、__________等。
5. 黄金分割在建筑设计中的应用实例有__________、__________等。
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比例线段及相似形测试
1、若四条比例线段为a ,b ,c ,d ，且a =3cm ，b =2cm ，c =6cm ，则线段d 的长为.
2、若2x －5y =0，则y ∶x =________，x y x +=________，22
-x y xy
=________.
3、某校一年级有64人，分成甲、乙、丙三队，其人数比为4∶5∶7. 若由外校转入1人加入乙队，则后来乙与丙的人数比为.
4、设14a
c e b
d f =
==，则a c e b d f
+-=+-_____. 5、若a d d c c b b a ===，则d c b a d
c b a +-+-+-的值是. 6、已知4
33
22
a c c
b b a -=-=+，则b
a c
b a 98765+-+=.
7、设a 、b 、c 是三个互不相同的正数，如果a
b b
a c b
c a =+=-，那么( )
A 、3b=2c
B 、3a=2b
C 、2b=c
D 、2a=b
8、如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，则AE 的长为.
第8题图第9题图
9、如图，△ABC 中若DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式正确的选项为.
A ．
AD BF DB FC =B ．AD EF BC BF =C ．AE DE
EC FC
= D ．
BC
DE
AB EF =
10、如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上一点，且6
1
=EB AE ，射线CF 交AB 于E 点，则FD
AF
等于______．
第10题图第11题图
11、如图，已知在平行四边形ABCD 中，M 、N 为AB 的三等分点，DM 、DN 分别交
E
D
C
B
A
AC 于P 、Q 两点，则AP ∶PQ ∶QC =．
12、请写出一定相似的三角形（写两种）和一定相似的四边形（写一种）： .
13、如图，ABC ∆中，BC a =，若11D E ，分别是AB AC ，的中点，则111
2
D E a =；
若22D E 、分别是11D B E C 、的中点，则2213
224a
D E a a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭； 若33D E 、分别是22D B E C 、的中点，则3313724
8
D E a a a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭；
若n n D E 、分别是-1-1n n D B E C 、的中点，则n n D E =_________.
14、已知a ∶b ∶c =4∶3∶2,且a +3b －3c =14.求4a －3b +c 的值.
15、若0≠abc ，且
b a
c a c b c b a +=
+=+，求abc
a c c
b b a ))()((+++的的值.
16、已知：a c
b d
=，求证：ab cd +是2222a c b d ++和的比例中项.
E n D n E 3D 3E 2D 2E 1
D 1
C
B
A
17、如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111
c
a
b
=+.
18、如图，AD 是ABC ∆的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交点. （1）如果E 是AD 的中点，求证：
1
2
AF FC =； （2）由（1）知，当E 是AD 中点时，
12AF AE
FC ED
=⋅
成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合）
，上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.
19、如图，已知在△ABC 中，AE ：EB=1：3，BD ：DC=2：1，AD 与CE 相交于F ，求
的值.
F
E D
C
B
A
F E D
C
B
A
FD
AF
FC EF
+
20、已知△ABC 中，AB =AC ，∠A =36゜，该三角形的底BC 与腰AB 的比等于黄金比，这样我们称顶角为36度的等腰三角形为黄金三角形. 若BD 是∠ABC 的角平分线，可以得到如下结论：△BCD 和△ABD 都是等腰三角形，且△ABC 相似于△BCD ，从而得到这两个相似三角形的对应边成比例.利用上述知识，试求证黄金三角形的底BC 与腰AB 的比为黄金比.
21、
心理学测试表明，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感，现将同学们在教学活动中，折叠黄金矩形的方法归纳出以下作图步骤（如图所示）： 第一步：作一个任意正方形ABCD ；
第二步：分别取AD BC ，的中点M N ，，连接MN ；
第三步：以N 为圆心，ND 长为半径画弧，交BC 的延长线于E ； 第四步：过B 作EF AD ⊥交AD 的延长线于F ；
请你根据以上作法，证明矩形DCEF 为黄金矩形，（可取2AB =）
A
B
C
D
E
F
M
N
（第21题图）。