比例线段与黄金分割综合题型

比例线段与黄金分割

【知识要点】

1．把

b a 的值叫做线段b a ,的比，若d

c b a =，则称线段

d c b a ,,,成比例线段。 2．bc ad d c b a d c b a =⇔=⇔=::，其中d c b a ,,,分别叫第一、第二、第三、第四比例项，d a ,称为外项，c b ,称为内项；外项的积等于内项的积。

3．n

1=实际距离图上距离，我们称为比例尺，进行有关比例尺的计算时，要注意统一单位 4．比例性质：①基本性质：

bc ad d c b a =⇔=；②反比性质：c

d a b d c b a =⇔=； ③更比性质：a b c a d c b a =⇔=； ④合比性质：d b c b b a d c b a ±=±⇔=； ⑤等比性质：n n b a b a b a b a ===Λ332211，则1

12121b a b b b a a a n n =+++++ΛΛ 5．比例中项：若ac b =2，则称b 是ac 的比例中项

6．若点P 分线段AB 得到较长线段是较短线段和整条线段的比例中项，则称点P 是线段AB

的黄金分割点；

7．2

15,215--==较长线段较短线段整条线段较长线段叫做黄金比值。 【典型例题】

例1．下列各组中的四条线段成比例的是( ) =2，b=3，c=2，d=3 =4，b=6，c=5，d=10

=2，b=5，c=23，d=15 =2，b=3，c=4，d=1

例2. 已知线段a 、b 、c 、d 满足ab=cd ，把它改写成比例式，错误的是( )

∶d=c ∶b ∶b=c ∶d ∶a=b ∶c ∶c=d ∶b

例3. 若a=2,b=3,c=33,则a 、b 、c 的第四比例项d 为________

例4. 若ac=bd ，则下列各式一定成立的是( ) A.d

c b a = B.c c b

d d a +=+ C.c d b a =22 D.d a cd ab = 例5. 已知d

c b a =,则下列式子中正确的是（ ） A. a ∶b=c 2∶

d 2 B. a ∶d=c ∶b

C. a ∶b=（a+c ）∶（b+d ）

D. a ∶b=（a －d ）∶（b －d ）

例6．已知5:4:2::=c b a ，且632=+-a b a ，求c b a 23-+的值。

例7.在比例尺为1∶500000的地图上，A 、B 两地的距离是64 cm ，则这两地间的实际距离

是______

例8.在一张地图上，甲、乙两地的图上距离是3 cm,而两地的实际距离为1500 m ，那么这

张地图的比例尺为________.

例9．（1）已知b a a b b a x +=+=+=

222，求x 的值 （2）已知5

24232x z z y y x -=-=-，求y x z y x -++2的值 例10.已知点M 将线段AB 黄金分割(AM ＞BM)，则下列各式中不正确的是( )

A ．AM ∶BM=A

B ∶AM =215-AB =2

15-AB ≈ 例11．如图，线段AB=2，点C 是AB 的黄金分割点(AC ＜BC ），点D （不同于C 点）在AB 上，且AB BD AD ⋅=2，求：AC

CD 的值 【经典练习】

1．如果bc ad =，那么下列比例中错误的是（ ）

A 、d b c a =

B 、b a d c =

C 、b d c a =

D 、c

d a b = 2．若5:6:=y x ，则下列等式中，不正确的是（ ）

A 、511=+y y x

B 、51=-y y x

C 、6=-y x x

D 、5=-x

y y 3．若2:1:::===d c c b b a ，则=d a :（ ）

A 、1:2

B 、1:4

C 、1:6

D 、1:8

4．若3:2:1::=c b a ，则c

b a

c b a +---的值为（ ） A 、-2 B 、2 C 、3 D 、-3

5．已知

8

75c b a ==，且20=++c b a ，则=-+c b a 2（ ） A 、11 B 、12 C 、3

14 D 、9 6．若4:3:2::=c b a ，且5=-+c b a ，则b a -的值是（ ） A 、5 B 、-5 C 、20 D 、-20

7．若4

3x x =，则x 等于（ ） A 、12 B 、32 C 、-32 D 、32±

8．已知AB=1，)15(2

1-=AC ，且BC AB AC ⋅=2，则BC 的长为（ ） A C D B

A 、215-

B 、215+

C 、)53(21-

D 、)53(2

1+ 9．已知P 是线段AB 的黄金分割点，且15-=

AP ，则AB 的长为（ ） A 、2 B 、15+ C 、2或15+ D 、以上都不对

10．已知5

72z y x ==，设x z y x C y z x B z y x y A -+=+=++=,,，那么A 、B 、C 的大小顺序为（ ） A 、A>B>C B 、AA>B D 、A

11．已知3

5=y x ，则=-+)(:)(y x y x 12．如果

32=b a ，且3,2≠≠b a ，那么=-++-5

1b a b a 13．已知a b a 3)(7=-，则=b

a 14．如果2===c z

b y a x ，那么=+-+-

c b a z y x 3232 15．已知：2,2,1三个数，请你再填一个数，可写成一个比例式，这个数是

16．把长为5的线段进行黄金分割，则较短的线段长是

17．若6

5432+==+c b a ,且2a －b+3c=21.试求a ∶b ∶c. 一、填空题：

1.若4x=5y,则x ∶y ＝ .

2.若3x ＝4y ＝5z ，则y z y x +-∶x

x z y -+＝ . 3.已知13y x -＝7y ，则y y x +的值为 . 4.已知b a ＝43，那么b

b a +＝ . 5.若b a ＝d

c ＝f e ＝3，且b+d+f ＝4，则a+c+e ＝ . 6.若(x+y)∶y ＝8∶3，则x ∶y ＝ . 7.若

b a b +＝53，那么b

a ＝ . 9.已知△ABC 和△A ′B ′C ′，''B A AB ＝''C B BC ＝''A C CA ＝23，且A ′B ′+B ′C ′+C ′A ′＝16cm.则AB+BC+AC ＝ .

10.若a ＝8cm ，b ＝6cm ，c ＝4cm ，则a 、b 、c 的第四比例项d ＝ cm ； a 、c 的比例中项

x ＝ cm.

11.已知3∶x ＝8∶y ，求y x = 12. 已知b b a 23+＝27，求b

a =