比例线段与黄金分割综合题型
专题讲练：比例线段与黄金分割
专题讲练：比例线段与黄金分割¤题型讲练【例1】下列各组中的四条线段成比例的是( ） A.a =2，b =3，c =2，d =3 B.a =4，b =6，c =5，d =10 C.a =2，b =5，c =23，d =15 D.a =2，b =3，c =4，d =1变式训练1：1.已知a ＝8cm ，b ＝6cm ，c ＝4cm ，(1) 请添加一边d ，使a 、b 、c 、d 四边成比例，求d 的长度； (2) a 、c 的比例中项x 的值.【例2】若ac =bd ，则下列各式一定成立的是( ) A.d c b a = B.c c b d d a +=+C.c d ba =22D.da cd ab =变式训练2： 1.已知dcb a =,则下列式子中正确的是（ ） A. a ∶b =c 2∶d 2 B. a ∶d =c ∶bC. a ∶b =（a +c ）∶（b +d ）D. a ∶b =（a －d ）∶（b －d ）【例3】已知 ，求x 的值变式训练3：1.已知524232x z z y y x -=-=-，求y x z y x -++2的值【例4】已知5:4:2::=c b a ，且632=+-a b a ，求c b a 23-+的值.变式训练4：1.已知线段x 、y ，如果(x +y )∶(x -y )＝a ∶b ，求x ∶y .【例5】如图：在ABC ∆中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且 ,(1) 你能说明 吗? (2)若AB=12，AE=6，EC=4，求出AD 的长。
(3)若 ,且ABC ∆的周长为30，求出ADE ∆的周长。
【例6】已知线段AB=6，点C 为线段AB 的黄金分割点，(AC>BC)，求AC －BC 的值：变式训练5：如图，以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连结PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF =PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上. (1)求AM 、DM 的长. (2)求证：AM 2=AD ·DM .(3)根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？ba ab b ax +=+=+=222ECAEBD AD =ACECAB BD =53===BCDE ACAE ABAD※基础训练 1．若43xx =，则x 等于（ ） A.12 B.32 C.-32 D.32± 2．若5:6:=y x ，则下列等式中，不正确的是（ ）A 、511=+yy x B 、51=-y y xC 、6=-yx xD 、5=-x y y 3．若2:1:::===d c c b b a ，则=d a :（ ） A 、1:2 B 、1:4 C 、1:6 D 、1:8 4．若3:2:1::=cb a ，则cb a cb a +---的值为（ ）A 、-2B 、2C 、3D 、-3 5．已知875c b a ==，且20=++c b a ，则=-+c b a 2（ ）A 、11B 、12C 、314D 、96．若4:3:2::=c b a ，且5=-+c b a ，则b a -是（ ） A 、5 B 、-5 C 、20 D 、-20 7．已知35=y x ，则=-+)(:)(y x y x 8．如果32=b a ，且3,2≠≠b a ，那么=-++-51b a b a9．已知a b a 3)(7=-，则=ba10．如果2===c z b y a x ，那么=+-+-cb a z y x 3232※能力提升 11．有以下命题:①如果线段d 是线段a ,b ,c 的第四比例项，则dcb a = ②如果点C 是线段AB 中点，则AC 是AB 、BC 的比例中项 ③如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，那么AC 是AB 与BC 的比例中项④如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC >BC ，且AB =2，则AC =5－1其中正确的判断有（ ） A.1个B.2 个C.3个D.4个12．已知：2,2,1三个数，请你再写一个数，使这四个数组成一个比例式，并写出这些比例式。
初中数学浙教版九年级上册4.1比例线段-黄金分割同步训练(I)卷
初中数学浙教版九年级上册4.1 比例线段-黄金分割同步训练（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、基础巩固 (共12题；共34分)1. （2分）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女模特身高165cm，下半身长x（cm）与身高l（cm）的比值是0.60．为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）A . 4cmB . 6cmC . 8cmD . 10cm2. （2分）小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。
已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（）A . 12.36cmB . 13.6cmC . 32.36cmD . 7.64cm3. （2分）已知如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论中正确的是（）A . AB2=AC2+BC2B . BC2=AC•BAC . AC2=AB•BCD . AC=2BC4. （2分）如图所示，点C是线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，AC=mBC，则m的值是（）A .B .C .D .5. （2分）黄金矩形的宽与长的比值更接近于（）A . 3.14B . 2.71C . 0.62D . 0.576. （2分）如果C是线段AB的黄金分割点C，并且AC＞CB，AB=1，那么AC的长度为（）A .B .C .D .7. （2分）有以下命题：①如果线段d是线段a，b，c的第四比例项，则有．②如果点C是线段AB的中点，那么AC是AB、BC的比例中项．③如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，那么AC是AB与BC的比例中项．④如果点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，且AB=2，则AC=﹣1．其中正确的判断有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个8. （2分）在1：1000000的地图上，A，B两点之间的距离是5cm，则A，B两地的实际距离是（）A . 5kmB . 50kmC . 500kmD . 5000km9. （1分）已知线段a=8cm，c=4cm，b是a，c的比例中项，则b等于________．10. （1分）已知点P是线段AB上的黄金分割点，AP>BP，AB=4，那么AP=________．11. （1分）已知线段MN=2，点P是线段MN的黄金分割点，MP>NP，则MP= ________；12. （15分）（1）已知a=4，c=9，若b是a，c的比例中项，求b的值．（2）已知线段MN是AB，CD的比例中项，AB=4cm，CD=5cm，求MN的长．并思考两题有何区别．二、提高特训 (共8题；共33分)13. （2分）勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中到处可见黄金分割的美.如图，点将线段分成两部分，且，如果，那么称点为线段的黄金分割点.若是线段的黄金分割点，，则分割后较短线段长为（）A .B .C .D .14. （2分）矩形的两边长分别为a、b，下列数据能构成黄金矩形的是（）A . a=4，b= +2B . a=4，b= ﹣2C . a=2，b= +1D . a=2，b= ﹣115. （2分）已知点C在线段AB上，且点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论正确的是（）A . AB2＝AC•BCB . BC2＝AC•BCC . AC＝ BCD . BC＝ AC16. （1分）设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m，那么上部应设计为多高？设雕像的上部高x m，列方程，并化成一般形式是________．17. （1分）已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），那么AC是线段________与________的比例中项，若AC=10cm，则BC约为________ cm．18. （10分）如图，在线段AB上存在一点C，满足AC∶CB＝C B∶AB＝k.（1）求k的值；（2）如果三条线段a，b，c满足a∶b＝b∶c＝k，问这三条线段能否构成三角形，如果能，请指出三角形的形状；如果不能，请说明理由．19. （10分）如图，点B在线段AC上的黄金分割点，且AB＞BC．（1）设AC=2，完成下面填空设AB=x，则BC=2﹣x∵点B在线段AC上的黄金分割点，且AB＞BC，∴________，可列方程为________，解得方程的根为________，于是，AB的长为________．（2）在线段AC（如图1）上利用三角板和圆规画出点B的位置（保留作图痕迹，不写作法）；（3）若m、n为正实数，t是关于x的方程x2+2mx=n2的一正实数根，①求证：（t+m）2=m2+n2；②若两条线段的长分别为m、n（如图2），请画出一条长为t的线段（保留作图痕迹，不写作法）．20. （5分）小知识：古希腊的毕达哥拉斯，在2500年前曾经大胆断言，一条线段（AB）的某一部分（AC）与另一部分（BC）之比，如果正好等于另一部分（BC）同整个线段（AB）的比（即BC2=AC．AB），那么这样的比例会给人一种美感，后来我们将分割这条线段（AB）的点C称为线段AB的“黄金分割点”，在主持节目时，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，那么在长20米的舞台AB 上，主持人从A点到B点走多少米，他的站台最得体？（取=1.4，=1.7，=2.2）参考答案一、基础巩固 (共12题；共34分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、提高特训 (共8题；共33分) 13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、。
黄金分割及比例线段
3、黄金分割矩形4、人体中的黄金分割之美
5、美妙的黄金分割和黄金数6、线段黄金分割点的几种求法
7、中考黄金分割问题两例8、“黄金分割”考题透视
9、“比例线段”变式多多10、证明比例线段方法多多
11、巧用面积比来证线段比12、巧用面积比，妙解几何题
1、“黄金分割”之美
所谓的黄金分割矩形，是指矩形的长∶宽＝ ∶1，黄金分割矩形有一种特别的性质：在这种矩形中分出一个以宽为边长的正方形后，余下的矩形仍然是一个黄金分割矩形（如图2），由于它具有这一特性，因此每次余下的矩形都与原矩形相似，也就是说黄金分割矩形具有碎形自相似性的特质。
图2图3图4图5
至于黄金螺旋，则是将黄金矩形依黄金比例的长宽比往外扩张，然后将正方形顶点依序连接起来，就成为“黄金螺旋”如图3，4，5。同样地，黄金螺旋也普遍存在于自然界中，如下右图6的鹦鹉螺即是最著名的例子
析解：由黄金分割的定义可知 的数值为 。依据“黄金分割”知识可知节目主持人站在线段AB的黄金点C，这样台下的观众看上去感觉最好．
点评：本题实际上是属于黄金分割问题，即若点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
3、黄金分割矩形
美丽宜人的黄金分割矩形是古希腊时代被认为地球上最具有调和性而美丽的比例。在古希腊时代，除了著名的巴特农神殿之外（如右图1），有许多建筑物、美术品、工艺品都具有十分接近黄金分割的作品。文艺复兴时代的万能艺术家达文西（Leonardo da Vinci,1452~1519）据说用黄金分割的长方形绘画。黄金分割不仅是几何学，也是整个数学的重要内容。十七世纪德国著名的天文学家、数学家开普勒（kepler,1571~1630）曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一是勾股定理，另一个是黄金分割”。
初中黄金分割试题及答案
初中黄金分割试题及答案黄金分割是指将一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值约为0.618。
这个比例在自然界和艺术设计中非常常见，被认为是一种美学上的比例。
以下是关于黄金分割的几道初中试题及答案：1. 已知线段AB的长度为10厘米，按照黄金分割点C将线段分割，求AC的长度。
答案：根据黄金分割的定义，AC的长度为10 × (√5 - 1) / 2 ≈ 6.18厘米。
2. 如果一个矩形的长宽比符合黄金分割，且长为20厘米，求宽的长度。
答案：设矩形的宽为x厘米，根据黄金分割的定义，有20 / x = (x + 20) / 20。
解这个方程，我们可以得到x = 20 × (√5 - 1) / 2 ≈ 12.36厘米。
3. 在一个正方形中，按照黄金分割点将正方形的一边分割，求分割后较小部分的长度。
答案：设正方形的边长为a厘米，按照黄金分割点分割后，较小部分的长度为a × (√5 - 1) / 2 厘米。
4. 一个等腰三角形的顶角为36°，底角为72°，求这个三角形的高与底边的比例。
答案：根据黄金分割的定义，这个等腰三角形的高与底边的比例为(√5 - 1) / 2 ≈ 0.618。
5. 已知一个五边形的边长都相等，且每个内角都为108°，求这个五边形的对角线与边长的比例。
答案：这个五边形的对角线与边长的比例符合黄金分割，即对角线长度与边长的比例为(√5 + 1) / 2 ≈ 1.618。
这些题目涵盖了黄金分割在不同几何图形中的应用，通过计算和理解黄金分割的定义，可以解决这些问题。
黄金比例初中数学题型
5、黄金比例的代数问题
例：求解含有黄金比例的代数方程，如求解x与x+1之间的黄金比例，即x/(x+1) = φ（1.618）。
答：求解x与x+1之间的黄金比例，即 x / (x+1) = φ。
解方程得：x ≈ φ / (φ - 1) ≈ 0.618。
黄金比例初中数学题型
1、黄金矩形问题
例：给定一个矩形，其长和宽之比为黄金比例φ（1.618），已知其宽度为6 cm，求矩形的长。
答：设矩形的长为x cm，则根据黄金比例φ（1.618）有：x / 6 = φ。
解方程得：x = 6φ ≈ 9.708 cm。
2、黄金三角形问题
例：一个三角形的三边之比为黄金比例φ（1.618），已知其中一条边长为8 cm，求另外两条边的长度。
答：设AC的长度为x cm，则CB的长度为6 - x cm。根据黄金比例φ（1.618）有：x / (6 ≈ 2.236 cm，CB ≈ 6 - x ≈ 3.764 cm。
4、黄金螺旋问题
例：在一个正方形中，画出一个以正方形边长为半径的四分之一圆，然后不断在新画出的圆弧上画出更小的正方形，并延长边界，形成一个黄金螺旋。已知初始正方形的边长为5 cm，求第n个正方形的边长。
答：设另外两条边的长度为x cm和y cm，根据黄金比例φ（1.618）有：x / 8 = φ，y / x = φ。
解方程得：x = 8φ ≈ 12.944 cm，y ≈ 8φ² ≈ 20.944 cm。
3、黄金分割线段问题
例：已知线段AB的长度为10 cm，点C在AB上，且AC与CB的比为黄金比例φ（1.618），求AC和CB的长度。
初三数学黄金比例的练习题
初三数学黄金比例的练习题【正文】黄金比例是数学中的一个重要概念，它是指一条分割线段被分为两部分时，整个线段与较大部分的比值等于较大部分与较小部分的比值。
黄金比例常常出现在艺术、建筑和自然界中，被认为是一种比例美。
在初三数学中，黄金比例的练习题是一种常见的题型，旨在帮助学生巩固和应用黄金比例的概念。
下面将提供一些黄金比例的练习题，供同学们练习和思考。
1. 请计算下列线段中，黄金比例的比值：a) AB = 6厘米, BC = 4厘米；b) DE = 9厘米, EF = 6厘米；c) GH = 15毫米, HI = 10毫米。
2. 请绘制一个线段AB，将它分割成两部分，使得整个线段与较大部分的比值等于较大部分与较小部分的比值。
3. 一根棒高为20厘米，将其分割成两部分，使得较长部分与整个棒的比值是黄金比例。
求较长部分的长度。
4. 一家公司的总利润为300万元，根据黄金比例，将利润按比例分配给员工和公司。
如果员工获得的利润与公司获得的利润的比值为黄金比例，请计算员工获得的利润。
以上是一些初三数学黄金比例的练习题，同学们可以按照以下步骤进行解答：步骤一：理解黄金比例的概念和计算方法。
黄金比例的计算公式为（a+b）/a = a/b，其中a为整体的长度，b为较短部分的长度。
步骤二：根据给定的线段长度，将其代入黄金比例的计算公式中，求解未知变量。
计算过程需要注意单位的转换和四舍五入。
步骤三：对于绘制分割线段的问题，可以利用画图工具，或者用纸和尺子进行实际绘制。
根据黄金比例的定义，将线段分割成两部分，确保较大部分与整个线段的比值等于较大部分与较小部分的比值。
步骤四：对于利润分配的问题，需要将总利润按照黄金比例进行分割，计算出员工获得的利润。
通过完成这些练习题，同学们可以更好地理解和掌握黄金比例的概念和应用。
同时，在解答问题的过程中，要注意思维的灵活性和逻辑的合理性，灵活应用数学知识，培养解决问题的能力。
黄金比例作为数学中的一个重要概念，不仅与艺术、建筑和自然界有关，也有着广泛的实际应用。
专题01 比例线段及黄金分割点压轴题型全攻略(原卷版)
专题01 比例线段及黄金分割点压轴题型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一 比例线段的识别】 (1)【考点二 比例线段的计算】 (2)【考点三 黄金分割点的定义】 (2)【考点四 黄金分割点的应用】 (3)【考点五 黄金分割点的拓展提高】 (3)【过关检测】 (4)【典型例题】【考点一 比例线段的识别】【例题1】若a ：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（ ）A ．2a=3bB ．3a=2bC ．D ．【变式1】已知=，那么下列等式中，不一定正确的是（ ）．A ．2a=5b B. a b 52= C. a+b=7 D.a b b 72+= 【变式2】由5a=6b （a≠0），可得比例式（ ）A ．B ．C ．D ．【考点二 比例线段的计算】【例题2】 设，求的值．432z y x ==2222232z xy x z yz x --+-【变式1】若=，则=（）.A. B. C. D. 无法确定【变式2】已知，（1）求的值；（2）如果，求x的值．【变式3【考点三黄金分割点的定义】【例题3】已知点P是线段AB的一个黄金分割点（AP＞PB），则PB：AB的值为（）.A. B. C. D.【变式1】已知线段AB=10cm，C是AB的一个黄金分割点，且AC＜BC，求AC长为__________cm；【变式2】已知线段AB=1，C是线段AB的黄金分割点，则AC的长度为（）A. B.C. 或D.以上都不对【考点四黄金分割点的应用】【例题4】美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）.A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm【变式1】如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割．已知AB=10cm，则AC的长约为__________cm（结果精确到0.1cm）.【变式2△BDC 、△DEC 都是黄金三角形，已知AB=4，则DE=__________．【考点五 黄金分割点的拓展提高】【例题5】是黄金矩形（即＝≈0.618），如果在其内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE ，试问矩形ABFE 是否也是黄金矩形？【变式1】如图，扇子的圆心角为x°，余下扇形的圆心角为y°，x 与y 的比通常按黄金比来设计，这样的扇子外形比较美观，若黄金比取0.6，则x 为（ ）.A. 144°B. 135°C. 136°D. 108°【变式2道按图2所示的折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形ABEF 和一个矩形EFDC ，那么EFDC 这个矩形还是黄金矩形吗？若是，请根据图2证明你的结论；若不是，请说明理由．BC AB 215-【变式3】以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图所示，（1）求AM ，DM 的长，（2）试说明AM 2=AD·DM（3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？【过关检测】一．选择题1.在比例尺为1︰1 000 000的地图上，相距3cm 的两地，它们的实际距离为( ).A ．3 kmB ．30 kmC ．300 kmD ．3 000 km2.已知线段满足把它改写成比例式，其中错误的是（ ）.A. B. C.D. 3. （2014•牡丹江）若x ：y=1：3，2y=3z ，则的值是（）. 4.如图，已知点P 是线段AB 的黄金分割点，且PA ＞PB ，若S 1表示以PA 为边的正方形的面积，S 2表示a 、b 、c 、d =ab cd ::b c d a =::a b c d =::c b a d =::a c d b =长为AB 、宽为PB 的矩形的面积，那么S 1（ ）S 2．A.>B.=C.<D.无法确定6. 宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD ，分别取AD 、BC 的中点E 、F ，连接EF ：以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线于点G ；作GH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H ，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）A ．矩形ABFEB ．矩形EFCDC ．矩形EFGHD ．矩形DCGH 二. 填空题8.线段AB 长10cm ，点P 在线段AB 上，且满足=，那么AP的长为 cm ． ，（填写一个即可）．10.已知若若5x -4y=0,则x:y=________. -3=,=____;4x y x y y则三．综合题13.如果，一次函数经过点（-1,2），求此一次函数解析式.14.如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，且DB=DC=AC ，已知∠ACE=108°，BC=2．（1）求∠B 的度数；（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边 长①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；②求AD 的长；③在直线AB 或BC 上是否存在点P （点A 、B 除外），使△PDC 是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点P ，简要说明画出点P 的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．a b c d k b c d a c d a b d a b c====++++++++y kx m =+15. 如图，用长为40cm的细铁丝围成一个矩形ABCD（AB＞AD）．（1）若这个矩形的面积等于99cm2，求AB的长度；（2）这个矩形的面积可能等于101cm2吗？若能，求出AB的长度，若不能，说明理由；（3）若这个矩形为黄金矩形（AD与AB之比等于黄金比），求该矩形的面积．（结果保留根号）。
4.1 比例线段 第3课时 比例中项与黄金分割练习题 2021—2022学年浙教版九年级数学上
第3课时比例中项与黄金分割【基础练习】知识点1比例中项1.如果a︰b=3︰2,且b是a,c的比例中项,那么b︰c等于()A.4 3B.3 4C.2 3D.3 22.如果a=3,b=2,且b是a,c的比例中项,那么c=.3.已知三个数a,b,c,其中a=1,b=4,c是a,b的比例中项,则c=.4.已知线段a=2 cm,b=8 cm,它们的比例中项c为cm.知识点2黄金分割5.已知点C是线段AB的黄金分割点,且AC>BC,则下面的等式成立的是()A.AB2=AC·BCB.BC2=AC·ABC.AC2=BC·ABD.AC2=2AB·BC6.图5是意大利著名画家达·芬奇的名画《蒙娜丽莎》.画中脸部被围在矩形ABCD内,点F 是AB的黄金分割点,BF>AF,若AB=10,则BF的长为.图57.已知点E是线段AB的黄金分割点,且BE>AE,若AB=2,则AE=.【能力提升】8.已知线段AB及AB上一点P,再添加一个条件,使P为AB的黄金分割点,其中错误的是()A.AP=√5-12AB B.PB=3-√52AB C.APPB=√5-12D.ABAP=√5-129.如果三条线段的长a,b,c满足ba =cb=√5-12,那么a,b,c叫做“黄金线段组”.黄金线段组中的三条线段()A.必构成锐角三角形B.必构成直角三角形C.必构成钝角三角形D.不能构成三角形10.如图6,已知P是线段AB的黄金分割点,且P A>PB,若S1表示以P A为一边的正方形的面积,S2表示长是AB,宽是PB的矩形的面积,则S1S2(填“>”“=”或“<”).图611.已知顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形(底边长与腰长的比值为黄金分割比).如图7,△ABC,△BDC,△DEC都是黄金三角形,已知AB=1,求CE的长度.图712.如图8,用纸折出黄金分割点:裁一张正方形的纸片ABCD,先折出BC的中点E,再折出线段AE,然后通过折叠使EB落在线段EA上,折出点B的新位置B',因而EB'=EB.类似地,在AB上折出点B″,使AB″=AB'.这时点B″就是线段AB的黄金分割点.请你证明这个结论.图8答案1.D [解析] ∵a ∶b=3∶2,b 是a ,c 的比例中项,∴a ∶b=b ∶c ,∴b ∶c=3∶2. 2.433.±2 [解析] 根据比例中项的概念,得c 2=a ×b=4×1,解得c=±2.4.4 [解析] 根据比例中项的概念得c 2=ab ,则c 2=2×8,解得c=±4. ∵线段长是正数,∴c=4 cm .5.C6.5√5-5 [解析] ∵点F 是AB 的黄金分割点,BF>AF , ∴BF=√5-12AB=√5-12×10=5√5-5. 7.3-√5 [解析] ∵E 是线段AB 的黄金分割点,且BE>AE , ∴BE AB =√5-12,则BE=√5-12AB=√5-12×2=√5-1,故AE=AB -BE=3-√5.8.D9.D [解析] ∵ba =cb =√5-12, ∴b=√5-12a ,c=√5-12b=3-√52a , ∴b+c=√5-12a+3-√52a=a , ∴长为a ,b ,c 的三条线段不能构成三角形. 故选D .10.= [解析] ∵P 是线段AB 的黄金分割点,且P A>PB ,∴P A 2=PB ·AB.又∵S 1表示以P A 为一边的正方形的面积,S 2表示长是AB ,宽是PB 的矩形的面积, ∴S 1=P A 2,S 2=PB ·AB ,∴S 1=S 2.11.解:∵△ABC ,△BDC ,△DEC 都是黄金三角形, ∴DE=CD ,BC AB =√5-12,CD BC=√5-12,CE CD =√5-12. ∵AB=1, ∴BC=√5-12AB=√5-12, ∴CD=√5-12BC=√5-122=3-√52, ∴CE=√5-12CD=√5-12×3-√52=√5-2.12.证明:设正方形ABCD的边长为2.∵E为BC的中点,∴BE=1,∴AE=√AB2+BE2=√5.又∵B'E=BE=1,∴AB'=AE-B'E=√5-1,∴AB″=AB'=√5-1,∴AB″∶AB=(√5-1)∶2,∴点B″是线段AB的黄金分割点.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
比例线段与黄金分割【知识要点】1．把b a 的值叫做线段b a ,的比，若dc b a =，则称线段d c b a ,,,成比例线段。
2．bc ad d c b a d c b a =⇔=⇔=::，其中d c b a ,,,分别叫第一、第二、第三、第四比例项，d a ,称为外项，c b ,称为内项；外项的积等于内项的积。
3．n1=实际距离图上距离，我们称为比例尺，进行有关比例尺的计算时，要注意统一单位 4．比例性质：①基本性质：bc ad d c b a =⇔=；②反比性质：cd a b d c b a =⇔=； ③更比性质：a b c a d c b a =⇔=； ④合比性质：d b c b b a d c b a ±=±⇔=； ⑤等比性质：n n b a b a b a b a ===Λ332211，则112121b a b b b a a a n n =+++++ΛΛ 5．比例中项：若ac b =2，则称b 是ac 的比例中项6．若点P 分线段AB 得到较长线段是较短线段和整条线段的比例中项，则称点P 是线段AB的黄金分割点；7．215,215--==较长线段较短线段整条线段较长线段叫做黄金比值。
【典型例题】例1．下列各组中的四条线段成比例的是( ) =2，b=3，c=2，d=3 =4，b=6，c=5，d=10=2，b=5，c=23，d=15 =2，b=3，c=4，d=1例2. 已知线段a 、b 、c 、d 满足ab=cd ，把它改写成比例式，错误的是( )∶d=c ∶b ∶b=c ∶d ∶a=b ∶c ∶c=d ∶b例3. 若a=2,b=3,c=33,则a 、b 、c 的第四比例项d 为________例4. 若ac=bd ，则下列各式一定成立的是( ) A.dc b a = B.c c bd d a +=+ C.c d b a =22 D.d a cd ab = 例5. 已知dc b a =,则下列式子中正确的是（ ） A. a ∶b=c 2∶d 2 B. a ∶d=c ∶bC. a ∶b=（a+c ）∶（b+d ）D. a ∶b=（a －d ）∶（b －d ）例6．已知5:4:2::=c b a ，且632=+-a b a ，求c b a 23-+的值。
例7.在比例尺为1∶500000的地图上，A 、B 两地的距离是64 cm ，则这两地间的实际距离是______例8.在一张地图上，甲、乙两地的图上距离是3 cm,而两地的实际距离为1500 m ，那么这张地图的比例尺为________.例9．（1）已知b a a b b a x +=+=+=222，求x 的值 （2）已知524232x z z y y x -=-=-，求y x z y x -++2的值 例10.已知点M 将线段AB 黄金分割(AM ＞BM)，则下列各式中不正确的是( )A ．AM ∶BM=AB ∶AM =215-AB =215-AB ≈ 例11．如图，线段AB=2，点C 是AB 的黄金分割点(AC ＜BC ），点D （不同于C 点）在AB 上，且AB BD AD ⋅=2，求：ACCD 的值 【经典练习】1．如果bc ad =，那么下列比例中错误的是（ ）A 、d b c a =B 、b a d c =C 、b d c a =D 、cd a b = 2．若5:6:=y x ，则下列等式中，不正确的是（ ）A 、511=+y y xB 、51=-y y xC 、6=-y x xD 、5=-xy y 3．若2:1:::===d c c b b a ，则=d a :（ ）A 、1:2B 、1:4C 、1:6D 、1:84．若3:2:1::=c b a ，则cb ac b a +---的值为（ ） A 、-2 B 、2 C 、3 D 、-35．已知875c b a ==，且20=++c b a ，则=-+c b a 2（ ） A 、11 B 、12 C 、314 D 、9 6．若4:3:2::=c b a ，且5=-+c b a ，则b a -的值是（ ） A 、5 B 、-5 C 、20 D 、-207．若43x x =，则x 等于（ ） A 、12 B 、32 C 、-32 D 、32±8．已知AB=1，)15(21-=AC ，且BC AB AC ⋅=2，则BC 的长为（ ） A C D BA 、215-B 、215+C 、)53(21-D 、)53(21+ 9．已知P 是线段AB 的黄金分割点，且15-=AP ，则AB 的长为（ ） A 、2 B 、15+ C 、2或15+ D 、以上都不对10．已知572z y x ==，设x z y x C y z x B z y x y A -+=+=++=,,，那么A 、B 、C 的大小顺序为（ ） A 、A>B>C B 、A<B<C C 、C>A>B D 、A<C<B11．已知35=y x ，则=-+)(:)(y x y x 12．如果32=b a ，且3,2≠≠b a ，那么=-++-51b a b a 13．已知a b a 3)(7=-，则=ba 14．如果2===c zb y a x ，那么=+-+-c b a z y x 3232 15．已知：2,2,1三个数，请你再填一个数，可写成一个比例式，这个数是16．把长为5的线段进行黄金分割，则较短的线段长是17．若65432+==+c b a ,且2a －b+3c=21.试求a ∶b ∶c. 一、填空题：1.若4x=5y,则x ∶y ＝ .2.若3x ＝4y ＝5z ，则y z y x +-∶xx z y -+＝ . 3.已知13y x -＝7y ，则y y x +的值为 . 4.已知b a ＝43，那么bb a +＝ . 5.若b a ＝dc ＝f e ＝3，且b+d+f ＝4，则a+c+e ＝ . 6.若(x+y)∶y ＝8∶3，则x ∶y ＝ . 7.若b a b +＝53，那么ba ＝ . 9.已知△ABC 和△A ′B ′C ′，''B A AB ＝''C B BC ＝''A C CA ＝23，且A ′B ′+B ′C ′+C ′A ′＝16cm.则AB+BC+AC ＝ .10.若a ＝8cm ，b ＝6cm ，c ＝4cm ，则a 、b 、c 的第四比例项d ＝ cm ； a 、c 的比例中项x ＝ cm.11.已知3∶x ＝8∶y ，求y x = 12. 已知b b a 23+＝27，求ba =13. 若2x ＝3y ，求y y x += 14. 如果x ∶y ∶z ＝1∶3∶5，那么z y x z y x +--+33＝ 18.已知b a ＝d c ＝52 (b+d ≠0)，则d b c a ++＝ 19、若43x x =，则x 等于 19．已知35=y x ，则=-+)(:)(y x y x 20．如果32=b a ，且3,2≠≠b a ，那么=-++-51b a b a 21．已知a b a 3)(7=-，则=b a 22．如果2===c z b y a x ，那么=+-+-c b a z y x 3232 三、解答题：1、已知：5y-4x ＝0，求(x+y)∶(x-y)2、已知c b a +=a c b +=ba c +＝x ，求x 4、已知线段x 、y ，如果(x+y)∶(x-y)＝a ∶b ，求x ∶y.5、已知：b a ＝d c ＝f e ＝3(且有b+d+f ＝0)，求证：d b c a ++＝fd e c ++＝3. 6、如图，D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，AB AD ＝AC AE ＝BC DE ＝32，且△ABC 与△ADE 的周长之差为15cm ，求△ABC 与△ADE 的周长. （1）如图4—2—1，若点P 是AB 的黄金分割点，则线段AP 、PB 、AB 满足关系式________，即AP 是________与________的比例中项．7.某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是1.5米，影长是1米，旗杆的影长是8米，则旗杆的高度是（ ）(A)12米 (B)11米 (C)10米 (D)9米8.已知点C 是AB 的黄金分割点(AC >BC)，若AB=4cm ，则AC 的长为（ ）(A)(2 5 –2)cm (B)(6-2 5 )cm (C)( 5 –1)cm (D)(3- 5 )cm4、已知P 、Q 是线段AB 的两个黄金分割点，且AB ＝10cm ，则PQ 长为（ ）A 、)15(5-B 、)15(5+C 、)25(10-D 、)53(5-5、若P 为AB 的黄金分割点，且AP ＞PB ，若AB ＝8cm ，则AP ＝__________PB ＝ 。
4．（2010佛山）一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看．如图，是一个参加空姐选拔的选手的身高情况，那么她应穿多高的鞋子才能好看（精确到1cm ）2．（2011六盘水）从美学角度来说，人的上身长与下身长之比为黄金比时，可以给人一种协调的美感．某女老师上身长约，下身长约，她要穿约（ ）cm 的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果（精确到）1．（2013莆田）定义：如图1，点C 在线段AB 上，若满足AC 2=BCAB ，则称7、已知5:4:2::=c b a ，且632=+-a b a ， 求c b a 23-+的值。
8、已知875c b a ==，且20=++c b a ，求c b a -+2 9、若4:3:2::=c b a ，且5=-+c b a ，求b a -的值．10、若65432+==+c b a ,且2132=+-c b a ，试求c b a ::点C 为线段AB 的黄金分割点．如图2，△ABC 中，AB=AC=1，∠A=36°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ．（1）求证：点D 是线段AC 的黄金分割点；（2）求出线段AD 的长．13．（2001南京）以长为2cm 的定线段AB 为边，作正方形ABCD ，取AB 的中点P ．在BA 的延长线上取点F ，使PF=PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 落在AD 上，如图所示．（1）试求AM 、DM 的长；（2）点M 是线段AD 的黄金分割点吗请说明理由．34．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台AB 长为20米，主持人现站在A 处，请问主持人应走到离A 点至少多少米处才最自然得体（结果精确到米）39．如图，点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP ＞BP ，设以AP 为边长的正方形面积为S 1，以PB 为宽和以AB 为长的矩形面积为S 2，试比较S 1与S 2的大小．3．（2010本溪）如图，△ABC 顶角是36°的等腰三角形（底与腰的比为的三角形是黄金三角形），若△ABC 、△BDC 、△DEC 都是黄金三角形，已知AB=4，则DE=7．（2005太原）如图，乐器上的一根弦AB=80cm ，两个端点A 、B 固定在乐器板面上，支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点（即AC 是AB 与BC 的比例中项），支撑点D 是靠近点A 的黄金分割点，则AC=（ ）cm ，DC=（ ）cm ．11．（2013闸北区一模）已知点D 是线段AB 的黄金分割点，且线段AD 的长为2厘米，则最短线段BD 的长是（ ）厘米．13．（2013秀洲区二模）如图，平行四边形ABCD 中，E 为AD 延长线上的一点，D 为AE 的一个黄金分割点，即AD= AE ，BE 交DC 于点F ．若CF=2，则AB 的长为（ ）6 .已知点C 是线段AB 的黄金分割点AC ＝555 ，且AC ＞BC ，求线段AB 与BC 的长。