比例线段(设K法)与黄金分割
第15讲 线段的比与黄金分割
线段的比与黄金分割【知识要点】1.两条线段的比的概念1.大家先回忆什么叫两个数的比？怎样度量线段的长度？怎样比较两线段的大小？ 两个数相除又叫两个数的比，如a ÷b 记作ba；度量线段时要选用同一个长度单位，比较线段的大小就是比较两条线段长度的大小.2由比较线段的大小就是比较两条线段长度的大小，大家能猜想线段的比吗？两条线段的比就是两条线段长度的比.3对.比如：线段a 的长度为3厘米，线段b 的长度为6米，所以两线段a ,b 的比为3∶ 6=1∶2,对吗？4大家同意他的观点吗？不同意，因为a 、b 的长度单位不一致，所以不对. 5那么，应怎样定义两条线段的比，以及求比时应注意什么问题呢？线段的比定义：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么 就说这两条线段的比（ratio ）AB ∶CD =m ∶n ，或写成CD AB =nm，其中，线段AB 、CD 分别叫做这两个线段比的前项和后项.如果把n m 表示成比值k ，则CDAB =k 或AB =k ·CD . 注意：在量线段时要选用同一个长度单位.2.求两条线段的比时要注意的问题（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，如果单位长度不同，应先化成同一单位，再求它们的比；（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关； （3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数. 二、熟悉比例线段的概念1、与比例线段有关的概念 (1)比例线段”的概念：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
已知四条线段a 、b 、c 、d ,如果dcb a =（或a :b =c :d ），那么a 、b 、c 、d 叫做组成比例的项，线段a 、d 叫做比例外项，线段b 、c 叫做比例内项，线段d 叫做a 、b 、c 第四比例项。
如果作为比例内项的是两条相同的线段，即cbb a =（或a :b =b :c ），那么线段b 叫做线段a 和c 的比例中项。
比例线段与黄金分割
比例线段与黄金分割一、梳理知识1、线段的比的定义在同一单位长度下，两条线段 的比叫做这两条线段的比。
2、比例线段的定义 在四条线段中，如果其中两条线段的 等于另外两条线段的 ，那么这四条线段叫做成比例线段，简称 .在a ：b=c ：d 中，a 、d 叫做比例的 ，b 、c 叫做比例的 ，称d 为a 、b 、c 的 . 3、比例的性质(1)比例的基本性质：如果a ∶b =c ∶d ，那么 ，特别地，若a ∶b=b ∶c ，即 ，则b 叫a ，c 的比例中项. (2)合(分)比性质：若dcb a =，则 . (3)等比性质：若nm f e d c b a ==== ，且 ，则 .4、黄金分割(1)黄金分割的意义：如图，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果 ，那么称线段AB 被点C 黄金分割.其中点C 叫做线段AB 的 ，AC 与AB 的比叫做 .二、典例解析例1 （1）已知线段a=2，b=3，c=5时，若a ，b ，c ，d 四条线段成比例，则d=_______．（2）已知1，5，5三个数，如果再添一个数，使之能与已知的三个数成比例，则这个数应该是 .（3）在比例尺为1：n 的某市地图上，规划出一块长5cm ×2cm 的矩形工业区，则该工业区的实际面积是 平方米.例2 比例的性质（1）若2a=3b ，则（a-b ）：（a+b ）的值是________．（2）在线段AB 上取一点P ，使AP ：PB=1：4，则AP ：AB=_____，AB ：PB=_______． （3）若5：2=（3-x ）：x ，则x=_______ 【随堂练习】1．如果a=15cm ，b=10cm ，且b 是a 和c 的比例中项，则c=________． 2．已知（a-b ）：b=2：3，则a ：b=_______．3．在比例尺为1：2 700 000的海南地图上量得海口与三亚间的距离约为8cm ，则海口与三亚两城间的实际距离为________km例3 已知P 是线段AB 上一点，且AP ：PB=3：5，求AB ：PB 的值．【随堂练习】若点P 在线段AB 上，点Q 在线段AB 的延长线上，AB =10，23==BQ ΑQ BP AP ，求线段PQ 的长．例4 (1)已知x ∶y ∶z =3∶4∶5，①求zyx +的值； ②若x +y +z =6，求x 、y 、z .【随堂练习】已知实数x ，y ，z 满足x+y+z=0，3x-y+2z=0，则x ：y ：z=________．(2)已知a 、b 、c 是非零实数，且k cb a dd a b c d c a b d c b a =++=++=++=++，求k 的值．【仿练】如果k cb a dd b a c d c a b d c b a =++=++=++=++，试求k 的值．(3)若a 、b 、c 是非零实数，并满足ac b a b c b a c c b a ++-=+-=-+，且a b c a c c b b a x ))()((+++=，求x 的值.【仿练】已知实数a ,b ,c 满足cba b a c a c b +=+=+,求a c b +的值.例5 如图，若点P 是AB 的黄金分割点，则线段A P 、PB 、AB 满足关系式________，即AP 是________与________的比例中项.三、课堂练习1、如果53=-b b a ,那么ba=________. 2、若a =2,b =3,c =33,则a 、b 、c 的第四比例项d 为________. 3、若753z y x ==,则zy x z y x -++-=________. 4、已知dcbc =,则下列式子中正确的是（ ） A.a ∶b =c 2∶d 2 B.a ∶d =c ∶bC.a ∶b =（a +c ）∶（b +d ）D.a ∶b =（a －d ）∶（b －d ）5、如图，已知直角三角形的两条直角边长的比为a ∶b =1∶2,其斜边长为 45 cm ，那么这个三角形的面积是________cm 2.（ ）A.32B.16C.8D.46、若875c b a ==,且3a －2b +c =3,则2a +4b －3c 的值是（ ）A.14B.42C.7D.3147、如图，等腰梯形ABCD 的周长是104 cm ，AD ∥BC ，且AD ∶AB ∶BC =2∶3∶5，则这个梯形的中位线的长是________.cm.（ ）A.72.8B.51C.36.4D.288、已知四条线段a 、b 、c 、d 的长度，试判断它们是否成比例？（1）a =16 cm ，b =8 cm ，c =5 cm ，d =10 cm ； （2）a =8 cm ，b =5 cm ，c =6 cm ，d =10 cm ． 9、若65432+==+c b a ,且2a －b +3c =21，试求a ∶b ∶c ．10、已知线段AB=a ，在线段AB 上有一点C ，若AC=a 253-，则点C 是线段AB 的黄金分割点吗？为什么？。
人教版初三数学归纳总结笔记-比例线段与黄金分割
⼀⽐例及⽐例线段是系年103888488加2A B58101连地连等设k法⽅法iCcikbiksk⻮⼒⼆灵⼗成⼆Ík64i了红⽓b⼆号⼆华ai bi C当i j i I6i4i381215x y z2345-81215i b⼆4k ci5kat b t E Nk224k-2以设a c-2k o a 6b8C10a t b7k20c b k3040ABC为直⻆三⻆形i o_o30得a3k⼆⽐例及⽐例线段1基本性质⼀吐⾎2个⼭动加11-8a48-y xty It动⼗⼆038⼆可加td另⼆号718⼏⼗⼏1⼏⼗1m t I18⼏⼗m8mntfmtn2tn8mnt8ntmtmllmtuj mtElmtnjlm nsim tnim⼗⼏⼆7年216冲①1为⽐例中项14⽐12a②a为⽐例中次i⼼从4a2③4为⽐例中项i和k a a16-2-186万吃A CBD751-16-8⼒动-601加3加上0Xi3倽加22合⽐性质b彘了等地性质i台⼆柒⼆年⼆章⼆千⼆步⼆三故原⾮主城1 datbtbtctl.tnfatbtc.HR⼆zlatbat btc to k2at btc⼆0k其⼆1丝55 4千⼆为千⼆千⼆k年⼆k 团箱性质有abtbzctz34⼆⼈⼆9k则以23k b21k源或是c ˇˇˇ1aty lt会mbtdm⼀⼆1⼗号mㄡi元fi a bjt三⻩⾦分割a railA l p B不妨设AB l AT则叩⼆1-ai f答N1-a any⼆0u-12㐀或a严倽1x XH 器器型f l titiXX 步骤0作的中垂线交1扔于川点②延⻓AB⾄17点使131213川③作MD中重线截⽐⼆BM④连AC截CH⼆CB⑤在AB上截取那⼆AH60下结论如图点P即为所求Bi d设A Bi2K则⾮你顺A P BPB⼆A BPA13万⽔器⽿器等76⽶x-型281万-1120⼒1万11X201万-D x20-8-errors 加30-10万p吓6mD1C a2lb aslb cjxlb ailb aJIb a xlb ayxib ailb aj xlb ajli51-XX4-10X⼆⼗等加⼆严倒四⻩⾦三⻆形1定义若⼀个三⻆形以底和膀之地为⻩⾦分割地则称这个三⻆形为⻩⾦三⻆形A器型AB CB C器型D0136OCD NBC360 BCE.li3CD.oABDOAECOABC72072036张36A器⼆兵D Z⼆⼗㐙36l i Tx360噐⼆架piABPBGSnpisrPBABI.SI⼆名不1-1匹C1BE⼆吓⼆厅箭⼆箭⼋⽉下洲⼆所i tl为AB⻩⾦分割点ig i AH TBH AB即952五平⾏线分线段成⽐例B器等⼀吓冷z13⾄ˇˇ11器ˇ12毙⼆千⾏43⼈杀了⼆⽅⼒38解得xgi.BE2。
25.1比例线段之黄金分割.1.比例线段之黄金分割课件
东方明珠塔，塔高468米. 在设计的最初，设计师将塔身 设计为直线型，后来，为了使 平直单调的塔身变得丰富多彩, 更协调、美观，设计师决定在 靠近塔尖的黄金分割点处设计 一个球体，请你计算这个球体 距离地面的高度．（精确到百 分位）
解：486*0.618=289.22米
活动六：寻找我们身边的黄金分割
学习目标：
知识与技能目标： （1）通过实例了解黄金分割，并能简单应用； （2）在应用中进一步理解线段的比、成比例线段等相关内容．
过程与方法目标： （1）经历黄金分割概念的建立过程，发展归纳概括的能力，逐步养
成主动的通过归纳概括发现概念的学习策略； （2）经历黄金分割概念的印证和拓展过程，培养演绎推理的能力．
求线段AC的长度．
解 ： 根 据 定 义 ， 如 果 点 C 是 线 段 AB 的 黄 金 分 割 点 ， 当
AC>BC AC 5一1
那么
AB
=
2
，
∵点C是线5一段1AB的黄金分割点， ∴
，
∴ AC= 2 AB =
.
BC 5 1
AB 2
当AC＜BC时，
,∴ AC=AB-BC=
活动五：运用黄金分割的概念进行计算
活动六：寻找我们身边的黄金分割
3．黄金分割的魅力
古希腊巴台农神庙
巴黎圣母院
联合国总部大厦
黄金分割，尤其宽与长的比为黄金比的矩形，在 古典及现代建筑中都有广泛的应用．
活动六：寻找我们身边的黄金分割
４3
近年来，在研究黄金分割与人体关系时，
． 发现了人体结构中有14个“黄金点”. 黄
金
在人的面部，五官的分布越符合黄金分割，
，
AB AC
比例线段和黄金分割
比例线段和黄金分割一．比例线段：[基本概念]比例:如果两个数的比值与另两个数的比值相等，就说这四个数成比例。
比例的基本性质：如果a/b=c/d，那么ad=bc；如果ad=bc，且bd≠0，那么a/ b=c/d；如果a/b=c/d，那么(a+b)/b=(c+d)/d。
比例线段：1.两条线段的长度比叫做这两条线段的比。
2.在同一单位下，四条线段长度为a、b、c、d，其关系为a:b=c:d，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
3.一般的，如果三个数a,b,c满足比例式a:b=b:c,则b就叫做a,c的比例中项。
4.d为第四比例项。
若a:b=c:d(b.d≠0)，则有1）ad=bc2）b:a=d:c （a.c≠0）3）a:c=b:d ; c:a=d:b4）(a+b):b=(c+d):d5）a:(a+b)=c:(c+d) ( a+b≠0,c+d≠0)6）(a-b):(a+b)=(c-d):(c+d) ( a+b≠0,c+d≠0)二．黄金分割：介绍把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
其比值是5^/2-1/2或二分之根号五减一，取其前三位数字的近似值是0.618。
另一侧则是3-5^/2。
由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。
这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似，通过简单的计算就可以发现：1/0.618=1.618(1-0.618)/0.618=0.618这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。
让我们首先从一个数列开始，它的前面两个数是：1、1，后面的每个数都是它前面的两个数之和。
例如：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…..这个数列的名字叫做“斐波那契数列”，这些数被称为“斐波那契数”。
斐波那契数列与黄金分割有什么关系呢？经研究发现，相邻两个菲波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。
比例线段(设K法)与黄金分割
比例线段(设K 法)与黄金分割【知识要点】一、比例与成比例的线段1． 把b a 的值叫做线段b a ,的比，若dc b a =，则称线段d c b a ,,,成比例线段。
例如：（1）下列各线段的长度成比例的是( )．A ．2cm ，5cm ，6cm ，8cmB ．1cm ，2cm ，3cm ，4cmC ．3cm ，6cm ，7cm ，9cmD ．3cm ，6cm ，9cm ，18cm（2）边长为3cm 、4cm 、5cm 的三角形三边与一条线段成比例，则这条线段为____cm（3）已知四条线段a 、b 、c 、d 的长度，试判断它们是否是成比例线段？（1）cm 10,cm 5,cm 8,cm 16====d c b a ；（2）cm 10,m 6.0,cm 5.0,cm 8====d d c b a二、比例的三个性质比例的基本性质：bc ad d c b a dc b a =⇔=⇔=::，其中d c b a ,,,分别叫第一、第二、第三、第四比例项，d a ,称为外项，c b ,称为内项；外项的积等于内项的积。
另外两个重要的性质： 合比性质：db c b b a d c b a ±=±⇔= 等比性质：如果d c b a ==…=n m （b +d +…+n ≠0）,那么ba n db mc a =++++++ 三、归纳比例的解题思想与方法（多元变一元；方法：设K 法如第2题，关系式表示法如第3、4题） 例如：1、3x =6y ，则y ：x=________ ；如果， 那么 ＝_______． ⒉若2x =3y =4z ≠0，则zy x 32+=________ ； x+y+z x+y-z =________ ⒊已知2723=+b b a ，求b a 的值 ⒋已知4=yx ，求y y x -，y x x +的值⒌已知 3a=2b, 5b=4c,那么a:b:c=_______________⒍已知a ∶b ∶c = 4∶3∶2,且a +3b －3c =14.（1）求a ,b ,c （2）求4a －3b +c 的值.7、如果，，且x ＋y ＋z ＝12，求x ，y ，z 的值．482334+=+=+z y x5．若点P 分线段AB 得到较长线段是较短线段和整条线段的比例中项，则称点P 是线段AB 的黄金分割点；7．215,215--==较长线段较短线段整条线段较长线段叫做黄金比值。
22.1 比例线段第2课时比例性质和黄金分割 沪科版数学九年级上册教学课件
如0）果，ad那=么bc（aa,b,cc,d.都不等于 bd
一条线段有两个黄金分割点
黄金比：较长线段：原线段 = 5 1 : 1
2
随堂练习
5.已知四个数a，b，c，d成比例.
（1）若a=-3，b=9，c=2，求d；
9 d ，d =-6. -3 2
（2）若a=-3，b= 3 ，c=2，求d.
3 d ，d =- 2 3 .
-3 2
3
课堂小结
比例的基本 性质
如果 a c ，那么 ad=bc. bd
比例的基本 性质和黄金
分割
ac bd
在等式两边同时乘以bd,得ad=bc
由此可得到比例的基本性质：
如果 a c ，那么 ad=bc. bd
课程讲授
1 比例的基本性质 如果ad=bc,那么等式 a c 还成立吗？ bd
在等式中，四个数a,b,c,d可以为任意数，而在分式 中，分母不能为0.
由此可得到比例的基本性质：
如果ad=bc（a,b,c,d都不等于0），那么 a c . bd
课程讲授
1 比例的基本性质
例1 根据下列条件，求 a : b 的值：
（1） 4a=5b ；
a （2）7
b 8
.
解 （1）∵ 4a=5b，∴ a 5 ; b4
（2）∵
ab 78
，∴8a=7b，∴ a 7 b8
课程讲授
1 比例的基本性质
练一练：下面各项中的两个比，比值相等的是( C )
A.0.6∶0.2和14∶34 B.6∶10和8∶20 C.4∶3和8∶6 D.34∶35和4∶5
课程讲授
2 黄金分割
问题1：一个五角星如图所示，度量C到点A，B的距离, AC 与 BC 相等吗？ AB AC
初二下第7讲-比例线段、黄金分割
第7讲：相似形（一）专题一 比例线段一、知识梳理1、两条线段的比：同一长度单位下两条线段长度的比叫两条线段的比。
求线段的比例时要把两条线段化为 （注两条线段的比没有单位），并要注意其 ；成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，若 ，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段，如果a ∶b=c ∶d （或ac b =2），则b 叫做a 、c 的比例中项。
2、比例线段的性质：（1）比例的基本性质：如果 b a = d c ，那么 。
若b a = c b，即 __，则称ｂ是ａ,ｃ的 （2）比例的更比性质：如果d c b a =，那么d b c a =。
（3）比例的反比性质：如果d c b a =，那么cda b =。
（4）比例的合、分比性质：如果 b a = d c，那么 。
（5）、比例的等比性质：如果 b a = d c …=nm（b+d+…+n ≠0），那么 。
二、重难点高效突破线段的比与成比例线段 例1、 线段a=5cm,b=0.3m.则ba=____ 例2、 已知四条线段a ，b ，c ，d 的长度，试判断它们是否是成比例线段。
（1） a =8，b=4，c=2.5，d=5； （２）a=16，b=0.1，c=1.2 d=20；例3、已知1，5，5三个数，再添一个数，使之能与已知的三个数组成比例式，这个数应该是_____例4、AB 两地相距320km ，那么在比例尺1∶20,000,000的地图上，它们相距________cm.例5、小颖测得2m 高的标杆在太阳下的影长为1.2m ，同时又测得一棵树的影长为3.6m ，这棵树的高度为___________.例6.（1）已知;,3d d c b b a d c b a ++==和求 （2）如果成立吗？为什么？那么为常数）ddc b b a k kd c b a +=+==,(（3）已知线段a=2,b=3,c=7,d 是a 、b 、c 的第四比例项，则d=_________。
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比例线段(设K 法)与黄金分割
【知识要点】
一、比例与成比例的线段
1． 把b a 的值叫做线段b a ,的比，若d
c b a =，则称线段
d c b a ,,,成比例线段。
例如：
（1）下列各线段的长度成比例的是( )．
A ．2cm ，5cm ，6cm ，8cm
B ．1cm ，2cm ，3cm ，4cm
C ．3cm ，6cm ，7cm ，9cm
D ．3cm ，6cm ，9cm ，18cm
（2）边长为3cm 、4cm 、5cm 的三角形三边与一条线段成比例，则这条线段为____cm
（3）已知四条线段a 、b 、c 、d 的长度，试判断它们是否是成比例线段？
（1）cm 10,cm 5,cm 8,cm 16====d c b a ；
（2）cm 10,m 6.0,cm 5.0,cm 8====d d c b a
二、比例的三个性质
比例的基本性质：
bc ad d c b a d
c b a =⇔=⇔=::，其中
d c b a ,,,分别叫第一、第二、第三、第四比例项，d a ,称为外项，c b ,称为内项；外项的积等于内项的积。
另外两个重要的性质： 合比性质：d
b c b b a d c b a ±=±⇔= 等比性质：如果d c b a ==…=n m （b +d +…+n ≠0）,那么b
a n d
b m
c a =++++++ 三、归纳比例的解题思想与方法（多元变一元；方法：设K 法如第2题，关系式表示法如第3、4题） 例如：
1、3
x =6y ，则y ：x=________ ；如果， 那么 ＝_______． ⒉若2x =3y =4z ≠0，则z
y x 32+=________ ； x+y+z x+y-z =________ ⒊已知2723=+b b a ，求b a 的值 ⒋已知4=y
x ，求y y x -，y x x +的值
⒌已知 3a=2b, 5b=4c,那么a:b:c=_______________
⒍已知a ∶b ∶c = 4∶3∶2,且a +3b －3c =14.
（1）求a ,b ,c （2）求4a －3b +c 的值.
7、如果，
，且x ＋y ＋z ＝12，求x ，y ，z 的值．
482334+=+=+z y x
5．若点P 分线段AB 得到较长线段是较短线段和整条线段的比例中项，则称点P 是线段AB 的黄金分割点；
7．21
5,215--==较长线段较短线段整条线段较长线段叫做黄金比值。
【典型例题】
例1．下列各组中的四条线段成比例的是( ) A.a=2，b=3，c=2，d=3 B.a=4，b=6，c=5，d=10
C.a=2，b=5，c=23，d=15
D.a=2，b=3，c=4，d=1
例2. 已知线段a 、b 、c 、d 满足ab=cd ，把它改写成比例式，错误的是( )
A.a ∶d=c ∶b
B.a ∶b=c ∶d
C.d ∶a=b ∶c
D.a ∶c=d ∶b
例3. 若a=2,b=3,c=33,则a 、b 、c 的第四比例项d 为________
例4. 若ac=bd ，则下列各式一定成立的是( ) A.d c b a = B.c c
b d d a +=+ C.
c d
b a =22 D.d
a
cd ab =
例5. 已知d c
b a
=,则下列式子中正确的是（ ）
A. a ∶b=c 2∶d 2
B. a ∶d=c ∶b
C. a ∶b=（a+c ）∶（b+d ）
D. a ∶b=（a －d ）∶（b －d ）
例6．已知5:4:2::=c b a ，且632=+-a b a ，求c b a 23-+的值。
例9．（1）已知b
a a
b b a x +=+=+=
222，求x 的值
（2）已知524232x z z y y x -=-=-，求y x z y x -++2的值
【经典练习】
1．如果bc ad =，那么下列比例中错误的是（ ）
A 、
d b c a = B 、b a d c = C 、b d c a = D 、c
d a b = 2．若5:6:=y x ，则下列等式中，不正确的是（ ）
A 、
511=+y y x B 、51=-y y x C 、6=-y x x D 、5=-x y y
3．若2:1:::===d c c b b a ，则=d a :（ ）
A 、1:2
B 、1:4
C 、1:6
D 、1:8
4．若3:2:1::=c b a ，则c
b a
c b a +---的值为（ ） A 、-2 B 、2 C 、3 D 、-3
5．已知8
75c b a ==，且20=++c b a ，则=-+c b a 2（ ） A 、11 B 、12 C 、
314 D 、9
6．若4:3:2::=c b a ，且5=-+c b a ，则b a -的值是（ ）
A 、5
B 、-5
C 、20
D 、-20
7．若4
3x x =，则x 等于（ ） A 、12 B 、32 C 、-32 D 、32±
8．已知P 是线段AB 的黄金分割点，且15-=AP ，则AB 的长为（ ）
A 、2
B 、15+
C 、2或15+
D 、以上都不对
9．已知3
5=y x ，则=-+)(:)(y x y x
10．如果
32=b a ，且3,2≠≠b a ，那么=-++-51b a b a
11．已知a b a 3)(7=-，则=b a
12．如果
2===c z b y a x ，那么=+-+-c b a z y x 3232
13．若65432+==+c b a ,且2a －b+3c=21.试求a ∶b ∶c.。