浙教版初中数学九年级比例线段及黄金分割(基础) 知识讲解
黄金分割知识点九年级
黄金分割知识点九年级黄金分割是数学中的一个重要概念，也是艺术和设计领域经常运用的原则。
它指的是一种特殊的比例关系，被广泛应用于建筑、绘画、音乐、摄影等领域中。
下面将介绍黄金分割的定义、特点以及其在不同领域中的应用。
一、黄金分割的定义黄金分割，又称黄金比例，是指一条线段分成两部分，使整体与较长部分之间的比例等于较长部分与较短部分之间的比例。
用公式表示为a/b=(a+b)/a=φ（phi），其中a代表整体长度，b代表较长部分的长度，φ为黄金分割比例，约等于1.618。
二、黄金分割的特点黄金分割具有以下几个特点：1. 对称美：黄金分割产生的两部分线段，在视觉上具有对称和谐的美感，被认为是最美的比例关系。
2. 延展性：黄金比例可以无限延展，即将一个黄金长方形的边界扩大，仍然能保持黄金比例。
3. 无限递归性：黄金分割能够无限递归，即把一个矩形划分成一个正方形和一个新的矩形，这个新的矩形与原矩形的比例仍然是黄金比例。
4. 出现频率高：黄金分割在自然界中出现频率较高，例如大部分花朵的花瓣数目和位置、鱼和动物的体长比例等都符合黄金分割比例。
三、黄金分割在不同领域的应用1. 建筑设计：许多著名的建筑物和古代宫殿都应用了黄金分割原理。
例如，希腊神庙和埃及金字塔的长宽比例大都接近黄金比例，这使得它们在视觉上更加和谐美观。
2. 绘画与雕塑：众多艺术作品中也运用了黄金分割的比例关系。
画家和雕塑家常常使用黄金分割点来布局画面，这样能够吸引观众视线，使画面更加有层次感。
3. 摄影和设计：摄影师和设计师在构图时经常使用黄金分割点和黄金分割线来达到更好的视觉效果。
黄金分割的运用可以使照片或设计更加吸引人，给人以美的享受。
4. 音乐：黄金分割原则也应用于音乐创作中。
作曲家可以根据黄金比例来安排乐曲的节奏、曲调和结构，以达到更好的和谐效果。
5. 网页设计和平面设计：在网页和平面设计领域中，黄金分割被广泛应用于布局、按钮位置、文字大小等方面，以提升用户体验和视觉效果。
浙教版数学九年级上册4.1《比例线段》教案1
浙教版数学九年级上册4.1《比例线段》教案1一. 教材分析《比例线段》是浙教版数学九年级上册第四章的第一节内容。
本节主要让学生了解比例线段的定义、性质和应用，培养学生运用比例线段解决实际问题的能力。
教材通过引入实际问题，引导学生探索比例线段的性质，进而得出比例线段的定义，并通过例题和练习题使学生掌握比例线段的应用。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对线段、射线、直线等概念有了一定的了解。
但是，对于比例线段这一概念，学生可能较为陌生。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生通过实际问题探索比例线段的性质，从而理解比例线段的定义。
三. 教学目标1.理解比例线段的定义及其性质。
2.学会运用比例线段解决实际问题。
3.培养学生的几何思维能力和解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：比例线段的定义及其性质。
2.难点：运用比例线段解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生探索比例线段的性质。
2.启发式教学法：在教学过程中，教师引导学生思考、讨论，从而培养学生的问题解决能力。
3.实践性教学法：通过例题和练习题，使学生掌握比例线段的运用。
六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、投影仪、PPT等。
2.学具：学生每人一份比例线段的相关练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入实际问题，如“在一条直线上，两点间的距离是否相等？”引发学生的思考，进而引导学生探索比例线段的性质。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示比例线段的定义及其性质，让学生初步了解比例线段的概念。
3.操练（10分钟）教师提出一些有关比例线段的问题，让学生分组讨论、解答。
例如：“已知线段AB和线段BC的长度比为2:3，求线段AC的长度。
”通过解答这些问题，学生能够更好地理解比例线段的性质。
4.巩固（10分钟）教师给出一些练习题，让学生独立完成。
练习题包括判断题、选择题和解答题，题型多样，难度适中。
初中数学比例线段黄金分割
例 6：若 ABC 三边 a : b : c 6 : 4 : 3 ，三边上的高分别为 h1、h2、h3 ，求 h1 : h2 : h3 的值。
自我检测
一、填空题
1.(1)若 5x-7y = 0,则 x =______. (2)已知 x y 3 , 那么 x =______.
y
y7
y
(3)若
x 2
如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
三角形一边的平行线判定定理的推论: 如果一条直线截 三角形的两边的延长线 (这两边的延长线在第三边的 同侧)所得的 对应线段成比例，那么 这条直
线平行于三角形的 第三边。 平行线分线段成比例定理 ： 两条直线被三条 平行的直线所截，截得的对应线段成 比例。 推论： 两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等。
；
7. 若 x：y：z=2：7：5，且 x-2y+3z=6，则 x=
，y=
，z=
；
8.设x3 =y5 =z7 ，则x+yy =__
_，3yy+-32zz =__
__.
3
9.如图是两个相似四边形,已知数据如图所示,则 x=_____,y=_____,α =______.
5 1200 4
300
6
1300
, MN=
PQ, PQ=
MN.
4．如图，C 是线段 AB 的中点，D 在 BC 上，且 AB=24cm，
BD=5cm, 则 AC∶CB=
；AC∶AB=
；A
C
DB
BC∶ BD=
；CD∶AB=
；AD∶CD=
九年级黄金分割知识点课程
九年级黄金分割知识点课程黄金分割是数学中的一个重要概念，也是美学中常见的一种比例关系。
在九年级的数学课程中，学生将接触到这一知识点，并深入了解其应用。
本文将围绕九年级黄金分割知识点课程展开讲述，包括黄金分割的定义、性质、推导方法以及一些实际应用。
一、黄金分割的定义黄金分割是指一条线段分成两部分，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值。
用数学符号表示为a/b=(a+b)/a=Φ （phi），其中Φ为黄金分割常数，约等于1.618。
二、黄金分割的性质1. 黄金分割点对称性：在一条线段上，黄金分割点将这条线段分成两部分，这两部分的比值等于整体线段与较大部分的比值。
2. 黄金分割点的延伸：无论是将整体线段延伸至左侧还是右侧的与原线段等比例的线段，其分割点仍然是黄金分割点。
3. 黄金矩形性质：将一个正方形的一边延伸至黄金分割点，形成的长方形即为黄金矩形。
黄金矩形具有自相似性和美学上的和谐感。
三、黄金分割的推导方法黄金分割的推导方法主要有几何法和代数法两种。
1. 几何法：通过将线段分割，得到与之相似的子线段，并运用相似三角形的性质，可以推导出黄金分割比例。
2. 代数法：假设整体线段为a，较小部分的长度为b，根据黄金分割的定义可得到a/b = (a+b)/a，解方程可得黄金分割比例。
四、黄金分割的实际应用黄金分割不仅在数学中有重要意义，也在自然界和人类创作中有广泛应用。
1. 建筑设计：许多古代和现代的建筑作品都运用了黄金分割比例，如古代希腊建筑中的帕特农神庙和现代的肯尼迪图书馆。
2. 绘画和摄影：黄金分割比例用于画面的构图和角度的选择，可以使画面更加美观和和谐。
3. 音乐和舞蹈：黄金分割比例用于音乐中的乐谱结构和舞蹈中的动作设计，可以营造出一种流畅而和谐的感觉。
4. 金融市场：黄金分割被应用于金融领域的技术分析中，用于预测价格波动和市场趋势。
总结：九年级的黄金分割知识点课程涵盖了黄金分割的定义、性质、推导方法和实际应用。
浙教版初中数学九年级比例线段及黄金分割(提高) 知识讲解
相似形和比例线段（提高） 知识讲解学习目标】1、了解两条线段的比和比例线段的概念并能根据条件写出比例线段；2、会运用比例线段解决简单的实际问题；3、掌握黄金分割的定义并能确定一条线段的黄金分割点.【要点梳理】要点一、比例线段【： 394495 图形的相似 预备知识】1．成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．2．比例的性质：（1）基本性质：如果a cb d=，那么ad bc =. （2）合比性质：如果++==.a c a b c d b d b d，那么 如果--==.a c a b c d b d b d ，那么 要点诠释：（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比；（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数．要点二、黄金分割1.定义： 点C 把线段AB 分割成AC 和CB 两段,如果AC BC AB AC=,那么线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.要点诠释：12AC AB =≈0.618AB(12叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点：图4－7如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD =21AB . （2）连接AD ，在DA 上截取DE =DB .（3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点.要点诠释：一条线段的黄金分割点有两个.【典型例题】类型一、比例线段1. （2016春•上海校级月考）已知，（1）求的值；（2）如果，求x的值．【思路点拨】（1）令===k，则x=2k，y=3k，z=4k，再代入代数式进行计算即可；（2）把x=2k，y=3k，z=4k代入=y﹣z，求出k的值即可．【答案与解析】解：（1）∵==，∴令===k，则x=2k，y=3k，z=4k，∴===﹣1；（2）∵x=2k，y=3k，z=4k，=y﹣z，∴x+3=（y﹣z）2，即2k+3=（3k﹣4k）2，解得k=﹣1或k=3(舍去)，∴x=﹣2．【总结升华】本题考查的是比例的性质，根据题意得出x=2k，y=3k，z=4k是解答此题的关键．举一反三：【：394495 图形的相似预备知识练习2】【变式】（2015春•扶沟县期中）若=，则=（）.A. B. C. D. 无法确定【答案】C.类型二、黄金分割3. 宽与长之比为:12的矩形叫黄金矩形.如图：如果在一个黄金矩形里面画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论.【答案与解析】∵四边形ABEF 是正方形，∴AB=DC=AF,又∵AB AD =∴AF AD =， 即点F 是AD 的黄金分割点，∴12AF AD =,即32DF AD =∴12DF AF =，即12DF DC =， ∴矩形CDEF 是黄金矩形.【总结升华】根据黄金矩形的定义去计算宽与长之比即可.4.（1）已知线段AB=10cm ，C 是AB 的一个黄金分割点，且AC ＜BC ，求AC 长；（2）已知线段a 、b 、c ，a=4cm ，b=9cm ，线段c 是线段a 和b 的比例中项．求线段c 的长．【思路点拨】（1）根据黄金分割点的定义，知AC 是较短线段，由黄金分割的公式：较短的线段=原线段的倍，可得AC=10×，计算即可；（2）根据线段比例中项的概念，可得a ：c=c ：b ，可得c 2=ab=36，故c 的值可求．注意线段不能为负．．【答案与解析】解：（1）∵线段AB=10cm ，C 是AB 的一个黄金分割点，且AC ＜BC ，∴AC=10×=15﹣5（cm ）；（2）∵线段c 是线段a 和b 的比例中项，a=4cm ，b=9cm ，∴c 2=ab=36，解得c=±6，又∵线段是正数，∴c=6cm．【总结升华】本题考查了黄金分割，应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的倍，较长的线段=原线段的倍．也考查了比例中项的概念．．举一反三：【变式】已知线段AB=1，C是线段AB的黄金分割点，则AC的长度为（）A. B. C. 或 D.以上都不对【答案】C.提示：∵线段AB=1，C是线段AB的黄金分割点，当AC＞BC，∴AC=AB=；当AC＜BC，∴BC=AB=，∴AC=AB﹣BC=1﹣=．。
浙教版数学九年级上册4.1《比例线段》说课稿3
浙教版数学九年级上册4.1《比例线段》说课稿3一. 教材分析《比例线段》是浙教版数学九年级上册第四章第一节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了比例的性质和线段的定义的基础上进行教学的。
本节课的主要内容是让学生理解比例线段的含义，掌握比例线段的性质，并能够运用比例线段解决实际问题。
教材通过生活中的实例引入比例线段的概念，接着引导学生探究比例线段的性质，最后通过练习题来巩固所学知识。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和探究能力，对于比例和线段的概念已经有了一定的了解。
但是，对于比例线段的性质和应用可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我将会注重引导学生通过观察、思考、探究来理解比例线段的性质，并能够运用比例线段解决实际问题。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生理解比例线段的含义，掌握比例线段的性质，并能够运用比例线段解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、探究等过程，培养学生的逻辑思维能力和探究能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和克服困难的意志。
四. 说教学重难点1.教学重点：比例线段的含义和性质。
2.教学难点：比例线段的运用和实际问题的解决。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学中，我将采用问题驱动法和小组合作法进行教学。
问题驱动法能够激发学生的思考和探究欲望，小组合作法则能够培养学生的团队合作意识。
此外，我还将利用多媒体课件和实物模型等教学手段，帮助学生更好地理解和掌握比例线段的知识。
六. 说教学过程1.导入：通过展示生活中的实例，引导学生观察和思考，引出比例线段的概念。
2.探究：让学生通过小组合作的方式，观察和分析比例线段的性质，引导学生得出结论。
3.巩固：通过练习题，让学生运用比例线段的性质解决实际问题，巩固所学知识。
4.拓展：引导学生思考比例线段在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
七. 说板书设计板书设计如下：1.定义：比例线段是指两个线段的比相等的线段。
比例线段(基础) 知识讲解
比例线段（基础） 知识讲解责编：常春芳【学习目标】1、了解相似的图形及相似多边形的概念及性质；2、了解两条线段的比和比例线段的概念并能根据条件写出比例线段；3、会运用比例线段解决简单的实际问题；4、掌握黄金分割的定义并能确定一条线段的黄金分割点.【要点梳理】要点一、相似形1.相似的图形在数学上，我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形.要点诠释：(1) 相似的图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等形.2.相似多边形一般地，两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数. 要点诠释：相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．要点二、比例线段1. 两条线段的比：用同一个长度单位去度量两条线段a ，b ，得到它们的长度，我们把这两条线段长度的比叫做这两条线段的比.记作a b或a : b . 2．成比例线段：在四条线段,,,a b c d 中，如果其中两条线段a ，b 的比等于另外两条线段c ，d 的比，即(::)a c a b c d b d==或，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．这时，线段,,,a b c d 叫做组成比例的项，线段,a d 叫做比例外项，线段,b c 叫做比例内项. 如果作为比例内项的两条线段是相等的，即,,a b c 之间有::a b b c =，那么线段b 叫做线段,a c 的比例中项.3．比例的性质：（1）基本性质 如果a c b d=，那么ad bc =（,b d ≠0）. 反之也成立，即 如果ad bc =，那么a cb d =（,b d ≠0）. （2）合比性质 如果++==.ac a b cd b d b d，那么（,b d ≠0）（3）等比性质如果1212=nnaa ab b b==…，12++nb b b且…≠0，那么121121++++++nna a a ab b b b=…….要点诠释：（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比；（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数．要点三、黄金分割1.定义：把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项这样的线段分割叫做黄金分割，分割点叫做这条线段的黄金分割点，比值512-叫做黄金数. 要点诠释：512-≈0.618.2.作一条线段的黄金分割点：图4－7如图，已知线段AB，按照如下方法作图：（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=21AB.（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.要点诠释：一条线段的黄金分割点有两个.【典型例题】类型一、相似形1. 指出下列各组图中，哪些组肯定是相似形__________：(1)两个腰长不等的等腰三角形(2)两个半径不等的圆(3)两个面积不等的矩形(4)两个边长不等的正方形【思路点拨】要注意：（1）相似的图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；（2）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．【答案】(2) (4).【解析】(1)等腰三角形的形状不一定相同，因此两个腰长不等的等腰三角形不一定相似；(3)中面积不等的两个矩形，虽然它们的边数相同，对应角相等，但对应边的比不一定相等，所以无法确定它们一定相似；(2)(4)中两个半径不等的圆与两个边长不等的正方形都是形状完全相同的图形，是相似形.【总结升华】识别两个图形是否是相似形，可以从形状来识别，对于多边形，也可以用“对应角相等，对应边的比相等”来识别.举一反三：【变式】如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍，并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似的吗？【答案】这两个图形是相似的，这两个图形形状是一样，对应线段的比都是1:2，虽然它们的摆放方法、位置不一样，但这并不会影响到它们相似性.类型二、比例线段2. 下列四组线段中，成比例线段的有( )A．3cm、4cm、5cm、6cm B．4cm、8cm、3cm、5cmC．5cm、15cm、2cm、6cm D．8cm、4cm、1cm、3cm【答案】C.【解析】四个选项中只有，故选C.【总结升华】根据成比例线段的定义.举一反三：【变式】判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：(1)a=4，b=6，c=5，d=10；(2)a=2，b=，c=，d=．【答案】(1) ∵，，∴，∴线段a、b、c、d不是成比例线段．(2) ∵ ，，∴ ，∴ 线段a 、b 、c 、d 是成比例线段．3. （2014•甘肃模拟）若==（abc ≠0），求的值．【思路点拨】先设===k ，可得a=2k ，b=3k ，c=5k ，再把a 、b 、c 的值都代入所求式子计算即可．【答案与解析】解：设===k ，则a=2k ，b=3k ，c=5k ， 所以===．【总结升华】解此类题学生容易误认为设k 后，未知数越多更不易解出，实际上分子、分母能产生公因式约去．类型三、黄金分割4.（2015•慈溪市一模）如图，扇子的圆心角为x°，余下扇形的圆心角为y°，x 与y 的比通常按黄金比来设计，这样的扇子外形比较美观，若黄金比取0.6，则x 为（ ）.A. 144°B. 135°C. 136°D. 108°【答案】B.【解析】由扇子的圆心角为x °，余下扇形的圆心角为y °，黄金比为0.6，根据题意得：x ：y=0.6=3：5，又∵x+y=360，则x=360×=135【总结升华】此题考查了黄金分割，以及比例的性质，解题的关键是根据题意列出x 与y 的关系式.5. 如图所示，矩形ABCD 是黄金矩形（即BC AB ＝215 ≈0.618），如果在其内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE ，试问矩形ABFE 是否也是黄金矩形？【思路点拨】（1）矩形的宽与长之比值为215-，则这种矩形叫做黄金矩形． （2）要说明ABFE 是不是黄金矩形只要证明AB AE ＝215-即可． 【答案与解析】矩形ABFE 是黄金矩形．理由如下：因为AB AE ＝ABED AB AD AB ED AD -=- ＝21512151)15)(15()15(21152-=-+=-+-+=-- 所以矩形ABFE 也是黄金矩形．【总结升华】判断四边形是否是黄金矩形，要根据实际条件灵活选择判断方法. 举一反三：【变式】以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图所示，（1）求AM ，DM 的长，（2）试说明AM 2=AD ·DM（3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？【答案】（1）∵正方形ABCD 的边长是2，P 是AB 中点，∴AD ＝AB ＝2，AP ＝1，∠BAD ＝90°，∴PD ＝522=+AD AP 。
九年级数学黄金分割知识点
黄金分割（Golden Ratio）是指一个数与其倒数之和等于1的比例关系，即a与1/a的比值等于1、黄金分割在数学、艺术和自然科学中都有广泛应用。
下面是关于黄金分割的九年级数学知识点的详细介绍。
1.黄金分割的定义：黄金分割是指一个数与其倒数之和等于1的比例关系。
用数学符号表示为a+1/a=1、解这个方程可以得到黄金分割的值，约为1.6182.黄金分割的性质：-黄金分割具有对称性：即a+1/a=1，所以a的倒数也是它的黄金分割点。
-黄金分割点的平方等于黄金分割点加1，即a²=a+1-黄金分割点与1的比值等于黄金分割点减1与1的比值，即a/1=(a-1)/a。
-黄金分割点与1的差与黄金分割点的比值等于1与黄金分割点的比值，即a-1/a=1/a。
3.黄金分割的几何应用：-黄金矩形：在一个长宽比例为黄金分割的矩形中，可以将矩形不断分割为一个正方形和一个长宽比例仍为黄金分割的矩形。
这种分割方式可以无限进行下去。
-黄金三角形：在一个等腰三角形中，底边与等腰边的比例为黄金分割。
黄金三角形有一些独特的几何性质，如旋转、平移和缩放等操作都能保持黄金三角形的形状。
4.黄金分割的代数应用：-黄金分割的计算：利用黄金分割的定义，可以解出黄金分割的值。
这可以通过求解二次方程a²-a-1=0来实现。
-黄金比例的性质：黄金分割可以满足一些特殊的性质，如将一条线段分割为黄金分割点后，两个线段的比值等于原线段与较短线段的比值，也等于较长线段与原线段的比值。
这个比例具有稳定性，无论线段的长度如何变化，比值都保持不变。
-黄金分割的近似值：黄金分割可以用连分数或迭代法来逼近其值。
连分数是一种无限循环小数的表示方法，可以得到黄金分割的连分数表示为1+1/(1+1/(1+1/(1+...)))。
5.黄金分割的艺术应用：-黄金比例在绘画和建筑艺术中被广泛应用。
很多伟大的艺术家和建筑师使用黄金分割来构图和设计。
黄金分割可以使作品更加和谐、对称和美观。
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比例线段及黄金分割（基础） 知识讲解
【学习目标】
1、了解两条线段的比和比例线段的概念并能根据条件写出比例线段；
2、会运用比例线段解决简单的实际问题；
3、掌握黄金分割的定义并能确定一条线段的黄金分割点.
【要点梳理】
要点一、比例线段
【： 394495 图形的相似 预备知识】
1．成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
2．比例的性质：
（1）基本性质：如果
a c
b d
=，那么ad bc =. （2）合比性质：如果++==.a c a b c d b d b d
，那么 如果--==.a c a b c d b d b d ，那么 要点诠释：
（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比；
（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；
（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数．
要点二、黄金分割
1.定义： 点C 把线段AB 分割成AC 和CB 两段,如果AC BC AB AC
=,那么线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.
要点诠释：
AC AB =≈叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点：
图4－7
如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：
（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD =
2
1AB . （2）连接AD ，在DA 上截取DE =DB .
（3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点.
要点诠释：
一条线段的黄金分割点有两个.
【典型例题】
类型一、比例线段
1. （2016•兰州模拟）若a ：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（ ）
A ．2a=3b
B ．3a=2b
C ．
D ．
【思路点拨】根据比例的性质，对选项一一分析，选择正确答案．
【答案】B ．
【解析】A 、2a=3b ⇒a ：b=3：2，故选项错误；
B 、3a=2b ⇒a ：b=2：3，故选项正确；
C 、=⇒b ：a=2：3，故选项错误；
D 、=⇒a ：b=3：2，故选项错误．
故选B ．
【总结升华】考查了比例的性质．在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积． 举一反三：
【变式】（2015•崇明县一模）已知=，那么下列等式中，不一定正确的是（ ）．
A ．2a=5b B.
a b 52= C. a+b=7 D.a b b 72
+= 【答案】C ．
2. 设432z y x ==，求2222232z
xy x z yz x --+-的值． 【思路点拨】由已知条件利用解方程的思想不能求出x ，y ，z 的值，因此用设参数法代入化简．
【答案与解析】设4
32z y x ==＝k 则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k 原式＝2222)4(322)2()4(433)2(2k k k k k k k k -⨯⨯-+⨯⨯-⨯＝222412k k --＝2
1 【总结升华】解此类题学生容易误认为设k 后，未知数越多更不易解出，实际上分子、分母能产生公因式约去．
类型二、黄金分割
3. 如图所示，矩形ABCD 是黄金矩形（即BC AB ＝2
15-≈0.618），如果在其内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE ，试问矩形ABFE 是否也是黄金矩形？
【思路点拨】（1）矩形的宽与长之比值为2
15-，则这种矩形叫做黄金矩形．
（2）要说明ABFE 是不是黄金矩形只要证明
AB AE ＝215-即可． 【答案与解析】矩形ABFE 是黄金矩形． 理由如下：因为AB AE ＝AB
ED AB AD AB ED AD -=- ＝2
1512151)15)(15()
15(21152
-=-+=-+-+=-- 所以矩形ABFE 也是黄金矩形．
【总结升华】判断四边形是否是黄金矩形，要根据实际条件灵活选择判断方法. 举一反三：
【变式】以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图所示，
（1）求AM ，DM 的长，
（2）试说明AM 2=AD ·DM
（3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？
【答案】（1）∵正方形ABCD 的边长是2，P 是AB 中点，
∴AD ＝AB ＝2，AP ＝1，∠BAD ＝90°，
∴PD ＝522=+AD AP 。
∵PF ＝PD ，
∴AF ＝15-
，在正方形ABCD 中，AM ＝AF ＝15-，MD ＝AD －AM ＝3－5
（2）由（1）得AD ×DM ＝2（3－5）＝6－25，
526)15(22-=-=AM
∴AM 2=AD ·DM ．
（3）如图中的M 点是线段AD 的黄金分割点．
4. （2015•慈溪市一模）如图，扇子的圆心角为x°，余下扇形的圆心角为y°，x 与y 的比通常按黄金比来设计，这样的扇子外形比较美观，若黄金比取0.6，则x 为（ ）.
A. 144°
B. 135°
C. 136°
D. 108°
【答案】B.
【解析】由扇子的圆心角为x °，余下扇形的圆心角为y °，黄金比为0.6，
根据题意得：x ：y=0.6=3：5，
又∵x+y=360，
则x=360×=135
【总结升华】此题考查了黄金分割，以及比例的性质，解题的关键是根据题意列出x 与y 的关系式.。