【精品讲义】二次函数一般式、顶点式、交点式

二次函数一般式、顶点式、交点式

这节课我们学什么

1. 会用待定系数法求二次函数的解析式；

2. 会平移二次函数2(0)y ax a =≠的图象得到二次函数2()y a x h k =-+的图象； 了解特殊与一般相互联系和转化的思想；

3. 根据交点求解解析式．

知识点梳理

1、顶点式：()2y a x h k =-+的图像与性质

2、交点式：12()()y a x x x x =--的图像与性质

1x 、2x 分别是二次函数与x 轴的两个交点坐标，如果二次函数与x 轴的交点坐标已知，则我们可以设解析式为12()()y a x x x x =--，然后再根据条件求出a 即可；

3、一般式2y ax bx c =++的性质

对于一般式：2(0)y ax bx c a =++≠，我们怎么能知道二次函数的对称轴以及顶点坐标呢？

将一般式配方成顶点式：

2y ax bx c =++=2

()b c a x x a a ++=22222()44b b b c a x x a a a a ++-+ =222(())()22b b c b a x x a a a a

+++- =222424b b ac a x a a -⎛⎫+= ⎪⎝

⎭ 所以，任意二次函数，其对称轴方程为：直线2b x a =-；顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭

， 1． 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为直线2b x a

=-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a

>-时，y 随x 的增大而增大； 2． 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为直线2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭

，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a

>-时，y 随x 的增大而减小；

典型例题分析

1、 二次函数一般式；

例1、抛物线1422-+-=x x y 的对称轴是直线 ．

【答案：1x =】

例2、抛物线2

243y x x =-+的顶点坐标是 ．

【答案：(1,1)】

例3、二次函数223y x x =--，当0y <时，自变量x 的取值范围是 ． 【答案：根据一般式，画出图像，求出与x 轴的两个交点，位于x 轴下方的部分就是0y <；∴13x -<<】

例4、已知二次函数2

y ax bx c =++的图象如图，则a 、b 、c 的正负性分别是 ．

【答案：0a <；0b <；0c >】

例5、如果)21y A ，（-，)12y B ，（-为二次函数2

41y x x =-+的图像上的两点，试判断1y 与2y 的大小为 ．

【答案：21y y <】

例6、若二次函数()32122--++=m m x m y 的图象经过原点，则m 的值为 ．

【答案：3】

例7、二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，那么2

,4,2,abc b ac a b a b c -+++值为正数的有 个．

【答案：2】

例8、已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(2,0)-、1(,0)x 且112x <<，与y 轴的正半轴的交点在(0,2)的下方．下列结论：

①420a b c -+=；②0a b c -+>；③0a b c ++<；④0a b <<．

其中正确结论的是 ．

【答案：①正确，将2x =-即可；②正确，将1x =-代入得：0a b c -+>； ③错误，将1x =代入得：0a b c ++>；

④正确，将2x =-代入得：420a b c -+=，将1x =代入得：0a b c ++>，所以(42)()0a b c a b c -+-++<，整理得：330a b -<】

例9、已知二次函数2

231y x x =++的顶点是A ，与x 轴的两个交点为B 、C （B 点在C 点的左侧）与y 轴的交点为D ，求四边形ABCD 的面积．

【答案：31(,)48A --；(1,0)B -；1(,0)2C -；(0,1)D ；面积为932

】

2、 二次函数顶点式；

例10、把二次函数22

1x y =的图像向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得图像的解析式为： ． 【答案：21(1)32y x =

++或21722

y x x =++】

例11、如果抛物线23y x mx m =-++的顶点在x 轴上，那么m = ．

【答案：6m =或2m =-】

例12、抛物线21y ax =-上有一点(2,2)P ，平移该抛物线，使其顶点落在点(1,1)A (1,1)A 处，这时，点P 落在点Q 处，则点Q 的坐标为 ．

【答案：(3,4)Q ，原函数顶点坐标是(0,1)-】

例13、将函数2287y x x =-+-写成()2

y a x m k =++的形式为_______________． 【答案：22(2)1y x =--+】

例14、已知函数()422-++=m m

x m y 是关于x 的二次函数，求：

（1）满足条件的m 的值；

（2）m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，当x 为何值时，y 随x 的增

大而增大；

（3）m 为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当x 为何值时，y 随x 的增大

而减小？

【答案：（1）3m =-或2m =；

（2）2m =，(0,0)；当0x =时，y 有最小值为0，当0x >，y 随x 的增大而增大（3）3m =-，(0,0)；当0x =时，y 有最大值为0，当0x >，y 随x 的增大而减小】