二次函数—配方法
二次函数配方法
——配方法
河南省济源市实验中学 田爱平
学习目标
1 使学生掌握通过配方确定抛物线的开口方 向，对称轴，顶点坐标及最值
2 理解二次函数 y ax2 bx c 的性质
3 在实际应用中体会二次函数作为一种数学 模型的作用，会利用二次函数的性质求实 际问题中的最大值或最小值
1 说出二次函数 y 4(x 2)2 1 图象的 开口方向，对称轴，顶点坐标，增减 性
2 它是由y=-4x2怎样平移得到的
1的开不口画方图向象，，对直称接轴说，出顶点y 坐 12标x2，增2x减 3性
2 不画图象，直接说出 y 2x2 4x 1
的开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性
函数y=ax²+bx+c的顶点式
一般地,对于二次函数y=ax²+bx+c,我们可以利用配方法 推导出它的对称轴和顶点坐标.
2a
4a
当x b 时,最大值为 4ac b2
2a
4a
1 求下列抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴， 增减性，最值
（1） y x2 2x 2 （2） y 2x2 8x （3） y 2x2 4x 8
2 抛物线如何 y 2x2 4x 5 平移得到 y 2x2
某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出 售，一天可售出约100件，该店想通过降低售价、增 加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现 这种商品单价每降低1元，其销售量可增加约10件。
1 请表示出商品降价x元与利润y元之间的关系？
2 将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最 大？最大利润是多少？
顶点坐标
b 2a
,
4ac 4a
b2
b 2a
求二次函数解析式的四种方法详解
求二次函数解析式的四种方法详解二次函数是一种常见的函数形式，其解析式可以通过四种方法求得。
下面将详细介绍这四种方法。
方法一：配方法求解二次函数解析式配方法是一种常用的求解二次函数解析式的方法。
对于形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，我们可以通过配方法将其转化为$(px+q)^2$形式，然后利用完全平方公式求解。
1. 将二次项与常数项系数乘以2，即将原函数表示为$f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c$；2. 将中间项$\frac{b}{a}x$除以2，并在括号外面加上一个平方项和一个负号，即表示为$f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x +(\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c$；3. 将括号内部的三项利用完全平方公式进行转化，即表示为$f(x) = a((x+\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c$；4. 化简后得到$f(x) = a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$。
其中，$(x+\frac{b}{2a})^2$是一个完全平方项，可以展开得到$x^2 + bx + \frac{b^2}{4a^2}$。
所以上述表达式可以进一步简化为：$f(x) = ax^2 + bx + c = a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$这就是二次函数的配方法解析式。
方法二：因式分解法求解二次函数解析式对于形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，我们可以使用因式分解法对其解析式进行求解。
1.如果二次函数可以因式分解为$(x-x_1)(x-x_2)$的形式，其中$x_1$和$x_2$是函数的根，则此二次函数的解析式形式为$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$；2.将一般形式的二次函数进行因式分解，即将二次项系数a与常数项c进行合适的分解，得到$(x-x_1)(x-x_2)$的形式。
配方法二次函数
配方法二次函数嘿，朋友们！今天咱来聊聊配方法二次函数这个神奇的玩意儿！你说这二次函数啊，就像是一个有点调皮的小精灵，得用对方法才能把它给驯服咯。
咱先来说说啥是二次函数。
就好比你去果园摘果子，果子的高度和你走的距离之间就可能存在着二次函数的关系呢。
它的一般式是y=ax²+bx+c，这里面的 a、b、c 就像是小精灵的各种小脾气。
那配方法又是咋回事呢？这就像是给小精灵穿上一件合适的衣服，让它变得乖乖的。
咱通过一些巧妙的运算，把一般式变成顶点式y=a(x-h)²+k。
你看，这不就把小精灵的脾气摸得透透的啦！比如说，给你一个二次函数 y=x²+2x+3，咱怎么用配方法呢？嘿，别着急，跟着我一步步来。
先把 x²+2x 这部分看成一个整体，就像是给它们俩绑在了一起。
然后呢，在里面加上一个 1，为了保持平衡，还得再减去一个 1 呀。
这样就变成了 y=(x²+2x+1)+2 啦，再一化简，可不就成了 y=(x+1)²+2 嘛！你瞧，这小精灵是不是一下子就被我们给搞定啦！配方法有啥用呢？那用处可大啦！就好比你知道了小精灵的脾气，就能预测它下一步会干啥。
你能通过配方法找到二次函数的顶点坐标，知道它的对称轴，还能清楚它的最值呢！这多厉害呀，就像你有了一双能看透小精灵心思的眼睛。
咱再举个例子呗，y=2x²-4x+1。
哎呀，这次好像有点复杂呢，但咱不怕呀！还是按照老办法，先把2x²-4x 这部分处理一下，给它加上2，再减去 2。
最后变成 y=2(x²-2x+1)-1，再化简就是 y=2(x-1)²-1 啦！是不是很神奇呀？朋友们，配方法二次函数就像是一把打开数学宝藏的钥匙呀！只要你掌握了它，就能在数学的世界里畅游无阻啦！别觉得它难，多试试，多练练，你肯定能行的！就像你刚开始学走路的时候，不也跌跌撞撞的嘛，但现在不也走得稳稳当当的啦！相信自己，你一定能把这个调皮的小精灵给驯服得服服帖帖的！加油哦！。
二次函数的配方法
二次函数的配方法二次函数也被称为二次方程，是一个常见的函数类型，在数学中有重要的应用。
二次函数的通用形式可以表示为y = ax^2 + bx + c。
其中，a、b和c是实数常数，a不等于零。
配方法是一种用于求解二次方程的工具，它可以将一个二次方程转化成一个可以因式分解的形式。
通过配方法，我们可以找到二次方程的根。
下面将详细介绍二次函数的配方法。
步骤一：确定二次项系数a和常数项c在配方法中，我们需要确定二次项系数a和常数项c的值。
在已知二次函数的形式y = ax^2 + bx + c时，a和c的值可以直接读取出来。
例如，对于二次函数y=2x^2+3x+1，其中a=2，c=1步骤二：计算配方项配方法的关键在于计算配方项，配方项用于将二次项系数a转化成一个完全平方的形式。
配方项可以通过以下公式计算得到：配方项=(一次项系数的一半)^2一次项系数是指二次项系数b的一半。
例如，如果b=3，则一次项系数为1.5例如，在二次函数y=2x^2+3x+1中，一次项系数为1.5，那么配方项为1.5^2=2.25步骤三：将配方项加入二次函数将计算得到的配方项加入二次函数中，形成一个新的表达式。
例如，在二次函数y=2x^2+3x+1中，配方项为2.25、将其加入二次函数得到新的表达式y=2x^2+3x+2.25步骤四：将新的二次函数转化成完全平方形式通过将新的二次函数转化成一个完全平方的形式，即(x+p)^2，其中p是一个实数常数。
为了将新的二次函数转化成完全平方形式，我们可以以配方项为线索。
将配方项开平方，得到一个实数。
例如，在新的二次函数y=2x^2+3x+2.25中，配方项为2.25、将它开平方得到1.5步骤五：完成配方法将新的二次函数转化成完全平方形式后，配方项的系数前面应该是1、所以我们需要将二次函数除以a的值，这将产生一个常数p。
例如，在新的二次函数y=2x^2+3x+2.25中，a的值为2、将二次函数除以2，得到y=(x+1.5)^2于是，我们成功地将二次函数转化成一个完全平方的形式。
二次函数配方法公式
二次函数配方法公式二次函数是代数学中最基本的二次多项式函数，具有通用的标准形式f(x) = ax² + bx + c，其中 a、b、c 是实数，且a ≠ 0。
二次函数在代数学中有着广泛的应用，特别是在物理学、经济学和工程学等领域中。
掌握二次函数的配方法公式，可以帮助我们快速求解二次函数的根、顶点等重要信息，进一步解决实际问题。
接下来，我将详细介绍二次函数的配方法公式及其应用。
配方法是指把二次函数f(x) = ax² + bx + c 转化为一个完全平方的形式，从而更方便地求解方程的根或者找到二次函数的顶点。
1.完全平方公式完全平方公式是指将一个一元二次方程转化为一个完全平方的形式。
给定一元二次方程ax² + bx + c = 0（其中a ≠ 0），我们可以通过配方法将其转化为(x + p)² + q = 0 的形式，其中 p、q 是实数。
具体步骤如下：步骤 1：将一元二次方程ax² + bx + c = 0 移项，得到ax² + bx= -c。
步骤2：为了使得左边的二次项构成一个完全平方，我们将方程第2项的系数b除以2，并加上平方项(b/2)²，同时在等式两边加上相同的值。
这样，方程左边就成了一个完全平方，得到了形如(x+p)²=q的方程。
步骤3：根据一元二次方程的性质，当且仅当左边的完全平方等于零时，方程才有解。
因此，我们可以根据一元二次方程的根的性质，求解方程。
2.求二次函数的顶点坐标二次函数的顶点坐标 (h, k) 可以通过配方法求解。
根据配方法公式，二次函数f(x) = ax² + bx + c 可以表示成完全平方的形式(x + p)² + q。
其中，二次函数 f(x) 的顶点坐标为 (h, k)，满足 h = -p，k = q。
具体步骤如下：步骤 1：将二次函数f(x) = ax² + bx + c 变形为完全平方的形式(x + p)² + q。
九年级数学《二次函数(配方法)》课件
上平移;当 <0时,向下平移)得到的.
21.2 二次函数
——配方法
1 说出二次函数 y 4(x 2)2 1 图象的 开口方向，对称轴，顶点坐标，增减 性
2 它是由y=-4x2怎样平移得到的
学习目标
1 使学生掌握通过配方确定抛物线的开口方 向，对称轴，顶点坐标及最值
2 理解二次函数 y ax2 bx c 的性质
自主学习，b2
2a
4a
1的开不口画方图向象，，对直称接轴说，出顶点y 坐12标x2，增2x减 3性
2 不画图象，直接说出 y 2x2 4x 1
的开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性
1 求下列抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴， 增减性，最值
（1） y x2 2x 2 （2） y 2x2 8x （3） y 2x2 4x 8
y ax2 bx c
a x2 b x c a
a
x2
b a
x
b 2a
2
b 2a
2
c
a
x
b 2a
2
b2 4a2
c
a x
b
2
4ac
b2
.
2a 4a
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
抛物线
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
顶点坐标
b 2a
,
4ac 4a
b2
对称轴
直线x b 2a
开口方向 增减性
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
最值
当x b 时,最小值为4ac b2
配方法二次函数
配方法二次函数二次函数是一种重要的数学函数形式，具有特定的曲线特征。
配方法是一种常用的求解二次函数的方法。
在本文中，我们将探讨配方法的工作原理、使用场景以及具体的求解步骤。
1. 配方法简介配方法，也称作配方法，是一种用于解二次方程的方法。
它基于二次函数的形式，通过通过配方和求根公式的使用，将二次方程化简为一次方程或其他简单的数学表达式，从而求解出变量的值。
2. 配方法的工作原理二次函数的一般形式为：f(x)=ax2+bx+c，其中a、b和c是已知的常数，x 是未知变量。
当我们使用配方法求解二次方程时，我们要通过一系列的代数操作，将二次方程转化为一个易于求解的形式。
配方法的主要步骤如下： - 将二次函数f(x)写成完全平方的形式，即将x2的系数a提取出来，得到$f(x) = a(x^2 + \\frac{b}{a}x + \\frac{c}{a})$。
- 在括号内完成平方操作，即找到一个常数d，使得$(x + \\frac{b}{2a})^2 = x^2 + \\frac{b}{a}x + \\frac{c}{a}$。
- 将d代入括号中，即得到$f(x) = a(x + \\frac{b}{2a})^2 +\\frac{c}{a} - \\frac{b^2}{4a}$。
- 对于x的平方项，我们可以使用开方法将其转化为一次项。
解方程$(x + \\frac{b}{2a})^2 = \\frac{c}{a} - \\frac{b^2}{4a}$，得到$x + \\frac{b}{2a} = \\pm\\sqrt{\\frac{c}{a} - \\frac{b^2}{4a}}$。
- 最后，通过求解一次方程$x + \\frac{b}{2a} = \\pm\\sqrt{\\frac{c}{a} - \\frac{b^2}{4a}} -\\frac{b}{2a}$，我们可以得到二次方程的解。
3. 配方法的使用场景配方法主要用于解决二次方程的问题。
二次函数 配方法
向下 直线x=h （h，k） 当x=h时,最大值为k.
当x>h时,y随着x的增大而减小. 当x＜h时, y随着x的增大而增大.
1 ．不画图象，你能直接说出 y ３x －６x＋５ 的开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性吗？
2
２．我们知道，像 容易确定抛物线的顶点为（h,k）,二次函数 也能化成这样的形式吗？ y ３x 2－６x＋５
二次函数y=ax²+bx+c的图象及性质
——配方法
1 可由抛物线 y 4 x １.抛物线 y 4( x＋2) － 先向 平移 个单位，再向 平 移 个单位得到；其开口方向向 ； 对称轴是 ；顶点坐标为 ； 当x 时函数y随x的增大而增大； 当x 时函数y随x的增大而减少； 当x 时函数y的值最 ，最 为 ．
１.化二次函数y=3x2-6x+5为顶点式.
２.求下列抛物线的开口方向，顶点坐标， 对称轴，增减性，最值 2 2 （1） y x 2x 2 （2） y －2x 8x
1 2 2 y x 2 x 3 （3） （４） y 3x －2 x 1 2
３.抛物线 y 2 x 4 x 5 如何平移得到
2
2
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
1.位置与开口方向 2.顶点坐标与对称轴 ３.增减性与最值
根据图形填表： 抛物线 图象位置 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性
y=a(x-h)2+k(a>0)
由a、h和k的符号确定
y=a(x-h)2+k(a<0)
由a、h和k的符号确定
向上 直线x=h (h,k) 当x=h时,最小值为k.
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二次函数图像和性质（5）
学习目标：
1．配方法求二次函数一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标、对称轴； 2．熟记二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标公式； 3．会画二次函数一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象．
学习重点：配方法或公式法求二次函数一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标、对称轴； 学习难点：配方法求二次函数一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标、对称轴； 学习过程： 一、复习引入
1、()k h x a y +-=2
的图像和性质填表：
2.抛物线()1222
++=x y 的开口向 ，对称轴是 ；顶点坐标是 ，
当x = 时，y 有最 值是 ；无论x 取任何实数，y 的取值范围是 . 是由抛物线2
2x y =先向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到的。
二、自主探究
探究一：配方法求顶点坐标、对称轴
（1）问题：你能直接说出函数222
++=x x y 的图像的对称轴和顶点坐标吗？ （2）你有办法解决问题①吗？
222++=x x y
222++=x x y 的对称轴是 ，顶点坐标是 .
（3）像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用 的方法转化为 式，
从而直接得到它的图像性质.
（4）用配方法把下列二次函数化成顶点式：
①222+-=x x y ②232
++=x x y ③ y ＝12 x 2－6x ＋21
对称轴 对称轴 对称轴 顶点 顶点 顶点
④4322
+-=x x y ⑤232
++-=x x y ⑥x x y 22
--=
对称轴 对称轴 对称轴 顶点 顶点 顶点
探究二：用公式法求顶点坐标、对称轴
c bx ax y ++=2
= 对称轴 顶点坐标 用公式法把下列二次函数的顶点坐标、对称轴：
①4322+-=x x y ②232
++-=x x y ③x x y 22
--=
三、合作交流
根据c bx ax y ++=2
的图象和性质填表：
四、精讲点拨
1、抛物线2
2()y x m n =++（m n ，是常数）的顶点坐标是（ ）
A ．()m n ，
B ．()m n -，
C ．()m n -，
D ．()m n --，
2、二次函数2
365y x x =--+的图象的顶点坐标是（ ） A ．(18)-， B ．(18)，
C ．(12)-，
D ．(14)-，
3、在平面直角坐标系中，将二次函数2
2x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为
A ．222
-=x y B ．222
+=x y C ．2
)2(2-=x y D ．2
)2(2+=x y 4、抛物线3)2(2
+-=x y 的顶点坐标是（ ）
A ．（2，3）
B ．（－2，3）
C ．（2，－3）
D ．（－2，－3）
5、二次函数2
(1)2y x =++的最小值是（ ）． A ．2 B ．1 C ．－3 D ．
2
3
6、将抛物线2
2y x =向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ） A ．2
2(1)y x =+
B ．2
2(1)y x =-
C ．2
21y x =+
D ．2
21y x =-
7、抛物线1822-+-=x x y 的顶点坐标为
（A ）（-2，7） （B ）（-2，-25） （C ）（2，7） （D ）（2，-9） 8、把二次函数3412+--=x x y 用配方法化成()k h x a y +-=2的形式
A.()22412+--=x y
B. ()42412+-=x y
C.()42412++-=x y
D. 3212
12
+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y 9、把抛物线2
y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为
A ．2
(1)3y x =---
B ．2
(1)3y x =-+- C ．2(1)3y x =--+
D ．2
(1)3y x =-++。