二次函数及绝对值
二次函数的知识点
ercihanshu知识点一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数y＝ax2+bx+c的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次多项式。
（①含自变量的代数式是整式，②自变量的最高次数是2，③二次项系数不为0.）⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的基本形式1. y＝ax2的性质：2. y＝ax2＋k的性质：（k上加下减）3. y＝a（x-h）2的性质：（h左加右减）4. y ＝a (x －h)2＋k 的性质：5. y ＝ax 2+bx+c 的性质：三、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a.(a 决定了抛物线开口的大小和方向)二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然a ≠0 ① 当0a >时，抛物线开口向上，当0a <时，抛物线开口向下；②a 的绝对值越大，开口越小，反之a 的绝对值越小，开口越大。
总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b （a 和b 共同决定抛物线对称轴的位置）.抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；② （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③ （即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”3. 常数项c(c 决定了抛物线与y 轴交点的位置)⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 四、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）五、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 六、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.七、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++； 3. 关于原点对称2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．八、二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠），适用条件：已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠），适用条件：已知图像上点两坐标，且其中一点为抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶式3. 交点式（两根式）：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）， 适用条件：已知图像上三点坐标，其中两点为抛物线与x 轴的两个交点（1x ，0），（2x ，0），一般选用交点式；九、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当a b x 2-=时，ab ac y 442-=最值。
二次函数中绝对值问题的求解策略
二次函数中绝对值问题的求解策略二次函数是高中函数知识中一颗璀璨的“明珠”，而它与绝对值知识的综合，往往能够演绎出一曲优美的“交响乐”，故成为高考“新宠”。
二次函数和绝对值所构成的综合题，由于知识的综合性、题型的新颖性、解题方法的灵活性、思维方式的抽象性，学习解题时往往不得要领，现从求解策略出发，对近年来各类考试中的部分相关考题，进行分类剖析，归纳出一般解题思考方法。
一、适时用分类，讨论破定势分类讨论是中学数学中的重要思想。
它往往能把问题化整为零，各个击破，使复杂问题简单化，收到化难为易，化繁为简的功效。
例1 已知f(x)=x 2+bx+c (b,c ∈R),（1）当b<－2时，求证：f(x)在（－1，1）单调递减。
（2）当b<－2时，求证：在（－1，1）至少存在一个x0，使得|f(x0)|≥21. 分析 （1）当b<－2时，f(x)的对称轴在（－1，1）的右侧，那么f(x)在（－1，1）单调递减。
（2）这是一个存在性命题，怎么理解“至少存在一个x 0”呢？其实质是能找到一个这样的x 0，问题就解决了，不妨用最特殊的值去试一试。
当x=0时，|f(0)|=|c|,|c|与21的大小关系如何呢？对|c|进行讨论： （i ）若|c|≥21,即|f(0)|≥21，命题成立。
（ii ）若|c|<21，取x 0=－21,则21432145|||2141||2141||)21(|>=->--≥+-=-c b c b f .故不论|c|≥21还是|c|<21,总存在x 0=0或x 0=－21使得|f(x 0)|≥21成立。
本题除了取x=－21外，x 还可取那些值呢？留给读者思考。
二、合理用公式，灵活换视角公式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|在处理含绝对值问题时的作用有时是不可替代的，常用于不等式放缩、求最值等，思路简洁、明快，解法自然、迅捷。
例2 已知f(x)=x 2+ax+b 的图象与x 轴两交点的横坐标为x 1，x 2若|a|+|b|<1，求证：|x 1|<1且|x 2|<1.解 由韦达定理，得⎩⎨⎧=-=+b x x a x x 2121 ⎩⎨⎧==+∴.|||||,|||2121b x x a x x 代入|a|+|b|<1，得|x 1+x 2|+|x 1x 2|<1，又|x 1|－|x 2|≤|x 1+x 2|.1||||||||||21212121<++≤+-∴x x x x x x x x即|x 1|(1+|x 2|)<1+|x 2|。
中考数学二次函数基础知识
中考数学二次函数基础知识
二次函数
正比例函数是：y=kx(k≠0) 两个数的商是常数(x/y=k,k≠0)一次函数是：y=kx+b(k≠0)
反比例函数： 两个数的积是常数(xy=k,k≠0)二次函数：y=ax 2+bx+c
1、二次函数y=ax 2+bx+c 一些基本概念①
二次函数是一条关于 x=- 对称的抛物线。
此抛物线有三大特征：有开口方向，有对称轴，有顶点。
考点一、 二次函数的概念
a
b
2
考点五、二次函数的解析式的几种应用例1
例2例3
解法1用一般式方法，由于顶点D点的横坐标为-1，所以是以 x=- = -1为对称轴的
解法2知道顶点和交点就可利用顶点式方法：再把BC点代入
a
b
2
解法
知道和x轴的两个交点，可直接用交点式方法：
3
解析：由于抛物线是以D为顶点（-1，？）为对称轴的，又和x轴交于两点AB,因为B点坐标是（-3，0），就可推出A的坐标是（1，0）
例4知道最值和对称轴，可直接用顶点法。
二次函数绝对值问题
常见绝对值类问题汇总——辽宁数学小丸子编辑【题1】已知32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，当1x ≤时，'()f x M ≤恒成立，求a 的最大值【题2】设1()42(,)x x f x a b a b R +=+⋅+∈，若对于1[0,1],()2x f x ∀∈≤都成立，求b 【题3】2()f x x bx c =++在定区间[,]m n 上的最大值为M ，则M 有一个最小值2()8m n -，当且仅【题4】设,,a b c R ∈,对任意满足1x ≤的实数x ，都有21ax bx c ++≤，则a b c ++的最大可能值为___【题5】设函数(),,f x x ax b a b R =--∈，若对任意实数,a b ，总存在实数0[0,4]x ∈使得不等式0()f x m ≥成立，求实数m 的取值范围【题6】设2()(0)f x ax bx c a =++≠，当1x ≤时，总有()1f x ≤，求证：当2x ≤时，()7f x ≤【推广】设2()(0)f x ax bx c a =++≠，当1x ≤时，总有()f x k ≤，求证：当x n ≤时，2()(21)f x n k≤-【题7】已知二次函数22(),(),(1)1,(0)1,(1)1f x ax bx c g x cx bx a f f f =++=++-≤≤≤求证：当11x -≤≤时，（1）5()4f x ≤（2）()2g x ≤【题8】设函数2()f x ax bx c =++对一切[1,1]x ∈-都有()1f x ≤，求证对一切[1,1]x ∈-都有24ax b +≤【推广】设函数2()f x ax bx c =++对一切[1,1]x ∈-都有()1f x ≤，求证对一切[1,1]x ∈-都有2(*)nax b n n N +≤∈【题9】设,,a b c R ∈,对任意满足01x ≤≤的实数x ，都有21ax bx c ++≤，则a b c ++的最大可能值为___【题10】设函数1()(1,)f x x c b c R x b=++<-∈-，函数()()g x f x =在区间[1,1]-上的最大值为M ，若M k ≥对任意的,b c 成立，求k 最大。
二次函数
二次函数（1）一般性式：y=ax^2+bx+c(a不等于0)b=0、c=0性质：1、“a”的符号当a＜0时，口向下。
当a＞0时，开口向上。
“a”的绝对值：开口度[a]越大开口越小。
2、对称轴：y轴3、顶点：（0,0）4、增减性①a＞0左：x越大，y越小右：x越大，y越大②a＜0左：x越大，y越大右：x越大，y越大5、最大值①a＜0 y最小值=0②a＞0 y最大值=06,、上加下减上（C）下（【c】）y=ax^2+c左加右减左（m）右（【M】）y=a(x+m)^2一般形式直线：y=-b/2a+bx+c= a(x^2+b/a x+c/a)=a[x^2+b/a x+ (b/2a)-b^2/4a^2+c/a]=a [(x+b/2a) ^2+4ac-b^2/4a^2]y=a(x+b/2a) ^2+ 4 ac-b^2/4a对称轴：直线：x=-b/2a顶点（-b/2a,4ac-b^2/4a）求最大（小）值①公式法：y最大（小）值=4ac-b^2/4a②配方法：y=a(x+b/2a)^2+ ac-b^2/4a③代入法：先求顶点坐标x=-b/2a再把x=-b/2a代入表达式“求”y一次函数①一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x 值，那么我们称y和x的函数，其中x是自变量，Y是因变量。
②若二个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b(k,b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，称y式x的正比例函数。
④图像：一次函数y=kx+b的图像是一条直线。
因此做一次函数图象时，只要确定两个点作直线就可以了，一次函数y=kx+b的图像也称为直线y=kx+b.⑤图像：1、正比例函数y=kx的图像是经过原点（0，0）的一条直线。
⑥图像：在一次函数y=kx+b中当k＞0时，y的值随x值的增大而增大；当k＜0时，y的值随x值的增大而减小。
⑦将直线y=kx沿y轴向上平移b(b＞0)个单位长度，可以直线y=kx+b;沿y轴向下平移b个单位长度，可以得到直线y=kx-b.二次函数的三种表达方式①表达式法：将二次函数y用含有自变量x的代数式表示，这个式子就叫做函数表达式，例如y=-2x^2+3x+1等。
二次函数中的a的绝对值
二次函数中的a的绝对值
二次函数是一种有广泛应用的函数，也叫做二次形式。
它由一个参数构成，其中参数a可以是任意数值。
一般来说，a的绝对值能够用来决定一个二次函数的特点。
本文将对a的绝对值的影响进行介绍。
首先，要理解a的绝对值，需要回顾一下标准的二次函数的形式：y=ax²+bx+c。
在这个函数中，参量a就是绝对值。
这样，a的绝对值就决定了函数的特点，也就是
决定了函数图像的一般形状。
如果a是正数，这说明变量x与y成正比，因此函数图像开口朝上，即为凸函数。
而如果a是负数，这就表明变量x与y成反比，函数图像开口就朝下，即为凹函数。
这就是a的绝对值对函数图像的影响。
另外，a的绝对值也影响函数的极限值。
如果a的绝对
值越大，就会使函数的极限值越大，反之亦然，a的绝
对值越小，函数的极限值也越小。
因此，a的绝对值能
够影响函数的极限值，也就是函数曲线的上升或下降。
最后，a的绝对值还能影响函数的极值点，也就是说，
a的绝对值能够决定函数曲线是否具有极大值和极小值。
如果a的绝对值大于0，函数就会具有极大值和极小值，反之亦然，a的绝对值小于0，就不具有极大值和极小值。
总之，a的绝对值对二次函数影响十分重要，它能够决
定函数的特点，以及函数曲线是否具有极大值和极小值。
以下是了解a的绝对值所需知道的几点：它能够决定函数曲线开口朝上还是朝下，它能够决定函数的极限值大小，以及它能够决定函数曲线是否具有极大值和极小值。
二次函数知识点总结
二次函数知识点总结1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.（2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a .3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，. 6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下； a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线ab x 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<a b （即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧. 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.（2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=.12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切；③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离.13.二次函数在区间上的单调性和最值初中数学知识点总结一、基本知识一、数与代数A、数与式：1、有理数有理数：①整数→正整数/0/负整数②分数→正分数/负分数数轴：①画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。
二次函数与绝对值函数2
【二轮复习】 再谈含绝对值的二次函数高考题中的函数解答题目前对同学们来说仍是个难点，尤其当出现含绝对值的“二次”函数时，很多同学感觉无从下手，画不出图、找不出分类讨论的依据，本专题就结合大家所研究过的典型例题，进行归类、对比、体验、感悟，期望大家能总结规律，看透本质，攻克此类题。
绝对值的函数的本质是分段函数，常见的是两段（或三段）均为二次函数或一次、二次组合，就从涉及到的抛物线的对称轴条数，对此类题进行归类。
类型一、同轴型（单轴型）例1、求函数2()|3|f x x ax =--（（a 为常数）在[]0,3x ∈上的最大值变式1、已知函数2()|2|f x x x a =-+在[]0,5上的最大值是8，求a 的值变式2、求()||f x x x a =-在[]2,4x ∈时的最大值类型二、异轴型（双轴型）例2、设a R ∈，求函数2()||1f x x x a =+-+的最小值例3、已知函数()|2|2f x x a x x =-+，a R ∈(1) 若f (x )在R 上是增函数，求a 的范围； (2)试求函数f (x )的单调区间； (3)若存在[]2,2a ∈-使方程f (x )－m =0有三个不同的根，求m 的范围(4)若方程有三个不同的根，记为x 1,x 2,x 3，求x 1+x 2+x 3的取值范围例4、已知函数2()|2|f x x x ax a =-++，求()f x 的最小值类型三、异次混合型例5、定义在R 上的函数2()||(1)f x x x a x =---，1a >-若f (x )在[0,1]上的最大值与最小值分别记为M(a )，N(a )，求g(a )= M(a )—N(a )。
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表達式 b 2 4ac 稱為二次方程的 判別式， 並以符號 來表示，即 b 2 4ac
(1) 若 0 ，則二次方程 ax 2 bx c 0 有兩個不等的實根
(2) 若 0 ，則二次方程 ax 2 bx c 0 有兩個相等的實根 （或稱該二次方程有二 重根）
x 10 1 或 3 2
1 二次方程、二次函數及絕對值
1.1 二次方程的解法 例 1.2
1 若二次方程 2 x 2 kx 6 0 的根是 ， 2 試求 k 的值及方程的另一根
1 解： 因為方程 2 x 2 kx 6 0 的根是 ， 2 2 1 1 2 k 6 0 2 2 1 k 6 0 2 2 1 k 12 0 左右兩邊乘以 2。
2
x
3 17 4
1 二次方程、二次函數及絕對值
1.1 二次方程的解法
利用配方法推導二次公式
解方程 ax 2 bx c 0 ， 其中 a 0
x2
2
b c x a a
2 2
b b b c x x a 2a 2a a b b 2 4ac x 2a 4a 2 b b 2 4ac x 2a 2a
解： (a) (6) 2 4(3)(2)
12 0 所以，該方程有兩個不等的實根，且為無理數 (b) (3) 2 4(2)(2) 25
52 0 所以，該方程有兩個不等的實根，且為有理數 (c) (12) 2 4(9)(4)
1
二次方程、二次函數及絕對值
1.1 二次方程的解法
配方法
k 為了使 x kx 配成完全平方，可加 上 2
2 2
k k 於是 x kx x kx x 2 2
0 x 2 23x 22 ( x 1)( x 22) 0
x 1 或 22 (捨去) x 1
當 x = 22 時，
左方 22 3 3(22) 2 13 右方
1 二次方程、二次函數及絕對值
1.2 二次方程的根之性質
考慮二次方程 ax 2 bx c 0......... .......... .......... .......... .......... .......... ........( )
k 11 方程可寫成： 2 x 2 11x 6 0
2 x 1x 6 0
x 1 或6 2
故方程的另一根是 6
1 二次方程、二次函數及絕對值
1.1 二次方程的解法 例 1.3 解方程 x
解：
2
4 x 4( x 2 4 x) 5
解：
x x 12 0 ( x ) 2 ( x ) 12 0 ( x 4)( x 3) 0
( x ) 2 42
x 16
此方程可看作
y 2 y 12 0 ， 其中 y x
x 0
x 4 或 3 (捨去)
1 二次方程、二次函數及絕對值
2
b b 2 4ac x 2a
1 二次方程、二次函數及絕對值
1.1 二次方程的解法 例 1.1
解 2 x(3x 5) 10 7 x
解：
2x(3x 5) 10 7 x 6x2 10x 10 7 x 6x2 17 x 10 0
3x 102 x 1 0
x2 4x 1 x2 4x 1 0
(4) (4) 2 4(1)(1) x 2(1) x 4 12 2 2 3
x 1, 5 或 2 3
1 二次方程、二次函數及絕對值
1.1 二次方程的解法 例 1.4
解方程 x x 12 0
1.1 二次方程的解法 例 1.5
解方程 x3 3x 2 3
解：
x 3 3x 2 3 3x 2 3 x 3
兩邊各取平方，得 3x 2 9 6 x 3 x 3
6 x 3 14 2 x 3 x3 7 x
兩邊各取平方，得 9( x 3) 49 14 x x 2
(3) 若 0 ，則二次方程 ax 2 bx c 0 沒有實根
1 二次方程、二次函數及絕對值
1.2 二次方程的根之性質 例 1.6
試判斷下列二次方程的 根之性質 (a) 3x 2 6 x 2 0 (c) 9 x 2 12 x 4 0 (b) 2 x 2 3x 2 0 (d) 5 x 2 4 x 3 0
2
這樣一來，就得出了完全平方。
1 二次方程、二次函數及絕對值
1.1 二次方程的解法
利用配方法解一個二次方程
解方程 2 x 2 3x 1 0
3 1 x2 x 2 2
3 3 3 1 x x 2 4 4 2
2 2 2
3 98 x 4 16 3 17 x 4 4
2
( x 2 4 x) 2 4( x 2 4 x) 5 設 y x2 4x y2 4 y 5 0 ( y 5)( y 1) 0
故
y 5 或 1 或 x 2 4x 5 或 x2 4x 5 0
( x 1)(x 5) 0 x 1 或 5 或 或