应用随机过程12B
《随机过程及应用》教案-习题课五答案.doc
1.（X （r ）,r （r ））是零均俏的二维正态过程.试证X 2（r ）也是二阶矩过程. 证明：MeT,XQ ）~ N （O,D ⑴），所以有•••心]=2,申]=1 D ⑴ D(t)空 2[渔]“ D\tY Z )(0D\t)E[X 2(/)]2 = E[X 4(r)] = 3D 2(r) /.｛X 2（o ）为二阶矩过程。
2. 设｛x”, n 1｝是相互独立的随机变量序列，其分布律为:,_7试讨论此序列是否均方收敛。
其中从而当mW n 时 lim E X m - X nlim 2-2 ——HT2^｛X H ,n>l ｝不均方收敛。
£[x,J = m -r = - m m n n E X ： 一；E X ；(=m 2-丄7 = 1 」 m" =zi 2~- = 1n~E[X m X n ] = E[X m ]E[X n ]mn< 4-00解：EX m -X n=E X ；+ 町 X^-2E[X m]E[X n]3.证明若1 ,i.m X… = X，则X”的特征函数收敛于X的特征函数。
H—证因为对于函数f(x) = e itx xe R,有卩"(兀)| = ”严勻小从而|/(x)-/(j)|<H|x-y|即f(X)=严XG R满足李普希兹条件，故对X5)冇"T8 所以E[I.^/(XJ]= E[/(X)]即lim(p x (/)= lim ~\ = 1 •/-,we，，X" = E e'rX =(p x (/)X(”)的特征函数收敛于X的特征函数.4.证明Poisson随机变最序列的均方极限是Poisson随机变最。
证明：设｛X”/ = l,2,・・・｝是Poisson随机变量序列，1.加X”=X,则lim£[Xj = £[%],n—>oo >8即lim = AnT8于是(p x(r) = lim(p x (r) = lim/3~" =/宀""TOO "->8故X是Poisson随机变量。
随机过程及其应用
随机过程及其应用随机过程是一个用数学来描述随机现象的工具，它可以描述一系列随机变量的演化过程。
随机过程是现代概率论的重要研究对象，具有非常广泛的应用，涵盖了金融、通信、物理、工程等许多领域。
一、随机过程的定义和分类随机过程可以定义为一个随时间而变化的随机变量序列。
根据其状态空间的性质，可以将随机过程分为离散型和连续型两类。
离散型随机过程本质上是一系列随机的离散变量；而连续型随机过程则是一系列随机的连续变量。
在实际应用中，随机过程往往被用来描述随机信号的演化，例如随机游走模型、布朗运动模型和马尔可夫链模型等。
随机过程也可以用于描述金融市场的变化，例如在期权定价和风险管理等领域，都有大量的随机过程模型被使用。
二、随机过程的应用1. 研究随机现象随机过程是研究随机现象的有力工具。
通过对随机过程的分析，可以得到一些关于随机现象的统计特征，例如随机变量的分布、期望、方差等，从而更好地理解和描述随机现象。
2. 金融市场随机过程在金融市场中的应用非常广泛。
例如，期权定价中的布莱克-斯科尔斯模型就是一个基于随机过程的模型，它可以用于计算期权价格和波动率等指标；风险管理中，随机过程也可以用于模拟不同的交易策略和风险暴露程度。
3. 信号处理随机过程在信号处理中也扮演着重要角色。
例如，通过对一段随机信号的随机过程进行建模，可以得到许多有用的信号特征，例如均值、功率谱密度，从而更好地理解和处理信号。
4. 物理学和工程学在物理学和工程学中，随机过程被广泛应用。
例如，随机过程可以用于描述材料疲劳、气象变化、电子信号传输等过程，进而帮助科学家们更好地理解和解决实际问题。
三、结语随机过程是现代概率论的重要研究对象，在很多领域都有广泛的应用。
通过对随机过程的研究和分析，可以更好地理解和描述随机现象，也可以得到一些有用的统计特征和信号特征。
希望本文可以为读者对随机过程的理解和应用提供一些帮助。
《应用随机过程》A卷及其参考答案
，求
E
X
X
c；
2、（15 分，选做一题）（1）设 Xi E i ， i 1, 2 ，且 X1, X 2 独立，试
由条件数学期望的一般定义以及初等条件概率定义的极限分别求
E IX1X2 X1 X 2 t P X1 X 2 X1 X 2 t ，t 0 ；（2）设 X1, X 2 , , X n 独
T 2 t dt 0
，令
Z
t
exp
t
0
u
dW
u
1 2
t 0
2
u
du
，则
dZ
t
t
Z
t
dW
t
，
从而Z t ,0 t T 是一个连续鞅。
1
三、计算证明题（共 60 分）
得分
1、（13 分）假设 X～E ，给定 c 0 ，试分别由指数分布的无记忆性、
条件密度和 E X
A
E
P
XI A
A
x
0
，且
q
x
dx
1
；（b）存在
a
0
，使得
p q
x x
a（当
p
x
0
时），令 r x a qpxx（当 p x 0 时，规定 r x 0 ）；又记 M U r X ，
3
试证明：
P
X
z
M
z
q
x dx
，即
X
在
M
发生的条件下的条件密度
函数恰是 q x ；（2）设有 SDE：dXt (aXt b
（2） ___________________________________________________；
通信网络课后题答案
第1章通信网络概论及数学基础1.1通信网络有哪些基本要素组成？试举例列出五种常用的通信网络。
1.2常用的通信链路有哪些？其主要特征是什么？1.3试简述分组交换网的要点。
1.4什么叫做虚电路？它与传统电话交换网中的物理链路有何差异？1.5 A TM信元与分组有何差别？ATM网络是如何支持不同种类业务的？1.6分层的基本概念是什么？什么是对等层？1.7试述OSI七层模型和TCP/IP协议体系的区别和联系。
1.8一个典型的通信网络可由哪些物理子网构成？路由器在该网络中的作用是什么？1.9通信网络要研究的基本理论问题有哪些？1.10 设随机过程定义为：，其中Y是离散随机变量，且。
试求该过程在时的均值，和时的自相关函数值。
1.11 设随机过程是一个随机相位信号，即，式中A和w c为常量， 是一个均匀分布的随机变量，其概率密度函数为。
试求的均值函数和自相关函数。
并讨论其平稳性和各态历经性。
1.12 试求Poisson过程的均值函数，方差函数和相关函数。
1.13 设到达某商店的顾客组成强度为的Poisson流，每个顾客购买商品的概率为p，各顾客是否购买商品与其它顾客无关，分别用和表示购买商品顾客和未购买商品顾客的顾客流过程，请证明他们分别是强度为和的Poisson流。
1.14 设某办公室来访的顾客数组成Poisson流，平均每小时到访的顾客数为3人，求：（1）一上午（8到12点）没有顾客来访的概率；（2）下午（2点到6点）第一个顾客到达的时间分布。
图1-25习题1-16图1.15 设有三个黑球和三个白球，把这六个球任意分给甲乙两人，并把甲拥有的白球数定义为该过程的状态，则有四种状态0，1，2，3。
现每次从甲乙双方各取一球，然后相互交换。
经过n次交换后过程的状态记为，试问该过程是否是马氏链？如是，试计算其一步转移概率矩阵，并画出其状态转移图。
1.16分别利用Prim-Dijkstra算法和Kruskal算法求解图1-25中的最小重量生成树。
随机信号分析(常建平+李海林)习题答案
1-9 已知随机变量X 的分布函数为20,0(),011,1X x F x kx x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求：①系数k ； ②X 落在区间(0.3,0.7)内的概率； ③随机变量X 的概率密度。
解：第①问 利用()X F x 右连续的性质 k ＝1第②问{}{}{}()()0.30.70.30.70.70.30.7P X P X F P X F =<<=<≤-=-第③问 201()()0X X xx d F x f x elsedx ≤<⎧==⎨⎩1-10已知随机变量X 的概率密度为()()xX f x kex -=-∞<<+∞（拉普拉斯分布），求：①系数k ②X 落在区间(0,1)内的概率 ③随机变量X 的分布函数 解： 第①问 ()112f x dx k ∞-∞==⎰ 第②问{}()()()211221x x P x X x F x F x f x dx <≤=-=⎰随机变量X 落在区间12(,]x x 的概率12{}P x X x <≤就是曲线()y f x =下的曲边梯形的面积。
{}{}()()1010101112P X P X f x dxe -<<=<≤==-⎰第③问()102102xx e x f x e x -⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩()00()110022111010222xx xxx x x x F x f x dxe dx x ex e dx e dxx e x -∞-∞---∞=⎧⎧≤≤⎪⎪⎪⎪==⎨⎨⎪⎪+>->⎪⎪⎩⎩⎰⎰⎰⎰1-11 某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。
设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001，若每天有1000辆汽车进出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于2的概率是多少？,(01)p q λ→∞→→∞→−−−−−−−−→−−−−−−−−→−−−−−−−−→n=1n ,p 0,np=n 成立，0不成立-分布二项分布泊松分布高斯分布汽车站出事故的次数不小于2的概率()()P(2)101k P k P k ≥=-=-= 答案0.1P(2)1 1.1k e -≥=-100.1n p ≥≤实际计算中，只需满足，二项分布就趋近于泊松分布()np!k e P X k k λλλ-=＝＝1-12 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为(34)0,0(,)0x y XY kex y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩,,其它求：①系数k ？②(,)X Y 的分布函数？③{01,02}P X X <≤<≤？第③问 方法一：联合分布函数(,)XY F x y 性质：若任意四个实数1212,,,a a b b ，满足1212,a a b b ≤≤，则121222111221{,}(,)(,)(,)(,)XY XY XY XY P a X a b Y b F a b F a b F a b F a b <≤<≤=+--{01,02}(1,2)(0,0)(1,0)(0,2)XY XY XY XY P X Y F F F F ⇒<≤<≤=+--方法二：利用(){(,)},XY DP x y D f u v dudv∈∈⎰⎰)(210{01,02},XY P X Y f x y dxdy <≤<≤=⎰⎰1-13 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为101,(,)0x y xf x y ⎧<<<=⎨⎩,,其它 ①求条件概率密度(|)X f x y 和(|)Y f y x ？②判断X 和Y 是否独立？给出理由。
ornstein- ulhenbeck过程
ornstein- ulhenbeck过程什么是Ornstein-Uhlenbeck过程？Ornstein-Uhlenbeck过程是一种随机微分方程，常用于模拟随机过程中的回归现象，如金融市场中的股价变动、物理系统中的布朗运动等。
它由R.L. Ornstein和G.E. Uhlenbeck在1930年代提出，用于描述物体在粘滞介质中的运动。
Ornstein-Uhlenbeck过程的数学定义如下：dX(t) = θ(μ- X(t))dt + σdW(t)其中，X(t)表示过程在时刻t的值，θ是回归参数，μ是均值，σ是标准差，W(t)是布朗运动，dX(t)表示过程在无穷小时间间隔dt内的增量。
第一步：理解过程的基本结构Ornstein-Uhlenbeck过程是由两部分组成：回归项和随机项。
回归项(θ(μ- X(t))dt)描述了过程向均值μ回归的趋势，θ表示回归的速率，μ表示过程的均值，X(t)表示过程在时刻t的值。
随机项(σdW(t))描述了过程的随机波动，σ表示随机项的波动幅度，W(t)表示布朗运动。
第二步：理解过程的性质和应用场景Ornstein-Uhlenbeck过程具有以下特点：1. 回归效应：过程有向均值回归的趋势，即过程的值会向平均值靠拢。
2. 逆向阻尼：过程接近均值时，回归项的效应会减小，防止过程超过均值。
3. 随机波动：过程存在随机项，导致其值在均值附近波动。
Ornstein-Uhlenbeck过程在金融市场中的应用广泛，特别适用于模拟股价的变动。
股价经常表现出相对稳定的均值回归趋势，同时有随机的波动。
通过使用Ornstein-Uhlenbeck过程，可以模拟股价的回归特征，并用于评估投资策略的风险和回报。
第三步：数值模拟与参数估计为了模拟Ornstein-Uhlenbeck过程，需要选择合适的参数值。
其中，回归参数θ和均值μ可以通过历史数据的统计方法估计得到，标准差σ可以根据过程的方差进行估计。
随机过程及其应用-清华大学
4.1(等待时间的和)设诚恳按照参数λ的Poisson 过程来到公交站，公交车于时刻t 发出，那么在],0[t 时间段内到达的乘客等待时间总和的期望应该如何计算那？对于某一个乘客而言，假设其到达时间为k t ，那么他等待时间就是k t t -所以乘客总的等待时间为∑=-=)(0)()(t N k k t t t S使用条件期望来处理平均等待))(|)(())((n t N t E E t S E ==对于某已成了而言，其到达时刻k t 随机],0[t 内均匀分布的随机变量。
但在车站上，乘客是先后到达次序排队，所以在n t N =)(的条件下，n t t t ,...,,21形成了独立均匀分布的顺序统计量。
不过就他们的和nt t ++...1而言，可以那他们看着顺序统计量，也可以把他们看着不排顺序的n 各独立的],0[t 内均匀分布的随机变量，所以2))((2)2)(())((22)())(|)((20t t N E t t t N E t E E nt nt nt t E nt n t N t E E nk k λ====-=-==∑=从而有4.2(数值记录)设},{N n X n ∈是一独立同分布的非负期望随机变量序列。
定义风险率)(t λ如下)(1)()(t F t f t -=λ 这里)()(t F t f 和分别是k X 的概率密度分布和分布函数。
定义随机过程)(t N 如下}),,..,m ax (:{#)(01t X X X X n t N n n n ≤>=-这里A #表示集合A 中的元素个数。
如果把)(t N 中的时间t 看做时间，那么)(t N 是一个非齐次Poisson 过程。
事实上，由于k X 彼此独立，所以)(t N 具有独立增量性。
很明显0)0(=N ，于是只需要检查一个时间微元内)(t N 的状态。
假定t ∆充分小，在0,...,X X n 中只有n X 在],(t t t ∆+上，因此111-11-11111))())(()((),...,(]),((),...,],,(()),...,max(],,(()),...,max(],,(()1)()((--∞=-∆+∆=≤≤∆+∈=≤≤∆+∈=>∆+∈>∆+∈==-∆+∑n n n n n n n n n n n n t F t o t t f t X t X P t t X P t X t X t t X P X X X t t X P X X X t t X P t N t t N P所以)()()(1)()())(())()(()1)()((21t o t t t F t o t t f x F t o t t f t N t t N P n n ∆+∆=-∆+∆=∆+∆==-∆+∑∞=-λ另一方面，可以证明)()2)()((t o t N t t N P ∆=≥-∆+ 所以)(t N 是非齐次的Poisson 过程，强度)(t λ。
正态过程——精选推荐
C(t2,t2) "
#
#
C(tn,t2) "
C(t1, tn )⎤ C(t2 , tn )⎥⎥
#⎥ ⎥
C(tn , tn )⎦
C(ti , t j ) = E{[ Xti − m(ti )][ Xt j − m(t j )]}
(1 ≤ i, j ≤ n).
电子科技大学
Ex.2.1.2 随机振幅电信号
⎤ ⎥ ⎦
⎟⎟⎠⎞
电子科技大学
当n = 3, 则
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣⎢
X X X
t1 t2 t3
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
=
⎡1 ⎢⎢1 ⎢⎣1
t1 t2 t3
⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦
⎡X ⎢⎣V
0
⎤ ⎥ ⎦
=
K
⎡X ⎢⎣V
0
⎤ ⎥ ⎦
仍然服从正态分布, 但其协方差矩阵为
1 + t12 1 + t1 t2 1 + t1 t3
设 X t = ξcosωt + ηsinωt, t ∈ R
E(ξ) = E(η) = 0, E(ξ2 ) = E(η2 ) = σ 2 , ω为常数 ξ与η相互独立同服从正态分布,
1) 试求Xt 的均值函数和相关函数； 2）写出一维概率密度和二维概率密度. 解 1) E{ X t } = E(ξ )cosωt + E(η)sinωt = 0
1 + t1 t2
1
+
t
2 2
1+ t2t3
1 + t1 t3 1+ t2t3 1 + t32
c3 − c2 1 + t12
c2 − c1 1 + t1 t2 1 + t1 t3
[应用随机过程][习题][01]
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第三章习题
(2)在宽平稳的基础上讨论各态历经性 时间均值:
1 T 1 X (t ) = lim ∫T X (t )dt = Tlim 2T T →∞ 2T →∞ 1 T 1 +T = ∫ s (t + )dt = ∫ s (θ )dθ T 0 T = E[ X (t )]
∫
T
T
s (t + )dt
X(t)的均值具有各态历经性
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第三章习题
时间相关性:
1 T X (t ) X (t + τ ) = lim X (t ) X (t + τ )dt T → ∞ 2T ∫T 1 T = lim s (t + ) s (t + τ + )dt T →∞ 2T ∫T 1 T = ∫ s (t + ) s (t + τ + )dt T 0 1 +T = ∫ s (θ ) s (θ + τ )dθ = RX (t ) T
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第二章习题
R X (t1 , t 2 ) = E[ X (t1 ) X (t 2 )] = E{[ A cos(ω 0 t1 ) + B sin(ω 0 t1 )][ A cos(ω 0 t 2 ) + B sin(ω 0 t 2 )]} = E[ A 2 cos(ω 0 t1 ) cos(ω 0 t 2 ) + B 2 sin(ω 0 t1 ) sin(ω 0 t 2 )] = E[ A 2 ] cos(ω 0 t1 ) cos(ω 0 t 2 ) + E[ B 2 ] sin(ω 0 t1 ) sin(ω 0 t 2 ) = σ 2 [cos(ω 0 t1 ) cos(ω 0 t 2 ) + sin(ω 0 t1 ) sin(ω 0 t 2 )] = σ 2 cos[ω 0 (t1 t 2 )]
《应用随机过程》习题课二
习题1. 设随机过程{(,),}X t t ω-∞<<+∞只有两条样本函数12(,)2cos ,(,)2cos ,X t t X t t x ωω==--∞<<+∞且1221(),()33P P ωω==，分别求：（1）一维分布函数(0,)F x 和(,)4F x π；（2）二维分布函数(0,;,)4F x y π；（3）均值函数()X m t ； （4）协方差函数(,)X C s t .2. 利用抛掷一枚硬币一次的随机试验，定义随机过程12cos ()2t X t πωω⎧=⎨⎩出现正面出现反面且“出现正面”与“出现反面”的概率相等，各为12，求 1）画出{()}X t 的样本函数2）{()}X t 的一维概率分布，1(;)2F x 和(1;)F x3）{()}X t 的二维概率分布121(,1;,)2F x x3. 通过连续重复抛掷一枚硬币确定随机过程{()}X tcos ()2t t X t t π⎧=⎨⎩在时刻抛掷硬币出现正面在时刻抛掷硬币出现反面求：（1）1(,),(1,)2F x F x ； （2）121(,1;,)2F x x4. 考虑正弦波过程{(),0}X t t ≥，()cos X t t ξω=，其中ω为正常数，~(0,1)U ξ.（1）分别求3,,,424t ππππωωωω=时()X t 的概率密度(,)f t x . （2）求均值函数()m t ，方差函数()D t ，相关函数(,)R s t ，协方差函数(,)C s t . 5. 给定随机过程：()X t t ξη=+ ()t -∞<<+∞其中r. v. (,)ξη的协方差矩阵为1334C ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求随机过程{(),}X t t -∞<<+∞的协方差函数.6. 考虑随机游动{(),0,1,2,}Y n n =1()(),1,2,,(0)0nk Y n X k n Y ====∑其中()(0,1,2,)X k k =是相互独立同服从2(0,)N σ的正态随机变量. 试求： （1）()Y n 的概率密度；（2）((),())Y n Y m 的联合概率密度（m n ≥）.7. 给定随机过程{(),}X t t T ∈，定义另一个随机过程：1,(),()0,().X t x Y t X t x <⎧=⎨≥⎩试证：{(),}Y t t T ∈的均值和自相关函数分别为{(),}X t t T ∈的一维分布函数和二维分布函数. 8. 设随机过程()cos()β=+ΘX t A t其中β为正常数，r. v. ~(0,1),~(0,2)A N U πΘ二者相互独立. 试求随机过程{(),}X t t -∞<<+∞的均值函数()m t 、方差函数()D t 和相关函数(,)R s t .9. 已知随机变量,ξη相互独立都服从正态分布2(0,)N σ，分别设：（1）()X t t ξη=+； （2）()cos X t t ξ=，令01max ()t Z X t ≤≤=，分别两种情形求()E Z .10. 一个通讯系统，以每T 秒为一周期输出一个幅度为A 的信号，A 为常数，信号输出时间~(0,)i X U T ，且持续到周期结束，设每个信号的输出时间i X 相互独立，设()Y t 为t 时刻接收到的信号幅度，求{()}Y t 的一维概率分布。