应用随机过程 林元烈 第二章答案
应用随机过程课后习题解答 毛用才 胡奇英
第一章习题解答1． 设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,k P X k pq k === 。
求X 的特征函数，EX 及DX 。
其中01,1p q p <<=-是已知参数。
解 0()()jtxjtkk X k f t E eepq ∞===∑()k jtkk p q e∞==∑ =0()1jt kjtk pp qe qe ∞==-∑又200()kkk k q qE X kpq p kq p p p ∞∞======∑∑222()()[()]q D X E X E X P =-=（其中 00(1)nnn n n n nxn x x ∞∞∞====+-∑∑∑）令 0()(1)n n S x n x ∞==+∑则 1000()(1)1xxnn k n xS t dt n t dt x x∞∞+===+==-∑∑⎰⎰202201()()(1)11(1)1(1)xn n dS x S t dt dxx xnx x x x ∞=∴==-∴=-=---⎰∑同理 2(1)2kkkk k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞=====+--∑∑∑∑令20()(1)k k S x k x ∞==+∑ 则211()(1)(1)xkk k k k k S t dt k t dt k xkx ∞∞∞+====+=+=∑∑∑⎰）2、（1） 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为1,0()0,0()0,0p p bxb x e x p x b p p x --⎧>⎪=>>Γ⎨⎪≤⎩（2） 其期望和方差；（3） 证明对具有相同的参数的b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。
解 （1）设X 服从(,)p b Γ分布，则10()()p jtxp bxX b f t ex e dx p ∞--=Γ⎰ 1()0()p p jt b x b x e dx p ∞--=Γ⎰101()()()()(1)p u p p p p p b e u b u jt b x du jt p b jt b jt b∞----==Γ---⎰ 1(())x p p e x dx ∞--Γ=⎰ （2）'1()(0)X p E X f j b∴== 2''221(1)()(0)X p p E X f j b +== 222()()()PD XE X E X b∴===（4） 若(,)i i X p b Γ 1,2i = 则121212()()()()(1)P P X X X X jt f t f t f t b-++==-1212(,)Y X X P P b ∴=+Γ+同理可得：()()iiP X b f t b jt∑=∑-3、设X 是一随机变量，()F x 是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。
应用随机过程
( 2 ) { :X () a } F , a R ；
( 3 ) {:X () a } F ,a R ；
( 4 ) { :X () a } F ,a R .
定义1.7 设X()是F上的随机变量，函数
F(x) P (:X ( ) x ), x
称为随机 X的 变分 量布函数。
( 1 )如 A 1 A 2 果 A n , An A
则nlimAn
An
n 1
( 2 )如 A 1 A 2 果 A n ,An A
则nlimAn
n 1
An
结论： 单调事 (集件 合 )序列必有 . 极限
(8) 概率的连续性：
定理：若 { A n ,n 1 } 是单 (或 调 )的 递 递 事 减 增 件
( 3 ) 若 i 果 , 1 , 2 , , 则 i 1i ;
( 4 ) 若 , , 则 果 , ;
（5）-代数必为代. 数
例1.1 由 的一切事件类 构是 成 事 的 -代 件 事 .数
(常常它为称为最广 -代泛数 .的 )
例1.2 由 F{,}，则 F是事 -件 代数。 称作平凡 -事 代件 数 .
所有可能的结果称为样本空间。 记作
的子A集 由基本事件—组A称成为事件。
事件的性质 假设A,B,C是任意事件，则他们满足：
(1)交换律 A B B A
ABCABC (2)结合律
A A AB B BC C CA A AB B BC A AC C (3)分配律
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
例1.3 对任 A 意 , F事 { , 件 A, A, }
是事件 -代数。
应用随机过程 林元烈 第二章答案
i =1 N
, X n ,… 独立同 0－1 分布，且有
立. ξ = X 1 + X 2 + 答案：
4. 设 N 1 , N 2 , N 3 独立， N i 是参数为 λi 的泊松分布， i = 1,2,3. (1) 求 P ( N 1 + N 2 = n), n ∈ N ; (2) 求 P ( N 1 = k N 1 + N 2 = n), 0 ≤ k ≤ n; (3) 证明 N 1 + N 2 与 N 3 独立； (4) 求 E ( N 1 N 1 + N 2 ) 及 E ( N 1 + N 2 N 1 ).
n =1 ∞ i =1 n
∞
= ∑ E (∑ X i | N = n)P( N = n)
n =1 ∞ i =1 n
= ∑ E (∑ X i )P ( N = n)
n =1 ∞ i =1
= ∑ nEX 1 P( N = n)
n =1
= EN ⋅ EX 1
3．设 X 1 , X 2 ,
P ( X n = 1) = p = 1 − P( X n = 0),0 < p < 1, N 是参数为 λ 的泊松分布，且与 {X n } 独
+∞ +∞ −∞ −∞
∫
∫
ξf (ξ | η1 ,η 2 ,L,η n ,η n+1 ) f (η n+1 | η1 ,η 2 ,Lη n )dξ dη n +1
ξ
= ∫ ξf (ξ | η1 ,η 2 ,Lη n )dξ
−∞
+∞
对任意η1 ,η 2 ,L ,η n ,η n +1 有 E [E (ξ | η1 ,η 2 , L ,η n ) | η1 ,η 2 , L ,η n ,η n +1 ] = E (ξ | η1 ,η 2 , L,η n ) E (1 | η1 ,η 2 , L ,η n ,η n +1 ) = E (ξ | η1 ,η 2 , L ,η n ) 所以，有 E [E (ξ | η1 ,η 2 , L,η n ,η n +1 ) | η1 ,η 2 , L ,η n ] = E (ξ | η1 ,η 2 , L ,η n ) = E [E (ξ | η1 ,η 2 , L,η n ) | η1 ,η 2 , L ,η n ,η n +1 ]
随机过程 研究生 课程介绍
第0章 课程介绍及课时安排 授课人：刘玉婷 ytliu@ 理学院数学系
提纲
教材及参考书目 主要内容 考试安排
教材及参考书目
教材
《随机过程及其在金融领域中的应用》王军 王 娟 清华大学出版社 北京交通大学出版社
参考书目
《应用随机过程》 林元烈 清华大学出版社 《应用随机过程》柳金甫 李学伟 中国铁道出版 社
第4章 Poisson过程
第6课：3.5 + 4.1 第7课：4.1
复习：第15课 答疑：第16课 – 机械楼N201
考核方式
平时作业 10%
每章之后留习题若干，下次课上交 作业纸作答(不返回) ( )
期末考试 90%
闭卷 仅考所学内容
主要学习内容
第2章 概率空间
第1课：2.1 + 2.2 第2课：2.3 第3课：2.4 arkov链
第9课：5.1 + 5.2 第10课：5.2 第11课：5.3 第12课：5.3 第13课：5.4 第14课：5.5
第3章 随机过程
第4课：3.1 + 3.2 +3.3 第5课：3.4 + 3.6
应用随机过程(林元烈)期中考自测题
∑ = pik (s) pkj (t) k∈I
即 P(s)P(t)=P(s + t)
9，设{X (t),t ≥ 0} 是以 I={0,1}为状态空间的马尔可夫过程，转移概率矩阵
P(t) = { pij (t),i, j ∈ I}为标准阵，且
lim
t→0+
1 (1− t
p00 (t))
=
q0
=
λ, lim t →0+
μ
e−(λ +μ )t
⎤ ⎥ ⎥
λ
λ +
μ
+
λ
μ +
μ
e−(λ +μ )t
⎥ ⎥⎦
且
E[ X (t)] = P( X (t) = 1)
= p0 p01(t) + (1− p0 ) p11(t)
= p0[ p01(t) − p11(t)] + p11(t)
=
− p0e−(λ+μ )t
+
λ
λ +
μ
+
λ
μ +
k:P{ X (s)=k , X (0)=i}>0
P{X (0) = i}
P{X (s + t) = j, X (0) = i}
∑ =
P{X (s + t) = j | X (s) = k, X (0) = i}
k:P{ X (s)=k , X (0)=i}>0
P{X (s) = k | X (0) = i}
n
∑ Yn = X k , n ≥ 1，证明：{Yn , n ≥ 1} 是齐次马尔可夫链，并求二步转移概率矩 k =1
应用随机过程教学大纲
遵义师范学院课程教学大纲应用随机过程教学大纲（试行）课程编号：280020 适用专业：统计学学时数：48 学分数： 2.5执笔人：黄建文审核人：系别：数学教研室：统计学教研室编印日期：二〇一五年七月课程名称：应用随机过程课程编码：学分：2.5总学时：48课堂教学学时：32实践学时：16适用专业：统计学先修课程：高等数学、线性代数、概率论、测度论或者实变函数（自学）一、课程的性质与目标：（一）该课程的性质《应用随机过程》课程是普通高等学校统计学专业必修课程。
它是在学生掌握了数学分析、线性代数和概率论等一定的数学专业理论知识的基础上开设的，要求学生掌握随机过程的基本理论和及其研究方法。
（二）该课程的教学目标（1）从生活中的需要出发，结合研究随机现象客观规律性的特点，并根据随机过程的内容和知识结构，着重从随机过程的基本理论和基本方法出发，就实际应用中的典型随机过程做应用研究，并在理论、观点和方法上予以总结、提高及应用。
（2）对各个章节的教学，随机过程侧重于基本思想和基本方法的探讨，介绍随机过程的基本概念，建立以分布函数等研究相关问题概率的实际应用思路，寻求解决统计和随机过程问题的方法。
着重基本思想及方法的培养和应用。
（3）结合学生实际，利用生活中的实例进行分析，培养学生的辩证唯物主义观点。
二、教学进程安排课外学习时数原则上按课堂教学时数1:1安排。
三、教学内容与要求 第一章 预备知识 【教学目标】通过本章的学习，复习并扩展概率论课程的内容，为学习随机过程打下良好的基础，提供必备的数学工具。
【教学内容和要求】随机过程以概率论为其主要的基础知识，为此，本章主要对概率空间；随机变量与分布函数；随机变量的数字特征、矩母函数与特征函数；独立性和条件期望；随机变量序列的收敛性与极限定理等常用到的概率论基本知识作简要的回顾和扩展。
其中概率空间，矩母函数和特征函数的定义及性质、条件期望、收敛性、极限定理等既是本章的重点，又是本章的难点。
应用随机过程答案1
2. （1） 求参数为的()b p ,分布的特征函数，其概率密度为Γ()()是正整数p b x x e x p b x p bx p p ,0 000,1>⎪⎩⎪⎨⎧≤>Γ=−−（2）求其期望和方差。
（3）证明对具有相同参数的b Γ分布，关于参数具有可加性。
p 函数有下面的性质：解 （1） 首先，我们知道Γ()()! 1−=Γp p根据特征函数的定义，有()[]()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()pp p x jt b p p xjt b p p x jt b p p xjt b p p xjt b p p bxp p jtxjtxjtXX jt b b jt b p p b dxe x jt b p p b dx e x jt b p p b dx e x jt b p p b e x jt b p b dx e x p b dx e x p b edx x p e e E t f ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−−Γ=−−Γ==−−Γ=−−Γ+−−Γ=Γ=Γ===∫∫∫∫∫∫∞−−−∞−−−∞−−−∞−−−∞−−−−−∞∞∞−!1!11110010202010110L所以()pX jt b b t f ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=（2）根据期望的定义，有[]()()()()()()()bpdx x p b p dx e x p b b p dx e x bp p b e x bp b dx e x p b dx e x p b x dx x xp X E m bx p p bx p p bxp p bx p p bx p p X ==Γ=Γ+−Γ=Γ=Γ===∫∫∫∫∫∫∞∞−∞−−∞−−∞−∞−∞−−∞∞−010100011类似的，有[]()()()()()()()()()()()()()2201200010101222111111b p p dx x p b p p dx e x p b b p p dx e x b p p b dx e x bp p b e x bp b dx e x p b dx e x p b x dx x p x XE bxp p bxp p bxp p bxp p bx p p bx p p +=+=Γ+==+Γ=+Γ+−Γ=Γ=Γ==∫∫∫∫∫∫∫∞∞−∞−−∞−∞−∞−+∞−+∞−−∞∞−L的方差为X 所以，[]()222221b pb p b p p mXE D XX =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=−=（3）()()()jt jnt jt e n e e t f −−=115. 试证函数为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。
应用随机过程课后习题解答 毛用才 胡奇英
第一章习题解答1． 设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,k P X k pq k ===L 。
求X 的特征函数，EX 及DX 。
其中01,1p q p <<=-是已知参数。
解 0()()jtxjtkk X k f t E eepq ∞===∑Q()k jtkk p q e∞==∑ =0()1jt kjtk pp qe qe ∞==-∑又200()kkk k q qE X kpq p kq p p p ∞∞======∑∑Q222()()[()]q D X E X E X P =-=（其中 00(1)nnn n n n nxn x x ∞∞∞====+-∑∑∑）令 0()(1)n n S x n x ∞==+∑则 1000()(1)1xxnn k n xS t dt n t dt x x∞∞+===+==-∑∑⎰⎰202201()()(1)11(1)1(1)xn n dS x S t dt dxx xnx x x x ∞=∴==-∴=-=---⎰∑同理 2(1)2kkkk k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞=====+--∑∑∑∑令20()(1)k k S x k x ∞==+∑ 则211()(1)(1)xkk k k k k S t dt k t dt k xkx ∞∞∞+====+=+=∑∑∑⎰）W2、（1） 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为1,0()0,0()0,0p p bxb x e x p x b p p x --⎧>⎪=>>Γ⎨⎪≤⎩（2） 其期望和方差；（3） 证明对具有相同的参数的b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。
解 （1）设X 服从(,)p b Γ分布，则10()()p jtxp bxX b f t ex e dx p ∞--=Γ⎰ 1()0()p p jt b x b x e dx p ∞--=Γ⎰101()()()()(1)p u p p p p p b e u b u jt b x du jt p b jt b jt b∞----==Γ---⎰ 1(())x p p e x dx ∞--Γ=⎰Q （2）'1()(0)X p E X f j b∴== 2''221(1)()(0)X p p E X f j b +== 222()()()PD XE X E X b∴===（4） 若(,)i i X p b Γ: 1,2i = 则121212()()()()(1)P P X X X X jt f t f t f t b-++==-1212(,)Y X X P P b ∴=+Γ+:同理可得：()()iiP X b f t b jt∑=∑- W3、设X 是一随机变量，()F x 是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。
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i =1 N
, X n ,… 独立同 0－1 分布，且有
立. ξ = X 1 + X 2 + 答案：
4. 设 N 1 , N 2 , N 3 独立， N i 是参数为 λi 的泊松分布， i = 1,2,3. (1) 求 P ( N 1 + N 2 = n), n ∈ N ; (2) 求 P ( N 1 = k N 1 + N 2 = n), 0 ≤ k ≤ n; (3) 证明 N 1 + N 2 与 N 3 独立； (4) 求 E ( N 1 N 1 + N 2 ) 及 E ( N 1 + N 2 N 1 ).
−∞
+∞
= g (η1 ,η 2 , L,η n ) E[ξ | η1 ,η 2 , L ,η n ] 所以，有 E[ξg (η1 ,η 2 ,L ,η n ) | η1 ,η 2 ,L ,η n ] = g (η1 ,η 2 ,L ,η n ) E[ξ | η1 ,η 2 ,L ,η n ]
（4）由（3）知，取 ξ ≡ 1 ，即得结论。
∫
+∞
−∞
ξdF (ξ η | 1 ,η 2 , L ,η n )
≤ ∫ ξ dF (ξ η |来自1 ,η 2 ,L,η n )
−∞
+∞
= E ( ξ | η1 ,η 2 ,L,η n )
所以，有
E (ξ | η1 ,η 2 , L,η n ) ≤ E ( ξ | η1 ,η 2 , L,η n )
X 1 , X 2 ,... 是独立同分布的随机变量序列，且与 N 相互独立。那么周日该商店一
天营业额的平均值是多少？（假定 EN ， EX 1 已知）。 答案：
E (∑ X i ) = E[ E (∑ X i ) | N ]
i =1 i =1 N
N
N
= ∑ E (∑ X i | N = n)P( N = n)
答案：
答案： （1） 因为 ξ 与η1 ,η 2 , L,η n 独立，所以有
f (ξ ,η1 ,η 2 ,L,η n ) f (ξ ) f (η1 ,η 2 ,L,η n ) = = f (ξ ) f (η1 ,η 2 ,L,η n ) f (η1 ,η 2 ,L,η n ) 从而，对任意η1 ,η 2 ,L ,η n 有 f (ξ | η1 ,η 2 ,Lη n ) =
n =1 ∞ i =1 n
∞
= ∑ E (∑ X i | N = n)P( N = n)
n =1 ∞ i =1 n
= ∑ E (∑ X i )P ( N = n)
n =1 ∞ i =1
= ∑ nEX 1 P( N = n)
n =1
= EN ⋅ EX 1
3．设 X 1 , X 2 ,
P ( X n = 1) = p = 1 − P( X n = 0),0 < p < 1, N 是参数为 λ 的泊松分布，且与 {X n } 独
（3）对任意η1 ,η 2 ,L ,η n 有
E[ξg (η1 ,η 2 ,L,η n ) | η1 ,η 2 ,L,η n ] = ∫ ξg (η1 ,η 2 , L,η n ) f (ξ | η1 ,η 2 ,Lη n )dξ
−∞
+∞
= g (η1 ,η 2 ,L,η n ) ∫ ξf (ξ | η1 ,η 2 ,Lη n )dξ
+∞ +∞ −∞ −∞
∫
∫
ξf (ξ | η1 ,η 2 ,L,η n ,η n+1 ) f (η n+1 | η1 ,η 2 ,Lη n )dξ dη n +1
ξ
= ∫ ξf (ξ | η1 ,η 2 ,Lη n )dξ
−∞
+∞
对任意η1 ,η 2 ,L ,η n ,η n +1 有 E [E (ξ | η1 ,η 2 , L ,η n ) | η1 ,η 2 , L ,η n ,η n +1 ] = E (ξ | η1 ,η 2 , L,η n ) E (1 | η1 ,η 2 , L ,η n ,η n +1 ) = E (ξ | η1 ,η 2 , L ,η n ) 所以，有 E [E (ξ | η1 ,η 2 , L,η n ,η n +1 ) | η1 ,η 2 , L ,η n ] = E (ξ | η1 ,η 2 , L ,η n ) = E [E (ξ | η1 ,η 2 , L,η n ) | η1 ,η 2 , L ,η n ,η n +1 ]
=∫ f (ξ ,η1 ,η 2 ,L,η n ,η n +1 ) f (η1 ,η 2 ,L,η n ,η n +1 ) ⋅ dξ dη n +1 f (η1 ,η 2 ,L,η n ,η n +1 ) f (η1 ,η 2 ,L,η n ) +∞ +∞ f (ξ ,η1 ,η 2 , L,η n ,η n +1 ) =∫ ∫ ξ dξ dη n +1 −∞ −∞ f (η1 ,η 2 , L,η n ) +∞ f (ξ ,η1 ,η 2 ,L,η n ) =∫ ξ dξ −∞ f (η1 ,η 2 ,L,η n )
第二次作业答案(部分)
1，一矿工困在矿井中，要达到安全地带，有三个通道可选择。他从第一个通道 出去要走 3 小时可到达安全地带，从第二个通道出去要走 5 个小时又返回原 处，从第三个通道出去要走 7 个小时也返回原处。设任一时刻都等可能地选中 其中一个通道。试问他到达安全地点平均要花多长时间。 答案：设 X 表示矿工到达安全地点所需时间， Y 表示他选定的通道。则有
E (ξ | η1 ,η 2 ,L,η n ) = ∫ ξf (ξ | η1 ,η 2 , Lη n )dξ = ∫ ξf (ξ )dξ =Eξ
−∞ −∞
+∞
+∞
因此 （2）对任意η1 ,η 2 ,L ,η n 有 E (ξ | η1 ,η 2 ,L ,η n ) = Eξ
E (ξ | η1 ,η 2 , L,η n ) =
（5）对任意η1 ,η 2 ,L ,η n 有
+∞
E [E (ξ | η1 ,η 2 , L,η n ,η n +1 ) | η1 ,η 2 , L ,η n ]
−∞ +∞ +∞ −∞ −∞
= ∫ E (ξ | η1 ,η 2 , L,η n ,η n +1 ) f (η n +1 | η1 ,η 2 ,Lη n )dη n +1 =∫
= E (ξ | η1 ,η 2 , L,η n )
EX = E[ E ( X | Y )] = E ( X | Y = 1) P(Y = 1) + E ( X | Y = 2) P (Y = 2) + E ( X | Y = 3) P(Y = 3) 1 = [3 + (5 + EX ) + (7 + Ex)] 3
所以 EX = 15
2，周日进入某商店地顾客数是随机变量 N ， X i 是第 i 个顾客所花的钱数，