2013届高三人教A版文科数学一轮复习课时作业(65)参数方程)

课时作业(六十五) [第65讲 参数方程]
[时间：35分钟 分值：80分]
基础热身
1．参数方程⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝sin t ＋1，y ＝2sin t －1
(t 为参数)的普通方程为________．
2．在直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝cos θ，y ＝sin θθ∈[0，π]，以x 轴的正半轴为
极轴建立极坐标系，曲线C 2在极坐标系中的方程为ρ＝b
sin θ－cos θ
.若曲线C 1与C 2有两个不
同的交点，则实数b 的取值范围是________．
3．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2sin θ，设直线l 的参数方程是⎩
⎨⎧
x ＝－3
5
t ＋2，
y ＝45
t (t
为参数)．设直线l 与x 轴的交点是M ，而N 为曲线C 上一动点，则|MN |的最大值是________．
4．直线⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝t sin40°
－5，y ＝－t cos40°＋2(t 为参数)的倾斜角为________．
能力提升
5．设直线l 1的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋t ，
y ＝1＋3t (t 为参数)，直线l 2的方程为y ＝3x ＋4，则l 1与
l 2的距离为________．
6．[2011·济南模拟] 曲线的参数方程是⎩
⎨⎧
x ＝t 2＋1
t
2，
y ＝t ＋
1t
(t 是参数，t ≠0)，它的普通方
程是________．
7．设极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合．已知曲线C 1的极坐标方程是：ρcos ⎝⎛⎭
⎫θ＋π3＝m ，曲线C 2参数方程为：⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2＋2cos θ，
y ＝2sin θ(θ为参数)，若两曲线有公共点，则实数m 的
取值范围是________．
8．[2011·南京模拟] 直线⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－1＋t cos α，
y ＝t sin α(t 为参数)与圆ρ＝2cos θ相切，则此直线
的倾斜角α＝________.
9．已知a ，b ，c 成等差数列，则直线ax －by ＋c ＝0被曲线⎩⎨⎧
x ＝2cos θ，
y ＝2＋3sin θ
(θ为参数)
截得线段的长度的最大值为________．
10．已知曲线⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋cos θ，
y ＝sin θ(参数θ∈[0,2π))，则该曲线上的点与定点A (－1，－1)的
距离的最小值是________．
11．[2011·湖南卷] 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩
⎨⎧
x ＝2cos α，
y ＝3sin α(α为参
数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则C 1与C 2的交点个数为________．
12．(13分)已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，C 2：⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)． (1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π
2
，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：
⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t (t 为参数)距离的最小值． 难点突破
13．(12分)[2011·福建卷] 在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C
的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝3cos α，y ＝sin α
(α为参数)．
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴
正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭
⎫4，π
2，判断点P 与直线l 的位置关系； (2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．
课时作业(六十五)
【基础热身】
1．y ＝2x －3(0≤x ≤2) [解析] 消去参数sin t ，得y ＝2x －3.因为sin t ∈[－1,1]，所以x ∈[0,2]，所以普通方程为y ＝2x －3(0≤x ≤2)．
2．1≤b <2 [解析] 曲线C 1为半圆x 2＋y 2＝1(0≤y ≤1)，曲线C 2的直角坐标方程为x －y ＋b ＝0.
结合图形知，当直线与半圆相切时，
|b |
2
＝1，即b ＝2(b ＝－2舍去)， 当直线经过点(－1,0)时，直线与半圆有两个交点，此时b ＝1.故当1≤b <2时，曲线C 1
与C 2有两个不同的交点．
3.5＋1 [解析] 曲线C 的直角坐标方程为：x 2＋y 2－2y ＝0，直线的普通方程为y ＝－
4
3
(x －2)，令y ＝0得x ＝2，即M 点的坐标为(2,0)．
又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(0,1)，半径r ＝1，则|MC |＝5，|MN |≤|MC |＋r ＝5＋1.
4．130° [解析] 将参数方程⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝t sin40°－5，y ＝－t cos40°＋2(t 为参数)化为普通方程，得y －2
x ＋5＝－
cos40°sin40°，即y －2＝－sin50°
cos50°(x ＋5)，所以y ＝－tan50°(x ＋5)＋2，即y ＝tan130°(x ＋5)＋2，所以直线的倾斜角为130°.
【能力提升】
5.310
5 [解析] 由题知直线l 1的普通方程为3x －y －2＝0，故l 1与l 2的距离为|4＋2|10
＝
310
5
. 6．y 2＝x ＋2(x ≥2) [解析] 因为y 2＝⎝⎛⎭⎫t ＋1t 2＝t 2＋1t 2＋2＝x ＋2，而x ＝t 2＋1t 2≥2t 2·1t 2
＝2.
7．[ －1,3] [解析] 将两曲线方程化为直角坐标方程，得C 1：x －3y －2m ＝0，C 2：(x －2)2
＋y 2＝4.
因为两曲线有公共点，所以|2－2m |
2
≤2，即－1≤m ≤3，
故m ∈[－1,3]． 8.π6或5π
6
[解析] 直线与圆的普通方程分别是y ＝tan α·(x ＋1)，(x －1)2＋y 2＝1，由直线与圆相切，得|2tan α|1＋tan 2α
＝1，所以tan 2
α＝13.因为α∈[0，π)，则α＝π6或5π6.
9．4 [解析] 因为a ，b ，c 成等差数列，所以a －2b ＋c ＝0，即直线ax －by ＋c ＝0恒
过定点P (1,2)，曲线⎩⎨⎧
x ＝2cos θ，y ＝2＋3sin θ
的普通方程是椭圆x 24＋(y －2)
2
3＝1，因此点P (1,2)是椭圆
的一个焦点，所以直线ax －by ＋c ＝0被曲线⎩⎨⎧
x ＝2cos θ，
y ＝2＋3sin θ
(θ为参数)截得线段的长度的最
大值为4.
10.5－1 [解析] 将⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋cos θ，
y ＝sin θ化为普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，它表示圆，圆心
为C (1,0)，半径为r ＝1，所以|CA |＝(－1－1)2＋(－1)2＝5，那么圆上的点与定点A (－1，
－1)的距离的最小值是|CA |－r ＝5－1.
11．2 [解析] 曲线C 1的参数方程为⎩
⎨⎧
x ＝2cos α，y ＝3sin α，化为普通方程：x 24＋y 2
3＝1 ①，
曲线C 2的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，化为普通方程：x －y ＋1＝0 ②.
联立①，②得7x 2＋8x －8＝0，此时Δ＝82－4×7×(－8)>0.故C 1与C 2的交点个数为2.
12．[解答] (1)C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2
＝1，C 2：x 264＋y 29
＝1.
C 1为圆心是(－4,3)，半径是1的圆；
C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．
(2)当t ＝π
2
时，P (－4,4)，又Q (8cos θ，3sin θ)，故M ⎝⎛⎭⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ. C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离d ＝5
5
|4cos θ－3sin θ－13|＝5⎪⎪⎪⎪cos (θ＋α)－135其中cos α＝45，sin α＝3
5.
从而d 的最小值为85
5
.
【难点突破】
13．[解答] (1)把极坐标系下的点P ⎝⎛⎭
⎫4，π
2化为直角坐标， 得P (0,4)．
因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上． (2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)， 从而点Q 到直线l 的距离为
d ＝|3cos α－sin α＋4|
2＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋42
＝2cos ⎝⎛⎭
⎫α＋π
6＋2 2. 由此得，当cos ⎝⎛⎭
⎫α＋π
6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.。