人教版高三文科数学课后习题(含答案)课时规范练17同角三角函数的基本关系及诱导公式
同角三角函数的基本关系练习题及答案详解
同角三角函数的基本关系【课前复习】1．叙述任意角三角函数的定义． 2．计算下列各式的值：sin 230°＋cos 230°＝_______________；sin 2420°＋cos 2420°＝________________；︒︒45cos 45sin ＝_______________；tan 65π·cot 65π＝_______________．【学习目标】1．掌握同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，ααcos sin ＝tan α，tan αcot α＝1．2．运用同角三角函数的基本关系式解决求值问题．【基础知识精讲】本课时的重点是同角三角函数关系式及其变式的应用，难点是三角函数值符号在不同象限时的确定． 1．同角三角函数的基本关系式，反映三角函数之间的内在联系．它们都是根据三角函数的定义推导出来的．亦可以利用单位圆用几何方法推出．2．对同角三角函数基本关系式的应用应注意：（1）关系式中要注意同角．例如sin 2α＋cos 2β＝1就不恒成立．（2）关系式仅当α的值使等式两边都有意义时才成立．如，当α＝2πk （k ∈Z ）时，tan α·cot α＝1就不成立．（3）对公式除了顺用，还应用逆用、变用、活用．例如，由sin 2α＋cos 2α＝1，可变形为cos 2α＝1－sin 2α，cos α＝±α2sin 1-，1＝sin 2α＋cos 2α，sin α·cos α＝21)cos (sin 2-+αα等．（4）注意“1”的代换，可用sin 2α＋cos 2α，tan α·cot α等去代换1．3．用同角三角函数的基本关系式时一定要注意“同角”，至于角的表达形式是无关重要的，如：sin 22α＋cos 22α＝1，tan 2α＝2cos2sinαα，tan4α·cot4α＝1等．4．sin 2α是（sin α）2的简写，读作“sin α的平方”，而不能写成sin α2，前者是α的正弦值的平方，后者是α的平方的正弦，两者是不同的．5．同角三角函数的基本关系式有哪些应用？（1）已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求出其余两个； （2）化简三角函数式； （3）证明简单的三角恒等式．其中，根据角α终边所在象限求出其三角函数值，是本课时的一个难点，它的结果不唯一，需要讨论，正确运用平方根及象限角的概念，是解决这一难点的关键．6．根据一个任意角的正弦、余弦、正切中的一个值求其余两个值（简称“知一求二”）时，如何判断是一组结果还是两组结果？如果角所在象限已指定，那么只有一组解；如果角所在象限没有指定，一般应有两组解． 7．基本关系式的重要等价变形有哪几个？常用的有以下几个：sin 2α＝1－cos 2α；cos 2α＝1－sin 2α；sin α＝cos α·tan α；cos α＝ααtan sin ；（sin α±cos α）2＝1±2sin αcos α；α2sin1-＝|cos α|．【学习方法指导】［例1］已知α是第三象限角且tan α＝2，求cos α的值．分析：本题是1992年高考题，虽然简单，但有很高的训练价值，下面给出两种解法．解法一：（公式法）由tan α＝2知ααcos sin ＝2，sin α＝2cos α，sin 2α＝4cos 2α，而sin 2α＋cos 2α＝1，∴4cos 2α＋cos 2α＝1，cos 2α＝51．由α在第三象限知cos α＝－55解法二：（锐角示意图法）图4－4－1先视α为锐角，作锐角示意图，如图4－4－1，则cos ABC ＝55∵α是第三象限角，∴cos α＝－55．当已知角的一个三角函数值是字母时，如何求其他三角函数值？ ［例2］已知sin α＝m （|m |<1），求tan α，cos α．分析：由sin α求cos α，需用公式sin 2α＋cos 2α＝1，但cos α取正或取负应根据α所在象限来确定，所以需对α分类讨论．解：（1）当－1<m <1，且m ≠0时， 若α在第一、四象限，则cos α＝221sin1m -=-α，tan α＝ααcos sin ＝21m m -＝2211m m m --；若α在第二、三象限，则cos α＝－21m -，tan α＝2211cos sin m m m ---=αα．（2）若m ＝0，则α＝k π（k ∈Z ）， ∴tan α＝0，cos α＝±1．点评：当已知角α的一个三角函数值为字母时，应对α分类讨论．［例3］已知tan α＝－34，求下列各式的值：（1）ααααsin cos 3sin 3cos 2++；（2）2sin 2α＋sin αcos α－3cos 2α．分析：根据题目的条件，可将欲求值的式用tan α来表达．解：（1）原式＝ααtan 3tan 32++＝)34(3)34(32-+-⋅+＝56-． （2）原式＝αααααα2222cos sin cos 3cos sin sin 2+-+＝1tan 3tan tan 222+-+ααα＝2571)34(3)34()34(222-=+---+-⨯．点评：本例的解法，体现了一种转化与化归的数学思想方法，把含有正弦、余弦的分式和齐次式转化为只含有正切的式子是常用的三角变换技巧．【知识拓展】1．根据同角三角函数的基本关系式及三角函数的定义，可得出八个式子．即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅=⋅⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+ααααααααααααααααααsin cos cot cos sin tan 1sec cos 1csc sin 1cot tan csc cot 1sec tan 11cos sin 222222 2．同角三角函数的基本关系式是整个三角函数一章的重点内容之一，应牢记三个基本公式，并能正确地运用它们进行三角函数求值、化简、证明．在应用中逐渐掌握解题技巧： 如“1”的变形，切化弦思想，等价转化的思想．【同步达纲训练】 一、选择题1．若sin α＝54，且α是第二象限角，则tan α的值等于（ ）A ．－34B ．43C ．±43D ．±342．已知sin α＋cos α＝51，且0≤α<π，那么tan α等于（ ） A ．－34B ．－43C ．43D ．343．若sin 4α＋cos 4α＝1，则sin α＋cos α等于（ ） A ．±2B ．1C ．－1D ．±1二、填空题4．若sin α＋3cos α＝0，则ααααsin 3cos 2sin 2cos -+的值为____________． 5．已知tan α＝2，则ααcos sin 1＝____________．三、解答题6．已知tan θ＋cos t θ＝2，求：（1）sin θ·cos θ的值；（2）sin θ＋cos θ的值；（3）sin 3θ＋cos 3θ的值．]参考答案【课前复习】1．（略） 2．1 1 1 1【同步达纲训练】一、1．A 根据α是第二象限角，由平方关系可得cos α＝－53，从而tan α＝ααcos sin ＝－34． 2．A 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1cos sin 51cos sin 22αααα得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==53cos 54sin αα或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=54cos 53sin αα 又因为0≤α<π，故取sin α＝54，这时cos α＝－53，求得tan α＝－34．3．D ∵（sin 2α＋cos 2α）2＝sin 4α＋cos 4α＋2sin 2αcos 2α＝1＋2sin 2αcos 2α，sin 2α＋cos 2α＝1∴sin 2αcos 2α＝0sin αcos α＝0 当sin α＝0时，cos α＝±1 当cos α＝0时，sin α＝±1． ∴所以sin α＋cos α＝±1．二、4．－115 由已知可得tan α＝－3，于是原式＝9261tan 32tan 21+-=-+αα＝－115． 5．25 ααcos sin 1⋅＝ααααcos sin cos sin 22+＝tan α＋αtan 1＝2＋21＝25．三、6．解：（1）∵tan θ＋cot θ＝2，∴θθcos sin ＋θθsin cos ＝2，θθθθcos sin cos sin 22⋅+＝2∴sin θ·cos θ＝21；（2）∵（sin θ＋cos θ）2＝sin 2θ＋2sin θ·cos θ＋cos 2θ＝1＋2×21＝2又tan θ＋cot θ＝2>0，可得sin θ·cos θ＝21>0，故sin θ与cos θ同号，从而sin θ＋cos θ＝⎪⎩⎪⎨⎧-为第三象限角当为第一象限角当θθ2 2；（3）∵sin 3θ＋cos 3θ＝（sin θ＋cos θ）（sin 2θ－sin θ·cos θ＋cos 2θ）＝ 21（sin θ＋cos θ）∴sin 3θ＋cos 3θ＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-为第三象限角当为第一象限角当θθ22 22。
6.2(新课标)同角三角函数基本关系式及诱导公式(典型例题+习题+答案)2doc
同角三角函数基本关系式及诱导公式必修四：(新课标)同角三角函数基本关系式及诱导公式(典型例题+习题+答案)1． 同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2. 诱导公式1． (2011·大纲全国)已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________. 答案 －55解析 ∵tan α＝2，∴sin αcos α＝2，∴sin α＝2cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴(2cos α)2＋cos 2α＝1，∴cos 2α＝15.又∵α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，∴cos α＝－55. 2． 若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为________．答案 34解析 原式＝2tan α－1tan α＋2＝34.3． 已知α是第二象限的角，tan α＝－12，则cos α＝________.答案 －255解析 ∵α是第二象限的角，∴cos α<0.又sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α＝－12，∴cos α＝－255.4． sin 43π·cos 56π·tan ⎝⎛⎭⎫－43π的值是________． 答案 －334解析 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫π－π6·tan ⎝⎛⎭⎫－π－π3 ＝⎝⎛⎭⎫－sin π3·⎝⎛⎭⎫－cos π6·⎝⎛⎭⎫－tan π3 ＝⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－32×(－3)＝－334.5． 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝23，则sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝________. 答案 －23解析 sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝sin ⎣⎡⎦⎤－π2－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－23. 题型分析 深度剖析题型一 同角三角函数基本关系式的应用例1 已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15.(1)求sin A cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tan A 的值．思维启迪：由sin A ＋cos A ＝15及sin 2A ＋cos 2A ＝1，可求sin A ，cos A 的值．解 (1)∵sin A ＋cos A ＝15①∴两边平方得1＋2sin A cos A ＝125，∴sin A cos A ＝－1225.(2)由sin A cos A ＝－1225<0，且0<A <π，可知cos A <0，∴A 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形． (3)∵(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A＝1＋2425＝4925，又sin A >0，cos A <0，∴sin A －cos A >0，∴sin A －cos A ＝75.②∴由①，②可得sin A ＝45，cos A ＝－35，∴tan A ＝sin A cos A ＝45－35＝－43.探究提高 (1)对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求．转化的公式为(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；(2)关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子．(1)已知tan α＝2，求sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α； (2)已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，求cos α. 解 (1)sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α ＝sin 2α＋sin αcos α－2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋tan α－2tan 2α＋1＝45.(2)∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，∴sin 2α＝4sin 2β，① tan 2α＝9tan 2β，② 由①÷②得：9cos 2α＝4cos 2β，③ ①＋③得：sin 2α＋9cos 2α＝4，∵cos 2α＋sin 2α＝1，∴cos 2α＝38，即cos α＝±64.题型二 三角函数的诱导公式的应用例2(1)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α的值； (2)已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－72π的值． 思维启迪：(1)将π6＋α看作一个整体，观察π6＋α与5π6－α的关系．(2)先化简已知，求出cos α的值，然后化简结论并代入求值．解 (1)∵⎝⎛⎭⎫π6＋α＋⎝⎛⎭⎫5π6－α＝π，∴5π6－α＝π－⎝⎛⎭⎫π6＋α. ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝－33， 即cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝－33.(2)∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35.∴sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－72π ＝sin(π＋α)·⎣⎡⎦⎤－tan ⎝⎛⎭⎫72π－α＝sin α·tan ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin α·sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α·cos αsin α＝cos α＝35.探究提高 熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键．另外，切化弦是常用的规律技巧．(1)化简：tan (π＋α)cos (2π＋α)sin ⎝⎛⎭⎫α－3π2cos (－α－3π)sin (－3π－α)；(2)已知f (x )＝sin (π－x )cos (2π－x )tan (－x ＋π)cos ⎝⎛⎭⎫－π2＋x ，求f ⎝⎛⎭⎫－31π3的值． 解 (1)原式＝tan αcos αsin ⎣⎡⎦⎤－2π＋⎝⎛⎭⎫α＋π2cos (3π＋α)[－sin (3π＋α)]＝tan αcos αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α(－cos α)sin α＝tan αcos αcos α(－cos α)sin α＝－tan αcos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.(2)∵f (x )＝sin x ·cos x ·(－tan x )sin x＝－cos x ·tan x ＝－sin x ，∴f ⎝⎛⎭⎫－31π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫－31π3＝sin 31π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫10π＋π3＝sin π3＝32. 题型三 三角函数式的化简与求值例3 (1)已知tan α＝13，求12sin αcos α＋cos 2α的值；(2)化简：tan (π－α)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－α－π)sin (－π－α).思维启迪：三角函数式的化简与求值，都是按照从繁到简的形式进行转化，要认真观察式子的规律，使用恰当的公式．解 (1)因为tan α＝13，所以12sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α＋12tan α＋1＝23. (2)原式＝－tan α·cos (－α)·sin ⎝⎛⎭⎫－α－π2cos (π－α)·sin (π－α)＝tan α·cos α·sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2－cos α·sin α＝sin αcos α·cos α－sin α＝－1.探究提高 在三角变换中，要注意寻找式子中的角，函数式子的特点和联系，可以切化弦，约分或抵消，减少函数种类，对式子进行化简．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－55，α∈(0，π)， 求cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋α2－cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α2sin (π－α)＋cos (3π＋α)的值． 解 ∵sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－55，∴cos α＝－55，又α∈(0，π)， ∴sin α＝255.cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋α2－cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α2sin (π－α)＋cos (3π＋α)＝cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋α2－sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α2sin α－cos α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin α－cos α＝－sin αsin α－cos α＝－23.分类讨论思想在三角函数化简中的应用典例：(12分)化简：sin ⎝⎛⎭⎫4n －14π－α＋cos ⎝⎛⎭⎫4n ＋14π－α (n ∈Z )．审题视角 (1)角中含有变量n ，因而需对n 的奇偶分类讨论．(2)利用诱导公式，需将角写成符合公式的某种形式，这就需要将角中的某一部分作为一个整体来看． 规范解答解 当n 为偶数时，设n ＝2k (k ∈Z )，则[1分]原式＝sin ⎝⎛⎭⎫8k －14π－α＋cos ⎝⎛⎭⎫8k ＋14π－α＝sin ⎣⎡⎦⎤2k π＋⎝⎛⎭⎫－π4－α＋cos ⎣⎡⎦⎤2k π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4－α＋cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0.[5分] 当n 为奇数时，设n ＝2k ＋1 (k ∈Z )，则 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫8k ＋34π－α＋cos ⎝⎛⎭⎫8k ＋54π－α＝sin ⎣⎡⎦⎤2k π＋⎝⎛⎭⎫3π4－α＋cos ⎣⎡⎦⎤2k π＋⎝⎛⎭⎫5π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4－α＋cos ⎝⎛⎭⎫5π4－α ＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0 故sin ⎝⎛⎭⎫4n －14π－α＋cos ⎝⎛⎭⎫4n ＋14π－α＝0.温馨提醒 (1)本题的化简过程，突出体现了分类讨论的思想，当然除了运用分类讨论的思想将n 分两类情况来讨论外，在解答过程中还处处体现了化归思想和整体思想． (2)在转化过程中，缺乏整体意识，是出错的主要原因.方法与技巧同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础，主要是变名、变式． 1． 同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍．2． 三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x ＝sin xcos x化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝sin 2θ⎝⎛⎭⎫1＋1tan 2θ＝tan π4＝…. 失误与防范1． 利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．2． 在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． 3． 注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．A 组 专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α等于( )A ．－32B.32C ．－12D.12答案 D解析 因为α和β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )．又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12.2． cos(－2 013π)的值为( )A.12B ．－1C ．－32D ．0答案 B解析 cos(－2 013π)＝cos(－2 014π＋π)＝cos π＝－1.3． 已知f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)cos (－π－α)·tan (π－α)，则f ⎝⎛⎭⎫－25π3的值为 ( ) A.12B ．－12C.32D ．－32答案 A解析 ∵f (α)＝sin αcos α－cos α·(－tan α)＝cos α，∴f ⎝⎛⎭⎫－25π3＝cos ⎝⎛⎭⎫－25π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫8π＋π3＝cos π3＝12. 4． 当0<x <π4时，函数f (x )＝cos 2xcos x sin x －sin 2x 的最小值是( )A.14B.12C ．2D ．4答案 D解析 当0<x <π4时，0<tan x <1，f (x )＝cos 2x cos x sin x －sin 2x ＝1tan x －tan 2x， 设t ＝tan x ，则0<t <1，y ＝1t －t 2＝1t (1－t )≥4. 当且仅当t ＝1－t ，即t ＝12时等号成立．二、填空题(每小题5分，共15分)5． 如果sin α＝15，且α为第二象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝________. 答案265解析 ∵sin α＝15，且α为第二象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－125＝－265， ∴sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝－cos α＝265. 6． 已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13，则 cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12的值为________．答案 －13解析 cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π2 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－13. 7. sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2·tan (α＋π)sin (π－α)＝________.答案 －1解析 原式＝－cos α·tan αsin α＝－sin αsin α＝－1.三、解答题(共22分) 8． (10分)已知sin θ＋cos θ＝23(0<θ<π)，求tan θ的值． 解 将已知等式两边平方，得sin θcos θ＝－718，∴π2<θ<π， ∴sin θ－cos θ＝(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝43.解方程组⎩⎨⎧sin θ＋cos θ＝23，sin θ－cos θ＝43，得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝2＋46，cos θ＝2－46，∴tan θ＝sin θcos θ＝－9－427.9． (12分)已知sin(3π＋θ)＝13，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos (θ－π)－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ的值．解 ∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，∴sin θ＝－13，∴原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos (2π－θ)－sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θcos (π－θ)＋cos θ＝11＋cos θ＋cos θ－cos 2θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝2⎝⎛⎭⎫－132＝18.B 组 专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1． 若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α等于 ( )A ．－79B ．－13 C.13D.79答案 A解析 ∵⎝⎛⎭⎫π3＋α＋⎝⎛⎭⎫π6－α＝π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝13. 则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π3＋α－1＝－79. 2． 已知1＋sin αcos α＝－12，则cos αsin α－1的值是( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2答案 A解析 由同角三角函数关系式1－sin 2α＝cos 2α及题意可得cos α≠0且1－sin α≠0， ∴1＋sin αcos α＝cos α1－sin α，∴cos α1－sin α＝－12，即cos αsin α－1＝12. 3． 若cos α＋2sin α＝－5，则tan α等于( )A.12B ．2C ．－12D ．－2答案 B解析 由cos α＋2sin α＝－5可知，cos α≠0，两边同时除以cos α得1＋2tan α＝－5cos α，平方得(1＋2tan α)2＝5cos 2α＝5(1＋tan 2α)，∴tan 2α－4tan α＋4＝0，解得tan α＝2. 二、填空题(每小题5分，共15分)4． 若sin(π＋α)＝－12，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos α＝________. 答案 －32解析 ∵sin(π＋α)＝－sin α，∴sin α＝12.又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－1－sin 2α＝－32. 5． 已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝________. 答案 45解析 sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ1＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝4＋2－24＋1＝45. 6． 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是________． 答案 0解析 cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a .sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ，∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝0. 三、解答题7． (13分)已知A 、B 、C 是三角形的内角，3sin A ，－cos A 是方程x 2－x ＋2a ＝0的两根．(1)求角A .(2)若1＋2sin B cos B cos 2B －sin 2B＝－3，求tan B .解 (1)由已知可得，3sin A －cos A ＝1① 又sin 2A ＋cos 2A ＝1， ∴sin 2A ＋(3sin A －1)2＝1， 即4sin 2A －23sin A ＝0，得sin A ＝0(舍去)或sin A ＝32，∴A ＝π3或2π3， 将A ＝π3或2π3代入①知A ＝23π时不成立，∴A ＝π3.(2)由1＋2sin B cos Bcos 2B －sin 2B＝－3，得sin 2B －sin B cos B －2cos 2B ＝0， ∵cos B ≠0，∴tan 2B －tan B －2＝0， ∴tan B ＝2或tan B ＝－1.∵tan B ＝－1使cos 2B －sin 2B ＝0，舍去， 故tan B ＝2.。
高一三角函数公式及诱导公式习题(附答案)
欢迎阅读三角函数公式1． 同角三角函数基本关系式 sin 2α＋cos 2α=1 sin αcos α=tan α tan αcot α=12． 诱导公式 (奇变偶不变，符号看象限)（一） sin(π－α)＝sin α sin(π+α)＝-sin αcos(π－α)＝-cos α cos(π+α)＝-cos α tan(π－α)＝-tan α tan(π+α)＝tan α sin(2π－α)＝-sin α sin(2π+α)＝sin α cos(2π－α)＝cos α cos(2π+α)＝cos α tan(2π－α)＝-tan α tan(2π+α)＝tan α （二） sin(π2 －α)＝cos α sin(π2 +α)＝cos αcos(π2 －α)＝sin α cos(π2 +α)＝- sin αtan(π2 －α)＝cot α tan(π2 +α)＝-cot αsin(3π2 －α)＝-cos α sin(3π2 +α)＝-cos αcos(3π2 －α)＝-sin α cos(3π2 +α)＝sin αtan(3π2 －α)＝cot α tan(3π2+α)＝-cot αsin(－α)＝－sin α cos(－α)=cos α tan(－α)=－tan α3． 两角和与差的三角函数cos(α+β)=cos αcos β－sin αsin β cos(α－β)=cos αcos β＋sin αsin β sin (α+β)=sin αcos β＋cos αsin β sin (α－β)=sin αcos β－cos αsin β tan(α+β)=tan α+tan β1－tan αtan βtan(α－β)= tan α－tan β1＋tan αtan β4． 二倍角公式 sin2α=2sin αcos αcos2α=cos 2α－sin 2α＝2 cos 2α－1＝1－2 sin 2α tan2α=2tan α1－tan 2α5． 公式的变形（1） 升幂公式：1＋cos2α＝2cos 2α 1—cos2α＝2sin 2α（2） 降幂公式：cos 2α＝1＋cos2α2 sin 2α＝1－cos2α2（3） 正切公式变形：tan α+tan β＝tan(α+β)（1－tan αtan β） tan α－tan β＝tan(α－β)（1＋tan αtan β) （4） 万能公式（用tan α表示其他三角函数值）sin2α＝2tan α1+tan 2α cos2α＝1－tan 2α1+tan 2α tan2α＝2tan α1－tan 2α 6． 插入辅助角公式asinx ＋bcosx=a 2+b 2 sin(x+φ) (tan φ= ba)特殊地：sinx ±cosx ＝ 2 sin(x ±π4)7． 熟悉形式的变形（如何变形）1±sinx ±cosx 1±sinx 1±cosx tanx ＋cotx若A 、B 是锐角，A+B ＝π4，则（1＋tanA ）(1+tanB)=28． 在三角形中的结论若：A ＋B ＋C=π , A+B+C 2 =π2则有tanA ＋tanB ＋tanC=tanAtanBtanCtan A 2 tan B 2 ＋tan B 2 tan C 2 ＋tan C 2 tan A2＝1 三角函数的诱导公式1一、选择题1．如果|cos x |=cos （x +π），则x 的取值集合是（ ） A ．－2π+2k π≤x ≤2π+2k π B ．－2π+2k π≤x ≤2π3+2k πC ．2π+2k π≤x ≤2π3+2k π D ．（2k +1）π≤x ≤2（k +1）π（以上k ∈Z ）2．sin （－6π19）的值是（ ） A ．21 B ．－21C ．23 D ．－23 3．下列三角函数：①sin （n π+3π4）；②cos （2n π+6π）；③sin （2n π+3π）；④cos ［（2n +1）π－6π］；⑤sin ［（2n +1）π－3π］（n ∈Z ）．其中函数值与sin 3π的值相同的是（ ） A ．①②B ．①③④C ．②③⑤D ．①③⑤4．若cos （π+α）=－510，且α∈（－2π，0），则tan （2π3+α）的值为（ ） A ．－36 B ．36C ．－26 D ．26 5．设A 、B 、C 是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是（ ）A ．cos （A +B ）=cos CB ．sin （A +B ）=sinC C ．tan （A +B ）=tan CD ．sin2B A +=sin 2C6．函数f （x ）=cos3πx（x ∈Z ）的值域为（ ） A ．{－1，－21，0，21，1} B ．{－1，－21，21，1} C ．{－1，－23，0，23，1}D ．{－1，－23，23，1} 二、填空题7．若α是第三象限角，则)πcos()πsin(21αα---=_________． 8．sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°=_________．三、解答题9．求值：sin （－660°）cos420°－tan330°cot （－690°）． 10．证明：1)πtan(1)π9tan(sin 211cos )πsin(22++-+=--⋅+θθθθθ． 11．已知cos α=31，cos （α+β）=1，求证：cos （2α+β）=31． 12． 化简：︒+︒︒︒+790cos 250sin 430cos 290sin 21．13、求证：)π5sin()πcos()π6cos()π2sin()π2tan(θθθθθ+-----=tan θ．14． 求证：（1）sin （2π3－α）=－cos α； （2）cos （2π3+α）=sin α． 参考答案1一、选择题1．C 2．A 3．C 4．B 5．B 6．B 二、填空题7．－sin α－cos α 8．289 三、解答题 9．43+1． 10．证明：左边=θθθθ22sin cos cos sin 2-1--=－θθθθθθθθθθcos sin cos sin )sin )(cos sin (cos )cos (sin 2-+=-++，右边=θθθθθθθθcos sin cos sin tan tan tan tan -+=1-1+=1+-1--， 左边=右边，∴原等式成立．11．证明：∵cos （α+β）=1，∴α+β=2k π．∴cos （2α+β）=cos （α+α+β）=cos （α+2k π）=cos α=31． 12．解：︒+︒︒︒+790cos 250sin 430cos 290sin 21=)360270cos()70180sin()36070cos()36070sin(21︒⨯+︒+︒+︒︒+︒︒+︒-+=︒-︒︒︒-70sin 70cos 70cos 70sin 21=︒-︒︒-︒70sin 70cos )70cos 70(sin 2=︒-︒︒-︒70sin 70cos 70cos 70sin =－1．13．证明：左边=θθθθθθθθθθsin cos cos )sin )(tan ()sin )(cos ()cos()sin()tan(--=-----=tan θ=右边， ∴原等式成立．14证明：（1）sin （2π3－α）=sin ［π+（2π－α）］=－sin （2π－α）=－cos α． （2）cos （2π3+α）=cos ［π+（2π+α）］=－cos （2π+α）=sin α． 三角函数的诱导公式2一、选择题：1．已知sin(4π+α)=23，则sin(43π-α)值为（ ）A.21 B. —21C. 23D. —232．cos(π+α)= —21，23π<α<π2,sin(π2-α) 值为（ ） A.23 B. 21C. 23±D. —23 3．化简：)2cos()2sin(21-∙-+ππ得（ ）A.sin2+cos2B.cos2-sin2C.sin2-cos2D.± (cos2-sin2)4．已知α和β的终边关于x 轴对称，则下列各式中正确的是（ ） A.sinα=sinβ B. sin(α-π2) =sinβC.cosα=cosβD. cos(π2-α) =-cosβ5．设tanθ=-2, 2π-<θ<0，那么sin 2θ+cos(θ-π2)的值等于（ ），A. 51（4+5）B. 51（4-5）C. 51（4±5）D. 51（5-4）二、填空题：6．cos(π-x)=23，x ∈（-π，π），则x 的值为 ． 7．tanα=m ，则=+-+++)cos(-sin()cos(3sin(απα）απ）απ ．8．|sinα|=sin （-π+α），则α的取值范围是 ．三、解答题： 9．)cos(·3sin()cos()n(s 2sin(απα）παπα）π----+-απi ．10．已知：sin （x+6π）=41，求sin （)67x +π+cos 2（65π-x ）的值．11． 求下列三角函数值：（1）sin3π7；（2）cos 4π17；（3）tan （－6π23）； 12． 求下列三角函数值：（1）sin3π4·cos 6π25·tan 4π5； （2）sin ［（2n +1）π－3π2］. 13．设f （θ）=)cos()π(2cos 23)2πsin()π2(sin cos 2223θθθθθ-+++-++-+，求f （3π）的值.参考答案21．C 2．A 3．C 4．C 5．A6．±65π 7．11-+m m 8．[(2k-1) π,2k π]9．原式=)cos (·sin()cos()n s (sin αα）παπα--+--αi =)cos ?(sin )cos (sin 2αααα--= sinα 10．161111．解：（1）sin 3π7=sin （2π+3π）=sin 3π=23.（2）cos4π17=cos （4π+4π）=cos 4π=22.（3）tan （－6π23）=cos （－4π+6π）=cos 6π=23.（4）sin （－765°）=sin ［360°×（－2）－45°］=sin （－45°）=－sin45°=－22. 注：利用公式（1）、公式（2）可以将任意角的三角函数转化为终边在第一象限和第二象限的角的三角函数，从而求值.12．解：（1）sin 3π4·cos 6π25·tan 4π5=sin （π+3π）·cos （4π+6π）·tan （π+4π） =（－sin3π）·cos 6π·tan 4π=（－23）·23·1=－43.（2）sin ［（2n +1）π－3π2］=sin （π－3π2）=sin 3π=23.13．解：f （θ）=θθθθθcos cos 223cos sin cos 2223++-++=θθθθθcos cos 223cos cos 1cos 2223++-+-+ =θθθθθcos cos 22)cos (cos 2cos 2223++---=θθθθθcos cos 22)1(cos cos )1(cos 223++---=θθθθθθθcos cos 22)1(cos cos )1cos )(cos 1(cos 222++--++- =θθθθθcos cos 22)2cos cos 2)(1(cos 22++++- ＝cos θ－1， ∴f （3π）=cos 3π－1=21－1=－21.。
4.2同角三角函数的基本关系式及诱导公式(学案)
4.2同角三角函数的基本关系式及诱导公式(学案)知识归纳1、 同角三角函数的基本关系式（1） 平方关系 （2） 商数关系 （3） 倒数关系）记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限（其中的奇、偶是指 的奇数倍和偶数倍，变与不变是指 的变化（2）利用诱导公式把任意的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤是：任意角的三角函数→正角的三角函数→00360 的角的三角函数→锐角三角函数 3、平方关系 s is α商数关系 t a nαc o t α倒数关系 s e c α 4、sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-三者之间的关系()2sin cos 12sin cos αααα+=+()2sin cos 12sin cos αααα-=- ()()22sin cos sin cos 2αααα++-=()()22sin cos sin cos 4sin cos αααααα+--=5、同角三角函数关系式和诱导公式的应用主要包括三类题型：求值、化简、证明典型例题例1、（1）已知()cot 2πα-=，求3sin 2πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值 （2） 已知()cot 0m m α=≠，求cos α例2、已知tan 1tan 1αα=--，求下列各式的值：()4sin 2cos 15cos 3sin αααα-+ ()2s i n c o s αα ()()23sin cos αα+例3、已知()()()()()3sin cos 2tan 2cot sin f ππαπααααππα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=----（1） 化简()f α（2） 若α是第三象限角，且31cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()f α的值 （3） 若313πα=-，求()f α的值例4、（1）求证：tan sin tan sin tan sin tan sin αααααααα⋅+=-⋅（2）已知()()sin 2cos 2αππα-=- 求证：()()()()sin 5cos 233cos sin 5παπαπαα-+-=----例5、已知关于x的方程)2210x x m -+=的两根为sin θ和cos θ，()0,2θπ∈求（1）sin cos 1cot 1tan θθθθ+--的值（2）m 的值（3）方程的两根及此时θ的值堂清练习1、19sin 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值等于（ ）A 、12B 、12- C2D、2-2、如果A 为锐角，()1sin 2A π+=-，那么()cos A π-=（ ）A 、12- B 、12C、2-D23、已知a =200sin ，则160tan 等于A、- B、C、a-D、a4cos sin 1+=-，则θ是（ ）A 、第一象限角B 、第二象限角C 、第三象限角D 、第四象限角5、若022x π≤≤cos 2x =成立的x 的取值范围是（ ）A 、0,4π⎛⎫⎪⎝⎭B 、3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C 、5,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D 、30,,44πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦6、405cot 300tan +的值为＿＿＿＿。
高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析
高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析1.已知,，则角的终边在第（）象限A．一B．二C．三D．四【答案】B【解析】由题意，确定的象限，然后取得结果 .由，得在第二、四象限，由，得在第二、三象限,所以在第二象限.，故选B【考点】任意角的三角函数的定义．2.已知，则= ；【答案】【解析】分子分母同除，便会出现,【考点】三角函数的计算3.已知，且为第三象限角，（1）求的值；（2）求的值。
【答案】（1）（2）【解析】（1）由，再结合第三象限，余弦值为负，算出结果（2）先化简上式，根据，再结合（1）算出结果。
试题解析：（1）且（2分）为第三象限角（4分）（2）==（7分）=（8分）【考点】同角三角函数基本关系的运用以及三角函数的化简.4.已知，那么角是（）A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角【答案】B【解析】要，即，因此角是第二或第三象限角，故选择B.【考点】同角三角函数基本关系及三角函数值的符号确定.5.已知．【答案】.【解析】对式子两边平方，得，从而.【考点】同角三角函数基本关系（平方关系），注意通过平方可与联系.6.已知是第三象限角，且.（1）求的值;（2）求的值【答案】（1）；（2）．【解析】解题思路：(1)先求，再求，进而求；（2）联立方程组，解得，进而求所求值.规律总结：涉及“”的“知一求二”问题，要利用以下关系式：；.注意点：由的值，求的值，要注意结合角的范围确定符号．试题解析：，是第三象限角，由得．【考点】同角三角函数基本关系式.7.设函数（1）求；（2）若，且，求的值．（3）画出函数在区间上的图像（完成列表并作图）。
（1）列表（2）描点，连线【答案】（1）2；（2）；（3）见解析【解析】（1）由正弦函数周期公式得，=，即可求得；（2）将代入的解析式，得到关于的方程，结合诱导公式即可求出，再利用平方关系结合的范围，求出，再利用商关系求出；（3）先由为0和算出分别等于，，在（，）分别令取，0，，求出相应的值和值，在给定的坐标系中描出点，再用平滑的曲线连起来，就得到所要作的图像．试题解析：（1），2分（2）由（1）知由得：， 4分∵∴ 6分∴． 8分（其他写法参照给分）（3）由（1）知，于是有（1）列表11分（2）描点，连线函数 14分【考点】正弦函数周期公式；诱导公式；同角三角函数基本关系式；五点法作图8.已知且是第四象限角，则A．B．C．D．【答案】A【解析】∵=，∴，又∵是第四象限角，∴==，故选A．由诱导公式知，=，∴，由是第四象限角知，，结合同角三角函数基本关系中的平方关系得==．【考点】诱导公式；同角三角函数基本关系式；三角函数在各象限的符号9.已知，.（1）求；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由同角三角函数的基本关系：，，结合条件，可得，再由可知，从而；（2）由（1）可知，可将欲求值的表达式化为与只有关的，根据齐次的数学思想，可分子分母同时除以，从而可得：.试题解析：（1）∵，，∴， 2分又∵，∴， 4分∴； 6分（2） 9分12分.【考点】同角三角函数基本关系.10.已知为锐角,则 .【答案】.【解析】∵为锐角，，∴，，∴.【考点】1.同角三角函数基本关系；2.两角和的正切公式.11.已知x，y均为正数，，且满足，，则的值为．【答案】【解析】因为，所以而所以由得，因此或∵x、y为正数，∴【考点】同角三角函数关系，消参数12.已知的值为（）A．－2B．2C．D．－【答案】D【解析】由原式可得，解得.【考点】同角三角函数间的基本关系.13.已知，则的值为 .【答案】【解析】,即，又，故.【考点】诱导公式，同角三角函数的基本关系式.14.已知：，其中，则=【答案】【解析】因为，所以，又因，所以，.【考点】诱导公式.15.已知角的终边过点.（1）求的值；（2）若为第三象限角，且，求的值.【答案】；【解析】（1）由角的终边过点求出，利用诱导公式化简即可；（2）由为第三象限角，，可求出，结合（1）求出，利用展开式即可（1）因为的终边过点，所以，而；（2）因为为第三象限角，且，，故【考点】三角函数的定义，诱导公式，同角三角函数基本关系式，两角和与差的三角函数16.已知是第四象限的角，则= .【答案】【解析】是第四象限的角，则，而.【考点】二倍角公式、同角三角函数的基本关系.17.已知（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由即①由即②所以①+②可得即即，选A.【考点】1.同角三角函数的基本关系式；2.两角差的余弦公式.18.已知（1）化简；（2）若是第三象限角，且，求的值.【答案】(1) ;(2) .【解析】(1)根据诱导公式进行化简;(2)首先化简，根据第三象限角，同角基本关系式求,确定的值.试题解析：解：（1）；. （6）（2），又是第三象限角,，.. (6)【考点】1.诱导公式；2同角基本关系式.19.比较大小：(用“”,“”或“”连接).【答案】＞.【解析】在单位圆中，做出锐角1的正切线、正弦线、余弦线，观察他们的长度，发现正切线最长，余弦线最短，故有 tan1＞sin1＞cos1＞0.【考点】三角函数线．20.函数在区间上的最大值为，则实数的值为( )A．或B．C．D．或【答案】A【解析】因为，令，故，当时，在单调递减所以，此时，符合要求；当时，在单调递增，在单调递减故，解得舍去当时，在单调递增所以，解得，符合要求；综上可知或，故选A.【考点】1.同角三角函数的基本关系式；2.二次函数的最值问题；3.分类讨论的思想.21.已知函数(1)求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；(2)若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）先利用诱导公式，二倍角公式，化一公式将此函数化简为的形式，利用周期公式，求周期，用x的范围求出整体角的范围，结合三角函数图像求其最值。
高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析
高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析1.已知，则.【答案】3【解析】===3.【考点】同角三角函数基本关系式2.若tan α＝3，则 sin2α－2 sin αcos α＋3 cos2α＝______.【答案】【解析】sin2α－2 sin αcos α＋3 cos2α＝＝＝＝.3.已知f(α)＝，则f的值为________．【答案】－【解析】∵f(α)＝＝－cos α，∴f＝－cos＝－cos＝－cos＝－.4.化简＋＝________.【解析】原式＝＋＝－sin α＋sin α＝0.5.已知α∈(，π)，tanα＝－，则sin(α＋π)＝()A．B．－C．D．－【答案】B【解析】由题意可知，由此解得sin2α＝，又α∈(，π)，因此有sinα＝，sin(α＋π)＝－sinα＝－，故选B．6.记cos(－80°)＝k，那么tan100°＝()A．B．－C．D．－【答案】B【解析】解法一：因为cos(－80°)＝cos80°＝k，sin80°＝＝，所以tan100°＝－tan80°＝－＝－．解法二：因为cos(－80°)＝k，所以cos80°＝k，所以tan100°＝－tan80°＝＝－．7.已知sinαcosα＝，且π<α<，则cosα－sinα的值为()A．－B．C．－D．【答案】B【解析】∵π<α<，∴cosα>sinα，∴cosα－sinα>0，又∵(cosα－sinα)2＝1－2cosαsinα＝，∴cosα－sinα＝．8.若3cos(－θ)＋cos(π＋θ)＝0，则cos2θ＋sin2θ的值是________．【答案】【解析】∵3cos(－θ)＋cos(π＋θ)＝0，即3sinθ－cosθ＝0，即tanθ＝．∴cos2θ＋sin2θ＝＝＝＝＝＝．9.（5分）（2011•福建）若α∈（0，），且sin2α+cos2α=，则tanα的值等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】把已知的等式中的cos2α，利用同角三角函数间的基本关系化简后，得到关于sinα的方程，根据α的度数，求出方程的解即可得到sinα的值，然后利用特殊角的三角函数值，由α的范围即可得到α的度数，利用α的度数求出tanα即可．解：由cos2α=1﹣2sin2α，得到sin2α+cos2α=1﹣sin2α=，则sin2α=，又α∈（0，），所以sinα=，则α=，所以tanα=tan=．故选D点评：此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道基础题．学生做题时应注意角度的范围．10.已知sin α＝＋cos α，且α∈，则的值为________．【答案】－【解析】将sin α－cos α＝两边平方，得2sin α·cos α＝，(sin α＋cos α)2＝，sin α＋cos α＝，＝＝－(sin α＋cos α)＝－．11.在△ABC中,若sinA,cosA是关于x的方程3x2-2x+m=0的两个根,则△ABC是 ( )A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定【答案】A【解析】∵sinA,cosA是关于x的方程3x2-2x+m=0的两个根∴sinA+cosA=∴(sinA+cosA)2=1+2sinAcosA=即sinAcosA=-∵0o<A<180o,∴sinA>0,所以cosA<0,即90o<A<180o故知△ABC是钝角三角形12.已知，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴.【考点】三角函数求值.13.在中，角A，B，C的对边a，b，c成等差数列，且，则 .【答案】【解析】∵成等差数列，∴，∴，∵，∴，∴，∴，（1）∵且，∴代入（1）式中，，∴，∴，∴，∴.【考点】1.等差中项；2.倍角公式；3.诱导公式.14.已知，，则．【答案】【解析】由题意，，．【考点】同角间的三角函数关系．15.若则【答案】【解析】，得，∴.【考点】求三角函数值.16.α是第二象限角，tanα＝－，则sinα＝________．【答案】【解析】由解得sinα＝±.∵α为第二象限角，∴sinα>0，∴sinα＝.17. cos＝________．【答案】－【解析】cos＝cos＝cos(17π＋)＝－cos＝－.18.已知其中若．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）先由已知条件求得的值，再由平方关系可得的值，把拆为，最后利用两角和的余弦公式即可求得的值；（2）考查了三角函数中知一求三的思想，即这几个量“知一求三”．可先利用差角余弦公式将展开，求得的值，两边平方即可求得的值，再由平方关系即可求得的值，最后由商关系即可求得的值．试题解析：（1）由已知得：，（2）由，得，两边平方得：，即，∵，且，从而． 12分【考点】1．平面向量的数量积运算；2．应用三角恒等变换求三角函数的值．19.已知x∈(0,),则函数f(x)=的最大值为()A．0B．C．D．1【答案】C【解析】由已知得,f(x)==tanx-tan2x=-(tanx-)2+,∵x∈(0,),∴tanx∈(0,1),=.故当tanx=时,f(x)max20.已知sinθ,cosθ是关于x的方程x2-ax+a=0(a∈R)的两个根.(1)求cos3(-θ)+sin3(-θ)的值.(2)求tan(π-θ)-的值.【答案】(1) -2 (2) 1+【解析】【思路点拨】先由方程根的判别式Δ≥0,求a的取值范围,而后应用根与系数的关系及诱导公式求解.解：由已知,原方程的判别式Δ≥0,即(-a)2-4a≥0,∴a≥4或a≤0.又(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ,则a2-2a-1=0,从而a=1-或a=1+(舍去),因此sinθ+cosθ=sinθcosθ=1-.(1)cos3(-θ)+sin3(-θ)=sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθ·cosθ+cos2θ)=(1-)[1-(1-)]=-2.(2)tan(π-θ)-=-tanθ-=-(+)=-=-=1+.21.若sinθcosθ>0,则θ在()A．第一、二象限B．第一、三象限C．第一、四象限D．第二、四象限【答案】B【解析】∵sinθcosθ>0,∴sinθ,cosθ同号.当sinθ>0,cosθ>0时,θ在第一象限,当sinθ<0,cosθ<0时,θ在第三象限,因此,选B.22.＝()A．－B．－C．D．【解析】＝＝＝＝sin 30°＝.23.设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________.【答案】－【解析】f(x)＝sin x－2cos x＝＝sin(x－φ)，其中sin φ＝，cos φ＝，当x－φ＝2kπ＋ (k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－.24. 4cos 50°－tan 40°＝________.【答案】【解析】4cos 50°－tan 40°＝＝＝＝＝＝.25.已知α∈，且cos α＝－，则tan α＝________.【答案】2【解析】利用同角三角函数的基本关系求解．由条件可得sin α＝－，所以tan α＝＝＝2.26.若α，β∈，cos ＝，sin ＝－，则cos (α＋β)＝________.【答案】【解析】∵α，β∈，∴－<α－<，－<－β<，由cos ＝和sin ＝－得α－＝±，－β＝－，当α－＝－，－β＝－时，α＋β＝0，与α，β∈矛盾；当α－＝，－β＝－时，α＝β＝，此时cos (α＋β)＝－.27.若cos ＝，则cos ＝()．A．－B．－C．D．【答案】D【解析】∵cos ＝，∴cos ＝2cos 2－1＝－，即sin 2x＝，∴cos ＝sin 2x＝.28.已知sin θ＋cos θ＝，则sin θ－cos θ的值为________．【答案】－【解析】∵sin θ＋cos θ＝，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2cos θsin θ＝，∴2cos θsin θ＝，∴(sin θ－cos θ)2＝1－＝，又θ∈，∴sin θ＜cos θ，∴sin θ－cos θ＝－.29.已知，则=____________.【答案】【解析】，根据，可知：，故答案为.【考点】同角三角函数的基本关系式的运算30.已知，且，则．【答案】【解析】因为，所以。
高中数学人教版必修四课后练习(含解析)：1.2.2同角三角函数的基本关系.docx
精心制作仅供参考唐玲出品高中数学学习材料唐玲出品1.2.2同角三角函数的基本关系班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________课后练习基础过关1．已知是三角形的一个内角，且，那么这个三角形的形状是A.锐角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形2．已知，，其中，则tanθ的值为B.C.与m的值有关A.C或3．函数的值域是A.，B.，C.，，D.，4．已知，那么(cosθ+3)(sinθ+1)的值为A.6B.4C.2D.05．已知sin α+cos α=,则tan α+=.6．已知关于x的方程的两根为sinθ和cosθ，且θ∈(0，2π).精心制作仅供参考唐玲出品马鸣风萧萧(1)求m的值；(2)求方程的两根及此时θ的值.7．若<α<π, 化简+.8．已知．试用表示的值．能力提升1．化简：．2．已知角，且满足条件，.(1)求的值；(2)求m的值与此时θ的值.精心制作仅供参考唐玲出品1.2.2同角三角函数的基本关系详细答案【基础过关】1．B【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系以及三角函数符号的判定.∵，∴．又∵，时，，∴．∴为钝角，∴这个三角形为钝角三角形．2．A【解析】已知，，所以，所以m＝0(舍去）或m＝8，所以.故选A.3．C【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系以及分类讨论的思想.化简得，当的终边分别在第二、三、四象限及在数轴时分类讨论符号即可．选C.4．B5．-3【解析】将等式sin α+cos α=两边平方,整理得sin αcos α=-,∴tan α+=+===-3.6．解：（1)由一元二次方程的根与系数的关系可知由①两边平方，得，将②代入上式，得.(2)当时，原方程变为，解得精心制作仅供参考唐玲出品马鸣风萧萧，，或又∵θ∈(0，2π).或.7．因为<α<π,所以cos α=-,sin α=,所以原式=+=-=-=0.8．解：，当时，，此时，∴．当时，，此时，∴．【解析】本题主要考查同角三角函数基本关系以及分类讨论的思想. 首先利用二倍角公式和切化弦知识将已知等式转化为单角α的正弦和余弦的等式，再与要求的结果比较，只要平方即可求出．在求解时注意角的范围，三角函数的符号．【能力提升】1．解：原式．【解析】本题主要考查利用同角三角函数基本关系化简求值.2．解：(1)精心制作仅供参考唐玲出品(2)把，两边平方，可得，，，.此时sinθ和cosθ中，一个等于，另一个等于，故θ的值为或.。
人教版高三理科数学课后习题(含答案)课时规范练17任意角、弧度制及任意角的三角函数
课时规范练17任意角、弧度制及任意角的三角函数基础巩固组1.(2019湖南衡阳三模)若sin α<0,则下列三角函数的值恒为负数的是()A.cos αB.tan αC.cosα2D.tanα22.(2019云南昆明二模)已知P(3,4)是角α的终边上的点,则cos(π+α)=()A.-45B.-35C.35D.453.(2019山东潍坊高三一模)在平面坐标系中,是圆x2+y2=1上的四段弧(如图),点P在此中一段上,角α以Ox为始边,OP为终边,若tan α<cos α<sin α,则P所在的圆弧是( )A.AB⏜ B.CD⏜ C.EF⏜ D.GH⏜4.如图,终边在阴影部分(含边界)的角的集合是()A.{α|-45°≤α≤120°}B.{α|120°≤α≤315°}C.{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}D.{α|120°+k·360°≤α≤315°+k·360°,k∈Z}5.已知角α的终边与单位圆x2+y2=1相交于点P12,y,则sin(π2+α)=()A.1B.12C.-√32D.-126.(2019山东莱西校级一模)已知角θ的终边经过点(2,-3),将角θ的终边顺时针旋转3π4后得到角β,则tan β=()A.-15B.5 C.15D.-57.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,则实数a 的取值范围是()A.(-2,3]B.(-2,3)C.[-2,3)D.[-2,3]8.已知角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边在射线4x-3y=0(x≤0)上,则cos α-sin α=.9.函数f(α)=√2cosα-1的定义域为.10.已知角α终边上一点P与点A(-1,2)关于y轴对称,角β的终边上一点Q与点A关于原点O中心对称,则sin α+sinβ=.11.角α的终边经过点(2,-1),则2sin α+3cos α的值为.12.(2019山东烟台高三模拟)如图,以Ox为始边作角α与β(0<β<α<π),它们的终边分别与单位圆相交于点P、点Q,已知点P的坐标为(-35,4 5 ).(1)求3cosα+5sinαsinα-cosα的值;(2)若OP⊥OQ,求3sin β-4cos β的值.综合提升组13.(2019浙江杭州西湖区校级模拟)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A为单元圆上一点,以x轴为始边,OA为终边的角为θθ≠kπ+,k∈Z,若将OA绕O点顺时针旋转至OB,则点B的坐标为( )A.(-cos θ,sin θ)B.(cos θ,-sin θ)C.(-sin θ,cos θ)D.(sin θ,-cos θ)14.(2019湖南怀化一模)已知圆O与直线l相切于点A,点P,Q同时从A点出发,P沿着直线l向右、Q沿着圆周按逆时针以雷同的速率活动,当Q运动到点A时,点P也制止活动,连接OQ,OP(如图),则阴影部分面积S1,S2的大小关系是( )A.S1=S2B.S1≤S2C.S1≥S2D.先S1<S2,再S1=S2,最后S1>S215.(2019吉林长春期末)意大利“美术三杰”(文艺复兴后三杰)之一的达·芬奇的经典之作——《蒙娜丽莎》举世闻名.画中女子神秘的微笑数百年来让无数观赏者入迷.某数学兼艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品举行了测绘,将画中女子的嘴唇类似看作一个圆弧,在嘴角A,C处作圆弧的切线,两条切线交于B点,测得如下数据:AB=6.9 cm,BC=7.1 cm,AC=12.6 cm,根据测量得到的结果推算:将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于以下哪个区间()A.(π6,π4) B.(π4,π3)C.(π3,5π12) D.(5π12,π2)16.如图,在平面直角坐标系xOy中,钝角α的终边与单位圆交于点B,且点B的纵坐标为.若将点B沿单位圆逆时针旋转到达点A,则点A的坐标为.创新应用组17.已知θ角的终边与480°角的终边关于x轴对称,点P(x,y)在θ的值等于.角的终边上(不是原点),则xyx2+y218.(2019湖南湘潭模拟)已知在半径为6的圆O中,弦AB的长为6,(1)求弦AB所对圆心角α的大小;(2)求α所在的扇形的弧长l以及扇形的面积S.参考答案课时规范练17任意角、弧度制及任意角的三角函数1.D由sin α<0,得2kπ+π<α<2kπ+2π(k∈Z),∴kπ+π2<α2<kπ+π(k∈Z),即是第二或第四象限角,∴tanα2<0.故选D.2.B ∵已知P(3,4)是角α的终边上的点,则cos(π+α)=-cos α=-9+16=-35,故选B.3.C 当点P在上时,由三角函数线易知,sin α<tan α,不符合题意;当点P在上时,tan α>0,sin α<0,不符合题意;进一步可验证,只有点P在上时才满足条件.4.C如题图,终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}.故选C.5.B ∵点P在单元圆上,∴y=±,∴α=+2kπ,k∈Z或α=-+2kπ,k∈Z.∴sin(π2+α)=cos α=cos±π3+2kπ=cosπ3=12.故选B.6.A 根据角θ的终边经过点(2,-3),可得tan θ=-θ的终边按顺时针偏向旋转后,与角β的终边重合,∴tan β=tan(θ-3π)=tanθ-tan3π41+tanθtan3π4=-32-(-1)1+(-32)×(-1)=-1.故选A.7.A 由cos α≤0,sin α>0可知,角α的终边在第二象限或y 轴的正半轴上,所以有解得-2<a≤3.8 因为角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边在射线4x-3y=0(x≤0)上,不妨令x=-3,则y=-4,∴r=5,∴cos α==-,sin α==-,则cos α-sin α=-9.[2kπ-π3,2kπ+π3](k∈Z)∵2cos α-1≥0,∴cos α≥12.由三角函数线画出角α满足条件的终边的范围(如图阴影部分所示).故α∈[2kπ-π3,2kπ+π3](k∈Z).10.0∵角α终边上一点P与点A(-1,2)关于y轴对称,∴P(1,2).∵角β的终边上一点Q与点A关于原点O中心对称,∴Q(1,-2).由三角函数的定义可知sin α=√5,sin β=-√5,∴sin α+sin β=√5−√5=0.11.4√55∵角α的终边经过点P(2,-1),∴|OP|=√则sin α=5=-√55,cos α=5=2√55,∴2sin α+3cos α=-2√55+6√55=4√55.12.解(1)由题得cos α=-35,sin α=45,∴3cosα+5sinαsinα-cosα=117.(2)由题得α-β=π2,∴α=π2+β,∴cos α=-sin β,sin α=cos β,∴sin β=35,cos β=45,∴3sin β-4cos β=95−165=-75.13.C A 为单元圆上一点,以x 轴为始边,OA 为终边的角为θθ≠kπ+,k∈Z,若将OA 绕O 点顺时针旋转3π2至OB ,则点B 的横坐标为cos (-3π2+θ)=-sin θ, 点B 的纵坐标为sin (-3π2+θ)=cos θ,故点B 的坐标为(-sin θ,cos θ). 故选C .14.A ∵直线l 与圆O 相切,∴OA ⊥AP ,∴S 扇形AOQ =12·AQ ⏜·r=12·AQ ⏜·OA ,S △AOP =12·OA·AP ,∵AQ⏜=AP ,∴S 扇形AOQ =S △AOP , 即S 扇形AOQ -S 扇形AOB =S △AOP -S 扇形AOB ,∴S 1=S 2.故选A . 15.B 取AB=BC ≈7,设∠ABC=2θ.则sin α≈6.37=0.9∈(√32,√2+√22).∴α∈(π3,3π8),2α∈(2π3,3π4).设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为α. 则α+2θ=π,∴α∈(π4,π3). 故选B .16 因为在平面直角坐标系xOy 中,钝角α的终边与单位圆交于B 点,且点B 的纵坐标为,故sin α=1213,cos α=-513,将点B 沿单位圆逆时针旋转π2到达A 点,点A 的坐标为cos (α+π2),sin (α+π2),即A (-sin α,cos α),∴A -1213,-513.17 由题意知θ角的终边与240°角的终边雷同,∵P(x,y)在θ角的终边上,∴tan θ=tan 240°=√3=y x ,于是xy x 2+y 2=yx 1+(y x )2=√31+3=√34.18.解 (1)根据题意,半径为6的圆O 中,弦AB 的长为6,则△AOB 为等边三角形,则∠AOB=,即α=(2)根据题意,由(1)的结论,l=α×r=2π,S=1rl=6π.。
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课时规范练17同角三角函数的基本关系及诱导公
式
基础巩固组
1.已知α是第二象限角,且sin α=,则cos α=()
A.4
5B.-4
5
C.3
5
D.-3
5
2.若cos(3π-x)-3cos(x+π
2
)=0,则tan x等于()
A.-1
2B.-2 C.1
2
D.1
3
3.已知A=sin(kπ+α)
sinα+cos(kπ+α)
cosα
(k∈Z),则A的值构成的集合是()
A.{1,-1,2,-2}
B.{-1,1}
C.{2,-2}
D.{1,-1,0,2,-2}
4.(2019湖南湘潭期末)已知θ∈(0,π),且满足cos 2θ=cos θ,则tan θ=()
A.-√3
B.-√3
3C.√3 D.√3
3
5.已知P(sin 40°,-cos 140°)为锐角α终边上的点,则α=()
A.40°
B.50°
C.70°
D.80°
6.已知sin(π-α)=-2sin(π
2
+α),则sin αcos α=()
A.2
5B.-2
5
C.2
5
或-2
5
D.-1
5
7.(2019广西桂林二模)已知α是第一象限的角,且tan α=,则cos α=( ) A.1
3
B.1
2
C.2
3
D.
2√55
8.(2019山西太原模拟)记cos(-80°)=k ,那么tan 280°= ( )
A.√1-k 2
k B.-
√1-k 2
k C.
k
√2
D.-k
√2
9.已知cos (α-π4
)=45
,则sin (α+π4
)=.
10.已知tan(α-π)=-4
3,则
sin 2α-2cos 2α
sin2α
= .
11.已知α为第二象限角,则cos α+sin α=.
12.(2019甘肃兰州模拟)已知sin α+cos α=7
5,sin α>cos α,则tan
α= .
综合提升组
13.若倾斜角为α的直线l 与曲线y=x 4相切于点(1,1),则cos 2α-sin 2α的值为( ) A.-1
2
B.1
C.-3
5
D.-7
17
14.(2019湖南长沙二模)已知θ∈(π4
,π2
),则2cos θ+√1-2sin (π-θ)cosθ=( ) A.sin θ+cos θ B.sin θ-cos θ C.cos θ-sin θ D.3cos θ-sin θ
15.已知sin αcos α=18
,且π4
<α<π
2
,则cos α-sin α的值是 .
16.(2019山东邹城高二期中)已知sin (π+x )+2cos (
3π
2+x )
cos (π-x )-sin (π
2
-x )
=1.
(1)求tan x 的值; (2)求sin 2x-cos 2x 的值.
创新应用组
17.已知曲线f(x)=2
3
x3在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为α,则sin2α-cos2α
2sinαcosα+cos2α
=()
A.1
2B.2 C.3
5
D.-3
8
18.(2019黑龙江大庆龙凤区校级模拟)黄金分割比是指将团体一分为二,较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部门的比值,其比值约为0.618,这一比值也可以表示为a=2cos 72°,则=( )
A.2
B.1
C.1
2D.1
4
参考答案
课时规范练17同角三角函数的基本
关系及诱导公式
1.D α是第二象限角,且sin α=,则cos α=-=-=-.
故选D.
2.D∵cos(3π-x)-3cos(x+π
2
)=0,
∴-cos x+3sin x=0,
∴tan x=1
3
,故选D.
3.C当k为偶数时,A=sinα
sinα+cosα
cosα
=2;当k为奇数时,A=-sinα
sinα
−cosα
cosα
=-2.故选C.
4.A由cos 2θ=cos θ,得2cos2θ-cos θ-1=0,解得cos θ=1或cos θ=-1
2
.
∵θ∈(0,π),∴cos θ=-1
2
,
则θ=2π
3
,∴tan θ=-√3.
故选A.
5.B ∵P(sin 40°,-cos 140°)为角α终边上的点,因而tan α==tan 50°,又α为锐角,则α=50°,故选B.
6.B∵sin(π-α)=-2sin(π
2
+α),
∴sin α=-2cos α.
再由sin2α+cos2α=1可得sin α=2√5
5,cos α=-√5
5
,或sin α=-2√5
5
,cos α=√5
5
,∴sin αcos α=-2
5
.故
选B.
7.D 根据题意,tan α=12,则sinαcosα=1
2, 又由sin 2α+cos 2α=1,
解得cos α=±,又由α是第一象限的角,则cos α=.故选D.
8.B ∵cos(-80°)=k ,∴sin(-80°)=-2,那么tan 280°=tan(-80°)=sin (-80°)
cos (-80°)=
-√1-k 2
k =-√1-k 2
k ,故选B .
9.4
5 sin (α+π
4)=sin [π
2+α-π
4=cos (α-π4)=4
5.
10. 凭据题意得,tan α=-,
∴sin 2α-2cos 2αsin2α
=
sin 2α-2cos 2α2sinαcosα
=
tan 2α-22tanα
=
(-43
)2-22×(-43)
=1
12.
11.0 原式=cos α√sin 2α+cos 2αcos 2α+sin α√sin 2α+cos 2αsin 2α
=cos α1|cosα|+sin α1
|sinα|.
因为α是第二象限角,
所以sin α>0,cos α<0,
所以cos α1
|cosα|+sin α1
|sinα|=-1+1=0,即原式等于0. 12.4
3 ∵sin α+cos α=7
5,
∴1+2sin αcos α=49
25, 即2sin αcos α=24
25.
又sin 2α+cos 2α=1,且sin α>cos α,
∴sin α=4
5,cos α=3
5,tan α=4
3. 13.D y'=4x 3,当x=1时,y'=4,
则tan α=4,
∴cos 2α-sin 2α=
cos 2α-2sinαcosαcos 2α+sin 2α
=1-2tanα1+tan 2α=-7
17,故选D .
14.A 因为θ∈,则sin θ>cos θ,用三角函数的诱导公式和三角函数的根本关系式,可得2cos θ+=2cos θ+=2cos θ+sin
θ-cos θ=sin θ+cos θ.
故选A.
15.-√3
21-2sin αcos α=(sin α-cos α)2=3
4
,又π
4
<α<π
2
,sin α>cos α.所以cos α-sin α=-√3
2
.
16.解(1)∵sin(π+x)+2cos(3π2+x) cos(π-x)-sin(π2-x)
=1,
∴-sinx+2sinx=1,即-sinx
2cosx
=1, ∴tan x=-2.
(2)sin 2x-cos2x=2sin x cos x-cos2x=2sinxcosx-cos 2x
sin2x+cos2x =2tanx-1
tan2x+1
=-4-1
4+1
=-1.
17.C由f'(x)=2x2,得tan α=f'(1)=2,
故
sin2α-cos2α
2sinαcosα+cos2α
=tan2α-1
2tanα+1
=3
5
.故选C.
18.C∵a=2cos 72°,∴a2=4cos272°,可得4-a2=4-4cos272°=4sin272°, ∴√4-a2=2sin 72°,a√4-a2=2cos 72°·2sin 72°=2sin 144°=2sin 36°,
∴
2
√2
=cos54°
2sin36°
=sin36°
2sin36°
=1
2
.故选C.。