高三文科数学专题复习 三角函数、解三角形 (教师版)
高三文科数学专题复习 三角函数、解三角形
专题一 三角函数的概念、同角三角函数的关系式及诱导公式
A 组 三年高考真题（2016～2014年）
1.(2015·福建，6)若sin α＝－
5
13
，且α为第四象限角，则tan α的值等于( ) A.125 B.－125 C.512 D.－512
1.解析 ∵sin α＝－513，且α为第四象限角， ∴cos α＝1213，∴tan α＝sin αcos α＝－5
12，故选D. 答案 D
2.(2014·大纲全国，2)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( )
A.45
B.35
C.－35
D.－45
2.解析 记P (－4，3)，则x ＝－4，y ＝3，r ＝|OP |＝（－4）2＋32＝5， 故cos α＝x r ＝－45＝－4
5，故选D.
3.(2014·新课标全国Ⅰ，2)若tan α＞0，则( )
A.sin α＞0
B.cos α＞0
C.sin 2α＞0
D.cos 2α＞0 3.解析 由tan α＞0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号， 故sin 2α＝2sin αcos α＞0，故选C. 答案 C
4.(2016·新课标全国Ⅰ，14)已知θ是第四象限角，且sin ????θ＋π4＝35，则tan ????θ－π
4＝________. 4.解析 由题意，得cos ????θ＋π4＝45，∴tan ????θ＋π4＝34.∴tan ????θ－π4＝tan ????θ＋π4－π
2＝－1
tan ???
?θ＋π4＝－43. 答案 －4
3 5.(2016·四川，11)sin 750°＝________.
5.解析 ∵sin θ＝sin(k ·360°＋θ)，(k ∈Z )， ∴sin 750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin 30°＝12. 答案 1
2
6.(2015·四川，13)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．
6.解析 ∵sin α＋2cos α＝0， ∴sin α＝－2cos α，∴tan α＝－2， 又∵2sin αcos α－cos 2α＝
2sin α·cos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1， ∴原式＝2×（－2）－1
（－2）2＋1
＝－1. 答案 －1
B 组 两年模拟精选(2016～2015年)
1.(2016·济南一中高三期中)若点(4，a )在12
y x =图象上，则tan a
6π的值为( )
A.0
B.
3
3
C.1
D. 3 1.解析 ∵a ＝412＝2， ∴tan a
6
π＝ 3. 答案 D
2.(2016·贵州4月适应性考试)若sin ????π2＋α＝－3
5，且α∈????π2，π，则sin ()π－2α＝( ) A.2425 B.1225 C.－1225 D.－24
25 2.解析 由sin ????π2＋α＝－35得cos α＝－35， 又α∈????π2，π， 则sin α＝4
5
，
所以sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝－24
25
. 答案 D
3.(2016·南充市第一次适应性考试)已知角α的终边经过点P (2，－1)，则sin α－cos α
sin α＋cos α＝( )
A.3
B.13
C.－1
3
D.－3
3.解析 因为角α终边经过点P (2，－1)，所以tan α＝－12，sin α－cos αsin α＋cos α＝tan α－1
tan α＋1＝－1
2－1－1
2＋1＝－3，故选D.
4.(2015·乐山市调研)若点P 在－10π
3角的终边上，且P 的坐标为(－1，y )，则y 等于( )
A.－
33 B.3
3
C.－ 3
D. 3 4.解析 －10π3＝－4π＋2π3，所以－10π3与2π3的终边相同，所以tan 2π
3＝－3＝－y ，则y ＝ 3. 答案 D
5.(2015·石家庄一模)已知cos α＝k ，k ∈R ，α∈????
π2，π，则sin(π＋α)＝( ) A.－1－k 2 B.1－k 2 C.－k D.±1－k 2
5.解析 因为α∈????
π2，π，所以sin α>0，则sin ()π＋α＝－sin α＝－1－cos 2 α＝－1－k 2，故选A. 答案 A 6.(2015·洛阳市统考)已知△ABC 为锐角三角形,且A 为最小角,则点P (sin A -cos B ,3cos A -1)位于( ) A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
6.解析 由题意得，A ＋B ＞π2即A ＞π
2
－B ，且A ∈????0，π3，π2－B ＞0， 故sin A ＞sin ????π2－B ＝cos B ，即sin A －cos B ＞0， 3cos A －1＞3×12－1＝1
2， 故点P 在第一象限. 答案 A 7.(2016·山东日照第一次模拟)已知角α为第二象限角，cos ????π2－α＝4
5，则cos α＝________. 7.解析 sin α＝cos ????π2－α＝45， 又α为第二象限角， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－35. 答案 －3
5
8.(2015·湖南长沙一模)在平面直角坐标系xOy 中，将点A (3，1)绕原点O 逆时针旋转90°到点B ，那么点B 坐标为________，若直线OB 的倾斜角为α，则tan 2α的值为________.
8.解析 设点A (3，1)为角θ终边上一点，如图所示，|OA |＝2，
由三角函数的定义可知：sin θ＝12，cos θ＝32，则θ＝2k π＋π
6(k ∈Z )， 则A (2cos θ，2sin θ)，
设B (x ，y )，由已知得x ＝2cos ????θ＋π2＝2cos ????2k π＋2π3＝－1，y ＝2sin ????θ＋π2＝2sin ????2k π＋23π＝3，
所以B (－1，3)，且tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α
1－tan 2α
＝ 3. 答案 (－1，3)
3
专题二 三角函数的图象与性质 A 组 三年高考真题（2016～2014年）
1.(2016·新课标全国Ⅰ，6)若将函数y ＝2sin ????2x ＋π6的图象向右平移1
4个周期后，所得图象对应的函数为( ) A.y ＝2sin ????2x ＋π4 B.y ＝2sin ????2x ＋π3 C.y ＝2sin ????2x －π4 D.y ＝2sin ?
???2x －π
3 1.解析 函数y ＝2sin ????2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ????2x ＋π6的图象向右平移14个周期即π
4个单位，所得函数为y ＝2sin ???
?2????x －π4＋π6＝2sin ?
???2x －π
3，故选D. 答案 D 2.(2016·新课标全国卷Ⅱ，3)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( ) A.y ＝2sin ????2x －π6 B.y ＝2sin ????2x －π3 C.y ＝2sin ????x ＋π6 D.y ＝2sin ???
?x ＋π3 2.解析 由题图可知，T ＝2????π3－????－π6＝π，所以ω＝2，由五点作图法可知2×π3＋φ＝π2，所以φ＝－π
6， 所以函数的解析式为y ＝2sin ?
???2x －π
6，故选A. 答案 A 3.(2016·四川，4)为了得到函数y ＝sin ????x ＋π
3的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( ) A.向左平行移动π
3个单位长度
B.向右平行移动π
3个单位长度
C.向上平行移动π
3
个单位长度
D.向下平行移动π
3
个单位长度
3.解析 由y ＝sin x 得到y ＝sin(x ±a )的图象，只需记住“左加右减”的规则即可. 答案 A
4．(2015·新课标全国Ⅰ，8)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( ) A.????k π－14，k π＋34，k ∈Z B.????2k π－14，2k π＋3
4，k ∈Z C.????k －14，k ＋34，k ∈Z D.?
???2k －14，2k ＋3
4，k ∈Z
4.解析 由图象知T 2＝54－1
4
＝1， ∴T ＝2.由选项知D 正确． 答案 D
5.(2015·山东，4)要得到函数y ＝sin ????4x －π
3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π
12
个单位
B ．向右平移π
12
个单位
C ．向左平移π
3
个单位
D ．向右平移π
3
个单位
5.解析 ∵y ＝sin ????4x －π3＝sin ???
?4????x －π
12， ∴要得到函数y ＝sin ????4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π
12
个单位． 答案 B 6.(2014·天津，8)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π
3
，则f (x )的最小正周期为( )
A.π2
B.2π
3
C.π
D.2π 6.解析 由题意得函数f (x )＝2sin ????ωx ＋π6(ω＞0)， 又曲线y ＝f (x )与直线y ＝1相邻交点距离的最小值是π
3， 由正弦函数的图象知，ωx ＋π6＝π6和ωx ＋π6＝5π6对应的x 的值相差π3， 即2π3ω＝π
3，解得ω＝2，
所以f (x )的最小正周期是T ＝
2π
ω
＝π. 答案 C 7.(2014·陕西，2)函数f (x )＝cos ?
???2x ＋π
4的最小正周期是( ) A.π
2
B.π
C.2π
D.4π 7.解析 由余弦函数的复合函数周期公式得T ＝2π
2
＝π. 答案 B
8.(2014·四川，3)为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动1个单位长度 B ．向右平行移动1个单位长度 C ．向左平行移动π个单位长度 D ．向右平行移动π个单位长度 8.解析 由图象平移的规律“左加右减”，可知选A. 答案 A
9.(2014·浙江，4)为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( ) A.向右平移π12个单位 B.向右平移π4个单位 C.向左平移π12个单位 D.向左平移π
4个单位
9.解析 因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ????3x －π4，所以将y ＝2cos 3x 的图象向右平移π
12个单位后可得到 y ＝2cos ?
???3x －π
4的图象．答案 A 10.(2014·安徽，7)若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是( )
A.π8
B.π4
C.3π8
D.3π
4 10.解析 方法一 f (x )＝2sin ?
???2x ＋π
4， 将函数f (x )的图象向右平移φ个单位后所得图象对应的函数解析式为y ＝2sin ???
?2x ＋π
4－2φ，由该函数为偶函数
可知2φ－π4＝k π＋π2，k ∈Z ， 即φ＝k π2＋3π8，k ∈Z ， 所以φ的最小正值为3π
8
.
方法二 f (x )＝2cos ?
???2x －π
4，将函数f (x )的图象向右平移φ个单位后所得图象对应的函数为 y ＝2cos ????2x －π4－2φ，且该函数为偶函数， 故2φ＋π4＝k π，k ∈Z ， 所以φ的最小正值为3π
8. 答案 C 11.(2014·新课标全国Ⅰ，7)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ????2x ＋π
6， ④y ＝tan ?
???2x －π
4中，最小正周期为π的所有函数为( ) A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③
11.解析 ①y ＝cos|2x |，最小正周期为π；②y ＝|cos x |，最小正周期为π；③y ＝cos ????2x ＋π
6，最小正周期为π； ④y ＝tan ????2x －π4，最小正周期为π
2
，所以最小正周期为π的所有函数为①②③，故选A. 答案 A 12.(2014·福建，7)将函数y ＝sin x 的图象向左平移π
2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( )
A.y ＝f (x )是奇函数
B.y ＝f (x )的周期为π
C.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π
2
对称 D.y ＝f (x )的图象关于点????－π2，0对称 12.解析 函数y ＝sin x 的图象向左平移π
2个单位后，得到函数f (x )＝sin ????x ＋π2＝cos x 的图象，f (x )＝cos x 为偶函数，排除A ；f (x )＝cos x 的周期为2π，排除B ；因为f ????π2＝cos π2＝0，所以f (x )＝cos x 不关于直线x ＝π
2对称，排除C ；故选D. 答案 D
13.(2016·新课标全国Ⅲ，14)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移________个单位长度得到.
13.解析 y ＝sin x －3cos x ＝2sin ????x －π3，由y ＝2sin x 的图象至少向右平移π3个单位长度得到. 答案 π
3
14.(2015·天津，11)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数 y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．
14.解析 f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ????ωx ＋π4， 由－π2＋2k π≤ωx ＋π4≤π
2＋2k π，k ∈Z ， 得－3π4＋2k π≤ωx ≤π4＋2k π， 由题意f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，可知k ＝0，ω≥π
2
，
又函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称， 所以sin(ω2＋π4)＝1，ω2＋π4＝π2， 所以ω＝π2. 答案 π2
15.(2015·陕西，14)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数
y ＝3sin ???
?π
6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．
15.解析 由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5， ∴y max ＝k ＋3＝8. 答案 8
16.(2015·湖南，15)已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.
16.解析 由?
????y ＝2sin ωx ，y ＝2cos ωx ，知sin ωx ＝cos ωx ， 即sin ωx －cos ωx ＝0， ∴2sin ????ωx －π
4＝0， ∴ωx ＝π4＋k π，x ＝1ω????π
4＋k π(k ∈Z )， ∴两函数交点坐标为????1ω????π4＋k π，2(k ＝0，2，4，…)， 或????1ω????π
4＋k π，－2(k ＝…，－3，－1，1，3，…) ∴最短距离为（2
2）2＋
π2
ω2
＝23， ∴π2ω2＝4， ∴ω＝π2. 答案 π
2
17.(2014·重庆，13)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2≤φ＜π2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标
不变，再向右平移π
6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ????π6＝________. 17.解析 把函数y ＝sin x 的图象向左平移π
6个单位长度得到y ＝sin ????x ＋π6的图象， 再把函数y ＝sin ????x ＋π
6图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变， 得到函数f (x )＝sin ????12x ＋π6的图象， 所以f ????π6＝sin ????12×π6＋π6＝sin π4＝22. 答案 22
18.(2015·湖北，18)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)????ω>0，|φ|<π
2在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：
ωx ＋φ 0 π
2 π 3π2 2π x
π3 5π6 A sin(ωx ＋φ)
5
－5
0 (1) (2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平移π
6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，
求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．
18.解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π
6
.数据补全如下表：
且函数表达式为f (x )＝5sin ?
???2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ????2x －π6， 因此g (x )＝5sin ???
?2????x ＋π6－π6＝5sin ?
???2x ＋π
6. 因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋π6＝k π，解得x ＝k π2－π
12
，k ∈Z .
即y ＝g (x )图象的对称中心为????k π2－π12，0，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为????－π
12，0. 19.(2014·湖北，18)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系： f (t )＝10－3cos π12t －sin π
12t ，t ∈[0,24)．
(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．
19.解 (1)f (8)＝10－3cos ????π12×8－sin ????π12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×????－12－32＝10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃. (2)因为f (t )＝10－2??
??
32
cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ????π12t ＋π3，又0≤t ＜24， 所以π3≤π12t ＋π3＜7π3， －1≤sin ????π12t ＋π3≤1. 当t ＝2时，sin ????π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ????π12t ＋π
3＝－1. 于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.
故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. 20.(2014·四川，17)已知函数f (x )＝sin ????3x ＋π
4. (1)求f (x )的单调递增区间；
(2)若α是第二象限角，f ????α3＝45cos ????α＋π
4cos 2α，求cos α－sin α的值． 20.解 (1)由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ， 得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π
3，k ∈Z .
所以函数f (x )的单调递增区间为????－π4＋2k π3，π12＋2k π
3，k ∈Z . (2)由已知，有sin ????α＋π4＝45cos ???
?α＋π
4(cos 2α－sin 2α)， 所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝4
5????cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2 α－sin 2 α)， 即sin α＋cos α＝4
5
(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．
当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，知α＝3π
4＋2k π，k ∈Z ，此时cos α－sin α＝－ 2.
当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝5
4
.
由α是第二象限角，知cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52
. 综上所述，cos α－sin α＝－2或cos α－sin α＝－
52
. 21.(2014·福建，18)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )．
(1)求f ????5π4的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间． 21.解 f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ????2x ＋π
4＋1. (1)f ????5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π
4
＋1＝2. (2)T ＝2π2＝π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π
8，k ∈Z .
所以f (x )的单调递增区间为?
???k π－3π8，k π＋π
8，k ∈Z . 22.(2014·北京，16)函数f (x )＝3sin ????2x ＋π
6的部分图象如图所示． (1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间????－π2，－π
12上的最大值和最小值． 22.解 (1)f (x )的最小正周期为π，x 0＝7π
6
，y 0＝3.
(2)因为x ∈????－π2，－π12，所以2x ＋π6∈????－5π6，0. 于是当2x ＋π6＝0，即x ＝－π
12时，f (x )取得最大值0； 当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π
3
时，f (x )取得最小值－3.
B 组 两年模拟精选(2016～2015年)
1.(2016·四川成都第二次诊断)将函数f (x )＝cos ????x ＋π6的图象上所有点的横坐标缩短为原来的1
2倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的解析式为( )
A.g (x )＝cos ????2x ＋π3
B.g (x )＝cos ????2x ＋π6
C.g (x )＝cos ????x 2＋π3
D.g (x )＝cos ????x 2＋π
6 1.解析 横坐标缩短为原来的1
2倍，纵坐标不变，则有g (x )＝cos ????2x ＋π6. 答案 B 2.(2016·山西四校联考)已知函数f (x )＝cos ????ωx ＋φ－π2????ω>0，|φ|<π
2的部分图象如图所示， 则y ＝f ???
?x ＋π
6取得最小值时x 的集合为( )
A.?
???
??x |x ＝k π－π6，k ∈Z B.?
???
??x |x ＝k π－π3，k ∈Z C.?
???
??x |x ＝2k π－π6，k ∈Z D.?
???
??
x |x ＝2k π－π3，k ∈Z
2.解析 依题意得T ＝2π
ω＝4????7π12－π3＝π，ω＝2，f ????π3＝cos ????φ＋π6＝1， 又|φ|<π2，因此φ＝－π
6
，所以f (x )＝cos ????2x －2π3. 当f ????x ＋π6＝cos ????2x －π3取得最小值时，2x －π3＝2k π－π，k ∈Z ，即x ＝k π－π
3
，k ∈Z ， 答案 B 3.(2015·石家庄模拟)将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π8个单位，所得到的函数图象关于y 轴对称，则φ的
一个可能取值为( )
A.3π4
B.π4
C.0
D.－π4
3.解析 函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π8个单位， 得g (x )＝sin ????2????x ＋π8＋φ＝sin ????2x ＋π4＋φ的图象， 又g (x )的函数图象关于y 轴对称，所以g (x )为偶函数， 所以π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π＋π
4(k ∈Z )，
当k ＝0时，φ＝π
4
，故选B. 答案 B
4.(2015·黄冈模拟)当x ＝π
4时，函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A ＞0)取得最小值，则函数y ＝f ????3π4－x 是( ) A.奇函数且图象关于点????π2，0对称 B.偶函数且图象关于点(π，0)对称 C.奇函数且图象关于直线x ＝π
2
对称 D.偶函数且图象关于点????π2，0对称 4.解析 当x ＝π4时，函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A ＞0)取得最小值，即π4＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝－3π
4＋2k π，k ∈Z ，
所以f (x )＝A sin ????x －3π4(A ＞0)， 所以y ＝f (3π
4－x )＝A sin ????3π4－x ＋3π4＝－A cos x ， 所以函数为偶函数且图象关于点????
π2，0对称，选D. 答案 D
5.(2015·河南焦作市统考)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)????ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且其图象向右平移π
12个单位后得到的函数为奇函数，则函数f (x )的图象( )
A.关于点????π2，0对称
B.关于直线x ＝5π12对称
C.关于点????5π12，0对称
D.关于直线x ＝π
12对称 5.解析 f (x )＝2sin ????π3－2x ＝2cos ????2x ＋π6， π＋2k π≤2x ＋π
6≤2π＋2k π，k ∈Z ， 即
5π12＋k π≤x ≤11π
12
＋k π，k ∈Z . 答案 ????5π12＋k π，11π12＋k π(k ∈Z )
6.(2015·怀化市监测)函数y ＝2sin ????π3－2x 的单调增区间为________.
6.解析 由于函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)????ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π， 故2π
ω
＝π，ω＝2. 把其图象向右平移π12个单位后得到函数的解析式为y ＝sin ????2????x －π12＋φ＝sin ????2x －π6＋φ，为奇函数， ∴－π6＋φ＝k π，∴φ＝k π＋π6，k ∈Z ， ∴φ＝π
6
，∴函数f (x )＝sin ????2x ＋π6. 令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，可得x ＝k π2－π
12，k ∈Z ， 故函数的对称中心为????k π2－π12，0(k ∈Z ). 故点????
5π12，0是函数的一个对称中心. 答案 C 7.(2015·辽宁五校联考)已知函数f (x )＝32sin ωx ＋3
2
cos ωx (ω＞0)的周期为4. (1)求f (x )的解析式；
(2)将f (x )的图象沿x 轴向右平移2
3个单位得到函数g (x )的图象，P ，Q 分别为函数g (x )图象的最高点和最低点(如图)，
求∠OQP 的大小.
7.解 (1)f (x )＝32sin ωx ＋32cos ωx ＝3????12sin ωx ＋3
2cos ωx ＝3????sin ωx cos π3＋cos ωx sin π3＝3sin ????ωx ＋π3. ∵T ＝4，ω＞0，∴ω＝2π4＝π
2
. ∴f (x )＝3sin ????π2x ＋π3. (2)将f (x )的图象沿x 轴向右平移23个单位得到函数g (x )＝3sin π2x .
∵P ，Q 分别为该图象的最高点和最低点， ∴P (1，3)，Q (3，－3). ∴OP ＝2，PQ ＝4，OQ ＝12， ∴cos ∠OQP ＝OQ 2＋PQ 2－OP 22OQ ·QP ＝3
2.
∵∠OQP 是△OPQ 的一个内角， ∴∠OQP ＝π
6
.
专题三 三角恒等变换
A 组 三年高考真题（2016～2014年）
1.(2016·新课标全国Ⅲ，6)若tan θ＝－1
3，则cos 2θ＝( )
A.－45
B.－15
C.15
D.45
1.解析 tan θ＝－13，则cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝45
. 答案 D
2.(2016·新课标全国Ⅱ，11)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ????
π2－x 的最大值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7
2.解析 因为f (x )＝cos 2x ＋6cos ????π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2????sin x －322
＋11
2， 所以当sin x ＝1时函数的最大值为5，故选B. 答案 B
3.(2015·重庆，6)若tan α＝13，tan(α＋β)＝1
2
，则tan β＝( )
A.17
B.16
C.57
D.56
3.解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α
＝12－131＋12×13
＝1
7. 答案 A
4.(2016·浙江，11)已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，则A ＝________，b ＝________. 4.解析 ∵2cos 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋1＋sin 2x ＝2??
?
?22cos 2x ＋22sin 2x ＋1
＝2sin ?
???2x ＋π
4＋1＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)， ∴A ＝2，b ＝1. 答案 2 1
5.(2016·山东，17)设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2. (1)求f (x )的单调递增区间；
(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π
3个单位，得到
函数y ＝g (x )的图象，求g ????
π6的值.
5.解 (1)由f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2＝23sin 2x －(1－2sin x cos x )
＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1＝2sin ?
???2x －π
3＋3－1. 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π
12
(k ∈Z ).
所以f (x )的单调递增区间是????k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )????或????k π－π12，k π＋5π
12（k ∈Z ）. (2)由(1)知f (x )＝2sin ?
???2x －π
3＋3－1， 把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)， 得到y ＝2sin ???
?x －π
3＋3－1的图象. 再把得到的图象向左平移π
3个单位，得到y ＝2sin x ＋3－1的图象，
即g (x )＝2sin x ＋3－1. 所以g ????π6＝2sin π
6
＋3－1＝ 3. 6.(2016·北京，16)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值； (2)求f (x )的单调递增区间.
6.解 (1)f (x )＝2sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx
＝2??
?
?22sin 2ωx ＋22cos 2ωx ＝2sin ????2ωx ＋π4 由ω＞0，f (x )最小正周期为π得2π
2ω
＝π， 解得ω＝1.
(2)由(1)得f (x )＝2sin ????2x ＋π4，令－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ， 解得－3π8＋k π≤x ≤π
8＋k π，k ∈Z ， 即f (x )的单调递增区间为????－3π8＋k π，π
8＋k π(k ∈Z ). 7.(2015·广东，16)已知tan α＝2.
(1)求tan ????α＋π4的值； (2)求sin 2α
sin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值． 7.解 (1)tan ????α＋π
4＝tan α＋tan
π
41－tan αtan
π4
＝tan α＋11－tan α＝2＋11－2
＝－3. (2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝2sin αcos α
sin 2α＋sin αcos α－（2cos 2α－1）－1 ＝
2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×2
22＋2－2
＝1.
8.(2015·北京，15)已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x
2
.
(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在区间?
???0，2π
3上的最小值． 8.解 (1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x － 3.＝2sin ????x ＋π
3－ 3. 所以f (x )的最小正周期为2π. (2)因为0≤x ≤2π3时，所以π3≤x ＋π3≤π. 当x ＋π3＝π，即x ＝2π
3时，f (x )取得最小值．
所以f (x )在区间????0，2π3上的最小值为f ????2π
3＝－ 3. 9.(2015·福建，21)已知函数f (x )＝103sin x 2cos x 2＋10cos 2x
2.
(1)求函数f (x )的最小正周期；
(2)将函数f (x )的图象向右平移π
6个单位长度，再向下平移a (a ＞0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，
且函数g (x )的最大值为2. ①求函数g (x )的解析式；
②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0.
9.(1)解 因为f (x )＝103sin x 2cos x 2＋10cos 2x
2＝53sin x ＋5cos x ＋5＝10sin ????x ＋π6＋5， 所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π.
(2)证明 ①将f (x )的图象向右平移π
6个单位长度后得到y ＝10sin x ＋5的图象，再向下平移a
(a ＞0)个单位长度后得到g (x )＝10sin x ＋5－a 的图象．
又已知函数g (x )的最大值为2，所以10＋5－a ＝2，解得a ＝13. 所以g (x )＝10sin x －8.
②要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得10sin x 0－8＞0，即sin x 0＞45. 由45＜32知，存在0＜α0＜π3，使得sin α0＝4
5
.
由正弦函数的性质可知，当x ∈(α0，π－α0)时，均有sin x ＞4
5. 因为y ＝sin x 的周期为2π，
所以当x ∈(2k π＋α0，2k π＋π－α0)(k ∈Z )时，均有sin x ＞4
5.
因为对任意的整数k ，(2k π＋π－α0)－(2k π＋α0)＝π－2α0＞π
3
＞1，
所以对任意的正整数k ，都存在正整数x 0∈(2k π＋α0，2k π＋π－α0)，使得sin x k ＞4
5.
亦即，存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0.
10.(2014·广东，16)已知函数f (x )＝A sin ????x ＋π3，x ∈R ，且f ????5π12＝322. (1)求A 的值； (2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈????0，π2，求f ???
?π
6－θ. 10.解 (1)∵f (x )＝A sin ????x ＋π3，且f ????5π12＝322， ∴A sin ????5π12＋π3＝322?A sin 3π4＝322
?A ＝3. (2)由(1)知f (x )＝3sin ????x ＋π3， ∵f (θ)－f (－θ)＝3， ∴3sin(θ＋π
3
)－3sin ????－θ＋π3＝3， 展开得3????12sin θ＋32cos θ－3????32cos θ－1
2sin θ＝3， 化简得sin θ＝33.
∵θ∈????0，π2，∴cos θ＝6
3. ∴f ????π6－θ＝3sin ?????
???π6－θ＋π3＝3sin ????π2－θ＝3cos θ＝ 6. 11.(2014·浙江,18)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知4sin 2A －B 2＋4sin A sin ＝2＋ 2.
(1)求角C 的大小； (2)已知b ＝4,△ABC 的面积为6,求边长c 的值． 11.解 (1)由已知得2[1－cos(A －B )]＋4sin A sin B ＝2＋2， 化简得－2cos A cos B ＋2sin A sin B ＝2， 故cos(A ＋B )＝－
22. 所以A ＋B ＝3π4，从而C ＝π4
. (2)因为S △ABC ＝12ab sin C ， 由S △ABC ＝6，b ＝4，C ＝π
4
，得a ＝32，
由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得c ＝10.
B 组 两年模拟精选(2016～2015年)
1.(2016·江西九校联考)已知α∈????π，32π，cos α＝－4
5，则tan ????π4－α等于( ) A.7 B.17 C.－1
7
D.－7
1.解析 ∵α∈????π，3π2，cos α＝－45， ∴sin α＝－35， ∴tan α＝sin αcos α＝3
4
， ∴tan ????π4－α＝1－tan α1＋tan α＝17. 答案 B 2.(2016·洛阳统考)若α∈[0，2π)，则满足1＋sin 2α＝sin α＋cos α的α的取值范围是( ) A.????0，π
2 B.[]0，π
C.?
???0，3π4 D.????0，3π4∪???
?7π
4，2π 2.解析 由1＋sin 2α＝sin α＋cos α得sin α＋cos α＝2sin ???
?α＋π
4≥0， 又因为α∈[0，2π)，所以α的取值范围为????0，3π4∪????7π
4，2π，故选D. 答案 D 3.(2016·河南六市联考)设a ＝12cos 2°－32sin 2°，b ＝2tan 14°
1－tan 214°，c ＝
1－cos 50°
2
，则有( ) A.a 3.解析 利用三角公式化简得a ＝12cos 2°－3 2sin 2°＝cos(60°＋2°)＝cos 62°＝sin 28°， b ＝tan 28°， c ＝sin 2 25°＝sin 25°. 因为sin 25° 5 4 ，则sin 2α－cos 2α的值为( ) A.－18 B.－38 C.18 D.38 4.解析 sin 2α－cos 2α＝－cos 2α＝2sin 2α－1＝－3 8 . 答案 B 5.(2015·烟台模拟)已知cos α＝35，cos(α＋β)＝－5 13，α，β都是锐角，则cos β等于( ) A.－6365 B.－3365 C.3365 D.63 65 5.解析 ∵α，β是锐角，∴0＜α＋β＜π，又cos(α＋β)＝－513＜0，cos α＝35， ∴π2＜α＋β＜π， ∴sin(α＋β)＝1213，sin α＝4 5 . 又cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－513×35＋1213×45＝33 65. 答案 C 6.(2015·河北唐山模拟)已知2sin 2α＝1＋cos 2α，则tan 2α＝( ) A.43 B.－43 C.43或0 D.－43或0 6.解析 因为2sin 2α＝1＋cos 2α，所以2sin 2α＝2cos 2 α， 所以2cos α·(2sin α－cos α)＝0，解得cos α＝0或tan α＝12 . 若cos α＝0，则α＝k π＋π 2，k ∈Z ， 2α＝2k π＋π，k ∈Z ，所以tan 2α＝0； 若tan α＝12，则tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝4 3. 综上所述，故选C. 答案 C 7.(2015·巴蜀中学一模)已知 sin αcos α1－cos 2α＝12 ，tan(α－β)＝1 2，则tan β＝________. 7.解析 ∵sin αcos α1－cos 2α＝sin αcos α2sin 2α＝cos α2sin α＝1 2， ∴tan α＝1. ∵tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝12 ，∴tan β＝13. 答案 1 3 8.(2015·河南洛阳统考)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝ 413 13 . (1)求cos(α－β)的值； (2)若0＜α＜π2，－π2＜β＜0且sin β＝－4 5，求sin α的值. 8.解 (1)∵a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)， ∴|a －b |2＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2－2cos(α－β)， ∴ 1613＝2－2cos(α－β)，∴cos(α－β)＝5 13 . (2)∵0＜α＜π2，－π2＜β＜0且sin β＝－45，∴cos β＝3 5且0＜α－β＜π. 又∵cos(α－β)＝513，∴sin(α－β)＝12 13 . ∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)·cos β＋cos(α－β)·sin β＝1213×35＋513×? ????－45＝16 65 . 专题四 解三角形 A 组 三年高考真题（2016～2014年） 1.(2016·新课标全国Ⅰ，4)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝2 3， 则b ＝( ) A. 2 B. 3 C.2 D.3 1.解析 由余弦定理，得5＝b 2＋22－2×b ×2×2 3 ，解得b ＝3????b ＝－13舍去，故选D.答案 D 2.(2016·山东，8)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( ) A.3π4 B.π3 C.π4 D.π6 2.解析 在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∵b ＝c ，∴a 2＝2b 2(1－cos A )，又∵a 2＝2b 2(1－sin A )， ∴cos A ＝sin A ，∴tan A ＝1，∵A ∈(0，π)，∴A ＝π 4 ，故选C.答案 C 3.(2015·广东,5)设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若a ＝2,c ＝23,cos A ＝3 2 ,且b A. 3 B.2 2 C.2 D. 3 3.解析 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋12－2×b ×23×3 2 ，即b 2－6b ＋8＝0， ∴b ＝4或b ＝2，又b