【金识源】2013年秋人教版九年级数学上22.2.3《因式分解法解一元二次方程》课件(1)
人教版初三数学上册用因式分解解一元二次方程.2.3因式分解法
5 1 •我们已经学过了 的方法？ 直接开平方法配方法2 •什么叫分解因式？把一个多项式分解成几个整式乘积 的形式叫做分解因式・顾与复习1 ? ■公式法----------------------------------根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过兀s物体离地面的高度（单位：m）为你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗（精确到0.01s）?设物体经过兀s落回地面，这时它离地面的高度为0,即我进步♦当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两-1*一次因式的乘积时，我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分解因式法.例1、解下列方程2、(卅3) (x-1)=5快速回答：下列各方程的根分别是多少？2 1 0养日^^=€召「心=2 (4)" =x內=Q J^=1■■■■■■1®因我分解法解于元三次方程的步• •••••••■•••••••••••••••••••■••••••••••••••■• • •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• • •••••••••••••••••••••• •••••••••••••••••••• ••••• • ■ • • ■ ■■ ■■ HH ■■■■ •••••••••••••••••••• 工工1卫方程右边化为達二工工mu;工 0将方程左边分解成两个一次因式 ■ ••••••••••••••••• • • • • 二 • ••••••••••• • •・ jKk-l • • ................. 2 • • •......................... ;■ ■• - I • ■/ ............• ••••••••••••••••・・・・・・・• .■二• ・ ・ ・ 骤; • • • •••••••••••••••••••••••••••••••••••• 介［伪式为零；淘1厲余护元^X「一次方程.• ••••••••••••• • 4。
九年级数学上册 22.2.2 一元二次方程的解法课件 新人教版
现
移项
了 转
x26x4
两边加上32,使左边配 成完全平方式
化 x26x3 2 43 2
的
左边写成完全平方的形式
数
(x3)2 5
变成了(x+h)2=k
学
开平方 的形式
思
x3 5
想 得 :x1 35,x2 35
把一元二次方程的左边配成一 个完全平方式,然后用直接开平方法 求解,这种解一元二次方程的方法叫 做配方法.
配方时, 等式两边同时加上的是一次项 系数一半的平方.
用配方法解一元二次方程的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边; 配方:方程两边都加上一次项系数一 半的平方,将方程左边配成完全平方式 开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解.
例1：用配方法解下列方程
(1)x2 － 8x ＋1 =0 (2) 2x2 ＋ 1=3x
(3)3x2－6x+4=0
小结：
把原方程变为(x+h)2＝k的形式(其 中h、k是常数）。
当k≥0时，两边同时开平方，这样 原方程就转化为两个一元一次方程。
当k<0时，原方程的解又如何？
例：x22x40
3.用配方法说明：不论k取何实 数，多项式k2－3k＋5的值必定 大于零.
(2)你能将方程转化成（x+h)2=k(k ≥ 0)的
形式吗?
因式分解的完全平方公式
a22abb2 (ab)2; a22abb2 (ab)2.
完全平方式
填一填
(1)
x2
2x
_1_
2
_
__
(x
__1_)
2
(2) x2 8x _4__2 __ ( x __4_) 2
因式分解法解一元二次方程 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
3
活动与探究 知识讲解
根据实际需要新增（页温馨提示：规范操作、注意安全）
难点突破
引例：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上 抛，那么经过xs物体离地面的高度(单位：m)为10-4.9x2.你能根据上述 规律求出物体经过多少秒落回地面吗(精确到0.01s)? 分析：设物体经过 x s落回地面，这时 它离地面的高度为0，即
这种解法是不是很简单？
课堂练习
根据实际需要新增页
难点巩固 因式分解法的概念
这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程 来求解的方法叫做因式分解法.
因式分解法的基本步骤 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解;
简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解
6
试一试：下列各方程的根分别是多少？
(1) x(x-2)=0； (2) (y+2)(y-3)=0； (3) (3x+6)(2x-4)=0； (4) x2=x.
(1) x1=0,x2=2； (2) y1=-2,y2=3 ； (3) x1=-2,x2=2； (4) x1=0,x2=1.
典例精析
例1 解下列方程：
解：因式分解，得 (x－2)(x＋1)=0. 于是得
x－2＝0或x＋1=0, x1=2，x2=－1.
例2 用适当的方法解方程： (1) 3x（x + 5）= 5（x + 5）；
(2)（x + 1）2 = 1；
分析：该式左右两边可以提取公因式， 所以用因式分解法解答较快.
解：化简 (3x -5) (x + 5) = 0.
九年级数学上册-因式分解法解一元二次方程课件-人教新课标版
2.(x+1)2-25=0. 2.[(x+1)+5][(x+1)-5]=0,
∴x+2=0,或x-2=0. ∴x1=-2, x2=2.
∴x+6=0,或x-4=0. ∴x1=-6, x2=4.
解下列方程:
1.x 2x - 4 0,2.4x2x 1 32x 1. 解 :1.x 2 0,或x 4 0.
那么这两个数至少有一个为0.
小亮是这样解的: 解 :由方程x2 3x,得x2 3x 0.xx Nhomakorabea3 0.
x 0,或x 3 0. x1 0, x2 3. 这个数是0或3.
小亮做得对吗?
分解因式法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两 个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法 求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分 解因式法.
提示:
1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右 边等于零; 2. 关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一
个因式等于零.” ab 0 a 0,b 0
用分解因式法解方程: (1)5x2=4x;(2)x-2=x(x-2);(3)x2+6x-7=0
解下列方程
1.4x 1(5x 7) 0; 2.3xx 1 2 2x;
3.(2x 3)2 4(2x 3); 4.2(x 3)2 x2 9;
5.5(x2 x) 3(x2 x);
6.( x 2)2 2x 32; 7.(x 2)x 3 12;
参考答案：
1.x1 2.x1
1
4
; x2 2 3 ; x2
7. 5 1.
3.x1 4.x1
3; 2
解一元二次方程(因式分解法)(课件)九年级数学上册(人教版)
探究新知
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物
体经过x s离地面的高度(单位：m)为10x-4.9x2 。根据上述规律，物体经过多少
秒落回地面(结果保留小数点后两位)?
设物体经过x秒落回地面，即10x-4.9x2=0 ①
探究新知
10x-4.9x2=0 ①
x(10-4.9x)=0
∴x=0或10-4.9x=0 ②
∴方程①的根是x1=0或x2≈2.04
可以发现解方程10x-4.9x2=0时，不是用开平方降次
，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的
形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次。这种
解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
想，从而培养学生主动探究的精神与积极参与的意识。
复习提问
一.我们已经学过了哪些解一元二次方程的方法?
直接开平方法
配方法
公式法
x2=a (a≥0)
(x+m)2=n (n≥0)
− ± −
=
− ≥ .
复习提问
二.什么叫因式分解？因式分解的方法有哪些？
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解
【提问】观察方程①结构，能否找到更简单的方法求解方程① ？
10x4.9x2=0
因式分解
x(10-4.9x)=0
探究新知
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物
体经过x s离地面的高度(单位：m)为10x-4.9x2 。根据上述规律，物体经过多少
秒落回地面(结果保留小数点后两位)?
利用因式分解法解一元二次方程 初中初三九年级数学教学课件PPT 人教版
例题解析
解下列方程： (1) (3χ +1)2 - 4 = 0
解：原方程可变形为 [(3χ +1) + 2][(3χ +1) - 2] = 0 即 (3χ + 3)(3χ -1) = 0 3χ +3 = 0或 3χ -1 = 0
∴
例题解析
(2) χ2 -3χ -10 = 0 解 ： 原方程利用十字相乘法可变形为
课题：利用因式分解法 解一元二次方程
科目： 数学 年级： 九年级上册
复习回顾
，
解下列方程． （1）2x2+x=0（用配方法） （2）3x2+6x=0（用公式法）
老师点评： （1）上面两个方程中有没有常数项？ （2）等式左边的各项有没有共同因式？ 因此，上面两个方程都可以写成： （1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=0
课堂小结
分解因式法解一元二次方程的步骤是： 1、将方程左边因式分解，右边等于 零； 2、根据“至少有一个因式为零”， 转化为两个一元一次方程. 3、分别解两个一元一次方程，它们 的根就是原方程的根.
(χ - 5)(χ + 2) = 0 χ - 5 = 0 或χ + 2 = 0 ∴ χ1 = 5、 χ 2 = -2 (3) (χ + 3)(χ -1) = 5 解：原方程可变形为 χ2 + 2χ - 3 = 5 即 χ2 + 2χ -8 = 0 把方程的左边分解因式，得
(χ - 2)(χ + 4) = 0 χ - 2 = 0 或χ + 4 = 0 ∴ χ 1= 2 、χ 2= -4
因式分解法
当一元二次方程的一边是0，而另 一边易于分解两个一次因式的乘积时， 我们就可以用分解因式的方法求解。 这种用分解因式解一元二次方程的方
九年级数学上册第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法22.2.5一元二次方程的根与系数的关系
*22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系知识点 1 利用一元二次方程根与系数的关系求两根之和或两根之积1．［xx·黄冈］若方程3x 2－4x －4＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝( )A ．－4B ．3C ．－43 D.432．［xx·金华］一元二次方程x 2－3x －2＝0的两根分别为x 1，x 2，则下列结论正确的是( )A ．x 1＝－1，x 2＝2B ．x 1＝1，x 2＝－2C ．x 1＋x 2＝3D ．x 1x 2＝2知识点 2 利用一元二次方程根与系数的关系求代数式的值3．若α，β是一元二次方程x 2＋2x －6＝0的两根，则α2＋β2＝( )A ．－6B ．32C ．16D ．404．［xx·盐城］若方程x 2－4x ＋1＝0的两根是x 1，x 2，则x 1(1＋x 2)＋x 2的值为________． 知识点 3 已知方程及方程的一个根求方程的另一个根5．［xx·新疆］已知关于x 的方程x 2＋x －a ＝0的一个根为2，则另一个根是( )A ．－3B ．－2C ．3D ．66．［xx·潍坊］关于x 的一元二次方程3x 2＋mx －8＝0有一个根是23，求该一元二次方程的另一个根及m 的值．7．若关于x 的一元二次方程x 2－(m ＋6)x ＋m 2＝0有两个相等的实数根，且满足x 1＋x 2＝x 1x 2，则m 的值是( )A ．－2或3B ．3C ．－2D ．－3或28．［教材练习第3(1)题变式］［xx·绵阳］关于x 的方程2x 2＋mx ＋n ＝0的两个根是－2和1，则n m 的值为( )A ．－8B ．8C ．16D ．－169．［xx·广州］定义运算：a ★b ＝a (1－b )．若a ，b 是方程x 2－x ＋14m ＝0(m ＜0)的两根，则b ★b －a ★a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．与m 有关10．［xx·荆门］已知方程x 2＋5x ＋1＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，则x 12＋x 22＝________．11．［xx·成都］已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－5x ＋a ＝0的两个实数根，且x 12－x 22＝10，则a ＝________．12．［xx·十堰］已知关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2.(1)求实数k的取值范围；(2)若x1，x2满足x12＋x22＝16＋x1x2，求实数k的值．13．若a，b是方程x2＋x－xx＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b＝( )A．xx B．2017 C．xx D．xx14．已知关于x的方程x2＋(m－3)x－m(2m－3)＝0.(1)证明：无论m为何值，方程都有两个实数根．(2)是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于26？若存在，求出满足条件的正数m的值；若不存在，请说明理由．1．D [解析] ∵方程3x 2－4x －4＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝－b a ＝43. 故选D. 2．C3．C [解析] 根据题意，得α＋β＝－2，αβ＝－6，所以α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝(－2)2－2×(－6)＝16.故选C.4．5 [解析] 根据题意得x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝1，所以x 1(1＋x 2)＋x 2＝x 1＋x 1x 2＋x 2＝x 1＋x 2＋x 1x 2＝4＋1＝5.故答案为5.5．A [解析] 设方程的另一个根为t ，根据题意得2＋t ＝－1，解得t ＝－3，即方程的另一个根是－3.故选A.6．解：设方程的另一个根为t .依题意得3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋23m －8＝0，解得m ＝10. 又23t ＝－83，所以t ＝－4. 故该一元二次方程的另一个根是－4，m 的值为10.7．[全品导学号：15572076]C [解析] ∵x 1＋x 2＝m ＋6，x 1x 2＝m 2，x 1＋x 2＝x 1x 2，∴m ＋6＝m 2，解得m 1＝3，m 2＝－2.∵方程x 2－(m ＋6)x ＋m 2＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b 2－4ac ＝(m ＋6)2－4m 2＝－3m 2＋12m ＋36＝0，解得m 1＝6，m 2＝－2，∴m ＝－2.故选C.8．C [解析] ∵关于x 的方程2x 2＋mx ＋n ＝0的两个根是－2和1，∴－m 2＝－1，n 2＝－2， ∴m ＝2，n ＝－4，∴n m ＝(－4)2＝16.故选C.9． A [解析] ∵a ，b 是方程x 2－x ＋14m ＝0(m ＜0)的两根， ∴a ＋b ＝1，ab ＝14m . ∴b ★b －a ★a ＝b (1－b )－a (1－a )＝b (a ＋b －b )－a (a ＋b －a )＝ab －ab ＝0.故选A.10．23 [解析] ∵方程x 2＋5x ＋1＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝－5，x 1·x 2＝1，∴x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝(－5)2－2×1＝23.故答案为23.11. 214[解析] 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝5，x 1·x 2＝a ， 由x 12－x 22＝10得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝10.∵x 1＋x 2＝5，∴x 1－x 2＝2，∴(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2＝25－4a ＝4，∴a ＝214. 故答案为214. 12．[解析] (1)根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝－4k ＋5≥0，解之即可得出实数k 的取值范围；(2)由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝1－2k ，x 1·x 2＝k 2－1，将其代入x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝16＋x 1x 2中，解之即可得出k 的值．解：(1)∵关于x 的方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2－1＝0有两个实数根x 1，x 2，∴Δ＝(2k －1)2－4(k 2－1)＝－4k ＋5≥0，解得k ≤54， ∴实数k 的取值范围为k ≤54. (2)∵关于x 的方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2－1＝0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝1－2k ，x 1x 2＝k 2－1.∵x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝16＋x 1x 2，∴(1－2k )2－2(k 2－1)＝16＋(k 2－1)，即k 2－4k －12＝0，解得k ＝－2或k ＝6(不符合题意，舍去)．∴实数k 的值为－2.13．B [解析] ∵a 是方程x 2＋x －xx ＝0的根，∴a 2＋a －xx ＝0，∴a 2＝－a ＋xx ，∴a 2＋2a ＋b ＝－a ＋xx ＋2a ＋b ＝xx ＋a ＋b .∵a ，b 是方程x 2＋x －xx ＝0的两个实数根，∴a ＋b ＝－1，∴a 2＋2a ＋b ＝xx －1＝xx.故选B.14．[解析] (1)求出根的判别式，再根据非负数的性质即可证明；(2)根据一元二次方程根与系数的关系即可求得方程两根的和与两根的积，两根的平方和可以用两根的和与两根的积表示，根据方程的两个实数根的平方和等于26，即可得到一个关于m 的方程，求得m 的值．解：(1)证明：∵关于x 的方程x 2＋(m －3)x －m (2m －3)＝0的判别式Δ＝(m －3)2＋4m (2m －3)＝9(m －1)2≥0，∴无论m 为何值，方程都有两个实数根．(2)设方程的两个实数根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－(m －3)，x 1x 2＝－m (2m －3)，令x 12＋x 22＝26，得(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(m －3)2＋2m (2m －3)＝26，整理，得5m 2－12m －17＝0，解这个方程，得m ＝175或m ＝－1. 所以存在正数m ＝175，使方程的两个实数根的平方和等于26.。
人教版数学九年级上册21.2.3 因式分解法
于是得 x－2＝0 或 x＋1=0, x1=2，x2=－1.
（2）5x2-2x-
1 4
=x2-2x+
3 4
(2)移项、合并同类项，得 4x2-1=0
因式分解，得
( 2x＋1)( 2x－1 )=0.
2x＋1=0或2x－1=0,
于是得
1
x1= 2
1
， x2= - 2 .
为 0 m，即10x 4.9x2 0.
探究新知
配方法
10x 4.9x2 0
解：
x2 100 x 0 49
x2
100 49
x
50 49
2
0
50
2
49
x
50 2 49
50 2 49
x 50 50 49 49
x 50 50 49 49
x1
100 ， 49
x2
0.
（1） x2+x=0 解： 因式分解，得
x ( x+1 ) = 0. 于是得 x = 0 或 x + 1 =0，
x1=0 , x2=－1.
（2）x2- 2 3 x=0
解：因式分解，得 x（x-2 3）=0
于是得 x=0 或 x-2 3 =0 x1=0，x2=2 3
巩固练习
（3）3x2 6x 3, （4） 4x2 121 0.
1.理解一元二次方程因式分解法的概念.
探究新知
知识点 因式分解法的概念
根据物理学规律，如果把一个物体从地面 10 m/s 的速 度竖直上抛，那么经过 x s 物体离地面的高度（单位：m） 为 10x 4.9x2.
【思考】根据这个规律求出物体经过多少秒落回地面？（精 确到 0.01 s） 提示：设物体经过 x s 落回地面，这时它离地面的高度
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1 2 (3) x 2 x 4 0 3
(4)25(x-1)2=16(x+2)2
(5) x2-2x-99=0
3.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆 形场地，场地面积增加了一倍，求小圆 形场地的半径．
解：设小圆形场地的半径为r 根据题意 ( r + 5 )2×π=2r2π.
用因式分解法解方程: (1)x2-7x-30=0
(2)4x(x-1)=3(x-1)
(3)(y+2)(y-1)=4 (4)(5t-3)2=3
试试你的能力☞ 用不同的方法解方程: x2-3x=18
配方法:
公式法: 因式分解法:
老师相信你的判断能力
用适当的方法解方程:
(1)(2y-1)2=3(1-2y)
练习
x的方程 2 2 2 (1) x 2ax a b 0
1.用因式分解法解关于
1 1
解： [ x (a b)][ x (a b)] 0
( a b) ( a b)
x (a b) 0或x (a b) 0 x1 a b, x2 a b.
问题情景
☞
解方程: x2=3x
小敏是这样解的,你认为他做的对吗?
解:方程 x2=3x 两边都约去x,得
x 3
你能说说为什么吗?
因式分解法解题框架图
解：原方程可变形为： =0
( 一次因式A )( 一次因式B )=0
一次因式A
=0或 一次因式B =0
∴ x 1= A解 , x 2 = B解
考考你,解方程掌握了吗?
例1 利用十字相乘法解一元二次方程:
（） 1 x 3x 4 0； （2） x 7 x 6 0； （3） 2 x 5x 3 0.
（） 1 x1 4， x 2 1 （2） x1 6， x2 1 1 （3） x1 2 ， x 2 3
2 2
2
2r r 5 2r 0.
因式分解，得
r 5
于是得
r 2r 5 0或r 2r 5 0.
5 ：小圆形场地的半径是 5( 2 1)m.
配方法要先配方,再降次;通过配方法 可以推出求根公式,公式法直接利用 求根公式;因式分解法要先使方程一边 为两个一次因式等于0.配方法、公式法 适用于所有一元二次方程,因式分解法 用于某些一元二次方程.总之,解一元二 次方程的基本思路是:将二次方程化为 一次方程,即降次.