维随机游走
随机游走离散型随机变量的随机漫步模型
随机游走离散型随机变量的随机漫步模型随机游走是一种描述随机变量在一条离散路径上从一个状态跳转到另一个状态的模型。
在该模型中，随机变量在每次转移时根据一定的概率进行状态的跳转，使得其在状态空间中进行“随机漫步”。
本文将介绍随机游走的概念、离散型随机变量以及随机漫步模型的基本原理。
一、随机游走的概念随机游走（Random Walk）是一种数学模型，用于描述在离散路径上随机变量的运动轨迹。
在随机游走过程中，随机变量从当前状态跳转到下一个状态的概率是随机的，并且其转移规律通常遵循一定的概率分布。
随机游走常用于模拟各种现实中的问题，如股票价格的变化、传染病的传播等。
二、离散型随机变量离散型随机变量（Discrete Random Variable）指的是在一定的取值范围内，可能取到有限个或可列个数值的随机变量。
与连续型随机变量不同，离散型随机变量的取值仅限于某些特定的数值。
常见的离散型随机变量包括二项分布、泊松分布等。
三、随机漫步模型随机漫步模型（Random Walk Model）是一种描述随机变量以随机方式在状态空间中移动的数学模型。
在随机漫步模型中，随机变量在每次转移时根据一定的概率进行状态的跳转，使得其在状态空间中进行随机的移动。
具体的转移规律通常由转移概率矩阵来描述。
在离散型随机变量的随机漫步模型中，随机变量的状态空间是有限个或可列个状态。
随机漫步模型可以用一个状态转移矩阵来表示，矩阵的元素表示从一个状态转移到另一个状态的概率。
通过迭代计算，可以得到随机变量在每个状态下的概率分布，从而对其进行建模和分析。
随机漫步模型在实际应用中具有广泛的意义。
例如，在金融领域中，可以利用随机漫步模型来预测股票价格的变化趋势；在物理学领域中，可以使用随机漫步模型来模拟原子或分子的扩散过程等。
总结：随机游走离散型随机变量的随机漫步模型是一种描述随机变量在离散路径上随机跳转的数学模型。
通过随机漫步模型，我们可以对离散型随机变量的状态进行建模和分析，为实际问题的解决提供参考。
随机过程中的随机游走
随机游走是随机过程中一种重要的模型，其在多个领域都有广泛的应用，包括物理学、金融学、生物学等。
随机游走的基本思想是描述一个在一系列随机步骤中随机移动的过程。
在随机游走中，我们关注的是一个在一个状态空间中移动的随机变量。
这个状态空间可以是一维、二维甚至更高维度的。
随机游走中的每一步移动都是随机的，通常是根据某种概率分布来决定的。
最常见的随机游走模型是一维随机游走，其中随机变量在每个时间步长内以概率 p 向右移动一步，以概率 q 向左移动一步，p + q = 1。
这样的随机游走可以模拟许多现实世界中的情况，比如一个颗粒在液体中的扩散、股票价格的变化等。
随机游走可以用一种简单的数学模型来描述，即马尔可夫链。
马尔可夫链是一种具有“无记忆”的特性，即在给定当前状态下，未来状态的转移只依赖于当前状态，与过去的状态无关。
这种特性使得马尔可夫链成为描述随机游走的理想模型。
利用马尔可夫链的转移矩阵，我们可以计算随机游走在不同时间步长内到达各个状态的概率。
随机游走不仅有理论上的意义，还有很多实际应用。
在物理学中，随机游走可以用来研究粒子在溶液中的扩散行为。
根据随机游走模型，可以计算出粒子在不同时间段内从起始位置到达各个位置的概率分布。
这些概率分布可以与实验结果进行比较，从而验证实验数据与理论模型的一致性。
在金融学中，随机游走被广泛应用于股票价格预测和风险管理。
根据随机游走模型，股票价格的变动可以看作是一系列随机变量的累积。
根据已有的历史数据，可以估计出股票价格的随机变动的概率分布，并利用这些概率分布来预测未来的股票价格趋势。
在生物学中，随机游走可以用来研究细胞运动行为和蛋白质折叠过程。
细胞在背景噪声的影响下随机移动，这种运动可以用随机游走来描述。
蛋白质折叠是一个复杂且具有多种可能路径的过程，随机游走可以用来模拟蛋白质在其折叠过程中的构象变化。
随机游走作为一种重要的随机过程模型，不仅在理论研究中具有重要地位，也在实际应用中发挥着重要作用。
随机游走的自相关系数
随机游走的自相关系数随机游走是一种常见的数学模型，常用于描述随机过程中的移动。
它可以用来研究许多领域，如金融市场、物理学、生物学等。
在随机游走中，自相关系数是一个重要的指标，用于衡量随机过程中的相关性。
让我们了解一下什么是随机游走。
随机游走是一种模型，描述了一个物体在每个时间步中随机移动的情况。
在一维情况下，物体可以向左或向右移动，每次移动的距离可以是固定的或服从某个特定的概率分布。
在二维或更高维的情况下，物体可以在各个方向上移动。
在随机游走中，自相关系数是一个重要的统计量。
它用来衡量随机过程中两个变量之间的相关性。
自相关系数的取值范围在-1到1之间，其中-1表示完全负相关，1表示完全正相关，0表示没有相关性。
自相关系数越接近于1或-1，表示两个变量之间的关联越强。
随机游走的自相关系数可以通过计算相邻步长之间的相关性得到。
例如，假设我们有一个随机游走模型，物体在每个时间步中向左或向右移动一个单位距离。
我们可以计算相邻步长之间的自相关系数，来衡量物体移动的趋势是否存在相关性。
随机游走的自相关系数在金融市场中有广泛的应用。
在股票市场中，投资者经常使用随机游走模型来预测股票价格的走势。
他们通过计算股票价格的自相关系数，来判断价格是否存在长期的趋势。
如果自相关系数接近于1，意味着价格存在明显的上涨或下跌趋势；如果自相关系数接近于0，意味着价格呈现随机波动。
除了金融市场，随机游走的自相关系数还可以应用于物理学和生物学领域。
在物理学中，随机游走模型可以用来描述分子在溶液中的扩散过程。
研究人员可以通过计算分子的自相关系数，来了解分子在溶液中的运动规律。
在生物学中，随机游走模型可以用来描述细胞的移动过程。
科学家可以通过计算细胞的自相关系数，来研究细胞的迁移行为和群体行为。
随机游走的自相关系数是一个重要的统计量，用于衡量随机过程中的相关性。
它在金融市场、物理学和生物学等领域都有广泛的应用。
通过计算自相关系数，我们可以了解随机游走模型中变量之间的关联程度，从而预测未来的趋势和行为。
概率论中的马尔可夫链与随机游走
概率论中的马尔可夫链与随机游走概率论是数学的一个重要分支，研究随机事件的规律性。
其中，马尔可夫链与随机游走是概率论中常见的概念和模型。
本文将介绍马尔可夫链和随机游走的基本概念、性质和应用，并分析它们在实际问题中的作用。
一、马尔可夫链的基本概念马尔可夫链是指具有马尔可夫性质的随机过程。
马尔可夫性质是指，在给定当前状态下，未来的状态只依赖于当前状态，与过去的状态无关。
马尔可夫性质可以用条件概率表示，即对于任意两个状态 i 和 j，以及任意正整数 n，有：P(X_n=j | X_0=i, X_1=xi_1, X_2=xi_2,...,X_{n-1}=xi_{n-1}) =P(X_n=j | X_{n-1}=xi_{n-1})其中，X_0, X_1, ..., X_n 表示随机过程在不同时刻的状态。
二、马尔可夫链的性质1. 马尔可夫链的状态空间马尔可夫链的状态空间是指所有可能状态的集合。
状态空间可以是有限的，也可以是无限的。
2. 马尔可夫链的转移概率矩阵转移概率矩阵是马尔可夫链的核心概念，它用来描述从一个状态转移到另一个状态的概率。
如果状态空间是有限的，转移概率矩阵是一个方阵，其元素表示从一个状态到另一个状态的转移概率。
3. 马尔可夫链的平稳分布马尔可夫链的平稳分布是指在长时间内，马尔可夫链的状态分布趋于稳定且不随时间变化的分布。
平稳分布与转移概率矩阵有关，可以通过求解状态转移方程得到。
三、马尔可夫链的应用1. 随机游走模型随机游走是马尔可夫链在数理金融学、统计物理学等领域的重要应用之一。
随机游走模型可以用来描述在离散状态空间中，随机过程在各个状态间的随机跳跃。
2. PageRank算法PageRank算法是谷歌搜索引擎中应用的一种基于马尔可夫链的排序算法。
该算法通过将互联网看做一个巨大的马尔可夫链，根据页面之间的链接关系概率进行页面排序。
3. 马尔可夫链蒙特卡洛方法马尔可夫链蒙特卡洛方法是一种基于马尔可夫链的随机模拟方法，用于求解复杂的数学问题。
二维随机游走 概率计算
二维随机游走概率计算
二维随机游走是一种概率过程,它描述了一个粒子在二维平面上的随机运动。
在每一个时间步长内,粒子有相等的概率向四个方向(上、下、左、右)移动一个单位距离。
随机游走的概率计算涉及到组合数学和概率论的知识。
假设我们从原点(0,0)出发,经过n个时间步长后,粒子到达点(x,y)的概率为:
P(x,y,n) = C(n,(n+x+y)/2) * C((n+x+y)/2,(n+y-x)/2) * (1/4)^n
其中,C(n,k)表示从n个元素中取出k个元素的组合数,即C(n,k) = n!/(k!(n-k)!)。
解释如下:
1) 要到达(x,y),粒子需要向右移动(n+x-y)/2次,向上移动(n+y-x)/2次。
2) 在n个时间步长中,有(n+x+y)/2次是向右或向上移动。
3) 从n个时间步长中选择(n+x+y)/2个时间步长向右或向上移动,有C(n,(n+x+y)/2)种方式。
4) 在选定的(n+x+y)/2个时间步长中,有(n+y-x)/2次是向上移动,剩余的是向右移动,有C((n+x+y)/2,(n+y-x)/2)种方式安排这些向上移动。
5) 每次移动的概率是1/4。
通过上述公式,我们可以计算出粒子在二维随机游走中到达任意点
(x,y)的概率。
需要注意的是,当n是奇数时,如果x+y是奇数,则概率为0,因为粒子无法到达该点。
E02.多维随机游走及应用
多维随机游走及应用
摘要
本文从一维和二维随机游走开始探究,基于组合数学和概率论的有关理论, 利用 Bernoulli 概型及其叠加推导得到了从一确定点出发到达任意随机点的概 率； 然而在三维随机游走问题上,不能直接利用 Bernoulli 概型,因而首先引入了 一个有放回的摸球问题,再通过该问题得到三维随机变量的分布概型,从而解决 了三维随机游走中到达任意随机点的概率问题,并且通过这个思想推导了多维随 机游走的相关结论.最后,本文将得到的结论应用在环形随机游走中， 得到相关结 论.
\ a + b(mod 2) ⎧0, N ≡ ⎪ ⎪ ⎪ i + a i + a i −a N −i +b N −i +b N −i −b ⎤. P(B ) = ⎨ N −b ⎡ i i N −i 2 2 2 2 2 ( ) ( ) + + ⋅ ⋅ C p q m n C p q C m n 2 ⎥ i i ⎪∑ ⎢ N ⎦ ⎪ i =a ⎣ ⎪ ⎩ N ≡ a + b(mod 2), i ≡ a(mod 2)
i =1
G
数, β 为 δ i = 1 的个数.则有 α − β = a , α + β = G , G − a = 2β .故 G ≡ a (mod 2) . I. G ≡ \ a (mod 2) 时, P(B ) = 0 .
即此时是不可能到达 (a, b ) 的；同时,若 G ≡ \ a (mod 2) ,有 G ≡ \ − a (mod 2) ,即
新高考视角下的随机游走与马尔科夫过程
随机游走与马尔科夫过程一．基本原理1.转移概率：对于有限状态集合S ，定义：)|(1,i n j n j i X X P P ==+=为从状态i 到状态j 的转移概率.2.马尔可夫链：若ij i n j n i i n i n j n P X X P X X X X P n ==⋅⋅⋅==+==-==+-)|(),,,|(101101，即未来状态1+n X 只受当前状态n X 的影响，与之前的021,,,X X X n n ⋅⋅⋅--无关.3.一维随机游走模型设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻0=t 时，位于点)(+∈=N i i x ，下一个时刻，它将以概率α或者β（1),1,0(=+∈βαα）向左或者向右平移一个单位.若记状态i t X =表示：在时刻t 该点位于位置)(+∈=N i i x ，那么由全概率公式可得：)|()()|()()(1111111+==++=-==+-==+⋅+⋅=i t i t i t i t i t i t i t X X P X P X X P X P X P 另一方面，由于αβ==+==+-==+)|(,)|(1111i t i t i t i t X X P X X P ，代入上式可得：11-+⋅+⋅=i i i P P P βα.进一步，我们假设在0=x 与),0(+∈>=N m m m x 处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不再游走.于是，1,00==m P P .随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程.进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为a ，原地不动，其概率为b ，向右平移一个单位，其概率为c ，那么根据全概率公式可得：11-+⋅+⋅+⋅=i i i i P c P b P a P 有了这样的理论分析，下面我们看全概率公式及以为随机游走模型在2019年全国1卷中的应用.二．典例分析.例1.（2019全国1卷）．为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ．（1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i = 表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i = ，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．（i）证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i = 为等比数列；（ii）求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．解析：（1）由题意可知X 所有可能的取值为：1-，0，1()()11P X αβ∴=-=-；()()()011P X αβαβ==+--；()()11P X αβ==-则X 的分布列如下：X1-01P ()1αβ-()()11αβαβ+--()1αβ-（2）0.5α= ，0.8β=0.50.80.4a ∴=⨯=，0.50.80.50.20.5b =⨯+⨯=，0.50.20.1c =⨯=（i）()111,2,,7ii i i p ap bp cp i -+=++=⋅⋅⋅ 即()110.40.50.11,2,,7i i i i p p p p i -+=++=⋅⋅⋅整理可得：()11541,2,,7ii i p p p i -+=+=⋅⋅⋅()()1141,2,,7i i i i p p p p i +-∴-=-=⋅⋅⋅{}1i i p p +∴-()0,1,2,,7i =⋅⋅⋅是以10p p -为首项，4为公比的等比数列（ii）由（i）知：()110144i ii i p p p p p +-=-⋅=⋅78714p p p ∴-=⋅，67614p p p -=⋅，……，01014p p p -=⋅作和可得：()880178011114414441143p p p p p ---=⋅++⋅⋅⋅+===-18341p ∴=-()4401234401184144131144441434141257p p p p p --∴=-=⋅+++==⨯==--+4p 表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为410.0039257p =≈，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理.注：1.虽然此时学生未学过全概率公式，但命题人也直接把11-+⋅+⋅+⋅=i i i i P c P b P a P 给出，并没有让考生推导这个递推关系，实际上，由前面的基本原理，我们可以看到，这就是一维随机游走模型.习题1．足球是一项大众喜爱的运动.2022卡塔尔世界杯揭幕战将在2022年11月21日打响，决赛定于12月18日晚进行，全程为期28天.校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第n 次触球者是甲的概率记为n P ，即11P =．（1）求3P （直接写出结果即可）；（2）证明：数列14n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，并判断第19次与第20次触球者是甲的概率的大小．解析：（1）由题意得：第二次触球者为乙，丙，丁中的一个，第二次触球者传给包括甲的三人中的一人，故传给甲的概率为13，故313P =．（2）第n 次触球者是甲的概率记为n P ，则当2n ≥时，第1n -次触球者是甲的概率为1n P -，第1n -次触球者不是甲的概率为11n P --，则()()1111101133n n n n P P P P ---=⋅+-⋅=-，从而1111434n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，又11344P -=，14n P ⎧⎫∴-⎨⎬⎩⎭是以34为首项，公比为13-的等比数列．则1311434n n P -⎛⎫=⨯-+ ⎪⎝⎭，∴181931114344P ⎛⎫=⨯-+> ⎪⎝⎭，192031114344P ⎛⎫=⨯-+< ⎪⎝⎭，1920P P >，故第19次触球者是甲的概率大。
随机游走方差的计算公式
随机游走方差的计算公式随机游走（Random Walk，缩写为RW），又称随机游动或随机漫步，是一种数学统计模型，它是一连串的轨迹所组成，其中每一次都是随机的。
它能用来表示不规则的变动形式，如同一个人酒后乱步，所形成的随机过程记录。
因此，它是记录随机活动的基本统计模型。
Random Walk是随机过程（Stochastic Process）的一个重要组成部分，通常描述的是最简单的一维Random Walk过程。
下面给出一个例子来说明：考虑在数轴原点处有一只蚂蚁，它从当前位置(记为x（t）)出发，在下一个时刻(x（t+1）)以的概率向前走一步(即x（t+1）=x（t）+1)，或者以的概率向后走一步(即x（t+1）=x（t）-1)，这样蚂蚁每个时刻到达的点序列就构成一个一维随机游走过程。
本质上Random Walk是一种随机化的方法，在实际上生活中，例如醉汉行走的轨迹、花粉的布朗运动、证券的涨跌等都与Random Walk有密不可分的关系。
Random Walk已经被成功地应用到数学，物理，化学，经济等各种领域。
当前研究者们已经开始将Random Walk应用到信息检索、图像分割等领域，并且取得了一定的成果，其中一个突出的例子就是Brin和Page利用基于Random Walk的PageRank技术创建了Google公司。
随机游走的形式有：马尔可夫链或马可夫过程：一维随机游走也可以看作马尔可夫链，其状态空间由整数给出。
布朗运动醉汉走路（drunkard’s walk）莱维飞行（Lévy flight）随机游走(random walk)矩阵可以看做是马尔科夫链的一种特例。
喝醉的酒鬼总能找到回家的路，喝醉的小鸟则可能永远也回不了家。
一维、二维随机游走过程中，只要时间足够长，我们最终总能回到出发点; 三维网格中随机游走，最终能回到出发点的概率只有大约34%；四维网格中随机游走，最终能回到出发点的概率是19.3%；八维空间中，最终能回到出发点的概率只有7.3%；。
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设事件 R ：共走了N 步, N N ,到达了点a1 , a2 ,...,an ,其中 a i n
*
表示在坐标轴 x i 上的坐标（假设 ai 0 ）, a N . n i 记 i 1 a ,则：
i 1
i
P R
N a1 N a2
j1 a1
...
N an jn an
j2 a2
ai ji ai ji ai B1, ,B2 ,...,Bn n B j ji 2 2 2 p j C p q Gn j i j 1
环形随机游走
定理4：在一个环上,有M 个点,各点之间的距离相等,且均为一个 单位长度.假设一点从某点 O 出发,每一次沿环上移动一个单位长 度,假设向顺时针方向移动一个单位的概率为 p ,向逆时针方向移 动一个单位的概率为 q ,且 p, q 0 , p q 1 . 设事件 A ：走了N 步后到达点 a （点与点顺时针方向相距 a ,逆时 * a N , N N M a 针方向相距 ）, .则：
华东师范大学第二附属中学 作者：高二（7）班 顾韬 景琰杰 指导教师：张成鹏
研究背景
“随机游走”（random walk）是指基于 过去的表现,无法预测将来的发展步骤和方向. 随机游走问题最早来源于“梅茵街的醉汉”问 题：一个醉汉从酒店出发,向左和向右走分别有 一个概率,那么他回到家的概率是多少？这是一 个有趣的概率问题,引起了我的兴趣,同时,在思 考解决这个问题的基础上,我想是否也可以解决 在二维坐标平面内的随机游走问题,甚至是在多 维空间内的？在环上进行的随机游走问题呢？ 于是,我试图去解决这些问题.
为方便表示，不妨记 C C C G B D q r q r 即为每一次摸球摸到白 A B D ， A B D（事实上 p ，， 球、黑球和红球的概率），有 p q r 1 .
a1 n a2 n an n a1 ,a2 ,..., an p ， n
n
n
P M
G n 1,
2
n
Aj
j 1 n
i 1
Ak k 1
n
PM G
B1, , B2 ,..., Bn n
pj j
B j 1
n
多维随机游走
通过这个问题，多维随机游走也可以类比于三维随机游走得出结 果.
多维随机游走
猜想 假设在一个 n 维坐标空间上随机游走,从原点出发.向x i 轴 正方向移动的概率为 pi ,向 x i 轴负方向移动的概率为 q i ,其 中 i 1,...,n , n 且 pi , qi 0 , pi qi 1 .
\ a b c d e f mod2 0, N g a d g a d g a d N bc e f N ac d f g ,h g h N g h PT Cg 2 p 2 q 2 GN p q m n s t h b e g a d hbe hbe hbe N g h c f N g h c f N g h c f 2 2 2 C 2 p 2 q 2 C p q , N g h h N a b c d e f mod2 , g amod2 , h bmod2 .
一维随机游走
推论1. 假设一点从点 i 出发,在数轴 x上一维随机游走, 向右走的概 率为 p,向左走的概率为q ,且 p, q 0, p q 1. * 设事件 A：共走了N 步, N N ,到达了点 j, j i N . 则.
\ j i(mod2) 0, N P( A) N j i N j i N j i . 2 2 2 C p q ，N j i(mod2) N
i a
i
二维随机游走
定理2. 假设一点在二维坐标系 xOy 上进行随机游走,从原点出发, 每一次沿坐标轴移动一个单位,向右走的概率为p ,向左走的概率 为q ,向上走的概率为 m ,向下走的概率为n , 且 p, q, m, n 0, p q m n 1. * 设总步数为 N . 设事件B ：共走了N 步, n N ,到达了点 a, b （假设 a, b 0）, a b N. 运用两次Bernoulli概型的叠加，可得：
n
n
多维随机游走
引理2 一个袋子中有 A1个 a1 球,A2 个a2 球,…,Ak 个ak 球（各球形状 大小均无差异）. 现有放回的从袋子中摸球,问：在n 次摸球中恰 好摸到 B1个 a1 球,B2 个a2 球,…, Bk个ak 球的概率是多少？ 设上述事件为事件 M .
n A i . 每次有 Ai 个样本点,又因为共摸球n 次,所以样本点共有 i 1 i 1 Aj p 可得 n 设 j ,则 n Ai B , B ,..., B
A A B D，
三维随机游走
则上式可表示为：
a,b a b na b PS Gn pqr
a,b Gn pa qb 1 p q
nab
三维随机游走
定理3. 假设一点在一个三维坐标空间 x y z 上进行随机游走,从 原点出发,每一次沿坐标轴移动一个单位,向 x轴正方向移动的概率 为 p , 向 x轴负方向移动的概率为q ,向 y 轴正方向移动的概率为m, s ,向 z 轴 向 y 轴负方向移动的概率为n ,向 z 轴正方向移动的概率为 负方向移动的概率为 t ,且 p, q, m, n, s, t 0 , p q m n s t 1 . * abc N 设事件 T ：共走了 N 步, n N ,到达了点 a, b, c ， （暂时假设 a, b, c 0 ）. g a g a g a h b h b h b bc a c g ,h p q g m nh s t N g h Cg 2 p 2 q 2 Ch 2 p 2 q 2 PT GN g a h b
\ a b c d mod2, 0, i N bd i a c i a c i a c N i bd N i bd N i bd i i N i PB C N p q m n Ci 2 p 2 q 2 Ci 2 m 2 n 2 , i a c i a b c d mod2.
一维随机游走
推论2：从零点出发在数轴上一维随机游走, 向右走的概率为 p , 向左走的概率为 q ,且 p, q 0, p q 1 . * 设事件 A ：在 N 步之内（包括第N 步）到达了点 a, a N , N N . 则 i a i a i a N P( A) C 2 p 2 q 2 ,其中 i amod2 .
2 维随机游走
在得到了二维随机游走的结果后,由于 2 维可以看作是 n个二 维情况的简单叠加,因此我们可以以类似的方法将2 n 几个Bernoulli 概型进行叠加,从而得到维随机游走的结论.然而,由于每一次使用 k k N k Bernoulli概型时,它的分布 CN p q 中的 N 总是一个变量,所以 得到的表达式是十分复杂的,也不易于计算.因此,本文中并没有给 出计算.
P A C
i 1
u
N a iM 2 N
N a iM N a iM N a2iM N a2iM 2 2 p q p q
其中 u max u : u M N , u N
N a M
.
项目的未来期望
1、寻找并建立更好的模型。 2、尝试解决解决树上的随机游走问题。 3、给出三维、多维随机游走的渐进公式， 方便实际运用。
C
N g h c 2 N g h
p
N g h c 2
q
N g h c 2
三维随机游走
推论4：一质点在一个三维坐标空间Oxyz上随机游走,从点 d , e, f 出发.向x 轴正方向移动的概率为 p ,向x 轴负方向移动的概率为q , 向 y 轴正方向移动的概率为m,向 y 轴负方向移动的概率为 n ,向 z 轴 正方向移动的概率为 s,向 z 轴负方向移动的概率为 t , 且 p, q, m, n, s, t 0 , p q m n s t 1 . * 设事件 T：共走了N 步, N N ,到达了点 a, b, c （假设 a, b, c 0 , a d , b e ,c f ）, a b c N .则：
一维随机游走
定理1. 假设在一维坐标轴 x轴上一维随机游走,从原点出发,向右走 的概率为 p,向右走的概率为q ,且 p, q 0, p q 1 .
设事件 A 为：共走了N 步, n N * ,到达了点 a, a N . 运用Bernoulli概型，可得：
\ a(mod2) 0, N P( A) N a N a k 2 2 C N p q ，N a(mod2)
三维随机游走
引理1 一个袋子中有 A个白球, B 个黑球,D个红球（各球形状大小均 无差异）. 现有放回的从袋子中摸球,问：在n 次摸球中恰好摸到 a
个白球, b 个黑球,（ n a b 个红球）的概率是多少？ 设上述事件为事件 S ,可得：
a b Cn Cn Aa Bb D na b PS A B Dn
\ amod2 0, i N b i a i a i a N i b N i b N i b i i N i 2 2 2 2 2 2 PB C N p q m n Ci p q Ci m n , i a i amod2