一道解三角形综合应用题
八年级数学三角形应用题
八年级数学三角形应用题一、三角形边长与周长问题。
1. 一个三角形的三条边分别为3x，4x，5x，其周长为36，求x的值。
- 解析：- 已知三角形周长等于三条边之和，可列出方程3x + 4x+5x = 36。
- 合并同类项得12x = 36。
- 解得x = 3。
2. 三角形的一边长为5cm，另外两边长相等且它们的和为12cm，求这个三角形的周长。
- 解析：- 设相等的两边长为x cm，则2x = 12，解得x = 6。
- 三角形周长为5 + 6+6=17cm。
3. 已知三角形的三边长分别为a，a + 1，a+2，且其周长为12，求a的值。
- 解析：- 根据周长定义a+(a + 1)+(a+2)=12。
- 展开式子得a+a + 1+a+2 = 12。
- 合并同类项3a+3 = 12。
- 移项得3a=12 - 3=9。
- 解得a = 3。
二、三角形内角和问题。
4. 在ABC中，∠ A=∠ B + 10^∘，∠ C=∠ A+10^∘，求ABC各内角的度数。
- 解析：- 因为三角形内角和为180^∘，即∠ A+∠ B+∠ C = 180^∘。
- 又因为∠ A=∠ B + 10^∘，∠ C=∠ A+10^∘=∠ B+10^∘+10^∘=∠ B + 20^∘。
- 把∠ A=∠ B + 10^∘，∠ C=∠ B + 20^∘代入∠ A+∠ B+∠ C = 180^∘得：(∠ B + 10^∘)+∠ B+(∠ B + 20^∘)=180^∘。
- 合并同类项得3∠ B+30^∘=180^∘。
- 移项得3∠ B=180^∘-30^∘=150^∘。
- 解得∠ B = 50^∘。
- 则∠ A=∠ B + 10^∘=60^∘，∠ C=∠ A+10^∘=70^∘。
5. 已知ABC中，∠ A = 2∠ B，∠ C=3∠ B，求∠ A、∠ B、∠ C的度数。
- 解析：- 因为∠ A+∠ B+∠ C = 180^∘，又∠ A = 2∠ B，∠ C=3∠ B。
解三角形应用题(2)含答案
解三角形应用题（2）1．如图，已知测速站P 到公路L 的距离PO 为40米，一辆汽车在公路L 上行驶，测得此车从点A 行驶到点B 所用的时间为2秒，并测得∠APO=600，∠BPO=300，计算此车从A 到B 的平均速度为每秒多少米（结果保留四个有效数字），并判断此车是否超过了每秒22米的限制速度。
2.如图，在小山的西侧A 处有一热气球，以30米/分钟的速度沿着与垂直方向所成夹角为30°的方向升空，40分钟后到达C 处，这时热气球上的人发现，在A 处的正东方向有一处着火点B ，十分钟后，在D 处测得着火点B 的俯角为15°，求热气球升空点A 与着火点B 的距离。
（结果保留根号，参考数据：(42615sin -=︒，42615cos +=︒，3215tan -=︒，3215cot +=︒）。
3.城市规划期间，欲拆除一电线杆AB （如图）已知距电线杆AB 水平距离14米的D 处有一大坝，背水坡CD 的坡度i=2：1，坝高CF 为2米.在坝顶C 处测得杆顶A 的仰角为30，D 、E 之间是宽为2米的人行道.试问：在拆除电线杆AB 时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上？请说明理由（在地面上，以点B 为圆心、以AB 为半径的圆形区域为危险区域）.（732.13≈，414.12≈）B A A L O P B4.台湾“华航”客机失事后，祖国大陆海上搜救中心立即通知位于A、B两处的上海救捞人局所属专业救助轮“华意”轮、“沪救12”轮前往出事地点协助搜索。
接到通知后，“华意”轮测得出事地点C在A的南偏东60°、“沪救12”轮测得出事地点C在B的南偏东30°。
已知B在A 的正东方向，且相距100浬，分别求出两艘船到达出事地点CC可从30°升到80°．求起重机起吊的最大高度（吊钩本身的长度和所挂重物的高度忽略不计）和当起重机位置不变时使用的最大水平距离（精确到0.1米，sin80°=0.9848，cos80°=0.1736，6.如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均受到影响.(1)问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由.(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?(供选用数据： 2 ≈1.4， 3 ≈1.7)解三角形应用题（2）答案：1.v=23.09﹥222.AB=（1500 3 +1500）米3.AB=5 3 +2﹤12 ∴不需要4.BC=100 AC=100 35.最大高度为35.5+21=56.5米最远距离为18 3 ≈31.2米6.⑴BD=160﹤200 ∴会受到⑵AE=160 3 -120∴t=（160 3 -120）÷40≈3.8小时。
高中数学解三角形应用举例(有答案)
解三角形应用举例一．选择题（共19小题）1．（2014•海南模拟）如图，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得AC=50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°，则A、B两点的距离为（）A．m B．m C．m D．m2．（2014•海淀区二模）如图所示，为了测量某湖泊两侧A、B间的距离，李宁同学首先选定了与A、B 不共线的一点C，然后给出了三种测量方案：（△ABC的角A、B、C所对的边分别记为a、b、c）：①测量A、C、b；②测量a、b、C；③测量A、B、a；则一定能确定A、B间距离的所有方案的序号为（）A．①②B．②③C．①③D．①②③3．（2014•重庆一模）在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于P点，一分钟后，其位置在Q点，且∠POQ=90°，再过两分钟后，该物体位于R点，且∠QOR=30°，则tan∠OPQ的值为（）A．B．C．D．4．（2014•成都三模）在一条东西走向的水平公路的北侧远处有一座高塔，塔底与这条公路在同一水平面上，为了测量该塔的高度，测量人员在公路上选择了A、B两个观测点，在A处测得该塔底部C在西偏北α的方向上，在B处测得塔底C在西偏北β的方向上，并测得塔顶D的仰角为γ，已知AB=a，0＜γ＜β＜α＜，则此塔高CD为（）B．tanγA．tanγC．D．tanγtanγ5．（2014•浙江模拟）如图，在铁路建设中，需要确定隧道两端的距离（单位：百米），已测得隧道两端点A，B到某一点C的距离分别为5和8，∠ACB=60°，则A，B之间的距离为（）A．7B．10C．6D．86．（2014•房山区一模）如图，有一块锐角三角形的玻璃余料，欲加工成一个面积不小于800cm2的内接矩形玻璃（阴影部分），则其边长x（单位：cm）的取值范围是（）A．[10，30]B．[25，32]C．[20，35]D．[20，40]7．（2014•濮阳一模）如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ+30°角的方向沿直线前往B处营救，则sinθ的值为（）A．B．C．D．8．（2014•成都三模）某公司要测量一水塔CD的高度，测量人员在该水塔所在的东西方向水平直线上选择A，B两个观测点，在A处测得该水塔顶端D的仰角为α，在B处测得该水塔顶端D的仰角为β，已知AB=a，0＜β＜α＜，则水塔CD的高度为（）A ．B．C．D．9．（2014•怀化一模）在等腰Rt△ABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P 出发，经BC，CA反射后又回到原来的点P．若，则△PQR的周长等于（）A．B．C．D．10．（2012•珠海一模）台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，则B城市处于危险区内的时间为（）A．B．1小时C．D．2小时11．（2011•宝鸡模拟）一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知D成120°角，且y=g（x）的大小分别为1和2，则有（）A．F1，F3成90°角B．F1，F3成150°角C．F2，F3成90°角D．F2，F3成60°角12．（2011•大连二模）已知A船在灯塔C北偏东75°且A到C的距离为3km，B船在灯塔C西偏北15o 且B到C的距离为km，则A，B两船的距离为（）A．5km B．km C．4km D．km13．（2011•安徽模拟）如图，在山脚下A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a米到达B，在B处测得山顶P的仰角为γ，则山高PQ为（）A．B．C．D．14．（2010•武昌区模拟）某人朝正东方向走xkm后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好，那么x的值为（）A．2或B．2C．D．315．（2010•江门一模）海事救护船A在基地的北偏东60°，与基地相距海里，渔船B被困海面，已知B距离基地100海里，而且在救护船A正西方，则渔船B与救护船A的距离是（）A．100海里B．200海里C．100海里或200海里D．海里16．（2010•武汉模拟）飞机从甲地以北偏西15°的方向飞行1400km到达乙地，再从乙地以南偏东75°的方向飞行1400km到达丙地，那么丙地距甲地距离为（）A．1400km B．700km C．700km D．1400km17．（2010•石家庄二模）如图，一条宽为a的直角走廊，现要设计一辆可通过该直角走廊的矩形面平板车，其宽为b（0＜b＜a）．则该平板车长度的最大值为（）A．B．C．D．18．（2009•韶关二模）北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），则旗杆的高度为（）A．10米B．30米C．10米D．米19．（2009•温州一模）北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，看台上第一排和最后一排的距离米（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上，已知国歌长度约为50秒，升旗手匀速升旗的速度为（）A．（米/秒）B．（米/秒）C．（米/秒）D．（米/秒）二．填空题（共7小题）20．（2014•重庆模拟）如图，割线PBC经过圆心O，PB=OB=1，PB绕点O逆时针旋120°到OD，连PD 交圆O于点E，则PE=_________．21．（2014•南昌模拟）已知△ABC中，角A，B，C所对应的边的边长分别为a，b，c，外接圆半径是1，且满足条件2（sin2A﹣sin2C）=（sinA﹣sinB）b，则△ABC面积的最大值为_________．22．（2014•韶关二模）一只艘船以均匀的速度由A点向正北方向航行，如图，开始航行时，从A点观测灯塔C的方位角（从正北方向顺时针转到目标方向的水平角）为45°，行驶60海里后，船在B点观测灯塔C的方位角为75°，则A到C的距离是_________海里．23．（2014•潍坊二模）如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东45°，与观测站A距离20海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北θ（0°＜θ＜45°）的C处，且cosθ=，已知A、C两处的距离为10海里，则该货船的船速为_________海里/小时．24．（2014•潍坊三模）如图，C、D是两个小区所在地，C、D到一条公路AB的垂直距离分别为CA=1km，DB=2km，A、B间的距离为3km，某公交公司要在A、B之间的某点N处建造一个公交站点，使得N对C、D两个小区的视角∠CND最大，则N处与A处的距离为_________km．25．（2014•台州一模）为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD 各边的长度（单位：km）如图所示，且∠B+∠D=180°，则AC的长为_________km．m/s的速率，从路灯在地面上的射影点C处，沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速率v为_________m/s．三．解答题（共4小题）27．（2014•广州模拟）如图，某测量人员，为了测量西江北岸不能到达的两点A，B之间的距离，她在西江南岸找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C；并测量得到数据：∠ACD=90°，∠ADC=60°，∠ACB=15°，∠BCE=105°，∠CEB=45°，DC=CE=1（百米）．（1）求△CDE的面积；（2）求A，B之间的距离．28．（2014•福建模拟）如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N （异于村庄A），要求PM=PN=MN=2（单位：千米）．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离最远）．29．（2010•福建）某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．（Ⅰ）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（Ⅱ）为保证小艇在30分钟内（含30分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；（Ⅲ）是否存在v，使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v的取值范围；若不存在，请说明理由．30．在平地上有A、B两点，A在山的正东，B在山的东南，且在A的西偏南65°距离为300米的地方，在A测得山顶的仰角是30°，求山高（精确到10米，sin70°=0.94）．2014年12月27日高中数学解三角形应用举例参考答案与试题解析一．选择题（共19小题）1．（2014•海南模拟）如图，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得AC=50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°，则A、B两点的距离为（）A．m B．m C．m D．m考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：依题意在A，B，C三点构成的三角形中利用正弦定理，根据AC，∠ACB，B的值求得AB解答：解：由正弦定理得，∴AB===50，∴A，B两点的距离为50m，故选：D．点评：本题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．2．（2014•海淀区二模）如图所示，为了测量某湖泊两侧A、B间的距离，李宁同学首先选定了与A、B 不共线的一点C，然后给出了三种测量方案：（△ABC的角A、B、C所对的边分别记为a、b、c）：①测量A、C、b；②测量a、b、C；③测量A、B、a；则一定能确定A、B间距离的所有方案的序号为（）A．①②B．②③C．①③D．①②③考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：根据图形，可以知道a，b可以测得，角A、B、C也可测得，利用测量的数据，求解A，B两点间的距离唯一即可．解答：解：对于①③可以利用正弦定理确定唯一的A，B两点间的距离．对于②直接利用余弦定理即可确定A，B两点间的距离．故选：D．点评：本题以实际问题为素材，考查解三角形的实际应用，解题的关键是分析哪些可测量，哪些不可直接测量，注意正弦定理的应用．3．（2014•重庆一模）在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于P点，一分钟后，其位置在Q点，且∠POQ=90°，再过两分钟后，该物体位于R点，且∠QOR=30°，则tan∠OPQ的值为（）A．B．C．D．考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；解三角形．分析：根据题意设PQ=x，可得QR=x，∠POQ=90°，∠QOR=30°，∠OPQ+∠R=60°．算出∠R=60°﹣∠OPQ，分别在△ORQ、△OPQ中利用正弦定理，计算出OQ长，再建立关于∠OPQ的等式，解之即可求出tan∠OPQ的值．解答：解：根据题意，设PQ=x，则QR=2x，∵∠POQ=90°，∠QOR=30°，∴∠OPQ+∠R=60°，即∠R=60°﹣∠OPQ在△ORQ中，由正弦定理得∴OQ==2xsin（60°﹣∠OPQ）在△OPQ中，由正弦定理得OQ=×sin∠OPQ=xsin∠OPQ∴2xsin（60°﹣∠OPQ）=xsin∠OPQ∴2sin（60°﹣∠OPQ）=sin∠OPQ∴=sin∠OPQ整理得cos∠OPQ=2sin∠OPQ，所以tan∠OPQ==．故选：B点评：本题考查利用正弦定理解决实际问题，要把实际问题转化为数学问题，利用三角函数有关知识进行求解是解决本题的关键．4．（2014•成都三模）在一条东西走向的水平公路的北侧远处有一座高塔，塔底与这条公路在同一水平面上，为了测量该塔的高度，测量人员在公路上选择了A、B两个观测点，在A处测得该塔底部C在西偏北α的方向上，在B处测得塔底C在西偏北β的方向上，并测得塔顶D的仰角为γ，已知AB=a，0＜γ＜β＜α＜，则此塔高CD为（）B．tanγA．tanγC．D．tanγtanγ考点：解三角形的实际应用．专题：计算题．分析：先求出BC，再求出CD即可．解答：解：在△ABC中，∠ACB=α﹣β，∠ACBA=π﹣α，AB=a，∴，∴BC=，∴CD=BCtanγ=tanγ．故选：B．点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了运用数学知识，建立数学模型解决实际问题的能力．5．（2014•浙江模拟）如图，在铁路建设中，需要确定隧道两端的距离（单位：百米），已测得隧道两端点A，B到某一点C的距离分别为5和8，∠ACB=60°，则A，B之间的距离为（）A．7B．10C．6D．8考点：解三角形的实际应用．专题：解三角形．分析：由余弦定理和已知边和角求得AB的长度．解答：解：由余弦定理知AB===7，所以A，B之间的距离为7百米．故选：A．点评：本题主要考查了余弦定理的应用．已知两边和一个角，求边常用余弦定理来解决．6．（2014•房山区一模）如图，有一块锐角三角形的玻璃余料，欲加工成一个面积不小于800cm2的内接矩形玻璃（阴影部分），则其边长x（单位：cm）的取值范围是（）A．[10，30]B．[25，32]C．[20，35]D．[20，40]考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：设矩形的另一边长为ym，由相似三角形的性质可得：，（0＜x＜60）．矩形的面积S=x（60﹣x），利用S≥800解出即可．解答：解：设矩形的另一边长为ym，由相似三角形的性质可得：，解得y=60﹣x，（0＜x＜60）∴矩形的面积S=x（60﹣x），∵矩形花园的面积不小于800m2，∴x（60﹣x）≥800，化为（x﹣20）（x﹣40）≤0，解得20≤x≤40．满足0＜x＜60．故其边长x（单位m）的取值范围是[20，40]．故选：D．点评：本题考查了相似三角形的性质、三角形的面积计算公式、一元二次不等式的解法等基础知识与基本技能方法，属于中档题．7．（2014•濮阳一模）如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ+30°角的方向沿直线前往B处营救，则sinθ的值为（）A．B．C．D．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：连接BC，在三角形ABC中，利用余弦定理求出BC的长，再利用正弦定理求出sin∠ACB的值，即可求出sinθ的值．解答：解：连接BC，在△ABC中，AC=10海里，AB=20海里，∠CAB=120°根据余弦定理得：BC2=AC2+AB2﹣2AC•AB•cos∠CAB=100+400+200=700，∴BC=10海里，根据正弦定理得，即，∴sin∠ACB=，∴sinθ=．故选：A．点评：解三角形问题，通常要利用正弦定理、余弦定理，同时往往与三角函数知识相联系．8．（2014•成都三模）某公司要测量一水塔CD的高度，测量人员在该水塔所在的东西方向水平直线上选择A，B两个观测点，在A处测得该水塔顶端D的仰角为α，在B处测得该水塔顶端D的仰角为β，已知AB=a，0＜β＜α＜，则水塔CD的高度为（）A ．B．C．D．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：设CD=x，求出AC，BC，利用a=BC﹣AC，即可求出水塔CD的高度．解答：解：设CD=x，则AC=，∵BC=，a=BC﹣AC，∴a=﹣，∴x==，故选：B．点评：本题考查解三角形的实际应用，考查学生的计算能力，求出AC，BC是关键．9．（2014•怀化一模）在等腰Rt△ABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P 出发，经BC，CA反射后又回到原来的点P．若，则△PQR的周长等于（）A．B．C．D．考点：解三角形的实际应用．专题：综合题；解三角形．分析：建立坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点P1的坐标，和P关于y轴的对称点P2的坐标，由P1，Q，R，P2四点共线可得△PQR的周长．解答：解：建立如图所示的坐标系：可得B（4，0），C（0，4），P（，0）故直线BC的方程为x+y=4，P关于y轴的对称点P2（﹣，0），设点P关于直线BC的对称点P1（x，y），满足，解得，即P1（4，），由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线，故△PQR的周长等于|P1P2|==．故选：A．点评：本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，属中档题．10．（2012•珠海一模）台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，则B城市处于危险区内的时间为（）A．B．1小时C．D．2小时考点：解三角形的实际应用．专题：计算题．分析：先以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，进而可知B点坐标和台风中心移动的轨迹，求得点B 到射线的距离，进而求得答案．解答：解：如图，以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，则B（40，0），台风中心移动的轨迹为射线y=x（x≥0），而点B到射线y=x的距离d==20＜30，故l=2=20，故B城市处于危险区内的时间为1小时，故选B．点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．通过建立直角坐标系把三角形问题转换成解析几何的问题，方便了问题的解决．11．（2011•宝鸡模拟）一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知D成120°角，且y=g（x）的大小分别为1和2，则有（）A．F1，F3成90°角B．F1，F3成150°角C．F2，F3成90°角D．F2，F3成60°角考点：解三角形的实际应用；向量的模；向量在物理中的应用．分析：处于平衡状态即三个力合力为0，利用向量表示出等式，将等式变形平方，利用数量积公式求出，T通过三角形边的关系求出角．解答：解：由⇒⇒=+2||•||cos120°=由知，F1，F3成90°角，故选A．点评：本题考查向量的数量积公式、向量模的求法、及解三角形．12．（2011•大连二模）已知A船在灯塔C北偏东75°且A到C的距离为3km，B船在灯塔C西偏北15o 且B到C的距离为km，则A，B两船的距离为（）A．5km B．km C．4km D．km考点：解三角形的实际应用．专题：计算题．分析：先画出简图求出角A的值，再由余弦定理可得到AB的值．解答：解：依题意可得简图，可知A=150°，根据余弦定理可得，AB2=BC2+AC2﹣2BC×ACcosC=16，∴AB=4．故选C．点评：本题主要考查余弦定理的应用．属基础题．主要在于能够准确的画出图形来．13．（2011•安徽模拟）如图，在山脚下A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a米到达B，在B处测得山顶P的仰角为γ，则山高PQ为（）A．B．C．D．考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；应用题．分析：△PAB中，由正弦定理可得PB=，根据PQ=PC+CQ=PB•sinγ+asinβ通分化简可得结果．解答：解：△PAB中，∠PAB=α﹣β，∠BPA=（﹣α）﹣（﹣γ）=γ﹣α，∴=，即PB=．PQ=PC+CQ=PB•sinγ+asinβ=，故选B．点评：本题考查正弦定理的应用，直角三角形中的边角关系，求出PB=，是解题的关键．14．（2010•武昌区模拟）某人朝正东方向走xkm后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好，那么x的值为（）A．2或B．2C．D．3考点：解三角形的实际应用．专题：计算题．分析：作出图象，三点之间正好组成了一个知两边与一角的三角形，由余弦定理建立关于x的方程即可求得x的值．解答：解：如图，AB=x，BC=3，AC=，∠ABC=30°．由余弦定理得3=x2+9﹣2×3×x×cos30°．解得x=2或x=故选A．点评：考查解三角形的知识，其特点从应用题中抽象出三角形．根据数据特点选择合适的定理建立方程求解．15．（2010•江门一模）海事救护船A在基地的北偏东60°，与基地相距海里，渔船B被困海面，已知B距离基地100海里，而且在救护船A正西方，则渔船B与救护船A的距离是（）A．100海里B．200海里C．100海里或200海里D．海里考点：解三角形的实际应用．专题：计算题．分析：先根据正弦定理求得sinB的值，进而确定B的值，最后根据B的值，求得AB．解答：解：设基地为与O处，根据正弦定理可知=∴sinB=•OA==∴B=60°或120°当B=60°，∠BOA=90°，∠A=30°BA=2OB=200当B=120°，∠A=∠B=30°∴OB=AB=100故渔船B与救护船A的距离是100或200海里．故选C点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生转化和化归思想和逻辑思维的能力．16．（2010•武汉模拟）飞机从甲地以北偏西15°的方向飞行1400km到达乙地，再从乙地以南偏东75°的方向飞行1400km到达丙地，那么丙地距甲地距离为（）A．1400km B．700km C．700km D．1400km考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；数形结合．分析：设A，B，C分别对应甲、乙、丙三地，由B向x轴做垂线垂足为D，则∠BAD和∠DBC可知，进而求得∠ABC=60°判断出三角形为正三角形，进而求得AC．解答：解：依题意，设A，B，C分别对应甲、乙、丙三地，由B向x轴做垂线垂足为D，则∠BAD=75°，∠DBC=75°∴∠ABC=75°﹣15°=60°∴AB=BC=1400∴△ABC为正三角形∴AC=1400千米．故选A．点评：本题主要考查了解三角形的应用．要注意特殊三角形的运用．17．（2010•石家庄二模）如图，一条宽为a的直角走廊，现要设计一辆可通过该直角走廊的矩形面平板车，其宽为b（0＜b＜a）．则该平板车长度的最大值为（）A．B．C．D．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题．分析：先设平板手推车的长度不能超过x米，此时平板车所形成的三角形：ADG为等腰直角三角形．连接EG与AD交于点F，利用ADG为等腰直角三角形即可求得平板手推车的长度解答：解：设平板车的长度的最大值为x由题意可得△ADG为等腰直角三角形，连接EG交AD于F，则EG== aFG=EG﹣EF=得△ADG为等腰直角三角形，AD=2AF=2FG=故选：C点评：本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型，解答的关键是由实际问题：要想顺利通过直角走廊，转化为数学问题：此时平板手推车所形成的三角形为等腰直角三角形18．（2009•韶关二模）北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），则旗杆的高度为（）A．10米B．30米C．10米D．米考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；数形结合．分析：先画出示意图，根据题意可求得∠AEC和∠ACE，则∠EAC可求，然后利用正弦定理求得AC，最后在Rt△ABC中利用AB=AC•sin∠ACB求得答案．解答：解：如图所示，依题意可知∠AEC=45°，∠ACE=180°﹣60°﹣15°=105°∴∠EAC=180°﹣45°﹣105°=30°由正弦定理可知=，∴AC=•sin∠CEA=20米∴在Rt△ABC中，AB=AC•sin∠ACB=20×=30米答：旗杆的高度为30米故选B．点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．此类问题的解决关键是建立数学模型，把实际问题转化成数学问题，利用所学知识解决．19．（2009•温州一模）北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，看台上第一排和最后一排的距离米（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上，已知国歌长度约为50秒，升旗手匀速升旗的速度为（）A．（米/秒）B．（米/秒）C．（米/秒）D．（米/秒）考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；应用题．分析：先根据题意可知∠DAB，∠ABD和∠ADB，AB，然后在△ABD利用正弦定理求得BD，进而在Rt△BCD求得CD，最后利用路程除以时间求得旗手升旗的速度．解答：解：由条件得△ABD中，∠DAB=45°，∠ABD=105°，∠ADB=30°，AB=10，由正弦定理得BD=•AB=20则在Rt△BCD中，CD=20×sin60°=30所以速度V==米/秒故选A．点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生分析问题和基本的推理能力，运算能力．二．填空题（共7小题）20．（2014•重庆模拟）如图，割线PBC经过圆心O，PB=OB=1，PB绕点O逆时针旋120°到OD，连PD 交圆O于点E，则PE=．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：先由余弦定理求出PD，再根据割线定理即可求出PE，问题解决．解答：解：由余弦定理得，PD2=OD2+OP2﹣2OD•OPcos120°=1+4﹣2×1×2×（﹣）=7，所以PD=．根据割线定理PE•PD=PB•PC得，PE=1×3，所以PE=．故答案为．点评：已知三角形两边与夹角时，一定要想到余弦定理的运用，之后做题的思路也许会豁然开朗．21．（2014•南昌模拟）已知△ABC中，角A，B，C所对应的边的边长分别为a，b，c，外接圆半径是1，且满足条件2（sin2A﹣sin2C）=（sinA﹣sinB）b，则△ABC面积的最大值为．考点：三角形中的几何计算；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：把b=2sinB 代入已知等式并应用正弦定理得a2+b2﹣c2=ab，由余弦定理得cosC=，得到C=60°，由ab=a2+b2﹣3≥2ab﹣3 求得ab最大值为3，从而求得△ABC面积的最大值．解答：解：由正弦定理可得b=2RsinB=2sinB，代入已知等式得2sin2A﹣2sin2C=2sinAsinB﹣2sin2B，sin2A+sin2B﹣sin2C=sinAsinB，∴a2+b2﹣c2=ab，∴cosC==，∴C=60°．∵ab=a2+b2﹣c2=a2+b2﹣（2rsinC）2=a2+b2﹣3≥2ab﹣3，∴ab≤3 （当且仅当a=b时，取等号），∴△ABC面积为≤×3×=，故答案为．点评：本题考查正弦定理、余弦定理，基本不等式的应用，求出ab≤3是解题的难点．22．（2014•韶关二模）一只艘船以均匀的速度由A点向正北方向航行，如图，开始航行时，从A点观测灯塔C的方位角（从正北方向顺时针转到目标方向的水平角）为45°，行驶60海里后，船在B点观测灯塔C的方位角为75°，则A到C的距离是30（+）海里．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：由题意，∠ABC=105°，∠C=30°，AB=60海里，由正弦定理可得AC．解答：解：由题意，∠ABC=105°，∠C=30°，AB=60海里．由正弦定理可得AC==30（+）海里．故答案为：30（+）．点评：本题考查正弦定理，考查学生的计算能力，属于基础题．23．（2014•潍坊二模）如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东45°，与观测站A距离20海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北θ（0°＜θ＜45°）的C处，且cosθ=，已知A、C两处的距离为10海里，则该货船的船速为4海里/小时．考点：解三角形的实际应用．专题：解三角形．分析：根据余弦定理求出BC的长度即可得到结论．解答：解：∵cosθ=，∴sin=，由题意得∠BAC=45°﹣θ，即cos∠BAC=cos（45°﹣θ）=，∵AB=20，AC=10，∴由余弦定理得BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcos∠BAC，即BC2=（20）2+102﹣2×20×10×=800+100﹣560=340，即BC=，设船速为x，则=2，∴x=4（海里/小时），故答案为：4点评：本题主要考查解三角形的应用，根据条件求出cos∠BAC，以及利用余弦定理求出BC的长度是解决本题的关键．24．（2014•潍坊三模）如图，C、D是两个小区所在地，C、D到一条公路AB的垂直距离分别为CA=1km，DB=2km，A、B间的距离为3km，某公交公司要在A、B之间的某点N处建造一个公交站点，使得N对C、D两个小区的视角∠CND最大，则N处与A处的距离为2﹣3km．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；三角函数的求值．分析：设出NA的长度x，把∠CNA与∠DNB的正切值用含有x的代数式表示，最后把∠CND的正切值用含有x的代数式表示，换元后再利用基本不等式求最值，最后得到使N对C、D两个小区的视角∠CND最大时的x值，即可确定点N的位置．解答：解：设NA=x，∠CNA=α，∠DNB=β．依题意有tanα=，tanβ=，tan∠CND=tan[π﹣（α+β）]=﹣tan（α+β）=﹣=，令t=x+3，由0＜x＜3，得3＜t＜6，则=∵4≤t+＜3+∴t=2，即x=2﹣3时取得最大角，故N处与A处的距离为（2﹣3）km．故答案为：2﹣3．点评：本题考查解三角形的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，解答的关键是把实际问题转化为数学问题，是中档题．25．（2014•台州一模）为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD 各边的长度（单位：km）如图所示，且∠B+∠D=180°，则AC的长为km．考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；解三角形．分析：利用余弦定理，结合∠B+∠D=180°，即可求出AC的长．解答：解：由余弦定理可得AC2=22+32﹣2•2•3•cosD=13﹣12cosD，AC2=52+82﹣2•5•8•cosB=89﹣80cosB，∵∠B+∠D=180°，∴2AC2=13+89=102，∴AC=km．故答案为：点评：本题考查余弦定理，考查三角函数知识，正确运用余弦定理是关键．m/s的速率，从路灯在地面上的射影点C处，沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速率v为m/s．考点：解三角形的实际应用．专题：解三角形．分析：由题意画出几何图形，设出人从C点运动到B处路程、运动时间及人影长度，由三角形相似求出人影长度与运动路程间的关系式，把运动路程用运动速度和运动时间替换，求导后得答案．解答：解：如图，路灯距地平面的距离为DC，人的身高为EB．设人从C点运动到B处路程为x米，时间为t（单位：秒），AB为人影长度，设为y，∵BE∥CD，∴．∴，∴y=x，又∵x=t，∴y=x=t．则y′=，∴人影长度的变化速率为m/s．故答案为：．点评：本题考查了解三角形的实际应用，解答此题的关键是明确题意，把实际问题转化为数学问题，是。
初三解直角三角形应用题
初三解直角三角形应用题在一个阳光明媚的下午，咱们的班级决定搞一次户外活动。
老师说，咱们去爬山，真是令人兴奋啊！同学们纷纷欢呼，想着在山顶可以俯瞰四周的美景，感觉就像一只飞翔的小鸟。
不过，话说回来，爬山可不是简单的事，尤其是当你脑袋里还在想着那个搞笑的段子时，脚下的路可得小心点。
到了山脚下，大家开始兴奋地讨论谁先到达山顶。
小明兴致勃勃地表示自己绝对能第一到达，顺便还给我们讲了个笑话。
大家哈哈大笑，结果小明的笑声把一只路过的小鸟吓跑了。
咱们这群孩子，有的急得像热锅上的蚂蚁，有的则在一旁笑嘻嘻地准备拍照，生怕错过任何一个瞬间。
开始爬山了，哎呀，这可真是个挑战！上坡的路弯弯曲曲，有的地方坡度还挺陡。
走着走着，小李突然说：“要是咱们能算出这个三角形的高就好了！”这话一出，大家都愣住了。
什么三角形？大家的脑袋里都开始冒出各种形状，有的甚至想到了吃的。
小红一边喘着气，一边用力挥手：“哎，你们别闹了，快点上山吧！”这时，小刚却认真起来：“我来给大家讲解一下直角三角形的知识！”哇，这小子一说，大家可都认真听了。
小刚一边指着前面的山，一边说：“看，这个山的高度就是直角三角形的一条边，坡道的长度就是斜边，咱们走的这条路，就是底边！”同学们都像听到了天籁之音，纷纷点头。
哎呀，真是个好机会，既能锻炼身体，又能学知识，真是两全其美。
小刚说完，大家突然觉得爬山也变得有趣了许多。
每个人都开始认真算起了角度、长度，搞得跟上数学课一样。
小明还在一旁想出了一道题：“如果这个直角三角形的底边是4米，高是3米，那斜边是多少呢？”同学们纷纷开始计算。
这个时候，小红开始笑了：“你们真是天真，以为在爬山还能做题呢！”终于，我们爬到了一个平台上，大家都累得气喘吁吁。
可是，看到眼前的美景，所有的疲惫都一扫而空。
山下的风景简直美得像画一样，远处的村庄就像点缀在绿色海洋里的小岛。
小刚得意地说：“你看，这就是直角三角形的力量！”这时，小明忍不住反击：“直角三角形能飞吗？我倒是想看！”就在大家说笑时，突然有个同学指着山下大喊：“看，那儿有个小湖！”大家的注意力瞬间被吸引过去，纷纷围拢过去，恨不得立刻飞下去。
人教版初中数学八年级上册第12章全等三角形综合应用题解析
原创百度文库VIP 专属文档，侵权必究！GEAC FB A BD C 全等三角形综合应用经典题解析1、已知：如图，四边形ABCD 中，AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C.2、如图，AP 平分∠EAF ，PC ⊥AE 于点C ，PB ⊥AF 于点B ，AP 交BC 于点H ． 求证：AP·BC=2AB·PB.3、已知：如图，DC ∥AB ，且DC=AE ，E 为AB 的中点，(1)求证：△AED ≌△EBC ． (2)除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．4、如图，在△ABC 中，BG=CG ，∠ACG=∠ABG ，求证：AG ⊥BC ．5、如图，已知AB ＝DC ，AC ＝DB ，BP ＝CP ，求证：AP ＝DP.6、如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB ，AF=AC 。
求证：（1）EC=BF ；（2）EC ⊥BF.7、如图：BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，BM=AC ，CN=AB. 求证：（1）AM=AN ；（2）AM ⊥AN.8、已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 的长.9、已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠BAF=∠EAF.10、已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C.AB CD AEC O B P C AD FA NEM BA BCPE H CF DABE ABC G原创百度文库VIP 专属文档，侵权必究！CA EB D F11、已知：AD 平分∠BAC ，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC.12、已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE.13、如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上，求证：BC=AB+DC.14、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=100°，∠B 的平分线交AC 于D ，求证：AD+BD=BC.15、如图所示，AB ∥CD ，在AB 、CD 、BC 上各有一点E 、F 、P ，且BE ＝CF ，P 是BC的中点，试说明三点E 、F 、P 恰好在一条直线上.16、已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC -AB=2BE.18、如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ．19、已知：如图，AB ＝AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是DC 、BC 的中点，求证：AE ＝AF.20、如图，在四边形ABCD 中，∠A=60º，AD+BC=AB=CD=2，求该四边形的面积.C AB D E B DC C B A DE DABCA FB E D C1 2 AB EC C F DP•A EB ••C原创百度文库VIP 专属文档，侵权必究！P DA CB21、如图，在四边形ABCD 中，AB=AC ，∠ABD=60°，∠ADB=75°，∠BDC=30°，求∠DBC的度数.22、P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC ＞AB ，求证：PC -PB ＜AC -AB.23、如图，P 是∠MAN 平分线上一点，PB ⊥AM 于点B ，点C 、D 分别在AM 、AN 上，∠ACP+∠ADP=180°，若AB=3cm ，求AC+AD 的长.24、如图在正方形ABCD 中，M 是AB 的中点，MN ⊥MD ，BN 平分∠CBE ，求证：MD=MN.25、如图，已知B 、C 、E 三点在同一条直线上，△ABC 与△DCE 都是等边三角形.其中线段BD 交AC 于点G ，线段AE 交CD 于点F. 求证：(1)AE=BD ；(2)GF ∥BE.26、如图，△ABC 中，AB=AC ，点E 在AB 上，点F 在AC 延长线上，BE=CF ，连接EF ，交BC 于点D ，求证：DE=DF.27、如图，∠AOB=30°，OA=1，OB=3，点M 、N 分别为∠AOB 两边上的动点，求AN+NM+MB 的最小值.28、已知等边△ABC 内一点M ，AM=1，BM=3，CM=2，求∠AMC.29、如图，四边形ABCD 中AB ∥CD ，AB≠CD ，BD=AC ，求证：AD=BC.30、如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，AE ＝CE ．求证：（1）△AEF ≌△CEB ；（2）AF ＝2CD ．A B D C AD ACMB AD BCEA M EAFA D EB CN A C MP B原创百度文库VIP 专属文档，侵权必究！M DC ENE A BM D CN31、在△ABC 中,∠ACB=90°,BC=AC,直线MN 经过点C,且AD ⊥MN 于D,BE ⊥MN 于E.(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时,求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE=AD+BE. (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明； 若不成立，说明理由.32、求证：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高.33、如图，在△ABC 中，CA=CB ，∠ACB=90°，E 、F 分别是CA 、CB 边上的点且AE=2CE ，将BF=2CF ，△ECF 绕点C 逆时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到△MCN ，连接AM ，BN ．(1)求证：AM=BN ；(2)当MA ∥CN 时，若AC=3，求AM 的长．34、如图，在长方形ABCD 中，AB=5，BC=7，点E 是AD 上一个动点，把△BAE 沿BE 向长方内部折叠，当点A 的对应点A1恰落在∠BCD 的平分线上时，求CA1的长.【提示：若a·b =0，则a =0或b =0】35、如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，CD ⊥AB 于点D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于点 E ，与CD 相交于点F ，点H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G .(1)求证：BF=AC ； (2)求证：CE=0.5BF ；(3)CE 与BG 存在怎样的数量关系？试证明你的结论.36、如右图，把矩形ABCD 沿直线BD 向上折叠，使点C 落在C′的位置上，(1)若AB=4，BC=8， 求重合部分△EBD 的面积；(2)若CD=2，∠ADB=30°，求DE 的长．37、正方形ABCD 和正方形AEFG 有公共顶点A ，将正方形AEFG 绕点A 按顺时针方向旋转，记旋转角∠DAG=α，其中0°≤α≤180°，连结DF ，BF ，如图。
解三角形之 应用题之 追逐
解三角形之 应用题之 追逐3.甲船在A 处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a 海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，则甲船应取什么方向才能追上乙船；追上时甲船行驶了多少海里？6.如图,甲船以每小时海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于1A 处时,乙船位于甲船的北偏西105︒的方向1B 处,此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达2A 处时,乙船航行到甲船的北偏西120︒方向的2B 处,此时两船相距海里,问乙船每小时航行多少海里? 8.甲船位于处时获悉，在其正东方向相距20海里的处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即赶往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西相距10海里处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援（角度精确到）？（参考数据： 9.在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距离A (3－1)n mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile 的C 处的缉私船奉命以10 3 n mile/h 的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h 的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？10.。
，轮船位于港口O 北偏西且与该港口相距20海里的A 处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。
假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇。
（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。
18．一缉私艇发现在北偏东 45方向,距离12 nmile 的海面上有一走私船正以10 nmile/h 的速度沿东偏南 15方向A B 030C 0100sin 41≈=O 某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时30v逃窜.缉私艇的速度为14 nmile/h, 若要在最短的时间内追上该走私船,缉私艇应沿北偏东α+45的方向去追,.求追及所需的时间和α角的正弦值.21．在奥运会垒球比赛前，C 国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成15°方向把球击出，根据经验，通常情况下，球速为游击手最大跑速的4倍，问按这样布置，游击手能否接着球？22.在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E 正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45 且与点A 相距B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45 +θ(其中sin θ，090θ<< )且与点A 相距 C.（I ）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;（II ）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.本类题的特征是：__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________ 本类题的做法是：__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________答案3.6.解：如图，连结12A B，22A B =122060A A =⨯= 122A A B ∆是等边三角形，1121056045B A B ∠=︒-︒=︒，在121A B B ∆中，由余弦定理得2221211121112222cos 45202202002B B A B A B A B A B =+-⋅︒=+-⨯⨯=，12B B =因此乙船的速度的大小为6020=答：乙船每小时航行海里.8.解：连接BC,由余弦定理得BC 2=202+102－2×20×10COS120°=700.于是,BC=10。
解三角形应用题(7)含答案
H G F D C BA45°30°C A 解三角形应用题（7）1.如图，自卸车厢的一个侧面是矩形ABCD ，AB ＝3米，BC ＝0.5米，车厢底部离地面1.2米，卸货时，车厢倾斜的角度θ=60°，问此时车厢的最高点A 离地面多少米？（精确到1米）2.如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45º降为30º，已知原滑滑板AB 的长为5米，点D 、B 、C 在同一水平地面上． ⑴改善后滑滑板会加长多少？（精确到0．01）⑵若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由 (参考数据： 2 =1.414, 3 =1.732,6 =2.449 )3.如图，A 城气象台测得台风中心从A 城正西方向300千米B 处以每小时107 千米的速度向北偏东60°的BF 方向移动，距台风中心200千米的范围内为受台风影响的区域（1）问A 城是否会受这次台风的影响？并说明理由（2）若A 城受到这次台风的影响，那么A 城遭受这次影响的时间有多少长？4.如图，在气象站台A 的正西方向240km 的B 处有一台风中心，该台风中心以每小时20km 的速度沿北偏东60°的BD 方向移动，在距离台风中心130km 内的地方都要受到其影响。
⑴台风中心在移动过程中，与气象台A 的最短距离是多少？⑵台风中心在移动过程中，气象台将受台风的影响，求台风影响气象台的时间会持续多长？北60o东DC BAA P东北4560 5.今年五、六月份，我省各地、市普遭暴雨袭击，水位猛涨．某市抗洪抢险救援队伍在B 处接到报告：有受灾群众被困于一座遭水淹的楼顶A 处，情况危急！救援队伍在B 处测得A 在B 的北偏东600的方向上（如图所示），队伍决定分成两组：第一组马上下水游向A 处就人，同时第二组从陆地往正东方向奔跑120米到达C 处，再从C 处下水游向A 处救人，已知A 在C 的北偏东300的方向上，且救援人员在水中游进的速度均为1米/秒．在陆地上奔跑的速度为4米/秒，试问哪组救援队先到A 处？请说明理由（参考数据 3 ＝1.732）6.如图，甲船在港口P 的北偏西60°方向，距港口80海里的A 处，沿AP 方向以12海里/时的速度驶向港口P ．乙船从港口P 出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口P ，现两船同时出发，2小时后乙船在甲船的正东方向．求乙船的航行速度．（精确到0.1海里/时，参考数据： 3 ≈1.73， 2 ≈1.41）7.在一次课题学习课上，同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬，小明同学绘制的设计图如图所示，其中，AB 表示窗户，且AB=2米，BCD 表示直角遮阳蓬，已知当地一年中在午时的太阳光与水平线CD 的最小夹角α为18.6°，最大夹角β为64.5°．请你根据以上数据，帮助小明同学计算出遮阳蓬中CD 的长是多少米？（结果保留两个有效数字）（参考数据sin18.6°=0.32,tan18.6°=0.34,sin64.5°8.如图，沿水库拦水坝的背水坡将坝顶加宽2米，由原来的背水坡坡角为30°改建成坡度为i=1:2.5,已知坝高6米，坝长50米，求完成这项工程需要多少方土？（参考数据：3 ≈1.73，2 ≈1.41）9.某森林管理处雇用两架直升飞机向森林喷洒农药，两机从同一地点A出发，甲机沿东北方向以20km/h的速度飞行，乙机沿南偏东30°方向以20 2 km/h的速度飞行，3小时后，乙机发现有部分药品误放在甲机上了，而此时，乙机只能沿北偏东15°方向追赶甲机，则乙机应以怎样的速度飞行，才能赶上甲机？10.如图，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一高压输电的铁架，小山的斜坡的坡度i=1∶ 3 ，斜坡BD的长是50米，在山坡的坡底B处测得铁架顶端A的仰角为45，在山坡的坡顶D处测得铁架顶端A的仰角为60°．（1）求小山的高度；（2）求铁架的高度．（ 3 ≈1.73，精确到0.1米）11.在湖水高出水面50米的山顶A处，望见一艘飞艇停留在湖面上空某处，观察到飞艇底部标志P处的仰角为45°，其在湖中的像的俯角为60°,试求飞艇离湖面的高度。
初三数学解直角三角形的应用题
初三数学解直角三角形的应用题(共16页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--解直角三角形应用题考点一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
∠A=30°可表示如下： ⇒BC=21AB∠C=90°3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90°可表示如下： ⇒CD=21AB=BD=ADD 为AB 的中点 4、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 5、摄影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项∠ACB=90° BD AD CD •=2⇒ AB AD AC •=2CD ⊥AB AB BD BC •=2 6、常用关系式由三角形面积公式可得： AB •CD=AC •BC考点二、直角三角形的判定 （3~5分） 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
考点三、锐角三角函数的概念 （3~8分） 1、如图，在△ABC 中，∠C=90°①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即c asin =∠=斜边的对边A A②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即c bcos =∠=斜边的邻边A A③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即b atan =∠∠=的邻边的对边A A A④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即abcot =∠∠=的对边的邻边A A A2、锐角三角函数的概念锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值4、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A) （2）平方关系1cos sin 22=+A A5、锐角三角函数的增减性 当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 考点四、解直角三角形 （3~5） 1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。