第五章留数及其应用
第五章 留数理论及其应用
第五章 留数理论及其应用本章的中心问题是留数定理.借助第四章的讨论，我们引入留数概念并计算留数.我们即将看到柯西－古萨基本定理，柯西积分公式都是留数定理的特殊情况.作为留数定理的应用，我们可以把沿闭曲线的积分的计算转化为孤立奇点处的留数计算.对于高等数学中的一些定积分和广义积分，按过去的计算方法可能比较复杂，甚至难以算出结果，而用留数计算的方法则相对简便.因此留数定理在理论和实际应用中都具有重要意义.1. 留数的定义如果f (z )在z 0处解析，那么对于z 0的邻域中的任意一条简单闭曲线C ，都有()d 0Cf z z =⎰.如果z 0是f (z )的孤立奇点，那么对于解析圆环00z z δ<-<内包含z 0的正向简单闭曲线C ，上述积分只与f (z )和z 0有关，而与C 无关，但积分值不一定为零.现在我们来计算这个积分.由第四章定理4.12,f (z )在z 0的邻域内可展开成罗朗级数：()()nnn f z a z z ∞=-∞=-∑,其中101()d ,0,1,2,2π()n n Cf a n iz ξξξ+==±±-⎰特别地，11()d 2πCa f iξξ-=⎰.于是得到1()d 2πCf iaξξ-=⎰.因此a −1这个系数有它特殊的含义.我们把f (z )在z 0处的罗朗级数中(z −z 0)−1项的系数a −1称为f (z )在孤立奇点z 0处的留数，记为Res [f (z ),z 0]=a −1, (5.1) 即 Res[f (z ),z 0]=1()d 2πCf z z i⎰. (5.2)例5．1 求下列积分的值，其中C 为包含z =0的简单正向闭曲线.(1)3cos d Czz z -⎰ (2)12ed z Cz ⎰.解： (1)令f (z )=z −3cos z ，则z =0为f (z )的孤立奇点.又因cos z =2461,.2!4!6!z z z z -+-+<∞故 f (z )= 3311,0,24!6!z z z z z -+-+<<∞所以Res [f (z ),0]= 12-.(2) 令f (z )= 21e z ，则z =0为f (z )的孤立奇点.因为2e 1,,1!2!!nz n ξξξξ=++++<∞以21z ξ=代入上式，得 f (z )=1242111111,0.1!2!!nz z z n z +⋅+⋅+⋅+<<∞所以，Res[f (z ),0]=0.2. 留数定理 考察积分()d Cf z z ⎰，若闭曲线C 内仅含有f (z )的一个孤立奇点，则可利用公式(5.2)来求积分值.但是如果多于一个孤立奇点，则由下述的留数定理，可以把积分的计算转化成f (z )在C 中的各孤立奇点的留数的计算.定理5.1 留数定理设函数f (z )在区域D 内除有有限个孤立奇点z 1,z 2,…,z n 外处处解析，C 是D 内包围这些奇点的一条正向简单闭曲线，那么[]1()d 2πRes (),.nkk Cf z z i f z z ==∑⎰ (5.3)证明：如图 5.1所示，以z k 为圆心，作完全含在C 内且互不相交的正向小圆C k :|z −z k |=k δ,(k =1,2,…,n )，那么由复合闭路上的柯西积分定理，有12()d ()d ()d ()d .nCC C C f z z f z z f z z f z z =+++⎰⎰⎰⎰但[]()d 2πRes (),.1,2,,.kk C f z z i f z z k n ==⎰于是有[]1()d 2πRes (),knkk C f z z i f z z ==∑⎰.一般来说，求函数在其孤立奇点z 0处的留数只须求出它在以z 0为中心的圆环域内罗朗级数中(z −z 0)−1的系数a −1就可以了，但在很多情况下，函数在孤立奇点的罗朗展开式并不易得到，因此有必要讨论在不知道罗朗展开式的情况下计算留数的方法. 3. 留数的计算方法(1) 如果z 0为f (z )的m 级极点，那么[]()(){}010011Res (),lim ()1!m mm z z d f z z z z f z m dz--→=-- (5.4)证明：因为z 0是f (z )的m 级极点，故在z 0的邻域中有f (z )=()01()g z z z m-,图5.1其中g (z )在z 0处解析，且g (z 0) 0≠.于是f (z )= ()0000000()()1()(),!!n n nn m n n g z g z z z z z z z m n n ∞∞-==-=--∑∑ 其中(z −z 0)−1的系数为()10()1!m g z m --.又g (z )=(z −z 0)m f (z )，因而得到：()()(){}011001()1lim ().1!1!m m m z z g z d z z mf z m m dz---→=---从而(5.4})成立.特别地，当m =1时，我们有下面的结果. (2) 若z 0是f (z )的一级极点，那么Res 00[(),0]lim()().z z f z z z f z →=- (5.5)例5.2 求f (z )=252(1)z z z --分别在z =0和z =1的留数.解： 容易看到z =0是f (z )的一级极点，故由(5.5)得Res[f (z ),0] =21052lim ()lim2.(1)z z z z f z z →→-⋅==--而z =1是f (z )的二级极点，由(5.4)得Res[f (z ),1] =(){}22115(52)lim1()lim2.z z d z z z f z dzz→→---== 在某些情况下，下面的命题用起来更方便. (3) 设f (z )=00()()P z Q z ',P (z ),Q (z )在z 0都是解析的.如果P (z 0)0≠,Q (z 0)=0且Q '(z 0)0≠，那么z 0是f (z )的一级极点，因此有Res[f (z ),z 0]=00().()P z Q z ' (5.6)证明： 事实上，因为Q (z 0)=0及Q '(z 0) 0≠，所以z 0为Q (z )的一级零点，由11()()z Q z z z ϕ=-，其中()z ϕ在z 0解析且0()0z ϕ≠，于是 f (z )=1()()z P z z z ϕ-. 因为在z 0解析且00()()0z P z ϕ≠，故z 0为f (z )的一级极点.根据(5.5)式，有0000000000()()Res[(),]lim()()lim()lim()()()()()()lim .()()()z z z z z z z z P z P z f z z z z f z z z z z Q z Q z Q z P z P z Q z Q z Q z z z →→→→=-=-=--=='-例5.3 计算f (z )= e sin zz在z =0处的留数.解: 这时P (z )=e z ,Q (z )=sin z ，于是P (0)=1,Q (0)=0,Q '(0)=1. 由(5.6)式得Res[f (z ),0]=()0(0)P Q '=1. 上述的几种方法，实质上是把留数的计算变成了微分运算，从而带来了方便.但如果z 0是f (z )的本性奇点，我们没有像上面那种简单的留数计算公式，这时只能通过求f (z )的罗朗展开来得到f (z )在z 0的留数.有时候，对于级比较高的极点，或者求导比较复杂的函数，运用上面的公式也十分复杂，选择求罗朗展开或者其它方法可能更好些.例5.4 计算f (z )= 6sin z zz-在z =0处的留数. 解：因为35663sin 111[()]3!5!1111,3!5!z z z z z z z z z z-=--⋅+⋅+=⋅-⋅+所以Res 16sin 1,0.5!z z a z --⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦此题若选择微分的方法，运算相对复杂一些，读者可做验算比较.例5．5 计算积分222d (1)(1)Czz zz -+⎰，这里C : |z –取正向.解：令f (z )=222(1)(1)zz z -+，则z 1=i , z 2=–i 为f (z )的两个一级极点，z 3=1,z 4=–1为f (z )两个二级极点.容易看出z 1,z 2,z 3位于C 的内部.由留数定理，31()d 2πRe [(),].kk Cf z z i s f z z ==∑⎰又Res [f (z ),i ]= 221lim()()lim.(1)()8z iz iz z i f z z z i →→-==-+同理Res [f (z ),–i ]=18. Res [f (z ),1] = 22211lim{(1)()}lim (1)(1)z z d d zz f z dz dz z z →→⎧⎫-=⎨⎬++⎩⎭323221311lim.(1)(1)8z z z z z z →---+==++ 于是111π()d 2π().8884Cif z z i =+-=⎰4. 在无穷远点的留数设函数f (z )在圆环域R <|z |<∞内解析，C 为这圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线，那么称f (z )沿C 的负向积分值1()d 2πCf z z i⎰称为f (z )在∞点的留数，记作Res [f (z ),∞]=1()d 2πCf z z i⎰. (5.7)这个积分值与C 无关，且根据公式(4.23)和(4.24)得Res[f (z ),∞]=111()d ()d ,2π2πCC f z z f z z b i i--==-⎰⎰(5.8)即f (z )在∞点的留数等于它在∞点的去心邻域R <|z |<∞内的罗朗展开式中z –1的系数的相反数.由(5.7)式，我们有下述定理.定理5.2 如果函数f (z )在扩充的复平面内只有有限个孤立奇点，那么f (z )在所有奇点（包括∞点）的留数之和为零.证明：取r 充分大，使f (z )的有限个孤立奇点z k (k =1,2,…,n )都在|z |<r 中. 由留数定理，得1()d 2πRes[(),]nk k z rf z z i f z z =<=∑⎰,其中积分取圆周的正项.由(5.8})式，得Res [f (z ),∞]=()d z rf z z <-⎰.于是就有Res[f (z ),∞]+1Res[(),]nkk f z z =∑=0.例5.6 判定z =∞是函数f (z )=223zz +的什么奇点？并求f (z )在∞点的留数. 解：因为 lim ()0,z f z →∞=所以∞点是可去奇点.又f (z )在复平面内仅有3i 和–3i 为一级极点，且Res[f (z ),3i ]= 3lim3z i z i →+ =1,Res [f (z ),–3i ]= 3lim3z i z i→--=1.故由定理5.2Res[f (z ),∞] = – Res [f (z ),3i ] – Res [f (z ), –3i ] = –1–1= –2.§5.2 留数在积分计算上的应用在高等数学中我们知道，有很多函数的原函数不能用初等函数来表达，因此，通过求原函数的办法求定积分或广义积分就受到限制.利用留数理论可以求一些重要的实函数的积分.下面我们分几种类型介绍怎样利用留数求积分的值.1. 形如()d R x x ∞-∞⎰的积分这里R (x )=()()P z Q z 为有理函数，P (x )=x m +a 1x m –1+…+a m , Q (x )=x n +b 1x n –1+…+b n , P (x ), Q (x )为两个既约实多形式，Q (x )没有实零点，且n –m ≥ 2.我们取复函数R (z )=()()P z Q z ，则除Q (z )的有限个零点外，R (z )处处解析.取积分路线如图5.2所示，其中C r 是以原点为中心，r 为半径的上半圆周，令r 足够大，使R (z )在上半平面上的所有极点z k (k =1,2,…,s )都含在曲线C r 和[–r , r ]所围成的区域内.由留数定理，得1()d ()d 2πRes[(),].rrskk rC R x x R z z i f z z =-+=∑⎰⎰当r 充分大时，右端的值与r 无关.又|R (z )|=111111111111.11m m m m n mn mnnn n a z a z a z a z b z b zb z b zzz----------++++++⋅≤⋅+++-++故存在常数M ，当|z |充分大时，有图5.2|R (z )| 2.n mM M zz-≤≤令z =i re θ，于是πππ20()d (e )e d (e )d πd 0()ri i i C R z z R r ri R r r M M r r r rθθθθθθ=≤≤=→→∞⎰⎰⎰⎰因此在(5.9)式中令r →∞得1()d 2πRes[(),].nk k R x x i R z z +∞-∞==∑⎰(5.10)例5.7 计算积分242d 109x x x x x +∞-∞-+++⎰.解：记R (z )= 242109x x x x -+++，则R (z )满足(5.10)式的条件，且R (z )在上半平面内有2个一级极点z 1=i 和z 2=3i .容易得到Res [R (z ),i ]=1i 16--， Res[R (z ),3i ]= 37i48-，因此 2421i 37i 5d 2πi[]π.109164812x x x x x +∞-∞-+---=+=++⎰例5．8 计算积分24d 1x x x +∞+⎰. 解：注意到R (x )=241x x +为偶函数，于是有224401d d .121x x x x x x +∞+∞-∞=++⎰⎰ 又R (z )的分母高于分子两次，在实轴上无奇点，在上半平面上有两个一级极点1)i i +-+，且Res[R (z)i +R (z1)i -+]= 由公式(5.10})有240d 2ππ.12x x x +∞==+⎰ 故得240d π.14x x x +∞=+⎰ 2. 形如()e d (0)ix R x x αα+∞-∞>⎰的积分这里R (x )是实轴上连续的有理函数，而分母的次数n 至少要比分子的次数m 高一次(n –m ≥1).这时有1()e d 2Re [e (),].sixix k k R x x i s R z z ααπ+∞=-∞=∑⎰(5.11)其中z k (k =1,2,…,s)是R (z )在上半平面的孤立奇点.事实上，如同类型1中处理的一样，取如图(5.2)的积分曲线C r ，当r 充分大，使z k (k =1,2,…,s)全落在曲线C r 与[–r , r ]所围成的区域内.于是 又n –m ≥1，故充分大的|z |，有|R (z )| M z≤. 因此sin cos 0πsin 0ππ2sin sin 0()e d (e )e d (e )e d e d 2e d .rizi r i r C i r r r R z z R r r R r r M M παθαθαθθαθαθαθθθθθ-+---=⋅≤⋅≤=⎰⎰⎰⎰⎰当π02θ≤≤时，2sin πθθ≥，所以有 ()2ππ2π()e d 2ed (1e ).2rizr r C M R z z M rθαααθ--≤=-⎰⎰ 于是，当r →∞时，()ed 0rizC R z z α→⎰，故(5.11})式成立.(5.11})还可以变形为1()cos ()sin d 2πRes[()e ,].siz k k R x xdx i R x x x i R z z ααα+∞+∞=-∞-∞+=∑⎰⎰ (5.12)例5．9 求积分2cos d 45xx x x +∞++⎰.解：设R (z )=2145x x ++，则R (z )的分母高于分子二次，实轴上无奇点，上半平面只有一个一级极点z = –2+i ，故2122()ed 2πRes[()e ,2]2πlim [(2)]()e e e2πlim2π.22ixiz izz iiz iz i R x x i R z i i z i R z i i z i i+∞→-+-∞--→-+=-+=--+==++⎰由公式(5.12})，有2cos d 45x x x x +∞-∞++⎰=Re[12e 2π2i i i --]=1πe cos 2.- 在上面两类型的积分中，都要求R (z )在实轴上无孤立奇点，这时我们取积分闭曲线为图5.2的形式.当R (z )在实轴上有奇点时，我们要根据具体情况，对积分曲线稍作改变.下面以例题说明如何计算此类型的积分.例5.10 计算积分sin d xx x+∞⎰的值. 解：取函数f (z )=e izz，并取围道如图5.3所示，在此围道中f (z )是解析的.由柯西积分定理，得e e e e d d d d 0.r Rr Rix iz ix izR C r C x z x z x z x x --+++=⎰⎰⎰⎰ 令x =–t ，则有e e e d d d .r r Rix it ixR R rx t x x t x ----==-⎰⎰⎰ 所以有e e e e d d d 0.R rRix ix iz izr C C x z z x z z --++=⎰⎰⎰ 即sin e e 2d d d 0.R rRiz izr C C x i x z z x z z ++=⎰⎰⎰现在来证明0e e lim d 0lim d π.R riz izR r C C z z i z z →∞→==-⎰⎰和 由于图5.3π2e ππsin 00sin 0e e d d e d π22e d (0,sin )2ππ(1e ),i R iR izR C R R z R z R Rθθθθθθθθθ---≤⋅==≤≤≥=-⎰⎰⎰⎰时所以e lim d 0.RizR C z z→∞=⎰ 又因为1e 11(),2!!iz n nz z i i z z z n zϕ-=+-+++=+ 其中ϕ(z )在z =0解析，且ϕ(0)=i .因此当|z |充分小时，可设|ϕ(z )|≤2.由于e d d ()d ,r r riz C C C z z z z z z ϕ=+⎰⎰⎰ 而πd e d πe r i i C z ir i z r θθθ==-⎰⎰ 和π()d (e)d 2π.Ri C z z r r r θϕϕθ≤≤⎰⎰故有0e lim d π.rizr C z i z →=-⎰ 综上所述，令R →∞,r →0,则有sin πd .2x x x +∞=⎰3. 形如2π(sin ,cos )d R θθθ⎰的积分这里R (x ,y )是两个变量x ,y 的有理函数，比如R (x ,y )= 2222641x y x y -+-.计算这种积分的一种方法是把它化为单位圆周上的积分.事实上，令z =e i θ，那么21111sin (e e )(),222i i z z i i z iz θθθ--=-=-=21111cos (e e )(),222i i z z i i z izθθθ-+=+=+=1d d .z izθ=从而原积分化为沿正向单位圆周的积分，即2π2201111d (cos ,sin )d [,]()d ,22z z z z zR R f z z z iz iz θθθ==+-==⎰⎰⎰其中f (z )=R [2211,22z z z iz +-]1iz⋅为z 的有理函数，且在单位圆周|z |=1上分母不为零，因而可用留数定理来计算.例5．11 计算积分2π4cos 4d θθ⎰. 解：令z =e (02π)i θθ≤≤,则4444cos 4()2z z θ-+=, 42π448441701111(1)cos 4d ()d d 216z z z z z z z iz i z θθ-==++==⎰⎰⎰ 在0z <<1内，被积函数的罗朗展开式为48179117(1)113.161648z z z z z ---+=+++故2π8441701(1)3cos 4d [2πRes[,0]]π.164z i i z θθ+==⎰ 总结上述的方法，我们发现，由于留数是与闭曲线上的复积分相联系的.因此利用留数来计算定积分需要有两个主要的转化过程：1) 将定积分的被积函数转化为复函数；2) 将定积分的区间转化为复积分的闭路曲线. 根据这种思路，我们可以计算更多的积分.比如，Fresnel 积分2cos d x x ∞⎰和2sin d x x ∞⎰.这两个积分在光学的研究中很有作用.取函数f (z )=2eix ，取积分围道如图5.4，因为f (z )在闭围道内解析，由柯西积分定理，有222e d e d e d 0.ix izix OABOABx z z ++=⎰⎰⎰当z 在OA 上时，z =x , 0≤x ≤r ,22e d e d .rix ixOAx x =⎰⎰当z 在AB 上时，z =r e i θ,0θ≤π4≤，此时4sin 2πθθ≥，所以2422πsin 2e e e.r iz rθθ--=≤故π42422ππe d ed (1e )0,().4r iz r ABz r r rθθ--≤⋅=-→→∞⎰⎰ 当z 在BO 上时，z =x 4πe i ,0,x r ≤≤πππ222444e 0e d ee d ee d .i ri i iz ix x BOrz x x -=⋅=-⎰⎰⎰ 令r →∞，于是(5.13})变为224e d 0ee d ,i ix x x x π∞∞-+-⎰⎰ 又2πe d xx ∞-=⎰, 因此22440πe d ee d e .2i i ix x x x ππ∞∞-==⎰⎰ 上式两边分别取实部和虚部，即得221πcos d sin d .x x x x ∞∞==⎰⎰ 小 结留数定义为：011Res[(),]()d 2πCf z z a f z z i-==⎰其中1a -是函数()f z 在0z 点的罗朗展开式的10()z z --的系数，C 是0z 的去心邻域0<0z z -<R 内的包含0z 的任意一条正向简单闭曲线.图5.4留数定理：若函数()f z 在区域D 内除了有限个孤立奇点21,,,n z z z -外处处解析，C是D 内包含这些起点的一条正向简单闭曲线，则有：1()d 2πRes[(),]nji fCf z z i f z z ==∑⎰.留数定理将积分路径内包含有限个孤立奇点的复积分的计算问题转化为对这些奇点的留数的计算. 如何计算留数，我们有下列方法：⑴ 一般方法：设0z 为函数()f z 的孤立奇点（无论是可去奇点、极点或本性奇点），将()f z 在0z 处展开为罗朗级数，并求出系数1a -，则有01Res[(),]f z z a -=.特别是当0z 为本性奇点时，这个方法是比较常用的方法.⑵ 一级极点情形：若0z 为()f z 的一级极点，则有00Res[(),]lim()()z z f z z z z f z →=-⑶ m 级极点情形：若0z 为()f z 的m 级极点，则有010011Res[(),]lim [()()]!m m m z z d f z z z z f z m dz--→=-⑷ 化为零点问题：若()f z =()()P z Q z ,()P z 和()Q z 在0z 点解析，且()P z ≠0，()Q z =0，'()Q z ≠0,则0z 为()f z 的一级极点，且有000()Res[(),]'()P z f z z Q z =当()f z 为函数时，这个方法是常用的方法.⑸ 可去奇点情形，若0z 是函数f (z )的可去奇点时，则有0Res[(),]0f z z =.无穷远点∞处的留数定义为：设()f z 在R ﹤z ﹤∞内解析，C 为该区域内的绕原点的任意一条正向简单闭曲线，则()f z 在孤立奇点∞处的留数为11Res[(),]()d 2πCf z a f z z i-∞==⎰.若()f z 在扩充复平面内只有有限个孤立奇点，则()f z 的所有奇点（包括无穷远点∞）的留数的总和等于零.应用留数定理，可以计算一些实积分，称为围道积分方法.重要介绍是下列三种类型的实积分：⑴()d R x x ∞-∞⎰; ⑵()ed ,0iaxR x x a ∞-∞>⎰;⑶2π(cos ,sin )d R x θθθ⎰.在利用围道积分时，主要做两方面的工作.一是找一个与所求积分的被积函数密切相关的复变函数()F z ;二是找一条合适的闭路曲线C ，使得在这条闭曲线所围成的区域D 内()F z 只有有限个孤立奇点. ()F z 沿着C 的积分与实积分紧密相关，这样就可以应用留数定理计算实积分.重要术语及主题留数 留数定理 扩充复平面 无穷远点的留数 留数计算 留数定理的应用习题五1.求下列函数的留数.⑴ 5e 1()zf z z -=在0z =处； ⑵ 11()e z f z -=在1z =处.2. 利用各种方法计算()f z 在有限孤立奇点处的留数. ⑴ 232()(2)z f z z z +=+; ⑵ 1()sin f z z z=.3. 利用罗朗展开式求函数21(1)sin z z+在∞处的留数. 4.求函数1()()m mz a z b --(,a b m ≠为整数)在所有孤立奇点（包括∞点）处的留数.5. 计算下列积分. ⑴tan πd Cz z ⎰, n 为正整数，C 为z =n 取正向;⑵10d ()(1)(3)Czz i z z +--⎰, C :z =2,取正向. 6. 计算下列积分.⑴ π0cos d 54cos m θθθ-⎰; ⑵2π20cos3d 12cos a a θθθ-+⎰ ,a >1; ⑶ +2222-d ,()()xx a x b ∞∞++⎰a >0,b >0: ⑷ 22220,()x x a ∞+⎰a >0: ⑸+222sin d ,()x xx x b β∞+⎰β>0, b >0: ⑹+22-e d ,ixx x a∞∞+⎰a >0: 7. 计算下列积分.⑴20sin 2d (1)xx x x ∞+⎰; *⑵ 21d 2πza z i zΓ⎰,其中Γ为直线Re x c =,c >0,0<a <1.。
第五章留数及其应用资料
结论：一个不恒为零的解析函数的零点是孤立的.
事实上，(z)在z0点解析，则(z)连续，(z0 ) 0， 于 是 ( z )在z0的 某 一 邻 域 内 不 为 零.
所以 f (z) (z - z0 )m(z)在z0的该邻域内仅
在z0 处 为 零.
13
性质5
若z0是f (z)的m级零点，则z0是
例如，
Re
s[sin z z
,0]
c-1
0.
(3) 此处的定义只是对有限孤立奇点来说的，
至于无穷远孤立奇点处的留数以后再讨论.
22
2、 留数定理
定理1 设c是一条简单闭曲线, 函数f (z)在c内有 有限个孤立奇点z1, z2 ,, zn , 除此以外, f (z) 在c内及c上解析, 则
n
性质1 若z0为 f (z) 的孤立奇点，则下列条件等价：
(i) f (z)在点z0的主要部分为零；
(ii)
lim
zz0
f
(z)
c0
(c0为 常 数);
(iii) f (z)在点z0的某去心邻域内有界. 8
3.2 若z0为f (z)的m (m 1) 级极点，则
f (z)
c-m (z - z0 )m
可以展开成洛朗级数：
cn (z - z0 )n cn (z - z0 )n c-n (z - z0 )-n . (1)
n-
n0
n1
f (z)在点z0的性质完全体现在级数的主要部分
c-n (z - z0 )-n .据此，将孤立奇点进行分类.
4
n1
2.1 可去奇点：展式中不含z-z0 负幂项，即
第五章留数及其应用
第五章 留数及其应用解：（1）是本性奇点（2）是非孤立奇点（3）是一阶极点 解：（1）3z i =±是单零点。
（2）0z =是二重零点，z k π=是单零点。
（3）0z =是四阶零点，z = 解：（1）0z =是一阶极点，2z i =±是二阶极点 （2）0z =是二阶极点（3）4z k ππ=-是一阶极点（4）0z =是三阶极点，2z k i π=是一阶极点 （5）0z =是可去奇点（6）0z =是可去奇点，2z k i π=是一阶极点 证明：函数()f z 以a 为极点的充要条件是1()f z 以a 为零点，由此可明白，结论成立。
证明：令 0110()()(),(1)()0m f z z z f z m f z =-≥≠且； 0110()()()(1)()0n g z z z g z n g z =-≥≠且， 那么1010110101101()()()()()()()()()()()()(),()()m m n n m n f z m z z f z z z f z g z n z z g z z z g z f z f z z z g z g z ---''=-+-''=-+-=- 1010101()()()()()()()()()m n mf z z z f z f z z z g z ng z z z g z -''+-=-''+-，因此当m n =时，00'10'10()()()()()()lim lim z z z z f z f z f z g z g z g z →→=== 当m n >时，上式左侧两个极限均为零；当m n <时，上式两边极限均为∞，故结论成立。
解：（1）是可去奇点（2）是可去奇点 解：（1）孤立奇点有0，z 0e 1Res[,0]=e 10z--=。
留数定理及其应用
式，故 I = 2πi sin 0 = 0．
例3 I=
e1/z dz．
|z|=1
解 本题的被积函数 f (z) = e1/z 在圆周 |z| = 1 的内部有一个本性奇点 z = 0，它在
z = 0 处的 Laurent 展开式为 f (z) = e1/z = 1 + 1/z + . . . + 1/n!zn + . . .，故 Res f (0) =
n=−∞
则
cn
=
1 2πi
Γρ
(z
f (z) − a)n+1
dz.
令 n = −1，得
c−1
=
1 2πi
f (z) dz.
Γρ
与式 (1) 比较，即得
Res f (a) = c−1.
(2)
由此可知，可去奇点处的留数为 0． 注 有些书上直接用式 (2) 作为留数的定义，这与式 (1) 的定义显然是等价的．
数的问题．由上节可以看到，计算极点的留数主要涉及微分运算．对于本性奇点，必须作
Laurent 展开来计算其留数．作 Laurent 展开，通常归结为 Taylor 展开，而计算 Taylor 展
开式的系数也是微分运算问题．所以可以说，留数定理把积分运算转化成了比较容易的微分
运算，因此它为积分的计算提供了一项非常有用的技术．
§3 用留数定理计算围线积分
4
推论一（单极点的留数，第一公式） 若 a 是 f (z) 的单极点，则
Res f (a) = [(z − a)f (z)]|z=a.
(5)
推论二（二阶极点的留数） 若 a 是 f (z) 的二阶极点，则
Res f (a) = [(z − a)2f (z)] |z=a.
五章 留数及其应用
第五章留数及其应用§1. 孤立奇点一.孤立奇点的分类1. 孤立奇点的概念定义：若函数在点不解读，但在点的某一去心邻域内处处解读.则称为的孤立奇点.一.求下列函数的奇点，并各奇点是否为孤立奇点.<1） <2）<3）<4）注意:孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤立奇点.2. 孤立奇点的分类设为的孤立奇点,在点的洛朗展式为.(ⅰ> 若有恒成立，则称为的可去奇点.(ⅱ> 若有,但对于有恒成立，则称为的m阶极点.(ⅲ> 若有,则称为的本性奇点.说明: (1>为的洛朗展式，其和函数为在点解读的函数.(2> 无论函数在点是否有定义，补充定义则函数在点解读.3. 孤立奇点的类型的判断(1> 可去奇点的判定方法定理1设在点的某一邻域内解读,则为的可去奇点的充分必要条件是:.定理1’设是的孤立奇点,则为的可去奇点的充分必要条件是:在内有界.(2> 极点的判定方法结论：是的m阶极点的充要条件是:其中在邻域内解读,且.定理2设在点的某一邻域内解读,则为的极点的充要条件是:是的m阶极点的充要条件是:其中为一确定的非零复常数,m为正整数.(3> 本性奇点的判定方法定理3设在点的某一邻域内解读,则为的本性奇点的充要条件是:极限与均不成立.一.判断下列函数的奇点的类型：<1） <2）<3）二. 函数的零点与极点的关系定义：若有正整数m,使得,其中在点解读且,则称为的m阶零点.定理4若在点解读,则为的m阶零点的充要条件是:但一.判断函数的零点及其阶数.定理5 若为的m阶极点,则为的m阶零点.反之亦然.一.判断函数的极点及其阶数.三.函数在无穷远点的性态定义：若存在R>0,有函数在无穷远点的邻域内解读,则称无穷远点为的孤立奇点.设在无穷远点的邻域内的洛朗展式为那么规定:(ⅰ> 若有恒成立，则称为的可去奇点.(ⅱ> 若有,但对于有恒成立，则称为的m阶极点.(ⅲ> 若有,则称为的本性奇点.定理6设在区域内解读,则为的可去奇点、极点和本性奇点的充要条件分别是:极限存在、为无穷及即不存在,也不是无穷.一.判断下列函数的奇点的类型：<1）<2）<3）<4）例6. 判断函数的孤立奇点的类型.§2. 留数一.留数的概念及留数定理定义：设为解读函数的孤立奇点,其洛朗展式为,称系数为在处的留数,记作Res.例6求在孤立奇点0处的留数.例7求在孤立奇点0处的留数.例8求在孤立奇点0处的留数.定理7(柯西留数定理> 设在区域D内除有限多个孤立奇点外处处解读,C是D内包围各奇点的任意一条正向简单闭曲线,那么说明：留数定理把计算周线上的积分的整体问题转化为函数在周线所围成的区域内的各个孤立奇点处的留数的局部问题.例9 计算积分.二. 函数在极点的留数法则Ⅰ如果为的简单极点,则Res.例10 求在各孤立奇点处的留数.法则Ⅱ设,其中在点解读,如果为的一阶零点,则为的一阶极点,且例11 求在的留数.法则Ⅲ如果为的m阶极点,则Res.例12求在孤立奇点0处的留数.例13 计算积分例14 计算积分三. 无穷远点的留数定义：设函数在区域内解读,即为函数的孤立奇点,则称为在的留数,记作Res.定理8如果函数在z平面只有有限多个孤立奇点(包括无穷远点>,设为.则在所有孤立奇点处的留数和为零.法则Ⅳ(无穷远点的留数> 若为函数的孤立奇点,则Res Res.例15 求在它各有限奇点的留数之和.例16计算积分其中C为正向圆周§3. 留数在定积分计算中的应用一.形如的积分思想方法:把定积分化为一个复变函数沿某条周线的积分 .两个重要工作:1> 积分区域的转化,2> 被积函数的转化.当从0到时,z沿单位圆的正向绕行一周.例17 计算的值.二. 形如的积分设为复函数的实值形式,其中满足条件:(1> 。
数学物理方法 留数定理及其应用
对于条件(1)
奇点 z=/2i, 3/2i,
数学物理方法2015.02
第二节 应用留数定理计算实函数的积分
计算积分 设 f ( z)
1 dx cosh x
y=
1 cosh z
奇点 z=/2i, 3/2i, ，周期 2i -R
0
O
R
R
eix 1 dx cosh x 1 e
eiz C cosh z dz
0 eiR y eiR y dy i dy cosh( R iy ) cosh( R iy )
2 i iz Res f ( z ) e 1 e z i / 2
第二节 应用留数定理计算实函数的积分
计算积分 设 f ( z)
eix dx cosh x
y=
y=/2 y=0
1 cosh z
奇点 z=/2i, 3/2i, ，周期 2i -R
eiz C cosh z dz R R eix eix dx dx R cosh x R cosh( x i ) i
| z z0 |
f z dz a z z dz
n | z z0 | n n 0
z0
2 ia1
如何计算留数，或系数a-1
数学物理方法2015.02
第一节 留数及留数定理
留数的计算方法
(1) 一般方法：利用留数的定义来求留数 (2) 根据孤立奇点的类型来计算留数
第五章 留数 留数在定积分计算中的应用
个有界区域，函数 f(z) 在 D 内除有限个孤立
奇点 z1 , z2 ,..., zn外处处解析. C是D内包围各 奇点的一条正向简单闭曲线,那么我们有：
n
C
f ( z )dz 2i Res[ f理的基本思想
D
zn C3 Cn z1 z2
z3
C1
显然，函数在z0处的留数C1就是积分 1 f ( z )dz 2 i C 的值.
其中，C为函数f ( z )的去心邻域0 z - z0 R 内绕z0的闭曲线，方向为逆时针方向.
注：留数Res[f(z), z0] 与圆C的半径r无关.
二、留数定理
定理 5.1 （留数定理）设 D 是复平面上的一
C
f ( z )dz 0
如果z0是f(z)的孤立奇点，则上述积分就不 一定等于零。
定义5.1 设z0是解析函数f ( z )的孤立奇点， 我们把f ( z )在z0处的洛朗展开式中负一次 幂项的系数C1称为f ( z )在z0处的留数.记作 Re s[ f ( z ), z0 ]，即 Re s[ f ( z ), z0 ] C-1
求沿闭曲线C积分 求C内各孤立奇点处的留数.
三、留数的计算
求函数在孤立奇点处的留数的一般方法 ——将函数在以z0为中心的圆环内展开为 洛朗级数，求出级数中C-1(z-z0)-1项的系数C-1
如果z0是可去奇点，则Res[f(z), z0]=0;
如果z0是本性奇点，则往往只能用展开成洛朗
级数的方法来求C-1.
Res[f ( z ), z0 ] lim( z z0 ) f ( z )
z z0
P( z ) lim( z z0 ) z z0 Q ( z ) Q ( z0 ) P( z0 ) / Q '( z0 ).
第五章留数及其应用
复变函数与积分变换
主讲： 郑修才
山东大学数学院
张 长 华
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
第五章 留数及其应用
5.1 孤立奇点 5.2 留数 5.3 留数在定积分计算上的应用
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
在 |z-z0|<d 内是解析的函数, 且 g (z0) 0 .
反过来, 当任何一个函数 f (z) 能表示为(*)的形式,
且g (z0) 0 时, 则z0是 f (z)的m级极点.
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
如果z0为 f(z)的极点, 由(*)式知 lim f (z) . zz0
规则1 如果z0为f (z)的一级极点, 则
Res[
f
(z),
z0
]
lim(z
zz0
z0
)
f
(z)
规则2 如果z0为f(z)的m级极点, 则
Res[
f
(z),
z0 ]
§5.1 孤立奇点
函数不解析的点称为奇点.如果函数 f (z)虽在z0不解析,
但在z0的某一个去心邻域0<|z-z0|<d内处处解析, 则z0称为f
(z)的孤立奇点.
例如函数
1和
1
ez
都以z 0为孤立奇点.
z
函数的奇点并非都是孤立的. 例如 z=0 是函数
f (z)
1
sin 1
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孤立奇点z0为极点的判别方法：
设z0为函数f (z)的孤立奇点，则下列条件是等价的,
(1) z0是函数f (z)的m阶极点；
(2) 函数f (z)在点z0处的洛朗展开式为：
f (z) Cm (z z0 )m
C1
(z z0 )
Cn (z z0 )n
n0
(Cm 0, m 0)
3! 5!
展开式中不含负幂项，
z 0是函数f (z) sin z 的可去奇点. z
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8
➢ 二、可去奇点
可去奇点的解析化：
若z0为函数f (z)的可去奇点，则 f (z)在z0的去心邻域内的 洛朗级数就是一个不含负幂项的级数为：
f (z) C0 C1(z z0) C2(z z0)2 Cn(z z0)n ,0 z z0
如：z
0是函数f
(z)
1
的孤立奇点，也是函数f
(z)
1
e z的孤立奇点.
z
如z 0是函数f (z) 1 的一个奇点，
sin 1
z
除此之外，zn
1
n
(n
1, 2,
)也是它的一个奇点，
当n的绝对值逐渐增大时，1 可任意接近z 0，
n
即在z 0不论怎样小的去心邻域，总有函数f (z)的奇点存在，
所以z 0不是函数f (z)的孤立奇点.
(z)
(z
1 z0 )m
g ( z )的形式，
g(z)在 z z0 内解析且g(z0) 0，那么z0是函数f (z)的m阶极点.
判定z0是函数f (z)的m阶极点的另一方法.
而 lim f (z) lim 1 g(z)
z z0
zz0 (z z0 )m
lim f (z) . 判定z0是函数f (z)的m阶极点的又一方法. z z0
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目录
➢第一章 复数与复变函数 ➢第二章 解析函数 ➢第三章 复变函数的积分 ➢第四章 解析函数的级数表示 ➢第五章 留数及其应用 ➢第六章 傅立叶变换 ➢第七章 拉普拉斯变换
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3
第五章 留数及其应用
▪ 本章中心问题是留数定理，前面讲的柯西定 理、柯西积分公式都是留数定理的特殊情况，并 且留数定理在作理论探讨与实际应用中都具有重 要意义，它是复积分与复级数理论相结合的产物， 为此先对解析函数的孤立奇点进行分类
1)3
的极点.
解：函数的孤立奇点有：z 1，z i.
lim f (z) , lim f (z) ,
z1
zi
z 1, z i都是函数f (z)的极点.
(1)当z
1时，(z2
z2 1)(z 1)3
1 (z 1)3
z2 (z2 1)
(z
1 1)3
g1(z)
这里g1(z)在z 1的某邻域内处处解析，且g1(1) 0，
1 z0 )m
[Cm
C m1 ( z
z0 )
Cm2 (z
z0 )2
Cn (z z0 )nm ]
n0
1 (z z0 )m
g(z)
C1(z z0 )m1
这里g(z)满足：（1）在圆域 z z0 内是解析函数；
（2）g(z0 ) 0.
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（2）反过来，当任何一个函数f
( z )能表示为f
大学数学多媒体课件
复变函数
与积分变换
主讲：
--大学--学院
二零一五年三月
参考用书
➢ 《复变函数与积分变换》, 华中科技大学数学系, 高等教育出版社, 2003.6 ➢ 《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》, 华中科大, 高等教育出版社 ➢ 《复变函数》, 西安交通大学高等数学教研室, 高等教育出版社, 1996.5
(3)主部含有无限多项，则称z0为函数f (z)的 本性奇点
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• 例1．说明点z 0是函数f (z) sin z 的可去奇点.
z
解：函数f (z)在z 0的去心邻域内可展开成洛朗级数为：
f (z) sin z 1 (z z3 z5
) 1 1 z2 1 z4
,
z z 3! 5!
f (z) C0 C1(z z)
Cn (z z0 )n
(3)
lim
zz0
f
(z)
C0 ,（C0为一常复数）；
(4) 函数f (z)在z0某去心邻域内有界.
若z0为f
(z)的极点，则
lim
z z0
f
(z)
?
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➢ 三、极点
如果在洛朗级数展开式中只有有限多个z z0的负幂项，
(3) 极限 lim f (z) ，缺点：不能指明极点的阶数. zz0
(4) 函数f (z)在点z0的某去心邻域内能表示成：
f
(z)
(z
1 z0 )m
g ( z ),
其中g(z)在z0的邻域内解析，且g(z0 ) 0.
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•
例2．求有理分式函数f (z)
(z2
z2 1)( z
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孤立奇点分类：
函数f (z)在孤立奇点z0的邻域0 z z0 内展为洛朗级数为：
f (z) Cn (z z0 )n Cn (z z0 )n
n0
n1
解析部分
主要部分
(1)主部消失 即只有 Cn (z z0 )n，则称z0为函数f (z)的可去奇点 n0
(2)主部仅含有限项(m项), 则称z0为函数f (z)的 m阶极点
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第五章 留数及其应用
➢5.1 孤立奇点 ➢5.2 留数 ➢5.3 留数在定积分计算中的应用 ➢本章小结 ❖ 思考题
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第一节 孤立奇点
➢ 一、奇点的分类
定义：若函数f (z)在z0处不解析，但在z0的某一去心邻域0 z z0 内处处解析，
则称z0为函数f (z)的 孤立奇点
且关于(z z0 )1的最高幂为(z z0 )m，即
f (z) Cm (z z0 )m C2 (z z0 )2 C1(z z0 )1 C0 C1(z z0 ) , (m 1, Cm 0)
则孤立奇点z0称为函数f (z)的m阶极点.
下面讨论m阶极点的特征：
（1）f
(z)
(z
显然这个幂级数的和函数F(z)在 z z0 内处处解析.
令f
(z0 )
C0
lim
zz0
F(z)
lim
zz0
f
(z).
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孤立奇点z0为可去奇点的判别方法：
设z0为函数f (z)的孤立奇点，则下列条件是等价的,
(1) z0为函数f (z)的可去奇点；
(2) 函数f (z)在z0点的洛朗级数展开式中不含z z0的负幂项，即