流体力学-03 流体静力学
流体力学中的流体静力学方程
流体力学中的流体静力学方程流体力学是研究流体运动和流体行为的物理学科。
它涉及到各种复杂的力学现象，其中之一就是流体静力学方程。
流体静力学方程描述了静止流体中各个点的力学平衡条件，它是流体力学的基础。
在介绍流体静力学方程之前，我们先来了解一下流体静力学的基本概念。
流体是一种无固定形状的物质，包括液体和气体。
流体的特性在很大程度上受到压力的影响。
流体静力学研究的是流体在静止状态下的力学行为，即不考虑流体的运动情况。
流体静力学方程可以通过两个基本方程来描述，分别是压力方程和流体压强分布方程。
1. 压力方程：在流体静力学中，压力是一个非常重要的参数。
它可以通过以下方程来描述：∇P = -ρg其中P是压力，∇P表示压力梯度，ρ是流体的密度，g是重力加速度。
上述方程意味着压力梯度的方向是压力降低的方向。
当流体静止时，压力在任意两点之间的变化只受到重力的影响。
这是因为重力会使流体向下运动，从而导致压力的变化。
2. 流体压强分布方程：流体压强分布方程是描述流体静止状态下压强分布的方程。
它可以通过以下方程来表示：P = P0 + ρgz其中P是流体某一点的压强，P0是参考点的压强，ρ是流体的密度，g是重力加速度，z是从参考点到目标点的垂直距离。
上述方程表明了流体压强随着高度的增加而递减。
这是因为在静止流体中，压强的变化只取决于液体的密度和重力的作用。
除了上述两个基本方程外，流体静力学还涉及到一些附加的方程，如流体的静力平衡方程和流体的表面张力方程。
这些方程在一些特殊情况下起到重要的作用，能够进一步描述流体静止时的行为。
总结起来，流体静力学方程是描述流体静止状态下的力学平衡条件的方程。
它们包括压力方程和流体压强分布方程，能够很好地描述流体静态行为。
在流体力学的研究中，深入理解和应用这些方程对于解决各种与流体静力学相关的问题非常重要。
流体力学-流体静力学
例3
一圆筒D=0.6m，h=0.8m，盛满水，现以n=60rpm
转动，求筒内溢出的水量
2n 解： 2 60
rad/s
z
2R2 z 0.18 m 2g
利用例2结论 溢出的水量体积
1 V zR 2 0.0256m3 2
流体作用在平面上的总压力
解析法 图解法
1.解析法
用dx、dy、dz除以上式，并化简得
1 p X 0 x
（1） （2） （3）
同理
1 p Y 0 y
1 p Z 0 z
1 f p 0
——欧拉平衡微分方程（1755）
2.力的势函数
将（1）、（2）、（3）式分别乘以dx、dy、dz，并相加
p p p （Xdx Ydy Zdz） dx dy dz dp x y z
1 p P右 p dx dydz 2 x
1 p P左 dx dydz p 2 x
质量力：
Fx Xdxdydz
F 0
P左 P右 Fx 0
1 p 1 p p dx dydz p dx dydz Xdxdydz 0 2 x 2 x
(4)
对（1）、（2）、（3）式坐标交错求偏导，整理得
X Y y x
Y Z z y
Z X x z
——力作功与路径无关的充分必要条件 必存在势函数U，力是有势力
U U U dU x dx y dy z dz
或写成 p1 gz1 p2 gz2 c
p/ρg——压强水头
z——位置水头
物理意义：能量守恒
流体力学-03-1 流体静力学
流体静力学3 流体静力学流体静力学是研究流体相对某一参考系统为静流力学是研究流相对某考统止状态下的力学特征。
阿基米德欧拉浮力定律流体质点平衡状态方程目标确定流体内部压力场的静力学方程式目标：确定流体内部压力场的静力学方程式。
作用在流体上的两种力：质量力、表面力质量力)——作用及分布于指定质量的整个质力(体积力)作分布指质的个体积，而无需物理上的直接接触；表面力——作用于流体表面或内部界面，是通过与表力作用于流体表或内部界是通过与表面或内部界面的直接接触而实现，其力分布于接触面。
触面质量力：d zd x d y表面力：“静止”流体Æ无切向力表面力仅为压力泰勒展开：表面力：中心点O的压力为p压强梯度压力梯度是单位体积上由压强所产生的表面力的负值。
可以看出：在计算表面净剩压力时，压强本身的大小不很重要，重要的是压强随着距离的变本身的大小不很重要重要的是压强随着距离的变化率，也就是压强梯度。
体积力+表面力流，顿第示对于流体质点，牛顿第二定律表示为对于流体质点流体静止，加速度等于0欧拉平衡方程某位置处单位体积的压力+该位置处单位体积的重力=0如果重力矢量与z 轴取一致的话轴取一致的话，力矢与轴取致的，则，g x =0，g y =0，g z =-g静力学基本方程：d p g ργ=−≡−适用范围：适用范围：11.d z静止流体；2.质量力只有重力存在；3.z 轴是垂直地面的方向()(1) 不可压缩流体ρ=ρ= constant压力分布满足：d p=0Æd z=0在等压面上00在重力场中，水平面为等压面。
在重力场中，压强只与垂直坐标有关。
压力和高度的基本关联式常常用于解决压力计问题，分析多管压力计时，要考虑以下原则：①连通管中同一种液体在同一高度的任何两点，压连通管中同种液体在同高度的任何两点压力相同；②随着液柱的下降，压力增大。
()()(2) 可压缩流体上册P22-24)液压力密度的关联式积模或弹性模液体压力和密度的关联式用体积模量（或弹性模量）来表示气体的密度一般取决于压力和温度ρf()真实大气密度：=f 地理位置、季节、时辰……)国际标准大气状态主要按照北半球中纬度地区各季节中大气的平均值而定出：各季节中大气的平均值而定出①空气被看作是完全气体；②大气的相对湿度为零；③以海平面作为高度计算的起点；④在高度11000米以下，气温随高度呈直线变化，每升高1米，气温下降0.0065度；米气温下降00065⑤在约11000~24000米范围内，气温保持不变，此时的温度为216.7K。
流体力学基础3-作用在流体上的作用力
应用场景
分析流体流动过程中动量 的变化，例如流体在管道 中的流动、流体冲击等。
注意事项
在分析实际问题时，需要 考虑流体的粘性、重力、 弹性等效应对动量定理的 影响。
04
作用在流体上的力
重力
总结词
重力是地球对流体施加的力，使流体产生加速度。
详细描述
重力是地球对流体施加的吸引力，使流体产生加速度。在地球表面，重力垂直 向下作用在流体上，导致流体向下流动。重力对流体的影响可以通过流体静力 学和流体动力学进行研究。
层流
流体在管内流动时，各层流体互不掺 混，流速较低，阻力较小。
湍流
流体在管内流动时，流体质点剧烈混 合，流速较高，阻力较大。
阻力系数
圆管阻力系数
根据雷诺数和管径计算，用于计算圆管内的流体阻力。
粗糙管阻力系数
考虑管壁粗糙度的影响，用于计算粗糙管内的流体阻力。
局部阻力系数
用于计算流体通过各种局部装置（如阀门、弯头等）时的阻力。
04
牛顿运动定律在流体中的应用
第一定律
流体在不受外力作用时，将保持静止或匀速直线运动 状态。
第二定律
对于一个封闭系统，流体受到的合力等于其动量的变 化率。
第三定律
作用力和反作用力大小相等、方向相反，作用在同一 条直线上。
流体动量定理
01
02
03
定理表述
对于封闭系统，流体动量 的变化率等于作用在系统 上的外力之和。
力相平衡。
02
流体静压方向相反。
03
重力对不同深度流体静压力的影响
不同深度的流体受到的重力不同，因此不同深度的流体静压力也不同。
流体静压力与压强
压强定义
压强是单位面积上的流体静压力。
流体静力学
1 ∂p 1 ∂p 1 ∂p (X − ) dx + (Y − )dy + ( Z − )dz = 0 ρ ∂x ρ ∂y ρ ∂z ∂p ∂p ∂p ⇒ dx + dy + dz = ρ ( Xdx + Ydy + Zdz ) ∂x ∂y ∂z
静止流体中， 只是坐标的函数： ），所以 静止流体中，静压强 p 只是坐标的函数：p=f(x,y,z），所以 ），
–质量力 质量力——重力、惯性力，用单位质量 重力、 质量力 重力 惯性力，
py
C dz dx o A x pz m
px pn dy B y
– 表面力——仅有压力作用：px、py、pz、 图2-2 表面力——仅有压力作用： ——仅有压力作用 pn（n为任意方向）分别表示作用在垂 为任意方向） 为任意方向 直于x、 、 直于 、y、z 轴的坐标面和斜面 质量力 上的静压强， △ABC 上的静压强，Px、Py、Pz、Pn 表示总压力。 表示总压力。
略去二阶以上高阶小量后， 略去二阶以上高阶小量后，得：
z dz 1 ∂p p− dx A1 A 2 ∂x p dy y dx
1 ∂p p1 = p − dx 2 ∂x
1 ∂p p2 = p + dx 2 ∂x
A2
p+
1 ∂p dx 2 ∂x
x
图2-3 静止流体中六面体微元
第二章 流体静力学
3. 导出关系： 导出关系： 根据流体平衡的充要条件:静止流体所受的所有外力在各个坐标轴方 根据流体平衡的充要条件 静止流体所受的所有外力在各个坐标轴方 向上的投影之和为零， 向上的投影之和为零，即 方向为例： 方向为例 ∑F = 0。以x方向为例：
说明： 以上特性不仅适用于流体内部，而且也适用于 说明： 以上特性不仅适用于流体内部， 流体与固体接触的表面。 流体与固体接触的表面。
流体力学与流体静力学描述流体运动与静止的力学学科
流体力学与流体静力学描述流体运动与静止的力学学科流体力学与流体静力学是研究流体运动与静止的力学学科。
流体力学主要研究流体的力学性质，特别关注流体的运动规律。
流体静力学则专注于研究静止的流体，研究流体的压力与力学平衡。
流体力学是力学学科中的一个重要分支，其研究对象是流体。
流体是指能够流动的物质，包括液体和气体。
流体具有特殊的性质，例如可以受力变形，没有固定的形状，可以流动。
研究流体的力学性质既需要考虑宏观的流体力学规律，也需要考虑微观的分子运动规律。
流体力学主要研究流体的运动规律，包括速度场、压力场、流动速度分布以及流体的运动方程等。
流体力学的研究方法主要包括理论分析、数值模拟和实验研究。
理论分析是通过建立数学模型，应用物理定律和数学方法推导出流体力学方程，进而解析或数值求解流体力学问题。
数值模拟是通过计算机仿真的方法，利用数值方法对流体力学问题进行模拟求解。
实验研究则通过实际操作与测量，获取流体力学问题的实验数据，验证理论模型与数值模拟的准确性。
流体静力学是研究静止流体的力学学科。
静止流体是指不受外力作用的静止流体，静止流体中的压力是均匀的。
流体静力学研究的重点是静止流体的平衡条件和压力分布。
根据流体静力学原理，静止流体中任意一点的压力大小与该点的深度以及流体密度有关。
流体力学与流体静力学是现代科学技术发展中十分重要的领域。
在航空航天、水利工程、能源开发、环境保护等方面，流体力学的研究和应用都具有重要意义。
流体力学的发展使得我们可以更好地理解和预测自然界中的流体运动规律，为工程设计和科学研究提供有效的依据。
总结一下，流体力学与流体静力学是描述流体运动与静止的力学学科。
通过研究流体的运动规律和平衡条件，可以深入理解流体的力学性质，为工程设计和科学研究提供重要的理论支持。
随着科学技术的不断进步，流体力学与流体静力学将继续发展，并在各个领域中发挥重要作用。
第二章 流体静力学
所以表面abcd的总压力为：( p
p dx )dxdy x 2
同理面aˊbˊcˊd ˊ的总压
p dx 力为： (p )dydz x 2
z
微团在X轴方向的表面
力和为：
(p p dx p dx )dydz ( p )dydz x 2 x 2
p
p dx x 2
位质量流体受到的质量力在水平面x轴和y轴的投影为零， 铅直方向z轴的投影为重力加速度g，根据
则有
dp g dz
dp ( f x dx f y dy f z dz)
积分得
p zc g
液体静止的基本方程
式中：g在本书中取值9.807m/s2；
z为测压处相对于边界条件(基准面)的高差。 c为常数，大小由边界条件确定。
若一个函数W(x,y,z)使质量力的投影等于这个函数的偏
导数，即
W fx x
fy
W y
fz
W z
则称函数W(x,y,z)为质量力势函数。 一个存在质量力势函数的力场，称为有势力场，相应的
质量力称为有势质量力，简称有势力。
等压面性质： • 等压面就是等势面； • 等压面与质量力垂直； •两种互不掺混液体的分界面也是等压面。
等压面:在静止流体内，由静压力相等的各点组成的面
自由面：静止液体和气体接触的面
水平面既是等压面也是自由面
液体静压强分布规律只适用静止、同种、连续液体
同一容器或同一连通器盛有多种不同密度的液体时，关键是找到等 压面
§2-4
液体的相对静止
辩证唯物主义:
①运动是普遍的、永恒的和无条件的，因而是绝
流体力学第二章流体静力学
❖ 流体静力学研究流体的平衡规律，由平衡条 件求静压强分布规律，并求静水总压力。
❖静止是一个相对概念，指流体相对于地球无 运动的绝对平衡和流体相对于地球运动但质点 之间、质点与容器之间无运动的相对平衡。
❖流体质点之间没有相对运动，意味着粘性将 不起作用，所以流体静力学的讨论不须区分流 体是实际流体或理想流体。
pA mhm a
p1左 pA a p1右 mh
2.5.3水银压差计
即使在连通的 静止流体区域中 任何一点的压强 都不知道，也可 利用流体的平衡 规律，知道其中 任何二点的压 差，这就是比压 计的测量原理。
p1左 pA ( z A hm ) p1右 pB mhm zB
面，自由表面上压强为大气压，则液面
以下 h 处的相对压强为 γh ，所以在
液体指定以后,高度也可度量压强，称 为 液 柱 高 ， 例 如 ： ××m(H2O) ， ××mm(Hg) 等。特别地，将水柱高称 为水头。
p=0 h
ph
98 kN/m2=一个工程大气压=10 m(H2O)=736 mm(Hg)
任意形状平面上的静水总压力大 小，等于受压面面积与其形心点 压强的乘积。
2．静水总压力的方向垂直并指 向受压面
3.总压力P的作用点
根据合力矩定理，对x轴
PyD ydP
yy sin dA sin y2dA
p
1 2
p x
dx
dydz
p
1 2
p x
dx
dydz
X
dxdydz
0
化简得：
X 1 p 0
x
Y，z方向可得：
Y Z
1
1
p y p
0
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流体静力学知识在工程上的应用很广泛，例如贮液(气) 罐(内部受压)、潜体(外部受压)的应力分析；水坝、桥墩、闸 门的受力分析；水压机、液压系统原理；汽车制动闸设计； 测压计、液体比重计、大气测高仪的原理；虹吸泵、离心分 离机原理；船舶、浮吊、船坞的浮力和稳定性分析；气球、 汽艇稳定性分析等。
dp = −ρ g
质量力：
化工流体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘志军 2007年3月~6月
表面力：压强 （法向应力，没有剪切力 ）
p=p(x，y，z)
泰勒展开式 :
化工流体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘志军 2007年3月~6月
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例题3-3
化工流体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘志军 2007年3月~7月
3-6 浮力和稳定性
化工流体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘志军 2007年3月~7月
化工流体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘志军 2007年3月~7月
1. 压力的测量
• 倾斜U 型管压差计
当被测量的流体压力或压差不大时，读数R必然很小，
为得到精确的读数，可采用斜管压差计。
R′ = R
sinα
R′
Δp = p1 − p2 = ρ gR = ρ gR′sinα
式中α为倾斜角，其值愈小
则R值放大为R'的倍数愈大。
1. 压力的测量
• 微差压差计
在U型管微差压计两侧臂的上端装有扩张室，其直径
1. 压力的测量
• 倒U 型管压差计
该压差计是利用被测量液体本身作为指示液的。压力差
p1-p2 可根据液柱高度差 R 进行计算。 p1 − p2 = R(ρ − ρ0 )g
① 若ρ>>ρ0，可简化为 p1 − p2 = Rρ g
② 选择与被测流体的密度差别不大的指示 剂，有利于提高测量精度
Δp = p1 − p2 ∝ (ρ − ρ0 )
dz
① 静止流体； ② 质量力只有重力； ③ z轴垂直地面。
1. 压力的测量
• 压强的定义
绝对压力：pab 表 压 强：pg 真 空 度：pv
p p1
pa
pg = pab − pa pv = pa − pab
( pab > pa ) ( pab < pa )
(-) p2
工程上的测压表相应地分为两类： • 用于被测系统压强高于外界大气压强的称为压力表； • 用于被测系统压强低于外界大气压的称为真空表。
3-7 非惯性坐标系中的静止 液体
化工流体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘志军 2007年3月~7月
例题3.4 例题3-5
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静力学基本方程的应用
静力学基本方程的应用
流体静力学是流体力学的一个分支，研究相对静止流体 (液体或气体)的压力、密度、温度分布以及流体对器壁或物 体的作用力。
对于流体质点，牛顿第二定律表示为
流体静止,加速 度等于0
G
G
dF =
dF
=
−grad
p
+
ρ
G g
dV dx dy dz
某位置处单位体积的压力+该位置处单位体积的重力=0。
化工流体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘志军 2007年3月~6月
如果重力矢量与z轴取一致的话，则，gx=0，gy=0，gz= -g
1. 压力的测量
(1) 液柱压力计(压差计)：
U型管压力计（压差计） (a) 普通U 型管压差计； (b) 倒U 型管压差计 (c) 倾斜U 型管压差计； (d) 微差压差计
1. 压力的测量
• 普通U 型管压差计：
U形管两端口和被测系统的测压点间用连接管连接，指示剂液面上 方充满被测流体，因形状如同大写的U而得名。
化工流体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘志军 2007年3月~6月
dp = −ρg ≡ −γ
dz
适用范围：1、静止流体； 2、质量力只有重力存在；
3、z轴是垂直地面的方向
3-1.1 静止流体的压力变化
1、不可压缩流体：ρ=ρ0=常数
化工流体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘志军 2007年3月~6月
U 型管内的a、b 两点： ①处于静止； ②在相连通的同一流体内； ③同一水平面。
pa = p1 + (m + R)ρ g pb = p2 + mρ g + Rρ0g
pa = pb
Δp = p1 − p2 = R(ρ0 − ρ)g
**对指示剂的选用要求：不与被测流体发生
化学反应、互不相溶，且ρ0＞ρ
1. 压力的测量
• 普通U 型管压差计：
Δp = p1 − p2 = R(ρ0 − ρ)g
① 若被测流体为气体，其密度较指示液密 度小得多，上式可简化为
p1 − p2 = Rρ0g
② 选择与被测流体的密度差别不大的指示 剂，有利于提高测量精度
Δp = p1 − p2 ∝ (ρ0 − ρ)
③ 若p1=pa，则p2 → pv 若p2=pa，则p1 → pg
1. 压力的测量
例1. 用3种压差计(普通U型管压差计、倾斜U型管压差计和 微压差计)测量气体的微小压差Δp=100Pa，试问：
① 用普通U型管压差计，以苯为指示液，其读数R为多少？
② 用倾斜U型管压差计，α=30°，以苯为指示液，读数R`
为多少？ ③ 若用微压差计，其中加入苯和水两种指示液，扩大室截面 积远远大于U型管截面积，此时读数R``为多少？ R``是用苯 为指示液的普通U型管压差计读数的多少倍？
气体的密度一般取决于压力和温度
3-2 标准大气压 国际标准大气压主要按照中纬度地区各季节中大 气的平均值而定出
化工流体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘志军 2007年3月~6月
具体规定是： （1）空气被看作是理想气体； （2）大气的相对湿度为零； （3）以海平面作为高度计算的起点，海
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力 在z轴方向的分量的大小为 ，作用方向为z轴的负
方向。合力的垂直分量
作用线
化工流体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘志军 2007年3月~6月
在确定力的分量和它们的作用线时， 由于我们处理曲面，合力的各个分量的作 用线不一定一致。最终，合力可能需要表 示成一个力加一个力偶。
远大于U形管直径。压差计内装有密度分别为ρa和ρb 的
互不相容两种指示剂。有微压差Δp 存在时，尽管两扩大 室液面高差很小以致可忽略不计，但U型管内却可得到一 个较大的R读数。
p1 − p2 = R(ρa − ρb )g
对一定的压差Δ p，R 值的大小与所用的指示剂密度差有 关，密度差越小，R 值就越大，读数精度也越高。
平面的大气条件见表3.1； （4）在高度11000米以下，气温随高度呈
直线变化，每升高1米，气温下降 0.0065度； （5）在约11000~24000米范围内，气温保 持不变，此时的温度为216.7K。
化工流体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘志军 2007年3月~6月
性能参数 温度 压力 密度 粘度
运动粘度 音速
海平面条件
符号 SI 单位制的数值
T
288.15K
p
101325Pa
ρ
1.225kg/m3
μ
1.7932×10-5kg/m.s
ν
1.4638×10-5m2/s
c
340.429m/s
化工流体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘志军 2007年3月~6月
对流层：0~11km； 同温层：11-24km； 中间层：24~85km； 电离层：85~800km； 大气外层：大于800km
神舟六号的运行轨道：倾 角42.4度；近地点高度 200km，远地点高度347km 的椭圆形轨道；飞行进入 第五圈后实施变轨，变轨 后进入343km高度的圆轨道 ——大气的电离层。
化工流体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘志军 2007年3月~6月
3-3 绝对压强和表压
• 如果基准面是真空， 测得的压力成为绝对 压强。
整理后，得
压强梯度
化工流体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘志军 2007年3月~6月
压力梯度是单位体积上由压强所产生的表面力的 负值。可以看出：在计算表面净剩压力时，压强 本身的大小不很重要，重要的是压强随着距离的 变化率，也就是压强梯度。
表面力+质量力
化工流体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘志军 2007年3月~6月
1. 压力的测量
② 倾斜U型管压差计
pa = p1
pb = p2 + R′sinαρb g
pa = pb
a
b
Δp = p1 − p2 = R′sinαρb g
R′ = Δp =
100
= 0.0232 m
sinαρbg 879 × 9.8 × sin 30
1. 压力的测量
③ 微压差计
pa = p1+(h + R′′)ρb g pb = p2 + hρb g + R′′ρa g
3 流体静力学
教材（中册）：C1 流体平衡 P2-P30 流体静力学是研究流体相对某一参考系