一个n位数平均有多少个单调区间？
单调区间的计算方法
单调区间的计算方法
单调区间的计算方法主要有以下几种：
1. 定义法：利用单调性的定义，判断并证明单调性，求单调区间。
2. 图像法：对于能作出图像的函数，可以通过观察图像确定函数的单调区间。
具体步骤为：作出函数图像，由单调性的几何意义划分增减区间，最后写出单调区间。
3. 利用函数的性质：如函数的奇偶性与单调性的关系。
4. 利用复合函数的单调性：即“同增异减”。
5. 利用导数：可以直接利用导数求单调区间。
6. 直接法：对于我们所熟知的一次函数、二次函数、反比例函数等，可以根据它们的特征，直接求出单调区间。
这些方法各有特点，具体使用哪种方法，需要根据具体的问题和条件来决定。
高等数学科学出版社答案
高等数学科学出版社答案【篇一：第一章习题答案科学教育出版社高数答案(惠院)】txt>习题1-11．求下列函数的自然定义域：x3(1)y?? 21?xx?1arccos； (3) y?解：(1)解不等式组?(2) y?arctan1x3x?1?(4) y??. ?3 , x?1?x30得函数定义域为[?3,?1)?(?1,1)?(1,??); 21x03x20(2)解不等式组?得函数定义域为[?;x?0x?1??1??1?(3)解不等式组?得函数定义域为[?5,?2)?(3,6]; 52??x?x?6?0(4)解不等式x?1?0得函数定义域为[1,??).2．已知函数f(x)定义域为[0,1]，求ff(cosx),f(x?c)?f(x?c) (c?0)义域．解：因为f(x)定义域为[0,1]220xc11当?时，得函数f(x?c)?f(x?c)定义域为：（1）若c?，x??c,1?c?；（2）0?x?c?12?若c?3．设f(x)?1?x?a?1,a?0,求函数值f(2a),f(1)． x2?|x?a|?1?a?x?1，则 x2?|x?a|?的定111，x?；（3）若c?，x??． 222解：因为f(x)?f(2a)?1?a?1??0 ,a1,1??a?1f(1)?1??1??，2 ,0a1． 12?a?14a2?a?2a24. 证明下列不等式:(1) 对任何x?r有 |x?1|?|x?2|?1;1(2) 对任何n?z?有 (1?1)n?1?(1?1)n;n?1n(3) 对任何n?z?及实数a?1有 an?1?a?1.n证明：（1）由三角不等式得|x?1|?|x?2|?|x?1?(x?2)|?1 （2）要证(1?1)n?1?(1?1)n，即要证1?1?n?1n1n?1(1?得证。
111)?(??))11 ?1?n?1n?1（3）令h?a?1，则h?0，由bernouli不等式，有a?(1?h)?1?nh?1?n(a?1)n1n1n所以a?1。
新教材高中数学3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性课件新人教A版必修第一册
答案
题型四 复合函数的单调性 例 4 求函数 f(x)＝8－21x－x2的单调区间．
[证明] (1)根据题意，令 m＝0，可得 f(0＋n)＝f(0)·f(n)． ∵f(n)≠0，∴f(0)＝1. (2)由题意知 x>0 时，0<f(x)<1， 当 x＝0 时，f(0)＝1>0， 当 x<0 时，－x>0，∴0<f(－x)<1. ∵f[x＋(－x)]＝f(x)·f(－x)， ∴f(x)·f(－x)＝1， ∴f(x)＝f－1 x>0. ∴∀x∈R，恒有 f(x)>0.
数(decreasing function)．
知识点三
单调区间
如果函数 y＝f(x)在区间 D 上__□0_1_单__调__递__增___或_□_0_2_单__调__递__减___，那么就说
函数 y＝f(x)在这一区间具有(严格的)__□0_3__单__调_性_____，__□0_4__区__间__D____叫做 y
7．图象变换对单调性的影响 (1)上下平移不影响单调区间，即 y＝f(x)和 y＝f(x)＋b 的单调区间相同． (2)左右平移影响单调区间．如 y＝x2 的单调递减区间为(－∞，0]；y＝(x ＋1)2 的单调递减区间为(－∞，－1]． (3)y＝k·f(x)，当 k>0 时单调区间与 f(x)相同，当 k<0 时单调区间与 f(x)相 反．
导数小专题-----单调性的分类讨论
导数小专题----单调性的分类讨论函数的单调性是求函数极值，最值（值域），恒成立问题，零点与交点个数问题的基础，所以掌握好单调性是解决函数问题的第一步，它往往出现在压轴题的第一问，为人人必得分。
那么求单调性最难的一点就是含参函数的分类讨论，这是难点、重点、考点。
这类问题的难点在于学生不知道怎么讨论，或者讨论问题不全面，某种情况没有讨论到，这里总结了含参函数单调性的分类讨论的固定套路，学会之后，不存在不知道怎么讨论或者漏讨论的情况。
以下为讨论单调性固定套路（能解决绝大多数讨论单调性问题）:第一步：求定义域，函数离开定义域的讨论都是毫无意义的，求定义域要考虑4种情况（1）偶次根式，根号下整体大于0（2）分式，分母不等于0（3）对数函数，真数大于0（4）()tan ，（）整体不等于ππk +≠2第二步：求函数导数，令0)(,=x f ，解出它的根21,x x注意：先通分再因式分解，因式分解的好处在于方便于我们解根和判断导数正负第三步：如果两根，要考虑4种情况；如果一根只需要考虑第一种情况；如果解不出来根，也判断不出导数正负，那我们要求该函数的二阶导数，通过二阶导的正负得一阶导的单调性，从而得到最值。
（1）某一根不存在（主要考虑根不在定义域里），得到参数取值范围（2）21x x =，得到参数取值范围 （3）21x x >，得到参数取值范围（4）21x x <得到参数取值范围第四步：判断21,x x 把定义域分得每个区域导数的正负，导数大于0，单调增，导数小于0，单调减。
判断导数正负有以下三种方法：（1）数轴穿根法：主要用于导数中只有单一的高次函数或单一的对数指数函数，用得最多（2）函数图像法：主要适用于导数中有高次函数和对数指数函数的混合相乘的式子（3）区域判断法：只需要判断每个因式的正负第五步：综述：把讨论情况单调性相同的合并在一起。
综述是很多人容易忽略的一步，没有这一步，是要扣分的【例题详解】例1.（2011，浙江高考改编）设函数ax x x a x f +-=22ln )(，求)(x f 单调区间解：该函数定义域为），（∞+0（第一步：对数真数大于0求定义域） 令0)2)((2)(2'=+--=+-=x a x a x a x x a x f ，解得2,21a x a x -== （第二步，令导数等于0，解出两根21,x x ）（1）当0>a 时，)(,0)(),,0('x f x f a x >∈单调增，)(,0)(),,('x f x f a x <+∞∈单调减（第三步，1x 存在，2x 不存在得到0>a ；第四步数轴穿根或图像判断正负）（2）当0<a 时，1x 不存在)(,0)(),2-,0('x f x f a x >∈单调增，)(,0)(),,2-('x f x f a x <+∞∈单调减 （第三步，2x 存在，1x 不存在得到0<a 第四步数轴穿根或图像判断正负）（3）当0=a 时，)(,02)(),,0('x f x x f x <-=+∞∈单调减（第三步，21x x =得到0=a 第四步很显然-2x<0恒成立）综上可知：当0>a 时)(),,0(x f a x ∈单调增，)(),,(x f a x +∞∈ 单调减;当0<a )(),2-,0(x f a x ∈时,单调增，)(),,2-(x f a x +∞∈单调减；当0=a 时，)(),,0(x f x +∞∈单调减（第五步综述一定要有）小结：这是一道比较简单的分类讨论单调性，按照我们的步奏，就不会存在漏解的情况。
单调区间公式
单调区间公式
单调区间公式，是指在一个有序数列中，求出所有单调递增或单调递减的区间（连续的一段数列），并计算出这些区间的长度之和。
在一个长度为 n 的数列中，我们可以使用双指针法来求出所有单调递增或单调递减的区间。
具体做法为，设左指针为 l，右指针为r，且 l 初始值为 1，r 初始值为 2。
然后不断移动右指针 r，直到数列从 l 到 r 不再单调递增或单调递减。
此时，我们就找到了一个单调区间，并且其长度为 r-l。
接着，我们将左指针 l 移到 r-1 的位置，再次开始查找下一个单调区间，直到右指针 r 到达数列的末尾。
具体的伪代码如下：
l = 1, r = 2
res = 0 # 单调区间的长度之和
while r <= n:
if a[r] >= a[r-1] and status == 1: # 找到一个单调递增的区间
r += 1
elif a[r] <= a[r-1] and status == -1: # 找到一个单调递减的区间
r += 1
else: # 当不再单调递增或单调递减时，更新区间长度
res += r - l
l = r - 1
status = 1 if a[r] >= a[r-1] else -1
res += r - l # 处理最后一个单调区间
单调区间公式的时间复杂度为 O(n)，空间复杂度为 O(1)。
它的应用十分广泛，例如在滑动窗口算法中，就可以使用单调区间公式来计算窗口内的所有子区间。
n是什么数集
n是什么数集n是什么数集？n是函数在数列上唯一的数集，就像1在其他所有数列上一样，它在所有数列上都是唯一的数。
这是因为，所有的数列都是唯一的数集，也就是说，无论任何数列都是唯一的数集。
所以, n是集合中唯一的数集，可以是任何有集合的数列。
从某种意义上来说, n也是数列集中数量最多的数之一。
在很多数学语言中, n是由一个整数 n (n)所表示的所有函数集合的个数确定的，因此它也就被称为整数集群。
一、n是整数集我们知道,formula_1代表的是一个在1到 N个整数之间的整数集。
所以，如果有 n+1,我们就可以得到 n=1;如果有 n,我们就可以得到 n=1- n+1;如果没有 n,我们就可以得到 n=1。
这个集合可以有 n个不同含义的数列。
我们可以说,1的 n表示在它上面的任何数都是整数集；因为它就是整数集。
例如2-3在整数集里是1和 n,2 (0)是3的二进制整数解；而3、4、5和7都是1的整数集，所以4、6、7、8、9也是 n集。
所以说 n是一个整数集。
但是1并不等于 n。
就像2和2是一种集合中的数一样: n表示多个集合中一种重要信息整数部分是在整数集上所占比重最大的2个数之一。
比如2… n可以表示为1÷2+2+1=2,所以当2不等于1就可以得到 n这个数就是整数集了。
但是如果没有 n在那呢？我们又可以得出: n并不是1的唯一数集哦。
因此 n是一个整数集中最小的多项式，而它只有1等于1!这样做最好：我们要构造函数 n是1到n都可以得出 n=1这个数集的话，那么 n就是整数集（例如5-1=6);对于 n等于1的所有数都可以有 n种定义: n (n)=1;2;3;4;5等等形式都是整数集。
因此, n被定义为整数集(1> n)且在整数集中占重要地位的数是 n (n)。
所以下面我们来看一个简单的例子: n是一个整数集：当 n 是1时,2是一个整数集合；当 n是整数集时；当 n没有2和3-3时称为1整数集; n=1在这三种情况1、是不完全整数集4和5、6和75的二进制整数解，其中0表示所有的实数，是2不为1的整数集。
会求函数的单调区间其中多项式函数一般不超过三次PPT课件
3－2p－q＝0 1－p－q＝0
解得pq＝ ＝2－1
，∴f(x)＝x3－2x2＋x
由 f′(x)＝3x2－4x＋1＝0 得 x＝13或 x＝1
易得当 x＝13时 f(x)取极大值247
当 x＝1 时 f(x)取极小值 0.
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• 3．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则( )
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• 2．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图像与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、 极小值分别为( )
A.247，0 • [答案]C．A －247，0
B．0，247 D．0，－247
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• [解析] f′(x)＝3x2－2px－q • 由f′(1)＝0，f(1)＝0得
• 如图，设AD＝x(0<x<1)，则DE＝AD＝x， • ∴梯形的周长为x＋2(1－x)＋1＝3－x，
又 S△ADE＝ 43x2， ∴梯形的面积为 43－ 43x2，
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∴s＝433×x2－1－6xx＋2 9(0<x<1)，
∴s′＝－83 3×3x－1－1xx2－2 3，
令 s′＝0，得 x＝13或 3(舍去)，当 x∈(0，13)时，s′<0，
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由 f′(x)＝3ax2＋2(1－a)x＝0，得 x＝0 或 x＝2a3－a 1.
因为 a<0，所以
2a－1 3a >0.
所以 f′(x)在(－∞，0)，2a3－a 1，＋∞上小于 0，在
0，2a3－a 1上大于 0，所以
y
极
大
值
＝
f
2a－1 3a
＝
数列的单调有界准则
文档标题：聊聊数列的单调有界准则——让你一看就懂！正文：嘿，小伙伴们，今天咱们来聊聊一个数学里的好玩东西——数列的单调有界准则。
别一听“准则”俩字就头大，其实这玩意儿挺简单的，我保证让你一看就懂！首先，咱们得知道啥是数列。
数列嘛，就是一串数字按顺序排排队，比如1, 2, 3, 4, 5这样。
那么，啥是单调有界呢？别急，听我慢慢道来。
单调，就是这串数字要么一直往上涨，要么一直往下跌。
往上涨的叫单调递增，往下跌的叫单调递减。
比如说，1, 2, 3, 4, 5就是单调递增的，5, 4, 3, 2, 1就是单调递减的。
有界呢，就是这串数字有上有下，不能没完没了地涨或者跌。
比如1, 2, 3, 4, 5，最小是1，最大是5，这就叫有界。
那么，单调有界准则到底是啥呢？简单来说，就是一个数列如果既单调又有界，那它肯定会有一个极限。
啥是极限？就是这串数字一直往上涨或者往下跌，最后会越来越接近一个固定的数字。
举个例子，咱们班小明身高每年都比去年高1厘米，这就是一个单调递增的数列。
但是，小明总不能一直长个儿吧，总有个头吧？这个“总有个头”就是有界。
所以，小明的身高数列就是一个单调有界的数列。
最后，小明的身高会越来越接近一个固定的数字，这个数字就是他的极限身高。
好了，咱们再来总结一下单调有界准则的三个要点：1. 数列要单调，要么一直往上涨，要么一直往下跌。
2. 数列要有界，不能没完没了地涨或者跌。
3. 满足以上两个条件，这个数列就一定会有一个极限。
说了这么多，小伙伴们是不是觉得单调有界准则也没那么难懂呢？其实，数学里的很多知识都挺有意思的，只要你用心去发现，就能找到其中的乐趣。
好啦，今天咱们就聊到这里，下次再给你们讲讲数学里的其他好玩事儿！别忘了，数学其实挺有趣的，一起加油吧！。
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考虑这么一个14 位数02565413989732 ，如图所示，它的数字先逐渐变大，然后开始变小，再变大，再变小，再变大，再变小。
我们就说，它一共包含了 6 个单调区间。
我们的问题就是：一个n 位数平均有多少个单调区间？为了避免歧义，我们假设任意两位相邻的数字都不相同，因而像77765589911 这样的数我们就不考虑了。
另外，大家可能已经注意到了，我们允许这个n 位数以数字0 开头。
因而，更精确地说，我们的问题是：相邻数字都不相同的、允许以0 开头的所有n 位数当中，平均有多少个单调区间？
这个题目来自1987 年IMO 候选题。
让我们把所有这种n 位数的个数记作N 。
那么N 等于多少？这个n 位数的第一位有10 种选择，今后的每一位都只有9 种选择（因为要跟前一位不一样），因而n 位数一共有N = 10 · 9n-1个。
接下来，我们要求的就是，所有n 位数当中的所有单调区间一共有多少个。
我们换一种方法来累计这些单调区间：先算所有从第一位开始的单调区间，再算所有从第二位开始的单调区间，等等，最后算所有从第n 位开始的单调区间。
如果用r
i来表示所有从第i 位开始的单调
区间的数目，那么我们要求的平均单调区间数就是(r
1 + r2+ … + r n) / N ，也就
是r
1 / N + r2/ N + … + r n / N 。
注意到其中的每一项r i / N 其实就是从N 个合法的n 位数中任取一个后，存在以第i 位数打头的单调区间的概率。
因此，我们只需要求出这n 个概率值，加起来便是我们想要的答案了。
显然，r1 / N = 1 ，因为第一位数字必然会引领一个单调区间。
显然，r n / N = 0 ，因为最后一位数字不可能引领一个新的单调区间。
那么，对于其他的r i / N 呢？注意到，第i – 1 位、第i 位和第i + 1 位的大小关系一共可能有以下四种情况：
其中，只有第三种情况和第四种情况下，第i 位才会成为一个新的单调区间的开始。
为了计算这两种情况发生的概率，我们只需要算出情况 1 和情况 2 发生的概率，再用 1 来减即可。
情况 1 发生的概率有多大呢？三位数字串一共有10 · 92个（第一位有10 种选择，后面的每一位都只有9 种选择，因为要跟前一位不一样）。
为了得到递增的数字串，我们只需要选出三个不同的数字，然后把它们从小到大排列即可，这一共有C(10, 3) 种方法。
因此，情况 1 的发生概率就是C(10, 3) / (10 · 92) = 4/27 。
同理，情况2 的发生概率也是
4/27 ，两者加起来就是8/27 ；反过来，情况3 和情况4 出现的概率就是1 –8/27 = 19/27 了。
因此，我们最终要求的答案就是1 + 19/27 + 19/27 + … + 19/27 + 0 = 1 + (n – 2) · 19/27 。
这个结论还会引出很多有意思的问题。
在一个29 位数当中，平均会产生20 个单调区间。
我们似乎发现了一个很不合理的地方：这岂不意味着，平均每个单调区间的长度只有29/20 = 1.45 个数字吗？考虑到单调区间的长度不可能恰好是1.45 个数字，为了得到 1.45 这个平均长度，一定有些区间的长度比 1.45 小，有些区间的长度比 1.45 大。
有些区间的长度比 1.45 小，这不就意味着这些区间的长度为 1 吗？而一个区间的长度显然是不可能为 1 的。
怎么回事？
其实，29/20 = 1.45 这个算式是错的。
在这20 个单调区间中，除了最后一个区间以外，每一个区间的最后一个数与下一个区间的第一个数都是公共的。
因此，这个29 位数当中，有19 个数被重复使用了。
所以，在一个29 位数当中，单调区间的平均长度应该是(29 + 19) / 20 = 2.4 。
类似的，n 位数的单调区间的平均长度为(n + (19/27)(n – 2)) / (1 +
(19/27)(n – 2)) = (46n – 38) / (19n – 11) = (46 – 38/n) / (19 – 11/n) 。
当n 无穷大时，其极限为46/19 。