求函数的单调区间
单调区间的求法步骤
单调区间的求法步骤
《单调区间的求法步骤单调区间的求法步骤》
嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊单调区间的求法步骤。
这可是数学里挺重要的一块儿知识哦，别怕别怕，咱们一起轻松拿下它！
咱们先来说说第一步哈，那就是求函数的定义域。
这就好比你要去一个好玩的地方，得先知道能去的范围嘛。
比如说一个分式函数，分母不能等于零，不然就没意义啦。
这定义域就是咱们玩耍的场地，可不能搞错喽！
然后呀，咱们令导数等于零，求出导函数的零点。
这零点可重要啦，就像是路上的转折点。
找到它们，咱们就能更好地搞清楚函数的走势。
再然后呢，咱们以这些零点为分界点，把定义域分成几个小段。
这就像是把咱们的大场地分成了几个小区域。
接着，在每个小段里，咱们选一个数，代入导函数，看看是正还是负。
如果是正的，那这一段函数就是单调递增的；要是负的呢，这一段就是单调递减的。
这就好像是在每个小区域里探探路，看看是上坡还是下坡。
比如说，选个 1 代进去，发现导函数是正的，那这一段就是递增的，是不是挺有趣？
还有哦，咱们把单调递增和单调递减的区间都写出来，这可就算大功告成啦！
怎么样，小伙伴们，单调区间的求法步骤是不是也没有那么可怕呀？多练练，多琢磨琢磨，咱们就能轻松掌握，数学的世界也能变得好玩起来哟！加油加油，相信你们都能行！。
高中数学讲义：求函数的单调区间
函数的单调区间单调性是函数的一个重要性质，对函数作图起到决定性的作用，而导数是分析函数单调区间的一个便利工具。
求一个已知函数的单调区间是每一个学生的必备本领，在求解的过程中也要学会一些方法和技巧。
一、基础知识：1、函数的单调性：设()f x 的定义域为D ，区间I D Í，若对于1212,,x x I x x "Î<，有()()12f x f x <，则称()f x 在I 上单调递增，I 称为单调递增区间。
若对于1212,,x x I x x "Î<，有()()12f x f x >，则称()f x 在I 上单调递减，I 称为单调递减区间。
2、导数与单调区间的联系（1）函数()f x 在(),a b 可导，那么()f x 在(),a b 上单调递增()',()0x a b f x Þ"γ， 此结论可以这样理解：对于递增的函数，其图像有三种类型： ，无论是哪种图形，其上面任意一点的切线斜率均大于零。
等号成立的情况：一是单调区间分界点导数有可能为零，例如：()2f x x =的单调递增区间为[)0+¥，，而()'00f =，另一种是位于单调区间内但导数值等于零的点，典型的一个例子为()3f x x =在0x =处的导数为0，但是()0,0位于单调区间内。
（2）函数()f x 在(),a b 可导，则()f x 在(),a b 上单调递减()',()0x a b f x Þ"Σ，（3）前面我们发现了函数的单调性可以决定其导数的符号，那么由()',()x a b f x "Î，的符号能否推出()f x 在(),a b 的单调性呢？如果()f x 不是常值函数，那么便可由导数的符号对应推出函数的单调性。
求单调区间的方法
求单调区间的方法在数学中，单调区间是指函数在某个区间上是单调递增或者单调递减的区间。
在实际问题中，我们经常需要求解函数的单调区间，以便更好地理解函数的性质和行为。
本文将介绍几种常用的方法来求解单调区间。
一、导数法。
导数法是求解单调区间的常用方法之一。
对于给定函数$f(x)$，我们可以通过求解其导数$f'(x)$的符号来确定函数的单调性。
具体步骤如下：1. 求解函数的导数$f'(x)$；2. 找出导数$f'(x)$的零点，即解方程$f'(x)=0$；3. 将零点所在的区间进行划分，并在每个区间内取一个测试点$x_0$；4. 计算测试点$x_0$对应的导数值$f'(x_0)$，根据导数值的正负确定函数在该区间上的单调性。
二、二阶导数法。
在某些情况下，我们可以通过求解函数的二阶导数$f''(x)$来确定函数的单调区间。
具体步骤如下：1. 求解函数的二阶导数$f''(x)$；2. 找出二阶导数$f''(x)$的零点，即解方程$f''(x)=0$；3. 将零点所在的区间进行划分，并在每个区间内取一个测试点$x_0$；4. 计算测试点$x_0$对应的二阶导数值$f''(x_0)$，根据二阶导数值的正负确定函数在该区间上的凹凸性；5. 根据函数的凹凸性和一阶导数的符号确定函数的单调区间。
三、图像法。
图像法是一种直观的方法，通过观察函数的图像来确定其单调区间。
具体步骤如下：1. 绘制函数$f(x)$的图像；2. 通过观察函数图像，找出函数的上升区间和下降区间；3. 根据图像上升和下降的趋势确定函数的单调区间。
四、综合运用。
在实际问题中，我们通常需要综合运用以上方法来确定函数的单调区间。
例如，对于一个复杂的函数，我们可以先通过导数法找出函数的增减点，然后通过二阶导数法确定函数的凹凸性，最后通过图像法直观地确认函数的单调区间。
求函数单调区间的方法及几个常用结论
求函数单调区间的方法及几个常用结论要确定一个函数的单调区间，可以通过以下几种方法：1.分析函数的导数：如果一个函数在一些区间上的导数恒为正（负），则这个函数在该区间上是严格递增（递减）的。
通过求解函数的导数，可以确定函数的单调性。
对于可导函数，我们可以通过求导数的零点来确定函数的单调区间。
导数为正的区间是函数递增的区间，导数为负的区间是函数递减的区间。
2.分析函数的二阶导数：二阶导数表示函数的导数的导数。
如果一个函数在一些区间上的二阶导数恒为正（负），则该函数在这个区间上是凹的（凸的）。
通过求解函数的二阶导数，可以确定函数的拐点。
拐点可以将函数的区间分为凹和凸的两个部分，函数在凹部分是严格递增的，在凸部分是严格递减的。
3.利用函数的性质或图像：对于一些特定形式的函数，可以直接利用函数的性质或图像来判断函数的单调区间。
例如，对于多项式函数而言，函数的次数决定了函数的单调性。
如果一个多项式函数的次数为奇数，则函数是整个实数轴上的单调函数；如果一个多项式函数的次数为偶数，则函数是在一些区间上单调递增或单调递减。
4. 利用数学不等式：当函数定义域为实数时，我们可以通过利用一些数学不等式来判断函数的单调性。
例如，对于二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，如果$a > 0$，则函数是开口向上的，函数的单调区间为$(-\infty,+\infty)$；如果$a < 0$，则函数是开口向下的，函数的单调区间为$(+\infty,-\infty)$。
在实际应用中，经常会用到以下几个常用结论：1.定义：如果函数$f$在开区间$(a,b)$上单调递增，且在$x=a$和$x=b$处的极限分别存在，则$f$在闭区间$[a,b]$上连续。
2.定理1：如果函数$f$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$上可导，且在开区间$(a,b)$上导数恒为零，则$f$在闭区间$[a,b]$上的函数值都相等。
函数的单调区间怎么求
函数的单调区间怎么求
一：函数单调区间的求法：
（1）图像法
对于能作出图像的函数，我们可以通过观察图像确定函数的单调区间，即第一步作出函数图像，二是由单调性的几何意义划分增减区间，最后一步写出单调区间。
注意：当函数递增或递减区间由几个区间组成时，一般情况下不能取它们的并集，而应该用“和”、“或”连接。
（2）定义法
有些函数如果不能作出函数图像来观察出单调区间，可以用定义法来求其单调区间，即首先可以设X1、X2为该区间内任意的两个值，且X1小于X2，其次作差，令F（X1）-F（X2），并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形。
（3）直接法
对于我们所熟知的一次函数、二次函数、反比例函数等，可以根据它们的特征，直接求出单调区间
（4）复合函数单调性的确定
二：求函数最值的方法
（1）函数的最值
（2）利用函数图像求最值
利用函数图像是函数求最值的常用方法，其步骤如下：
（3）利用函数单调性求最值
函数的最值与单调性的关系：
若函数在区间[a,b]上是减函数，则f(x)在[a,b]上的最大值为f(a),最小值为f(b)；若函数在区间[a,b]上是增函数，则f(x)在[a,b]上的最大值为f(b),最小值为f(a).。
求复合函数的单调区间
c g ( x1 ) g ( x 2 ) b
又y f (u)在(c, d )上为增函数
即c u1 u2 d
即f [ g ( x1 )] f [ g ( x2 )] y f [ g ( x)]在(a, b)上为增函数
f (u1 ) f (u2 )
例1: 已知函数f (x)在R上是增函数，g(x)在[a,b]上是减 函数，求证：f [g(x)]在[a,b]上是减函数.
0 0.4 1
f ( x) log
0.4
y log 0.4 t是减区间。
x
2
4 x 3的单调递增区间为 2,3 ,
单调递减区间为1, 2 。
拓展1：判断函数f ( x) log
2
拓展2：判断函数f ( x) log
a
x
x 2 4 x 3 的单调性。
y u是定义域内是的单调递增函数。
又u x 2 1在 2,3 上是减函数。
2
y x 2 4 x 3在 2,3 上是减函数。
故函数y x 2 4 x 3的单调递减区间为 2,3。
问 你 求 函 ： 能 出 数
y x 2 4 x 3的 调 增 吗 单 递 区 ？
函数，记为y=f(u),u 又是x 的函数，记为u=g(x),且g(x)的值域与f(u)的 定义域的交集不空，则确定了一个y关于x 的函y=f[g(x)],这时y叫x的复合函数，其中 u叫中间变量，y=f(u)叫外层函数，u=g(x) 叫内层函数。x
u
y
y ax2 bx c(a 0)
O
x
b 2a
x
正弦函数的单调区间公式
正弦函数的单调区间公式首先要记住f(x)=sinx的单调增区间是x∈[2kπ-π/2,2kπ+π/2],单调减区间是x∈[2kπ+π/2,2kπ+3π/2],k∈Zf(x)=cosx的单调增区间是x∈[2kπ-π,2kπ],单调减区间是x∈[2kπ,2kπ+π],k∈Z遇到复合函数时,把ωx+φ看作一个整体,以余弦函数为例,函数简化为f(x)=Asin α由于单调区间和A没有关系,所以单调增区间为α∈[2kπ-π,2kπ],k∈Z这时把α=ωx+φ带回,有ωx+φ∈[2kπ-π,2kπ],k∈Z解得单调增区间为x∈[(2kπ-π-φ)/ω,(2kπ-φ)/ω],k∈Z举个例子：求f(x)=5sin(2x+π/4)的单调增区间f(x)的单调增区间为2x+π/4∈[2kπ-π/2,2kπ+π/2],k∈Z则2x∈[2kπ-3π/4,2kπ+π/4],k∈Z即x∈[kπ-3π/8,kπ+π/8],k∈Z扩展资料:单调区间是指函数在某一区间内的函数值y，随自变量x的值增大而增大（或减小）恒成立。
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间。
此时也说函数是这一区间上的单调函数。
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间。
此时也说函数是这一区间上的单调函数。
注：在单调性中有如下性质。
图例：↑（增函数）↓（减函数）↑+↑=↑两个增函数之和仍为增函数↑-↓=↑增函数减去减函数为增函数↓+↓=↓两个减函数之和仍为减函数↓-↑=↓减函数减去增函数为减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时都有f(x1)<f(x2)。
那么就说f(x)在这个区间上是增函数。
相反地，如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时都有f(x1)>f(x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数。
函数的单调性及单调区间
函数的单调性及单调区间1．函数的单调性及单调区间【知识点的认识】一般地，设函数f （x ）的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2， 当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＜f （x 2），那么就说函数f （x ）在区间D 上是增函数；当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＞f （x 2），那么就说函数f （x ）在区间D 上是减函数．若函数f （x ）在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f （x ）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y ＝f （x ）的单调区间．【解题方法点拨】判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，那么①f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0⇔f （x ）在[a ，b ]上是增函数；f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0⇔f （x ）在[a ，b ]上是减函数．②（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＞0⇔f （x ）在[a ，b ]上是增函数；（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＜0⇔f （x ）在[a ，b ]上是减函数．函数的单调区间，定义求解求解一般包括端点值，导数一般是开区间．【命题方向】函数的单调性及单调区间．是高考的重点内容，一般是压轴题，常与函数的导数相结合，课改地区单调性定义证明考查大题的可能性比较小．从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．。
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函数的单调区间单调性是函数的一个重要性质，对函数作图起到决定性的作用，而导数是分析函数单调区间的一个便利工具。
求一个已知函数的单调区间是每一个学生的必备本领，在求解的过程中也要学会一些方法和技巧。
一、基础知识：1、函数的单调性：设()f x 的定义域为D ，区间I D ⊆，若对于1212,,x x I x x ∀∈<，有()()12f x f x <，则称()f x 在I 上单调递增，I 称为单调递增区间。
若对于1212,,x x I x x ∀∈<，有()()12f x f x >，则称()f x 在I 上单调递减，I 称为单调递减区间。
2、导数与单调区间的联系（1）函数()f x 在(),a b 可导，那么()f x 在(),a b 上单调递增()',()0x a b f x ⇒∀∈≥，此结论可以这样理解：对于递增的函数，其图像有三种类型： ，无论是哪种图形，其上面任意一点的切线斜率均大于零。
等号成立的情况：一是单调区间分界点导数有可能为零，例如：()2f x x =的单调递增区间为[)0+∞，，而()'00f =，另一种是位于单调区间内但导数值等于零的点，典型的一个例子为()3f x x =在0x =处的导数为0，但是()0,0位于单调区间内。
（2）函数()f x 在(),a b 可导，则()f x 在(),a b 上单调递减()',()0x a b f x ⇒∀∈≤，（3）前面我们发现了函数的单调性可以决定其导数的符号，那么由()'f x在(),a b的单调性呢？如果()f x不x a b f x∀∈，的符号能否推出(),()是常值函数，那么便可由导数的符号对应推出函数的单调性。
（这也是求函数单调区间的理论基础）3、利用导数求函数单调区间的步骤（1）确定函数的定义域（2）求出()f x的导函数'()f x（3）令'()0f x的单调增（或减）f x>（或0<），求出x的解集，即为()区间（4）列出表格4、求单调区间的一些技巧（1）强调先求定义域，一方面定义域对单调区间有限制作用（单调区间为定义域的子集）。
另一方面通过定义域对x取值的限制，对解不等式有时会起到简化的作用，方便单调区间的求解（2）在求单调区间时优先处理恒正恒负的因式，以简化不等式（3）一般可令'()0f x>，这样解出的解集就是单调增区间（方便记忆），若()f x不存在常值函数部分，那么求减区间只需要取增区间在定义域上的补集即可(简化求解的步骤）（4）若'()0f x是定义域上的增函数，f x>的解集为定义域，那么说明()若'()0f x>的解集为∅，那么说明没有一个点切线斜率大于零，那么()f x是定义域上的减函数（5）导数只是求单调区间的一个有力工具，并不是唯一方法，以前学过的一些单调性判断方法也依然好用，例如：增+增→增，减+减→减，()1-⨯增→减，复合函数单调性同增异减等。
如果能够通过结论直接判断，那么就无需用导数来判定。
5、求单调区间的一些注意事项（1）单调区间可以用开区间来进行表示，如果用闭区间那么必须保证边界值在定义域内。
例如函数1y x =的单调减区间为()()0,,,0+∞-∞，若写成[)0,+∞就出错了（0不在定义域内）（2）如果增（或减）区间有多个，那么在书写时用逗号隔开，一定不要用并集的符号。
有些同学觉得不等式的解集是多个部分时用“”连接，那么区间也一样，这个观点是错误的。
并集是指将两个集合的元素合并到一起成为一个集合，用在单调区间上会出现问题。
依然以1y x =为例，如果写成()()0,,0+∞-∞，那么就意味着从合并在一起的集合中任取两个变量，满足单调减的条件。
由1y x =性质可知，如果在()()0,,,0+∞-∞两个区间里各取一个，是不满足单调减的性质的。
6、二阶导函数的作用：①几何意义：导数的符号决定原函数的单调性，对于()"f x 而言，决定的是()'f x 的单调性。
当()''0f x >时，()'f x 单调递增，意味着()'f x 随x 的增大而增大，由于导数的几何意义为切线斜率，故切线斜率k 随x 的增大而增大；同理，当()''0f x <时，()'f x 单调递减，则切线斜率k 随x 的增大而减少。
那么在图像上起到什么作用呢？单调增有三种： 其不同之处在于切线斜率随自变量变大的变化不同，所以如果说()'f x 是决定函数单调性的，那么()''f x 在已知单调性的前提下，能够告诉我们是怎样增，怎样减的，进而对作图的精细化提供帮助。
（1）当()"0f x >，其图像特点为： 我们称这样的函数为下凸函数（2）当()"0f x <，其图像特点为： 我们称这样的函数为上凸函数②代数意义：当通过()'f x 无法直接判断符号时，可通过二阶导函数先确定一阶导函数的单调性，再看能否利用条件判断符号。
二、典型例题：例1：下列函数中，在()0,+∞上为增函数的是（ ）A. ()sin2f x x =B. ()x f x xe =C. ()3f x x x =-D. ()ln f x x x =-+思路：本题只需分析各个函数在()0,+∞上的单调性即可。
A 选项()sin2f x x =通过其图像可知显然在()0,+∞不单调；B 选项()()'1x x x f x e xe x e =+=+，当()0,x ∈+∞时，()'0f x >，所以()f x 在()0,+∞单调递增；C 选项()231=3f x x x x ⎛=--+ ⎝⎭⎝⎭‘可得()f x 在⎛ ⎝⎭单调递减，在3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增；D 选项()'111x f x x x -=-+=，可得()f x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减。
综上，B 符合条件答案：B例2：函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是（ ）A. ()0,+∞B. (),0-∞C. ()2,+∞D.(),2-∞-思路：先分析()f x 的定义域：()()240,22,x x ->⇒∈-∞-+∞，再观察解析式可得()f x 可视为函数212log ,4y t t x ==-的复合函数，根据复合函数单调性同增异减的特点，可分别分析两个函数的单调性，对于12log y t=而言，y 对t 是减函数。
所以如要求得增区间，则24t x =-中t 对x 也应为减函数。
结合定义域可得()f x 的单调增区间为(),2-∞- 答案：D例3：求函数()()32333x f x x x x e -=+--的单调区间（2009宁夏，21题（1）） 思路：第一步：先确定定义域，()f x 定义域为R ，第二步：求导：()()'232()363333x x f x x x e x x x e --=+--+-- ()()()3933x x x x e x x x e --=--=--+,第三步：令'()0f x >,即()()330x x x x e ---+>第四步：处理恒正恒负的因式，可得()()330x x x -+<第五步：求解()()3,03,x ∈-+∞,列出表格例4：求函数()()ln ln 2f x x x x =+-+的单调区间解：定义域()0,2x ∈()()()()(()2'221121=2222x x x x x x x f x x x x x x x x x -+-++--=++==----()0,2x ∈20,0x x ∴-<+>∴令导数()'0f x >解得：0x x -<⇒<式的过程）∴例5：求函数()2f x =的单调区间 解：()()122'32112ln ln ln 4ln 122x x x x x x f x x x -⋅-==⋅ 令()'0f x >，即解不等式()ln ln 40x x -<，解得40ln 41x x e <<⇒<< ()f x ∴的单调区间为例6：求函数()1ln f x x x =--的单调区间思路：函数还有绝对值，从而考虑先通过分类讨论去掉绝对值，在求导进行单调性分析解：()1ln ,11ln ,01x x x f x x x x -->⎧=⎨--<<⎩，当()0,1x ∈时，()1ln f x x x =--为减函数 当()1,x ∈+∞时，()'111x f x x x -=-=1x > ()'0f x ∴> ()f x ∴在()1,+∞单调递增综上所述：()f x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增小炼有话说：（1）对于含绝对值的函数，可通过对绝对值内表达式的符号进行分类讨论可去掉绝对值，从而将函数转变为一个分段函数。
（2）本题在()0,1x ∈时，利用之前所学知识可直接判断出()f x 单调递减，从而简化步骤。
导数只是分析函数单调性的一个工具，若能运用以前所学知识判断单调性，则直接判断更为简便例7：（1）若函数()()()1ln 10,01x f x ax x a x -=++≥>+在区间[)1,+∞单调递增，则a 的取值集合是__________（2）若函数()()()1ln 10,01x f x ax x a x-=++≥>+的递增区间是[)1,+∞，则a 的取值集合是___________解：（1）思路：()()()()2'22221111a ax a f x ax x ax x +-=-=++++，由()f x 在[)1,+∞单调递增可得：1x ∀≥，()()()()2'22201211ax a f x a x ax x +-=≥⇒+≥++。
2max211a x ⎛⎫∴≥= ⎪+⎝⎭ 1a ∴≥（2）思路：()f x 的递增区间为[)1,+∞，即()f x 仅在[)1,+∞单调递增。
令()'222020a f x ax a x a->⇒+->⇒>，若1a >，则()f x 单调递增区间为()0,+∞不符题意，若01a <≤，则x >时，()'0f x >。
所以11a =⇒= 答案：（1）1a ≥，（2）1a =小炼有话说：注意两问的不同之处，在（1）中，只是说明()f x 在区间[)1,+∞单调递增，那么()f x 也可以在其他区间单调递增，即[)1,+∞是增区间的子集。