求正余弦函数的单调区间
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
正弦、余弦函数的单调性
例1 不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0： (1) sin(
) – sin( 18
10
)
解： 2 10 18 sin(
5
2
又 y=sinx 在[
)
10
) < sin(
18
即：sin( 18 ) – sin( 10 )>0
正弦、余弦函数的奇偶性
一般的，对于函数f(x)的定义域内的任 意一个x，都有f(-x) ＝ f(x)，则称f(x)为这一 定义域内的偶函数。
关于y轴对称
cos(-x)= cosx (xR)
y
1 -4 -3 -2 -
y=cosx (xR) 是偶函数
o
-1
2
3
4
5
6
x
正弦、余弦函数的奇偶性
+2k, +2k],kZ 上单调递减 2 2 3 [ +2k , +2k],kZ上单调递增 函数在 2 2
3 8 8 3 3 7 2k 2 x 2k k x k 2 4 2 8 8 3 所以：单调增区间为 [k , k ] 8 8 3 7 , k ] 单调减区间为 [k 8 8 k x k
1 2k x 2k 2 3 4 2
正弦、余弦函数的单调性
(5) y = -| sin(x+ )| 4 解： 令x+ =u , 则 y= -|sinu| 大致图象如下： 4
y 1
y=|sinu|
2
2
3 2
正弦余弦函数的性质
y=sinu y=|sinu|
2 3 x [k , k ], k Z y为增函数 4 4 x [k , k ], k Z y为减函数 4 4
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
小 结：
奇偶性 [ 正弦函数 奇函数 单调性（单调区间）
+2k, +2k],kZ 单调递增 2 2 3 [ +2k, +2k],kZ 单调递减 2 2
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
例1 不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0： (1) sin(
) – sin( 18
10
)
解： 2 10 18 sin(
5
2
又 y=sinx 在[
)
10
) < sin(
18
即：sin( 18 ) – sin( 10 )>0
17 cos( 17 )=cos 4 4
, ] 上是增函数 2 2
(2) cos( 23 ) - cos( 解： cos( 23 )=cos 23 5 5
0
) - cos( 从而 cos( 23 5
17 ) 4
=cos
cos
3 5
4
<cos 4
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
y=sinx
；/ 小程序制作 微信小程序制作；
给送到了姑素家大长老大夫人那里,由她带晴文婷给带大了."
正余弦函数的单调性和最值练习
∴sin－π 12＜sin －π 18， ∴g－π 12＜g－π 18， ∴f－π 18＞f－π 12.
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数学 必修4
第一章 三角函数
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[规律方法] 求三角函数值域或最值的常用方法
(1)可化为单一函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 或 y＝Acos(ωx＋φ)＋k 的最大值为|A| ＋k，最小值为－|A|＋k(其中 A，ω，k 为常数，A≠0，ω≠0)．
(2)可化为 y＝Asin2x＋Bsin x＋C 或 y＝Acos2x＋Bcos x＋C(A≠0)的最大、最小 值，利用二次函数在区间[－1,1]上的最大、最小值的求法来求．(换元法)
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第一章 三角函数
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◎ 变式训练 3.若函数 y＝a－bcos x(b＞0)的最大值为32，最小值为－12，求函数 y＝－4acos bx 的最值和最小正周期.
第一章 三角函数
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解析： (1)∵函数 f(x)＝sin x－1 与 g(x)＝sin x 的单调区间相同， ∴f(x)＝sin x－1 的增区间为 2kπ－π2 ，2kπ＋π2 (k∈Z). 减区间为2kπ＋π2 ，2kπ＋32π(k∈Z).
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第一章 三角函数
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[思想方法] 三角函数相关的恒成立问题 ◎若cos2θ＋2msin θ－2m－2＜0恒成立，求实数m的取值范围. 【分析】 本题主要考查三角函数的性质与一元二次不等式的知识，可将原 不等式化为sin2θ－2msin θ＋2m＋1＞0，令sin θ＝t，由于－1≤sin θ≤1，故－1≤t≤1 ，只要求出使函数f(t)＝t2－2mt＋2m＋1(－1≤t≤1)的最小值大于0的m的取值范围 即可.
正弦,余弦函数的单调性和奇偶性[优质ppt]
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这一定义域内的偶函数。偶函数的图像关于 y
轴对称。
定义：一般地，如果对于函数 f ( x)的定义
域内的任意一个 x都 f(x)f(x),则称 f (x)
为这一定义域内的奇函数。奇函数图像关于原 点对称。
x 注意：1、 是任意的
2.奇函数，偶函数的定义域必须关于原点对称
正弦、余弦函数的性质
（奇偶性、单调性）
X
知识回顾 y
1
3 5 2
2 3
2
2
O 3 2 5 3 x
2
2
2
1
y=sinx (xR) 定义域 xR
值 域 y[ - 1, 1 ]
y=cosx (xR) 周期性 T = 2
y
1
3 5 2
x( , )
x( , )
且f(x)(x)si nx)(
且f(x)1si nx)(
xsinx
1sin x
f (x)
f(x)f(x)且 f(x)f(x)
函数 yxsinx是偶函数 y 1sinx是非奇非偶函数
判断下列函数的 （ 1）yxsinx
再观察正弦函数图像
y
1
3 5 2
2 3
2
2
O 3 2 5 3 x
2
2
2
1
正弦函数 ysinx在
在每个闭区间 [2k,2k]k (Z)上是增函数，
22
其函数值从-1增大到1
在每个闭区间 [2k,32k](kZ)是减函数，
其关于原点的对称点 P'(x,sinx) ， 由诱导公式 sinx()sixn, 即 P'(x,sinx()) 故P '也在正弦函数的图像上。
1.4.2 正弦 余弦函数的性质(单调性、最值)
3 5 对称中心： ( ,0),( ,0),( ,0),( ,0) 2 2 2 2
2
k ,0) k Z
1 例5:求函数 y sin( x ) 的单调递增区间: 2 3
解:
2
1 y sin x 3 2
y sin z
2k z
余弦函数的单调性
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
cosx
-
-1
…
2
…
0
1
…
2
…
-1
0
0
y=cosx (xR) 增区间为 [ +2k, 2k],kZ + ], kZ 减区间为 [2k, 2k， 其值从-1增至1 其值从 1减至-1
y cos x
3 5 2
2
y
1
任意两相邻对称轴 ( 或对称中心 ) 的间距为 3 2 O 5 x 3 半个周期；
2
2
1
2
2
3
2
对称轴与其相邻的对称中心的间距为
对称轴：x
,0, , 2
四分之一个周期.
(
x k , k Z
o
-1
2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR) cos(-x)= cosx (xR)
高中数学三角函数的单调性知识分析
高中数学三角函数的单调性知识分析卢玉玺(安徽省临泉第二中学㊀２３６４００)摘㊀要:纵观近几年的高考数学卷ꎬ我们不难发现三角函数这部分的知识已经成为了数学高考中的一大 风景点 .但是在实际解题中ꎬ很多学生对这部分知识中的应用能力并不特别强.因此ꎬ本文中将以 三角函数中的单调性 类题目的解法为例ꎬ与同学们一起寻找此类题目的解题规律.关键词:高中数学ꎻ三角函数ꎻ单调性中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)１３－００２４－０２收稿日期:２０２０－０２－０５作者简介:卢玉玺(１９７９.１２－)ꎬ男ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀一㊁正弦函数的单调区间在高中数学的学习中ꎬ函数问题较为常见ꎬ其中三角函数作为同学们整个高中阶段函数学习的重点更是具有着不容忽视的地位ꎬ在三角函数类的解题中ꎬ以正弦函数的单调性类题目为例ꎬ为更好求解正弦函数的单调区间我们就可以借助诱导公式的方法.例１㊀求函数ｙ＝ｓｉｎ(π３－２ｘ)的单调区间.思路分析㊀分析题目ꎬ我们可以发现ꎬ此题中函数的ω<０ꎬ因此在本题中我们就可以先利用诱导公式将函数中ｘ的系数化为正值ꎬ然后再根据正弦函数的单调区间求出此题答案.根据这一思路我们就可以将原函数转化为ｙ＝－ｓｉｎ(２ｘ－π３)ꎬ此时所求函数的增区间就是ｙ＝ｓｉｎ(２ｘ－π３)的减区间ꎻ所求函数的减区间就是ｙ＝ｓｉｎ(２ｘ－π３)的增区间.之后ꎬ再根据正弦函数的单调区间求法ꎬ我们就可以得到２ｋπ＋π２ɤ２ｘ－π３ɤ２ｋπ＋３π２(ｋɪＺ)ꎬ解得ｋπ＋５π１２ɤｘɤｋπ＋１１π１２(ｋɪＺ).故所求函数的增区间为[ｋπ＋５π１２ꎬｋπ＋１１π１２](ｋɪＺ).同理ꎬ在求原函数的减区间时ꎬ我们也可以沿用这种思路ꎮ在本题中ꎬ通过分析ｙ＝ｓｉｎ(２ｘ－π３)的增区间ꎬ我们可知２ｋπ－π２ɤ２ｘ－π３ɤ２ｋπ＋π２(ｋɪＺ)ꎬ解得ｋπ－π１２ɤｘɤｋπ＋５π１２(ｋɪＺ).故所求函数的减区间为[ｋπ－π１２ꎬｋπ＋５π１２](ｋɪＺ).方式评注㊀在求三角函数的单调区间时ꎬ当不好直接对题目进行分析时就可以先借助诱导公式对其变形处理ꎬ然后再根据相应原理进行解题分析ꎬ以此提高我们的解题效率ꎬ让我们更准确地找出问题的解答策略.㊀㊀二㊁正切函数的单调区间本部分中我将以数形结合思想为例ꎬ带领大家探究利用数形结合思想求正切函数单调区间的具体方法.例２㊀求函数ｙ＝ｔａｎ｜ｘ｜的单调区间.思考方式:我们可以发现题目中的正切函数是一个绝对值函数ꎬ因而在此题中我们就可以利用数形结合的方法进行求解.在解题中ꎬ我们可以先根据题目要求及已有数学经验作出ｙ＝ｔａｎ｜ｘ｜的函数图象ꎬ因为函数ｙ＝ｔａｎ｜ｘ｜是一个偶函数ꎬ所以它的图象应该关于ｙ轴对称.通过作图分析的方式我们可以知道:当ｘ>０时ꎬｙ＝ｔａｎｘꎬ其增区间为(０ꎬπ２)ꎬ(ｋπ－π２ꎬｋπ＋π２)ꎬｋɪＮ∗ꎻ当ｘ<０时ꎬｙ＝－ｔａｎｘꎬ其减区间为(－π２ꎬ０)ꎬ(ｋπ－３π２ꎬｋπ－π２)ꎬｋ为非正整数.故此题的答案应为:ｙ＝ｔａｎ｜ｘ｜的增区间为(０ꎬπ２)ꎬ(ｋπ－π２ꎬｋπ＋π２)ꎬｋɪＮ∗ꎻ减区间为(－π２ꎬ０)ꎬ(ｋπ－３π２ꎬｋπ－π２)ꎬｋ为非正整数.方式评注㊀在三角函数的单调性类题目中这种图象４２解题的方法较为常见ꎬ在如例题中的题目里ꎬ同学们就可以利用图象的方法ꎬ通过作图分析ꎬ从左到右观察图象ꎬ按照 图象中呈上升趋势的区间为增区间㊁呈下降趋势的区间为减区间 这一理念进行题目求解.㊀㊀三㊁余弦函数的单调区间三角函数的单调性部分是三角函数的主要性质之一ꎬ本部分中ꎬ我将与同学们一起探索余弦函数的单调区间求取方法.例３㊀求函数ｙ＝ｃｏｓ(２ｘ＋π６)的单调区间.思考方式㊀本题中的函数是一个余弦函数ꎬ我们可以利用余弦函数的单调性进行求解.在解题过程中我们可以先将２ｘ＋π６看成一个整体ꎬ然后根据余弦函数的单调增区间求解方法就可以得到２ｋπ－πɤ２ｘ＋π６ɤ２ｋπ(ｋɪＺ)ꎬｋπ－７π１２ɤｘɤｋπ－π１２(ｋɪＺ).故所求函数ｙ＝ｃｏｓ(２ｘ＋π６)的增区间应为[ｋπ－７π１２ꎬｋπ－π１２](ｋɪＺ).在求函数的单调递减区间时ꎬ我们也可以用这种方法ꎬ先将２ｘ＋π６看成一个整体ꎬ然后通过对题目的分析可得２ｋπɤ２ｘ＋π６ɤ２ｋπ＋π(ｋɪＺ)ꎬｋπ－π１２ɤｘɤｋπ＋５π１２(ｋɪＺ).故所求函数ｙ＝ｃｏｓ(２ｘ＋π６)的减区间应为[ｋπ－π１２ꎬｋπ＋５π１２](ｋɪＺ).方式评注㊀对于一些比较复杂的函数ꎬ同学们就可以使用这种方法先将原函数中的式子视为一个整体ꎬ然后再利用相关定理求解.总之ꎬ在高中数学中三角函数的单调性部分的解题过程中ꎬ同学们应该注意挖掘典型题目的具体特征ꎬ并不断总结㊁不断反思ꎬ以期形成一套完整的数学解题思路ꎬ并合理地通过知识迁移及相关题目的变式练习将自己的思路运用到实际解题中ꎬ以此达到事半功倍的学习效果.㊀㊀参考文献:[１]孙月.对高中函数单调性的解析策略研究[Ｊ].新课程(中学)ꎬ２０１５(１０):６８.[２]张先龙ꎬ肖凌戆.基于数学核心素养的教学设计 以函数的单调性新授课为例[Ｊ].中学数学教学参考ꎬ２０１７(ｚ１):１６－１９.[责任编辑:李㊀璟]一题多解一题多变在切线方程中的运用探究伍锡浪(江西省九江第一中学㊀３３２０００)摘㊀要:本文通过对２０１３年高考数学山东卷理科第２２题的研究ꎬ引发了对圆锥曲线的切线方程的探究ꎬ体现了导数的工具性作用ꎬ进一步表明了数学教学中应提倡一题多解一题多变的探究ꎬ从而大力提高学生的探索能力和创造能力.关键词:一题多解ꎻ一题多变ꎻ圆锥曲线ꎻ切线方程ꎻ斜率ꎻ导数中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)１３－００２５－０２收稿日期:２０２０－０２－０５作者简介:伍锡浪ꎬ江西省九江人ꎬ硕士ꎬ高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.基金项目:江西省教育科学 十三五 规划２０１８年度ꎬ课题«一题多解一题多变在教学中的运用研究»编号:１８ＰＴＹＢ０３６㊀㊀«普通高中数学课程标准(实验)»指出: 学生的数学学习活动不应只限于接受㊁记忆㊁模仿和练习ꎬ高中数学课程还应倡导自主探究㊁动手实践㊁合作交流㊁阅读自学等学习数学的方式. 这就要求我们在教学中重在为学生创设良好的思维情境ꎬ让学生在自主探究和合作交流的过程中体验数学发现和创造的历程ꎬ学会研究问题㊁解决问题ꎬ做到举一反三㊁触类旁通.从而大力提高学生的探索能力和创造能力.㊀㊀一㊁真题铺路㊀引出课题(２０１３年高考数学山东卷理科第２２题)椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的左㊁右焦点分别为Ｆ１㊁Ｆ２ꎬ离心率为３２ꎬ过点５２。
三角函数的单调区间公式
三角函数的单调区间公式三角函数的单调区间公式1、在0°~90°，正弦函数y=sin x从0递增到1：2、在90°~180°，正弦函数y=sin x从1递减到0：3、在180°~270°，正弦函数y=sin x从0递减到-1：4、在270°~360°，正弦函数y=sin x从-1递增到0：5、在0°~90°，余弦函数y=cos x从1递增到0：6、在90°~180°，余弦函数y=cos x从0递减到-1：7、在180°~270°，余弦函数y=cos x从-1递增到0：8、在270°~360°，余弦函数y=cos x从0递增到1：9、在0°~90°，正切函数y=tan x从0递增到无穷大：10、在90°~180°，正切函数y=tan x从无穷大递减到0：11、在180°~270°，正切函数y=tan x从0递减到无穷大负值：12、在270°~360°，正切函数y=tan x从无穷负大增动0：在数学中，三角函数是一组非常重要的函数，它们需要更具体的说明，即相应的函数的单调区间的范围。
这些单调区间的范围，也就是函数y = sin x, y = cos x和y = tan x的单调区间是其中三种最常见的三角函数。
关于三角函数的单调区间的公式有一对数学的一对概念，它们是：1、函数的单调性：2、函数的极值点：具体到三角函数，它们的单调性指的是它们在某一区间上在增加或减小，而极值点指的是在某一区间上他们的值没有继续增加或减少了。
根据上述概念，三角函数的单调区间可以总结为：1、在0°~90°，正弦函数y=sin x从0递增到1：2、在90°~180°，正弦函数y=sin x从1递减到0：3、在180°~270°，正弦函数y=sin x从0递减到-1：4、在270°~360°，正弦函数y=sin x从-1递增到0：5、在0°~90°，余弦函数y=cos x从1递增到0：6、在90°~180°，余弦函数y=cos x从0递减到-1：7、在180°~270°，余弦函数y=cos x从-1递增到0：8、在270°~360°，余弦函数y=cos x从0递增到1：9、在0°~90°，正切函数y=tan x从0递增到无穷大：10、在90°~180°，正切函数y=tan x从无穷大递减到0：11、在180°~270°，正切函数y=tan x从0递减到无穷大负值：12、在270°~360°，正切函数y=tan x从无穷负大增动0：由于三角函数的单调性和极值点的关系，所以可以用来推导各种需要求解三角函数的实际问题中依据函数计算出函数值。
求三角函数的单调性的基本方法[推荐]
![求三角函数的单调性的基本方法[推荐]](https://img.taocdn.com/s3/m/e3a81160580102020740be1e650e52ea5518cefc.png)
求三角函数的单调性的基本方法[推荐] 三角函数的单调性是函数在其定义域内的特定区间内单调增加或减少的特性。
对于三角函数，如正弦函数(sine function)、余弦函数(cosine function)和正切函数(tangent function)，它们的单调性取决于其角度或弧度的值。
为了理解和确定三角函数的单调性，我们可以采用以下的基本方法：方法一：使用函数图像对于三角函数，其图像是理解其单调性的直观且有效的方式。
通过绘制函数的图像，我们可以清晰地看到函数在哪些区间内是单调增加或减少的。
例如，正弦函数的图像呈现了周期性的变化，其在每个周期内都有一段上升和下降的区间，这就是正弦函数的单调性。
方法二：利用三角恒等式和三角函数的性质除了观察图像，我们还可以利用三角恒等式和三角函数的性质来理解和确定函数的单调性。
例如，我们知道正弦函数在任何角度下都有定义，但在0到π/2（弧度）之间是单调增加的，而在π/2到π（弧度）之间是单调减少的。
这是因为正弦函数在这个范围内的导数（也就是变化率）是正的（增加）和负的（减少）。
方法三：利用导数判断对于一般函数，我们可以通过求导数来判断其单调性。
对于三角函数，我们也可以通过求导数来判断其单调性。
例如，我们可以求正弦函数的导数，然后观察其在哪个区间内为正（即函数在此区间内单调增加），在哪个区间内为负（即函数在此区间内单调减少）。
这种方法可以与第一种方法（使用函数图像）相互验证。
结论：理解和确定三角函数的单调性需要综合运用以上三种方法。
通过绘制函数图像、掌握三角恒等式和三角函数的性质、以及利用导数判断函数的单调性，我们可以更全面地理解三角函数的性质，从而更好地解决涉及三角函数的数学问题。
具体来说，我们可以按照以下步骤进行：1.首先，我们需要了解所研究的三角函数的定义和基本特性，例如正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域、值域和周期等。
2.其次，我们可以绘制出该函数的图像，通过观察图像的形状和变化趋势来初步判断其单调性。
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求正弦、余弦函数的单调区间
三维目标：
1、知识与技能
理解正弦函数、余弦函数的性质，并能在解题中应用。
2、过程与方法
根据正弦曲线和余弦曲线，总结出这两种函数的单调性，进一步体验“形”对“数”的体现作用。
3、情感、态度与价值观
感受数形结合思想的重要作用，养成多动手、多观察、勤思考、善总结的习惯。
教学重点
求正弦、余弦函数的单调区间
教学难点
求复合型正弦、余弦函数的单调区间
预习案
1、请在下列直角坐标系中分别画出y=sinx和y=cosx的图象
y=sinx y=cosx
1
2、观察两个函数的图象，分别写出函数的单调区间
（1）y=sinx的单调增区间为；
y=sinx的单调减区间为；（2）y=cosx的单调增区间为；
y=cosx的单调减区间为；
探究案
的单调增区间；
例题求函数y=sin x+π
6
的单调减区间；
变式1 求函数y=sin2x+π
6
的单调减区间；
变式2 求函数y=−sin2x+π
6
变式3 求函数y=sin −2x+π
6
的单调减区间；
变式4 求函数y=sin2x+π
6
在区间 −π，π 上的单调增区间；
变式5 求函数y=sin2x+π
6
+1区间 −π，π 上的单调区间；
习题案
1、使函数y=sin −2x+π
6
为增函数的区间是（）
A、0，π
3B、π
12
，7π
12
C、π
3
，5π
6
D、π
6
，π
2、函数y=3sin x−π
4
的一个单调递减区间是（）
A、 −π
4，π
2
B、 −π
4
，3π
4
C、 −3π
4
，π
4
D、 −5π
4
，−π
4
3、下列关于函数y=4sin x，x∈ −π，π 的单调性的叙述正确的是（B ）
A、在 −π，0上是增函数，在0，π 上是减函数
B、在 −π
2，π
2
上是增函数，在 −π，−π
2
及π
2
，π 上是减函数
C、在0，π 上是增函数，在 −π，0上是减函数
D、在 −π，−π
2及π
2
，π 上是增函数，在 −π
2
，π
2
上是减函数
3
4、求下列函数的单调区间
1y=cos（−2x+π）
2y=sin（2x−π4）
3y=cos 1
2
x−
π
6
，x∈ −π，π。