人教版高中数学必修4试题 1.4.2.2正、余弦函数的单调性与最值
1.4.2第2课时 正、余弦函数的单调性与最值 课件
第一章 三角函数
(4)确定含有正弦函数或余弦函数的较复杂函数的单调性时， 要注意使用复杂函数的判断方法来判断． 2．解析正弦函数、余弦函数的最值 (1)明确正弦、余弦函数的有界性，即|sin x|≤1，|cos x|≤1. (2)对有些函数，其最值不一定就是1或－1，要依赖函数的定 义域来决定． (3)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数求最值时，通常利 用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Asin z的 形式求最值．
第一章 三角函数
栏目 导引
第一章 三角函数
单调减区间为[34π＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)． 所以原函数 y＝2sin(π4－x)的单调增区间为[34π＋2kπ，74π＋ 2kπ](k∈Z)； 单调减区间为[－π4＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)．
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第一章 三角函数
【名师点评】 正弦、余弦函数单调区间的求解技巧： (1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采 用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调 区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x的系数转变为正数．
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第一章 三角函数
跟踪训练
1．求函数 y＝sin(π3－12x)，x∈[－2π，2π]的单调递增区间． 解：y＝sin(π3－12x)＝－sin(12x－π3)． 由 y＝sin x 与 y＝－sin x 的图象关于 x 轴对称可知，y＝sin x 的递增 区间就是 y＝－sin x 的递减区间．因此，要求 y＝－sin(12x－π3)的递 增区间，只要求出 y＝sin(12x－π3)的递减区间即可．
正、余弦函数的单调性与最值
比较三角函数值的大小 比较下列各组数的大小． (1)cos－253π与 cos－147π； (2)sin2 012°和 cos157°.
【思路探索】 利用诱导公式将异名三角函数转化为 同名三角函数，非同一单调区间的角，转化到同一单调区 间上，再利用函数的单调性比较．
【解】 (1)解法一： ∵cos－253π＝cos－6π＋75π＝cos75π， cos－147π＝cos－6π＋74π＝cos74π， ∵π<75π<74π<2π， 又 y＝cosx 在[π，2π]上单调递增， ∴cos75π<cos74π，
求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω≠0)或y＝Acos(ωx＋ φ)(A>0，ω≠0)的单调区间，一般将ωx＋φ视作整体，代入y ＝sinx或y＝cosx相关的单调区间所对应的不等式，解之即 得．这里实际上采用的是整体的思想，这是研究三角函数 性质的重要数学思想，一般地，ω<0时，y＝Asin(ωx＋ φ)(Aω≠0)变形为y＝－Asin(－ωx－φ)，y＝Acos(ωx＋ φ)(Aω≠0)变形为y＝Acos(－ωx－φ)，再求函数的单调区 间．所有的这些变形都是为了使x前面的系数为正值．同 时要注意A<0时单调区间的变化.
单调减区间为2kπ＋π6，2kπ＋76π. (2)函数 y＝2sinπ3－2x＝－2sin2x－3π，令 2kπ－2π≤2x －π3≤2kπ＋2π(k∈Z)，得 kπ－1π2≤x≤kπ＋152π(k∈Z)，∴函数 y＝2sin3π－2x的单调减区间为kπ－1π2，kπ＋152(k∈Z)．令π2 ＋2kπ≤2x－3π≤32π＋2kπ，k∈Z，解得152π＋kπ≤x≤1112π＋kπ， k∈Z，即原函数的单调递增区间为152π＋kπ，1112π＋kπ(k∈Z)．
正余弦函数的单调性和最值练习
∴sin－π 12＜sin －π 18， ∴g－π 12＜g－π 18， ∴f－π 18＞f－π 12.
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数学 必修4
第一章 三角函数
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[规律方法] 求三角函数值域或最值的常用方法
(1)可化为单一函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 或 y＝Acos(ωx＋φ)＋k 的最大值为|A| ＋k，最小值为－|A|＋k(其中 A，ω，k 为常数，A≠0，ω≠0)．
(2)可化为 y＝Asin2x＋Bsin x＋C 或 y＝Acos2x＋Bcos x＋C(A≠0)的最大、最小 值，利用二次函数在区间[－1,1]上的最大、最小值的求法来求．(换元法)
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◎ 变式训练 3.若函数 y＝a－bcos x(b＞0)的最大值为32，最小值为－12，求函数 y＝－4acos bx 的最值和最小正周期.
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解析： (1)∵函数 f(x)＝sin x－1 与 g(x)＝sin x 的单调区间相同， ∴f(x)＝sin x－1 的增区间为 2kπ－π2 ，2kπ＋π2 (k∈Z). 减区间为2kπ＋π2 ，2kπ＋32π(k∈Z).
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[思想方法] 三角函数相关的恒成立问题 ◎若cos2θ＋2msin θ－2m－2＜0恒成立，求实数m的取值范围. 【分析】 本题主要考查三角函数的性质与一元二次不等式的知识，可将原 不等式化为sin2θ－2msin θ＋2m＋1＞0，令sin θ＝t，由于－1≤sin θ≤1，故－1≤t≤1 ，只要求出使函数f(t)＝t2－2mt＋2m＋1(－1≤t≤1)的最小值大于0的m的取值范围 即可.
高中数学必修4三角函数常考题型：正弦函数、余弦函数的性质(二)
【知识梳理】正弦函数、余弦函数的性质 函数y ＝sin x y ＝cos x 定义域 R 值域[－1,1] 图像单调性 在⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z 上递增； 在⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π，k ∈Z 上递减 在[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z 上递增； 在[2k π，π＋2k π]，k ∈Z 上递减 最值 当x ＝－π2＋2k π，k ∈Z 时，y min ＝－1； 当x ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，y max ＝1 当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，y min＝－1； 当x ＝2k π，k ∈Z 时，y max ＝1 对称轴 x ＝π2＋k π，k ∈Z x ＝k π，k ∈Z 对称中心(k π，0)，k ∈Z ⎝⎛⎭⎫π2＋k π，0，k ∈Z 题型一、正、余弦函数的单调性【例1】 求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的单调区间． [解]令z ＝x －π3，则y ＝2sin z . ∵z ＝x －π3是增函数， ∴y ＝2sin z 单调递增(减)时，函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3也单调递增(减)． 由z ∈⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )， 得x －π3∈⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )， 即x ∈⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z )， 故函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的单调递增区间为 ⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z )．同理可求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的单调递减区间为 ⎣⎡⎦⎤2k π＋5π6，2k π＋116π(k ∈Z )． 【类题通法】与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧(1)结合正弦、余弦函数的图像，熟记它们的单调区间．(2)确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx ＋φ看作一个整体，可令“z ＝ωx ＋φ”，即通过求y ＝A sin z 的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x 的系数转变为正数．【对点训练】求函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递减区间．解：∵y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， ∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3是增函数时， y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 是减函数． ∵函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )上是增函数， ∴－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π， 即－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π(k ∈Z )． ∴函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π(k ∈Z ). 题型二、三角函数值的大小比较【例2】 比较下列各组数的大小：(1)sin 250°与sin 260°；(2)cos 15π8与cos 14π9. [解](1)∵函数y ＝sin x 在[90°，270°]上单调递减，且90°<250°<260°<270°，∴sin 250°>sin 260°.(2)cos 15π8＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－π8＝cos π8， cos 14π9＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－4π9＝cos 4π9. ∵函数y ＝cos x 在[0，π]上单调递减，且0<π8<4π9<π， ∴cos π8>cos 4π9，∴cos 15π8>cos 14π9. 【类题通法】比较三角函数值大小的方法(1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上．【对点训练】比较下列各组数的大小．(1)cos ⎝⎛⎭⎫－π8与cos 13π7； (2)sin 194°与cos 160°.解：(1)cos ⎝⎛⎭⎫－π8＝cos π8， cos 13π7＝cos ⎝⎛⎭⎫π＋6π7＝－cos 6π7＝cos π7. ∵0＜π8＜π7＜π，且y ＝cos x 在(0，π)上单调递减， ∴cos π8＞cos π7，即cos ⎝⎛⎭⎫－π8＞cos 13π7. (2)sin 194°＝sin (180°＋14°)＝－sin 14°，cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°.∵0°＜14°＜70°＜90°且y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增， ∴sin 70°＞sin 14°，即－sin 14°＞－sin 70°.故sin 194°＞cos 160°.题型三、正、余弦函数的最值问题【例3】 求下列函数的值域：(1)y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2； (2)y ＝cos 2x －4cos x ＋5.[解](1)由y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2可得 x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，函数y ＝cos x 在区间⎣⎡⎦⎤π6，2π3上单调递减，所以函数的值域为⎣⎡⎦⎤－12，32. (2)令t ＝cos x ，则－1≤t ≤1.∴y ＝t 2－4t ＋5＝(t －2)2＋1，∴t ＝－1时，y 取得最大值10，t ＝1时，y 取得最小值2.所以y ＝cos 2x －4cos x ＋5的值域为[2,10]．【类题通法】求三角函数值域的常用方法(1)求解形如y ＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b )的函数的最值或值域问题时，利用正、余弦函数的有界性(－1≤sin x ，cos x ≤1)求解．求三角函数取最值时相应自变量x 的集合时，要注意考虑三角函数的周期性．(2)求解形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (或y ＝a cos 2x ＋b cos x ＋c )，x ∈D 的函数的值域或最值时，通过换元，令t ＝sin x (或cos x )，将原函数转化为关于t 的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t ＝sin x (或cos x )的有界性．【对点训练】求函数f (x )＝2sin 2x ＋2sin x －12，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6的值域． 解：令t ＝sin x ，y ＝f (x )，∵x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6，∴12≤sin x ≤1，即12≤t ≤1. ∴y ＝2t 2＋2t －12＝2⎝⎛⎭⎫t ＋122－1，∴1≤y ≤72， ∴函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤1，72. 【练习反馈】1．函数y ＝2－sin x 的最大值及取最大值时x 的值为( ) A ．y max ＝3，x ＝π2B ．y max ＝1，x ＝π2＋2k π(k ∈Z ) C ．y max ＝3，x ＝－π2＋2k π(k ∈Z ) D ．y max ＝3，x ＝π2＋2k π(k ∈Z )解析：选C ∵y ＝2－sin x ，∴当sin x ＝－1时，y max ＝3，此时x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )． 2．下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 解析：选A 因为函数的周期为π，所以排除C 、D.又因为y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x 在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为增函数，故B 不符．只有函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数． 3．sin 3π5，sin 4π5，sin 9π10，从大到小的顺序为________． 解析：∵π2<3π5<4π5<9π10<π， 又函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤π2，π上单调递减，∴sin 3π5>sin 4π5>sin 9π10. 答案：sin 3π5>sin 4π5>sin 9π104．若y ＝a sin x ＋b 的最大值为3，最小值为1，则ab ＝________.解析：当a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝3，－a ＋b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝2.当a <0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，－a ＋b ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.答案：±25．求函数y ＝13sin ⎝⎛⎭⎫π6－x ，x ∈[0，π]的单调递增区间． 解：由y ＝－13sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的单调性， 得π2＋2k π≤x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 即2π3＋2k π≤x ≤5π3＋2k π，k ∈Z . 又x ∈[0，π]，故2π3≤x ≤π. 即单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2π3，π.。
人教版必修四1.4正弦函数余弦函数性质
(2) y sin z 的对称中心为 (k ,0) , k Z
z k
2x k
3
x k
62
对称中心为 ( k ,0) ,k Z
62
练习5
▪ 为函数 y sin(2x ) 的一条对称轴的是（ ）
3
A.x 4
3
B.x
2
C.x
12
D.x 0
1
3 5
2
2 3
练习3.求下列函数取最值时自变量x的集合，并求出最值。
(1)y cos x 1, x R; (2)y 3sin 2x, x R.
解： 这两个函数都有最大值、最小值.
（1）使函数 y cos x 1, x R取得最大值的x的集合，就是 使函数y cos x, x R 取得最大值的x的集合
2
1
2
3 2
2
5 3 x
2
上时，
曲线逐渐上升，cosα的值由 增大到 。
当 在区间
上时，
曲线逐渐降落，cosα的值由 减小到 。
探究：余弦函数的单调性
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2余弦函数的周期性知： 在每个闭区间
都是增函数，
其值从－1增大到1 ；
而在每个闭区间
上都是减函数，
(
3 2
,1)
与x轴的交点： (0,0) ( ,0) (2 ,0)
余弦函数 y 图像特征： 1 -
y cos x x [0, 2 ]
-
-1
o
6
2
3
2 3
5
7
6
6
4 3
1.4.2正弦函数、余弦函数的性质课件-高一上学期数学人教A版必修4
此时x＝2kπ－
，k∈Z.
[0,2]
4．若cos x＝m－1有意义，则m的取值范围是________．
因为－1≤cos x≤1
要使cos x＝m－1有意义，须有－1≤m－1≤1，
所以0≤m≤2.
新知探究
[－1,1]
[－1,1]
思考：y＝sin x和y＝cos x在区间(m，
n)(其中0＜m＜n＜2π)上都是减函数，
你能确定m的最小值、n的最大值吗？
提示：由正弦函数和余弦函数的单调
性可知m＝ ，n＝π.
题型突破
典例深度剖析
重点多维探究
题型一
[例1]
正弦函数、余弦函数的单调性
(1)函数y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数，则
a的取值范围是________．
思路点拨
确定a的范围 → y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数 → y＝
5
4
23
−
5
＜cos
＝cos
π
.
4
x在[0，π]上是减函数，
，
17
−
4
π
)
4
.
三角函数值大小比较的策略
解
题
策
略
1利用诱导公式，对于正弦函数来说，一般将两个角转
化到
− ,
2 2
或
3
,
2 2
内；对于余弦函数来说，一般将两个
角转化到[－π，0]或[0，π]内.
2不同名的函数化为同名的函数.
所以函数y＝cos2x＋2sin x－2，x∈R的值域为[－4,0]．
[例3]
(2)已知函数f(x)＝asin
人教版高中数学A版必修4习题 1.4.2.2正弦函数、余弦函数的单调性
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．函数f (x )＝－2sin x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π的值域是( ) A ．[1，3]B ．[－1，3]C ．[－3，1]D ．[－1，1]解析： ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π，∴sin x ∈[－1，1]， ∴－2sin x ＋1∈[－1，3]．答案： B2．函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间是( )A .⎝⎛⎭⎫－π4，π4 B .⎝⎛⎭⎫π4，3π4 C .⎝⎛⎭⎫π，3π2 D .⎝⎛⎭⎫3π2，2π 解析： 由y ＝|sin x |的图象，易得函数y ＝|sin x |的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝1时，得⎝⎛⎭⎫π，3π2为函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间． 答案： C3．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是( )A ．y ＝cos |x |B ．y ＝cos |－x |C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2D ．y ＝－sin x 2解析： y ＝cos |x |在⎝⎛⎭⎫0，π2上是减函数，排除A ；y ＝cos |－x |＝cos |x |，排除B ；y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－cos x 是偶函数，且在(0，π)上单调递增，符合题意；y ＝－sin x 2在(0，π)上是单调递减的．答案： C4．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－22C .22D ．0解析： 确定出2x －π4的范围，根据正弦函数的单调性求出最小值． ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π4，∴当2x －π4＝－π4时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4有最小值－22. 答案： B二、填空题(每小题5分，共15分)5．已知函数y ＝3cos (π－x )，则当x ＝________时，函数取得最大值．解析： y ＝3cos (π－x )＝－3cos x ，当cos x ＝－1，即x ＝2k π＋π，k ∈Z 时，y 有最大值3. 答案： 2k π＋π，k ∈Z6．y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，则y 的范围是________． 解析： 由正弦函数图象，对于x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，当x ＝π2时，y max ＝1，当x ＝π6时，y min ＝12，从而y ∈⎣⎡⎦⎤12，1.答案： ⎣⎡⎦⎤12，17．函数y ＝sin (x ＋π)在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递增区间为________． 解析： 因为sin (x ＋π)＝－sin x ，所以要求y ＝sin (x ＋π)在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递增区间，即求y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递减区间，易知为⎣⎡⎦⎤π2，π. 答案： ⎣⎡⎦⎤π2，π 三、解答题(每小题10分，共20分)8．比较下列各组数的大小：(1)sin 1017π与sin 1117π； (2)cos 5π3与cos 14π9. 解析： (1)∵函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤π2，π上单调递减，且π2＜1017π＜1117π＜π，∴sin 1017π＞sin 1117π. (2)cos 5π3＝cos (2π－π3)＝cos π3，cos 14π9＝cos (2π－4π9)＝cos 4π9. ∵函数y ＝cos x 在[0，π]上单调递减，且0＜π3＜4π9＜π，∴cos π3＞cos 4π9，∴cos 5π3＞cos 14π9. 9．求下列函数的最大值和最小值：(1)y ＝ 1－12sin x ；(2)y ＝3＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 解析： (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧1－12sin x ≥0，－1≤sin x ≤1，∴－1≤sin x ≤1.∴当sin x ＝－1时，y max ＝62； 当sin x ＝1时，y min ＝22. (2)∵－1≤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1， ∴当cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝5； 当cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－1时，y min ＝1. 能力测评10．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω＞0)的周期为π，则其单调递增区间为( ) A .⎣⎡⎦⎤k π－3π4，k π＋π4(k ∈Z ) B .⎣⎡⎦⎤2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z ) C .⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z ) D .⎣⎡⎦⎤2k π－3π8，2k π＋π8(k ∈Z ) 解析： 周期T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－38π≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 答案： C11．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的值域为________． 解析： 由y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2可得x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3， 函数y ＝cos x 在区间⎣⎡⎦⎤π6，2π3上单调递减，所以函数的值域为⎣⎡⎦⎤－12，32.答案： ⎣⎡⎦⎤－12，32 12．求函数y ＝3－4sin x －4cos 2x 的值域．解析： y ＝3－4sin x －4cos 2x＝3－4sin x －4(1－sin 2x )＝4sin 2x －4sin x －1，令t ＝sin x ，则－1≤t ≤1.∴y ＝4t 2－4t －1＝4⎝⎛⎭⎫t －122－2(－1≤t ≤1)． ∴当t ＝12时，y min ＝－2， 当t ＝－1时，y max ＝7.即函数y ＝3－4sin x －4cos 2x 的值域为[－2，7]．13．(1)求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递增区间； (2)求函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－x 2的单调递增区间． 解析： (1)因为y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫2x －π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 所以要求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递增区间，只要求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间即可．由于y ＝cos x 的单调递增区间为2k π－π≤x ≤2k π(k ∈Z )，则2k π－π≤2x －π3≤2k π(k ∈Z )，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )． 故函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递增区间为⎣⎡k π－π3，k π＋ ⎦⎤π6(k ∈Z )． (2)设u ＝π3－x 2，则y ＝3sin u . 当π2＋2k π≤u ≤3π2＋2k π，k ∈Z 时， y ＝3sin u 随u 增大而减小．又因为u ＝π3－x 2随x 增大而减小，所以当π2＋2k π≤π3－x 2≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 即－7π3－4k π≤x ≤－π3－4k π，k ∈Z ， 即－7π3＋4k π≤x ≤－π3＋4k π，k ∈Z 时， y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－x 2随x 增大而增大． 所以函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－x 2的单调递增区间为 ⎣⎡⎦⎤－7π3＋4k π，－π3＋4k π(k ∈Z )．。
1.4.2正弦函数、余弦函数的最值
解（：2）令t=2x,因为使函数y 3sin t,t R取最大值的t的集合是
{t | t 2k , k Z}
由
2x
t
2
2k
得
x k
2
4
所以使函数 y 3sin 2x, x R取最大值的x的集合是 {x | x k , k Z} 4
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
分析：令 z 2x
2 则 y 3cosz
化未知为已知
• P46 A2最值问题 使原函数取得最大值的集合是
(4)
y
1 2
sin
1 2
x
3
解：令z 1 x
23
x
|
x
3
4k
,k
Z
要使y 1 sin z有最小值， 2
要使y 1 sin z有最大值， 2
2
零点： x k (k Z )
探究：余弦函数的最大值和最小值 y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
最大值：当 x 0 2k 时，有最大值 y 1 最小值：当 x 2k 时，有最小值 y 1
零点：x k (k Z )
2
例1.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最 小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.
同理，使函数y 3sin 2x, x R 取最小值的x的集合是 {x | x k , k Z} 4
函数 y 3sin 2x, x R取最大值是3，最小值是-3。
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1.4.
2.2正、余弦函数的单调性与最值
基础知识和技能训练(九)
1．函数y ＝cos2x 在下列哪个区间上是减函数( )
A.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π4，π4 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π4，3π4 C.⎣
⎢⎡
⎦⎥⎤0，π2 D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2，π 解析 ∵y ＝cos2x ， ∴2k π≤2x ≤π＋2k π(k ∈Z )， 即k π≤x ≤π
2＋k π(k ∈Z )．
∴⎣
⎢⎡
⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )为y ＝cos2x 的单调递减区间． 而⎣
⎢⎡
⎦
⎥⎤0，π2显然是上述区间中的一个．
答案 C
2．函数y ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤
－32，12
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－12，32
C.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
32，1 D.⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤
12，1 解析 由0≤x ≤π2，得π6≤x ＋π6≤2π
3， ∴－12≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤3
2，选B.
答案 B
3．设M 和m 分别表示函数y ＝1
3cos x －1的最大值和最小值，则M ＋m 等于( )
A.23 B ．－23 C ．－43
D ．－2
解析 依题意得M ＝13－1＝－23，m ＝－1
3－1 ＝－4
3，∴M ＋m ＝－2. 答案 D
4．下列关系式中正确的是( ) A ．sin11°＜cos10°＜sin168° B ．sin168°＜sin11°＜cos10° C ．sin11°＜sin168°＜cos10° D ．sin168°＜cos10°＜sin11°
解析 cos10°＝sin80°，sin168°＝sin12°. sin80°＞sin12°＞sin11°， 即cos10°＞sin168°＞sin11°. 答案 C
5．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π3，π2上单调递减，则ω＝( ) A.23
B.32
C. 2
D. 3
解析 由题意知函数f (x )在x ＝π
3处取得最大值， ∴ωπ3＝2k π＋π2，ω＝6k ＋3
2，k ∈Z .故选B. 答案 B
6．若a 为常数，且a >1,0≤x ≤2π，则函数y ＝sin 2x ＋2a sin x 的最大值为( )
A ．2a ＋1
B ．2a －1
C ．－2a －1
D ．a 2
解析 令sin x ＝t ，则－1≤t ≤1，原函数变形为y ＝t 2＋2at ＝(t ＋a )2－a 2.∵a >1，∴当t ＝1时，y max ＝12＋2a ×1＝2a ＋1，故选A.
答案 A
7．函数y ＝sin2x ，x ∈R 的最大值是________，此时x 的取值集合是________．
解析 ∵x ∈R ，∴y ＝sin2x 的最大值为1，此时2x ＝2k π＋π
2，x ＝k π＋π
4(k ∈Z )．
答案 1 ⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x |x ＝k π＋π4，k ∈Z 8．函数y ＝13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6－x (x ∈[0，π])的单调递增区间为__________．
解析 由y ＝－13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的单调性，得π2＋2k π≤x －π6≤3π
2＋2k π，
即2π3＋2k π≤x ≤5π
3＋2k π.
又x ∈[0，π]，故2π
3≤x ≤π.
即递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤
2π3，π.
答案 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
2π3，π 9．若f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π3上的最大值为2，则ω＝________.
解析 由2sin ωx ≤2，知sin ωx ≤22，又0<ω<1,0≤x ≤π
3，∴0≤ωx ≤π4，∴0≤x ≤π4ω，令π4ω＝π3，得ω＝3
4.
答案 34
10．函数y ＝2sin 2x ＋2cos x －3的最大值是________． 解析 y ＝2sin 2x ＋2cos x －3＝－2cos 2x ＋2cos x －1＝ －2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122－12≤－1
2. 答案 －12
11．已知ω＞0，函数f (x )＝2sin ωx 在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－π3，π4上递增，求ω的范
围．
解 由－π2＋2k π≤ωx ≤π
2＋2k π知，2k π－π2ω≤x ≤2k π＋π2
ω. 令k ＝0知－π2ω≤x ≤π
2ω，
故
⎭
⎪⎬⎪⎫－π2ω≤－π3，
π2ω≥π4，ω＞0
⇒0＜ω≤32. ∴ω的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32. 12．已知函数f (x )＝2sin ⎝
⎛
⎭
⎪⎫2x －π3.
(1)求f (x )的单调递增区间；
(2)求f (x )的最大值及取得最大值时相应的x 的值． 解 (1)由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π
2(k ∈Z )， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π
12(k ∈Z )．
∴f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )． (2)当sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫2x －π3＝1时，f (x )有最大值2. 此时2x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π
12(k ∈Z )．
13．已知函数f (x )＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，值域为[－5,1]，求a 和b 的值．
解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π
3. ∴－3
2≤sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －π3≤1.
当a >0时，则⎩⎨
⎧
2a ＋b ＝1，
－3a ＋b ＝－5，
∴⎩⎨
⎧
a ＝12－63，
b ＝－23＋12 3.
当a <0时，则⎩⎨
⎧
－3a ＋b ＝1，
2a ＋b ＝－5，
∴⎩⎨
⎧
a ＝－12＋63，
b ＝19－12 3.。