AC比A值应用
调整浪A浪和C浪的比例关系
调整浪A浪和C浪的⽐例关系 利⽤波浪理论分析⾛势，最重要的⼯作，是正确的辨认市势，数清楚波浪与波浪之间的关系， 正确的判断现时价位，处于什么波浪，可以做出正确的投资决策。
C浪是调整浪的终点。
C浪应再划分为低⼀级的五个波浪，C浪的五个波浪代表整个调整市势⾛完全程，市势将会回头上升。
在平坦形的调整浪之内，C浪多数会低于A浪，常见的神奇数字⽐率为1，也就是说，A浪与C浪的长度相同。
另⼀⽅⾯，ABC浪以之字形运⾏的时候，A浪与C浪的长度将会倾向于⼀致。
换⼀句话说， C浪的低点⾃然会低于A浪浪底。
紧随着B浪⽽后的是C浪，由于B浪的完成顿使许多市场⼈⼠兵醒悟，⼀轮多头⾏情已经结束， 期望继续上涨的希望彻底破灭，所以，⼤盘开始全⾯下跌，从性质上看，其破坏⼒较强。
C浪是⼀段破坏⼒较强的下跌浪，跌势较为强劲，跌幅⼤，持续的时间较长久，海福奋凰莪好烽瞳甫困⽽且出现全⾯性下跌。
⽐如在经过有效反弹后，再度创新低，是明显的C浪特征。
⼤c浪下跌的特点及操作⽅法 ⼤c浪是单边下跌，⼏乎没有⼤的反弹，阴跌，时间长，对于散户来说⼏乎没有可操作性， 但是在c浪的中期的低位可以适当参与。
如果⼤C浪以衰竭式形态展开，那么，投资者就要注意： ⼀旦⼤B浪反弹结束后的第⼀波下跌会最快速回调且惨烈，幅度也最⼤， 第⼆波次之，第三波更⼩，如此逐渐衰竭式下跌。
未来的操作策略就需提前做好应对此种⾛势。
如果是运⾏双之字形态就好多了，这样整个调整时间就不会拖长了。
【调整浪A浪和C浪的⽐例关系】⽇期: 2012年05⽉02⽇ 09:38 来源: 外汇通 作者：波浪理论中有⼀句话，调整浪中C浪通常是A浪的0.681倍、1倍和1.618倍甚⾄更⾼，其中1.618倍是⽐较重要的数字。
这些都是通过图形和历史经验得出来的统计数字，但⼤家想想，如果C浪是A浪的1.618倍的话，C浪是不是还能针对A浪形成盘整背驰。
我这⾥举三个例⼦：a、调整浪是下跌的，50元起跌，第⼀波低点40元（a浪），然后反弹⾄45元（b浪），再下跌⾄36元，这个36元是我假设A浪和C浪下跌幅度相等得出的：40×45/50=36，36元属于临界点，36以上多半背驰，36以下多半不背驰。
江苏省常州市三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题(提升题)知识点分类
江苏省常州市三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类一．一元二次方程的应用（共1小题）1．（2022秋•常州期末）常州大剧院举办文艺演出．经调研，如果票价定为每张50元，那么1200张门票可以全部售出；如果票价每增加1元，那么售出的门票将会减少20张．要使门票收入达到60500元，票价应定为多少元？二．三角形综合题（共1小题）2．（2022秋•常州期末）如果三角形一个内角的2倍与另一个内角的和等于90°，那么我们称这样的三角形为“类互余”三角形．（1）若△ABC是“类互余”三角形，∠C＞90°，∠A＝40°，则∠B＝ ；（2）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，D是AC上的一点，CD＝1，AD＝3，△ABD是“类互余”三角形吗？请说明理由；（3）如图2，在△ABC中，，tan∠ABC＝2，D是CB延长线上的一点．若△ABD 是“类互余”三角形，求BD的长．三．正方形的性质（共1小题）3．（2021秋•常州期末）【问题】老师上完《7.3特殊角的三角函数》一课后，提出了一个问题，让同学们尝试去探究75°的正弦值．小明和小华经过思考与讨论，作了如下探索：【方案一】小明构造了图1，在△ABC中，AC＝2，∠B＝30°，∠C＝45°．第一步：延长BA，过点C作CD⊥BA，垂足为D，求出DC的长；第二步：在Rt△ADC中，计算sin75°．【方案二】小华构造了图2，边长为a的正方形ABCD的顶点A在直线EF上，且∠DAF ＝30°．第一步：连接AC，过点C作CG⊥EF，垂足为G，用含a的代数式表示AC和CG的长；第二步：在Rt△AGC中，计算sin75°．请分别按照小明和小华的思路，完成解答过程．四．直线与圆的位置关系（共1小题）4．（2021秋•常州期末）如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）判断DE所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AE＝4，ED＝2，求⊙O的半径．五．圆的综合题（共2小题）5．（2020秋•常州期末）如图1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P以3cm/s的速度从点A向点B运动，点Q以4cm/s的速度从点C向点B运动．点P、Q同时出发，运动时间为t秒（0＜t＜2），⊙M是△PQB的外接圆．（1）当t＝1时，⊙M的半径是 cm，⊙M与直线CD的位置关系是 ；（2）在点P从点A向点B运动过程中．①圆心M的运动路径长是 cm；②当⊙M与直线AD相切时，求t的值．（3）连接PD，交⊙M于点N，如图2，当∠APD＝∠NBQ时，求t的值．6．（2021秋•常州期末）如图1，边长为6cm的等边△ABC中，AD是高，点P以cm/s 的速度从点D向A运动，以点P为圆心，1cm为半径作⊙P，设点P的运动时间为ts．（1）当⊙P与边AC相切时，求t的值；（2）如图2，若在点P出发的同一时刻，点Q以1cm/s的速度从点B向点C运动，一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．过点Q作BA的平行线，交AC于点M．当QM 与⊙P相切时，求t的值；（3）在运动过程中，当⊙P与△ABC的边共有两个公共点时，直接写出t的取值范围．六．相似三角形的性质（共2小题）7．（2020秋•常州期末）如图，已知△OAB，点A的坐标为（2，2），点B的坐标为（3，0）．（1）求sin∠AOB的值；（2）若点P在y轴上，且△POA与△AOB相似，求点P的坐标．8．（2021秋•常州期末）如果经过一个三角形某个顶点的直线将这个三角形分成两部分，其中一部分与原三角形相似，那么称这条直线被原三角形截得的线段为这个三角形的“形似线段”．（1）在△ABC中，∠A＝30°．①如图1，若∠B＝100°，请过顶点C画出△ABC的“形似线段”CM，并标注必要度数；②如图2，若∠B＝90°，BC＝1，则△ABC的“形似线段”的长是 ；（2）如图3，在△DEF中，DE＝4，EF＝6，DF＝8，若EG是DEF的“形似线段”，求EG的长．七．相似三角形的判定（共1小题）9．（2022秋•常州期末）如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC．（1）过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，连接BD，△ADE与△ABD相似吗？为什么？八．作图-相似变换（共1小题）10．（2021秋•常州期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（2，1）、（4，1）．（1）以原点O为位似中心，在第一象限画出△ABC的位似图形△ABC，使△A1B1C1与△ABC的相似比为2：1；（2）借助网格，在图中画出△ABC的外接圆⊙P，并写出圆心P的坐标 ；（3）将△ABC绕（2）中的点P（3）将△ABC绕点P顺时针旋转90°，则点A运动的路线长是 ．九．方差（共2小题）11．（2020秋•常州期末）某商店1～6周销售甲、乙两种品牌冰箱的数量如表（表Ⅰ）所示（单位：台）：第1周第2周第3周第4周第5周第6周甲9101091210乙1312711107现根据表Ⅰ数据进行统计得到表Ⅱ：平均数中位数众数甲 10 乙10 7（1）填空：根据表Ⅰ的数据补全表Ⅱ；（2）老师计算了乙品牌冰箱销量的方差：S乙2＝[（13﹣10）2+（12﹣10）2+（7﹣10）2+（11﹣10）2+（10﹣10）2+（7﹣10）2]＝（台2）．请你计算甲品牌冰箱销量的方差，根据计算结果，建议商家可多采购哪一种品牌冰箱？为什么？12．（2021秋•常州期末）“119”全国消防日，某校为强化学生的消防安全意识，组织了“关注消防，珍爱家园”知识竞赛，满分为100分．现从八、九两个年级各随机抽取10名学生组成八年级代表队和九年级代表队，成绩如下（单位：分）：八年级代表队：80，90，90，100，80，90，100，90，100，80；九年级代表队：90，80，90，90，100，70，100，90，90，100．（1）填表：代表队平均数中位数方差八年级代表队90 60九年级代表队 90 （2）结合（1）中数据，分析哪个代表队的学生竞赛成绩更好？请说明理由；（3）学校想给满分的学生颁发奖状，如果该校九年级一共有600名学生且全部参加了知识竞赛，那么九年级大约有多少名学生可以获得奖状？一十．列表法与树状图法（共3小题）13．（2020秋•常州期末）学校为了丰富学生课余生活，开设了社团课．现有以下社团：A．篮球、B．机器人、C．绘画，学校要求每人只能参加一个社团，甲和乙准备随机报名一个社团．（1）甲选择“机器人”社团的概率是 ；（2）请用树状图或列表法求甲、乙两人选择同一个社团的概率．14．（2021秋•常州期末）小丽的爸爸积极参加社区志愿服务，根据社区安排，志愿者将被随机分配到以下小组中的一个：A组（交通疏导）、B组（环境消杀）、C组（便民代购），开展服务工作．（1）小丽的爸爸被分配到C组的概率是 ；（2）若小丽的班主任刘老师也参加了该社区的志愿者队伍，那么刘老师和小丽的爸爸被分到同一组的概率是多少？请用画树状图或列表的方法写出分析过程．15．（2022秋•常州期末）学校为了践行“立德树人，实践育人”的目标，开展劳动课程，组织学生走进农业基地，欣赏田园风光，体验劳作的艰辛和乐趣．该劳动课程有以下小组：A．搭豇豆架、B．斩草除根、C．趣挖番薯、D．开垦播种．学校要求每人只能参加一个小组，甲和乙准备随机报名一个小组．（1）甲选择“搭虹豆架”小组的概率是 ；（2）请用树状图或列表法求甲、乙两人选择同一个小组的概率．江苏省常州市三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类参考答案与试题解析一．一元二次方程的应用（共1小题）1．（2022秋•常州期末）常州大剧院举办文艺演出．经调研，如果票价定为每张50元，那么1200张门票可以全部售出；如果票价每增加1元，那么售出的门票将会减少20张．要使门票收入达到60500元，票价应定为多少元？【答案】55元．【解答】解：设票价应定为x元，由题意得：x[1200﹣20（x﹣50）]＝60500，解得：x1＝x2＝55．答：票价应定为55元．二．三角形综合题（共1小题）2．（2022秋•常州期末）如果三角形一个内角的2倍与另一个内角的和等于90°，那么我们称这样的三角形为“类互余”三角形．（1）若△ABC是“类互余”三角形，∠C＞90°，∠A＝40°，则∠B＝ 25°或10° ；（2）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，D是AC上的一点，CD＝1，AD＝3，△ABD是“类互余”三角形吗？请说明理由；（3）如图2，在△ABC中，，tan∠ABC＝2，D是CB延长线上的一点．若△ABD 是“类互余”三角形，求BD的长．【答案】（1）25°或10°；（2）是，理由见解析；（3）或6．【解答】解：（1）∵∠C＞90°，∴∠A+∠B＜90°∵△ABC是“类互余”三角形，∠A＝40°，∴∠A+2∠B＝90°或2∠A+∠B＝90°，∴∠B＝25°或∠B＝10°，故答案为：25°或10°．（2）△ABD是“类互余”三角形，理由如下，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，D是AC上的一点，CD＝1，AD＝3，∴AC＝AD+DC＝4，∴，∴＝，又∵∠C＝∠C，∴△ACB∽△BCD，∴∠CBD＝∠A，设∠CBD＝∠A＝α，则∠ADB＝∠ABC﹣∠CBD＝（90°﹣α）﹣α＝90°﹣2α，∴2∠A+∠ABD＝2α+90°﹣2α＝90°，∴△ABD是“类互余”三角形；（3）设∠ADB＝α，依题意，△ABD是“类互余”三角形，∠ABD＞90°，当2∠ADB+∠BAD＝90°时，如图所示，过点A作AE⊥BC于点E，则∠BAD＝90°﹣α，∴∠EAB＝α，∴∠EAB＝∠ADB，∵tan∠ABC＝2，，设AE＝2a，则BE＝a，∴，解得：a＝2，∴AE＝4，BE＝2，∵∠EAB＝∠ADB，∴，∴ED＝8，∴BD＝DE﹣BE＝8﹣2＝6；当∠ADB+2∠BAD＝90°，如图所示，过点A作AE⊥BC于点E，过点B作BF⊥AD于点F，则∠BAD＝α，∠ADB＝90°﹣2α，∴∠EAB＝∠BAD＝α，∴BF＝BE＝2，设BD＝x，则ED＝2+x，∵，∴，即，解得：．即或6．三．正方形的性质（共1小题）3．（2021秋•常州期末）【问题】老师上完《7.3特殊角的三角函数》一课后，提出了一个问题，让同学们尝试去探究75°的正弦值．小明和小华经过思考与讨论，作了如下探索：【方案一】小明构造了图1，在△ABC中，AC＝2，∠B＝30°，∠C＝45°．第一步：延长BA，过点C作CD⊥BA，垂足为D，求出DC的长；第二步：在Rt△ADC中，计算sin75°．【方案二】小华构造了图2，边长为a的正方形ABCD的顶点A在直线EF上，且∠DAF ＝30°．第一步：连接AC，过点C作CG⊥EF，垂足为G，用含a的代数式表示AC和CG的长；第二步：在Rt△AGC中，计算sin75°．请分别按照小明和小华的思路，完成解答过程．【答案】【方案一】．【方案二】．【解答】解：【方案一】如图1，过点A作AQ⊥BC于点Q，在△ABC中，AC＝2，∠B＝30°，∵∠C＝45°．AC＝2，∴AQ＝CQ＝AC＝，∵∠B＝30°，∴BQ＝AQ＝，∴BC＝BQ+QC＝+，∴CD＝BC＝，∵∠DAC＝∠B+∠ACB＝75°，∴sin75°＝＝．【方案二】如图2，延长CB交FE于点H，∵正方形ABCD的边长为a，∴AC＝a，∵∠DAF＝30°．∴∠BAH＝60°，∴∠H＝30°，∴AH＝2AB＝2a，∴BH＝AB＝a，∴CH＝BH+BC＝a+a＝（+1）a，∴CG＝CH＝，∵∠GAC＝∠CAD+∠DAF＝75°，∴sin75°＝＝＝．四．直线与圆的位置关系（共1小题）4．（2021秋•常州期末）如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）判断DE所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AE＝4，ED＝2，求⊙O的半径．【答案】（1）直线DE与⊙O相切，理由见解析；（2）．【解答】解：（1）直线DE与⊙O相切；理由：连接OD，∵∠CAB的平分线是AD，∴∠CAD＝∠DAB．∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA．∴∠EAD＝∠ADO，∴AE∥OD，∵∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°．∵OD是⊙O的半径，∴直线DE与⊙O相切；（2）连接BD，∵ED＝2，AE＝4，∴AD＝＝2，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠EAD＝∠BAD，∴△ADE∽△ABD，∴＝，∴AB＝5，∴⊙O的半径为．五．圆的综合题（共2小题）5．（2020秋•常州期末）如图1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P以3cm/s的速度从点A向点B运动，点Q以4cm/s的速度从点C向点B运动．点P、Q同时出发，运动时间为t秒（0＜t＜2），⊙M是△PQB的外接圆．（1）当t＝1时，⊙M的半径是 cm，⊙M与直线CD的位置关系是 相离 ；（2）在点P从点A向点B运动过程中．①圆心M的运动路径长是 5 cm；②当⊙M与直线AD相切时，求t的值．（3）连接PD，交⊙M于点N，如图2，当∠APD＝∠NBQ时，求t的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图1，过M作KN⊥AB于N，交CD于K，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AB∥CD，∴⊙M的直径是PQ，KN⊥CD，当t＝1时，AP＝3，CQ＝4，∵AB＝6，BC＝8，∴PB＝6﹣3＝3，BQ＝8﹣4＝4，∴PQ＝＝5，∴⊙M的半径为cm，∵MN∥BQ，M是PQ的中点，∴PN＝BN，∴MN是△PQB的中位线，∴MN＝BQ＝×4＝2，∴MK＝8﹣2＝6＞，∴⊙M与直线CD的位置关系是相离；故答案为：，相离；（2）①如图2，由P、Q运动速度与AB，BC的比相等，∴圆心M在对角线BD上，由图可知：P和Q两点在t＝2时在点B重合，当t＝0时，直径为对角线AC，M是AC的中点，故M运动路径为OB＝BD，由勾股定理得：BD＝＝10，则圆心M的运动路径长是5cm；故答案为：5；②如图3，当⊙M与AD相切时，设切点为F，连接FM并延长交BC于E，则EF⊥AD，EF⊥BC，则BQ＝8﹣4t，PB＝6﹣3t，∴PQ＝10﹣5t，∴PM＝＝FM＝5﹣t，△BPQ中，ME＝PB＝3﹣t，∵EF＝FM+ME，∴5﹣t+3﹣t＝6，解得：t＝；（3）如图4，过D作DG⊥PQ，交PQ的延长线于点G，连接DQ，∵∠APD＝∠NBQ，∠NBQ＝∠NPQ，∴∠APD＝∠NPQ，∵∠A＝90°，DG⊥PG，∴AD＝DG＝8，∵PD＝PD，∴Rt△APD≌Rt△GPD（HL），∴PG＝AP＝3t，∵PQ＝10﹣5t，∴QG＝3t﹣（10﹣5t）＝8t﹣10，∵DC2+CQ2＝DQ2＝DG2+QG2，∴62+（4t）2＝82+（8t﹣10）2，∴3t2﹣10t+8＝0，（t﹣2）（3t﹣4）＝0，解得：t1＝2（舍），t2＝．6．（2021秋•常州期末）如图1，边长为6cm的等边△ABC中，AD是高，点P以cm/s 的速度从点D向A运动，以点P为圆心，1cm为半径作⊙P，设点P的运动时间为ts．（1）当⊙P与边AC相切时，求t的值；（2）如图2，若在点P出发的同一时刻，点Q以1cm/s的速度从点B向点C运动，一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．过点Q作BA的平行线，交AC于点M．当QM 与⊙P相切时，求t的值；（3）在运动过程中，当⊙P与△ABC的边共有两个公共点时，直接写出t的取值范围．【答案】（1）t＝3﹣；（2）（﹣）或（+）；（3）t的取值范围为0≤t＜或t＝3﹣或3﹣＜t≤3．【解答】解：（1）设⊙P与边AC相切点E，连接PE，如图，则PE⊥AC．∵△ABC是边长为6的等边三角形，AD是高，∴BD＝＝3cm，∠DAC＝∠BAC＝30°．∴AD＝＝3，由题意得：PD＝tcm，∴AP＝AD﹣PD＝（3﹣t）cm．在Rt△APE中，∵sin∠PAE＝，∴AP＝．∴3﹣t＝．解得：t＝3﹣．∴当⊙P与边AC相切时，t的值为3﹣．（2）设QM与⊙P相切于点E，①当点E在AD的左侧时，设QM与AD交于点F，如图，连接EP，过点M作MH⊥AD于点H，∵QM与⊙P相切于点E，∴EP⊥QM．∵△ABC是边长为6的等边三角形，AD是高，∴∠DAB＝∠DAC＝∠BAC＝30°．∵QM∥AB，∴∠QFD＝∠BAD＝30°．∵∠AFM＝∠QFD，∴∠AFM＝30°．∴∠FAM＝∠AFM＝30°．∴AM＝FM．∵MH⊥AD，∴AH＝FH＝．由题意得：BQ＝t，DP＝t，∵∠B＝∠BAC＝60°，AB∥QM，∴四边形ABQM为等腰梯形，∴AM＝BQ＝t．∴AH＝AM•cos∠DAC＝t．∴AF＝2AH＝2t．∵EP⊥QM，∠EFP＝30°，∴FP＝2EP＝2．∵AF+FP+PD＝AD，∴t+2+t＝3．解得：t＝﹣；②当点P在AD的右侧时，设QM与AD交于点F，如图，连接EP，过点M作MH⊥AD于点H，∵QM与⊙P相切于点E，∴EP⊥QM．∵△ABC是边长为6的等边三角形，AD是高，∴∠DAB＝∠DAC＝∠BAC＝30°．∵QM∥AB，∴∠QFD＝∠BAD＝30°．∵∠AFM＝∠QFD，∴∠AFM＝30°．∴∠FAM＝∠AFM＝30°．∴AM＝FM．∵MH⊥AD，∴AH＝FH＝．由题意得：BQ＝t，DP＝t，∵∠B＝∠BAC＝60°，AB∥QM，∴四边形ABQM为等腰梯形，∴AM＝BQ＝t．∴AH＝AM•cos∠DAC＝t．∴AF＝2AH＝2t．∵EP⊥QM，∠EFP＝30°，∴FP＝2EP＝2．∵AF+DP﹣FP＝AD，∴t+t﹣2＝3．解得：t＝+．综上，当QM与⊙P相切时，t的值为（﹣）或（+）．（3）①当0≤PD＜1时，此时⊙P与BC相交，⊙P与BC边有两个公共点，符合题意，∴此时t的取值范围为0≤t＜；②当1＜PD＜3﹣2时，此时⊙P与△ABC的三边均相离，没有公共点；③当PD＝3﹣2时，此时⊙P与AB，AC边相切，此时⊙P与△ABC的边共有两个公共点；∴由（1）知：t＝3﹣；④当3﹣2＜PD＜3﹣1时，此时⊙P与AB，AC边均相交，此时⊙P与△ABC的边共有四个公共点；⑤当3﹣1＜PD≤3时，此时⊙P与AB，AC边均相交，但各只有一个交点，符合题意，∴此时t的取值范围为：3﹣＜t≤3．综上，当⊙P与△ABC的边共有两个公共点时，t的取值范围为0≤t＜或t＝3﹣或3﹣＜t≤3．六．相似三角形的性质（共2小题）7．（2020秋•常州期末）如图，已知△OAB，点A的坐标为（2，2），点B的坐标为（3，0）．（1）求sin∠AOB的值；（2）若点P在y轴上，且△POA与△AOB相似，求点P的坐标．【答案】（1）．（2）（0，3）或（0，）．【解答】解：（1）如图，过点A作AH⊥OB于H．∵A（2，2），∴AH＝OH＝2，∴∠AOB＝45°，∴sin∠AOB＝．（2）由（1）可知，∠AOP＝∠AOB＝45°，OA＝2，当△AOP∽△AOB时，＝，可得OP′＝OB＝3，∴P′（0，3），当△AOP∽△BOA时，＝，∴＝，∴OP＝，∴P（0，），综上所述，满足条件的点P的坐标为（0，3）或（0，）．8．（2021秋•常州期末）如果经过一个三角形某个顶点的直线将这个三角形分成两部分，其中一部分与原三角形相似，那么称这条直线被原三角形截得的线段为这个三角形的“形似线段”．（1）在△ABC中，∠A＝30°．①如图1，若∠B＝100°，请过顶点C画出△ABC的“形似线段”CM，并标注必要度数；②如图2，若∠B＝90°，BC＝1，则△ABC的“形似线段”的长是 或 ；（2）如图3，在△DEF中，DE＝4，EF＝6，DF＝8，若EG是DEF的“形似线段”，求EG的长．【答案】（1）①作图见解析部分；②或；（2）3．【解答】解：（1）①如图1中，线段CM即为所求；②如图2中，当BH⊥AC时，线段BH是“形似线段”，∵∠ABC＝90°，BC＝1，∠A＝30°，∴AC＝2BC＝2，AB＝BC＝，∵•AB•BC＝•AC•BH，∴BH＝＝．当CM平分∠BCA时，线段CT是“形似线段”，在Rt△CBT中，CT＝＝．综上所述，△ABC的“形似线段”的长是或；（2）如图3中，当△DEG∽△DFE时，＝，∴＝，∴EG＝3，当△FEG∽△FDE时，＝，∴＝，∴EG＝3，∴EG＝3．七．相似三角形的判定（共1小题）9．（2022秋•常州期末）如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC．（1）过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，连接BD，△ADE与△ABD相似吗？为什么？【答案】（1）见解析；（2）△ADE∽△ABD，理由见解析．【解答】解：（1）如图所示，DE即为所求，理由如下，连接OD，∵弦AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线；（2）△ADE∽△ABD，理由如下，连接BD，如图，∵弦AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴AC⊥DE，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠AED＝∠ADB，∴△ADE∽△ABD．八．作图-相似变换（共1小题）10．（2021秋•常州期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（2，1）、（4，1）．（1）以原点O为位似中心，在第一象限画出△ABC的位似图形△ABC，使△A1B1C1与△ABC的相似比为2：1；（2）借助网格，在图中画出△ABC的外接圆⊙P，并写出圆心P的坐标 （3，4） ；（3）将△ABC绕（2）中的点P（3）将△ABC绕点P顺时针旋转90°，则点A运动的路线长是 π ．【答案】（1）作图见解析部分；（2）作图见解析部分，P（3，4）．（3）π．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，点P即为所求，P（3，4），故答案为：（3，4）；（3）∵PA＝＝，∴的长＝＝π．故答案为：π．九．方差（共2小题）11．（2020秋•常州期末）某商店1～6周销售甲、乙两种品牌冰箱的数量如表（表Ⅰ）所示（单位：台）：第1周第2周第3周第4周第5周第6周甲9101091210乙1312711107现根据表Ⅰ数据进行统计得到表Ⅱ：平均数中位数众数甲 10 10 10 乙10 10.5 7（1）填空：根据表Ⅰ的数据补全表Ⅱ；（2）老师计算了乙品牌冰箱销量的方差：S乙2＝[（13﹣10）2+（12﹣10）2+（7﹣10）2+（11﹣10）2+（10﹣10）2+（7﹣10）2]＝（台2）．请你计算甲品牌冰箱销量的方差，根据计算结果，建议商家可多采购哪一种品牌冰箱？为什么？【答案】（1）10、10、10.5；（2）建议商家可多采购甲品牌冰箱，理由见解答．【解答】解：（1）甲品牌销售数量从小到大排列为：9、9、10、10、10、12，所以甲品牌销售数量的平均数为＝10（台），众数为10台，乙品牌销售数量从小到大排列为7、7、10、11、12、13，所以乙品牌销售数量的中位数为＝10.5（台），补全表格如下：平均数中位数众数甲101010乙1010.57故答案为：10、10、10.5；（2）建议商家可多采购甲品牌冰箱，∵甲品牌冰箱销量的方差＝×[（9﹣10）2×2+（10﹣10）2×3+（12﹣10）2]＝1，S2＝，乙∴＜S乙2，∴甲品牌冰箱的销售量比较稳定，建议商家可多采购甲品牌冰箱．12．（2021秋•常州期末）“119”全国消防日，某校为强化学生的消防安全意识，组织了“关注消防，珍爱家园”知识竞赛，满分为100分．现从八、九两个年级各随机抽取10名学生组成八年级代表队和九年级代表队，成绩如下（单位：分）：八年级代表队：80，90，90，100，80，90，100，90，100，80；九年级代表队：90，80，90，90，100，70，100，90，90，100．（1）填表：代表队平均数中位数方差八年级代表队90 90 60九年级代表队 90 90 80 （2）结合（1）中数据，分析哪个代表队的学生竞赛成绩更好？请说明理由；（3）学校想给满分的学生颁发奖状，如果该校九年级一共有600名学生且全部参加了知识竞赛，那么九年级大约有多少名学生可以获得奖状？【答案】（1）90、90、80；（2）八年级代表队的学生竞赛成绩更好，理由见解答；（3）九年级大约有180名学生可以获得奖状．【解答】解：（1）将八年级代表队成绩重新排列为80，80，80，90，90，90，90，100，100，100，所以其中位数为＝90，九年级代表队成绩的平均数为＝90，所以其方差为×[（70﹣90）2+（80﹣90）2+5×（90﹣90）2+3×（100﹣90）2]＝80，故答案为：90、90、80；（2）八年级代表队的学生竞赛成绩更好，理由如下：∵八、九年级代表队的学生的竞赛成绩的平均数相等，而八年级代表队的学生的竞赛成绩的方差小于九年级，成绩更加稳定，∴八年级代表队的学生竞赛成绩更好；（3）600×＝180（名），答：九年级大约有180名学生可以获得奖状．一十．列表法与树状图法（共3小题）13．（2020秋•常州期末）学校为了丰富学生课余生活，开设了社团课．现有以下社团：A．篮球、B．机器人、C．绘画，学校要求每人只能参加一个社团，甲和乙准备随机报名一个社团．（1）甲选择“机器人”社团的概率是 ；（2）请用树状图或列表法求甲、乙两人选择同一个社团的概率．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）甲选择“机器人”社团的概率是，故答案为：；（2）画树状图如图：共有9个等可能的结果，甲、乙两人选择同一个社团的结果有3个，∴甲、乙两人选择同一个社团的概率为＝．14．（2021秋•常州期末）小丽的爸爸积极参加社区志愿服务，根据社区安排，志愿者将被随机分配到以下小组中的一个：A组（交通疏导）、B组（环境消杀）、C组（便民代购），开展服务工作．（1）小丽的爸爸被分配到C组的概率是 ；（2）若小丽的班主任刘老师也参加了该社区的志愿者队伍，那么刘老师和小丽的爸爸被分到同一组的概率是多少？请用画树状图或列表的方法写出分析过程．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）小丽的爸爸被分配到C组的概率是，故答案为：；（2）画树状图如下：共有9种等可能的结果，刘老师和小丽的爸爸被分到同一组的结果有3种，∴刘老师和小丽的爸爸被分到同一组的概率为＝．15．（2022秋•常州期末）学校为了践行“立德树人，实践育人”的目标，开展劳动课程，组织学生走进农业基地，欣赏田园风光，体验劳作的艰辛和乐趣．该劳动课程有以下小组：A．搭豇豆架、B．斩草除根、C．趣挖番薯、D．开垦播种．学校要求每人只能参加一个小组，甲和乙准备随机报名一个小组．（1）甲选择“搭虹豆架”小组的概率是 ；（2）请用树状图或列表法求甲、乙两人选择同一个小组的概率．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）甲选择“搭虹豆架”小组的概率是，故答案为：；（2）画树状图如下：共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人选择同一个小组的结果有4种，∴甲、乙两人选择同一个小组的概率为＝．。
相似三角形-备战2022年中考数学一轮复习考点(浙江专用)(解析版)
考点14 相似三角形【命题趋势】相似三角形是中考数学中非常重要的一个考点，它不仅可以作为简单考点单独考察，还经常作为压轴题的重要解题方法，和其他如函数、特殊四边形、圆等问题一起考察。
而且，在很多压轴题中，虽然题面上没有明确考察相似三角形的判定或性质，但是经常通过相似三角形的判定以及性质来得到角相等或者边长间的关系，也是动点问题中得到函数关系式的重要手段。
需要考生在复习的时候给予加倍的重视！ 【中考考查重点】 一、比例线段 二、相似三角形的性质 三、相似三角形的判定 四、相似三角形的基本图形考向一：比例线段一．比例的性质1.基本性质：bc ad d c b a =⇔=::；2.比例中项：b a c b c c a ⋅=⇔=2::，此时，c 为a 、b 的比例中项； 二．比例线段1.比例线段：在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段简称比例线段；2.黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ． 3.平行线分线段成比例的基本性质： 如图：AB ∥CD ∥EF ⇔DE BD CF AC =【同步练习】 1．已知＝，则的值为（ ） A ．B ．C ．D ．【分析】直接利用同一未知数表示出a，b的值，进而代入化简即可．【解答】解：∵＝，∴设a＝2x，b＝5x，∴＝＝．故选：C．2．线段AB的长为2，点C是线段AB的黄金分割点，则线段AC的长可能是（）A．+1B．2﹣C．3﹣D．﹣2【分析】根据黄金分割点的定义，知AC可能是较长线段，也可能是较短线段，分别求出即可．【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，∴AC＝AB＝×2＝﹣1，或AC＝2﹣（﹣1）＝3﹣，故选：C．3．如图，直线a，b，c截直线e和f，a∥b∥c，，则下列结论中，正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解答本题．【解答】解：∵a∥b∥c，，∴＝，∴，，，故选项A正确，符合题意，选项B、D不正确，不符合题意；连接AF，交BE于H，∵BE∥CF，∴△ABH∽△ACF，∴，，∴选项C不正确，不符合题意；故选：A．4．若＝＝（a≠c），则＝．【分析】根据等比的性质即可求解．【解答】解：∵＝＝（a≠c），∴＝．故答案为：．5．若（x、y、z均不为0），则＝．【分析】设比值为k，然后用k表示出x、y、z，再代入比例式进行计算即可得解．【解答】解：设＝＝＝k（k≠0），则x＝6k，y＝4k，z＝3k，所以，＝＝3．故答案为：3．6．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE＝6，，则EC的长是．【分析】根据平行线分线段成比例定理的推论得出＝，将AE＝6代入，求出AC＝14，那么EC＝AC﹣AE＝8．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，∵AE＝6，∴＝，解得：AC ＝14，∴EC ＝AC ﹣AE ＝14﹣6＝8． 故答案是：8．考向二：相似三角形的性质相似三角形的性质相似 三角 形的 性质相似三角形的对应角相等，对应边成比例 相似三角形的周长之比等于相似比 相似三角形的面积之比等于相似比的平方相似三角形的对应“三线”（高线、中线、角平分线）之比等于相似比【方法提炼】【同步练习】1．如图，已知△ABE ∽△CDE ，AD 、BC 相交于点E ，△ABE 与△CDE 的周长之比是，若AE ＝2、BE ＝1，则BC 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【分析】首先利用周长之比求得相似比，然后根据AE 的长求得CE 的长，从而求得BC 的长． 【解答】解：∵△ABE ∽△CDE ，△ABE 与△CDE 的周长之比是， ∴AE ：CE ＝2：5， ∵AE ＝2， ∴CE ＝5，相似三角形性质的主要应用方向： ➢ 求角的度数 ➢ 求或证明比值关系 ➢ 证线段等积式 ➢ 求面积或面积比相似三角形的对应边成比例是求线段长度的重要方法，也是动点问题中得到函数关系式的重要手段∵BE＝1，∴BC＝BE+EC＝1+5＝6，故选：D．2．如图，已知△ABC∽△DEF，若∠A＝35°，∠B＝65°，则∠F的度数是（）A．30°B．35°C．80°D．100°【分析】先根据三角形内角和定理求出∠C的度数，再根据相似三角形对应角相等即可解决问题．【解答】解：∵△ABC中，∠A＝35°，∠B＝65°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣35°﹣65°＝80°，又∵△ABC∽△DEF，∴∠F＝∠C＝80°，故选：C．3．如图，在正方形网格中：△ABC、△EDF的顶点都在正方形网格的格点上，△ABC∽△EDF，则∠ABC+∠ACB的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【分析】利用相似三角形的性质，证明∠BAC＝135°，可得结论．【解答】解：∵△ABC∽△EDF，∴∠BAC＝∠DEF＝135°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣135°＝45°，故选：B．4．如图，△ABC∽△A'B′C′，下列说法正确的是（）A．∠B＝∠C′B．S△ABC＝2S△A′B'C'C．AC＝4A'C'D．A'B′＝6【分析】根据相似三角形的性质解答即可．【解答】解：∵△ABC∽△A'B′C′，AB＝12，BC＝2a，B'C'＝a，∴∠B＝∠B'，S△ABC：S△ABC＝＝4，AC＝2A'C'，A'B'＝AB＝＝6．故A、B、C错误，D正确；故选：D．5．若D为△ABC中AB边上一点，且DE∥BC交AC于E，AB＝6，BC＝8，AC＝10，若△ADE与△ABC 的相似比为，则AE ＝．【分析】先根据DE∥BC得出△ADE∽△ABC，再根据AC＝10以及△ADE与△ABC的相似比为，即可求出AE．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵△ADE与△ABC的相似比为，∴＝，∵AC＝10，∴AE＝5．故答案为：5．考向三：相似三角形的判定一．相似三角形的判定方法：判定方法1·平行∵DE∥BC∴△ABC∽△ADE判定方法2·“AA”∵∠A=∠A`，∠C=∠C` ∴△ABC∽△A，B，C，二．判定三角形相似的思路：（1）有平行截线——用平行线的性质，找等角 （2）有一对等角，找⎩⎨⎧该角的两边对应成比例另一对等角 （3）有两边对应成比例，找夹角相等（4）直角三角形，找⎩⎨⎧例直角边、斜边对应成比一对锐角相等 （5）等腰三角形，找⎩⎨⎧底边和腰长对应成比例一对底角相等 【同步练习】1．如图，在△ABC 纸片中，∠A ＝76°，∠B ＝34°．将△ABC 纸片沿某处剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（ ） A ．①②B ．②④C ．①③D ．③④【分析】根据相似三角形的判定定理逐个判断即可．【解答】解：图①中，∠B ＝∠B ，∠A ＝∠BDE ＝76°，所以△BDE 和△ABC 相似；图②中，∠B ＝∠B ，不符合相似三角形的判定，不能推出△BCD 和△ABC 相似；判定方法3·“SAS ”∵````C B BCB A AB =，∠B=∠B ∴△ABC ∽△A ，B ，C ， 判定方法4·“SSS ”∵``````C A ACC B BC B A AB == ∴△ABC ∽△A ，B ，C ，图③中，∠C＝∠C，∠CED＝∠B，所以△CDE和△CAB相似；图④中，∠C＝∠C，不符合相似三角形的判定，不能推出△CDE和△ABC相似；所以阴影三角形与原三角形相似的有①③，故选：C．2．下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．＝D．AB2＝AD•AC【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．【解答】解：A、∵∠ABD＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；B、∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；C、不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意；D、∵AB2＝AD•AC，∴，∠A＝∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意．故选：C．3．如图，在下列四个条件：①∠B＝∠C，②∠ADB＝∠AEC，③AD：AC＝AE：AB，④PE：PD＝PB：PC 中，随机抽取一个能使△BPE∽△CPD的概率是（）A．0.25B．0.5C．0.75D．1【分析】根据相似三角形的判定方法判断即可．【解答】解：由题意得：∠DPC＝∠EPB，①∠B＝∠C，根据两角相等的两个三角形相似可得：△BPE∽△CPD，②∵∠ADB＝∠AEC，∴∠PDC ＝∠PEB ，所以，根据两角相等的两个三角形相似可得：△BPE ∽△CPD ， ③∵AD ：AC ＝AE ：AB ，∠A ＝∠A ， ∴△ADB ∽△AEC ， ∴∠B ＝∠C ，所以，根据两角相等的两个三角形相似可得：△BPE ∽△CPD ，④PE ：PD ＝PB ：PC ，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得：△BPE ∽△CPD ， ∴在上列四个条件中，随机抽取一个能使△BPE ∽△CPD 的概率是：1， 故选：D ．4．如图，在△ABC 中，AB ＝12，BC ＝15，D 为BC 上一点，且BD ＝BC ，在AB 边上取一点E ，使以B ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则BE＝ ．【分析】根据相似三角形对应边成比例得出或，再代值计算即可．【解答】解：∵△BDE ∽△BCA 或△BDE ∽△BAC ， ∴或，∵BD ＝BC ，BC ＝15， ∴BD ＝5， ∵AB ＝12， ∴或， 解得：BE ＝4或． 故答案为：4或．考向四：相似三角形的基本图形 一、A 字图及其变型“斜A 型”当∠ADE=∠ACB 时 △ADE ∽△ACB 性质：BCDEAB AE AC AD ==当DE ∥BC 时 △ADE ∽△ABC 性质：BCDEACAE ABAD ==①当∠A=∠C 时 △AJB ∽△CJD 性质：JDJBJC JA CDAB ==变型☆：斜A 型在圆中的应用： 如图可得：△PAB ∽△PCD二、8字图及其变型“蝴蝶型”变型三、一般母子型：联系应用：切割线定理：如图，PB 为圆O 切线，B 为切点，则：△PAB ∽△PBC得：四、一线三等角：同侧型（通常以等腰三角形或者等边三角形为背景）当AB ∥CD 时 △AOB ∽△DOC性质：OCOBOD OA CD AB ==当∠ABD=∠ACB 时 △ABD ∽△ACB 性质：ACAD AB •=2 PC PA PB •=2其中： ∠A 是公共角 AB 是公共边 BD 与BC 是对应边异侧型五、手拉手相似模型：模型名称几何模型图形特点具有性质相似型手拉手△ABC∽△ADEA、D、E逆时针A、B、C逆时针连结BD、CE①△ABD∽△ACE②△AOB∽△HOC③旋转角相等④A、B、C、H四点共圆“反向”相似型手拉手△ABC∽△ADEA、D、E顺时针A、B、C逆时针A、D、E`逆时针作△ADE关于AD对称的△ADE`性质同上①②③【同步练习】1．如图，已知，DE∥BC，AD：DB＝1：2，那么下列结论中，正确的是（）A．DE：BC＝1：2B．AE：AC＝1：3C．AD：AE＝1：2D．S△ADE：S四边形BDEC＝1：4【分析】利用平行线分线段成比例定理，比例的性质和相似三角形的性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论．【解答】解：∵AD：DB＝1：2，∴．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴．∴A选项的结论错误；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴．∴B选项的结论正确；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴．∴C选项的结论错误；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴．设S△ADE＝k，则S△ABC＝9k，∴S四边形BDEC＝S△ABC﹣S△ADE＝8k，∴．∴D选项的结论错误．综上所述，正确的结论是B，故选：B．2．如图，在矩形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，DE⊥EF，EF⊥FG，BE＝3，BF＝2，FC＝6，则DG的长是（）A．4B．C．D．5【分析】由矩形的性质可求出∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，证明△EFB∽△FGC，由相似三角形的性质得出，求出CG＝4，同理可得出△DAE∽△EBF，由相似三角形的性质求出AE的长，则可求出答案．【解答】解：∵EF⊥FG，∴∠EFB+∠GFC＝90°，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，∴∠GFC+∠FGC＝90°，∴∠EFB＝∠FGC，∴△EFB∽△FGC，∴，∵BE＝3，BF＝2，FC＝6，∴，∴CG＝4，同理可得△DAE∽△EBF，∴，∴，∴AE＝，∴BA＝AE+BE＝+3＝，∴DG＝CD﹣CG＝﹣4＝．故选：B．3．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转α得到△DEC，此时点D落在边AB上，且DE垂直平分BC，则的值是（）A．B．C．D．【分析】根据旋转的性质和线段垂直平分线的性质证明△DCF∽△DEC，对应边成比例即可解决问题．【解答】解：如图，设DE与BC交于点F，由旋转可知：CA＝CD，AB＝DE，BC＝EC，∠B＝∠E，∵DE垂直平分BC，∴DF⊥BC，DC＝DB，CF＝BF＝BC＝EC，∴∠DCB＝∠B＝∠E，∵∠DCB+∠FDC＝90°，∴∠E+∠FDC＝90°，∴∠DCE＝90°，∴△DCF∽△DEC，∴＝＝，∴＝．故选：B．4．如图，已知在△ABC中，点D在边AB上，那么下列条件中不能判定△ABC∼△ACD的是（）A．B．AC2＝AD•AB C．∠B＝∠ACD D．∠ADC＝∠ACB【分析】△ABC和△ACD有公共角，然后根据相似三角形的判定方法对各选项进行判断．【解答】解：∵∠DAC＝∠CAB，∴当∠ACD＝∠B或∠ADC＝∠ACB，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△ACD∽△ABC；当，即AC2＝AD•AB时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断△ACD∽△ABC．故选：A．5．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，若AE＝3，ED＝5，则的值为．【分析】利用平行线的性质判定△ABE∽△DCE，利用相似三角形的性质可得结论．【解答】解：∵AB∥CD，∴△ABE∽△DCE．∴．∵AE＝3，ED＝5，∴＝．故答案为：．1．已知，则的值是（）A．B．C．D．【分析】设＝k（k≠0），得出a＝13k，b＝5k，再代入要求的式子进行计算即可求出答案．【解答】解：设＝k（k≠0），则a＝13k，b＝5k，∴＝＝；故选：D．2．如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠A，AC＝6，BC＝4，所以AB长为（）A．2B．C．D．4【分析】将∠ABC三等分，与△ABC外接圆相交，交点分别为：E与F，利用托勒密定理列出方程组，求解即可解决问题．【解答】解：将∠ABC三等分，与△ABC外接圆相交，交点分别为：E与F，如图所示：圆上依次为ABCEF，记BE＝m，AB＝b，则利用托勒密定理有：，可得：，即，∴b＝，故选：B．3．如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F是AD的中点，FE交AC于O点，交CB的延长线于G点，那么S△AOF：S△COG＝（）A．1：4B．1：9C．1：16D．1：25【分析】根据平行四边形的性质求出AD＝BC，AD∥BC，推出△AFE∽△BGE，△AFO∽△CGO，再根据相似三角形的性质得出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵E为AB的中点，F为AD的中点，∴AE＝BE，AF＝AD＝BC，∵AD∥BC，∴△AFE∽△BGE，∴，∵AE＝BE，∴AF＝BG＝BC，∴＝∵AD∥BC，∴△AFO∽△CGO，∴＝（）2＝，即S△AOF：S△COG＝1：9，故选：B．4．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据平行线分线段成比例性质进行解答便可．【解答】解：∵EF∥BC，∴，∵EG∥AB，∴，∴，故选：A．5．如图，P为平行四边形ABCD的边AD上的一点，E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△P AB 的面积分别为S，S1，S2．若S＝3，则S1+S2的值为（）A．24B．12C．6D．3【分析】过P作PQ平行于DC，由DC与AB平行，得到PQ平行于AB，可得出四边形PQCD与ABQP 都为平行四边形，进而确定出△PDC与△PCQ面积相等，△PQB与△ABP面积相等，再由EF为△BPC 的中位线，利用中位线定理得到EF为BC的一半，且EF平行于BC，得出△PEF与△PBC相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，求出△PBC的面积，而△PBC面积＝△CPQ面积+△PBQ面积，即为△PDC面积+△P AB面积，即为平行四边形面积的一半，即可求出所求的面积．【解答】解：过P作PQ∥DC交BC于点Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，∴四边形PQCD与四边形APQB都为平行四边形，∴△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，∴S△PDC＝S△CQP，S△ABP＝S△QPB，∵EF为△PCB的中位线，∴EF∥BC，EF＝BC，∴△PEF∽△PBC，且相似比为1：2，∴S△PEF：S△PBC＝1：4，S△PEF＝3，∴S△PBC＝S△CQP+S△QPB＝S△PDC+S△ABP＝S1+S2＝12．故选：B．6．如图，在平行四边形ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，3AE＝2EB，连接DF．若S△AEF＝4，则S△ADF的值为（）A．6B．10C．15D．【分析】因为四边形ABCD是平行边形，所以AD∥BC，则△AEF∽△ABC，得＝＝，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ABC的面积为25，而△CDA≌△ABC，则△CDA的面积为25，根据等高三角形面积的比等于底的比即可求出△ADF的面积．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是平行边形，∴AD∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵3AE＝2EB，∴＝，∴＝＝，∴＝＝＝，∵S△AEF＝4，∴S△ABC＝＝＝25，∴CD＝AB，AD＝BC，AC＝CA，∴△CDA≌△ABC（SSS），∴S△CDA＝S△ABC＝25，∴S△ADF＝S△CDA＝×25＝10，∴S△ADF的值为10，故选：B．7．如图，平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果，那么＝．【分析】由平行四边形的对边相等可求得BC＝AD，BC∥AD，易证得△BEF∽△DAF，则，根据比例的性质即可得解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC；∵＝，∵AD∥BC，∴△BEF∽△DAF，∴，∴，∴＝＝．故答案为：．8．在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E是BC的中点，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F，连接CF、AC．（1）线段DF的长为；（2）若AC交DF于点M，则＝．【分析】（1）利用三角形面积相等，列出等式，求解即可；（2）延长DF交CB的延长线于K，利用相似三角形的性质求出KE，再利用平行线分线段成比例定理求解即可．【解答】解：（1）根据题意，画出下图：∵AB＝6，AD＝8，BE＝＝4，∴AE＝，∴S△ADE＝＝，S△ADE＝＝24，∴DF＝＝．（2）若AC交DF于点M，延长DF交BC延长线于点K，如图所示：∵∠KEF＝∠AEB，∠EFK＝∠ABE＝90°，∴△KEF∽△AEB，∴，∴，∴KE＝5，∴CK＝KE+EC＝9，∵AD∥CK，∴＝．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．（1）求证：BD•AD＝DE•AC．（2）若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．（3）在（2）的条件下，求cos∠BDE的值．【分析】（1）证明∠B＝∠C，∠DEB＝∠ADC＝90°，可证明△BDE∽△CAD即可解决问题；（2）利用面积法：•AD•BD＝•AB•DE求解即可；（3）可得出∠BDE＝∠BAD，则cos∠BDE＝cos∠BAD＝．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠B＝∠C，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC，∴△BDE∽△CAD．∴，∴BA•AD＝DE•CA；（2）∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，在Rt△ADB中，AD＝＝＝12，∵•AD•BD＝•AB•DE，∴DE＝．（3）∵∠ADB＝∠AED＝90°，∴∠BDE＝∠BAD，∴cos∠BDE＝cos∠BAD＝．10．已知：四边形ABCD中，AC＝AB＝20，点E为BC边上一点，BE≥CE，且DE＝DC，∠AED＝∠B，AC、DE相交于点F，cos∠B＝．（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）若BE＝18，求EF的长；（3）若∠DAE＝90°，求CE的长．【分析】（1）正确作出辅助线，找到对等关系，即可证明△ABE∽△ECF；（2）找到包含有要求解的边长有关系的三角形，利用勾股定理，求出AE的边长，再利用相似三角形，找到对应关系，即可求出EF的长；（3）在直角三角形内，根据给定的余弦值，找到对应边长，即可求出CE的长．【解答】（1）证明：如图所示：过点A作AH⊥BC于H，∵AB＝AC＝20，∴∠AED＝∠B，∴∠1+∠2＝180°﹣∠AED，∵∠3+∠2＝180°﹣∠B，∴∠1＝∠3，∴△ABE∽△ECF；（2）解：由（1）知，过点A作AH⊥BC于H，∵AB＝20，cos∠B＝，∴BH＝16，∵AB＝AC，∴BH＝CH＝16，∴BC＝32，∵BE＝18，∴EC＝14，在△ABH中，AH＝，HE＝BE﹣BH＝18﹣16＝2，∴AE＝，∵△ABE∽△ECF，∴，即，∴EF＝．（3）解：若∠DAE＝90°，则∠BAE＝90°，∵AB＝20，cos∠B＝，∴BE＝25，∴CE＝BC﹣BE＝32﹣25＝7．1.（2021·浙江衢州）图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE与地面平行，支撑杆AD，BC可绕连接点O转动，且OA＝OB，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆HD，点H是CD的中点，F A，EB均与地面垂直，测得F A＝54cm，EB＝45cm，AB＝48cm．（1）椅面CE的长度为cm．（2）如图3，椅子折叠时，连杆HD绕着支点H带动支撑杆AD，BC转动合拢，椅面和连杆夹角∠CHD 的度数达到最小值30°时，A，B两点间的距离为cm（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）【分析】（1）由平行线的性质可得∠ECB＝∠ABF，由锐角三角函数可得，即可求解；（2）如图2，延长AD，BE交于点N，由“ASA”可证△ABF≌△BAN，可得BN＝AF，可求NE的长，由锐角三角函数可求DE的长，即可求DH的长，如图3，连接CD，过点H作HP⊥CD于P，由锐角三角函数和等腰三角形的性质，可求DC的长，通过相似三角形的性质可求解．【解答】解：（1）∵CE∥AB，∴∠ECB＝∠ABF，∴tan∠ECB＝tan∠ABF，∴，∴，∴CE＝40（cm），故答案为：40；（2）如图2，延长AD，BE交于点N，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，在△ABF和△BAN中，，∴△ABF≌△BAN（ASA），∴BN＝AF＝54（cm），∴EN＝9（cm），∵tan N＝，∴＝，∴DE＝8（cm），∴CD＝32（cm），∵点H是CD的中点，∴CH＝DH＝16（cm），∵CD∥AB，∴△AOB∽△DOC，∴＝＝＝，如图3，连接CD，过点H作HP⊥CD于P，∵HC＝HD，HP⊥CD，∴∠PHD＝∠CHD＝15°，CP＝DP，∵sin∠DHP＝＝sin15°≈0.26，∴PD≈16×0.26＝4.16（cm），∴CD＝2PD＝8.32（cm），∵CD∥AB，∴△AOB∽△DOC，∴，∴，∴AB＝12.48≈12.5（cm），故答案为：12.5．2.（2021·浙江宁波）【证明体验】（1）如图1，AD为△ABC的角平分线，∠ADC＝60°，点E在AB上，AE＝AC．求证：DE平分∠ADB．【思考探究】（2）如图2，在（1）的条件下，F为AB上一点，连结FC交AD于点G．若FB＝FC，DG＝2，CD＝3，求BD的长．【拓展延伸】（3）如图3，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠BCA＝2∠DCA，点E在AC上，∠EDC＝∠ABC．若BC＝5，CD＝2，AD＝2AE，求AC的长．【分析】（1）由△EAD≌△CAD得∠ADE＝∠ADC＝60°，因而∠BDE＝60°，所以DE平分∠ADB；（2）先证明△BDE∽△CDG，其中CD＝ED，再由相似三角形的对应边成比例求出BD的长；（3）根据角平分线的特点，在AB上截取AF＝AD，连结CF，构造全等三角形和相似三角形，由相似三角形的性质求出AC的长．【解答】（1）证明：如图1，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAD，∵AE＝AC，AD＝AD，∴△EAD≌△CAD（SAS），∴∠ADE＝∠ADC＝60°，∵∠BDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠BDE＝∠ADE，∴DE平分∠ADB．（2）如图2，∵FB＝FC，∴∠EBD＝∠GCD；∵∠BDE＝∠CDG＝60°，∴△BDE∽△CDG，∴；∵△EAD≌△CAD，∴DE＝CD＝3，∵DG＝2，∴BD＝＝＝.（3）如图3，在AB上取一点F，使AF＝AD，连结CF．∵AC平分∠BAD，∴∠F AC＝∠DAC，∵AC＝AC，∴△AFC≌△ADC（SAS），∴CF＝CD，∠FCA＝∠DCA，∠AFC＝∠ADC，∵∠FCA+∠BCF＝∠BCA＝2∠DCA，∴∠DCA＝∠BCF，即∠DCE＝∠BCF，∵∠EDC＝∠ABC，即∠EDC＝∠FBC，∴△DCE∽△BCF，∴，∠DEC＝∠BFC，∵BC＝5，CF＝CD＝2，∴CE＝＝＝4；∵∠AED+∠DEC＝180°，∠AFC+∠BFC＝180°，∴∠AED＝∠AFC＝∠ADC，∵∠EAD＝∠DAC（公共角），∴△EAD∽△DAC，∴＝，∴AC＝2AD，AD＝2AE，∴AC＝4AE＝CE＝×4＝．3.（2021·浙江杭州）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连接BG．（1）求证：△ABG∽△AFC．（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．（3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD ＝∠CBE，求证：BG2＝GE•GD．【分析】（1）根据∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，知∠BAC＝∠F AC，由圆周角定理知∠G＝∠C，即可证△ABG∽△AFC；（2）由（1）知＝，由AC＝AF得AG＝AB，即可计算FG的长度；（3）先证△DGB∽△BGE，得出线段比例关系，即可得证BG2＝GE•GD．【解答】（1）证明：∵AG平分∠BAC，∴∠BAG＝∠F AC，又∵∠G＝∠C，∴△ABG∽△AFC；（2）解：由（1）知，△ABG∽△AFC，∴＝，∵AC＝AF＝b，∴AB＝AG＝a，∴FG＝AG﹣AF＝a﹣b；（3）证明：∵∠CAG＝∠CBG，∠BAG＝∠CAG，∴∠BAG＝∠CBG，∵∠ABD＝∠CBE，∴∠BDG＝∠BAG+∠ABD＝∠CBG+∠CBE＝∠EBG，又∵∠DGB＝∠BGE，∴△DGB∽△BGE，∴＝，∴BG2＝GE•GD．4.（2021·浙江金华）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣，0），点B在直线l：y＝x上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C．（1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D．①若BA＝BO，求证：CD＝CO．②若∠CBO＝45°，求四边形ABOC的面积．（2）是否存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）①由BC⊥AB，CO⊥BO，可得∠BAD+∠ADB＝∠COD+∠DOB＝90°，而根据已知有∠BAD＝∠DOB，故∠ADB＝∠COD，从而可得∠COD＝∠CDO，CD＝CO；②过A作AM⊥OB于M，过M作MN⊥y轴于N，设M（m，m），可得tan∠OMN＝tan∠AOM＝，即＝，设AM＝3n，则OM＝8n，Rt△AOM中，AM2+OM2＝OA2，可求出AM＝3，OM＝8，由∠CBO＝45°可知△BOC是等腰直角三角形，△ABM是等腰直角三角形，从而有AM＝BM＝3，BO＝CO ＝OM﹣BM＝5，AB＝AM＝3，BC＝BO＝5，即可求出S四边形ABOC＝S△ABC+S△BOC＝；（2）（一）过A作AM⊥OB于M，当B在线段OM或OM延长线上时，设OB＝x，则BM＝|8﹣x|，AB ＝，由△AMB∽△BOC，＝，即＝，得OC＝，BC＝＝，以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，分两种情况：①若＝，OB＝4；②若＝，OB ＝4+或OB＝4﹣或OB＝9；（二）当B在线段MO延长线上时，设OB＝x，则BM＝8+x，AB＝，由△AMB∽△BOC，＝，即＝，得OC＝•（8+x），以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，需满足＝，即＝，可得OB＝1．【解答】（1）①证明：∵BC⊥AB，CO⊥BO，∴∠ABC＝∠BOC＝90°，∴∠BAD+∠ADB＝∠COD+∠DOB＝90°，∵BA＝BO，∴∠BAD＝∠DOB，∴∠ADB＝∠COD，∵∠ADB＝∠CDO，∴∠COD＝∠CDO，∴CD＝CO；②解：过A作AM⊥OB于M，过M作MN⊥y轴于N，如图：∵M在直线l：y＝x上，设M（m，m），∴MN＝|m|＝﹣m，ON＝|m|＝﹣m，Rt△MON中，tan∠OMN＝＝，而OA∥MN，∴∠AOM＝∠OMN，∴tan∠AOM＝，即＝，设AM＝3n，则OM＝8n，Rt△AOM中，AM2+OM2＝OA2，又A的坐标为（﹣，0），∴OA＝，∴（3n）2+（8n）2＝（）2，解得n＝1（n＝﹣1舍去），∴AM＝3，OM＝8，∵∠CBO＝45°，CO⊥BO，∴△BOC是等腰直角三角形，∵BC⊥AB，∠CBO＝45°，∴∠ABM＝45°，∵AM⊥OB，∴△ABM是等腰直角三角形，∴AM＝BM＝3，BO＝CO＝OM﹣BM＝5，∴等腰直角三角形△ABM中，AB＝AM＝3，等腰直角三角形△BOC中，BC＝BO＝5，∴S△ABC＝AB•BC＝15，S△BOC＝BO•CO＝，∴S四边形ABOC＝S△ABC+S△BOC＝；（2）解：存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，理由如下：（一）过A作AM⊥OB于M，当B在线段OM或OM延长线上时，如图：由（1）②可知：AM＝3，OM＝8，设OB＝x，则BM＝|8﹣x|，AB＝，∵CO⊥BO，AM⊥BO，AB⊥BC，∴∠AMB＝∠BOC＝90°，∠ABM＝90°﹣∠OBC＝∠BCO，∴△AMB∽△BOC，∴＝，即＝，∴OC＝，Rt△BOC中，BC＝＝，∵∠ABC＝∠BOC＝90°，∴以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，分两种情况：①若＝，则＝，解得x＝4，∴此时OB＝4；②若＝，则＝，解得x1＝4+，x2＝4﹣，x3＝9，x4＝﹣1（舍去），∴OB＝4+或OB＝4﹣或OB＝9；（二）当B在线段MO延长线上时，如图：由（1）②可知：AM＝3，OM＝8，设OB＝x，则BM＝8+x，AB＝，∵CO⊥BO，AM⊥BO，AB⊥BC，∴∠AMB＝∠BOC＝90°，∠ABM＝90°﹣∠OBC＝∠BCO，∴△AMB∽△BOC，∴＝，即＝，∴OC＝•（8+x），Rt△BOC中，BC＝＝•，∵∠ABC＝∠BOC＝90°，∴以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，需满足＝，即＝，解得x1＝﹣9（舍去），x2＝1，∴OB＝1，综上所述，以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，则OB的长度为：4或4+或4﹣或9或1；1．（2021•瓯海区模拟）若＝，则的值是（）A．3B．C．D．2【分析】根据比例的性质求出b＝2a，再代入求出答案即可．【解答】解：∵＝，∴b＝2a，∴＝＝＝，故选：C．2．（2021•下城区校级四模）在比例尺为1：10000的地图上，相距4cm的A、B两地的实际距离是（）A．400m B．400dm C．400cm D．400km【分析】设AB的实际距离为xcm，根据比例尺的定义得到4：x＝1：10000，利用比例的性质求得x的值，注意单位统一．【解答】解：设AB的实际距离为xcm，∵比例尺为1：10000，∴4：x＝1：10000，∴x＝40000cm＝400m．故选：A．3．（2021•温岭市一模）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，则BC：CE＝（）A．3：5B．1：3C．5：3D．2：3【分析】直接根据平行线分线段成比例定理求解．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝＝＝．故选：A．4．（2021•拱墅区二模）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC、AB上一点，且AF＝BE，AE与DF 交于点G，连接CG．若CG＝BC，则AF：FB的比为（）A．1：1B．1：2C．1：3D．1：4【分析】作CH⊥DF于点H，证明△AGD≌△DHC，可得AG＝DH＝GH，tan∠ADG＝＝．由此可解决此问题．【解答】解：作CH⊥DF于点H，如图所示．在△ADF和△BAE中，，∴△ADF≌△BAE（SAS）．∴∠ADF＝∠BAE，又∠BAE+∠GAD＝90°，∴∠ADF+∠GAD＝90°，即∠AGD＝90°．由题意可得∠ADG+∠CDG＝90°，∠HDC+∠CDG＝90°，．∴∠ADG＝∠HDC．在△AGD和△DHC中，，∴△AGD≌△DHC（AAS）．∴DH＝AG．又CG＝BC，BC＝DC，∴CG＝DC．由等腰三角形三线合一的性质可得GH＝DH，∴AG＝DH＝GH．∴tan∠ADG＝．又tan∠ADF＝＝，∴AF＝AB．即F为AB中点，∴AF：FB＝1：1．故选：A．5．（2021•宁波模拟）如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝2，则的值为（）A．B．C．2D．3【分析】根据平行线分线段成比例定理定理列出比例式，计算即可．【解答】解：∵＝2，∴＝，∵DE∥AB，∴＝＝，故选：B．6．（2021•丽水模拟）如图，已知△ABC∽△BDC，其中AC＝4，CD＝2，则BC＝（）A．2B．C．D．4【分析】直接利用相似三角形的性质得出BC2＝AC•CD，进而得出答案．【解答】解：∵△ABC∽△BDC，∴＝，∵AC＝4，CD＝2，∴BC2＝AC•CD＝4×2＝8，∴BC＝2．故选：B．7．（2021•宁波模拟）如图，△ABC的两条中线BE，CD交于点O，则下列结论不正确的是（）A．＝B．＝C．△ADE∽△ABC D．S△DOE：S△BOC＝1：2【分析】根据三角形中位线定理得到DE＝BC，DE∥BC，根据相似三角形的性质进行计算，判断即可．【解答】解：∵AD＝DB，AE＝EC，∴DE＝BC，DE∥BC，∴＝，A选项结论正确，不符合题意；∵DE∥BC，∴＝，B选项结论正确，不符合题意；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，C选项结论正确，不符合题意；∵DE∥BC，∴△DOE∽△COB，∴S△DOE：S△COB＝1：4，D选项结论错误，符合题意；故选：D．8．（2021•西湖区校级二模）如图，正六边形ABCDEF外作正方形DEGH，连接AH交DE于点O，则等于（）A．3B．C．2D．【分析】连接BD，如图所示：由正六边形和正方形的性质得：B、D、H三点共线，设正六边形的边长为a，则AB＝BC＝CD＝DE＝a，解直角三角形求出BD，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．【解答】解：连接BD，如图所示：由正六边形和正方形的性质得：B、D、H三点共线，设正六边形的边长为a，则AB＝BC＝CD＝DE＝a，∵在△BCD中，BC＝CD＝a，∠BCD＝120°，∴BD＝a．∵OD∥AB，∴＝＝＝，故选：B．9．（2021•拱墅区二模）黄金分割比符合人的视觉习惯，在人体躯干和身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618越给人以美感．张女士身高165cm，若她下半身的长度（脚底到肚脐的高度）与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应该选择约厘米的高跟鞋看起来更美．（结果保留整数）【分析】根据黄金分割定义：下半身长与全身的比等于0.618即可求解．【解答】解：根据已知条件可知：下半身长是165×0.6＝99（cm），设需要穿的高跟鞋为ycm，则根据黄金分割定义，得＝0.618，解得：y≈8，经检验y≈8是原方程的根，答：她应该选择大约8cm的高跟鞋．故答案为8．10．（2021•金东区校级模拟）如图，已知直角坐标系中四点A（﹣2，4）、C（2，﹣3），分别过A、C作AB、CD垂直于x轴于B、D．设P是x轴上的点，且P A、PB、AB所围成的三角形与PC、PD、CD所围成的三角形相似，请写出所有符合上述条件的点P的坐标是．【分析】需要分情况分析，当点P在AB左边，在AB与CD之间，在CD的右边，通过相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例即可求得．【解答】解：设OP＝x（x＞0），分三种情况：一、若点P在AB的左边，有两种可能：①此时△ABP∽△PDC，则PB：CD＝AB：PD，则（x﹣2）：3＝4：（x+2），解得x＝4，∴点P的坐标为（﹣4，0）；②若△ABP∽△CDP，则AB：CD＝PB：PD，则（﹣x﹣2）：（2﹣x）＝4：3，解得：x＝14，与假设在B点左边矛盾，舍去．二、若点P在AB与CD之间，有两种可能：①若△ABP∽△CDP，则AB：CD＝BP：PD，∴4：3＝（x+2）：（2﹣x），解得：x＝，∴点P的坐标为（，0）；②若△ABP∽△PDC，则AB：PD＝BP：CD，∴4：（2﹣x）＝（x+2）：3，方程无解；三、若点P在CD的右边，有两种可能：①若△ABP∽△CDP，则AB：CD＝BP：PD，∴4：3＝（2+x）：（x﹣2），∴x＝14，∴点P的坐标为（14，0），②若△ABP∽△PDC，则AB：PD＝BP：CD，∴4：（x﹣2）＝（x+2）：3，∴x＝4，∴点P的坐标为（4，0）；∴点P的坐标为（，0）、（14，0）、（4，0）、（﹣4，0）．故答案为：（，0）、（14，0）、（4，0）、（﹣4，0）．11．（2021•宁波模拟）如图，▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD＝∠ACB，G是线段OD上一点，∠DGC﹣∠DCG＝90°，tan∠DCG＝，则的值为．【分析】由锐角三角函数可设GF＝a，CF＝2a，由“AAS”可证△GCE≌△GCF，可得CE＝CF＝2a，GF＝EG＝a，通过证明△GFD∽△CED，可求DC＝a，DE＝a，通过证明△DCO∽△ACD，可得，由勾股定理可求OE，即可求解．【解答】解：如图，过点C作CE⊥BD于E，过G作GF⊥CD于F，∵∠DGC＝∠CEG+∠GCE＝90°+∠GCE，∴∠DGC﹣∠GCE＝90°，又∵∠DGC﹣∠DCG＝90°，∴∠GCD＝∠ECG，∵tan∠DCG＝＝，∴设GF＝a，CF＝2a，在△GCE和GCF中，，∴△GCE≌△GCF（AAS），∴CE＝CF＝2a，GF＝EG＝a，∵∠GDF＝∠EDC，∠GFD＝∠CED＝90°，∴△GFD∽△CED，∴，∴＝＝，∴DF＝a，DG＝a，∴DC＝a，DE＝a，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AO＝CO，BO＝DO，∴∠ABD＝∠BDC，∠DAC＝∠ACB，∵∠ABD＝∠ACB，∴∠BDC＝∠DAC，又∵∠ACD＝∠DCO，∴△DCO∽△ACD，∴，∴DC2＝2OC2，∴OC2＝a2＝a2，∴OE＝＝a，∴OD＝DE+OE＝a＝OB，∴＝，故答案为：．12．（2021•西湖区二模）如图，在矩形ABCD中，E是CD上一点，AE＝AB，作BF⊥AE．（1）求证：△ADE≌△BF A；（2）连接BE，若△BCE与△ADE相似，求．【分析】（1）根据矩形的性质得出∠D＝∠DAB＝90°，求出∠DAE+∠F AB＝90°，∠FBA+∠F AB＝90°，求出∠D＝∠AFB，∠DAE＝∠FBA，再根据全等三角形的判定推出即可；（2）根据矩形的性质得出∠C＝∠D＝90°，DC∥AB，根据平行线的性质得出∠CEB＝∠ABE，设∠CEB＝∠ABE＝x°，根据等腰三角形的性质求出∠AEB＝∠EBA＝x°，根据相似三角形的性质得出两种情况：①∠DEA＝∠CEB＝x°，根据∠DEA+∠AEB+∠CEB＝180°得出x+x+x＝180，求出x，再解直角三角形求出AE和AD，再求出答案即可；②∠DEA＝∠EBC，设∠DEA＝∠EBC＝y°，求出∠DEA+∠AEB+∠CEB＝（y+2x）°＝180°，∠EBC+∠CEB＝（y+x）°＝90°，求出x，再得出答案即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠DAB＝90°，∴∠DAE+∠F AB＝90°，∵BF⊥AE，∴∠AFB＝90°，∴∠D＝∠AFB，∠FBA+∠F AB＝90°，∴∠DAE＝∠FBA，在△ADE和△BF A中，∴△ADE≌△BF A（AAS）；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，DC∥AB，∴∠CEB＝∠ABE，设∠CEB＝∠ABE＝x°，∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠EBA＝x°，当△BCE与△ADE相似时，有两种情况：①∠DEA＝∠CEB＝x°，∵∠DEA+∠AEB+∠CEB＝180°，∴x+x+x＝180，解得：x＝60，即∠DEA＝60°，∴∠DAE＝90°﹣60°＝30°，∴AE＝2DE，由勾股定理得：AD＝＝＝DE，∵AE＝AB，∴＝＝＝；②∠DEA＝∠EBC，设∠DEA＝∠EBC＝y°，∵∠CEB＝∠EBA＝∠AEB＝x°，则∠DEA+∠AEB+∠CEB＝y°+x°+x°＝（y+2x）°＝180°，在Rt△BCE中，∠EBC+∠CEB＝y°+x°＝（y+x）°＝90°，即，解得：x＝90°，即∠CEB＝90°，此时点E和点C重合，△BEC不存在，舍去；所以＝．13．（2021•拱墅区二模）如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC的中点，F是BC延长线上一点，∠F＝∠B．（1）若AB＝10，求FD的长；（2）若AC＝BC，求证：△CDE∽△DFE．【分析】（1）首先利用中位线定理得到DE∥AB以及DE的长，再证明∠DEC＝∠F即可；（2）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B，进而求出∠CDE＝∠F并结合∠CED＝∠DEF即可证明△CDE∽△DFE．【解答】解：（1）∵D、E分别是AC、BC的中点，∴DE∥AB，DE＝AB＝5，∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠B，而∠F＝∠B，∴∠DEC＝∠F，∴DF＝DE＝5；（2）∵AC＝BC，∴∠A＝∠B，∵∠CDE＝∠A，∠CED＝∠B，∴∠CDE＝∠B，∵∠B＝∠F，∴∠CDE＝∠F，∵∠CED＝∠DEF，∴△CDE∽△DFE．14．（2021•宁波模拟）如图，矩形ABCD中，E是边AD的中点，CE与BD交于点P，将△ABE沿BE翻折，点A的对应点F刚好落在线段CP上．（1）求证：△EBC是等边三角形．（2）求的值．【分析】（1）根据矩形的性质证明△ABE≌△DCE（SAS），可得EB＝EC，∠AEB＝∠CED，由翻折可知：∠AEB＝∠FEB，进而可以解决问题；（2）证明△PDE∽△PBC，可得＝＝，所以＝，进而可以解决问题．【解答】（1）证明：∵E是边AD的中点，∴AE＝DE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠CDA＝90°，AB＝CD，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（SAS），∴EB＝EC，∠AEB＝∠CED，由翻折可知：∠AEB＝∠FEB，∴∠AEB＝∠FEB＝∠CED＝60°，∴△EBC是等边三角形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，。
高中数学特殊值记忆
高中数学特殊值记忆
高中数学中有许多特殊值值得记忆，这些特殊值可以帮助我们更好地理解数学概念和解决问题。
以下是一些常见的特殊值:
1. 三角形中的特殊值：当三角形 ABC 的边 AB 为斜边时，有
sin(A)/AB=AC/AB,cos(A)/AB=BC/AB,tan(A)/AB=AB/AC。
2. 圆中的特殊值：当圆 O 的半径 R=0 时，圆 O 变为一个点，此时圆心 O 成为点 O;当圆 O 的半径 R=1 时，圆 O 变为一个单位圆，此时点的坐标必须是实数。
3. 函数中的特殊值：当函数 f(x)=0 的 x 值为-∞时，f(x) 称为单调递增函数;当函数 f(x)=0 的 x 值为+∞时，f(x) 称为单调递减函数;当函数 f(x) 在 x=a 处取得极值时，有 f"(x)=0。
4. 数列中的特殊值：当数列{an}的前 n 项和 Sn=0 时，数列{an}为等差数列;当数列{an}的前 n 项和 Sn=1 时，数列{an}为等比数列。
5. 导数中的特殊值：当函数 y=f(x) 的导数 f"(x)=0 时，有
f(x) 为常数函数;当函数 y=f(x) 的导数 f"(x)<0 时，函数 y=f(x) 在 x=a 处取得极小值;当函数 y=f(x) 的导数 f"(x)>0 时，函数
y=f(x) 在 x=a 处取得极大值。
以上是一些常见的特殊值，这些特殊值可以帮助我们更好地理解数学概念和解决问题。
如果我们能够记住这些特殊值，就可以更好地掌握数学知识，更好地应用数学。
四年级下册数学试题解决问题解答应用题训练专项训练带答案解析
四年级下册数学试题解决问题解答应用题训练专项训练带答案解析一、人教四年级下册数学应用题1．张大伯从家里出发，到河边取水，再到花园去浇花。
他在哪一点取水，路途最近？2．淘气身高1.46米，站在0.4米高的凳子上比爸爸还高0.09米，爸爸的身高是多少米?3．小丽身高1.35米，她站在0.5米高的凳子上时，比妈妈高0.26米。
妈妈身高多少米？4．两根绳子分别长1.38米和2.15米，爸爸把两根绳子接在一起，接头处用去0.25米，接好后的绳子实际有多长？5．一辆新能源汽车行100km耗电13千瓦时。
6．食堂运来一批大米，吃了一星期后，剩下的比吃了的多14.7千克，剩下98.7千克。
食堂运来多少千克大米？7．服装店购进某种衬衫24件，进货价是90元/件，按照每件115元卖出后，一共可以赚多少元钱？8．四（1）班要组织师生到动物园游玩，共有2位教师和30名学生。
购买个人票和团体票，哪种合算？你还有更优惠的购票方法吗？门票价格：成人每人16元。
儿童每人8元。
团体10以上（含10人）每人9元。
9．涛涛要从艺术楼到教学楼，再到操场。
（1）请你画出涛涛从艺术楼去教学楼，再到操场最近的路。
（2）从艺术楼去教学楼，再到操场最近的距离是186米。
如果涛涛平均每分走62米，从艺术楼沿最近的路先到教学楼再到操场要多少分？10．遗爱湖公园有大小两种游船，每条大船能坐8人，每条小船能坐6人。
实验小学136名师生去划船。
租了大船和小船共18条，正好全部坐满。
他们租了多少条大船？11．一根小棒长12厘米，把它剪成3段（每段都取整厘米数），首尾相连搭成三角形，可以怎样剪？请写出来。
12．直角三角形的一个锐角是另一个锐角的2倍。
请问这两个锐角各是多少度？13．某公司决定组织48名员工到附近的公园坐船游园，公司派财务科小张去了解船只的租金情况，价格表如下：船型每只限坐人数（人）租金（元/时）大船530小船32414．一根绳子长26.3米，第一次用去5.26米，第二次用去4.67米。
视力检测之AC比A的测量方法
AC/A的测定
AC/A的定义
•AC/A：A表示调节力，AC表示集合力
•是调节性集合与引起该调节集合的调节之比•刺激性AC/A：即其中的A是调节刺激
•反应性AC/A：即其中的A是调节刺反应•正常刺激性AC/A=4△±2/D
AC/A
是联系调节与集合的纽带
调节
集合
AC/A是判断双眼视异常的重
要依据，双眼视异常的分类
中就以AC/A值作为分类依据
隐斜法测量AC/A
•公式：AC/A=PD+(△近-△远）/D
•注：
–PD指瞳距
–△近指近距离隐斜量，内隐斜取+，外隐斜取-
–△远指远距离隐斜量，内隐斜取+，外隐斜取-
–D为看近所需要的调节量
计算性AC/A测量结果重复性高，关键是近距离的隐斜测量需要控制好调节。
浙江省温州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题(提升题)知识点分类
浙江省温州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类一．分式的加减法（共1小题）1．（2023•温州）计算：（1）|﹣1|++（）﹣2﹣（﹣4）；（2）﹣．二．待定系数法求一次函数解析式（共1小题）2．（2023•温州）如图，在直角坐标系中，点A （2，m ）在直线y ＝2x ﹣上，过点A 的直线交y 轴于点B （0，3）．（1）求m 的值和直线AB 的函数表达式；（2）若点P （t ，y 1）在线段AB 上，点Q （t ﹣1，y 2）在直线y ＝2x ﹣上，求y 1﹣y 2的最大值．三．一次函数的应用（共1小题）3．（2021•温州）某公司生产的一种营养品信息如表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克．营养品信息表营养成分每千克含铁42毫克原料每千克含铁甲食材50毫克配料表乙食材10毫克规格每包食材含量每包单价A 包装1千克45元B 包装0.25千克12元（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？四．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）4．（2021•温州）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8（a≠0）经过点（﹣2，0）．（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．（2）直线l交抛物线于点A（﹣4，m），B（n，7），n为正数．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），分别求出点P横坐标与纵坐标的取值范围．五．二次函数的应用（共1小题）5．（2022•温州）根据以下素材，探索完成任务．如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？素材1图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高．素材2为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．问题解决任务1确定桥拱形状在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．任务2探究悬挂范围在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．任务3拟定设计方案给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．六．平行四边形的判定与性质（共2小题）6．（2022•温州）如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，E ，F 分别是AC ，AB 的中点，O 是DF 的中点，EO 的延长线交线段BD 于点G ，连结DE ，EF ，FG ．（1）求证：四边形DEFG 是平行四边形．（2）当AD ＝5，tan ∠EDC ＝时，求FG 的长．7．（2021•温州）如图，在▱ABCD 中，E ，F 是对角线BD 上的两点（点E 在点F 左侧），且∠AEB ＝∠CFD ＝90°．（1）求证：四边形AECF 是平行四边形；（2）当AB ＝5，tan ∠ABE ＝，∠CBE ＝∠EAF 时，求BD 的长．七．圆的综合题（共2小题）8．（2022•温州）如图1，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆于点D，BE⊥CD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知BC＝5，BE＝3，点P，Q分别在线段AB，BE上（不与端点重合），且满足＝．设BQ＝x，CP＝y．（1）求半圆O的半径．（2）求y关于x的函数表达式．（3）如图2，过点P作PR⊥CE于点R，连结PQ，RQ．①当△PQR为直角三角形时，求x的值．②作点F关于QR的对称点F′，当点F′落在BC上时，求的值．9．（2021•温州）如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O，分别交x轴、y轴于点A （2，0），B（0，8），连结AB．直线CM分别交⊙M于点D，E（点D在左侧），交x轴于点C（17，0），连结AE．（1）求⊙M的半径和直线CM的函数表达式；（2）求点D，E的坐标；（3）点P在线段AC上，连结PE．当∠AEP与△OBD的一个内角相等时，求所有满足条件的OP的长．八．利用平移设计图案（共1小题）10．（2021•温州）如图中4×4与6×6的方格都是由边长为1的小正方形组成．图1是绘成的七巧板图案，它由7个图形组成，请按以下要求选择其中一个并在图2、图3中画出相应的格点图形（顶点均在格点上）．（1）选一个四边形画在图2中，使点P为它的一个顶点，并画出将它向右平移3个单位后所得的图形．（2）选一个合适的三角形，将它的各边长扩大到原来的倍，画在图3中．九．作图-旋转变换（共1小题）11．（2023•温州）如图，在2×4的方格纸ABCD中，每个小方格的边长为1．已知格点P，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）．（1）在图1中画一个等腰三角形PEF，使底边长为，点E在BC上，点F在AD上，再画出该三角形绕矩形ABCD的中心旋转180°后的图形；（2）在图2中画一个Rt△PQR，使∠P＝45°，点Q在BC上，点R在AD上，再画出该三角形向右平移1个单位后的图形．一十．相似形综合题（共1小题）12．（2023•温州）如图1，AB 为半圆O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 切半圆于点D ，BE ⊥CD ，交CD 延长线于点E ，交半圆于点F ，已知OA ＝，AC ＝1．如图2，连结AF ，P 为线段AF 上一点，过点P 作BC 的平行线分别交CE ，BE 于点M ，N ，过点P 作PH ⊥AB 于点H ．设PH ＝x ，MN ＝y ．（1）求CE 的长和y 关于x 的函数表达式；（2）当PH ＜PN ，且长度分别等于PH ，PN ，a 的三条线段组成的三角形与△BCE 相似时，求a 的值；（3）延长PN 交半圆O 于点Q ，当NQ ＝x ﹣3时，求MN 的长．一十一．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）13．（2023•温州）根据背景素材，探索解决问题．测算发射塔的高度背景素材某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度MN （如图1），他们通过自制的测倾仪（如图2）在A ，B ，C 三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示．经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度问题解决分析规划选择两个观测位置：点 和点 ．任务1获取数据写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间的图上距离．任务2推理计算计算发射塔的图上高度MN ．任务3换算高度楼房实际宽度DE 为12米，请通过测量换算发射塔的实际高度．注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1mm ．浙江省温州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类参考答案与试题解析一．分式的加减法（共1小题）1．（2023•温州）计算：（1）|﹣1|++（）﹣2﹣（﹣4）；（2）﹣．【答案】（1）12；（2）a﹣1．【解答】解：（1）原式＝1﹣2+9+4＝12；（2）原式＝＝＝a﹣1．二．待定系数法求一次函数解析式（共1小题）2．（2023•温州）如图，在直角坐标系中，点A（2，m）在直线y＝2x﹣上，过点A的直线交y轴于点B（0，3）．（1）求m的值和直线AB的函数表达式；（2）若点P（t，y1）在线段AB上，点Q（t﹣1，y2）在直线y＝2x﹣上，求y1﹣y2的最大值．【答案】（1）m＝；直线AB的函数表达式为y＝﹣x+3．（2）当t ＝0，y 1﹣y 2的最大值为．【解答】解：（1）把点A （2，m ）代入y ＝2x ﹣中，得m ＝；设直线AB 的函数表达式为：y ＝kx +b ，把A （2，），B （0，3）代入得：，解得，∴直线AB 的函数表达式为y ＝﹣x +3．（2）∵点P （t ，y 1）在线段AB 上，∴y 1＝﹣t +3（0≤t ≤2），∵点Q （t ﹣1，y 2）在直线y ＝2x ﹣上，∴y 2＝2（t ﹣1）﹣＝2t ﹣，∴y 1﹣y 2＝﹣t +3﹣（2t ﹣）＝﹣t +，∵﹣＜0，∴y 1﹣y 2随t 的增大而减小，∴当t ＝0，y 1﹣y 2的最大值为．三．一次函数的应用（共1小题）3．（2021•温州）某公司生产的一种营养品信息如表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克．营养品信息表营养成分每千克含铁42毫克原料每千克含铁甲食材50毫克配料表乙食材10毫克规格每包食材含量每包单价A 包装1千克45元B 包装0.25千克12元（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？【答案】（1）甲食材每千克进价为40元，乙食材每千克进价为20元；（2）①每日购进甲食材400千克，乙食材100千克；②当A为400包时，总利润最大，最大总利润为2800元．【解答】解：（1）设乙食材每千克进价为a元，则甲食材每千克进价为2a元，由题意得，解得a＝20，经检验，a＝20是所列方程的根，且符合题意，∴2a＝40（元），答：甲食材每千克进价为40元，乙食材每千克进价为20元；（2）①设每日购进甲食材x千克，乙食材y千克，由题意得，解得，答：每日购进甲食材400千克，乙食材100千克；②设A为m包，则B为＝（2000﹣4m）包，∵A的数量不低于B的数量，∴m≥2000﹣4m，∴m≥400，设总利润为W元，根据题意得：W＝45m+12（2000﹣4m）﹣18000﹣2000＝﹣3m+4000，∵k＝﹣3＜0，∴W随m的增大而减小，∴当m＝400时，W的最大值为2800，答：当A为400包时，总利润最大，最大总利润为2800元．四．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）4．（2021•温州）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8（a≠0）经过点（﹣2，0）．（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．（2）直线l交抛物线于点A（﹣4，m），B（n，7），n为正数．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），分别求出点P横坐标与纵坐标的取值范围．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣8；（1，﹣9）．（2）﹣4＜x P＜5，﹣9≤y P＜16．【解答】解：（1）把（﹣2，0）代入y＝ax2﹣2ax﹣8得0＝4a+4a﹣8，解得a＝1，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣8，∵y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9，∴抛物线顶点坐标为（1，﹣9）．（2）把x＝﹣4代入y＝x2﹣2x﹣8得y＝（﹣4）2﹣2×（﹣4）﹣8＝16，∴m＝16，把y＝7代入函数解析式得7＝x2﹣2x﹣8，解得x＝5或x＝﹣3，∴n＝5或n＝﹣3，∵n为正数，∴n＝5，∴点A坐标为（﹣4，16），点B坐标为（5，7）．∵抛物线开口向上，顶点坐标为（1，﹣9），∴抛物线顶点在AB下方，∴﹣4＜x P＜5，﹣9≤y P＜16．五．二次函数的应用（共1小题）5．（2022•温州）根据以下素材，探索完成任务．如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？素材1图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高．素材2为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．问题解决任务1确定桥拱形状在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．任务2探究悬挂范围在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．任务3拟定设计方案给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．【答案】任务1：y＝﹣x2；任务2：﹣1.8m，﹣6≤x≤6；任务3：挂7盏或8盏，横坐标分别为﹣4.8和﹣5.6，方案见解答．【解答】解：任务1：以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，则顶点为（0，0），且过点B（10，﹣5），设抛物线的解析式为：y＝ax2，把点B（10，﹣5）代入得：100a＝﹣5，∴a＝﹣，∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2；任务2：∵该河段水位再涨1.8m达到最高，灯笼底部距离水面不小于1m，灯笼长0.4m，∴当悬挂点的纵坐标y≥﹣5+1.8+1+0.4＝﹣1.8，即悬挂点的纵坐标的最小值是﹣1.8m，当y＝﹣1.8时，﹣x2＝﹣1.8，∴x＝±6，∴悬挂点的横坐标的取值范围是：﹣6≤x≤6；任务3：方案一：如图2（坐标轴的横轴），从顶点处开始悬挂灯笼，∵﹣6≤x≤6，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m，∴若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，1.6×4＞6，若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，1.6×3＜6，∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼，∵灯笼挂满后成轴对称分布，∴共可挂7盏灯笼，∴最左边一盏灯笼的横坐标为：﹣1.6×3＝﹣4.8；方案二：如图3，∵若顶点一侧悬挂5盏灯笼时，0.8+1.6×（5﹣1）＞6，若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，0.8+1.6×（4﹣1）＜6，∴顶点一侧最多悬挂4盏灯笼，∵灯笼挂满后成轴对称分布，∴共可挂8盏灯笼，∴最左边一盏灯笼的横坐标为：﹣0.8﹣1.6×3＝﹣5.6．六．平行四边形的判定与性质（共2小题）6．（2022•温州）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F分别是AC，AB的中点，O 是DF的中点，EO的延长线交线段BD于点G，连结DE，EF，FG．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形．（2）当AD＝5，tan∠EDC＝时，求FG的长．【答案】（1）证明见解析；（2），【解答】（1）证明：∵E，F分别是AC，AB的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC，∴∠EFO＝∠GDO，∵O是DF的中点，∴OF＝OD，在△OEF和△OGD中，，∴△OEF≌△OGD（ASA），∴EF＝GD，∴四边形DEFG是平行四边形．（2）解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵E是AC的中点，∴DE＝AC＝CE，∴∠C＝∠EDC，∴tan C＝＝tan∠EDC＝，即＝，∴CD＝2，∴AC＝＝＝，∴DE＝AC＝，由（1）可知，四边形DEFG是平行四边形，∴FG＝DE＝．7．（2021•温州）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点（点E在点F左侧），且∠AEB＝∠CFD＝90°．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）当AB＝5，tan∠ABE＝，∠CBE＝∠EAF时，求BD的长．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵∠AEB＝∠CFD＝90°，∴AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形；（2）解：在Rt△ABE中，tan∠ABE＝＝，设AE＝3a，则BE＝4a，由勾股定理得：（3a）2+（4a）2＝52，解得：a＝1或a＝﹣1（舍去），∴AE＝3，BE＝4，由（1）得：四边形AECF是平行四边形，∴∠EAF＝∠ECF，CF＝AE＝3，∵∠CBE＝∠EAF，∴∠ECF＝∠CBE，∴tan∠CBE＝tan∠ECF，∴＝，∴CF2＝EF×BF，设EF＝x，则BF＝x+4，∴32＝x（x+4），解得：x＝﹣2或x＝﹣﹣2,（舍去），即EF＝﹣2，由（1）得：△ABE≌△CDF，∴BE＝DF＝4，∴BD＝BE+EF+DF＝4+﹣2+4＝6+．七．圆的综合题（共2小题）8．（2022•温州）如图1，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆于点D，BE⊥CD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知BC＝5，BE＝3，点P，Q分别在线段AB，BE上（不与端点重合），且满足＝．设BQ＝x，CP＝y．（1）求半圆O的半径．（2）求y关于x的函数表达式．（3）如图2，过点P作PR⊥CE于点R，连结PQ，RQ．①当△PQR为直角三角形时，求x的值．②作点F关于QR的对称点F′，当点F′落在BC上时，求的值．【答案】（1）；（2）y＝；（3）①或；②．【解答】解：（1）如图1，连接OD，设半径为r，∵CD切半圆于点D，∴OD⊥CD，∵BE⊥CD，∴OD∥BE，∴△COD∽△CBE，∴，∴，解得r＝，∴半圆O的半径为；（2）由（1）得，CA＝CB﹣AB＝5﹣2×＝，∵＝，BQ＝x，∴AP＝，∴CP＝AP+AC，∴y＝；（3）①显然∠PRQ＜90°，所以分两种情形，当∠RPQ＝90°时，则四边形RPQE是矩形，∴PR＝QE，∵PR＝PC×sin C＝，∴，∴x＝，当∠PQR＝90°时，过点P作PH⊥BE于点H，如图，则四边形PHER是矩形，∴PH＝RE，EH＝PR，∵CR＝CP•cos C＝，∴PH＝RE＝3﹣x＝EQ，∴∠EQR＝∠ERQ＝45°，∴∠PQH＝45°＝∠QPH，∴HQ＝HP＝3﹣x，由EH＝PR得：（3﹣x）+（3﹣x）＝，∴x＝，综上，x的值为或；②如图，连接AF，QF'，由对称可知QF＝QF'，∵CP＝，∴CR＝x+1，∴ER＝3﹣x，∵BQ＝x，∴EQ＝3﹣x，∴ER＝EQ，∴∠F'QR＝∠EQR＝45°，∴∠BQF'＝90°，∴QF＝QF'＝BQ•tan B＝，∵AB是半圆O的直径，∴∠AFB＝90°，∴BF＝AB•cos B＝，∴，∴x＝，∴．9．（2021•温州）如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O，分别交x轴、y轴于点A （2，0），B（0，8），连结AB．直线CM分别交⊙M于点D，E（点D在左侧），交x轴于点C（17，0），连结AE．（1）求⊙M的半径和直线CM的函数表达式；（2）求点D，E的坐标；（3）点P在线段AC上，连结PE．当∠AEP与△OBD的一个内角相等时，求所有满足条件的OP的长．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∴AB为⊙M的直径，∵点M是AB的中点，则点M（1，4），则圆的半径为AM＝＝，设直线CM的表达式为y＝kx+b，则，解得，故直线CM的表达式为y＝﹣x+；（2）设点D的坐标为（x，﹣x+），由AM＝得：（x﹣1）2+（﹣x+﹣4）2＝（）2，解得x＝5或﹣3，故点D、E的坐标分别为（﹣3，5）、（5，3）；（3）过点D作DH⊥OB于点H，则DH＝3，BH＝8﹣5＝3＝DH，故∠DBO＝45°，由点A、E的坐标，同理可得∠EAP＝45°；由点A、E、B、D的坐标得，AE＝＝3，同理可得：BD＝3，OB＝8，①当∠AEP＝∠DBO＝45°时，则△AEP为等腰直角三角形，EP⊥AC，故点P的坐标为（5，0），故OP＝5；②∠AEP＝∠BDO时，∵∠EAP＝∠DBO，∴△EAP∽△DBO，∴，即＝＝，解得AP＝8，故PO＝10；③∠AEP＝∠BOD时，∵∠EAP＝∠DBO，∴△EAP∽△OBD，∴，即，解得AP＝，则PO＝2+＝，综上所述，OP为5或10或．八．利用平移设计图案（共1小题）10．（2021•温州）如图中4×4与6×6的方格都是由边长为1的小正方形组成．图1是绘成的七巧板图案，它由7个图形组成，请按以下要求选择其中一个并在图2、图3中画出相应的格点图形（顶点均在格点上）．（1）选一个四边形画在图2中，使点P为它的一个顶点，并画出将它向右平移3个单位后所得的图形．（2）选一个合适的三角形，将它的各边长扩大到原来的倍，画在图3中．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图2所示，即为所求；（2）如图3所示，即为所求．九．作图-旋转变换（共1小题）11．（2023•温州）如图，在2×4的方格纸ABCD中，每个小方格的边长为1．已知格点P，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）．（1）在图1中画一个等腰三角形PEF，使底边长为，点E在BC上，点F在AD上，再画出该三角形绕矩形ABCD的中心旋转180°后的图形；（2）在图2中画一个Rt△PQR，使∠P＝45°，点Q在BC上，点R在AD上，再画出该三角形向右平移1个单位后的图形．【答案】（1）（2）作图见解析部分．【解答】解：（1）图形如图1所示（答案不唯一）；（2）图形如图2所示（答案不唯一）．一十．相似形综合题（共1小题）12．（2023•温州）如图1，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆于点D，BE⊥CD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知OA＝，AC＝1．如图2，连结AF，P为线段AF上一点，过点P作BC的平行线分别交CE，BE于点M，N，过点P 作PH⊥AB于点H．设PH＝x，MN＝y．（1）求CE的长和y关于x的函数表达式；（2）当PH＜PN，且长度分别等于PH，PN，a的三条线段组成的三角形与△BCE相似时，求a的值；（3）延长PN交半圆O于点Q，当NQ＝x﹣3时，求MN的长．【答案】（1）CE＝，y＝﹣x+4；（2）a的值为或或；（3）MN的长为．【解答】解：（1）如图1，连接OD，∵CD切半圆O于点D，∴OD⊥CE，∵OA＝，AC＝1，∴OC＝，BC＝4，∴CD＝＝2，∵BE⊥CE，∴OD∥BE，∴，∴，∴CE＝，如图2，∵∠AFB＝∠E＝90°，∴AF∥CE，∴MN∥CB，∴四边形APMC是平行四边形，∴CM＝PA＝＝＝＝x，∵NM∥BC，∴△BCE∽△NME，∴，∴＝，∴y＝﹣x+4；（2）∵PN＝y﹣1＝﹣x+4﹣1＝﹣x+3，PH＜PN，△BCE的三边之比为3：4：5，∴可分为三种情况，当PH：PN＝3：5时，x＝﹣x+3，解得：x＝，∴a＝x＝，当PH：PN＝4：5时，x＝﹣x+3，解得：x＝，∴a＝x＝，当PH：PN＝3：4时，x＝﹣x+3，解得：x＝，∴a＝x＝，综上所述：a的值为或或；（3）如图3，连接AQ，BQ，过点Q作QG⊥AB于点G，则∠AQB ＝∠AGQ ＝90°，PH ＝QG ＝x ，∴∠QAB ＝∠BQG ，∵NQ ＝x ﹣3，PN ＝y ﹣1＝﹣x +3，∴HG ＝PQ ＝NQ +PN ＝x ，∵AH ＝x ，∴AG ＝AH +HG ＝3x ，∴tan ∠BQG ＝tan ∠QAB ＝＝＝，∴BG ＝QG ＝x ，∴AB ＝AG +BG ＝x ＝3，∴x ＝，∴y ＝﹣x +4＝，∴MN 的长为．一十一．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）13．（2023•温州）根据背景素材，探索解决问题．测算发射塔的高度背景素材某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度MN （如图1），他们通过自制的测倾仪（如图2）在A ，B ，C 三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示．经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度问题解决分析规划选择两个观测位置：点 A 和点 B （答案不唯一） ．任务1获取数据写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间的图上距离．任务2推理计算计算发射塔的图上高度MN ．任务3换算高度楼房实际宽度DE 为12米，请通过测量换算发射塔的实际高度．注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1mm ．【答案】任务1：A 、B ；tan ∠1＝，tan ∠2＝，tan ∠3＝，测得图上AB ＝4mm ，任务2：MN ＝18mm ；任务3：43.2m ．【解答】解：任务1：【分析规划】选择点A 和点B（答案不唯一），故答案为：A 、B （答案不唯一）；【获取数据】tan ∠1＝，tan ∠2＝，tan ∠3＝，测得图上AB ＝4mm ；任务2：如图1，过点A 作AF ⊥MN 于点F ，过点B 作BG ⊥MN 于点G ，则FG ＝AB ＝4mm，设MF＝xmm，则MG＝（x+4）mm，∵tan∠MAF＝＝，tan∠MBG＝＝，∴AF＝4x，BG＝3x+12，∵AF＝BG，即4x＝3x+12，∴x＝12，即MF＝12mm，∴AF＝BG＝4x＝48（mm），∵tan∠FAN＝＝，∴FN＝6mm，∴MN＝MF+FN＝12+6＝18（mm），任务3：测得图上DE＝5mm，设发射塔的实际高度为hm，由题意得，＝，解得h＝43.2（m），∴发射塔的实际高度为43.2m．。
高中数学第三章不等式3.1不等式关系与不等式课件新人教A版必修5
为函数 y＝1x在(－∞，0)上单调递减，a<b<0，所以1a>1b，
故 D 正确．
答案：D
5．若 x＞1，y＞2，则： (1)2x＋y＞________； (2)xy＞________． 解析：(1)x＞1⇒2x＞2，2x＋y＞2＋2＝4；(2)xy＞2. 答案：(1)4 (2)2
类型 1 用不等式(组)表示不等关系 [典例 1] 分别写出满足下列条件的不等式： (1)一个两位数的个位数字 y 比十位数字 x 大，且这 个两位数小于 30； (2)某电脑用户计划用不超过 500 元的资金购买单价 分别为 60 元的单片软件 x 片和 70 元的盒装磁盘 y 盒．根 据需要，软件至少买 3 片，磁盘至少买 2 盒． 解：(1)y＞x＞0，30＞10x＋y＞9，且 x，y∈N*； (2)x≥3，y≥2，60x＋70y≤500，且 x，y∈N*.
同向 5
可加性
ac>>db⇒a＋c⑫>b＋d
同向同正 6
可乘性
ac>>db>>00⇒ac⑬>bd
7
可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)
8
可开方性
nn
a>b>0⇒ a> b(n∈N，n≥2)
[思考尝试·夯基] 1．思考义是指 x 不小于 2.( ) (2)若 a＜b 或 a＝b 之中有一个正确，则 a≤b 正 确．( ) (3)若 a＞b，则 ac＞bc 一定成立．( ) (4)若 a＋c＞b＋d，则 a＞b，c＞d.( )
解析：(1)正确．不等式 x≥2 表示 x＞2 或 x＝2，即 x 不小于 2，故此说法是正确的．(2)正确．不等式 a≤b 表示 a＜b 或 a＝b.故若 a＜b 或 a＝b 中有一个正确，则 a ≤b 一定正确．(3)错误．由不等式的可乘性知，当不等式 两端同乘以一个正数时，不等号方向不变，因此由 a＞b， 则 ac＞bc，不一定成立，故此说法是错误的．(4)错误．取 a＝4，c＝5，b＝6，d＝2，满足 a＋c＞b＋d，但不满足 a ＞b，故此说法错误．
2023年中考数学----《相似综合》知识点总结与专项练习题(含答案解析)
2023年中考数学----《相似综合》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1. 比例的性质：①基本性质：两内项之积等于量外项之积。
即若d c b a ::=，则ad bc =。
②合比性质：若d c b a =，则dd c b b a +=+。
③分比性质：若d c b a =，则dd c b b a −=−。
④合分比性质：若d c b a =，则dc d c b a b a −+=−+。
⑤等比性质：若n m d c b a ===...，则n m d c b a n d b m c a ====++++++.........。
2. 平行线分线段成比例：三条平行线被两条直线所截，所得的对应线段成比例。
即如图：有EFDE BC AB =； DFDE AC AB =； DFEF AC BC =。
推论：①平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
②如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
③平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
3. 相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等。
对应边的比叫做相似比。
②相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比。
4.相似三角形的判定：①平行线法判定：平行于三角形一边的直线与三角形的另两边或另两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似。
②对应边判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似。
③两边及其夹角判定法：两组对应边的比相等，且这两组对应边的夹角相等的两个三角形相似。
④两角判定：有两组角（三组角）对应相等的两个三角形相似。
练习题1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是边AC上一点，且BE＝BC，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：△ADE∽△ABC．【分析】根据等腰三角形的性质可得∠C＝∠CEB＝∠AED，由AD⊥BE可得∠D＝∠ABC＝90°，即可得△ADE∽△ABC．【解答】证明：∵BE＝BC，∴∠C＝∠CEB，∵∠CEB ＝∠AED ，∴∠C ＝∠AED ，∵AD ⊥BE ，∴∠D ＝∠ABC ＝90°，∴△ADE ∽△ABC ．2．如图，在△ABC 与△A ′B ′C ′中，点D 、D ′分别在边BC 、B ′C ′上，且△ACD ∽△A ′C ′D ′，若 ，则△ABD ∽△A ′B ′D ′． 请从①''''=D C D B CD BD ；②''''=D C B A CD AB ；③∠BAD ＝∠B ′A ′D ′这3个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．【分析】利用相似三角形的判定：两角对应相等的两个三角形相似可证明．【解答】解：③．理由如下：∵△ACD ∽△A ′C ′D ′，∴∠ADC ＝∠A 'D 'C '，∴∠ADB ＝∠A 'D 'B '，又∵∠BAD ＝∠B ′A ′D ′，∴△ABD ∽△A 'B 'D '．同理，选①也可以．故答案是：③（答案不唯一）．3．如图所示，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，点E ，F 在线段BC 上，点Q 在线段AB 上，且CF ＝BE ，求证：（1）∠CAE＝∠BAF；（2）CF•FQ＝AF•BQ．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，利用SAS证明△ACE≌△ABF，根据全等三角形的性质即可得解；（2）利用全等三角形的性质，结合题意证明△ACE∽AFQ，△CAF∽△BFQ，根据相似三角形的性质即可得解．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵CF＝BE，∴CF﹣EF＝BE﹣EF，即CE＝BF，在△ACE和△ABF中，，∴△ACE≌△ABF（SAS），∴∠CAE＝∠BAF；（2）∵△ACE≌△ABF，∴AE＝AF，∠CAE＝∠BAF，∵AE2＝AQ•AB，AC＝AB，∴＝，∴△ACE∽△AFQ，∴∠AEF＝∠BQF，∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE，∴∠BQF＝∠AFE，∵∠B＝∠C，∴△CAF∽△BFQ，∴＝，即CF•FQ＝AF•BQ．4．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点E是DC边上的任一点（不包括端点D，C），过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，设DE＝a．（1）求BF的长（用含a的代数式表示）；（2）连接EF交AB于点G，连接GC，当GC∥AE时，求证：四边形AGCE是菱形．【分析】（1）根据矩形的性质可得∠ADE＝∠ABF，∠∠DAE+∠BAE＝90°，结合题干AF⊥AE可得∠BAF+∠BAE＝90°，进而可得∠DAE＝∠BAF，进而可得△ADE∽△ABF，利用相似三角形的性质可得BF的长度；（2）先根据AG∥CE，GC∥AE进而可得四边形AGCE是平行四边形，通过勾股定理可得GF2、EF2、AE2，再过点G作GM⊥AF于点M，易得△MGF∽△AEF，进而利用相似三角形的性质可得GM的长，即可得GM＝GB，进而可得GF是∠AFB的角平分线，最后利用角平分线得性质可得EA＝EC，即可得平行四边形AGCE是菱形．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADE＝∠ABF＝∠BAD＝90°，∴∠DAE+∠BAE＝90°，∵AF⊥AE，∴∠BAF+∠BAE＝90°，∴∠DAE＝∠BAF，∴△ADE∽△ABF，∴，即，∴BF＝2a，（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AG∥CE，∵GC∥AE，∴四边形AGCE是平行四边形．∴AG＝CE＝8﹣a，∴BG＝AB﹣AG＝8﹣（8﹣a）＝a，在Rt△BGF中，GF2＝a2+（2a）2＝5a2，在Rt△CEF中，EF2＝（2a+4）2+（8﹣a）2＝5a2+80，在Rt△ADE中，AE2＝42+a2＝16+a2，如图，过点G作GM⊥AF于点M，∴GM∥AE，∴△MGF∽△AEF，∴，∴，∴＝，∴GM ＝a ，∴GM ＝BG ，又∵GM ⊥AF ，GB ⊥FC ，∴GF 是∠AFB 的角平分线，∴EA ＝EC ，∴平行四边形AGCE 是菱形．5．如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，连接DE ，EF ．已知四边形BFED 是平行四边形，41=BC DE ． （1）若AB ＝8，求线段AD 的长．（2）若△ADE 的面积为1，求平行四边形BFED 的面积．【分析】（1）证明△ADE ∽△ABC ，根据相似三角形对应边的比相等列式，可解答；（2）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得△ABC 的面积是16，同理可得△EFC 的面积＝9，根据面积差可得答案．【解答】解：（1）∵四边形BFED 是平行四边形，∴DE ∥BF ，∴DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴＝＝，∵AB＝8，∴AD＝2；（2）∵△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∵△ADE的面积为1，∴△ABC的面积是16，∵四边形BFED是平行四边形，∴EF∥AB，∴△EFC∽△ABC，∴＝（）2＝，∴△EFC的面积＝9，∴平行四边形BFED的面积＝16﹣9﹣1＝6．6．如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE．（1）求证：△ABC∽△AEB；（2）当AB＝6，AC＝4时，求AE的长．【分析】（1）根据两角相等可得两三角形相似；（2）根据（1）中的相似列比例式可得结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴∠ACD＝∠BCA，∵∠ACD＝∠ABE，∴∠BCA＝∠ABE，∵∠BAC＝∠EAB，∴△ABC∽△AEB；（2）解：∵△ABC∽△AEB，∴＝，∵AB＝6，AC＝4，∴＝，∴AE＝＝9．7．如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F．（1）若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；（2）找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由；（3）若OF＝3，EF＝2，求DE的长度．【分析】（1）根据矩形的性质和角平分线的定义，求得∠3＝∠6，从而求证BF⊥AC；（2）根据相似三角形的判定进行分析判断；（3）利用相似三角形的性质分析求解．【解答】（1）证明：如图，在矩形ABCD中，OD＝OC，AB∥CD，∠BCD＝90°，∴∠2＝∠3＝∠4，∠3+∠5＝90°，∵DE＝BE，∴∠1＝∠2，又∵BE平分∠DBC，∴∠1＝∠6，∴∠3＝∠6，∴∠6+∠5＝90°，∴BF⊥AC；（2）解：与△OBF相似的三角形有△ECF，△BAF理由如下：∵∠1＝∠3，∠EFC＝∠BFO，∴△ECF∽△OBF，∵DE＝BE，∴∠1＝∠2，又∵∠2＝∠4，∴∠1＝∠4，又∵∠BFA＝∠OFB，∴△BAF∽△OBF；（3）解：在矩形ABCD中，∠4＝∠3＝∠2，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠4．又∵∠OFB＝∠BFA，∴△OBF∽△BFA．∵∠1＝∠3，∠OFB＝∠EFC，∴△OBF∽△ECF．∴，∴，即3CF＝2BF，∴3（CF+OF）＝3CF+9＝2BF+9，∴3OC＝2BF+9∴3OA＝2BF+9①，∵△ABF∽△BOF，∴，∴BF2＝OF•AF，∴BF2＝3（OA+3）②，联立①②，可得BF＝1±（负值舍去），∴DE＝BE＝2+1+＝3+．8．如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM＝4，点E为BC边上的动点（不与B、C重合，过点E作直线AB的垂线，垂足为F，连接DE、DF．（1）求证：△ABM∽△EBF；（2）当点E为BC的中点时，求DE的长；（3）设BE＝x，△DEF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？【分析】（1）利用两个角对应相等的三角形全等即可证明△ABM∽△EBF；（2）过点E作EN⊥AD于点N，可得四边形AMEN为矩形，从而得到NE＝AM＝4，AN＝ME，再由勾股定理求出BM＝3，从而得到ME＝AN＝2，进而得到DN＝8，再由勾股定理，即可求解；（3）延长FE交DC的延长线于点G．根据，可得，再证得△ABM∽△ECG，可得，从而得到，再根据三角形的面积公式，得到函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解．【解答】（1）证明：∵EF⊥AB，AM是BC边上的高，∴∠AMB＝∠EFB＝90°，又∵∠B＝∠B，∴△ABM∽△EBF；（2）解：过点E作EN⊥AD于点N，如图：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，又∵AM是BC边上的高，∴AM⊥AD，∴∠AME＝∠MAN＝∠ANE＝90°，∴四边形AMEN为矩形，∴NE＝AM＝4，AN＝ME，在Rt△ABM中，，又∵E为BC的中点，∴，∴ME＝AN＝2，∴DN＝8，在Rt△DNE中，；（3）解：延长FE交DC的延长线于点G，如图：∵sin B＝＝，∴，∴EF＝x，∵AB∥CD，∴∠B＝∠ECG，∠EGC＝∠BFE＝90°，又∵∠AMB＝∠EGC＝90°，∴△ABM∽△ECG，∴，∴，∴GC＝（10﹣x），∴DG＝DC+GC＝5+（10﹣x），∴y＝EF•DG＝×x•[5+（10﹣x）]＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，∴当x＝时，y有最大值为，答：y＝﹣x2+x，当x＝时，y有最大值为．9．【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．【类比探究】如图2，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ABC ＝∠ADE ＝90°．连接BD ，CE ．请直接写出CE BD 的值．【拓展提升】如图3，△ABC 和△ADE 都是直角三角形，∠ABC ＝∠ADE ＝90°，且43==DE AD BC AB ．连接BD ，CE ． （1）求CEBD 的值； （2）延长CE 交BD 于点F ，交AB 于点G ．求sin ∠BFC 的值．【分析】【问题呈现】证明△BAD CAE ，从而得出结论；【类比探究】证明△BAD ∽△CAE ，进而得出结果；【拓展提升】（1）先证明△ABC ∽△ADE ，再证得△CAE ∽△BAD ，进而得出结果；（2）在（1）的基础上得出∠ACE ＝∠ABD ，进而∠BFC ＝∠BAC ，进一步得出结果．【解答】【问题呈现】证明：∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，∴AD ＝AE ，AB ＝AC ，∠DAE ＝∠BAC ＝60°，∴∠DAE ﹣∠BAE ＝∠BAC ﹣∠BAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，∴△BAD ≌△CAE （SAS ），∴BD ＝CE ；【类比探究】解：∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∴＝＝，∠DAE ＝∠BAC ＝45°，∴∠DAE ﹣∠BAE ＝∠BAC ﹣∠BAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，∴△BAD ∽△CAE ，∴＝＝；【拓展提升】解：（1）∵＝＝，∠ABC ＝∠ADE ＝90°，∴△ABC ∽△ADE ，∴∠BAC ＝∠DAE ，，∴∠CAE ＝∠BAD ，∴△CAE ∽△BAD ，∴＝＝；（2）由（1）得：△CAE ∽△BAD ，∴∠ACE ＝∠ABD ，∵∠AGC ＝∠BGF ，∴∠BFC ＝∠BAC ，∴sin ∠BFC ＝＝．10．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝4，点M 、N 分别在AB 、AD 上，且MN ⊥MC ，点E 为CD 的中点，连接BE 交MC 于点F ．（1）当F 为BE 的中点时，求证：AM ＝CE ；（2）若BF EF＝2，求ND AN的值；（3）若MN ∥BE ，求NDAN 的值． 【分析】（1）根据矩形的性质，利用AAS 证明△BMF ≌△ECF ，得BM ＝CE ，再利用点E 为CD 的中点，即可证明结论；（2）利用△BMF ∽△ECF ，得，从而求出BM 的长，再利用△ANM ∽△BMC ，得，求出AN 的长，可得答案；（3）首先利用同角的余角相等得∠CBF ＝∠CMB ，则tan ∠CBF ＝tan ∠CMB ，得，可得BM 的长，由（2）同理可得答案．【解答】（1）证明：∵F 为BE 的中点，∴BF ＝EF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD∴∠BMF ＝∠ECF ，∵∠BFM ＝∠EFC ，∴△BMF ≌△ECF （AAS ），∴BM ＝CE ，∵点E 为CD 的中点，∴CE ＝DE ，∴BM ＝CE ＝DE ，∵AB ＝CD ，∴AM ＝CE ；（2）解：∵∠BMF ＝∠ECF ，∠BFM ＝∠EFC ，∴△BMF∽△ECF，∴，∵CE＝3，∴BM＝，∴AM＝，∵CM⊥MN，∴∠CMN＝90°，∴∠AMN+∠BMC＝90°，∵∠AMN+∠ANM＝90°，∴∠ANM＝∠BMC，∵∠A＝∠MBC，∴△ANM∽△BMC，∴，∴，∴，∴DN＝AD﹣AN＝4﹣＝，∴；（3）解：∵MN∥BE，∴∠BFC＝∠CMN，∴∠FBC+∠BCM＝90°，∵∠BCM+∠BMC＝90°，∴∠CBF＝∠CMB，∴tan∠CBF＝tan∠CMB，∴，∴，∴，∴＝，由（2）同理得，，∴，解得AN＝，∴DN＝AD﹣AN＝4﹣＝，∴＝．11．在四边形ABCD中，∠BAD的平分线AF交BC于F，延长AB到E使BE＝FC，G是AF的中点，GE 交BC于O，连接GD．（1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，求证：①GE＝GD；②BO•GD＝GO•FC．（2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，（1）中的结论都成立．请给出结论②的证明．【分析】（1）连接CG，过点G作GJ⊥CD于点J．证明△EAG≌△DAG（SAS），可得EG＝DG，∠AEG ＝∠ADG，再证明△OBE∽△OGC，推出＝，可得结论；（2）过点D作DT⊥BC于点T，连接GT．证明△EAG≌△DAG（SAS），推出EG＝DG，∠AEG＝∠ADG，再证明△OBE∽△OGT，推出＝，可得结论．【解答】（1）证明：连接CG，过点G作GJ⊥CD于点J．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AD＝BC，∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF＝45°，∴∠AFB＝∠BAF＝45°，∴BA＝BF，∵BE＝CF，∴AE＝AB+BE＝BF+CF＝BC＝AD，∵AG＝AG，∴△EAG≌△DAG（SAS），∴EG＝DG，∠AEG＝∠ADG，∵AD∥FC，AG＝GF，∴DJ＝JC，∵GJ⊥CD，∴GD＝GC，∴∠GDC＝∠GCD，∵∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠ADG＝∠GCO，∴∠OEB＝∠OCG，∵∠BOE＝∠GOC，∴△OBE∽△OGC，∴＝，∵GC＝GD，BE＝CF，∴BO•GD＝GO•FC；（2）解：过点D作DT⊥BC于点T，连接GT．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAG＝∠AFB，∵AF平分∠DAB，∴∠DAG＝∠BAF，∴BAF＝∠AFB，∴AE ＝AB +BE ＝BF +CF ＝BC ＝AD ， ∵AG ＝AG ，∴△EAG ≌△DAG （SAS ）， ∴∠AEG ＝∠ADG ， ∵AD ∥FT ，AG ＝GF ， ∴DJ ＝JT ， ∵GJ ⊥DT ， ∴GD ＝GT ， ∴∠GDT ＝∠GTD ， ∵∠ADT ＝∠BTD ＝90°， ∴∠ADG ＝∠GTO ， ∴∠OEB ＝∠OTG ， ∵∠BOE ＝∠GOT ， ∴△OBE ∽△OGT ， ∴＝，∵GT ＝GD ，BE ＝CF ， ∴BO •GD ＝GO •FC ． 12．问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD 是△ABC 的角平分线，可证CDBDAC AB =．小慧的证明思路是：如图2，过点C 作CE ∥AB ，交AD 的延长线于点E ，构造相似三角形来证明CDBDAC AB =．（1）请参照小慧提供的思路，利用图2证明：CDBDAC AB =； 应用拓展：（2）如图3，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，D 是边BC 上一点．连接AD ，将△ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处． ①若AC ＝1，AB ＝2，求DE 的长；②若BC ＝m ，∠AED ＝α，求DE 的长（用含m ，α的式子表示）．【分析】（1）证明△CED ∽△BAD ，由相似三角形的性质得出，证出CE ＝CA ，则可得出结论；（2）①由折叠的性质可得出∠CAD ＝∠BAD ，CD ＝DE ，由（1）可知，，由勾股定理求出BC＝，则可求出答案；②由折叠的性质得出∠C ＝∠AED ＝α，则tan ∠C ＝tan α＝，方法同①可求出CD ＝，则可得出答案．【解答】（1）证明：∵CE ∥AB ， ∴∠E ＝∠EAB ，∠B ＝∠ECB ， ∴△CED ∽△BAD ， ∴，∵∠E ＝∠EAB ，∠EAB ＝∠CAD ， ∴∠E ＝∠CAD ， ∴CE ＝CA ，（2）解：①∵将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处，∴∠CAD＝∠BAD，CD＝DE，由（1）可知，，又∵AC＝1，AB＝2，∴，∴BD＝2CD，∵∠BAC＝90°，∴BC＝＝＝，∴BD+CD＝，∴3CD＝，∴CD＝；∴DE＝；②∵将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处，∴∠CAD＝∠BAD，CD＝DE，∠C＝∠AED＝α，∴tan∠C＝tanα＝，由（1）可知，，∴tanα＝，∴BD＝CD•tanα，又∵BC＝BD+CD＝m，∴CD•tanα+CD＝m，∴CD＝，∴DE ＝．13．【基础巩固】（1）如图1，在△ABC 中，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，BF ＝CF ，AF 交DE 于点G ，求证：DG ＝EG ．【尝试应用】（2）如图2，在（1）的条件下，连结CD ，CG ．若CG ⊥DE ，CD ＝6，AE ＝3，求BCDE的值． 【拓展提高】（3）如图3，在▱ABCD 中，∠ADC ＝45°，AC 与BD 交于点O ，E 为AO 上一点，EG ∥BD 交AD 于点G ，EF ⊥EG 交BC 于点F ．若∠EGF ＝40°，FG 平分∠EFC ，FG ＝10，求BF 的长．【分析】（1）证明△AGD ∽△AFB ，△AFC ∽△AGE ，根据相似三角形的性质得到＝，进而证明结论；（2）根据线段垂直平分线的性质求出CE ，根据相似三角形的性质计算，得到答案；（3）延长GE 交AB 于M ，连接MF ，过点M 作MN ⊥BC 于N ，根据直角三角形的性质求出∠EFG ，求出∠MFN ＝30°，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可． 【解答】（1）证明：∵DE ∥BC ， ∴△AGD ∽△AFB ，△AFC ∽△AGE ， ∴＝，＝，∴＝，∵BF ＝CF ， ∴DG ＝EG ；（2）解：∵DG＝EG，CG⊥DE，∴CE＝CD＝6，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝＝；（3）解：延长GE交AB于M，连接MF，过点M作MN⊥BC于N，∵四边形ABCD为平行四边形，∴OB＝OD，∠ABC＝∠ADC＝45°，∵MG∥BD，∴ME＝GE，∵EF⊥EG，∴FM＝FG＝10，在Rt△GEF中，∠EGF＝40°，∴∠EFG＝90°﹣40°＝50°，∵FG平分∠EFC，∴∠GFC＝∠EFG＝50°，∵FM＝FG，EF⊥GM，∴∠MFE＝∠EFG＝50°，∴∠MFN＝30°，∴MN＝MF＝5，∴NF＝＝5，∵∠ABC＝45°，∴BN＝MN＝5，∴BF＝BN+NF＝5+5．14．如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．点E是线段AD上的动点（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作EF⊥CE，交AB于点F．（1）求证：△AEF∽△DCE；（2）如图2，连接CF，过点B作BG⊥CF，垂足为G，连接AG．点M是线段BC的中点，连接GM．①求AG+GM的最小值；②当AG+GM取最小值时，求线段DE的长．【分析】（1）由矩形的性质及直角三角形的性质证出∠DCE＝∠AEF，根据相似三角形的判定可得出结论；（2）①连接AM，由直角三角形的性质得出MB＝CM＝GM＝，则点G在以点M为圆心，3为半径的圆上，当A，G，M三点共线时，AG+GM＝AM，此时，AG+GM取得最小值，由勾股定理求出AM＝5，则可得出答案；②方法一：过点M作MN∥AB交FC于点N，证明△CMN∽△CBF，由相似三角形的性质得出，设AF＝x，则BF＝4﹣x，得出MN＝BF＝（4+x），证明△AFG∽△MNG，得出比例线段，列出方程，解得x＝1，求出AF＝1，由（1）得，设DE＝y，则AE＝6﹣y，得出方程，解得y＝3+或y＝3﹣，则可得出答案．方法二：过点G作GH∥AB交BC于点H，证明△MHG∽△MBA，由相似三角形的性质得出，求出GH＝，MH＝，证明△CHG∽△CBF，得出，求出FB＝3，则可得出AF＝1，后同方法一可求出DE的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠CED+∠DCE＝90°，∵EF⊥CE，∴∠CED+∠AEF＝90°，∴∠DCE＝∠AEF，∴△AEF∽△DCE；（2）解：①连接AM，如图2，∵BG⊥CF，∴△BGC是直角三角形，∵点M是BC的中点，∴MB＝CM＝GM＝，∴点G在以点M为圆心，3为半径的圆上，当A，G，M三点不共线时，由三角形两边之和大于第三边得：AG+GM＞AM，当A，G，M三点共线时，AG+GM＝AM，此时，AG+GM取得最小值，在Rt△ABM中，AM＝＝＝5，∴AG+GM的最小值为5．②如图3，过点M作MN∥AB交FC于点N，∴△CMN∽△CBF，∴，设AF＝x，则BF＝4﹣x，∴MN＝BF＝（4﹣x），∵MN∥AB，∴△AFG∽△MNG，∴，由（2）可知AG+GM的最小值为5，即AM＝5，又∵GM＝3，∴AG＝2，∴，解得x ＝1， 即AF ＝1， 由（1）得，设DE ＝y ，则AE ＝6﹣y ， ∴，解得：y ＝3+或y ＝3﹣， ∵0＜6，0＜3﹣＜6， ∴DE ＝3+或DE ＝3﹣．15．已知矩形ABCD ，点E 为直线BD 上的一个动点（点E 不与点B 重合），连接AE ，以AE 为一边构造矩形AEFG （A ，E ，F ，G 按逆时针方向排列），连接DG ．（1）如图1，当1==AE AGAB AD 时，请直接写出线段BE 与线段DG 的数量关系与位置关系； （2）如图2，当2==AEAGAB AD 时，请猜想线段BE 与线段DG 的数量关系与位置关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，连接BG ，EG ，分别取线段BG ，EG 的中点M ，N ，连接MN ，MD ，ND ，若AB ＝5，∠AEB ＝45°，请直接写出△MND 的面积．【分析】（1）证明△BAE ≌△DAG ，进一步得出结论； （2）证明BAE ∽△DAG ，进一步得出结论；（3）当点E在线段BD上时，解斜三角形ABE，求得BE＝3，根据（2）可得DG＝6，从而得出三角形BEG的面积，可证得△MND≌△MNG，△MNG与△BEG的面积比等于1：4，进而求得结果；同理可得点E在DB的延长线时的情形．【解答】解：（1）由题意得：四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，∴∠BAD﹣∠DAE＝∠EAG﹣∠DAE，∴∠BAE＝∠DAG，∴△BAE≌△DAG（SAS），∴BE＝DG，∠ABE＝∠ADG，∴∠ADG+∠ADB＝∠ABE+∠ADB＝90°，∴∠BDG＝90°，∴BE⊥DG；（2）BE＝，BE⊥DG，理由如下：由（1）得：∠BAE＝∠DAG，∵＝＝2，∴△BAE∽△DAG，∴，∠ABE＝∠ADG，∴∠ADG+∠ADB＝∠ABE+∠ADB＝90°，∴∠BDG＝90°，∴BE⊥DG；（3）如图，当B在线段BD上时，作AH⊥BD于H，∵tan∠ABD＝，∴设AH＝2x，BH＝x，在Rt△ABH中，x2+（2x）2＝（）2，∴BH＝1，AH＝2，在Rt△AEH中，∵tan∠AEB＝，∴，∴EH＝AH＝2，∴BE＝BH+EH＝3，∵BD＝＝5，∴DE＝BD﹣BE＝5﹣3＝2，由（2）得：，DG⊥BE，∴DG＝2BE＝6，∴S△BEG＝＝＝9，在Rt△BDG和Rt△DEG中，点M是BG的中点，点N是CE的中点，∴DM＝GM＝，∵NM＝NM，∴△DMN≌△GMN（SSS），∵MN是△BEG的中位线，∴MN∥BE，∴△BEG∽△MNG，∴＝（）2＝，∴S△MND＝S△MNG＝S△BEG＝，如图，同上可得：BE＝EH﹣BH＝2﹣1＝1，DG＝2BE＝2，∴＝1，∴S△BEG＝，综上所述：△DMN的面积是或．。
2023年中考数学压轴题专题32 四边形与新定义综合问题【含答案】
专题32四边形与新定义综合问题【例1】（2022•汇川区模拟）定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如：四边形ABCD中，若∠A+∠C＝180°或∠B+∠D＝180°，则四边形ABCD是“对补四边形”．【概念理解】（1）如图1，四边形ABCD是“对补四边形”．①若∠A：∠B：∠C＝3：2：1，则∠D＝度．②若∠B＝90°．且AB＝3，AD＝2时．则CD2﹣CB2＝．【类比应用】（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝CB，BD平分∠ADC．求证：四边形ABCD是“对补四边形”．【例2】．（2022•赣州模拟）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形做“等邻角四边形”，例如：如图1，∠B＝∠C，则四边形ABCD为等邻角四边形．（1）定义理解：已知四边形ABCD为等邻角四边形，且∠A＝130°，∠B＝120°，则∠D ＝度．（2）变式应用：如图2，在五边形ABCDE中，ED∥BC，对角线BD平分∠ABC．①求证：四边形ABDE为等邻角四边形；②若∠A+∠C+∠E＝300°，∠BDC＝∠C，请判断△BCD的形状，并明理由．（3）深入探究：如图3，在等邻角四边形ABCD中，∠B＝∠BCD，CE⊥AB，垂足为E，点P为边BC上的一动点，过点P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，判断PM+PN与CE的数量关系？请说明理由．（4）迁移拓展：如图4，是一个航模的截面示意图．四边形ABCD是等邻角四边形，∠A ＝∠ABC，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，AB＝2dm，AD＝3dm，BD＝dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和．【例3】（2022•常州二模）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图I，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形；（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上；（3）如图3，已知四边形ABCD是以AB为邻余线的邻余四边形，AB＝15，AD＝6，BC＝3，∠ADC＝135°，求CD的长度．【例4】（2022•工业园区模拟）【理解概念】如果一个矩形的一条边与一个三角形的一条边能够重合，且三角形的这条边所对的顶点恰好落在矩形这条边的对边上，则称这样的矩形为这个三角形的“矩形框”．如图①，矩形ABDE 即为△ABC的“矩形框”．（1）三角形面积等于它的“矩形框”面积的；（2）钝角三角形的“矩形框”有个；【巩固新知】（3）如图①，△ABC的“矩形框”ABDE的边AB＝6cm，AE＝2cm，则△ABC周长的最小值为cm；（4）如图②，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，求△ABC的“矩形框”的周长；【解决问题】（5）如图③，锐角三角形木板ABC的边AB＝14cm，AC＝15cm，BC＝13cm，求出该木板的“矩形框”周长的最小值．一．解答题（共20题）1．（2022•罗湖区模拟）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：（1）如图1，正方形ABCD中E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF（填“是”或“不是”）“直等补”四边形；（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝10，CD＝2，AD＞AB，过点B作BE⊥AD于E．①过C作CF⊥BF于点F，试证明：BE＝DE，并求BE的长；②若M是AD边上的动点，求△BCM周长的最小值．2．（2022•越秀区校级模拟）有一组对边平行，一个内角是它对角的两倍的四边形叫做倍角梯形．（1）已知四边形ABCD是倍角梯形，AD∥BC，∠A＝100°，请直接写出所有满足条件的∠D的度数；（2）如图1，在四边形ABCD中，∠BAD+∠B＝180°，BC＝AD+CD．求证：四边形ABCD 是倍角梯形；（3）如图2，在（2）的条件下，连结AC，当AB＝AC＝AD＝2时，求BC的长．3．（2022•嘉祥县一模）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在（1）的条件下，取EF中点M，连接DM并延长交AB于点Q，延长EF 交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．4．（2021•任城区校级三模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”（1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子：；（2）问题探究；如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；（3）应用拓展；如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C＝∠D＝90°，BC＝BD＝3，AB＝5，将Rt△ABD 绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．5．（2022春•曾都区期末）定义：我们把对角线相等的凸四边形叫做“等角线四边形”．（1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等角线四边形”的是（填序号）；（2）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且EC＝DF，连接EF，AF，求证：四边形ABEF是等角线四边形；（3）如图2，已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，D为线段AB的垂直平分线上一点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是等角线四边形，求这个等角线四边形的面积．6．（2022春•南浔区期末）定义：我们把一组对边平行另一组对边相等且不平行的四边形叫做等腰梯形．【性质初探】如图1，已知，▱ABCD，∠B＝80°，点E是边AD上一点，连结CE，四边形ABCE恰为等腰梯形．求∠BCE的度数；【性质再探】如图2，已知四边形ABCD是矩形，以BC为一边作等腰梯形BCEF，BF＝CE，连结BE、CF．求证：BE＝CF；【拓展应用】如图3，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AB＝2，∠ABC＝45°，过点O作AC的垂线交BC的延长线于点G，连结DG．若∠CDG＝90°，求BC的长．7．（2022春•长汀县期末）在平面直角坐标系中，如果点p（a，b）满足a+1＞b且b+1＞a，则称点p为“自大点”：如果一个图形的边界及其内部的所有点都不是“自大点”，则称这个图形为“自大忘形”．（1）判断下列点中，哪些点是“自大点”，直接写出点名称；p 1（1，0），，．（2）如果点N（2x+3，2）不是“自大点”，求出x的取值范围．（3）如图，正方形ABCD的初始位置是A（0，6），B（0，4），C（2，4），D（2，6），现在正方形开始以每秒1个单位长的速度向下（y轴负方向）平移，设运动时间为t秒（t＞0），当正方形成为“自大忘形”时，求t的取值范围．8．（2022春•江北区期末）定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是．A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形性质探究：如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的两条结论：；．问题解决：如图2，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连结BE，EG，GC．求证：四边形BCGE是“中方四边形”；拓展应用：如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点，（1）试探索AC与MN的数量关系，并说明理由．（2）若AC＝2，求AB+CD的最小值．9．（2022春•铜山区期末）新定义；若四边形的一组对角均为直角，则称该四边形为对直四边形．（1）下列四边形为对直四边形的是（写出所有正确的序号）；①平行四边形；②矩形；③菱形，④正方形．（2）如图，在对直四边形ABCD中，已知∠ABC＝90°，O为AC的中点．①求证：BD的垂直平分线经过点O；②若AB＝6，BC＝8，请在备用图中补全四边形ABCD，使四边形ABCD的面积取得最大值，并求此时BD的长度．10．（2022春•盐田区校级期末）给出如下定义：有两个相邻内角互余的四边形称为“邻余四边形”，这两个角的夹边称为“邻余线”．（1）如图1，格点四边形ABCD是“邻余四边形”，指出它的“邻余线”；（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是“邻余四边形”；（3）如图3，四边形ABCD是“邻余四边形”，AB为“邻余线”，E，F分别是AB，CD的中点，连接EF，AD＝4，BC＝6．求EF的长．11．（2022春•玄武区期末）【概念认识】在四边形ABCD中，∠A＝∠B．如果在四边形ABCD内部或边AB上存在一点P，满足∠DPC＝∠A，那么称点P是四边形ABCD的“映角点”．【初步思考】（1）如图①，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，点P在边AB上且是四边形ABCD的“映角点”．若DA∥CP，DP∥CB，则∠DPC的度数为°；（2）如图②，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，点P在四边形ABCD内部且是四边形ABCD 的“映角点”，延长CP交边AB于点E．求证：∠ADP＝∠CEB．【综合运用】在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝α，点P是四边形ABCD的“映角点”，DE、CF分别平分∠ADP、∠BCP，当DE和CF所在直线相交于点Q时，请直接写出∠CQD与α满足的关系及对应α的取值范围．12．（2022春•北仑区期末）定义：对角线相等的四边形称为对美四边形．（1）我们学过的对美四边形有、．（写出两个）（2）如图1，D为等腰△ABC底边AB上的一点，连结CD，过C作CF∥AB，以B为顶点作∠CBE＝∠ACD交CF于点E，求证：四边形CDBE为对美四边形．（3）如图2，对美四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC＝BD，DC∥AB．①若∠AOB＝120°，AB+CD＝6，求四边形ABCD的面积．②若AB⋅CD＝6，设AD＝x，BD＝y，试求出y与x的关系式．13．（2022春•玄武区校级期中）如图1，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝90°，AB、EF、CD为铅直方向的边，AF、DE、BC为水平方向的边，点E在AB、CD之间，且在AF、BC之间，我们称这样的图形为“L图形”，若一条直线将该图形的面积分为面积相等的两部分，则称此直线为该“L图形”的等积线．（1）如图2所示四幅图中，直线L是该“L图形”等积线的是（填写序号）．（2）如图3，直线m是该“L图形”的等积线，与边BC、AF分别交于点M、N，过MN 中点O的直线分别交边BC、AF于点P、Q，则直线PQ（填“是”或“不是”）该图形的等积线．（3）在图4所示的“L图形”中，AB＝6，BC＝10，AF＝2．①若CD＝2，在图中画出与AB平行的等积线l（在图中标明数据）；②在①的条件下，该图形的等积线与水平的两条边DE、BC分别交于P、Q，求PQ的最大值；③如果存在与水平方向的两条边DE、BC相交的等积线，则CD的取值范围为．14．（2022•姑苏区一模）定义：有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．（1）如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠C＝∠A，则∠B+∠C＝°；（2）如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD＝BO，在OA上取点E，使得DE＝OE，连接DE并延长交AC于点F，∠AED＝3∠EAF．求证：四边形BCFD 是半对角四边形；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G，OH＝2，DH ＝6．①连接OC，若将扇形OBC围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为；②求△ABC的面积．15．（2022•江北区开学）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连接DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，CD＝3BE，QB＝6，求邻余线AB的长．16．（2022春•西城区校级期中）平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的四个顶点坐标分别为：A（﹣，），B（﹣，﹣），C（，﹣），D（，），P、Q是这个正方形外两点，且PQ＝1．给出如下定义：记线段PQ的中点为T，平移线段PQ得到线段P'Q'（其中P'，Q'分别是点P，Q的对应点），记线段P'Q'的中点为T．若点P'和Q'分别落在正方形ABCD的一组邻边上，或线段P'Q'与正方形ABCD的一边重合，则称线段TT'长度的最小值为线段PQ到正方形ABCD的“回归距离”，称此时的点T'为线段PQ到正方形ABCD 的“回归点”．（1）如图1，平移线段PQ，得到正方形ABCD内两条长度为1的线段P1Q1和P2Q2，这两条线段的位置关系为；若T1，T2分别为P1Q1和P2Q2的中点，则点（填T1或T2）为线段PQ到正方形ABCD的“回归点”；（2）若线段PQ的中点T的坐标为（1，1），记线段PQ到正方形ABCD的“回归距离”为d1，请直接写出d1的最小值：，并在图2中画出此时线段PQ到正方形ABCD的“回归点”T'（画出一种情况即可）；（3）请在图3中画出所有符合题意的线段PQ到正方形ABCD的“回归点”组成的图形．17．（2022秋•福田区期中）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．如图1，∠ABC＝∠ADC＝90°，四边形ABCD 是损矩形，则该损矩形的直径是线段AC．同时我们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点：在公共边的同侧的两个角是相等的．如图1中：△ABC和△ABD有公共边AB，在AB同侧有∠ADB和∠ACB，此时∠ADB＝∠ACB；再比如△ABC和△BCD有公共边BC，在CB同侧有∠BAC和∠BDC，此时∠BAC＝∠BDC．（1）请在图1中再找出一对这样的角来：＝；（2）如图2，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向外作菱形ACEF，D为菱形ACEF 对角线的交点，连接BD．①四边形ABCD损矩形（填“是”或“不是”）；②当BD平分∠ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由；③若∠ACE＝60°，AB＝4，BD＝5，求BC的长．18．（2022春•江阴市校级月考）定义：长宽比为：1（n为正整数）的矩形称为矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图a所示．操作1：将正方形ABEF沿过点A的直线折叠，使折叠后的点B落在对角线AE上的点G处，折痕为AH．操作2：将FE沿过点G的直线折叠，使点F、点E分别落在边AF，BE上，折痕为CD．则四边形ABCD为矩形．（1）证明：四边形ABCD为矩形；（2）在题（1）的矩形ABCD中，点M是边AB上一动点．①如图b，O是对角线AC的中点，若点N在边BC上，OM⊥ON，连接MN．求tan∠OMN 的值；②若AM＝AD，点N在边BC上，当△DMN的周长最小时，求的值；③连接CM，作BR⊥CM，垂足为R．若AB＝4，则DR的最小值＝．19．（2022春•柯桥区月考）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．（1）阅读与理解：如图1，四边形内接于⊙O，点A为弧BD的中点．四边形ABCD（填“是”或“不是”）等补四边形．（2）探究与运用：①如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，连接AC，AC是否平分∠BCD？请说明理由；②如图3，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F，若CD＝10，AF＝5，求DF的长．（3）思考与延伸：在等补四边形ABCD中，AB＝AD＝3，∠BAD＝120°，当对角线AC长度最大时，以AC 为斜边作等腰直角三角形ACP，直接写出线段DP的长度．20．（2021秋•荔湾区期末）如图，共顶点的两个三角形△ABC，△AB′C′，若AB＝AB'，AC＝AC'，且∠BAC+∠B′AC′＝180°，我们称△ABC与△AB′C'互为“顶补三角形”．（1）如图2，△ABC是等腰三角形，△ABE，△ACD是等腰直角三角形，连接DE；求证：△ABC与△ADE互为顶补三角形．（2）在（1）的条件下，BE与CD交于点F，连接AF并延长交BC于点G．判断DE与AG 的数量关系，并证明你的结论．（3）如图3，四边形ABCD中，∠B＝40°，∠C＝50°．在平面内是否存在点P，使△PAD 与△PBC互为顶补三角形，若存在，请画出图形，并证明；若不存在，请说明理由．【例1】2022•汇川区模拟）定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如：四边形ABCD中，若∠A+∠C＝180°或∠B+∠D＝180°，则四边形ABCD是“对补四边形”．【概念理解】（1）如图1，四边形ABCD是“对补四边形”．①若∠A：∠B：∠C＝3：2：1，则∠D＝90度．②若∠B＝90°．且AB＝3，AD＝2时．则CD2﹣CB2＝5．【类比应用】（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝CB，BD平分∠ADC．求证：四边形ABCD是“对补四边形”．【分析】（1）①设∠A＝3x°，则∠B＝2x°，∠C＝x°，利用“对补四边形”的定义列出方程，解方程即可求得结论；②连接AC，利用“对补四边形”的定义和勾股定理解答即可得出结论；（2）在DC上截取DE＝DA，连接BE，利用全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和“对补四边形”的定义解答即可．【解答】（1）解：①∵∠A：∠B：∠C＝3：2：1，∴设∠A＝3x°，则∠B＝2x°，∠C＝x°，∵四边形ABCD是“对补四边形”，∴∠A+∠C＝180°，∴3x+x＝180，∴x＝45°．∴∠B＝2x＝90°．∵四边形ABCD是“对补四边形”，∴∠B+∠D＝180°，∴∠D＝90°．故答案为：90；②连接AC，如图，∵∠B＝90°，∴AB2+BC2＝AC2．∵四边形ABCD是“对补四边形”，∴∠B+∠D＝180°．∴∠D＝90°．∴AD2+CD2＝AC2．∴AB2+BC2＝AD2+CD2，∴CD2﹣CB2＝AB2﹣AD2，∵AB＝3，AD＝2，∴CD2﹣CB2＝32﹣22＝5．故答案为：5；（2）证明：在DC上截取DE＝DA，连接BE，如图，∵BD平分∠ADC，∴∠ADB＝∠EDB．在△ADB和△EDB中，，∴△ADB≌△EDB（SAS），∴∠A＝∠DEB，AB＝BE，∵AB＝CB，∴BE＝BC，∴∠BEC＝∠C．∵∠DEB+∠BEC＝180°，∴∠DEB+∠C＝180°，∴∠A+∠C＝180°，∴四边形ABCD是“对补四边形”．【例2】（2022•赣州模拟）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形做“等邻角四边形”，例如：如图1，∠B＝∠C，则四边形ABCD为等邻角四边形．（1）定义理解：已知四边形ABCD为等邻角四边形，且∠A＝130°，∠B＝120°，则∠D ＝55度．（2）变式应用：如图2，在五边形ABCDE中，ED∥BC，对角线BD平分∠ABC．①求证：四边形ABDE为等邻角四边形；②若∠A+∠C+∠E＝300°，∠BDC＝∠C，请判断△BCD的形状，并明理由．（3）深入探究：如图3，在等邻角四边形ABCD中，∠B＝∠BCD，CE⊥AB，垂足为E，点P为边BC上的一动点，过点P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，判断PM+PN与CE的数量关系？请说明理由．（4）迁移拓展：如图4，是一个航模的截面示意图．四边形ABCD是等邻角四边形，∠A ＝∠ABC，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，AB＝2dm，AD＝3dm，BD＝dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和．【分析】（1）由等邻角四边形的定义和四边形内角和定理可求解；（2）①由角平分线的性质和平行线的性质可得∠EDB＝∠ABD，可得结论；②由三角形内角和定理和四边形内角和定理可求∠C＝60°，即可求解；（3）由面积关系可求解；（4）由直角三角形的性质可得AM＝DM＝ME，EN＝NB＝CN，由勾股定理可求DG＝1，BG＝6，即可求解．【解答】（1）解：∵四边形ABCD为等邻角四边形，∠A＝130°，∠B＝120°，∴∠C＝∠D，∴∠D＝55°，故答案为：55；（2）①证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵ED∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∴∠EDB＝∠ABD，∴四边形ABDE为等邻角四边形；②解：△BDC是等边三角形，理由如下：∵∠BDC＝∠C，∴BD＝BC，∠DBC＝180°﹣2∠C，∵∠A+∠E+∠ABD+∠BDE＝360°，∴∠A+∠E＝360°﹣2∠ABD，∵∠A+∠C+∠E＝300°，∴300°﹣∠C＝360°﹣2（180°﹣2∠C），∴∠C＝60°，又∵BD＝BC，∴△BDC是等边三角形；（3）解：PM+PN＝CE，理由如下：如图，延长BA，CD交于点H，连接HP，∵∠B＝∠BCD，∴HB＝HC，＝S△BPH+S△CPH，∵S△BCH∴×BH×CE＝×BH×PM+×CH×PN，∴CE＝PM+PN；（4）解：如图，延长AD，BC交于点H，过点B作BG⊥AH于G，∵ED⊥AD，EC⊥CB，M、N分别为AE、BE的中点，∴AM＝DM＝ME，EN＝NB＝CN，∵AB2＝BG2+AG2，BD2＝BG2+DG2，∴52﹣（3+DG）2＝37﹣DG2，∴DG＝1，∴BG＝＝6，由（3）可得DE+EC＝BG＝6，∴△DEM与△CEN的周长之和＝ME+DM+DE+EC+EN+CN＝AE+BE+BG＝AB+BG＝（6+2）dm．【例3】（2022•常州二模）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图I，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形；（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上；（3）如图3，已知四边形ABCD是以AB为邻余线的邻余四边形，AB＝15，AD＝6，BC＝3，∠ADC＝135°，求CD的长度．【分析】（1）根据邻余四边形的定义证明结论即可；（2）连接AB，在∠A+∠B＝90°的基础上选择合适的E点和F点连接作图即可；（3）邻余四边形的定义可得∠H＝90°，由勾股定理可求解．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∴∠FAB与∠EBA互余，∴四边形ABEF是邻余四边形；（2）解：如图所示（答案不唯一），（3）解：如图3，延长AD，CB交于点H，∵四边形ABCD是以AB为邻余线的邻余四边形，∴∠A+∠B＝90°，∵∠ADC＝135°，∴∠HDC＝45°，∴∠HDC＝∠HCD＝45°，∴CH＝DH，∵AB2＝AH2+BH2，∴225＝（6+DH）2+（3+DH）2，∴DH＝6（负值舍去），∴CD＝6．【例4】（2022•工业园区模拟）【理解概念】如果一个矩形的一条边与一个三角形的一条边能够重合，且三角形的这条边所对的顶点恰好落在矩形这条边的对边上，则称这样的矩形为这个三角形的“矩形框”．如图①，矩形ABDE 即为△ABC的“矩形框”．（1）三角形面积等于它的“矩形框”面积的；（2）钝角三角形的“矩形框”有1个；【巩固新知】（3）如图①，△ABC的“矩形框”ABDE的边AB＝6cm，AE＝2cm，则△ABC周长的最小值为（6+2）cm；（4）如图②，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，求△ABC的“矩形框”的周长；【解决问题】（5）如图③，锐角三角形木板ABC的边AB＝14cm，AC＝15cm，BC＝13cm，求出该木板的“矩形框”周长的最小值．【分析】（1）利用同底等高的面积关系求解即可；（2）根据钝角三角形垂线的特点进行判断即可；（3）作A点关于DE的对称点F，连接BF，则△ABC周长≥AC+BF，求出BF+AC即可求解；（4）以三角形三边分别为矩形的一边作“矩形框”，分别求出周长即可；（5）以三角形三边分别为矩形的一边作“矩形框”，分别求出周长，取最小值即可．＝×AB×AE，S矩形ABDE＝AB×AE，【解答】解：（1）∵S△ABC＝S矩形ABDE，∴S△ABC故答案为：；（2）由定义可知，钝角三角形以钝角所对的边为矩形一边，能够构造出一个“矩形框”，故答案为：1；（3）如图①，作A点关于DE的对称点F，连接BF，∴CF＝AC，∴AC+BC≥BF，∴△ABC周长＝AB+AC+BC≥AC+BF，∵AB＝6cm，AE＝2cm，在Rt△ABF中，BF＝2，∴△ABC周长的最小值（6+2）cm，故答案为：（6+2）；（4）如图②﹣1，以AB边为矩形一边时，作“矩形框”ABDE，∵∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，∴AB＝5cm，＝×3×4＝×5×AE，∵S△ABC∴AE＝，∴矩形ABDE的周长＝2×（5+）＝（cm）；如图②﹣2，以BC边为矩形一边时，作“矩形框”BCAF，∴矩形BCAF的周长＝2×（3+4）＝14（cm）；同理，以AB为矩形一边时，“矩形框”的周长为14cm；综上所述：△ABC的“矩形框”的周长为cm或14cm；（5）如图③﹣1，以AB为一边作“矩形框”ABDE，过点C作CG⊥AB交于G，∴CG2＝AC2﹣AG2＝BC2﹣BG2，AG+BG＝AB，又∵AB＝14cm，AC＝15cm，BC＝13cm，∴AG＝9cm，BG＝5cm，∴CG＝12cm，∴“矩形框”ABDE的周长＝2×（14+12）＝52cm；如图③﹣2，以BC为一边作“矩形框”BCNM，过点A作AH⊥CB交于H，＝×CG×AB＝×12×14＝×AH×BC，∵S△ABC∴AH＝cm，∴“矩形框”BCNM的周长＝2×（13+）＝cm；如图③﹣3，以AC为矩形一边，作“矩形框”ACTS，过点B作BK⊥AC交于点K，＝×CG×AB＝×12×14＝×BK×AC，∵S△ABC∴BK＝cm，∴“矩形框”ACTS的周长＝2×（15+）＝cm；∵＜52＜，∴该木板的“矩形框”周长的最小值为cm．一．解答题（共20题）1．（2022•罗湖区模拟）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：（1）如图1，正方形ABCD中E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF是（填“是”或“不是”）“直等补”四边形；（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝10，CD＝2，AD＞AB，过点B作BE⊥AD于E．①过C作CF⊥BF于点F，试证明：BE＝DE，并求BE的长；②若M是AD边上的动点，求△BCM周长的最小值．【分析】（1）由旋转的性质可得∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，根据正方形的性质得∠ABC＝∠D＝90°，可得出∠EBF＝∠D＝90°，即可得出答案；（2）①首先证明四边形CDEF是矩形，则DE＝CF，EF＝CD＝2，再证△ABE≌△BCF，根据全等三角形的判定和性质可得BE＝CF，AE＝BF，等量代换即可得BE＝DE；由AE＝BF，EF＝CD＝2可得AE＝BE﹣2，设BE＝x，根据勾股定理求出x的值即可；②延长CD到点G，使DG＝CD，连接BG交AD于点M′，过点G作GH⊥BC，交BC的延长线于点H，证明△ABE∽△CGH，根据相似三角形的性质求出CH、HG的值，在Rt△BHG中，根据勾股定理求出BG，即可求解．【解答】解：（1）∵将△BCE绕B点旋转，BC与BA重合，点E的对应点F在DA的延长线上，∴∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠D＝90°，∴∠ABE+∠CBE＝90°，∴∠ABE+∠ABF＝90°，即∠EBF＝∠D＝90°，∴∠EBF+∠D＝180°，∵∠EBF＝90°，BF＝BE，∴四边形BEDF是“直等补”四边形．故答案为：是；（2）①证明：∵四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝10，CD＝2，AD＞AB，∴∠ABC＝90°，∠ABC+∠D＝180°，∴∠D＝90°，∵BE⊥AD，CF⊥BE，∴∠DEF＝90°，∠CFE＝90°，∴四边形CDEF是矩形，∴DE＝CF，EF＝CD＝2，∵∠ABE+∠A＝90°，∠ABE+∠CBE＝90°，∴∠A＝∠CBF，∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴BE＝CF，AE＝BF，∵DE＝CF，∴BE＝DE；∵四边形CDEF是矩形，∴EF＝CD＝2，∵△ABE≌△BCF，∴AE＝BF，∴AE＝BE﹣2，设BE＝x，则AE＝x﹣2，在Rt△ABE中，x2+（x﹣2）2＝102，解得：x＝8或x＝﹣6（舍去），∴BE的长是8；②∵△BCM周长＝BC+BM+CM，∴当BM+CM的值最小时，△BCM的周长最小，如图，延长CD到点G，使DG＝CD，连接BG交AD于点M′，过点G作GH⊥BC，交BC的延长线于点H，∵∠ADC＝90°，∴点C与点G关于AD对称，∴BM+CM＝BM+MG≥BG，即BM+CM≥BM′+M′C，∴当点M与M′重合时，BM′+M′C的值最小，即△BCM的周长最小，在Rt△ABE中，AE＝＝＝6，∵四边形ABCD是“直等补”四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠BCD+∠GCH＝180°，∴∠A＝∠GCH，∵∠AEB＝∠H＝90°，∴△ABE∽△CGH，∴＝＝＝，即＝，∴GH＝，CH＝，∴BH＝BC+CH＝10+＝，∴BG＝＝＝2，∴△BCM周长的最小值为2+10．2．（2022•越秀区校级模拟）有一组对边平行，一个内角是它对角的两倍的四边形叫做倍角梯形．（1）已知四边形ABCD是倍角梯形，AD∥BC，∠A＝100°，请直接写出所有满足条件的∠D的度数；（2）如图1，在四边形ABCD中，∠BAD+∠B＝180°，BC＝AD+CD．求证：四边形ABCD 是倍角梯形；（3）如图2，在（2）的条件下，连结AC，当AB＝AC＝AD＝2时，求BC的长．【分析】（1）由题意得出∠D＝2∠B或∠B＝2∠D或∠A＝2∠C，根据梯形的性质可得出答案；（2）过点D作DE∥AB，交BC于点E，证明四边形ABED为平行四边形，得出AD＝BE，∠B＝∠DEC＝∠ADE，证出∠ADC＝2∠B，则可得出结论；（3）过点E作AE∥DC交BC于点E，由等腰三角形的性质求出∠B＝∠ACB＝36°，证明△ABE∽△CBA，由相似三角形的性质得出，设AE＝BE＝CD＝x，得出方程22＝x （x+2），求出x＝﹣1，则可得出答案．【解答】解：（1）∵AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝100°，∴∠B＝80°，∵四边形ABCD是倍角梯形，∴∠D＝2∠B或∠B＝2∠D或∠A＝2∠C，若∠D＝2∠B，则∠D＝160°；若∠B＝2∠D，则∠D＝40°，若∠A＝2∠C，则∠C＝50°，∴∠D＝130°，故所有满足条件的∠D的度数为160°或40°或130°；（2）证明：过点D作DE∥AB，交BC于点E，∵∠BAD+∠B＝180°，∴AD∥BC，∵DE∥AB，∴四边形ABED为平行四边形，∴AD＝BE，∠B＝∠DEC＝∠ADE，∵BC＝BE+CE，∴BC＝AD+CE，又∵BC＝AD+CD，∴CE＝CD，BC＞AD，∴∠CDE＝∠DEC，∴∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝2∠B，∴四边形ABCD是倍角梯形；（3）过点E作AE∥DC交BC于点E，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AD＝AC，∴∠ACD＝∠D，∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC，设∠B＝α，则∠D＝2α，∵∠DAC+∠D+∠ACD＝180°，∴α+2α+2α＝180°，∴α＝36°，∴∠B＝∠ACB＝36°，∴∠BAC＝∠AEB＝108°，∵∠B＝∠B，∴△ABE∽△CBA，∴，设AE＝BE＝CD＝x，则BC＝2+x，∴22＝x（x+2），∴x＝﹣1（负值舍去），∴CD＝﹣1．∴BC＝AD+CD＝2+﹣1＝+1．3．（2022•嘉祥县一模）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在（1）的条件下，取EF中点M，连接DM并延长交AB于点Q，延长EF 交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．【分析】（1）由等腰三角形的三线合一定理先证AD⊥BC，再证∠DAB+∠DBA＝90°，由邻余四边形定义即可判定；（2）由等腰三角形的三线合一定理先证BD＝CD，推出CE＝5BE，再证明△DBQ∽△ECN，推出＝＝，即可求出NC，AC，AB的长度．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∴∠FBA与∠EBA互余，∴四边形ABEF是邻余四边形；（2）解：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴BD＝CD，∵DE＝2BE，∴BD＝CD＝3BE，∴CE＝CD+DE＝5BE，∵∠EDF＝90°，点M是EF的中点，∴DM＝ME，∴∠MDE＝∠MED，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△DBQ∽△ECN，∴＝＝，∵QB ＝3，∴NC ＝5，∵AN ＝CN ，∴AC ＝2CN ＝10，∴AB ＝AC ＝10．4．（2021•任城区校级三模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”（1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子：矩形或正方形；（2）问题探究；如图1，在等邻角四边形ABCD 中，∠DAB ＝∠ABC ，AD ，BC 的中垂线恰好交于AB 边上一点P ，连结AC ，BD ，试探究AC 与BD 的数量关系，并说明理由；（3）应用拓展；如图2，在Rt △ABC 与Rt △ABD 中，∠C ＝∠D ＝90°，BC ＝BD ＝3，AB ＝5，将Rt △ABD 绕着点A 顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC ）得到Rt △AB ′D ′（如图3），当凸四边形AD ′BC 为等邻角四边形时，求出它的面积．【分析】（1）矩形或正方形邻角相等，满足“等邻角四边形”条件；（2）结论：AC ＝BD ，证明△APC ≌△DPB （SAS ）；（3）分两种情况考虑：Ⅰ、当∠AD ′B ＝∠D ′BC 时，延长AD ′，CB 交于点E ，如图1，由S 四边形ACBD ′＝S △ACE ﹣S △BED ′，求出四边形ACBD ′面积；Ⅱ、当∠D ′BC ＝∠ACB ＝90°时，过点D ′作D ′E ⊥AC 于点E ，如图2，由S 四边形ACBD ′＝S △AED ′+S 矩形ECBD ′，求出四边形ACBD ′面积即可．【解答】解：（1）矩形或正方形是一个等邻角四边形．故答案为：矩形，正方形；（2）结论：AC＝BD，理由：连接PD，PC，如图1所示：∵PE是AD的垂直平分线，PF是BC的垂直平分线，∴PA＝PD，PC＝PB，∴∠PAD＝∠PDA，∠PBC＝∠PCB，∴∠DPB＝2∠PAD，∠APC＝2∠PBC，即∠PAD＝∠PBC，∴∠APC＝∠DPB，∴△APC≌△DPB（SAS），∴AC＝BD；（3）分两种情况考虑：（i）当∠AD′B＝∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，如图3（i）所示，∴∠ED′B＝∠EBD′，∴EB＝ED′，设EB＝ED′＝x，由勾股定理得：42+（3+x）2＝（4+x）2，解得：x＝4.5，过点D′作D′F⊥CE于F，∴D′F∥AC，∴△ED′F∽△EAC，∴＝，即＝，解得：D′F＝，∴S △ACE ＝AC ×EC ＝×4×（3+4.5）＝15；S △BED ′＝×BE ×D ′F ＝××4.5×＝，则S 四边形ACBD ′＝S △ACE ﹣S △BED ′＝15﹣＝；（ii ）当∠D ′BC ＝∠ACB ＝90°时，过点D ′作D ′E ⊥AC 于点E ，如图3（ii ）所示，∴四边形ECBD ′是矩形，∴ED ′＝BC ＝3，在Rt △AED ′中，根据勾股定理得：AE ＝＝，∴S △AED ′＝×AE ×ED ′＝××3＝，S 矩形ECBD ′＝CE ×CB ＝（4﹣）×3＝12﹣3，则S 四边形ACBD ′＝S △AED ′+S 矩形ECBD ′＝+12﹣3＝12﹣．5．（2022春•曾都区期末）定义：我们把对角线相等的凸四边形叫做“等角线四边形”．（1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等角线四边形”的是②④（填序号）；（2）如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且EC ＝DF ，连接EF ，AF ，求证：四边形ABEF 是等角线四边形；（3）如图2，已知在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，D 为线段AB 的垂直平分线上一点，若以点A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是等角线四边形，求这个等角线四边形的面积．。
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AC/A比值介绍与分析一、眼的三联运动和AC/A比值知识眼的三联运动：当眼睛进行调节时，眼部各组织所出现的协调现象。
调节时，睫状肌收缩，晶体变凸，屈光度增加，使焦点落于视网膜上。
调节时，眼睛有内旋，增加辐辏量，随着瞳孔缩小，这样会使焦点的深度上升，然后眼睛根据焦点的深度进行调节量的控制，这样眼睛才能看到清楚的近物体。
也可以说成这样：调节增大－>辐辏增大－>瞳孔变小－>焦点深度上升－>调节量控制。
其主要的作用是为增加神经支配效益和同步协调性，它们之间关系有调节性辐辏AC与辐辏性调节CA，分别与它们所需的量这比，就是AC/A与CA/C。
CA/C 在临床上使用较少，并未广泛应用，在测试需要也较困难。
AC/A比：（accommodative convergence to accommodation ratio）A表示为调节力，C表示为辐辏力。
是调节性辐辏与引起该调节辐辏的调节之比。
也就是在一定的调节力下，眼睛所要用的辐辏度去除于调节力。
在临床上作为诊断与处理眼视觉异常的重要依据。
一般分为刺激性AC/A与反应性AC/A。
我们日常使用的方法是以调节需求和所加上正镜度数之和作为调节刺激，与所测试到调节性辐辏之比，就是所谓的刺激性AC/A比值。
而反应性AC/A比值是真正的调节反应量，并不是调节刺激量，通常比调节刺激量小+0.25D～+0.50D。
由于临床上多用刺激性AC/A比值，最常用的是刺激性AC/A，所以我们以后的AC/A都是刺激性AC/A。
正常的AC/A比为4△±2/D。
（计算性与阶陡性的平均值）二、计算性AC/A比值公式：通过对眼睛远近眼位的测试，根据瞳距，眼调节非人为性干涉，所带来的聚散功能数据，获得的AC/A比值为计算性。
计算性AC/A比值所要测试的值包括有“视远眼位（5米）、视近眼位（0.4米）、瞳距（远用瞳距）、视近距离”。
计算性AC/A比值公式：nAC/A＝PD＋[（A n－A d）/ （D n－D d）]＝PD＋F n ×（A n－A d）nPD：瞳距，单位为cmnA n：视近时眼位值，单位为△;nA d：视远时眼位值，单位为△;nD n：视近时的调节需求，单位为D;如是0.40米，那么就是1/0.40＝2.5D。
nD d：视远时的调节需求，单位为D;一般情况下为0D。
nF n ：视近距离，单位为米M;也可以写成以下方式：AC/A比值＝（视近距离辐辏要求－视远时眼位＋视近时眼位）/ 视近物调节需求量AC/A比值＝PD（CM）＋视近距离（M）×（视近时眼位－视远时眼位）或是＝PD（CM）＋（视近时眼位－视远时眼位）/ 视近物调节需求量n可采用任何两个可视距离，通常采用5米和0.4米。
n所谓“近距辐辏要求”就是眼睛看一定距离的物体眼睛所需要的辐辏。
近距辐辏要求＝瞳距PD（cm）/ 近距离（m）＋0.027m加上2.7cm是因为计算调节需求与辐辏需求各终止点是相差2.7cm。
例如患者瞳距为64mm，当看一米时，辐辏要求＝6.4cm/（1m+0.027m）=6.23△。
看0.4米时，辐辏要求＝6.4cm/（0.4m+0.027m）＝14.988△。
三、计算性AC/A比值优缺点1. 计算性AC/A比值的优点：?公式假定眼睛以作适当的远矫正视力的最高度数的正镜片（MPMVA），AC/A 比值为线性的。
也就是说，计算性AC/A比值与眼睛调节所引发的辐辏改变值是线性。
可以方便理解在不同调节值下所需要的辐辏值比例为固值。
?非人为性对眼睛的调节进行干涉。
没有附加其它度数来改变辐辏。
?测试方法方便，可靠，真实。
2. 计算性AC/A比值缺点：?看近测试眼位时，由于感知性集合的存在，所以测试出来的AC/A比值偏大点。
3. 计算性AC/A比值一般情况? 计算AC/A比值正常范围：4△/1D～7△/1D。
? 瞳距的大小直接影响计算性AC/A的大小，瞳距越大，计算性AC/A比值越大。
? 计算性AC/A比值不能为零和负值。
四、“阶梯性AC/A比值”公式：在视近时，通过人为性的增加或减少球镜，对眼睛聚散运动的影响，获得AC/A 比值就是为阶梯性。
所获得的AC/A比值只是在一个视近范畴内。
阶梯性AC/A比值公式n AC/A ＝（A n1 －A n2）/（D n1 －D n2）＝［ A n1 －（ D n1 ±1.00DS）］/ F nnA n1：视近时的眼位值1，单位为△;nA n2：视近时的加上度数后眼位值2，单位为△;nD n1：视近时的调节需求1，单位为D;一般情况下为0。
nD n2：视近时的调节需求2，单位为D;一般情况就是在原屈光度数±1.00DS。
nF n ：视近距离，单位为米M; 一般为0.4米。
阶梯性AC/A比值公式也可以写成：AC/A比值＝（视近眼位①－视近眼位②）/ （①的调节刺激－②的调节刺激）AC/A比值＝（视近眼位－已加上+1.00D时视近眼位）/ D ｛相同视近距离｝本测试距离为视近距离，一般为0.4米。
五、阶梯性AC/A比值的优缺点1. 阶梯性AC/A比值优点：? 在测试阶梯性AC/A比值时，没有感知性集合干涉。
因为都是近距离测试，所以不存在感知性集合干涉。
? 阶梯性AC/A比值更既有实用性。
已知附加镜作用程度。
? 在测试视近眼位后，人为性调节后可以马上知道AC/A比值，不必经过计算。
2. 阶梯性AC/A比值缺点：? 焦深问题，会对测试结果有影响。
由于都是视近，亮度、瞳孔与距离影响阶梯性AC/A比值十分明显。
? 当患者有调节问题时，所测试出的数据不可靠。
? 增加了一个测试过程，增加视觉检查时间。
3. 阶梯性AC/A比值一般情况? 阶梯法通常测得较低的AC/A值，大于5/1的梯度法测量的AC/A 值可认为偏高。
? 焦深（depth of focus）可引起AC/A值偏低，尤其是使用低度的附加镜片进行测量时。
六、两种AC/A比值的比较1. 由于计算性AC/A比值是测试远近眼位，在测试近时，眼睛受近感性辐辏影响而变大，而阶梯性AC/A比值都是在视近时测试的，两数值可以抵消，所以“计算性AC/A比值”要比“阶梯性AC/A比值”大。
2. 计算AC/A 值比阶梯度AC/A值更可靠。
虽然计算性AC/A比值大些，但没有太多其它因素来影响，同一个人在不同地点多次测试下，计算性AC/A比值还比较一致，但阶梯性影响因素多，精神、亮度、调节问题等等都可以影响到阶梯性AC/A比值。
同一个人不同地点多次测试下，阶梯性AC/A比值还是有点差别。
3. 阶梯性AC/A比值直接显示附加镜片对斜视角的影响，对以后更有实用性。
附加镜片在视觉训练中常常用于改变斜视角的值，不管隐斜或显斜。
七、AC/A比值与屈光矫正的关系AC/A比值在视觉系统中是很重要的参考依据，与视觉问题中的辐辏问题有着十分密切的关系，也在我们日常屈光不正矫正中，起着很重要的地位，只是大家对AC/A比值的认识还是不够，为了方便大家知道AC/A比值与屈光矫正的关系，下面的为大家出台AC/A比值与屈光不正矫正参考方案，这些参考方案应该在没有其它视觉问题下，大致可以分为：? AC/A比值与近视的关系n当眼位正位，AC/A比正常时，正常验配。
n当眼位正位，AC/A比较大时，近视度数不应过深，应降低度数处理。
n当眼位正位，AC/A比较小时，近视度数可以加深，应提高度数处理。
n当有隐内斜，AC/A比正常时，近视度数可以低矫正。
n当有隐内斜，AC/A比较大时，近视度数可以矫正不足，应降低度数处理。
n 当有隐内斜，AC/A比较小时，近视度数可以不变，但是要测试辐辏与调节情况，必要时用棱镜处方。
n 当有隐外斜，AC/A比正常时，近视度数可以过矫。
n 当有隐外斜，AC/A比较大时，近视度数可以不变，但是要测试辐辏与调节情况，必要时用棱镜处方。
n 当有隐外斜，AC/A比较小时，近视度数可以过矫，应增加度数处理，必要时用棱镜处方。
? AC/A比值与远视的关系n当眼位正位，AC/A比正常时，远视度数正常验配n当眼位正位，AC/A比较大时，远视度数要大大加深，应加度数处理。
n当眼位正位，AC/A比较小时，远视度数减少，应降低度数处理。
n当有隐内斜，AC/A比正常时，远视度数过度矫正。
n 当有隐内斜，AC/A比较大时，远视度数过度矫正，应大大提高度数处理。
? AC/A比值与远视的关系l 当有隐内斜，AC/A比较小时，远视度数可以不变。
但是要测试辐辏与调节情况，必要时用棱镜处方。
l 当有隐外斜，AC/A比正常时，远视度数可以低矫。
l 当有隐外斜，AC/A比较大时，远视度数可以不变。
但是要测试辐辏与调节情况，必要时用棱镜处方。
l 当有隐外斜，AC/A比较小时，远视度数可以大量的欠矫，应降低度数处理，必要时用棱镜处方。
参考文献：1. 《现代眼视光学》王幼生等广东科技出版社2005年6月P1962. 《美式21项验光检查视觉法》黄炳南中医古籍出版2006年1月P28、48、58、1023. 《中国斜视与小儿眼科杂志》“渐进多焦镜治疗高AC/A调节性内斜的研究”邓大明等2006年第14卷P974. 《金陵眼镜》杂志“关于AC/A值的测试及应用”邓可立2006年第2期P1声明：本网站所有内容，凡注明来源为“中国眼网”，版权均归中国眼网所有，欢迎转载，但请务必注明出处。
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