正弦、余弦函数的单调性
1.4.2第2课时 正、余弦函数的单调性与最值 课件
第一章 三角函数
(4)确定含有正弦函数或余弦函数的较复杂函数的单调性时， 要注意使用复杂函数的判断方法来判断． 2．解析正弦函数、余弦函数的最值 (1)明确正弦、余弦函数的有界性，即|sin x|≤1，|cos x|≤1. (2)对有些函数，其最值不一定就是1或－1，要依赖函数的定 义域来决定． (3)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数求最值时，通常利 用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Asin z的 形式求最值．
第一章 三角函数
栏目 导引
第一章 三角函数
单调减区间为[34π＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)． 所以原函数 y＝2sin(π4－x)的单调增区间为[34π＋2kπ，74π＋ 2kπ](k∈Z)； 单调减区间为[－π4＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)．
栏目 导引
第一章 三角函数
【名师点评】 正弦、余弦函数单调区间的求解技巧： (1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采 用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调 区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x的系数转变为正数．
栏目 导引
第一章 三角函数
跟踪训练
1．求函数 y＝sin(π3－12x)，x∈[－2π，2π]的单调递增区间． 解：y＝sin(π3－12x)＝－sin(12x－π3)． 由 y＝sin x 与 y＝－sin x 的图象关于 x 轴对称可知，y＝sin x 的递增 区间就是 y＝－sin x 的递减区间．因此，要求 y＝－sin(12x－π3)的递 增区间，只要求出 y＝sin(12x－π3)的递减区间即可．
正弦函数、余弦函数的单调性与最值
∵函数y＝sin
π π x在－2＋2kπ，2＋2kπ(k∈Z)上是增函数，
π π π ∴－ ＋2kπ≤2x－ ≤ ＋2kπ， 2 3 2 π 5π 即－ ＋kπ≤x≤ ＋kπ(k∈Z)． 12 12
π π 5π ∴函数y＝3sin 3 －2x 的单调递减区间为 －12＋kπ，12＋kπ
π π π 13π ∴cos ＞cos ，即cos－8 ＞cos . 8 7 7
(2)sin 194°＝sin (180°＋14°)＝－sin 14°， cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. ∵0°＜14°＜70°＜90°且y＝sin
比较三角函数值大小的方法 (1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公 式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调 性比较． (2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先 化为同名的三角函数，后面步骤同上．
[活学活用] 比较下列各组数的大小．
π 13π (1)cos －8 与cos ； 7
(3)在区间[0,2π]上，函数y＝cos x仅当x＝0时取得最大值1. ( × )
2．在下列区间中，使函数y＝sin x为增函数的是 ( A．[0，π]
π π C．－2，2 π 3π B．2 ， 2
)
D．[π，2π]
答案：C
3．函数y＝2－sin x的最大值及取最大值时x的值为 π A．ymax＝3，x＝ 2 π B．ymax＝1，x＝ ＋2kπ(k∈Z) 2 π C．ymax＝3，x＝－ ＋2kπ(k∈Z) 2 π D．ymax＝3，Biblioteka ＝ ＋2kπ(k∈Z) 2值域
[点睛]
三角函数已知单调性求参数范围「备战2024高考数学」
三角函数已知单调性求参数范围「备战2024高考数学」三角函数是高中数学中的重要内容，它在几何、解析和应用题中都有着广泛的应用。
在求解三角函数的单调性时，我们需要根据函数图像或函数定义来进行判断和推导。
下面我们将分别讨论正弦函数、余弦函数和正切函数的单调性，并给出求解参数范围的方法。
首先，我们讨论正弦函数的单调性。
正弦函数的定义域为实数集，其函数图像为一条周期为2π的连续的正弦曲线。
根据图像可以看出，正弦函数在(0,π/2)和(3π/2,2π)上是单调递增的，在(π/2,3π/2)上是单调递减的。
这是因为正弦函数的周期性和交替性使得它在每个周期内的单调性相同。
因此，当我们要求解正弦函数的参数范围时，可以根据正弦函数单调递增和单调递减的区间来进行判断。
接下来，我们讨论余弦函数的单调性。
余弦函数的定义域为实数集，其函数图像为一条周期为2π的连续的余弦曲线。
根据图像可以看出，余弦函数在(0,π)上是单调递减的，在(π,2π)上是单调递增的。
与正弦函数类似，余弦函数的周期性和交替性使得它在每个周期内的单调性相同。
因此，当我们要求解余弦函数的参数范围时，可以根据余弦函数单调递减和单调递增的区间来进行判断。
最后，我们讨论正切函数的单调性。
正切函数的定义域为实数集中除去所有使得函数值为正或负无穷的点。
正切函数的函数图像在每个周期内都没有单调性，因为它会在一些点上突然跃变。
但是，正切函数有一个特点，即在每个周期中有无穷个间断点，这些间断点将周期分成了多个单调区间。
在每个单调区间内，正切函数的单调性是一致的。
因此，当我们要求解正切函数的参数范围时，可以根据正切函数的单调性区间来进行判断。
综上所述，求解三角函数的单调性可以根据函数的定义和图像来进行分析和判断。
对于正弦函数和余弦函数，可以利用它们的周期性和交替性来判断单调性区间。
对于正切函数，可以利用其无穷个间断点将周期分成多个单调区间来判断。
通过理解和掌握三角函数的单调性，我们可以在解题过程中快速定位参数的范围，提高解题的效率。
正弦余弦函数的性质
y=sinu y=|sinu|
2 3 x [k , k ], k Z y为增函数 4 4 x [k , k ], k Z y为减函数 4 4
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
小 结：
奇偶性 [ 正弦函数 奇函数 单调性（单调区间）
+2k, +2k],kZ 单调递增 2 2 3 [ +2k, +2k],kZ 单调递减 2 2
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
例1 不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0： (1) sin(
) – sin( 18
10
)
解： 2 10 18 sin(
5
2
又 y=sinx 在[
)
10
) < sin(
18
即：sin( 18 ) – sin( 10 )>0
17 cos( 17 )=cos 4 4
, ] 上是增函数 2 2
(2) cos( 23 ) - cos( 解： cos( 23 )=cos 23 5 5
0
) - cos( 从而 cos( 23 5
17 ) 4
=cos
cos
3 5
4
<cos 4
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
y=sinx
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正弦余弦函数的图象和性质(单调)
练习
1、比较大小： 比较大小： 54 63 sin （1） （ − π）与 sin − π） （ 8 7 5 7 cos （2） 4， cos π， sin π 4 6
2、求函数 y = 4 sin( 2 x + 时的单调增区间 .
π
4
)，当 x ∈ [ 0， π ]
3、求函数 y = 2 sin （
知识回顾
y = sin x
y 1
y = cos x
y
图象 定义域 值域 奇偶性
π
2
1
π
3π 2
0
π
3π 2
2 π
x
−1
−1 -
o
2π
-
-
-
-
x
-
R
[-1，1] 奇 π
R
[-1，1] 偶
x=kπ 对称性（对称轴、 对称性（对称轴、 x = + kπ π 2 对称中心） 对称中心） （ 0 ）（ ∈ z） k （kπ，0） k∈z）（ + kπ， ， ） ∈
1-
− 6π
-
− 4π
-
− 2π
-
o
-1 -
2π4π- Nhomakorabea6π-
-
2 π 取得最小值－ 当且仅当 x＝2kπ－ 时， y取得最小值－1 2
当且仅当 x＝2kπ +
-
x
π
时， y 取得最大值 1
余弦函数y=cosx的图象 的图象 余弦函数
y
1-
− 6π
-
− 4π
-
− 2π
-
o
-1 -
2π
4π
-
6π
正、余弦函数的单调性与最值
比较三角函数值的大小 比较下列各组数的大小． (1)cos－253π与 cos－147π； (2)sin2 012°和 cos157°.
【思路探索】 利用诱导公式将异名三角函数转化为 同名三角函数，非同一单调区间的角，转化到同一单调区 间上，再利用函数的单调性比较．
【解】 (1)解法一： ∵cos－253π＝cos－6π＋75π＝cos75π， cos－147π＝cos－6π＋74π＝cos74π， ∵π<75π<74π<2π， 又 y＝cosx 在[π，2π]上单调递增， ∴cos75π<cos74π，
求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω≠0)或y＝Acos(ωx＋ φ)(A>0，ω≠0)的单调区间，一般将ωx＋φ视作整体，代入y ＝sinx或y＝cosx相关的单调区间所对应的不等式，解之即 得．这里实际上采用的是整体的思想，这是研究三角函数 性质的重要数学思想，一般地，ω<0时，y＝Asin(ωx＋ φ)(Aω≠0)变形为y＝－Asin(－ωx－φ)，y＝Acos(ωx＋ φ)(Aω≠0)变形为y＝Acos(－ωx－φ)，再求函数的单调区 间．所有的这些变形都是为了使x前面的系数为正值．同 时要注意A<0时单调区间的变化.
单调减区间为2kπ＋π6，2kπ＋76π. (2)函数 y＝2sinπ3－2x＝－2sin2x－3π，令 2kπ－2π≤2x －π3≤2kπ＋2π(k∈Z)，得 kπ－1π2≤x≤kπ＋152π(k∈Z)，∴函数 y＝2sin3π－2x的单调减区间为kπ－1π2，kπ＋152(k∈Z)．令π2 ＋2kπ≤2x－3π≤32π＋2kπ，k∈Z，解得152π＋kπ≤x≤1112π＋kπ， k∈Z，即原函数的单调递增区间为152π＋kπ，1112π＋kπ(k∈Z)．
正弦函数、余弦函数的单调性与最值
函数名称 图象与性质 性质分类 图象 奇偶性 _________ 奇函数 _________ 偶函数 y＝sinx y＝cosx
不同处
函数名 称 图象与性质 性质分类 在 不同 处 y＝sinx y＝cosx
单调性
π π [2kπ－π，2kπ](k∈Z) 上 2kπ－ ，2kπ＋ (k∈Z) 在 ____________________ 2 2 ________________________ 递增； 上递增； 在 在 π 3 [2kπ，2kπ＋π](k∈Z) 2kπ＋ ，2kπ＋ π(k∈Z) ________________________ 2 2 ________________________ 上递减 上递减
π π π 【解】 (1)由 2kπ－2≤x＋3≤2kπ＋2(k∈Z)， 5 π 得 2kπ－6π≤x≤2kπ＋6(k∈Z)． π π 3 由 2kπ＋2≤x＋3≤2kπ＋2π(k∈Z)， π 7 得 2kπ＋6≤x≤2kπ＋6π(k∈Z)． ∴函数
π y＝2sinx＋3的单调增区间为
(2)可化为 y＝Asin2x＋Bsinx＋C 或 y＝Acos2x＋Bcosx＋C(A≠0) 的最大、最小值可利用二次函数在区间[－1,1]上的最大、最小值 的求法来求(换元法)． Asinx＋B Acosx＋B 2 (3)形如 y＝ 或 y＝ (A ＋C2≠0)的最大值最 Csinx＋D Ccosx＋D 小值可解出 sinx 或 cosx 后利用其有界性来求．
2．比较三角函数值大小的方法 先利用诱导公式把要比较的三角函数值转化为同一单调区间 上的同名三角函数值，再利用三角函数的单调性比较大小． 3．求三角函数值域或最值的常用方法 (1)可化为单一函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 或 y＝Acos(ωx＋φ)＋k 的最大值为|A|＋k， 最小值为－|A|＋k(其中 A、 ω、 k 为常数， A≠0， ω≠0)．
三角函数正弦余弦正切
三角函数正弦余弦正切三角函数是数学中的重要概念，包括正弦、余弦和正切。
它们在数学、物理和工程等领域有广泛的应用。
本文将对三角函数的定义、性质和应用进行详细论述。
一、正弦函数正弦函数是三角函数中的一种，表示为sin(x)，其中x为角度。
正弦函数的定义域是实数集，值域为[-1, 1]。
正弦函数具有以下性质：1. 周期性：正弦函数是周期函数，其最小正周期是2π，即sin(x) = sin(x+2πk)，其中k为整数。
2. 对称性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)，表示在原点处关于y轴对称。
3. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)，表示在原点处关于原点对称。
4. 单调性：在定义域内，正弦函数在每个周期内都是单调递增或单调递减的。
5. 正弦函数的图像是一个周期为2π的连续波形，以y轴为中心对称。
正弦函数在几何、物理、电路等领域有广泛的应用，如波动、振动、交流电等的描述和计算中都会用到。
二、余弦函数余弦函数是三角函数中的另一种，表示为cos(x)，其中x为角度。
余弦函数的定义域是实数集，值域为[-1, 1]。
余弦函数具有以下性质：1. 周期性：余弦函数是周期函数，其最小正周期是2π，即cos(x) = cos(x+2πk)，其中k为整数。
2. 对称性：余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)，表示在原点处关于y轴对称。
3. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)，表示在原点处关于原点对称。
4. 单调性：在定义域内，余弦函数在每个周期内都是单调递减的。
5. 余弦函数的图像是一个周期为2π的连续波形，以y轴为中心对称。
余弦函数在几何、物理、信号处理等领域有广泛的应用，如描述分析力学中的运动规律、计算交流电路中的电流和电压等。
三、正切函数正切函数是三角函数中的另一种，表示为tan(x)，其中x为角度。
正切函数的定义域是实数集，值域为整个实数集。
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§4.8正弦、余弦函数的单调性（一） 班级 学号 姓名
一、 课堂目标：
能正确地求出正弦、余弦函数及一些简单复合函数的单调区间
二、 要点回顾：
1增函数定义回顾：如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值x 1, x 2，当x 1<x 2时，都有______________，那么就说函数在这个区间上是增函数
2单调性回顾：如果函数在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有_________ . 3若要求函数y=sin(
3π-x)的递增区间，因为sin(3π-x)= - sin(x-3π),所以只要求出函数y=sin(x-3π)的_______区间即可.
三、 目标训练：
1、 函数y=sinx 的递增区间是_______________________ ,递减区间是______________________
2、 函数y=cosx 的递增区间是_______________________ ,递减区间是______________________
3、 函数y=1+sinx 的递增区间是_______________________ ,递减区间是______________________
4、 函数y= -cosx 的递增区间是_________________________,递减区间是______________________
5、 比较大小：
（1）sin103o 15_______sin164o 30
(2)cos(π1047-)_________cos()944π- (3) sin508o ________sin144o
(4)cos760o ________cos(-770o )
6、若α,β都是第一象限角，且α<β，那么
A.sin α<sin β Bsin α>sin β. C.sin α≥sin β D.sin α,sin β大小不定
7、下列函数中，既是偶函数又是周期函数的是
A.y=x sin
B.y=x 2log
C.y=sin x
D.y=log x 2 7、求下列函数的单调递增区间：
（1）)42cos(2π-
=x y （2）)24sin(2x y -=π
（3）x y sin 21⎪⎭
⎫ ⎝⎛= （4）x y cos log 2=
7、 根据三角函数的图象，写出使下列不等式成立的的集合
（1）sinx 23≥
(2) 0cos 22≥+x
8、求下列函数的定义域：
（1）1cos 2-=
x y (2))sin 21lg(x y -=
9、已知函数)2
3cos(2)(x x f -=π
，求f(x)的单调递增区间;（2）若[]ππ,-∈x ，求f(x)的最大值和最小值
10、作出函数y=)cos(2sin x x ++⎪⎭
⎫ ⎝⎛+ππ的图象，并根据图象写出函数的单调递减区间.。