正弦函数、余弦函数的单调性与最值(20200416222240)
正弦函数、余弦函数的单调性与最值
∵函数y＝sin
π π x在－2＋2kπ，2＋2kπ(k∈Z)上是增函数，
π π π ∴－ ＋2kπ≤2x－ ≤ ＋2kπ， 2 3 2 π 5π 即－ ＋kπ≤x≤ ＋kπ(k∈Z)． 12 12
π π 5π ∴函数y＝3sin 3 －2x 的单调递减区间为 －12＋kπ，12＋kπ
π π π 13π ∴cos ＞cos ，即cos－8 ＞cos . 8 7 7
(2)sin 194°＝sin (180°＋14°)＝－sin 14°， cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. ∵0°＜14°＜70°＜90°且y＝sin
比较三角函数值大小的方法 (1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公 式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调 性比较． (2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先 化为同名的三角函数，后面步骤同上．
[活学活用] 比较下列各组数的大小．
π 13π (1)cos －8 与cos ； 7
(3)在区间[0,2π]上，函数y＝cos x仅当x＝0时取得最大值1. ( × )
2．在下列区间中，使函数y＝sin x为增函数的是 ( A．[0，π]
π π C．－2，2 π 3π B．2 ， 2
)
D．[π，2π]
答案：C
3．函数y＝2－sin x的最大值及取最大值时x的值为 π A．ymax＝3，x＝ 2 π B．ymax＝1，x＝ ＋2kπ(k∈Z) 2 π C．ymax＝3，x＝－ ＋2kπ(k∈Z) 2 π D．ymax＝3，Biblioteka ＝ ＋2kπ(k∈Z) 2值域
[点睛]
正、余弦函数奇偶性、单调性、最值(最新)
例3， 求下列函数的最大值和最小值，并写出取最 大值、最小值时自变量x的集合.
（1）y=cosx＋1，x∈R； （2）y=－3sin2x，x∈R.
[例 4]
(12 分)求下列函数的值域：
π π (1)y＝cos(x＋ )，x∈[0， ]； 6 2 (2)y＝cos2x－4cos x＋5.
[思路点拨] π (1)先求 x＋ 的范围，再由 y＝cos x 的图像求出值域； 6 (2)可以令 t＝cos x ∈[－1，1]，转化为二次函数求值域．
y 探究（二）：正、余弦函数的最值
1
-3
5 2
-2
3 2
-
2
o
y -1
1
2
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
-3
5 2
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
思考 1 ：观察正弦曲线和余弦曲线，正、余弦 存在 函数是否存在最大值和最小值？ _________ 若存在，其最大值为_____ 1 和最小值为_____. -1
2k , k Z 思考2：正弦函数y=sinx当且仅当x=_________ 2
2k , k Z 时取最 时取最大值 1, 当且仅当 x=__________ 2
小值-1
y
1 -3
5 2
余弦曲线
2
-2
3 2
-
2
o
-1
正弦函数、余弦函数的单调性与最值【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件PPT
探索点三 正弦函数、余弦函数最值与值域问题 【例 3】 求下列函数的值域: (1)y=3-2sin 2x; (2)y=cos(x+ ),x∈[0, ]; (3)y=cos2x-4cos x+5.
解:(1)因为-1≤sin 2x≤1, 所以-2≤-2sin 2x≤2,所以 1≤3-2sin 2x≤5, 所以函数 y=3-2sin 2x 的值域是[1,5].
(2)求函数 y=2sin( -x)的单调递增区间. 解:y=2sin( -x)=-2sin(x- ),令 z=x- ,则 y=-2sin z, 求 y=-2sin z 的单调递增区间,即求 sin z 的单调递减区间, 所以 +2kπ≤z≤ +2kπ,k∈Z,即 +2kπ≤x- ≤ +2kπ,k∈Z. 所以 +2kπ≤x≤ +2kπ,k∈Z. 所以函数 y=2sin( -x)的单调递增区间是[ +2kπ, +2kπ](k∈Z).
(1)数形结合:结合正弦函数、余弦函数的图象,熟记它们的 单调区间.
(2)整体代换:确定函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区 间的方法,采用“换元法”整体代换,将 ωx+φ 看作一个整体,可 令“z=ωx+φ”,即通过求 y=Asin z 的单调区间求出函数的单调 区间.若 ω<0,则可利用诱导公式将 x 的系数转化为正数.
5.4.2第2课时正弦函数、余弦函数的 单调性 与最值- 【新教 材】人 教A版 （2019 ）高中 数学必 修第一 册课件( 共21张 PPT)
【跟踪训练】 1.变式练将本例(2)变为:求函数 y=2cos( -x)的单调递 增区间. 解:y=2cos( -x)=2cos(x- ), 由 2kπ+π≤x- ≤2kπ+2π,k∈Z, 得 2kπ+ ≤x≤2kπ+ ,k∈Z. 所以原函数的单调递增区间是[2kπ+ ,2kπ+ ](k∈Z).
(最新整理)正弦函数余弦函数的单调性奇偶性最值
2021/7/26
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知识预览
1．正、余弦函数的奇偶性 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．
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∴cosπ8<cosπ9，即
17π 37π cos 8 <cos 9 .
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正、余弦函数的最值问题 【例 4】 求下列函数的最大值和最小值： (1)y＝3＋2cos(2x＋π3)； (2)y＝3cos2x－4cosx＋1，x∈[π3，23π]； (3)y＝ssiinnxx－ ＋12.
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规律归纳 关于三角函数值大小比较的方法 (1)比较同名三角函数值的大小，关键是考查同一单调区间 上的同名三角函数的单调性，由自变量的大小确定函数值的大 小． (2)比较不同名的三角函数的大小，应先根据诱导公式化为 同名三角函数，然后再进行比较．
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2.求函数 y＝3cos(3x－4π)的单调区间． 解：令 2kπ＋π≤3x－π4≤2kπ＋2π，则 2kπ＋54π≤3x≤2kπ ＋94π，即23kπ＋51π2≤x≤23kπ＋34π，于是函数的单调递增区间 为[23kπ＋51π2，23kπ＋34π]，k∈Z，同理可求得其单调递减区间 为[23kπ＋1π2，23kπ＋51π2]，k∈Z.
5.4.2正弦函数、余弦函数单调性和与最值课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
8
8
原 :
作业：
一线第36课时
一线课堂
1,、2、3、4
素养演练
1、2、3、9、12
2
x 2k(k Z )时取最大值1
x 2k(k Z )时取最小值 1 x 2k(k Z )时取最小值1
2
例1：不求值，比较下列各组数的大小：
析 : (1) y sin x在[
2
,0]上递增 ,
0,
2
10
18
sin( ) sin( ).
18
10
23
23
3
析：
(2) cos(
) cos
cos
5
5
5
17
17
cos(
) cos
cos
4
4
4
y cos x在[0, ]上递减,
3
而0
,
4 5
3
cos cos ,
4
5
3
4
解 : x 0, ,
4
5
2 x , ,
3 3 6
1
sin(2 x ) ,1,
3 2
值域为1,2.
y=sint的图象
例3：求 y sin( 2 x )的单调递增区间 .
6
内: t 2x
内 :
外:
4
3
解得 x [ k ,
k ], k Z .
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数学必修4：第12课时 正弦函数、余弦函数的性质(2)——单调性、最值 Word版含解析
第12课时 正弦函数、余弦函数的性质(2)——单调性、最值课时目标1.理解正、余弦函数单调性的意义，会求其单调区间． 2．会求正、余弦函数的最大(小)值．识记强化1．y ＝sin x 单调递增区间⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k πk ∈Z ，单调递减区间⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k πk ∈Z .x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，y ＝sin x 取得最大值1，x ＝2k π＋3π2，k ∈Z ，y ＝sin x 取得最小值－1.2．y ＝cos x 单调递增区间[－π＋2k π，2k π]k ∈Z ，单调递减区间[2k π，2k π＋π]k ∈Z .x ＝2k π，k ∈Z ，y ＝cos x 取最大值1，x ＝2k π＋π，k ∈Z ，y ＝cos x 取最小值－1.课时作业一、选择题1．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π＋5π12(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤k π＋π3，k π＋2π3(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z ) 答案：C解析：∵2k π≤2x －π3≤2k π＋π，k ∈Z .∴k π＋π6≤x ≤k π＋23π，k ∈Z.2．函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1取得最大值时，x 的值应为( ) A ．2k π－π3，k ∈Z B ．k π－π6，k ∈ZC ．k π－π3，k ∈ZD ．k π＋π6，k ∈Z答案：B解析：依题意，当cos(2x ＋π3)＝1时，y 有最大值，此时2x ＋π3＝2k π，k ∈Z ，变形为x＝k π－π6，k ∈Z .3．已知函数f (x )＝sin(x －π2)(x ∈R )，下面结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间[0，π2]上是增函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数答案：D解析：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－cos x ，所以f (x )是偶函数，故D 错． 4．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的值域是( ) A.⎝⎛⎦⎤－32，12 B.⎣⎡⎦⎤－12，32 C.⎣⎡⎦⎤32，1 D.⎣⎡⎦⎤12，1 答案：B解析：由x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3. 故y max ＝cos π6＝32，y min ＝cos 2π3＝－12.所以，所求值域为⎣⎡⎦⎤－12，32.5．函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－π4，π4B.⎝⎛⎭⎫π4，3π4C.⎝⎛⎭⎫π，3π2D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π 答案：C解析：画出y ＝|sin x |的图象，如图．由图象可知，函数y ＝|sin x |的一个递增区间是⎝⎛⎭⎫π，3π2. 6．下列关系式中正确的是( )A ．sin11°<cos10°<sin168°B ．sin168°<sin11°<cos10°C ．sin11°<sin168°<cos10°D ．sin168°<cos10°<sin11° 答案：C解析：∵sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝sin(90°－10°)＝sin80°，由函数y ＝sin x 的单调性，得sin11°<sin12°<sin80°，即sin11°<sin168°<cos10°.二、填空题7．函数y ＝sin(x ＋π)在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递增区间为________． 答案：⎣⎡⎦⎤π2，π解析：因为sin(x ＋π)＝－sin x ，所以要求y ＝sin(x ＋π)在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递增区间，即求y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递减区间，易知为⎣⎡⎦⎤π2，π. 8．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为________．答案：π6解析：令2×43π＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，则φ＝k π－136π，k ∈Z ，当k ＝2时，|φ|min ＝π6.9．函数y ＝2＋cos x2－cos x的最大值为________．答案：3解析：由y ＝2＋cos x 2－cos x ，得y (2－cos x )＝2＋cos x ，即cos x ＝2y －2y ＋1(y ≠－1)，因为－1≤cos x ≤1，所以－1≤2y －2y ＋1≤1，解得13≤y ≤3，所以函数y ＝2＋cos x 2－cos x的最大值为3.三、解答题10．求下列函数的单调递增区间．(1)y ＝1－sin x2；(2)y ＝log 12(cos2x )．解：(1)由题意可知函数y ＝sin x2的单调递减区间即为原函数的单调递增区间，由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π(k ∈Z )，得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π(k ∈Z )．∴函数y ＝1－sin x2的单调递增区间为[4k π＋π，4k π＋3π](k ∈Z )．(2)由题意，得cos2x ＞0，∴2k π－π2＜2x ＜2k π＋π2，k ∈Z ，即k π－π4＜x ＜k π＋π4，k ∈Z .∵函数y ＝log 12x 在定义域内单调递减，∴函数y ＝cos2x (x ∈(k π－π4，k π＋π4)，k ∈Z )的单调递减区间即为原函数的单调递增区间，∴x 只需满足2k π＜2x ＜2k π＋π2，k ∈Z .∴k π＜x ＜k π＋π4，k ∈Z .∴函数y ＝log 12(cos2x )的单调递增区间为(k π，k π＋π4)，k ∈Z .11．设a ＞0,0≤x <2π，若函数y ＝cos 2x －a sin x ＋b 的最大值为0，最小值为－4，试求a 与b 的值，并求该函数取得最大值和最小值时x 的值．解：y ＝cos 2x －a sin x ＋b ＝－(sin x ＋a 2)2＋a 24＋b ＋1，由－1≤sin x ≤1，a ＞0，知①若0＜a2≤1，即0＜a ≤2，当sin x ＝－a 2时，y max ＝a 24＋b ＋1＝0，当sin x ＝1时，y min ＝－(1＋a 2)2＋a 24＋b ＋1＝－4，解得a ＝2，b ＝－2.②若a2＞1，即a ＞2，当sin x ＝－1时，y max ＝－(－1＋a 2)2＋a24＋b ＋1＝0，当sin x ＝1时，y min ＝－(1＋a 2)2＋a24＋b ＋1＝－4，解得a ＝2，b ＝－2不合题意，舍去． 综上，a ＝2，b ＝－2，当x ＝3π2时，y max ＝0；当x ＝π2时，y min ＝－4.能力提升12．定义运算a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .例如：1] .答案：⎣⎡⎦⎤－1，22 解析：在同一直角坐标系中作出y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，结合a *b 的新定义可知．f (x )的最小值为－1，最大值为22，故其值域为⎣⎡⎦⎤－1，22.13．已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上是增函数，求ω的取值范围． 解：由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2(k ∈Z )得－π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z )． 据题意，⎣⎡⎦⎤－π3，π4⊆⎣⎡⎦⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z )． 从而有⎩⎪⎨⎪⎧－π2ω≤－π3π2ω≥π4ω>0，解得0<ω≤32.故ω的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，32. 倚窗远眺，目光目光尽处必有一座山，那影影绰绰的黛绿色的影，是春天的颜色。
正、余弦函数的单调性与最值
函数 名称
图象与 性质
性质分类
定义域 相
同
值域
处 周期性
y＝sinx
(－∞，＋∞) [－1,1] T＝2π
y＝cosx
(－∞，＋∞) [－1,1] T＝2π
正、余弦函数的所有性质都是针对自变量x本身而言 的．正弦函数y＝sinx(x∈R)的图象关于原点成中心对称， 其图象在对称中心和对称轴处对应的分别为函数的零点和 最值点．正弦函数有单调区间，但并不是定义域上的单调 函数，即：它在整个定义域内并不单调．
求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω≠0)或y＝Acos(ωx＋ φ)(A>0，ω≠0)的单调区间，一般将ωx＋φ视作整体，代入y ＝sinx或y＝cosx相关的单调区间所对应的不等式，解之即 得．这里实际上采用的是整体的思想，这是研究三角函数 性质的重要数学思想，一般地，ω<0时，y＝Asin(ωx＋ φ)(Aω≠0)变形为y＝－Asin(－ωx－φ)，y＝Acos(ωx＋ φ)(Aω≠0)变形为y＝Acos(－ωx－φ)，再求函数的单调区 间．所有的这些变形都是为了使x前面的系数为正值．同 时要注意A<0时单调区间的变化.
【名师点拨】
(1)对于形如y＝a＋bsinx或y＝a＋bcosx类型的函数求 值域时，主要是利用三角函数的图象求解，在解题时一定 要注意函数的定义域．
(2)对于形如y＝Asin2x＋Bsinx＋C或y＝Acos2x＋Bcosx ＋C类型的函数求值域时，可采用换元法求解．
已知函数 y＝2acos2x－3π＋b 的定义域是 0，π2，值域是[－5,1]，求 a，b 的值．
【名师点拨】
求三角函数y＝Asin(ωx＋φ)(A、ω≠0)或y＝Acos(ωx＋ φ)(Aω≠0)的单调区间，一定要注意到函数中A与ω的符 号．如果ω<0，一般利用诱导公式将x的系数化为正数， 再求解．
正弦函数余弦函数的性质(单调性)
正弦函数余弦函数的性质（单调性）
正弦函数和余弦函数是我们在高中数学中常见的两个三角函数，它们具有很多有趣的性质。
在这里，我们来讨论正弦函数和余弦函数的单调性。
1. 正弦函数的单调性：
正弦函数表示为y = sin(x)，其中x是角度，y是对应的正弦值。
这个函数的定义域是所有实数，因此我们可以讨论它的单调性。
正弦函数的周期是2π，也就是说，当给定角度x时，sin(x)等于sin(x+2π)、
sin(x+4π)、sin(x+6π)等等。
这意味着对于任何给定的y值，我们可以找到无限个对应的角度x，使得sin(x)等于y。
所以，正弦函数是一种周期函数，它不具有单调性。
我们可以将正弦函数的定义域限制在一个周期内，例如[0, 2π]。
在这个区间上，正弦函数的单调性是可讨论的。
这个区间上，正弦函数是先增后减的，也就是说，当x在[0,π/2]时，sin(x)递增；当x在[π/2,π]时，sin(x)递减；当x在[π,3π/2]时，
sin(x)递增；当x在[3π/2,2π]时，sin(x)递减。
所以，在一个周期内，正弦函数是两个相邻极值点之间的区间里递增或递减的。
正弦函数和余弦函数分别在一个周期内具有先增后减和先减后增的单调性。
由于它们是周期函数，所以在整个定义域上它们并没有单调性。