《三角函数的图象与性质》三角函数(第三课时正、余弦函数的单调性与最值)课件PPT
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第五章 三角函数
正弦函数
最 ymax＝1
x＝π2＋2kπ，k∈Z
值 ymin＝－1 ___x_＝__－__π2_＋__2_k_π_，__k_∈__Z_
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__π_＋__2_k_π_，__2_π_＋__2_k_π_， k_∈__Z___________
_[2_k_π_，__π_＋__2_k_π_]_， _k_∈__Z_________
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余弦函数
_[_－__1_，__1_]_
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第五章 三角函数
正弦函数
增区 __－__π2_＋__2_k_π_，___π2_＋__2_k_π__，__
单 调
间
_k_∈__Z_______
性 减区 间
_π_2_＋__2_k_π_，__32_π_＋__2_k_π_，_ _k_∈__Z______________
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5.4 三角函数的图象与性质
第三课时 正、余弦函数的单调性与最值
第五章 三角函数
考点
学习目标
核心素养
理解正弦函数与余弦函数
正、余弦函数的单调性 的单调性，会求函数的单 数学运算
调区间
利用正、余弦函数的单 会利用三角函数单调性比 数学运算、
调性比较大小
较三角函数值的大小
逻辑推理
正、余弦函数的最值 会利用三角函数单调性求
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余弦函数
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正弦、余弦函数的图象和性质 正弦函数
图象
值域
_[_－__1_，__1_]_
第五章 三角函数
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(值域)
函数的最值和值域
数学运算
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问题导学 预习教材 P204－P207，并思考以下问题： 1．正、余弦函数的单调区间相同吗？它们分别是什么？ 2．正、余弦函数的最值分别是多少？
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高中数学高一必修第一章《三角函数的图象与性质》教育教学课件
点是 (0,0)，π2，1，(π，0)，32π，－1，(2π，0) ；
画余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，五个关键
点是(0,1)，π2，0，(π，－1)，32π，0，(2π，1) .
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
填要点·记疑点
3.正弦、余弦曲线的联系
根据引诱公式cos x＝sin x＋π2 ，要得到y＝cos x的
第一章 三角函数
§1.4 三角函数的图象与性质
MORESHI POWERPOINT 主讲老师：
CONTENTS
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
明目标、知重点
• 了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法. • 掌控“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能
用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线. • 理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
明目标、知重点
摸索2 如何由y＝sin x，x∈[0,2π]的图象得到y＝sin x， x∈R的图象？ 答 由于终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y＝sin x，x∈[2kπ，2(k＋1)π)，k∈Z且k≠0的图象，与函数y＝sin x，x∈[0,2π)的图象的形状完全一致.于是我们只要将函数y＝ sin x，x∈[0,2π)的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位 长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象.
摸索2 如何用描点法画出y＝sin x，x∈[0,2π]的图象？
答 在精确度要求不太高时，y＝sin x，x∈[0,2π]可以通过找出 (0,0)， π2，1，(π，0)，32π，－1，(2π，0)五个关键点，再用光滑曲线将它们 连接起来，就可得 y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，这种方法简称“五点法”.
画余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，五个关键
点是(0,1)，π2，0，(π，－1)，32π，0，(2π，1) .
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
填要点·记疑点
3.正弦、余弦曲线的联系
根据引诱公式cos x＝sin x＋π2 ，要得到y＝cos x的
第一章 三角函数
§1.4 三角函数的图象与性质
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学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
明目标、知重点
• 了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法. • 掌控“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能
用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线. • 理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
明目标、知重点
摸索2 如何由y＝sin x，x∈[0,2π]的图象得到y＝sin x， x∈R的图象？ 答 由于终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y＝sin x，x∈[2kπ，2(k＋1)π)，k∈Z且k≠0的图象，与函数y＝sin x，x∈[0,2π)的图象的形状完全一致.于是我们只要将函数y＝ sin x，x∈[0,2π)的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位 长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象.
摸索2 如何用描点法画出y＝sin x，x∈[0,2π]的图象？
答 在精确度要求不太高时，y＝sin x，x∈[0,2π]可以通过找出 (0,0)， π2，1，(π，0)，32π，－1，(2π，0)五个关键点，再用光滑曲线将它们 连接起来，就可得 y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，这种方法简称“五点法”.
《三角函数的图象与性质》PPT教学课件(第三课时正、余弦函数的单调性与最值)
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12
(1)B
(2)xx≠－4kπ－43π，k∈Z
(3)x－π4＋kπ≤x<π4＋kπ，k∈Z
[(1)当－π4＜x＜0时，－1＜tan x
＜0，∴ta1n x≤－1；
当0＜x＜π4时，0＜tan x＜1，∴ta1n x≥1.
即当x∈－π4，0∪0，π4时，函数y＝ta1n x的值域是(－∞，－1) ∪(1，＋∞)．
[提示] 由正切函数图象可知(1)×，(2)√，(3)×，(4)×. [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
第五章 三角函数
5.4 三角函数的图象与性质 第4课时 正切函数的性质与图象
2
学习目标
核心素养
1.能画出正切函数的图象．(重点)
1.借助正切函数的图象研究问
2.掌握正切函数的性质．(重点、难点) 题，培养直观想象素养.
3.掌握正切函数的定义域及正切曲线的 2.通过正切函数的性质的应
渐近线．(易错点)
28
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(2)函数定义域为 xx≠kπ－π4且x≠kπ＋π4，k∈Z ， 关于原点对称， 又f(－x)＝tan－x－π4＋tan－x＋π4 ＝－tanx＋π4－tanx－π4 ＝－f(x)， 所以函数f(x)是奇函数．
29
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30
正切函数单调性的应用 [探究问题] 1．正切函数y＝tan x在其定义域内是否为增函数？ 提示：不是．正切函数的图象被直线x＝kπ＋π2(k∈Z)隔开，所以它的 单调区间只在kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)内，而不能说它在定义域内是增函 数．假设x1＝π4，x2＝54π，x1<x2，但tan x1＝tan x2.
用，提升逻辑推理素养.
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2022-2023学年人教A版必修第一册 5-4-3 正弦函数、余弦函数单调性与最大值和最小值 课件
在____[_2_kπ_，__2_k_π_＋__π_]______(k∈Z)上 递减
最值
x＝_π2_＋__2_k_π __(k∈Z)时，ymax＝1； x＝_32_π_＋__2_k_π_(k∈Z)时，ymin＝－1
x＝__2_k_π____(k∈Z)时，ymax＝1； x＝__π_＋__2_k_π_(k∈Z)时，ymin＝－1
研习 2 三角函数单调性的应用
[典例 2] (1)已知 α，β 为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是( B )
C.－π2，π2 D．[π，2π]
2．使 y＝sin x 和 y＝cos x 均为减函数的一个区间是( B )
A.0，π2
B.π2，π
C.π，32π
D.32π，2π
3．函数 y＝2－sin x 取得最大值时 x 的值为__2_k_π_－__π2_(k_∈__Z__) ____．
解析：因为 y＝2－sin x， 所以当 sin x＝－1 时，ymax＝3，此时 x＝2kπ－π2(k∈Z)．
利用单调性比较大小．
模型，重点提升学生的直观想象、数学 抽象、逻辑推理、数学运算素养．
3．会求函数 y＝Asin(ωx＋φ)及 y＝Acos(ωx
＋φ)的单调区间.
精梳理·自主学习固基础
【主题】 正、余弦函数的图象与性质
解析式
y＝sin x
图象
定义域 值域
___R_____ __[－__1_,_1_] _
[练习 1] (1)函数 y＝2－cos x 的单调递增区间是( D ) A．[－2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z) B．[kπ＋π，kπ＋2π](k∈Z) C.2kπ，2kπ＋π2(k∈Z) D．[2kπ，2kπ＋π](k∈Z) (2)求函数 y＝1＋sin－12x＋π4，x∈[－4π，4π]的单调递减区间．
人教版高中数学必修4第一章三角函数《1.4三角函数的图象与性质：1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质》教学PPT
解：(2)当x 2k , k Z时，函数取得最大值，ymax 1
2
当x 2k , k Z时,函数取得最小值,
2
ymin 1
函数取得最大值的x的集合是x
x
2
2k
,
k
Z
，ymax
1,
函数取得最大值的x的集合是x
x
2
2k
,
k
Z
，ymin
1.
二、 正、余弦函数的奇偶性
-4 -3
例1.下列函数有最大(小)值？如果有,请写出取最大(小) 值时的自变量x的集合,并说出最大(小)值是什么？
（1）y cos x 1, x R; （2）y sin x, x R.
解：(1)当x 2k , k Z时，ymax 11 2,
当x 2k , k Z时，ymin 11 0.
1.4.2 正弦、余弦函数的性质
(1)周期性
定义域、值域
-4 -3
y
1
-2
- o
-1
y=sinx (xR)
2
3
4
定义域 xR
-4 -3
y=cosx (xR)
y
1
-2
- o
-1
值 域 y[ - 1, 1 ]
2
3
4
5 6x 5 6x
举例：
生活中“周而复始”的变化规律。
24小时1天、7天1星期、365天1年……. 相同的间隔重复出现的现象称为周期现象. 数学中又有哪些周期现象呢？
思考：y=sinx，x∈R的图象为什么会重复出现形 状相同的曲线呢?
y
1
4
3
2
7 2
5
3
2
正、余弦函数的单调性与最值ppt课件
栏目 导引
第五章 三角函数
■名师点拨
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正、余弦函数不是定义域上的单调函数，如说“正弦函数在第
一象限是增函数”也是错误的，因为在第一象限的单调递增区
间有无穷多个，在每个单调增区间上，y＝sin x 都是从 0 增加到 1，但不能看作一个单调区间．
(值域)
函数的最值和值域
数学运算
第五章 三角函数
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中小学优质课件三角函数的图象和性质课件.ppt
分析：由函数的最大值点与最小值点的纵坐 标可求得A，再根据其横坐标可求得周期T，
进而求得的值，最后根据函数图象与y轴的
交点可求得的值．第 2 小题则直接根据变 换过程逐步得到函数g x的解析式．
解析：1由已知，易得A 2.
T 2
( x0
3 )
x0
3，解得T
6，所以
1. 3
把0,1 代入解析式y 2sin( x )，得2sin 1.
、x k (k Z)，对称中心分别为(k，0)、(k ，0)
2
2
(k Z)；正切函数的图象成中心对称，零点与使函数
无意义的点都是对称中心，即为( k ，0)(k Z)．
2
4．周期性：抓住四点理解：
1 T 是使函数值重复出现的自变量x的增加值，且为
常数；
2定义域内的每一个x值，都有x T属于定义域； 3满足f x T f x，体现函数值的不变性； 4 周期函数的周期不止一个，如若T 为函数的周期，
2
2cos2 x，x R( 0)，在y轴右侧的第一个最高点
的横坐标为 .
6
1求；
2若将函数f x的图象向右平移 个单位长度后，
6 再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵
坐标不变，得到函数y g x的图象，求函数g x的
最大值及单调递减区间．
解析：1 f x 1 cos2x 3 sin2x 2g1 cos2x
3
又 | | ，解得 .
2
6
所以y 2sin( x )为所求．
36
列表如下：
x
0
6
x
6
2sin(x )
6
0
2
2
7
三角函数 ppt课件
ppt课件
12
④理解同角三角函数的基本关系式：sin2x+cos2x=1，
sin x/cos x=tan x．
⑤结合具体实例，了解y=Asin（ωx+φ）的实际意义； 能借助计算器或计算机画出
y=Asin（ωx+φ）的图象．
观察参数A，ω ，φ对函数图象变化的影响．
⑥会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角 函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
ppt课件
13
三、本章内容的定位
1．引言 提供背景：自然界广泛地存在着周期性现象，
圆周上一点的运动是一个简单又基本的例子．
提出问题：用什么样的数学模型来刻画周期性
运动？
明确任务：建构这样的数学模型．
教学的起点是：对周期性现象的数学（分析）
研究．
教材的定位是：展示对周期现象进行数学研究
的过程，即建构刻画周期性现象的数学模型的 （思维）过程．
ppt课件
8
第一章 三角函数 （约16课时）
ppt课件
9
一、本章结构
周期现象
任意角
弧度
三角函数
三角函数线
同角三角函数关系 诱导公式 三角函数图象性质
综合运用
ppt课件
10
二、内容与要求
（1）任意角、弧度 了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度 的互化．
（2）三角函数 ①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余
ppt课件
37
（2）要充分发挥形数结合思想方法在本章 的运用．发挥单位圆、三角函数线、图象 的作用．
ppt课件
38
（3）运用和深化函数思想方法．
三角函数是学生在高中阶段系统学习的又一个 基本初等函数，教学中应当注意引导学生以数学l 中学到的研究函数的方法为指导来学习本章知识， 即在函数观点的指导下，学习三角函数，这对进 一步理解三角函数概念，理解函数思想方法对提 高学生在学习过程中的数学思维水平都是十分重 要的．
课件4：1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质
|φ|的最小值为|φ|＝2π＋2－ 3 ＝6.
答案：A
3.试比较
23
cos－ 5 π与
17
cos－ 4 π的大小．
23
解：cos－ 5 π＝cos
17
cos－ 4 π＝cos
23
3
3
5 π＝cos(4π＋5π)＝cos 5π，
的图象也可由 y＝cos x 的图象通过变换得到，变换规
律相同．
3.研究函数 y＝Acos (ωx＋φ)的性质时，注意采用整体代换的
思想．如当 ωx＋φ＝2kπ(k∈Z)时，它取得最大值；当 ωx＋φ
＝2kπ＋π(k∈Z)时，它取得最小值.
4.正切函数的图象
π
正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为 x＝kπ＋ ，k∈Z，相邻
∴函数
1
π
π
3
y＝tan－2x＋4的单调递减区间是2kπ－2，2kπ＋2π(k∈Z)，
最小正周期 T＝
π
1＝2π.
－
2
小结 函数 y＝tan(ωx＋φ) (ω>0)的单调区间的求法是把
π
π
ωx＋φ 看成一个整体，解－2＋kπ<ωx＋φ<2＋kπ，k∈Z
即可．当 ω<0 时，先用诱导公式把 ω 化为正值再求单调
(
π
A.6
π
B.4
π
C.3
π
D.2
)
解析：由
f
4π
，0
y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点 3
答案：A
3.试比较
23
cos－ 5 π与
17
cos－ 4 π的大小．
23
解：cos－ 5 π＝cos
17
cos－ 4 π＝cos
23
3
3
5 π＝cos(4π＋5π)＝cos 5π，
的图象也可由 y＝cos x 的图象通过变换得到，变换规
律相同．
3.研究函数 y＝Acos (ωx＋φ)的性质时，注意采用整体代换的
思想．如当 ωx＋φ＝2kπ(k∈Z)时，它取得最大值；当 ωx＋φ
＝2kπ＋π(k∈Z)时，它取得最小值.
4.正切函数的图象
π
正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为 x＝kπ＋ ，k∈Z，相邻
∴函数
1
π
π
3
y＝tan－2x＋4的单调递减区间是2kπ－2，2kπ＋2π(k∈Z)，
最小正周期 T＝
π
1＝2π.
－
2
小结 函数 y＝tan(ωx＋φ) (ω>0)的单调区间的求法是把
π
π
ωx＋φ 看成一个整体，解－2＋kπ<ωx＋φ<2＋kπ，k∈Z
即可．当 ω<0 时，先用诱导公式把 ω 化为正值再求单调
(
π
A.6
π
B.4
π
C.3
π
D.2
)
解析：由
f
4π
，0
y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点 3
三角函数的图象与性质(正弦函数、余弦函数的单调性与最值)高一数学课件(人教A版2019必修第一册)
探究1 正弦、余弦函数的单调性
分析如图所示的正弦曲线和余弦曲线及其对称轴，回答下列问题：
情境设置
合作探究·提素养
问题1：.观察正弦曲线，研究正弦函数的单调性，我们是否需要其在全体实数集上的图象？
[答案] 不需要，选择一个周期的图象就能较好地将单调性完整地呈现出来.
问题2：.如图，观察正弦函数图象（一个周期内），描述你看到的图象.
（1）异名函数化为同名函数；
（2）利用诱导公式把角转化到同一单调区间上；
（3）利用函数的单调性比较大小．
1.求下列函数的单调递增区间.
（1） ；
（2） ， .
[解析] （1）由 ，得 ， 所以函数 的单调递增区间为 ．（2）因为 ， 所以函数 的单调递增区间就是函数 的单调递减区间， 由 ， ，得 ， ． 因为 ，所以所求函数的单调递增区间为 ．
[答案] 正弦、余弦函数存在最大值和最小值，最大值和最小值分别是1和 .
情境设置
问题2：.当自变量 分别取何值时，正弦函数 取得最大值1和最小值 ？
[答案] 对于正弦函数 ， ，当且仅当 ， 时，函数取得最大值 ；当且仅当 ， 时，函数取得最小值 .
新知生成
正弦函数、余弦函数的最值
3.下列关系式中正确的是( ).A. B. C. D.
C
[解析] ， ，∴由正弦函数的单调性得， ，即 ．
4.函数 在 _________________时， 取最大值.
[解析] 当函数取最大值时， ，得 ．
方法总结 三角函数最值问题的求解方法：（1）形如 （或 ）型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对 正负的讨论.（2）形如 （或 ）型，可先由定义域求得 的范围，然后求得 （或 ）的范围，最后求得最值.（3）形如 型，可利用换元思想，设 ，转化为二次函数 求最值， 的范围需要根据定义域来确定.
分析如图所示的正弦曲线和余弦曲线及其对称轴，回答下列问题：
情境设置
合作探究·提素养
问题1：.观察正弦曲线，研究正弦函数的单调性，我们是否需要其在全体实数集上的图象？
[答案] 不需要，选择一个周期的图象就能较好地将单调性完整地呈现出来.
问题2：.如图，观察正弦函数图象（一个周期内），描述你看到的图象.
（1）异名函数化为同名函数；
（2）利用诱导公式把角转化到同一单调区间上；
（3）利用函数的单调性比较大小．
1.求下列函数的单调递增区间.
（1） ；
（2） ， .
[解析] （1）由 ，得 ， 所以函数 的单调递增区间为 ．（2）因为 ， 所以函数 的单调递增区间就是函数 的单调递减区间， 由 ， ，得 ， ． 因为 ，所以所求函数的单调递增区间为 ．
[答案] 正弦、余弦函数存在最大值和最小值，最大值和最小值分别是1和 .
情境设置
问题2：.当自变量 分别取何值时，正弦函数 取得最大值1和最小值 ？
[答案] 对于正弦函数 ， ，当且仅当 ， 时，函数取得最大值 ；当且仅当 ， 时，函数取得最小值 .
新知生成
正弦函数、余弦函数的最值
3.下列关系式中正确的是( ).A. B. C. D.
C
[解析] ， ，∴由正弦函数的单调性得， ，即 ．
4.函数 在 _________________时， 取最大值.
[解析] 当函数取最大值时， ，得 ．
方法总结 三角函数最值问题的求解方法：（1）形如 （或 ）型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对 正负的讨论.（2）形如 （或 ）型，可先由定义域求得 的范围，然后求得 （或 ）的范围，最后求得最值.（3）形如 型，可利用换元思想，设 ，转化为二次函数 求最值， 的范围需要根据定义域来确定.
高中数学(新课标人教A版)必修4_第一章三角函数精品课件_1[1].4三角函数的图象与性质(3课时)
1.4.1
正弦、余弦函数的 图象
1.4.1正弦、余弦函数的图象
复习 回顾
三角函数 正弦函数
sin=MP
cos=OM tan=AT
y
三角函数线 正弦线MP
余弦函数
正切函数
余弦线OM
正切线AT
P
T
-1
O
M
A(1,0)
x
பைடு நூலகம்
正弦、余弦函数的图象
问题：如何作出正弦、余弦函数的图象？ 途径：利用单位圆中正弦、余弦线来解决。
y=sinx
y=cosx
2 3 4 5 6 x
六.对称轴和对称点：
y sin x的对称轴： x k
2
, 对称点： ( k ,0);
y co s x的对称轴： x k , 对称点： ( k
2
,0);
七. y sin x和y cos x的图像性质的研究思想 ： (1)充分利用图像- - - -数形结合的思想
应用提升 练习1：试着画出 y | tan x | 和y tan | x |
并讨论它们的单调性，周期性和奇偶性. 练习2.如果、 ( , )且 tan cot , 2
那么必有（ ） A. 3 C. 2 B. 3 D. 2
y 1
2
o -1
2
3 2
2
x
y=sinx x[0,2] y=sinx xR
y
1
正弦曲 线
2
-4
-3
-2
-
o
-1
3
4
5
6
x
如何由正弦函数图像得y 到余弦函数图像？
正弦、余弦函数的 图象
1.4.1正弦、余弦函数的图象
复习 回顾
三角函数 正弦函数
sin=MP
cos=OM tan=AT
y
三角函数线 正弦线MP
余弦函数
正切函数
余弦线OM
正切线AT
P
T
-1
O
M
A(1,0)
x
பைடு நூலகம்
正弦、余弦函数的图象
问题：如何作出正弦、余弦函数的图象？ 途径：利用单位圆中正弦、余弦线来解决。
y=sinx
y=cosx
2 3 4 5 6 x
六.对称轴和对称点：
y sin x的对称轴： x k
2
, 对称点： ( k ,0);
y co s x的对称轴： x k , 对称点： ( k
2
,0);
七. y sin x和y cos x的图像性质的研究思想 ： (1)充分利用图像- - - -数形结合的思想
应用提升 练习1：试着画出 y | tan x | 和y tan | x |
并讨论它们的单调性，周期性和奇偶性. 练习2.如果、 ( , )且 tan cot , 2
那么必有（ ） A. 3 C. 2 B. 3 D. 2
y 1
2
o -1
2
3 2
2
x
y=sinx x[0,2] y=sinx xR
y
1
正弦曲 线
2
-4
-3
-2
-
o
-1
3
4
5
6
x
如何由正弦函数图像得y 到余弦函数图像？