正弦定理和余弦定理详细讲解

正弦定理.余弦定理农其应用【高考风向】1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考 查.【学习要领】1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转 换，和三角函数性质相结合.基础知识梳理sin A sin B 启=2R ，其中R 是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形：(1)a : b : c = sin_A : sin_B : sin_C ； (2)a = 2Rsin_A , b = 2Rsin_B , c = 2Rsin_C ；［难点正本疑点清源］1. 在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大,即在△ ABC 中，A>B? a>b? sin A>sin B ； tanA+tanB+tanC=tanA tanB t a nC ;在锐角三角 形中，cosA<sinB,cosA<sinC-2. 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：（1）化边为角；（2）化角为边，并常用正弦（余弦）定理实施边、角转换.例1.已知在 ABC 中，c 10, A 45o , C 30o ，解三角形 1. 正弦定理:3.4. (3)sin A = 2：，sin B = ?；, sin C =等形式，解决不同的三角形问题.余弦定理：a 2= b 2 + c 2 — 2bccos_A , b 2= a 2 + c 2 — 2accos_B , c 2=旦2 + b 2 — 2abcos_C •余亠宀 、 b 2 + c 2— a 2 a 2+ c 2— b 2弦疋理可以变形： cos A = ---------- , cos B = ----- u --- , cos C = a 2 + b 2- c 2 2ab 2bc G ABC = gabsin C = ^bcsin A = *acsin B =繁=*(a + b + c) r(r 是三角形内切圆的半径 )，并 可由此计算R 、r.在厶ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下: A 为锐角A 为钝角或直角图形 关系式a = bsin A bsin A<a<b a>b 解的个数一解两解一解一解思路点拨：先将已知条件表示在示意图形上（如图） ，可以确定先用正弦定理求出边然后用三角形内角和求出角B ，最后用正弦定理求出边 b .解析:sin Acsin Ccsin A 10 sin 45° sinCsin 30o10 2 ,B 180° (A C) 105°,总结升华：1.正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题;2.数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从 而恰当地选择解答方式.举一反三:【变式1】在 ABC 中，已知A 32.00，B 81.8°，a 42.9cm ，解三角形。

C 180° (A B) 180° (32.0° 81.8°) 66.2° ；【答案】根据正弦定理a—— ―—，得a:b:c sin A:sinB:sinC 1: 2:3 .sin A sin B sin C例2.在 ABC 中，b 3,B 60°, c 1,求：a 和 A , C .思路点拨：先将已知条件表示在示意图形上 （如图），可以确定先用正弦定理求出角 C ,然后用三角形内角和求出角 A ，最后用正弦定理求出边 a .解析：由正弦定理得：bc,sin B sin CA.小csin B 1°sin 601.sinCb迨2（方法一）••• 0°C180°, .C 30° 或 C 150°,当 C 150° 时，B C 210°180°，（舍去）；sin Bcsin C, csin B b ----------- sin C10 sin 105° o sin 3020sin 75°206'2 45.6 5 ；2 •【答案】根据三角形内角和定理,根据正弦定理, 根据正弦定理, ,asinB 42.9sin81.8° “，、 b °--------------------- 80.1(cm); si nA si n32.0°asi nC 42.9si n66.2° csi nAsin 32.0°74.1(cm).【变式2】在 ABC 中, 已知 B 75°，C 60°， c 5，求 a 、A .【答案】A 180°(B C) 180°(75° 60°)45°，根据正弦定理a sin 45°【变式3】在 ABC 中, 已知 sin A:sin B:sin C 1: 2:3，求 a: b: c当 C 30° 时，A 90°,.・.a , b 2 c 2 2.(方法二)••• be , B 60°,••• C B ,••• C 60°即 C 为锐角， •- C 30°, A 90°• a <D C 2 2 . 总结升华：1. 正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。

2. 在利用正弦定理求角 C 时，因为sinC sin(180° C)，所以要依据题意准确确定 角C 的范围，再求出角 C .3. 一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍类型二：余弦定理的应用：例3.已知 ABC 中，AB 3、BC 「37、AC 4，求 ABC 中的最大角。

思路点拨：首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解 解析：•••三边中BC 37最大，• BC 其所对角A 最大，2 2 2 2 2 2AB AC BC 3 4 (、37)1根据余弦疋理： cos A --------------------------- --- ---- - --- - ---- -- -,ABgAC 2 3 4•/ 0° A 180°,• A 120°故 ABC 中的最大角是 A 120°. 总结升华： 1.ABC 中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理;2. 用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系 举一反三：【变式1】已知 ABC 中a 3, b 5, c 7,求角C .2 b22 _2 32 72【答案】根据余弦定理：c°sCa b C 532ab235•/ 0° C 180°, • C 120°【变式2】在 ABC 中，角 代B,C 所对的三边长分别为 a,b,c ，若a: b:c 6:2:( 3 1),求 ABC 的各角的大小.• C 180°A B 75°类型三：正、余弦定理的综合应用例 4.在 ABC 中，已知 a 2、3 , c ；6、2 , B 450, 思路点拨：画出示意图，由其中的边角位置关系可以先用余弦定理求边⑴由余弦定理得:2accosB(.6 2)2 2 2 3 C 6 . 2)c°s450=12 ( '一 6 2)2 4 3( -3 1)=8 • b 2 2.⑵求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理: （法一：余弦定理）,2 2 2b c a ••• c°sAbc2 2 2 ( 6 2)• A 60°. （法二：正弦定理）【答案】设a ,6k , b2k , c .'3 1根据余弦定理得：c°s B2、3 1 .645°;同理可得A 60°; 【变式3】在ABC 中，若 a 2 b 22c bc ，求角A .【答案】•- b 2 c 2 a 2bc , • cosAb 2c 2a 22bc•/ 0° A 180°,• A 120°余弦定理或正弦定理求角 解析：A .求b 及A .b ，然后继续用=(2 3)2 (2 • 2)2 C6、2 )2 (2 - 3)2••• a v c ，即 00 v A v 90°, ••• A 60°.总结升华：画出示意图，数形结合，正确选用正弦、余弦定理，可以使解答更快、 更好.举一反三：【变式1】在 ABC 中，已知b 3 , c 4, A 135°.求B 和C . 【答案】由余弦定理得：a 2 32 42 2 3 4cos135o 25 1^2 ,• a , 25 12 2 6.48• C 1800 (A B) 25053/.【变式2】在 ABC 中，已知角A, B,C 所对的三边长分别为 a,b,c ，若a 2 ,b 2 2 ,c . 6 、2，求角 A 和 sin C其他应用题详解-、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）T si nA aS "B窮 E 0又••• 6 2 2.4 1.4 3.8, 2 3 2 1.8 3.6由正弦定理得：sinB 竺必3sin135°0.327 ,因为A 1350为钝角，则B 为锐角，• B 1907/.【答案】 根据余弦定理可得:cosA2bc8 8 4 3 42 2.2.6 x2•/ 0o A 180o , •••由正弦定理得：si nCA 30o ； csin A 6' 2sin 30a2B. 3a km D . 2a kmAB 2 = AC 2 + BC 2-2AC BCcos120 =2a 2-2a 2X —1 = 3a 2，•°AB = , 3a. 答案 B2•张晓华同学骑电动自行车以24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶， 在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见电 视塔在电动车的北偏东A.2 2 kmC .3 3 km灯塔B 的距离为（）A . a km C.返a km解析 利用余弦定理解厶ABC.易知Z ACB = 120°，在△ACB 中，由余弦定理得BS ABZABS= 180 - 75 = 105 ,所以/ASB= 45 °•由正弦定理知石^45，所以75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是（）解析如图，由条件知/BAS= 30°, AB = 6,有 CE = 25X 2= 50, CF = 15X 2= 30,且Z ECF = 120 ；EF = CE 2 + CF 2- 2CE CFcos120= 502+ 302- 2X 50X 30cos120 =70.答案 D4. （2014济南调研）为测量某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20 m 的楼 的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30°测得塔基B 的俯角为45°那么塔AB 的高 度是（B.20 1+ 23 m解析 如图所示，由已知可知，四边形 CBMD 为正方形，CB = 20 m ,所以 BM = 20 m .又在Rt 小MD 中,DM = 20 m ,Z ADM = 30° ••AM = DMtan30 . ••AB = AM + MB = 20 3 + 20 =20 1+弘).AB 0 , BS = sin45s "30 = 3 2答案 B3.轮船A 和轮船B 在中午12时离开海港 120°轮船A 的航行速度是25海里/小时，轮船 下午2时两船之间的距离是（）A . 35海里 C ,两艘轮船航行方向的夹角为B 的航行速度是15海里/小时, B . 35 ：2海里 C . 35.'3海里D .解析设轮船A 、B 航行到下午2时时所在的位置分别是 E , F ，则依题意)20 1+ 3 m 20(1 + 3) mC .答案 A5. （2013 天津卷）在厶ABC 中，/ ABC = $ AB^2，BC = 3，贝U sin /BAC 二（）A 迈A.10C3.10 C.10解析 由余弦定理 AC 2= AB 2 + BC 2— 2AB BCcosZABC = （ ：2）2+ 32 — 2X 〔；2迈 厂sinZABC 3X 2x 3X 2 = 5，所以 AC = *；5，再由正弦定理：sin/BAC =—AC BC =— 5—=10 . 答案 C6. （2014滁州调研）线段AB 外有一点C ，/ ABC = 60° AB = 200 km ,汽车 以80 km/h 的速度由A 向B 行驶，同时摩托车以 则运动开始多少h 后，两车的距离最小（）A 69A.43C 70C.43解析 如图所示，设t h 后，汽车由A 行驶到D ，摩托车由B 行驶到E ,则 AD = 80t ，BE = 50t.因为AB = 200,所以BD = 200— 80t ,问题就是求 DE 最小时 t 的值.由余弦定理，得2 2 2 DE 2= BD 2+ BE 2— 2BD BEcos602 2 =(200— 80t)2+ 2 500t 2— (200— 80t) 50tB 姮B.5n 5D.550 km/h 的速度由B 向C 行驶,B . D.=12 900t2—42 000t+ 40 000.当t =70时,DE 最小.答案 C二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7. 已知A , B 两地的距离为10 km , B , C 两地的距离为20 km ，现测得/ ABC = 120°贝U A 、C 两地的距离为 _________ km.100+ 400-2X 10X 20X cos120 =700,••AC = 10 7(km).答案 10 78. _______________________________________________ 如下图，一艘船上午9: 30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之 后它继续沿正北方向匀速航行，上午 10: 00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它 的北偏东75°处，且与它相距8(2n mile.此船的航速是 _____________________________________ n mile/h.北解析 设航速为v n mile/h•'v= 32(n mile/h). 答案 32AC 2= 在△KBS 中，AB = ；v , BS = 8 '2,ZBSA = 45 °由正弦定理得：s 830 1 _2v J sin45解析如右图所示,BC _ CDsi n45sin30 °_ 2^/3.的正东方向上，测得点A 的仰角为60°再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位 置D ，测得/ BDC = 45°则塔AB 的高是 ___________ .解析 在ABCD 中，CD = 10,/BDC = 45° /BCD = 15°+ 90°= 105° /—CDsin45 ° 厂“ BC _気厂_1^/2（米）._ 10 ；6（米）.答案 10.6三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）10. （2014台州模拟）某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处于坡度 15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰 角分别为60。