正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
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正、余弦函数(二)_奇偶性、单调性
y
1 -3π
−
5π 2
-2π
−
3π 2
-π
−
π
2
o
-1 1
π
2
π
y
3π 2
2π
5π 2
x
3π
7π 2
4π
-3π
−
5π 2
-2π
−
3π 2
-π
−
π
2
o
-1
π
2
π
3π 2
2π
5π 2
x
3π
7π 2
4π
思考5：正弦曲线除了关于原点对称外，是否还 思考5 正弦曲线除了关于原点对称外， 关于其它的点和直线对称？ 关于其它的点和直线对称？ 思考6 余弦曲线除了关于y轴对称外， 思考6：余弦曲线除了关于y轴对称外，是否还 关于其它的点和直线对称？ 关于其它的点和直线对称？ π 点 +kπ,0)(k ∈Z)和 线x = kπ(k ∉Z) ( 直 2
你能求y=3sin(π/4-2x)的单调区间 的单调区间 你能求
作
业
P40-41练习： 40-41练习： 练习 T1⑴⑷，2⑴⑵，3⑴⑵，5⑵⑷，6.
π 思考: 正弦函数在每一个开区间（ kπ， 思考:1、正弦函数在每一个开区间（2kπ， ＋2kπ) 2 (k∈Z)上都是增函数 上都是增函数， (k∈Z)上都是增函数，能否认为正弦函数在第
π
+2kπ, k ∈Z
y
1 -3π
−
余弦曲线
π
2
5π 2
-2π
−
3π 2
-π
−
π
2
o
-1
π
3π 2
正弦,余弦函数的单调性和奇偶性
总结余弦函数的单调性
总结正弦函数的奇偶性
总结余弦函数的奇偶性
对正弦,余弦函数单调性和奇偶性的总结
01
02
03
04
深化对不同三角函数单调性和奇偶性的理解
探讨函数的性质在实践中的应用
探索函数性质与其他数学分支的联系
对未来研究方向的展望
在实际应用中要充分考虑函数的性质
在解决实际问题时，如能充分利用函数的单调性和奇偶性等性质，往往能简化计算过程，提高解决问题的效率。
xx年xx月xx日
《正弦,余弦函数的单调性和奇偶性》
正弦函数的单调性和奇偶性余弦函数的单调性和奇偶性正弦,余弦函数单调性和奇偶性的比较总结与展望
contents
目录
01
正弦函数的单调性和奇偶性
$y=\sin x$的定义域为$x \in R$，即所有实数。
正弦函数的单调性
在区间$(2k\pi-\frac{\pi}{2},2k\pi+\frac{\pi}{2})$内，$y=\sin x$单调递增；在区间$(2k\pi+\frac{\pi}{2},2k\pi+\pi)$内，$y=\sin x$单调递减。其中，$k \in Z$。
余弦函数
在区间(0,π)内是单调递减的，而在区间(π,2π)内是单调递增的。
比较
正弦函数和余弦函数在单调性上具有相反的趋势。
单调性的比较
奇偶性的比较
余弦函数
具有奇偶性，是偶函数。
比较
正弦函数和余数
具有奇偶性，是奇函数。
应用场景的比较
04
总结与展望
总结正弦函数的单调性
对实际应用的思考和建议
通过实践加深对理论知识的理解
通过解决实际问题，可以加深对函数性质的理解和掌握，提高数学应用能力。
正弦,余弦函数的单调性和奇偶性
04
正弦、余弦函数的应用举例
利用正弦、余弦函数的单调性求最值
单调性
正弦函数在$[0, \pi]$上单调递增，在$[\pi, 2\pi]$上单调递减；余弦函数在$[0, \pi]$ 上单调递减，在$[\pi, 2\pi]$上单调递增。
求最值
利用正弦、余弦函数的单调性，可以求出函数在某个区间上的最大值和最小值。例如， 对于正弦函数$y = \sin x$，在$[0, \frac{\pi}{2}]$上单调递增，所以当$x =
对于余弦函数，同样可以根据其周期 性和相位来判断其在任意区间上的单 调性。
03
正弦、余弦函数的奇偶性
正弦函数的奇偶性
奇函数
正弦函数是奇函数，因为对于任意x， 都有sin(-x)=-sin(x)。
偶函数
正弦函数也是偶函数，因为对于任意x ，都有sin(x)=sin(-x)。
余弦函数的奇偶性
• 偶函数：余弦函数是偶函数，因为对于任 意x，都有cos(-x)=cos(x)。
02
正弦、余弦函数的单调性
正弦函数的单调性
增区间
正弦函数在$[-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi], k \in Z$上是增函 数。
减区间
正弦函数在$[\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi], k \in Z$上是减函 数。
单调性
在区间$[0, \pi]$上，余弦函数是单调递减的；在区间$[\pi, 2\pi]$ 上，余弦函数是单调递增的。
正弦、余弦函数的定义域和值域
定义域
正弦函数的定义域为$x \in \mathbb{R}$；余弦函数的定义域 为$x \in \mathbb{R}$。
三角函数正弦余弦正切
三角函数正弦余弦正切三角函数是数学中的重要概念，包括正弦、余弦和正切。
它们在数学、物理和工程等领域有广泛的应用。
本文将对三角函数的定义、性质和应用进行详细论述。
一、正弦函数正弦函数是三角函数中的一种，表示为sin(x)，其中x为角度。
正弦函数的定义域是实数集，值域为[-1, 1]。
正弦函数具有以下性质：1. 周期性：正弦函数是周期函数，其最小正周期是2π，即sin(x) = sin(x+2πk)，其中k为整数。
2. 对称性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)，表示在原点处关于y轴对称。
3. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)，表示在原点处关于原点对称。
4. 单调性：在定义域内，正弦函数在每个周期内都是单调递增或单调递减的。
5. 正弦函数的图像是一个周期为2π的连续波形，以y轴为中心对称。
正弦函数在几何、物理、电路等领域有广泛的应用，如波动、振动、交流电等的描述和计算中都会用到。
二、余弦函数余弦函数是三角函数中的另一种，表示为cos(x)，其中x为角度。
余弦函数的定义域是实数集，值域为[-1, 1]。
余弦函数具有以下性质：1. 周期性：余弦函数是周期函数，其最小正周期是2π，即cos(x) = cos(x+2πk)，其中k为整数。
2. 对称性：余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)，表示在原点处关于y轴对称。
3. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)，表示在原点处关于原点对称。
4. 单调性：在定义域内，余弦函数在每个周期内都是单调递减的。
5. 余弦函数的图像是一个周期为2π的连续波形，以y轴为中心对称。
余弦函数在几何、物理、信号处理等领域有广泛的应用，如描述分析力学中的运动规律、计算交流电路中的电流和电压等。
三、正切函数正切函数是三角函数中的另一种，表示为tan(x)，其中x为角度。
正切函数的定义域是实数集，值域为整个实数集。
(最新整理)正弦函数余弦函数的单调性奇偶性最值
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知识预览
1．正、余弦函数的奇偶性 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．
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∴cosπ8<cosπ9，即
17π 37π cos 8 <cos 9 .
2021/7/2632人教A版必Fra bibliotek四·新课标·数 学
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正、余弦函数的最值问题 【例 4】 求下列函数的最大值和最小值： (1)y＝3＋2cos(2x＋π3)； (2)y＝3cos2x－4cosx＋1，x∈[π3，23π]； (3)y＝ssiinnxx－ ＋12.
29
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规律归纳 关于三角函数值大小比较的方法 (1)比较同名三角函数值的大小，关键是考查同一单调区间 上的同名三角函数的单调性，由自变量的大小确定函数值的大 小． (2)比较不同名的三角函数的大小，应先根据诱导公式化为 同名三角函数，然后再进行比较．
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2.求函数 y＝3cos(3x－4π)的单调区间． 解：令 2kπ＋π≤3x－π4≤2kπ＋2π，则 2kπ＋54π≤3x≤2kπ ＋94π，即23kπ＋51π2≤x≤23kπ＋34π，于是函数的单调递增区间 为[23kπ＋51π2，23kπ＋34π]，k∈Z，同理可求得其单调递减区间 为[23kπ＋1π2，23kπ＋51π2]，k∈Z.
三角函数的性质
三角函数的性质
三角函数是数学中的基本初等函数之一，具有多种性质，以下是一些主要的性质：
1.周期性：三角函数具有周期性，即它们的值在每隔一定的
角度后重复出现。
正弦函数和余弦函数的周期为360度
（或2π弧度），而正切函数的周期为180度（或π弧
度）。
2.奇偶性：正弦函数和正切函数是奇函数，这意味着对于任
何角度θ，sin(-θ) = -sinθ和tan(-θ) = -tanθ。
余弦函数是
偶函数，即cos(-θ) = cosθ。
3.有界性：正弦函数和余弦函数的值域都是[-1, 1]，这意味
着它们的值始终在这个范围内。
正切函数的值域是实数集R，没有上界和下界。
4.单调性：在特定的区间内，正弦函数和余弦函数可以是增
函数或减函数。
正切函数在其定义域内的某些区间内也是增函数或减函数。
5.和差角公式：三角函数满足一些和差角公式，这些公式允
许我们计算两个角的和或差的正弦、余弦和正切值。
6.倍角公式：三角函数也满足一些倍角公式，这些公式允许
我们计算一个角的两倍的正弦、余弦和正切值。
7.三角恒等式：三角恒等式是一组恒真的等式，涉及正弦、
余弦、正切等三角函数。
这些恒等式在三角函数的计算和证明中非常有用。
8.单位圆上的定义：三角函数也可以定义为单位圆上的各种
线段的长度，这为它们提供了几何解释。
9.无穷级数表示：三角函数也可以用无穷级数来表示，这允
许我们将它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。
这些性质使得三角函数在数学、物理、工程、信号处理等领域中有广泛的应用。
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)
跟踪训练
2．判断下列函数的奇偶性： 2x＋5π； (1)f(x)＝ 2sin 2 (2)f(x)＝ 2sin x－1.
解析： (1)∵函数的定义域为(－∞，＋∞)，即定义域关于 原点对称， 2x＋5π＝ 2cos 2x， 且 f(x)＝ 2sin 2 显然有 f(－x)＝ 2cos(－2x)＝ 2cos 2x＝f(x)， 2x＋5π是偶函数； ∴函数 f(x)＝ 2sin 2
－π＋2kπ，π＋2kπ ，(k∈Z) 增函数 2 2 (k∈Z) 减函数 增函数 减函数
π＋2kπ，3π＋2kπ， 2 2
思考应用 1．正弦函数、余弦函数是单调函数吗？能否说“正弦
函数在第一象限是增函数”？
解析：正弦函数、余弦函数都不是定义域上的单调函
数．“正弦函数在第一象限是增函数”也是错误的，因为
2．使 y＝sin x 和 y＝cos x 均为减函数的一个区间是( 0，π π，π A. B. 2 2 π，3π 3π，π C. D. 2 2
)
解析：由y＝sinx，x∈[0,2π]
与y＝cos x，x∈[0,2π]的图象知：y
＝sin x和y＝cos x的均为减函数的
三角函数的奇偶性 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝sin4x－cos4x＋cos 2x；
1－sin x－cos x (2)f(x)＝ . 1＋sin x＋cos x
分析：本题考查函数的奇偶性问题． 解析： (1)∵函数的定义域为(－∞，＋∞)，即定义域关 于原点对称， 且f(－x)＝sin4(－x)－cos4(－x)＋cos(－2x)＝sin4x－cos4x ＋cos 2x＝f(x)，
基础梳理 一、正弦函数和余弦函数的单调性
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
正弦、余弦函数的奇偶性
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数 定义域关于原点对称
cos(-x)= cosx (xR)
y
1 -4 -3 -2 -
y=cosx (xR) 是偶函数
o
-1
2
4
4
y 1
y=|sinu|
2
2
3 2
2
O -1
2
3 2
2
u
y=sinu y=|sinu|
, k ], k Z
即： 增区间为 减区间为
x [k x [k 3
u [k
u [k , k
2
], k Z
4
, k , k
10
10
)
2
18
又 y=sinx
)
在[
18
2
,
2
] 上是增函数
10
sin(
5
10
) < sin(
18
即：sin(
) – sin(
)>0
(2) cos( 解： cos(
23
) - cos(
17 4
)
3 5
23 5
)=cos
3 5
3 3
2
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数 定义域关于原点对称
cos(-x)= cosx (xR)
y
1 -4 -3 -2 -
y=cosx (xR) 是偶函数
o
-1
2
4
4
y 1
y=|sinu|
2
2
3 2
2
O -1
2
3 2
2
u
y=sinu y=|sinu|
, k ], k Z
即： 增区间为 减区间为
x [k x [k 3
u [k
u [k , k
2
], k Z
4
, k , k
10
10
)
2
18
又 y=sinx
)
在[
18
2
,
2
] 上是增函数
10
sin(
5
10
) < sin(
18
即：sin(
) – sin(
)>0
(2) cos( 解： cos(
23
) - cos(
17 4
)
3 5
23 5
)=cos
3 5
3 3
2
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正弦、余弦函数的性质
（奇偶性、单调性）
X
正弦、余弦函数的图象
-4 -3
-2
y
1
- o
-1
2
3
4
y=sinx (xR) 定义域 xR
值 域 y[ - 1, 1 ]
y=cosx (xR) 周期性 T = 2
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x 5 6 x
正弦、余弦函数的奇偶性
正弦、余弦函数的奇偶性
正弦、余弦函数的单调性
例1 不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0：
(1)
sin(
18
)
–
sin(
10
)
解：
2 10 18 2
又
y=sinx
在[
2
,
2
]上是增函数
sin( ) < sin( )
10
18
即：sin(
18
) – sin(
10
)>0
(2) cos( 23 ) -
5
正弦、余弦函数的单调性
正弦函数的单调性
y
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o
2
-1
2
3
2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
2
…
0
…
2
sinx -1
0
1
… 0
…
3 2
-1
y=sinx (xR)
增区间为
[[
2+22k，,
22
+2]k],kZ
其值从-1增至1
减区间为
[[
2
+22k，, 332
+2]k],kZ
cos(-x)= cosx (xR)
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
关于y轴对称
y=cosx (xR) 是偶函数
2
3
4
5 6 x
正弦、余弦函数的奇偶性
正弦、余弦函数的奇偶性
y
1
-4 -3
-2
-
o
-1
2
3
4
5 6 x
sin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数
定义域关于原点对称
4
4
单调增区间为 [k , k 3 ]
4
4
(4)
y log [
1
cos( 1
x
)]
2 34
12Βιβλιοθήκη 解: 定义域2k1
x
2k
23 4
2
当 2k 1 x 2k 即 6k 9 x 6k 3 , k Z 为减区间
23 4
4
4
当
2k
x
2k
即 6k 9 x 6k 3 , k Z 为增区间
2
2
[ +2k, 2k],kZ 单调递增 [2k, 2k + ], kZ 单调递减
求函数的单调区间： 1. 直接利用相关性质 2. 复合函数的单调性 3. 利用图象寻找单调区间
数学之友 明天评讲98 99 100 星期六 做练习
4
正弦、余弦函数的单调性
例2 求下列函数的单调区间：
(1) y=2sin(-x )
解：y=2sin(-x ) = -2sinx
函数在 [
2
+2k,
2
+2k],kZ
上单调递减
函数在
[
2
+2k, 3
2
+2k],kZ上单调递增
解(：22)ky=3sin(2x2- x4
)
2k
k
x k
3
2
4
2
8
8
其值从 1减至-1
正弦、余弦函数的单调性
余弦函数的单调性 y
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o 2
-1
2
3
2
2
5 2
x
3
7 2
4
x -
…
2
…
0… 2
…
cosx -1
0
1
0
-1
y=cosx (xR)
增区间为 [ +2k, 2k],kZ 其值从-1增至1 减区间为 [2k, 2k， + ], kZ 其值从 1减至-1
], k
Z
x [k
3
4
, k
],k Z
4
2
y为增函数
x [k , k ],k Z
4
4
y为减函数
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
小 结：
函数 奇偶性 正弦函数 奇函数 余弦函数 偶函数
单调性（单调区间）
[
2
+2k,
2
+2k],kZ
单调递增
[ +2k, 3 +2k],kZ 单调递减
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
y=sinx (xR) 图象关于原点对称
y
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o
2
2
3
2
2
5 2
x
3
7 2
4
-1
y=sinx
正弦、余弦函数的奇偶性
正弦、余弦函数的奇偶性
一般的，对于函数f(x)的定义域内的任 意一个x，都有f(-x) ＝ f(x)，则称f(x)为这一 定义域内的偶函数。
2k 2 x 2k 3 k 3 x k 7
2
4
2
8
8
所以：单调增区间为 单调减区间为
[k , k 3 ]
8
8
[k 3 , k 7 ]
8
8
正弦、余弦函数的单调性
(3) y= ( tan 9 )sin2x
8
解： 0 tan 9 1
8
单调减区间为 [k , k ]
34
2
4
4
正弦、余弦函数的单调性
(5) y = -| sin(x+ 4 )|
解：
令x+
4
=u
,
则 y= -|sinu| 大致图象如下：
y
1
y=|sinu|
2 3
2
2
O
3
2 u
2
2
-1
y=y-=|ssiinnuu|
即： 增区间为 u [k , k ], k Z
减区间为
u [k
2
, k
cos( 17 )
4
解： cos( 23 )=cos 23 =cos 3
5
5
5
cos( 17 )=cos 17
4
4
=cos 4
0 3
45
cos 3 <cos
5
4
又 y=cosx 在 [0, ]上是减函数
3
即： cos 5
– cos
4
<0
从而
cos( 23 ) -
5
cos( 17 ) <0
cos(-x)= cosx (xR)
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
y=cosx (xR) 是偶函数
2
3
4
5 6 x
正弦、余弦函数的奇偶性
正弦、余弦函数的奇偶性
例1：判定下列函数的奇偶性
(1) y sin 3x, (2) y sin x cos x
(3) y 1 sin x
例2：已知函数f (x) 2ax x3 sin x 3,若f(2)=3, 1)求证：函数g(x)=f (x) 3是奇函数； 2）求f(-2)的值
-4 -3
-2
y
1
- o
-1
2
3
4
5 6 x
sin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数
一般的，对于函数f(x)的定义域内的任 意一个x，都有f(-x) ＝ -f(x)，则称f(x)为这 一定义域内的奇函数。
注意：若f(x)是奇函数，且x＝0在定义域内，则f(0)＝0
函数y=sinx,x∈[0,2π]是奇函数吗？
（奇偶性、单调性）
X
正弦、余弦函数的图象
-4 -3
-2
y
1
- o
-1
2
3
4
y=sinx (xR) 定义域 xR
值 域 y[ - 1, 1 ]
y=cosx (xR) 周期性 T = 2
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x 5 6 x
正弦、余弦函数的奇偶性
正弦、余弦函数的奇偶性
正弦、余弦函数的单调性
例1 不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0：
(1)
sin(
18
)
–
sin(
10
)
解：
2 10 18 2
又
y=sinx
在[
2
,
2
]上是增函数
sin( ) < sin( )
10
18
即：sin(
18
) – sin(
10
)>0
(2) cos( 23 ) -
5
正弦、余弦函数的单调性
正弦函数的单调性
y
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o
2
-1
2
3
2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
2
…
0
…
2
sinx -1
0
1
… 0
…
3 2
-1
y=sinx (xR)
增区间为
[[
2+22k，,
22
+2]k],kZ
其值从-1增至1
减区间为
[[
2
+22k，, 332
+2]k],kZ
cos(-x)= cosx (xR)
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
关于y轴对称
y=cosx (xR) 是偶函数
2
3
4
5 6 x
正弦、余弦函数的奇偶性
正弦、余弦函数的奇偶性
y
1
-4 -3
-2
-
o
-1
2
3
4
5 6 x
sin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数
定义域关于原点对称
4
4
单调增区间为 [k , k 3 ]
4
4
(4)
y log [
1
cos( 1
x
)]
2 34
12Βιβλιοθήκη 解: 定义域2k1
x
2k
23 4
2
当 2k 1 x 2k 即 6k 9 x 6k 3 , k Z 为减区间
23 4
4
4
当
2k
x
2k
即 6k 9 x 6k 3 , k Z 为增区间
2
2
[ +2k, 2k],kZ 单调递增 [2k, 2k + ], kZ 单调递减
求函数的单调区间： 1. 直接利用相关性质 2. 复合函数的单调性 3. 利用图象寻找单调区间
数学之友 明天评讲98 99 100 星期六 做练习
4
正弦、余弦函数的单调性
例2 求下列函数的单调区间：
(1) y=2sin(-x )
解：y=2sin(-x ) = -2sinx
函数在 [
2
+2k,
2
+2k],kZ
上单调递减
函数在
[
2
+2k, 3
2
+2k],kZ上单调递增
解(：22)ky=3sin(2x2- x4
)
2k
k
x k
3
2
4
2
8
8
其值从 1减至-1
正弦、余弦函数的单调性
余弦函数的单调性 y
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o 2
-1
2
3
2
2
5 2
x
3
7 2
4
x -
…
2
…
0… 2
…
cosx -1
0
1
0
-1
y=cosx (xR)
增区间为 [ +2k, 2k],kZ 其值从-1增至1 减区间为 [2k, 2k， + ], kZ 其值从 1减至-1
], k
Z
x [k
3
4
, k
],k Z
4
2
y为增函数
x [k , k ],k Z
4
4
y为减函数
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
小 结：
函数 奇偶性 正弦函数 奇函数 余弦函数 偶函数
单调性（单调区间）
[
2
+2k,
2
+2k],kZ
单调递增
[ +2k, 3 +2k],kZ 单调递减
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
y=sinx (xR) 图象关于原点对称
y
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o
2
2
3
2
2
5 2
x
3
7 2
4
-1
y=sinx
正弦、余弦函数的奇偶性
正弦、余弦函数的奇偶性
一般的，对于函数f(x)的定义域内的任 意一个x，都有f(-x) ＝ f(x)，则称f(x)为这一 定义域内的偶函数。
2k 2 x 2k 3 k 3 x k 7
2
4
2
8
8
所以：单调增区间为 单调减区间为
[k , k 3 ]
8
8
[k 3 , k 7 ]
8
8
正弦、余弦函数的单调性
(3) y= ( tan 9 )sin2x
8
解： 0 tan 9 1
8
单调减区间为 [k , k ]
34
2
4
4
正弦、余弦函数的单调性
(5) y = -| sin(x+ 4 )|
解：
令x+
4
=u
,
则 y= -|sinu| 大致图象如下：
y
1
y=|sinu|
2 3
2
2
O
3
2 u
2
2
-1
y=y-=|ssiinnuu|
即： 增区间为 u [k , k ], k Z
减区间为
u [k
2
, k
cos( 17 )
4
解： cos( 23 )=cos 23 =cos 3
5
5
5
cos( 17 )=cos 17
4
4
=cos 4
0 3
45
cos 3 <cos
5
4
又 y=cosx 在 [0, ]上是减函数
3
即： cos 5
– cos
4
<0
从而
cos( 23 ) -
5
cos( 17 ) <0
cos(-x)= cosx (xR)
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
y=cosx (xR) 是偶函数
2
3
4
5 6 x
正弦、余弦函数的奇偶性
正弦、余弦函数的奇偶性
例1：判定下列函数的奇偶性
(1) y sin 3x, (2) y sin x cos x
(3) y 1 sin x
例2：已知函数f (x) 2ax x3 sin x 3,若f(2)=3, 1)求证：函数g(x)=f (x) 3是奇函数； 2）求f(-2)的值
-4 -3
-2
y
1
- o
-1
2
3
4
5 6 x
sin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数
一般的，对于函数f(x)的定义域内的任 意一个x，都有f(-x) ＝ -f(x)，则称f(x)为这 一定义域内的奇函数。
注意：若f(x)是奇函数，且x＝0在定义域内，则f(0)＝0
函数y=sinx,x∈[0,2π]是奇函数吗？