正弦、余弦函数的奇偶性
正弦与余弦知识点总结
正弦与余弦知识点总结正弦与余弦的定义在直角三角形中，如果一个锐角的对边和斜边的比值为正弦值，邻边和斜边的比值为余弦值。
假设在直角三角形ABC中，∠C为90°，AB为斜边，BC为对边，AC为邻边，那么正弦与余弦的定义如下：正弦值：sin∠A=对边/斜边=BC/AB余弦值：cos∠A=邻边/斜边=AC/AB在直角三角形中，正弦与余弦的值可以用来描述角度和三角形边长的关系。
在不同的三角形中，正弦与余弦的值并不相同，但其性质和图像是相似的。
正弦与余弦的性质1. 周期性：正弦与余弦函数都具有周期性，其周期为2π。
这意味着在一个周期内，函数值将重复出现。
在[-π, π]或[0, 2π]范围内，正弦与余弦的函数图像将呈现出周期性的特点。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
奇函数具有对称中心原点，即f(-x)=-f(x)，在图像上关于原点对称。
而偶函数则具有对称中心y轴，即f(-x)=f(x)，在图像上关于y轴对称。
3. 交替性：正弦与余弦函数在图像上呈现出交替变化的特点。
在一个周期内，正弦函数的最大值为1，最小值为-1；余弦函数的最大值为1，最小值为-1。
两个函数的图像像是上下振荡的波形。
4. 相关性：正弦与余弦函数是相互关联的。
在直角三角形中，三角函数的相互关系可以由勾股定理推导出来。
sin²x + cos²x = 1是三角函数基本关系式，也称为三角恒等式。
正弦与余弦的图像正弦与余弦函数的图像是学习三角函数的重要内容之一。
它们的图像形状、周期性、奇偶性等特点对于理解三角函数的性质至关重要。
正弦函数的图像是一条连续的波纹状曲线，具有周期性、奇函数特点。
其图像在[-π, π]或[0, 2π]范围内呈现出从最小值-1到最大值1的振荡变化。
正弦函数的图像具有对称性，关于原点对称。
余弦函数的图像也是一条连续的波纹状曲线，具有周期性、偶函数特点。
其图像在[-π, π]或[0, 2π]范围内同样呈现出从最大值1到最小值-1的振荡变化。
正弦余弦函数的性质
y=sinu y=|sinu|
2 3 x [k , k ], k Z y为增函数 4 4 x [k , k ], k Z y为减函数 4 4
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
小 结：
奇偶性 [ 正弦函数 奇函数 单调性（单调区间）
+2k, +2k],kZ 单调递增 2 2 3 [ +2k, +2k],kZ 单调递减 2 2
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
例1 不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0： (1) sin(
) – sin( 18
10
)
解： 2 10 18 sin(
5
2
又 y=sinx 在[
)
10
) < sin(
18
即：sin( 18 ) – sin( 10 )>0
17 cos( 17 )=cos 4 4
, ] 上是增函数 2 2
(2) cos( 23 ) - cos( 解： cos( 23 )=cos 23 5 5
0
) - cos( 从而 cos( 23 5
17 ) 4
=cos
cos
3 5
4
<cos 4
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
y=sinx
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三角函数中的正弦函数与余弦函数
三角函数中的正弦函数与余弦函数在数学中，三角函数是研究角的性质和变化规律的重要工具。
其中，正弦函数（sine function）和余弦函数（cosine function）是最基本和常见的两个三角函数。
它们在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
本文将对正弦函数和余弦函数进行详细介绍，探讨它们的定义、性质和应用。
一、正弦函数正弦函数是三角函数中最基本的函数之一，通常用符号sin表示。
它可以通过单位圆上的点的纵坐标来定义。
在单位圆上，以圆心为原点，半径为1的圆为基准，对于圆上的任意一点P，其纵坐标y就是正弦函数的值。
正弦函数的定义域是实数集，值域是闭区间[-1,1]。
正弦函数具有以下几个重要的性质：1. 周期性：正弦函数是周期函数，其最小正周期为2π。
也就是说，对于任意实数x，有sin(x+2π)=sin(x)。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即满足sin(-x)=-sin(x)。
这意味着正弦函数关于原点对称。
3. 对称性：正弦函数具有轴对称性，即sin(π-x)=sin(x)。
4. 最值：正弦函数的最大值为1，最小值为-1。
正弦函数在数学和物理中有广泛的应用。
例如，在几何学中，正弦函数可以用来求解三角形的边长和角度。
在物理学中，正弦函数可以用来描述波动、振动等现象。
二、余弦函数余弦函数是另一个常见的三角函数，通常用符号cos表示。
它也可以通过单位圆上的点的横坐标来定义。
在单位圆上，以圆心为原点，半径为1的圆为基准，对于圆上的任意一点P，其横坐标x就是余弦函数的值。
余弦函数的定义域是实数集，值域是闭区间[-1,1]。
余弦函数具有以下几个重要的性质：1. 周期性：余弦函数也是周期函数，其最小正周期为2π。
也就是说，对于任意实数x，有cos(x+2π)=cos(x)。
2. 偶性：余弦函数是偶函数，即满足cos(-x)=cos(x)。
这意味着余弦函数关于y轴对称。
3. 对称性：余弦函数具有轴对称性，即cos(π-x)=-cos(x)。
(最新整理)正弦函数余弦函数的单调性奇偶性最值
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知识预览
1．正、余弦函数的奇偶性 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．
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∴cosπ8<cosπ9，即
17π 37π cos 8 <cos 9 .
2021/7/2632人教A版必Fra bibliotek四·新课标·数 学
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正、余弦函数的最值问题 【例 4】 求下列函数的最大值和最小值： (1)y＝3＋2cos(2x＋π3)； (2)y＝3cos2x－4cosx＋1，x∈[π3，23π]； (3)y＝ssiinnxx－ ＋12.
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规律归纳 关于三角函数值大小比较的方法 (1)比较同名三角函数值的大小，关键是考查同一单调区间 上的同名三角函数的单调性，由自变量的大小确定函数值的大 小． (2)比较不同名的三角函数的大小，应先根据诱导公式化为 同名三角函数，然后再进行比较．
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2.求函数 y＝3cos(3x－4π)的单调区间． 解：令 2kπ＋π≤3x－π4≤2kπ＋2π，则 2kπ＋54π≤3x≤2kπ ＋94π，即23kπ＋51π2≤x≤23kπ＋34π，于是函数的单调递增区间 为[23kπ＋51π2，23kπ＋34π]，k∈Z，同理可求得其单调递减区间 为[23kπ＋1π2，23kπ＋51π2]，k∈Z.
三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质三角函数是数学中的重要概念，它们的图像和性质对于初中数学学习者来说是必须掌握的内容。
在本文中，我将详细介绍三角函数的图像与性质，并给出一些例子和说明，帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用这些知识。
一、正弦函数的图像与性质正弦函数是最基本的三角函数之一，它的图像是一条连续的曲线，呈现出周期性变化。
正弦函数的性质包括：1. 周期性：正弦函数的周期是2π，即在每个2π的区间内，正弦函数的图像重复出现。
2. 幅度：正弦函数的幅度表示波峰和波谷的最大差值，通常记为A。
幅度越大，波峰和波谷的差值越大。
3. 对称性：正弦函数的图像关于y轴对称，即f(x) = -f(-x)。
4. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即f(x) = -f(x)。
举例说明：假设有一条正弦函数的图像，周期为2π，幅度为1。
在区间[0, 2π]内，正弦函数的图像先从0逐渐上升到1，然后下降到0，再下降到-1，最后又上升到0。
这样的周期性变化会一直重复下去。
根据正弦函数的性质，可以得出该图像关于y轴对称，且是奇函数。
二、余弦函数的图像与性质余弦函数也是一种常见的三角函数，它的图像和正弦函数有些相似，但也有一些不同之处。
余弦函数的性质包括：1. 周期性：余弦函数的周期也是2π，与正弦函数相同。
2. 幅度：余弦函数的幅度也表示波峰和波谷的最大差值，通常记为A。
与正弦函数不同的是，余弦函数的幅度表示波峰和波谷的绝对值最大差值。
3. 对称性：余弦函数的图像关于y轴对称，即f(x) = f(-x)。
4. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即f(x) = f(x)。
举例说明：假设有一条余弦函数的图像，周期为2π，幅度为1。
在区间[0, 2π]内，余弦函数的图像先从1逐渐下降到0，然后下降到-1，再上升到0，最后又上升到1。
这样的周期性变化会一直重复下去。
根据余弦函数的性质，可以得出该图像关于y轴对称，且是偶函数。
三、正切函数的图像与性质正切函数是三角函数中的另一种重要函数，它的图像与正弦函数和余弦函数有很大的不同。
函数奇偶性的判断方法
函数奇偶性的判断方法在数学中，我们经常会遇到需要判断一个函数的奇偶性的情况。
函数的奇偶性对于我们研究函数的性质和图像至关重要。
因此，掌握函数奇偶性的判断方法对于数学学习非常重要。
接下来，我将介绍一些常见的函数奇偶性的判断方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
首先，我们来看一下奇函数和偶函数的定义。
一个函数f(x)被称为奇函数，如果对于任意的x，都有f(-x) = -f(x)成立；一个函数f(x)被称为偶函数，如果对于任意的x，都有f(-x) = f(x)成立。
简单来说，奇函数具有对称中心在原点的对称性，而偶函数则具有关于y轴的对称性。
接下来，我们来介绍一些常见函数奇偶性的判断方法。
首先是多项式函数。
对于多项式函数来说，我们可以通过观察其幂次来判断函数的奇偶性。
如果一个多项式函数中只包含偶次幂的项，那么这个函数就是偶函数；如果一个多项式函数中只包含奇次幂的项，那么这个函数就是奇函数。
如果一个多项式函数中同时包含奇次幂和偶次幂的项，那么这个函数既不是奇函数也不是偶函数。
其次是三角函数。
对于三角函数来说，我们可以通过观察其周期性来判断函数的奇偶性。
正弦函数和余弦函数是最常见的两种三角函数，它们分别是奇函数和偶函数。
正弦函数具有奇函数的性质，而余弦函数具有偶函数的性质。
另外，我们还可以通过函数图像的对称性来判断函数的奇偶性。
对于一个函数的图像来说，如果函数图像关于y轴对称，那么这个函数就是偶函数；如果函数图像关于原点对称，那么这个函数就是奇函数。
最后，我们还可以通过函数的导数来判断函数的奇偶性。
一个函数f(x)是奇函数，当且仅当它的导数f'(x)是偶函数；一个函数f(x)是偶函数，当且仅当它的导数f'(x)是奇函数。
总结一下，判断函数的奇偶性是数学中一个重要的知识点，我们可以通过观察函数的幂次、周期性、图像的对称性以及导数来判断函数的奇偶性。
掌握这些方法可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质，为我们的数学学习打下坚实的基础。
正余弦函数的周期性、奇偶性
y = Asin(ωx + ϕ), x∈R.( A≠ 0, ω> 0) y = Acos(ωx + ϕ), x∈R.(A≠ 0, ω> 0)
2π T= |ω |
• 已知函数 y = f ( x ) 的周期是 ，且当 x ∈ [0,3] 的周期是3， f (1), f (5), f (16). f ( x ) = x 2 + 1 ，求 时，
余弦函数 y = cos x
定义域： 定义域：R
1.周期性 周期性
周期函数定义：对于函数 周期函数定义：对于函数f (x)，如果存在 ， 一个非零常数 非零常数T，使得当x取定义域内的 取定义域内的每 一个非零常数 ，使得当 取定义域内的每 一个值时 一个值时，都有 f (x+T)=f (x) 那么函数f 就叫做周期函数 就叫做周期函数， 那么函数 (x)就叫做周期函数，非零常数 T叫做这个函数的周期。 叫做这个函数的周期。 叫做这个函数的周期
2.奇偶性 2.奇偶性
探究
y
1
−3 5 π π − 2
−2π −3π
2
−π
−
π
2
O
π
2
π
−1
3π 2
2π
5π 2
3π
x
正弦函数的图象
y
1
−3 5 π π − 2
−2π −3π
2
−π
−
π
2
O
π
2
π
余弦函数的图象
−1
3π 2
2π
5π 2
3π
x
例3.判断y = cos x ⋅ sin x的奇偶性
2 π 对于y = sin x, x ∈ R, 有 sin( + π ) = sin 6 3 6 2 能否说 π是该函数的周期. 3
正弦、余弦函数的性质(奇偶性、单调性)解读
正弦、余弦函数的性质（奇偶性、单调性）教学目的：知识目标：理解三角函数的奇、偶性和单调性；能力目标：掌握正、余弦函数的奇、偶性，并能根据正、余弦函数的单调性解题德育目标：激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养学生勇于探究创新的精神。
教学重点：正、余弦函数的奇、偶性和单调性；教学难点：正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用教学过程：一、复习引入：(学生小组选派学生回答)定义域、值域、周期性？偶函数、奇函数的定义？ 图像有什么特征呢？设计意图：回顾三角函数的周期性，为引入三角函数的其他性质做准备。
二、讲解新课：1． 奇偶性观察正弦曲线和余弦曲线，你还能发现它们具有什么好的性质？如图象的对称性，你能证明吗？设计意图：让学生从直观发现对称，进而反映到代数性质上，发现正弦函数，余弦函数的奇偶性，使学生能从“形”与“数”两个方面来理解它们的奇偶性。
师生活动：师生——引导学生观察，不难发现各种对称性，进一步引导学生思考，这些对称性反映了函数什么特征？（奇偶性）从代数角度如何具体证明它们的奇偶性呢？共同归纳总结正弦函数，余弦函数的奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
考虑到学生的基础，打算先带领学生回顾函数奇偶性的概念。
(1)余弦函数的图形当自变量取一对相反数时，函数y 取同一值。
例如：f(-3π)=21,f(3π)=21 ,即f(-3π)=f(3π)；…… cos(－x)=cosx ∴f(-x)= f(x).以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y ）是函数y=cosx 的图象上的任一点,那么,与它关于y 轴的对称点(-x,y )也在函数y=cosx 的图象上，这时，我们说函数y=cosx 是偶函数。
(2)正弦函数的图形观察函数y=sinx 的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？ 这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称。
也就是说，如果点（x,y ）是函数y=sinx 的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y ）也在函数y=sinx 的图象上，这时，我们说函数y=sinx 是奇函数。
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一、 课堂目标：
掌握函数奇偶性的定义，会判断正弦、余弦函数及其它简单函数的奇偶性 二、 要点回顾：
奇函数定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的________________ ,都有____________ 成立， 则称f(x)为这一定义域内的奇函数，奇函数的图象关于______________对称
偶函数定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的________________ ,都有____________ 成立， 则称f(x)为这一定义域内的偶函数，偶函数的图象关于______________对称 正弦函数是______________，余弦函数是______________ 若某个函数是奇函数（或偶函数），则其定义域必须是________________ 三、 目标训练：
1、 判断下列函数的奇偶性：
（1）y=x sin -_______________ (2) y=x sin ______________ (3) y=3cosx+1_______________
(4) y=sinx - 1 ________________ (5) y=xsin(n π+x) (n ∈Z)
(6)y=x
x
sin 1sin 1lg
-+
(7)y=x
x x cos 1sin +
(8)y=x
x x sin 1cos sin 12+-+
（9）y=)2
17sin(
x x -⋅π
(10)y=sin(cosx)
2、下列命题中正确的是 ( )
A.y= - sinx 为偶函数
B.y=x sin -是非奇非偶
C.y=3cosx+1为偶函数
D.y=sinx 1-为奇函数
3、下列既是（0，2
π
）上的增函数，又是以π为周期的偶函数是
( )
A.y=x 2
B.y=x sin
C.y=cos2x
D.y=e sin2x
4、函数f(x)是以4为周期的奇函数，且f(-1)=1，则sin ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡+
⋅2)5(ππf 的值为 ( )
A.-1
B.0
C.1/2
D.1
5、指出下列函数的奇偶性 （1）f(x)=3x (2)f(x)=
x
2 (3) f(x)=1
2
-x
(4) f(x)=2x 2+3 []1,2-∈x
(5) f(x)=11-+-x x
(6) f(x)=1cos cos 1-+-x x
6、设函数y=f(x)的定义域是R ，且y=f(x)既是奇函数又是偶函数，求f(x)的解析式
7#、判断下列函数的奇偶性 （1）f(x)=)1lg(2
x x ++ (2) f(x)=
2
122x
x ---
(3) f(x)=
x
x x
x cos sin 1cos sin 1+---沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。