正弦、余弦函数的奇偶性、单调性

正弦、余弦函数的单调性
例1 不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0： (1) sin(

) – sin( 18



10
)
解： 2 10 18 sin(
5

2
又 y=sinx 在[
)

10
) < sin(

18
即：sin( 18 ) – sin( 10 )>0
正弦、余弦函数的奇偶性
一般的，对于函数f(x)的定义域内的任 意一个x，都有f(-x) ＝ f(x)，则称f(x)为这一 定义域内的偶函数。
关于y轴对称
cos(-x)= cosx (xR)
y
1 -4 -3 -2 -
y=cosx (xR) 是偶函数
o
-1

2
3
4
5
6
x
正弦、余弦函数的奇偶性
+2k, +2k],kZ 上单调递减 2 2 3 [ +2k , +2k],kZ上单调递增 函数在 2 2
3 8 8 3 3 7 2k 2 x 2k k x k 2 4 2 8 8 3 所以：单调增区间为 [k , k ] 8 8 3 7 , k ] 单调减区间为 [k 8 8 k x k
1 2k x 2k 2 3 4 2
正弦、余弦函数的单调性
(5) y = -| sin(x+ )| 4 解： 令x+ =u , 则 y= -|sinu| 大致图象如下： 4
y 1
y=|sinu|
2
2

3 2


2
O -1

3 2
2
u
即： 增区间为 u [k , k ], k Z 2 减区间为 u [k , k ], k Z
3 5
3 5
=cos
4
又 y=cosx 在 [0, ] 上是减函数 即： cos
17 ) 4
3 5
– cos

4
<0
<0
正弦、余弦函数的单调性
例2 求下列函数的单调区间： (1) y=2sin(-x ) 解：y=2sin(-x ) = -2sinx
函数在 [
(2) y=3sin(2x- 4 ) 解： 2 k 2 x 2 k 2 4 2
3
4
5
6
x
正弦、余弦函数的奇偶性
正弦、余弦函数的奇偶性
例1：判定下列函数的奇偶性
(1) y sin 3 x, (2) y sin x cos x (3) y 1 sin x
例2：已知函数f ( x) 2ax x sin x 3, 若f(2)=3,
3
1)求证：函数g(x)=f ( x) 3是奇函数； 2）求f(-2)的值
函数
余弦函数
偶函数
[ +2k, 2k],kZ [2k, 2k + ], kZ
单调递增
单调递减
求函数的单调区间： 1. 直接利用相关性质 2. 复合函数的单调性 3. 利用图象寻找单调区间
数学之友 明天评讲98 星期六 做练习
99 100
;
;
正弦、余弦函数的单调性
正弦函数的单调性
y
1 -3
5 2
-2

3 2
-


2
o
-1

2

3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
sinx


2
…
0 0
…
2
…
0
…
3 2
-1
1
-1Biblioteka y=sinx (xR) , +2k ],kZ 其值从-1增至1 增区间为 [[ +2k ， ] 2 2 2 2 3 3 , +2k 减区间为 [[ +2k ， ] ],kZ 其值从 1减至-1 2 2 2

]
9 3 1 当 2k x 2k 即 6k x 6k , k Z 为减区间 4 4 2 3 4 x 9 3 当 2k 2k 即 6k x 6k , k Z 为增区间 3 4 2 4 4

正弦、余弦函数的性质
（奇偶性、单调性）
X
正弦、余弦函数的图象
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1

2
3
4
5
6
x
y=sinx (xR)
定义域 xR 值 域 y[ - 1, 1 ] 周期性 T = 2
1
y=cosx (xR)
y
-4 -3 -2 -
o
-1

2
3
4
5
正弦、余弦函数的奇偶性
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1

2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数 定义域关于原点对称
cos(-x)= cosx (xR)
y
1 -4 -3 -2 -
y=cosx (xR) 是偶函数
o
-1

2


正弦、余弦函数的单调性
(3) y= ( tan 9 )sin2x
解： 0 tan 9 1
8
8
单调减区间为 单调增区间为
[k

4
(4) y log1 解: 定义域
2
1 1 [ cos( x )] 2 3 4
4 3 [k , k ] 4 4
, k
注意：若f(x)是奇函数，且x＝0在定义域内，则f(0)＝0
函数y=sinx,x∈[0,2π]是奇函数吗？
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
y=sinx (xR) 图象关于原点对称
y
1 -3
5 2
-2

3 2
-


2
o
-1

2

3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
y=sinx
正弦、余弦函数的奇偶性
6
x
正弦、余弦函数的奇偶性
正弦、余弦函数的奇偶性
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1

2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数
一般的，对于函数f(x)的定义域内的任 意一个x，都有f(-x) ＝ -f(x)，则称f(x)为这 一定义域内的奇函数。
17 cos( 17 )=cos 4 4
, ] 上是增函数 2 2

(2) cos( 23 ) - cos( 解： cos( 23 )=cos 23 5 5
0
) - cos( 从而 cos( 23 5


17 ) 4
=cos

cos
3 5
4

<cos 4


y=sinu y=|sinu|
2 3 x [k , k ], k Z y为增函数 4 4 x [k , k ], k Z y为减函数 4 4
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
小 结：
奇偶性 [ 正弦函数 奇函数 单调性（单调区间）
+2k, +2k],kZ 单调递增 2 2 3 [ +2k, +2k],kZ 单调递减 2 2
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青的胳膊回来了，看到那三个高高兴兴地聊着，就对小青说：“姐，我想去看看小东伢睡在被窝里是什么样子！”于是，俩人 脚步轻轻地走进里屋。就着从外屋透进来的微弱光线，耿英俯身看着熟睡中的小东伢，这小东西此刻看上去实在是太像记忆中 儿时的大壮了„„看着，看着，耿英的思绪不由自主地急速退回到了遥远的童年时代。那时候，从小习惯于早起的耿英喜欢在 早饭前就去找小伙伴大壮去门前不远的田间地头，或者那个可爱的田间小沙岗上，踏着晶莹的露珠儿摘野花玩儿，而壮实憨厚 的大壮这个时候经常还在被窝里酣睡呢！耿英到现在还清楚地记着，每当她想把睡懒觉的大壮弄醒时，就会拿上一片柔软的鸡 毛，在大壮的额头上轻轻地挠他，而被挠醒了的大壮从来没有生过气„„小青看出了耿英的失神，轻轻地攥住耿英的一只手说： “直子弟弟说得对，将来，你和大壮生的男娃儿，肯定会像小东伢这个模样！”耿英豁然回过神儿来，直起身来不好意思地笑 笑，悄声儿对小青说：“姐，大壮真得很像姐夫，而小东伢现在的这个睡样儿，也和大壮娃娃时候的模样几乎就一模一样呢！ 真是怪了，这是怎么的一种缘分啊！”小青动情地攥紧耿英的手，认真地说：“这是上天安排我们做姐妹！”看她俩人一直不 出来，大家也都进来了。而此刻，熟睡中的小东伢根本就不知道有这么多亲人正在怀着喜悦的心情围着他，看他香甜地酣睡呢！ 看了一会儿，见他确实睡踏实了，大家方才又返回老屋里继续说话。43第九十九回 重述往事再泪崩|（重述往事泪涟涟，悲喜 交集叹无常；衣锦还乡为遗志，童言无忌显情怀。）饭后，小青把碗筷什么的收拾到一边，乔氏说：“不忙洗刷！咱们先坐了 说话。英丫头和直伢子，你俩过来坐我身边！正伢子，你坐那把椅子上慢慢说！青丫头，东伢子，你俩也抱小东伢坐下来听。” 大家都按照乔氏的吩咐默默坐了。乔氏的眼泪再次流淌下来，哽咽着问：“是刚离开的那年夏天，你们的爹就没了的吗？怎么 没的？在哪里没的啊？怎么就连尸骨也找不到了呢？还有，你们三个这些年是在哪里落脚的，吃了多少苦啊？”乔氏说着，转 头伸手拍着耿直的腿伤心伤肺地说：“直伢子当年才多大一点儿啊。你都说来听听，娘娘想知道啊，你们姐姐和东伢子也想知 道！”耿正想一想，看着妹妹说：“想说的太多了，从哪里说起呢？”耿英说：“就从娘娘刚才问的说起吧！”稳定一下情绪， 耿正轻轻地说：“那年我们离开后，原想着最好能在沿江的城镇上再找一个适合的地方落脚发展，但走了很多日子，始终没有 找到这样的地方。入夏以后，天气热得很快，而且那年的雨水好像太多了，一路上走得很艰难，很慢„„看看在长江南岸很难 找到适合发展的地方了，爹决定带我们离开江岸，去景