正余弦函数的奇偶性单调性
单调性正弦曲线余弦曲线
看图说话
y sin x x R y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
2
1
3 2
2
5 3
2
x
正弦函数图像关于原点对称
奇函数
y cos x x R y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
2
1
3 2
2
5 3
2
x
y sin x x R y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
y cos x x R y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
探索新知1
5 3 x
2
5 3 x
2
观察正弦函数余弦函数的图像，判断它们具有怎样的对称性？
2
例题解析
例1.下列函数有最大值、最小值吗？如果 有，请写出取最大值、最小值时的自变 量x的集合，并说出最大值、最小值分别 是什么.
（1）y cos x 1, x R (2) y 3sin 2x, x R
探索新知2
y sin x x R y
1
3 5
2
2 3
余弦函数呢
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
成果展示
y
y sin x x R y
正、余弦函数(二)_奇偶性、单调性
y
1 -3π
−
5π 2
-2π
−
3π 2
-π
−
π
2
o
-1 1
π
2
π
y
3π 2
2π
5π 2
x
3π
7π 2
4π
-3π
−
5π 2
-2π
−
3π 2
-π
−
π
2
o
-1
π
2
π
3π 2
2π
5π 2
x
3π
7π 2
4π
思考5：正弦曲线除了关于原点对称外，是否还 思考5 正弦曲线除了关于原点对称外， 关于其它的点和直线对称？ 关于其它的点和直线对称？ 思考6 余弦曲线除了关于y轴对称外， 思考6：余弦曲线除了关于y轴对称外，是否还 关于其它的点和直线对称？ 关于其它的点和直线对称？ π 点 +kπ,0)(k ∈Z)和 线x = kπ(k ∉Z) ( 直 2
你能求y=3sin(π/4-2x)的单调区间 的单调区间 你能求
作
业
P40-41练习： 40-41练习： 练习 T1⑴⑷，2⑴⑵，3⑴⑵，5⑵⑷，6.
π 思考: 正弦函数在每一个开区间（ kπ， 思考:1、正弦函数在每一个开区间（2kπ， ＋2kπ) 2 (k∈Z)上都是增函数 上都是增函数， (k∈Z)上都是增函数，能否认为正弦函数在第
π
+2kπ, k ∈Z
y
1 -3π
−
余弦曲线
π
2
5π 2
-2π
−
3π 2
-π
−
π
2
o
-1
π
3π 2
正、余弦函数图像和性质(奇偶性,单调性)
正弦函数、余弦函数的性质（奇偶性，单调性）三维目标1.通过创设情境,如单摆运动、波浪、四季变化等,让学生感知周期现象;理解周期函数的概念;能熟练地求出简单三角函数的周期,并能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用.2.通过本节的学习,使同学们对周期现象有一个初步的认识,感受生活中处处有数学,从而激发学生的学习积极性,培养学生学好数学的信心,学会运用联系的观点认识事物. 重点难点教学重点:正弦、余弦、正切函数的主要性质(包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域);深入研究函数性质的思想方法.教学难点:正弦函数和余弦函数图象间的关系、图象变换,以及周期函数概念的理解,最小正周期的意义及简单的应用. 教学过程： 复习导入：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R 〔或(-∞,+∞)〕.正弦函数、余弦函数的值域都是［-1,1］.对于正弦函数y=sinx(x∈R ),(1)当且仅当x=2π+2kπ,k∈Z 时,取得最大值1. (2)当且仅当x=-2π+2kπ,k∈Z 时,取得最小值-1.对于余弦函数y=cosx(x∈R ),(1)当且仅当x=2kπ,k∈Z 时,取得最大值1. (2)当且仅当x=(2k+1)π,k∈Z 时,取得最小值-1.正弦函数，余弦函数是周期函数,2kπ(k∈Z 且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π. 新课探究：正弦、余弦函数的奇偶性正弦曲线关于原点O 对称,余弦曲线关于y 轴对称.在R 上,y=sinx 为奇函数,y=cosx 为偶函数.教师要恰时恰点地引导,怎样用学过的知识方法给予证明? 由诱导公式:∵sin(-x)=-sinx,cos(-x)=cosx, ∴y=sinx 为奇函数,y=cosx 为偶函数. 例、判断下列函数奇函性：正弦、余弦函数的单调性：通过学生充分讨论后确定,选图象上的［-2π,23π］(如图4)这段.教师还要强调为什么选这段,而不选[0,2π]的道理,其他类似.图3图4这个变化情况也可从下表中显示出来:(1)sin 3()(2)sin cos ()(3)1sin ()y xx R y x xx R y xx R =-∈=+∈=+∈就是说,函数y=sinx,x∈［-2,2］. 当x∈［-2π,2π］时,曲线逐渐上升,是增函数,sinx 的值由-1增大到1; 当x∈［2π,23π］时,曲线逐渐下降,是减函数,sinx 的值由1减小到-1.类似地,同样可得y=cosx,x∈[-π,π]的单调变化情况.教师要适时点拨、引导学生先如何恰当地选取余弦曲线的一段来研究,如图5,为什么选[-π,π],而不是选[0,2π].图5引导学生列出下表:结合正弦函数、余弦函数的周期性可知:正弦函数在每一个闭区间［-2π+2kπ,2π+2kπ］(k∈Z )上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个闭区间［2π+2kπ,23π+2kπ］(k∈Z )上都是减函数,其值从1减小到-1.余弦函数在每一个闭区间［(2k-1)π,2kπ］(k∈Z )上都是增函数,其值从-1增加到1;在每一个闭区间［2kπ,(2k+1)π］(k∈Z )上都是减函数,其值从1减小到-1.例2 函数的单调性,比较下列各组数的大小:(1)sin(-18π)与sin(-10π);(2)cos(523π-)与cos(417π-).解:(1)因为2π-<10π-<18π-<0,正弦函数y=sinx 在区间[2π-,0]上是增函数,所以sin(18π-)>sin(10π-). (2)cos(523π-)=cos 523π=cos 53π,cos(417π-)=cos 417π=cos 4π.因为0<4π<53π<π,且函数y=cosx,x∈[0,π]是减函数,所以cos 4π>cos 53π,即cos(523π-)<cos(417π-).例3 函数y=sin(21x+3π),x∈[-2π,2π]的单调递增区间.解:令Z =21x+3π.函数y=sin Z 的单调递增区间是［2π-+2kπ,2π+2kπ］.由-2π+2kπ≤21x+3π≤2π+2kπ,得35π-+4kπ≤x≤3π+4kπ,k∈Z .由x∈［-2π,2π］可知,-2π≤35π-+4kπ且3π+4kπ≤2π,于是121-≤k≤125,由于k∈Z ,所以k=0,即35π-≤x≤3π,而［35π-,3π］［-2π,2π］,因此,函数y=sin(2x +3π),x∈[-2π,2π]的单调递增区间是［35π-, 3π］.小结：1.由学生回顾归纳并说出本节学习了哪些数学知识,学习了哪些数学思想方法.这节课我们研究了正弦函数、余弦函数的性质.重点是掌握正弦函数的性质,通过对两个函数从定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、增减性、对称性等几方面的研究,更加深了我们对这两个函数的理解.同时也巩固了上节课所学的正弦函数,余弦函数的图象的画法.2.进一步熟悉了数形结合的思想方法,转化与化归的思想方法,类比思想的方法及观察、归纳、特殊到一般的辩证统一的观点. 作业：同步练习 课后反思：1.本节是三角函数的重点内容,设计的容量较大,指导思想是让学生在课堂上充分探究、大量活动.作为函数的性质,从初中就开始学习,到高中学习了幂函数、指数、对数函数后有了较深的认识,这是高中所学的最后一个基本初等函数.但由于以前所学的函数不是周期函数,所以理解较为容易,而正弦函数、余弦函数除具有以前所学函数的共性外,又有其特殊性,共性中包含特性,特性又离不开共性,这种普通性与特殊性的关系通过教学应让学生有所领悟.2.在讲完正弦函数性质的基础上,应着重引导学生用类比的方法写出余弦函数的性质,以加深他们对两个函数的区别与联系的认识,并在解题中突出数形结合思想,在训练中降低变化技巧的难度,提高应用图象与性质解题的力度.较好地利用图象解决问题,这也是本节课主要强调的数学思想方法.。
正弦余弦函数的性质奇偶_单调_对称性
正弦函数在每个闭区间[
2k ,
2k ]( k Z )
探究：余弦函数的单调性 y
1
3 5 2
2 3
2
2
O
2
1
3 2
2
5 2
3
x
[，、 0] [， 2 ][3 , 4 ] 上时， 当x在区间[3 , 2 ]、
曲线逐渐上升，cosα的值由 1 增大到1 。
10 18 18 10 17 17 23 23 3 cos( ) cos cos (2)、 cos( ) cos cos 5 5 5 4 4 4 3 0 , 且y cos x在[0, ]上是减函数 4 5 3 3 y
cos
(1)cos x 0 : (2)cos x 0 :
3 5 2
2 3
2
(
2
2
O
2k
1
,
2
2
3 2
2
5 2
3
x
2k ) 2k )
kZ kZ
3 ( 2k , 2 2
探究：正弦函数的最大值和最小值 y
1
3 5 2
2 3
三角函数
1.4.2正弦函数余弦函数的性质 （二）
1.周期性（复习）
(1) y sin x
T 2
2 y A sin( x ) T | |
(2) y cos x
T 2
2 y A cos( x ) T | |
定义域和值域
y
1
3 5 2
正余弦函数的性质
[ −π +2kπ, 2kπ],k∈Z π π ∈ [2kπ, 2kπ + π], k∈Z π π ∈
正弦、 正弦、余弦函数的单调性
不通过求值，指出下列各式大于0 例3 不通过求值，指出下列各式大于 π π 还是小于0 (1) sin( − ) – sin( − 18 ) 还是小于 解：
∵
−
π
2
<−
正弦、余弦函数的奇偶性、 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
小 结：
函数 奇偶性 [− 正弦函数 奇函数 [
π
2
单调性（单调区间） 单调性（单调区间）
π
+2kπ, 2 +2kπ],k∈Z 单调递增 π π ∈ +2kπ, π
3π 2
π
2
+2kπ],k∈Z 单调递减 π ∈ 单调递增 单调递减
余弦函数
偶函数
正弦、余弦函数的定义域、 正弦、余弦函数的定义域、值域
例1：求下列函数的定义域 （1 y = ） − 2 sin x （2） y = lg cos x
练习： 练习：求下列函数的定 义域 y = cos 2 x
例 2 ：求下列函数的值域 （1 y = 2 + sin x ( x ∈ R ) ） ( 2 ) y = 3 + 2 sin x ( x ∈ [ −
π− π
π π
正弦、余弦函数的奇偶性、 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
余弦函数的单调性
y
1 -3π
5π − 2
-2π
3π − 2
-π
−
π
2
o
-1
π
2
π
3π 2
2π
5π 2
正弦,余弦函数的单调性和奇偶性
04
正弦、余弦函数的应用举例
利用正弦、余弦函数的单调性求最值
单调性
正弦函数在$[0, \pi]$上单调递增，在$[\pi, 2\pi]$上单调递减；余弦函数在$[0, \pi]$ 上单调递减，在$[\pi, 2\pi]$上单调递增。
求最值
利用正弦、余弦函数的单调性，可以求出函数在某个区间上的最大值和最小值。例如， 对于正弦函数$y = \sin x$，在$[0, \frac{\pi}{2}]$上单调递增，所以当$x =
对于余弦函数，同样可以根据其周期 性和相位来判断其在任意区间上的单 调性。
03
正弦、余弦函数的奇偶性
正弦函数的奇偶性
奇函数
正弦函数是奇函数，因为对于任意x， 都有sin(-x)=-sin(x)。
偶函数
正弦函数也是偶函数，因为对于任意x ，都有sin(x)=sin(-x)。
余弦函数的奇偶性
• 偶函数：余弦函数是偶函数，因为对于任 意x，都有cos(-x)=cos(x)。
02
正弦、余弦函数的单调性
正弦函数的单调性
增区间
正弦函数在$[-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi], k \in Z$上是增函 数。
减区间
正弦函数在$[\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi], k \in Z$上是减函 数。
单调性
在区间$[0, \pi]$上，余弦函数是单调递减的；在区间$[\pi, 2\pi]$ 上，余弦函数是单调递增的。
正弦、余弦函数的定义域和值域
定义域
正弦函数的定义域为$x \in \mathbb{R}$；余弦函数的定义域 为$x \in \mathbb{R}$。
三角函数正弦余弦正切
三角函数正弦余弦正切三角函数是数学中的重要概念，包括正弦、余弦和正切。
它们在数学、物理和工程等领域有广泛的应用。
本文将对三角函数的定义、性质和应用进行详细论述。
一、正弦函数正弦函数是三角函数中的一种，表示为sin(x)，其中x为角度。
正弦函数的定义域是实数集，值域为[-1, 1]。
正弦函数具有以下性质：1. 周期性：正弦函数是周期函数，其最小正周期是2π，即sin(x) = sin(x+2πk)，其中k为整数。
2. 对称性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)，表示在原点处关于y轴对称。
3. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)，表示在原点处关于原点对称。
4. 单调性：在定义域内，正弦函数在每个周期内都是单调递增或单调递减的。
5. 正弦函数的图像是一个周期为2π的连续波形，以y轴为中心对称。
正弦函数在几何、物理、电路等领域有广泛的应用，如波动、振动、交流电等的描述和计算中都会用到。
二、余弦函数余弦函数是三角函数中的另一种，表示为cos(x)，其中x为角度。
余弦函数的定义域是实数集，值域为[-1, 1]。
余弦函数具有以下性质：1. 周期性：余弦函数是周期函数，其最小正周期是2π，即cos(x) = cos(x+2πk)，其中k为整数。
2. 对称性：余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)，表示在原点处关于y轴对称。
3. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)，表示在原点处关于原点对称。
4. 单调性：在定义域内，余弦函数在每个周期内都是单调递减的。
5. 余弦函数的图像是一个周期为2π的连续波形，以y轴为中心对称。
余弦函数在几何、物理、信号处理等领域有广泛的应用，如描述分析力学中的运动规律、计算交流电路中的电流和电压等。
三、正切函数正切函数是三角函数中的另一种，表示为tan(x)，其中x为角度。
正切函数的定义域是实数集，值域为整个实数集。
(最新整理)正弦函数余弦函数的单调性奇偶性最值
2021/7/26
4
人教A版必修四·新课标·数 学
版块导航
点此进入
2021/7/26
点此进入
点此进入
5
人教A版必修四·新课标·数 学
版块导航
2021/7/26
6
人教A版必修四·新课标·数 学
知识预览
1．正、余弦函数的奇偶性 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．
版块导航
2021/7/26
7
人教A版必修四·新课标·数 学
∴cosπ8<cosπ9，即
17π 37π cos 8 <cos 9 .
2021/7/2632人教A版必Fra bibliotek四·新课标·数 学
版块导航
正、余弦函数的最值问题 【例 4】 求下列函数的最大值和最小值： (1)y＝3＋2cos(2x＋π3)； (2)y＝3cos2x－4cosx＋1，x∈[π3，23π]； (3)y＝ssiinnxx－ ＋12.
29
人教A版必修四·新课标·数 学
版块导航
规律归纳 关于三角函数值大小比较的方法 (1)比较同名三角函数值的大小，关键是考查同一单调区间 上的同名三角函数的单调性，由自变量的大小确定函数值的大 小． (2)比较不同名的三角函数的大小，应先根据诱导公式化为 同名三角函数，然后再进行比较．
2021/7/26
2021/7/26
26
人教A版必修四·新课标·数 学
版块导航
2.求函数 y＝3cos(3x－4π)的单调区间． 解：令 2kπ＋π≤3x－π4≤2kπ＋2π，则 2kπ＋54π≤3x≤2kπ ＋94π，即23kπ＋51π2≤x≤23kπ＋34π，于是函数的单调递增区间 为[23kπ＋51π2，23kπ＋34π]，k∈Z，同理可求得其单调递减区间 为[23kπ＋1π2，23kπ＋51π2]，k∈Z.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§1.4.2 正、余弦函数的奇偶性、单调性
学习目标：1.掌握正、余弦函数的有关性质并会运用.
2.熟记正、余弦函数的单调区间，并利用单调性解题. 学习重点：三角函数的值域、奇偶性、单调性. 学习难点：求三角函数的单调区间，根据图象求值. 学习过程：
一、情境设置
在已学过的内容中，我们要研究一个函数，往往从哪些方面入手？ 二、探究研究
问题1.在同一直角坐标系中作y=sinx,y=cosx (x ∈R)的图象，观察它们的图象，你能得到一些什么性质？分别列出y=sinx, y=cosx x ∈R 的图象与性质
问题2.观察y=sinx, y=cosx x ∈R 图象，探求y=sinx, y=cosx 的对称中心及对称轴. 三、教学精讲
例1：求下列函数的最大值及取得最大值时x 的集合 (1)3
cos x y = (2)x y 2sin 2-= 变式训练：（1）若)3
cos(x
y -
=呢？ 变式训练：（2）若|2sin |2x y -=呢？
例2:判断下列函数奇偶性
（1）f(x)=1-cosx （2）g(x)=x-sinx 变式训练：3、判断下列函数的奇偶性： ⑴x x x f cos |sin |)(⋅=： ； ⑵x x x f +=3tan )(： ⑶x x x f cos )(+=： . 例3 .求)3
2sin(π+
=x y 的单调增区间
变式训练：（1）求)3
2cos(π+
=x y 的单调增区间 （2）求)3
2sin(π+-=x y 的单调增区间
（3）求)6
2cos()3
2sin(ππ
-
++
=x x y 的单调增区间
例4.求下列函数的值域
（1）x y 2sin 23-= （2）x x y sin |sin |+= （3）2sin 2cos 2-+=x x y
（4）x
x x y sin 1cos sin 22+=
（5）⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡-∈+=6,6
),3
2sin(2πππx x y
变式训练：1.已知
b
x a x f +-
=)3
2sin(2)(π的定义域为[0，
2
π]，函数的最大
值为1，最小值为-5，求a,b 的值.
2
1π5
4sin π4
5cos -
π5
32
sin π12
5cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ23,2⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ2,23,2,0⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ2,23,2,0⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡ππ23,22.求当2
32cos sin 2--
+=a x a x y 的最大值为1时a 的值.
四、巩固练习
1、.函数y=sinx,y ≥ 时自变量x 的集合是_________________.
2、.把下列三角函数值从小到大排列起来为：_____________________________
， ， ， 3、.函数x 2sin 2y =的奇偶数性为（ ）. A. 奇函数 B. 偶函数
C ．既奇又偶函数 D. 非奇非偶函数
4、下列四个函数中，既是 上的增函数，又是以π为周期的偶函
数的是（ ）.
A. sinx y =
B. y=x 2sin
C. cosx y =
D.x 2cos y = 5、函数[]π2,0x cosx,3
2
y ∈-=，其单调性是（ ）.
A. 在[]
π,0上是增函数，在[],2ππ上是减函数 B. 在 上是增函数，在 上分别是减函数 C. 在[]ππ2，上是增函数，在[]π,0上是减函数
D. 在 是增函数，在 上是减函数 五、小结反思：
⑴正、余弦函数的定义域、值域、有界性、单调性、奇偶性、周期性等都可以在图象上被充分地反映出来，所以正、余弦函数的图象十分重要.
⑵结合图象解题是数学中常用的方法. 六、作业布置：课本习题1.4 七．板书设计
）（2
,0π
十八班的苑美婷、郭敏双、葛玉静、岳喜福同学作业写的很好，值得表扬！下节课一定予以表扬。
最近有郝阳、梁美浩、张保腾同学进步很大，能上课积极回答问题了；刘新、孟祥楠也能张口问问题了，要多加赞扬。