正、余弦函数图像和性质(奇偶性,单调性)
高二数学余弦函数、正切函数的图像与性质1
牙刷模样的骨骼确实非常迷离而与众不同，那种优雅的暗绿色鸡爪一般的神态真的有些冷酷又酷野。…………那个身穿破旧的灵冰衫的精英是
爱瓜乌保镖。他出生在
Ｄ．日西日世界的钢轨湖，绰号：八腿驴肾！年龄看上去大约十岁左右，但实际年龄足有一千多岁，身高两米左右，体重足有一百五十多公斤。此人最善使用的兵器是『白风
摇精水波矛』，有一身奇特的武功『粉雨蚌圣旋风爪』，看家的魔法是『灰影缸魔船舷语录』，另外身上还带着一件奇异的法宝『青金疯圣龟壳囊』。他有着平常的白象牙色
土豆形态的身材和有些魔法的浅黑色萝卜模样的皮肤，似乎有点猛爆而霸气，他头上是神气的淡黄色谷堆般的头发，戴着一顶崭新的墨灰色谷堆似的弹弓雪影盔，他上穿破旧
的暗红色熊猫一样的试管枫翠灵冰衫，下穿古怪的的亮白色犀牛一样的面包云舞围腰，脚穿古怪的暗橙色怪石一样的冬瓜微宫鞋……有时很喜欢露出露着尖细的粉红色烟囱般
美如匕首一般的腿确实非常震撼原始，变异的美如轻盈一般的脚认为很是冷酷酷野，她高大的美如野象一般的屁股似乎有点飘然但又露出一种隐约的阴森！腰间一条，怪异的
墨紫色玩具一般的腰带的确绝对的潇洒却又透着一丝罕见。这个妹妹说话时有种怪异的深紫色杏仁造型的声音，高兴时会散发出散发的淡白色药锅般的气味。她突兀的深蓝色
法”作图方法;五点法:五个点是0,1,
2
,0 ,
,1,
3 2
,0 , 2
,0
仿正弦函数探讨余弦函数的性质.
2.应用“五点法”作与正弦、余弦函数有关的 函数的图象(如y=1+sinx,y=2cosx的图象）
色的光甲！紧接着巨大的古树闪臂魔甩动有些凌乱的酷的卷曲头发一笑，露出一副虚幻的神色，接着转动活跃有神的肩膀，像纯黑色的百尾旷野蟒般的一抛，凸凹的瘦长的灵
中学数学 三角函数的图像及性质-拔高难度-讲义
三角函数的图像及性质知识讲解一、三角函数的图像和性质1.正弦函数图像和性质1）图像：2）定义域：R 3）值域：[11]，4）单调性：[22]22x k k ππππ，（k Z ）增函数3[22]22x k k ππππ，（k Z ）减函数5）奇偶性：奇函数 6）最小正周期：2π7）对称性：对称轴2xk k Zππ，；对称中心(0)k k Z π，，．2.余弦函数图像和性质1）图像xy -11-2π-π2ππo-3π3π-ππy 12）定义域：R 3）值域：[11]，4）单调性：[22]x k k πππ，（k Z ）增函数 [22]x k k πππ，（kZ ）减函数5）奇偶性：偶函数 6）最小正周期：2π7）对称性：对称轴xk kZ π，；对称中心(0)2k k Zππ，，．3.正切函数图像和性质1）定义域：{|}2x xk k Z ππ，2）值域：R3）单调性：在()22k k ππππ，（k Z ）增函数．4）奇偶性：奇函数 5）最小正周期：π6）对称性：对称中心(0)2k kZπ，，．二、三角函数的图像变换三角函数的几种变换：1）平移变换：函数sin()(0)y xϕϕ的图像可以看做将函数sin y x 的图像上的所有的点向左（当0ϕ时）或向右（当0ϕ时）平移ϕ个单位而得到．2）周期变换：函数sin()y xωϕ（0ω且1ω）的图像可以看做是把sin()yxϕ的图像上所有的点的横坐标缩短为（当1ω时）或伸长（当01ω时）到原来的1ω倍（纵坐标不变）而得到． 3）振幅变换：函数sin()yA xωϕ（0A 且1A ）的图像可以看做是将sin()yx ωϕ的图像上所有的点的纵坐标伸长（当1A 时）或缩短（当1A 时）到原来的A 倍（横坐标不变）而得到．经典例题一．填空题（共4小题）1．（2015春•建瓯市校级期末）函数f（x）=sin2x+2√3cos2x﹣√3，函数g（x）=mcos（2x﹣π6）﹣2m+3（m＞0），若对所有的x2∈[0，π4]总存在x1∈[0，π4]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数m的取值范围是[1，43]．【解答】解：∵f（x）=sin2x+√3（2cos2x﹣1）=sin2x+√3cos2x=2sin（2x+π3），当x∈[0，π4]，2x+π3∈[π3，5π6]，∴sin（2x+π3）∈[1，2]，∴f（x）∈[1，2]．对于g（x）=mcos（2x﹣π6）﹣2m+3（m＞0），2x﹣π6∈[﹣π6，π3]，mcos（2x﹣π6）∈[m2，m]，∴g（x）∈[﹣3m2+3，3﹣m]．由于对所有的x2∈[0，π4]总存在x1∈[0，π4]，使得f（x1）=g（x2）成立，可得[﹣3m2+3，3﹣m]⊆[1，2]，故有3﹣m≤2，﹣3m2+3≥1，解得实数m的取值范围是[1，43]．故答案为：[1，43]．2．（2013秋•滨江区校级期末）关于x的不等式（sinx+1）|sinx﹣m|+12≥m对x∈[0，π2]恒成立，则实数m的取值范围是（﹣∞，12]∪[32，+∞）．【解答】解：∵x∈[0，π2]，∴sinx∈[0，1]，当m＞1时，原不等式可化为：（sinx+1）（m﹣sinx）+12≥m，整理得：msinx﹣sin2x﹣sinx+12≥0恒成立；令sinx=t （0≤t ≤1），g （t ）=﹣t 2+（m ﹣1）t +12，要使g （t ）=﹣t 2+（m ﹣1）t +12≥0（0≤t ≤1）恒成立， 必须{g(0)≥0g(1)≥0，即{12≥0−2+m +12≥0，解得m ≥32；①当m ＜0时，原不等式可化为：（sinx +1）（sinx ﹣m ）+12≥m ，整理得：sin 2x ﹣（m ﹣1）sinx ﹣2m +12≥0，令h （t ）=t 2﹣（m ﹣1）t ﹣2m +12≥0（0≤t ≤1），要使t 2﹣（m ﹣1）t ﹣2m +12≥0（0≤t ≤1）恒成立， 应有{ℎ(0)≥0ℎ(1)≥0，解得：m ≤14，∴m ＜0；②当0≤m ≤1时，（sinx +1）|sinx ﹣m |+12≥m 对x ∈[0，π2]恒成立⇔m ≤（sinx +1）|sinx ﹣m |+12恒成立，令t （x ）=（sinx +1）|sinx ﹣m |+12，m ≤t （x ）min ，当sinx=m 时，t （x ）min =12，∴m ≤12，又0≤m ≤1，∴0≤m ≤12；③由①②③得：m ≤12或m ≥32，∴实数m 的取值范围是：（﹣∞，12]∪[32，+∞）．故答案为：（﹣∞，12]∪[32，+∞）．3．已知x ∈R ，则函数f （x ）=max {sinx ，cosx 2}的最大值与最小值的和等于1﹣√22．【解答】解：√2=sin(x+π4)，作出三个函数在一个周期内的图象如图：则f（x）对应的图象为三个图象中最上面的部分．则由图象可知当x=0时，函数f（x）取得最大值1，当x=5π4时，函数f（x）取得最小值−√22，故最大值和最小值之和为1−√22，故答案为：1−√22．4．（2011春•东港区校级期末）下列说法：①函数f(x)=2cos2(π4−x)−1是最小正周期为π的偶函数；②函数y=cos(π4−2x)+1可以改写为y=sin(π4+2x)+1；③函数y=cos(π4−2x)+1的图象关于直线x=5π8对称；④函数y=tanx的图象的所有的对称中心为（kπ，0），k∈Z；⑤将函数y=sin2x的图象先向左平移π4个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，所得图象的函数解析式是y=sin(x+π4)；其中所有正确的命题的序号是②③．（请将正确的序号填在横线上）【解答】解：①函数f(x)=2cos2(π4−x)−1=cos （π2﹣2x ）=sin2x ，∵ω=2，∴T=2π2=π，又正弦函数为奇函数，∴f （x ）为奇函数， 则f （x ）为周期为π的奇函数，本选项错误；②函数y =cos(π4−2x)+1=cos [π2﹣（π4+2x ）]+1=sin （π4+2x ）+1，本选项正确；③函数y =cos(π4−2x)+1=cos [π2﹣（π4+2x ）]=sin （π4+2x ），令π4+2x=kπ，（k ∈Z ） 解得x=kπ2﹣π8，∵k=4时，x=5π8，则函数图象关于直线x =5π8对称，本选项正确；④tan （﹣x ）=﹣tanx ，因此正切函数是奇函数，因而原点（0，0）是它的对称中心．又因为正切函数的周期是π，所以点（kπ，0）都是它的对称中心．平移坐标系，使原点（0，0）移到（ π2，0）得到y=tan （x +π2）=﹣cotx ，依旧是奇函数，所以在新坐标系中点（kπ，0）也是对称中心，返回原坐标系，这些点的原坐标是（kπ﹣π2，0）综合到一起就得到对称中心是（k π2+π2，0）．（k 是整数），本选项错误；⑤将函数y=sin2x 的图象先向左平移π4个单位，得到y=sin2（x +π4），然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，所得图象的函数解析式为y=sin2（12x +π4）=sin （x +π2）≠sin(x +π4)，本选项错误，则正确选项的序号为：②③． 故答案为：②③二．解答题（共14小题）5．（2017秋•天津期末）已知函数f(x)=√2cos(4x −π4)+1．（Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅰ）求函数f （x ）的对称轴和对称中心．【解答】解：（Ⅰ）函数f(x)=√2cos(4x −π4)+1中， 令π+2kπ≤4x −π4≤2π+2kπ，得5π16+kπ2≤x ≤9π16+kπ2， ∴f （x ）的单调递增区间为：[5π16+kπ2，9π16+kπ2](k ∈Z)， 令2kπ≤4x −π4≤π+2kπ，得π16+kπ2≤x ≤5π16+kπ2， ∴f （x ）的单调递减区间为：[π16+kπ2，5π16+kπ2](k ∈Z)； （Ⅰ）令4x −π4=kπ，得x =π16+kπ4，∴f （x ）的对称轴方程为：x =π16+kπ4(k ∈Z)； 令4x −π4=π2+kπ，得x =3π16+kπ4，∴f （x ）的对称中心为：(3π16+kπ4，1)(k ∈Z)．（注：单调区间写开区间不扣分；k ∈Z 不写扣1分）6．（2017秋•双流县校级月考）已知函数f （x ）=sin （ωx +π4），其中ω＞0（1）若对任意x ∈R 都有f （x ）≤f （5π12），求ω的最小值；（2）若函数y=f （x ）在区间（π2，π）上单调递减，求ω的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由对任意x ∈R 都有f （x ）≤f （5π12），知f （x ）在x=5π12处取得最大值，∴5π12ω+π4=π2+2kπ，k ∈Z ； 解得ω=35+245k ，k ∈Z ，又∵ω＞0，∴当k=0时，ω的最小值为35；（Ⅰ）设t=ωx +π4，x ∈（π2，π），∴t ∈（ωπ2+π4，ωx +π4），由已知（ωπ2+π4，ωπ+π4）⊆[π2+2kπ，3π2+2kπ]，k ∈Z ；∴{ωπ2+π4≥π2+2kπωπ+π4≤3π2+2kπ， 解得{ω≥4k +12ω≤2k +54，又ω＞0，∴{4k +12≤2k +542k +54＞0，解得﹣58≤k ≤38，∴k=0，∴ω的取值范围是12≤ω≤54．7．（2016秋•金华期末）设函数f （x ）=4sinx （cosx ﹣sinx ）+3 （Ⅰ）当x ∈（0，π）时，求f （x ）的单调递减区间；（Ⅰ）若f （x ）在[0，θ]上的值域为[0，2√2+1]，求cos2θ的值． 【解答】解：（Ⅰ）函数f （x ）=4sinx （cosx ﹣sinx ）+3 =4sinxcosx ﹣4sin 2x +3=2sin2x ﹣4×1−cos2x2+3=2sin2x +2cos2x +1=2√2sin （2x +π4）+1，令2kπ+π2≤2x +π4≤2kπ+3π2，k ∈Z ，解得kπ+π8≤x ≤kπ+5π8，k ∈Z ，又x ∈（0，π），所以f （x ）的单调递减区间是[π8，5π8]；（Ⅰ）由f （x ）=2√2sin （2x +π4）+1在[0，θ]上的值域为[0，2√2+1]，令x=0，得f （0）=2√2sin π4+1=3；令f （x ）=2√2+1，得sin （2x +π4）=1，解得x=π8，∴θ＞π8；令f （x ）=0，得sin （2x +π4）=﹣√24，∴2x +π4＜3π2，解得x ＜5π8，即θ＜5π8；∴θ∈（π8，5π8），∴2θ+π4∈（π2，3π2）；由2√2sin （2θ+π4）+1=0，得sin （2θ+π4）=﹣√24，所以cos （2θ+π4）=﹣√1−(−√24)2=﹣√144， 所以cos2θ=cos [（2θ+π4）﹣π4]=cos （2θ+π4）cos π4+sin （2θ+π4）sin π4=﹣√144×√22+（﹣√24）×√22=﹣√7+14．8．（2017春•长安区校级期中）设函数f(x)=√22cos(2x +π4)+sin 2x （1）求f （x ）的最小正周期；（2）当x ∈[π6，π3]时，求f （x ）的最大值和最小值． 【解答】解：（1）函数f(x)=√22cos(2x +π4)+sin 2x=√22（cos2xcos π4﹣sin2xsin π4）+sin 2x =12（cos2x ﹣sin2x ）+1−cos2x 2 =﹣12sin2x +12；∴f （x ）的最小正周期为T=2π2=π；（2）当x ∈[π6，π3]时，2x ∈[π3，2π3]，∴sin2x ∈[√32，1]，∴﹣12sin2x +12∈[0，2−√34]，即f（x）的最大值为2−√34，最小值为0．9．（2018•上海二模）已知函数f（x）=2sin2x+sin（2x+π6）．（1）求函数f（x）的最小正周期和值域；（2）设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB=13，f（A）=2，求sinC的值．【解答】解：（1）∵f（x）=2sin2x+sin（2x+π6）=1﹣cos2x+sin2xcosπ6+cos2xsinπ6=√32sin2x−12cos2x+1=sin(2x−π6)+1．∴T=2π2=π，∵﹣1≤sin(2x−π6)≤1，∴函数值域为[0，2]；（2）∵A，B，C为△ABC的三个内角，∴由cosB=13，得sinB=2√23，又f（A）=2，即sin(2A−π6)+1=2，则sin(2A−π6)=1，∴2A−π6=π2，得A=π3．∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=√32×13+12×2√23=2√2+√36．10．（2017•浙江二模）已知直线x=5π18是函数f（x）=sin（3x+φ）（﹣π＜φ＜0）图象的一条对称轴．（1）求φ；（2）求函数y=f（x）+f（π6﹣x），x∈（0，π3）的值域．【解答】解：（1）∵直线x=5π18是函数f（x）=sin（3x+φ）（﹣π＜φ＜0）图象的一条对称轴，∴3•5π18+φ=kπ+π2，k ∈Z ，∴φ=﹣π3，f （x ）=sin （3x ﹣π3）． （2）函数y=f （x ）+f （π6﹣x ）=sin （3x ﹣π3）+sin [3（π6﹣x ）﹣π3]=sin （3x ﹣π3）+cos （3x +π3）=12sin3x ﹣√32cos3x +12cos3x ﹣√32sin3x=1−√32sin3x +1−√32cos3x=√2−√62sin （3x +π4）， ∵x ∈（0，π3），∴3x +π4∈（π4，5π4），∴sin （3x +π4）∈（﹣√22，1]，∴y ∈[√2−√62，√3−12）．11．（2018•温州二模）如图，已知函数f （x ）=sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的图象与坐标轴交于点A ，B ，C （−12，0），直线BC 交f （x ）的图象于另一点D ，O 是△ABD 的重心． （Ⅰ）求φ；（Ⅰ）求△ACD 的外接圆的半径．【解答】解：（Ⅰ）∵O 是△ABD 的重心，C （﹣12，0），∴A （1，0），故函数f （x ）的最小正周期为3，即2πω=3，解得ω=2π3，……………………（3分） f （﹣12）=sin [2π3×（﹣12）+φ]=sin （﹣π3+φ）=0，∴φ=π3； ……………………（6分）（Ⅰ）由（Ⅰ）知f （x ）=sin （2π3x +π3），∴B （0，√32）且C （﹣12，0），∴∠BCO=60°； ……………………（8分）∵C （﹣12，0）是BD 的中点，∴D （﹣1，﹣√32），……………………（10分）∴AD=√4+34=√192； ……………………（11分）∴2R=ADsin∠ACD =√192sin120°=√573，∴外接圆半径R=√576．…………………………（14分）12．（2018春•吉林期中）已知定义在区间[−π，23π]上的函数y=f （x ）的图象关于直线x =−π6对称，当x ∈[−π6，23π]时，函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，−π2＜φ＜π2)，其图象如图所示．（1）求函数y=f （x ）在[−π，23π]的表达式；（2）求方程f(x)=√32解的集合；（3）求不等式f(x)≥√22的解集．【解答】解：（1）当x ∈[−π6，23π]时，函数f （x ）=Asin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，−π2＜φ＜π2），观察图象易得：A=1，ω=1，φ=π3，则函数f(x)=sin(x +π3)，由函数y=f （x ）的图象关于直线x =−π6对称得，x ∈[−π，−π6]时，函数f （x ）=﹣sinx ，∴f(x)={sin(x +π3)x ∈[−π6，2π3]−sinxx ∈[−π，−π6]；（2）当x ∈[−π6，2π3]时，由sin(x +π3)=√32，得x +π3=π3或2π3，解得x=0或x =π3；当x ∈[−π，−π6]时，由−sinx =√32得，x =−2π3或x =−π3；∴方程f(x)=√32的解集为{−2π3，−π3，0，π3}；（3）不等式f(x)≥√22，当x ∈[﹣π6，2π3]时，sin （x +π3）≥√22，∴3π4≥x +π3≥π4，解得5π12≥x ≥﹣π12；当x ∈[﹣π，﹣π6]时，﹣sinx ≥√22，∴﹣3π4≤x ≤﹣π4；综上，不等式的解集为[−3π4，−π4]∪[−π12，5π12]．13．（2018•奉贤区二模）某旅游区每年各个月份接待游客的人数近似地满足周期性规律，因而第n 个月从事旅游服务工作的人数f （n ）可近似地用函数f （n ）=Acos （wn +θ）+k 来刻画，其中正整数n 表示月份且n ∈[1，12]，例如n=1表示1月份，A 和k 是正整数，w ＞0，θ∈（0，π）．统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：①每年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；②该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差400人；③2月份该地区从事旅游服务工作的人数为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．（1）试根据已知信息，求f （n ）的表达式；（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数在400或400以上时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”，那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由．【解答】解：（1）根据题意知，T=12，∴ω=2π12=π6；又{A +k =500k −A =100，解得{A =200k =300，由π6×2+θ=﹣π+2kπ，k ∈Z ； 解得θ=﹣4π3+2kπ，k ∈Z ；又θ∈（0，π），∴θ=2π3；∴函数f （n ）=200cos （π6n +2π3）+300；（2）令f （n ）=200cos （π6n +2π3）+300≥400，化简得cos （π6n +2π3）≥12，即﹣π3+2kπ≤π6n +2π3≤π3+2kπ，k ∈Z ，解得n ∈[12k ﹣6，12k ﹣2]，k ∈Z ； 又n ∈[1，12]， ∴n ∈[6，10]，∴取n=6，7，8，9，10；即一年中6、7、8、9、10月是该地区的旅游“旺季”．14．（2018•徐汇区一模）如图是函数f （x ）=Asin （ωx +φ），（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）图象的一部分，M 、N 是它与x 轴的两个交点，C 、D 分别为它的最高点和最低点，E （0，1）是线段MC 的中点，（1）若点M 的坐标为（﹣1，0），求点C 、点N 和点D 的坐标 （2）若点M 的坐标为（﹣m ，0）（m ＞0），MC →⋅MD →=3π24−4，试确定函数f（x ）的解析式．【解答】解：（1）设点C （a ，b ），由中点坐标公式得{a+(−1)2=0b+02=1，解得a=1，b=2，∴点C （1，2），∴点N （3，0），点D （5，﹣2）；（2）同样由E （0，1）是线段MC 的中点，得A=2， 由M （﹣m ，0），得C （m ，2），D （5m ，﹣2）； ∴MC →•MD →=2m•6m +2×（﹣2）=12m 2﹣4， 又MC →•MD →=3π24﹣4，∴12m 2=3π24，解得m=π4；由T=2πω=8m=2π，解得ω=1，∴φ=π4；∴函数f （x ）的解析式为f （x ）=2sin （x +π4）．15．（2018•江苏模拟）某海警基地码头O 的正东方向40海里处有海礁界碑M ，过点M 且与OM 成30°角（即北偏西60°）的直线l 在此处的一段为领海与公海的分界线（如图所示），在码头O 北偏东60°方向领海海面上的A 处发现有一艘疑似走私船（可疑船）停留．基地指挥部决定在测定可疑船的行驶方向后，海警巡逻艇从O 处即刻出发，按计算确定方向以可疑船速度的2倍航速前去拦截，假定巡逻艇和可疑船在拦截过程中均未改变航向航速，将在P 处恰好截获可疑船． （1）如果O 和A 相距6海里，求可疑船倍截获的P 点的轨迹；（2）若要确保在领海内捕获可疑船（即P 不能在公海上），则O 、A 之间的最大距离是多少海里？【解答】解：（1）由题意知点A （6cos3°，6sin30°），即A （3√3，3）； 设走私船能被截获的点为P （x ，y ）， 则|OP |=2|AP |，即√x 2+y 2=2√(x −3√3)2+(y −3)2， 整理得：（x ﹣4√3）2+（y ﹣4）2=16．∴走私船能被截获的点的轨迹是以（4√3，4）为圆心，以4为半径的圆；（2）由题意知，直线l 的方程为y=﹣√33（x ﹣40），即√3x +3y ﹣40√3=0；设|OA |=t ，则A （√32t ，12t ）（t ＞0），设走私船能被截获的点为P （x ，y ），则|OP |=2|AP |， ∴√x 2+y 2=2√(x −√32t)2+(y −12t)2， 整理得：（x ﹣2√33t ）2+（y ﹣23t ）2=49t 2，∴走私船能被截获的点的轨迹是以C （2√33t ，23t ）为圆心，以23t 为半径的圆．若保证在领海内捕获走私船，则圆心C 到直线l 的距离d ≥r ；即|√3×2√33t+3×23t−40√3|√3+9≥23t ，整理得t 2﹣30√3t +450≥0，解得t ≤15（√3﹣1）或t ≥15（√3+1）（不合题意，舍去）， ∴O ，A 之间的最远距离是15（√3﹣1）海里．16．（2017秋•宜昌期末）如图为函数f （x ）=Asin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2，x ∈R ）的部分图象． （1）求函数解析式；（2）求函数f （x ）的单调递增区间；（3）若方程f （x ）=m 在[−π2，0]上有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围．【解答】解：（1）由题中的图象知，A=2，T4=π3−π12=π4，即T=π，所以ω=2πT=2，根据五点作图法，令2×π12+φ=π2+2kπ，k∈Z，得到φ=π3+2kπ，k∈Z，因为|φ|＜π2，所以φ=π3，解析式为f(x)=2sin(2x+π3)．…（5分）（2）令2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，k∈Z，解得kπ−5π12≤x≤kπ+π12，k∈Z，所以f（x）的单调递增区间为[kπ−5π12，kπ+π12]，k∈Z．…（9分）（3）由f(x)=2sin(2x+π3)在[−π2，0]上的图象如图知，当m∈(−2，−√3]上有两个不同的实根．…（12分）17．（2017春•新余期末）已知函数f(x)=sin(2x+π6)+sin(2x−π6)+cos2x+a（a∈R，a为常数）．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅰ）求函数的单调递减区间；（Ⅰ）若x ∈[0，π2]时，f （x ）的最小值为﹣2，求a 的值．【解答】解：（I ）f(x)=2sin2xcos π6+cos2x +a =√3sin2x +cos2x +a =2sin(2x +π6)+a∴f （x ）的最小正周期，T=2πω=2π2=π（II ）因为y=sinx 的减区间为：2kπ+π2≤x ≤2kπ+3π2，k ∈Z所以2kπ+π2≤2x +π6≤2kπ+3π2即kπ+π6≤x ≤kπ+2π3（k ∈Z ）时，函数f（x ）单调递减，故所求区间为[kπ+π6，kπ+2π3](k ∈Z)（III ）x ∈[0，π2]时，2x +π6∈[π6，7π6]∴x =π2时f （x ）取得最小值∴2sin (2⋅π2+π6)+a =−2×12+a =−2∴a =−1．18．（2017春•新余期末）设a →=(sin2π+2x 4，cosx +sinx)，b →=（4sinx ，cosx ﹣sinx ），f （x ）=a →•b →．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）已知常数ω＞0，若y=f （ωx ）在区间[−π2，2π3]是增函数，求ω的取值范围；（3）设集合A={x|π6≤x ≤2π3}，B={x ||f （x ）﹣m |＜2}，若A ⊆B ，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）f （x ）=sin 2π+2x 4•4sinx +（cosx +sinx ）•（cosx ﹣sinx ） =4sinx•1−cos(π2+x)2+cos2x=2sinx （1+sinx ）+1﹣2sin 2x=2sinx +1，∴f （x ）=2sinx +1．（2）∵f （ωx ）=2sinωx +1，ω＞0．由2kπ﹣π2≤ωx ≤2kπ+π2， 得f （ωx ）的增区间是(2kπω−π2ω，2kπω+π2ω)，k ∈Z ．∵f （ωx ）在(−π2，2π3)上是增函数，∴(−π2，2π3)⊆(−π2ω，π2ω)．∴﹣π2≥﹣π2ω且2π3≤π2ω， ∴ω∈(0，34]．（3）由|f （x ）﹣m |＜2，得﹣2＜f （x ）﹣m ＜2，即f （x ）﹣2＜m ＜f （x ）+2． ∵A ⊆B ，∴当π6≤x ≤23π时， 不等式f （x ）﹣2＜m ＜f （x ）+2恒成立，∴f （x ）max ﹣2＜m ＜f （x ）min +2，∵f （x ）max =f （π2）=3，f （x ）min =f （π6）=2， ∴m ∈（1，4）．。
高中数学-三角函数介绍
高中数学-三角函数本文将详细介绍高中数学中的一章-三角函数。
三角函数是高中数学的重要内容之一，它包括三角函数的定义、性质、基本公式、图像以及应用等方面。
下面将分别进行详细介绍。
一、三角函数的定义三角函数是指在单位圆上，角度为x的点与x轴的交点的坐标值之间的比值。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
在三角函数的定义中，需要注意单位圆的概念以及对于不同象限的角度，三角函数的正负关系。
二、三角函数的性质三角函数具有很多重要的性质，包括周期性、奇偶性、单调性等。
三角函数的周期是2π，即在每一个周期内，函数值相同，并且具有对称性。
三角函数的奇偶性包括正弦函数和正切函数为奇函数，余弦函数为偶函数。
三角函数的单调性描述了函数图像的变化趋势，正弦函数和余弦函数在一个周期内都是周期性变化的，正弦函数在第一象限和第四象限单调上升，余弦函数在第一象限和第四象限单调下降。
三、三角函数的基本公式三角函数的基本公式包括正弦函数、余弦函数和正切函数的加减角公式、倍角公式、半角公式等。
在三角函数的基本公式中，需要注意加减角公式的正负关系，倍角公式的推导以及半角公式的应用。
四、三角函数的图像三角函数的图像对于理解三角函数的性质和应用非常重要。
正弦函数和余弦函数的图像在单位圆上是圆上点的纵、横坐标，而正切函数的图像则是从原点出发与x轴夹角为x 的射线与x轴的交点的纵坐标与横坐标之比。
五、三角函数的应用三角函数的应用非常广泛，包括求解三角形的各种角度和边长、计算物体运动的轨迹等。
在三角函数的应用中，需要注意如何将实际问题转化为数学问题，并且正确地运用三角函数的定义、性质、公式和图像。
六、总结三角函数是高中数学的重要内容之一，它包括三角函数的定义、性质、基本公式、图像以及应用等方面。
通过学习本章，可以使学生掌握三角函数的基本概念和应用方法，提高数学思维和解题能力，为学习后续知识打下坚实的基础。
三角函数正弦余弦正切
三角函数正弦余弦正切三角函数是数学中的重要概念，包括正弦、余弦和正切。
它们在数学、物理和工程等领域有广泛的应用。
本文将对三角函数的定义、性质和应用进行详细论述。
一、正弦函数正弦函数是三角函数中的一种，表示为sin(x)，其中x为角度。
正弦函数的定义域是实数集，值域为[-1, 1]。
正弦函数具有以下性质：1. 周期性：正弦函数是周期函数，其最小正周期是2π，即sin(x) = sin(x+2πk)，其中k为整数。
2. 对称性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)，表示在原点处关于y轴对称。
3. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)，表示在原点处关于原点对称。
4. 单调性：在定义域内，正弦函数在每个周期内都是单调递增或单调递减的。
5. 正弦函数的图像是一个周期为2π的连续波形，以y轴为中心对称。
正弦函数在几何、物理、电路等领域有广泛的应用，如波动、振动、交流电等的描述和计算中都会用到。
二、余弦函数余弦函数是三角函数中的另一种，表示为cos(x)，其中x为角度。
余弦函数的定义域是实数集，值域为[-1, 1]。
余弦函数具有以下性质：1. 周期性：余弦函数是周期函数，其最小正周期是2π，即cos(x) = cos(x+2πk)，其中k为整数。
2. 对称性：余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)，表示在原点处关于y轴对称。
3. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)，表示在原点处关于原点对称。
4. 单调性：在定义域内，余弦函数在每个周期内都是单调递减的。
5. 余弦函数的图像是一个周期为2π的连续波形，以y轴为中心对称。
余弦函数在几何、物理、信号处理等领域有广泛的应用，如描述分析力学中的运动规律、计算交流电路中的电流和电压等。
三、正切函数正切函数是三角函数中的另一种，表示为tan(x)，其中x为角度。
正切函数的定义域是实数集，值域为整个实数集。
三角函数的图像和性质讲解(定义域,值域,周期,单调性等)
三角函数的图象与性质教学目标：1、掌握正、余弦函数的定义域和值域；2、进一步理解三角函数的周期性和奇偶性的概念，会求它们的周期，会判断它们的奇偶性；3、能正确求出正、余弦函数的单调区间教学重点：正、余弦函数的性质教学难点：正、余弦函数的单调性知识要点：1、定义域：函数sin y x =及cos y x =的定义域都是(),-∞+∞，即实数集R2、值域：函数sin y x =，x R ∈及cos y x =，x R ∈的值域都是[]1,1-理解：（1）在单位圆中，正弦线、余弦线的长都是等于或小于半径的长1的，所以sin 1x ≤，cos 1x ≤，即1sin 1x -≤≤，1cos 1-≤≤。
（2）函数sin y x =在2,()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最大值1，当22x k ππ=-，()k Z ∈时，y 取最小值-1；函数cos y x =在2x k π=，()k Z ∈时，y 取最大值1，当2x k ππ=+，()k Z ∈时，y 取最小值-1。
正弦函数s i n y x =，x R ∈和余弦函数cos y x =，x R ∈是周期函数，2k π(0)k Z k ∈≠且都是它们的周期，最小正周期是2π。
4、奇偶性正弦函数sin y x =，x R ∈是奇函数，余弦函数cos y x =，x R ∈是偶函数。
理解：（1）由诱导公式()sin sin x x -=-，cos()cos x x -=可知以上结论成立；（2）反映在图象上，正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称。
5、单调性（1）由正弦曲线可以看出：当x 由2π-增大到2π时，曲线逐渐上升，sin x 由-1增大到1；当x 由2π增大到32π时，曲线逐渐下降，sin x 由1减至-1，由正弦函数的周期性知道：①正弦函数sin y x =在每一个闭区间2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上，都从-1增大到1，是增函数； ②在每一个闭区间32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上，都从1减小到-1，是减函数。
高中数学三角函数及反三角函数图像性质、知识点总结
高中数学三角函数及反三角函数图像性质、知识点总结高中数学中，三角函数及反三角函数是重要的内容之一。
在学习这一部分知识时，需要掌握其图像性质以及相关的知识点。
下面将对这些内容进行总结。
一、三角函数的图像性质1. 正弦函数（sin）的图像性质：- 周期性：sin函数的周期为2π，即在每个周期内，函数的图像重复出现；- 奇函数性质：sin函数关于原点对称；- 取值范围：sin函数的取值范围为[-1,1]，即函数的值始终在该区间内波动。
2. 余弦函数（cos）的图像性质：- 周期性：cos函数的周期为2π；- 偶函数性质：cos函数关于y轴对称；- 取值范围：cos函数的取值范围也为[-1,1]。
3. 正切函数（tan）的图像性质：- 周期性：tan函数的周期为π；- 奇函数性质：tan函数关于原点对称；- 无界性：tan函数的值域为实数集，即函数在某些点无界。
二、三角函数的知识点1. 基本正弦函数的性质：- 特殊角的正弦值：0°、90°、180°、270°和360°对应的正弦值分别为0、1、0、-1和0；- 正弦函数的增减性：在0°到180°的区间上，sin函数是单调递增的；- 正弦函数的奇偶性：sin(-x)=-sin(x)，即sin函数关于原点对称。
2. 基本余弦函数的性质：- 特殊角的余弦值：0°、90°、180°、270°和360°对应的余弦值分别为1、0、-1、0和1；- 余弦函数的增减性：在0°到180°的区间上，cos函数是单调递减的；- 余弦函数的奇偶性：cos(-x)=cos(x)，即cos函数关于y轴对称。
3. 基本正切函数的性质：- 特殊角的正切值：0°、90°、180°和270°对应的正切值分别为0、无穷大、0和无穷大；- 正切函数的周期性：tan(x+π)=tan(x)，即tan函数的周期是π。
正弦函数和余弦函数的图像与性质
10
18
(2) 因为
π ＜ 2 π ＜ 3 π ＜π ，
23
4
且
y ＝sin x
在[ π ，π] 上是减函数，
2
所以 sin 2 π ＞ sin 3 π ．
3
4
例8.判断f(x)=xsin(+x)奇偶性
解 函数的定义域R关于原点对称 f (x) xsin( x) xsin x
f (x) (x)sin(x) f (x) f (x) f (x)
y
1
-2 - o 2 3
-1
4 x
定义域
R
值域
[1,1]
x 2k (k Z ) 时
2
最
值
ymax=1 x 2k (k Z ) 时
2
ymin= 1
y= 0 x k (k Z)
R [1,1]
x 2k (k Z) 时 ymax=1 x 2k (k Z ) 时 ymin= 1
是减函数。
② 函数y=cos(x+/2),xR ( A )
A 是奇函数； B 是偶函数； C 既不是奇函数也不是偶函数； D 有无奇偶性不能确定。
2 不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：
sin 250 >_ sin 260
cos15 / 8>_ cos14 / 9
cos515 >_ cos530
y
1-
-
o
π 6
π 3
π 2
2π 3
5π 6
π
7 6
4π 3
3π 2
5π 3
11π 6
2π
x
-1 -
图象的最高点: ( π ，1)； 2
高二数学余弦函数、正切函数的图像与性质1
• 小结
1.通过本节学习，应掌握余弦函数 图象的画法.
2.会用Байду номын сангаас五点法”画出余弦曲线简图.
3.能结合余弦函数图象理解余弦函数的 性质(定义域、值域、周期性、奇偶性、 单调性）
； 广东11选5走势图 ；
间___2___1___，2____1_______上 都是增函数.
• 余弦型函数 y Acosx A0,0的
定义域R；值域[-A,A]；周期
T 2 .
当 时y Acos(x ) 为偶函数,
法”作图方法;五点法:五个点是0,1,
2
,0,
,1,
3
2
,0, 2
,0
仿正弦函数探讨余弦函数的性质.
2.应用“五点法”作与正弦、余弦函数有关的 函数的图象(如y=1+sinx,y=2cosx的图象）
• 学法指导：
1对. 余称弦中曲心线坐是标中是心__对__称_2_图,_0_形_，__其__所；有的 2.余弦曲线是轴对称图形，其所有的对
余弦函数的图象与性质
学习目标
1.通过本节学习，应掌握余弦函数图象 的画法.
2.会用“五点法”画出余弦曲线简图.
3.能结合余弦函数图象理解余弦函数的 性质(定义域、值域、周期性、奇偶性、 单调性）
学法指导:
平移法:由正弦函数图象,结合诱导公式,通过 图象变换,得到余弦函数的图象.
• 学法指导:
1.根据图象分析性质,找出关键点,并总结“五点
称轴方程是_x_____,_________.
余弦曲线的对称轴一定是过余弦曲线的 最高点或最低点，此时余弦值为最大值 或最小值.
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正弦函数、余弦函数的性质（奇偶性，单调性）
三维目标
1.通过创设情境,如单摆运动、波浪、四季变化等,让学生感知周期现象;理解周期函数的概念;能熟练地求出简单三角函数的周期,并能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用.
2.通过本节的学习,使同学们对周期现象有一个初步的认识,感受生活中处处有数学,从而激发学生的学习积极性,培养学生学好数学的信心,学会运用联系的观点认识事物. 重点难点
教学重点:正弦、余弦、正切函数的主要性质(包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域);深入研究函数性质的思想方法.
教学难点:正弦函数和余弦函数图象间的关系、图象变换,以及周期函数概念的理解,最小正周期的意义及简单的应用. 教学过程： 复习导入：
正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R 〔或(-∞,+∞)〕.
正弦函数、余弦函数的值域都是［-1,1］.对于正弦函数y=sinx(x∈R ),
(1)当且仅当x=
2π
+2kπ,k∈Z 时,取得最大值1. (2)当且仅当x=-2π
+2kπ,k∈Z 时,取得最小值-1.
对于余弦函数y=cosx(x∈R ),
(1)当且仅当x=2kπ,k∈Z 时,取得最大值1. (2)当且仅当x=(2k+1)π,k∈Z 时,取得最小值-1.
正弦函数，余弦函数是周期函数,2kπ(k∈Z 且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π. 新课探究：
正弦、余弦函数的奇偶性
正弦曲线关于原点O 对称,余弦曲线关于y 轴对称.在R 上,y=sinx 为奇函数,y=cosx 为偶函数.教师要恰时恰点地引导,怎样用学过的知识方法给予证明? 由诱导公式:∵sin(-x)=-sinx,cos(-x)=cosx, ∴y=sinx 为奇函数,y=cosx 为偶函数. 例、判断下列函数奇函性：
正弦、余弦函数的单调性：
通过学生充分讨论后确定,选图象上的［-
2π,2
3π］(如图4)这段.教师还要强调为什么选这段,而不选[0,2π]的道理,其他类似.
图3
图4
这个变化情况也可从下表中显示出来
:
(1)sin 3()
(2)sin cos ()(3)1sin ()
y x
x R y x x
x R y x
x R =-∈=+∈=+∈
就是说,函数y=sinx,x∈［-2,2
］. 当x∈［-
2π,2π
］时,曲线逐渐上升,是增函数,sinx 的值由-1增大到1; 当x∈［2π,23π
］时,曲线逐渐下降,是减函数,sinx 的值由1减小到-1.
类似地,同样可得y=cosx,x∈[-π,π]的单调变化情况.教师要适时点拨、引导学生先如何恰当地选取余弦曲线的一段来研究,如图5,为什么选[-π,π],而不是选[0,2π].
图5
引导学生列出下表:
结合正弦函数、余弦函数的周期性可知:
正弦函数在每一个闭区间［-2π+2kπ,2
π
+2kπ］(k∈Z )上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个闭区间［2π
+2kπ,23π+2kπ］(k∈Z )上都是减函数,其
值从1减小到-1.
余弦函数在每一个闭区间［(2k-1)π,2kπ］(k∈Z )上都是增函数,其值从-1增加到1;在每一个闭区间［2kπ,(2k+1)π］(k∈Z )上都是减函数,其值从1减小到-1.
例2 函数的单调性,比较下列各组数的大小:
(1)sin(-
18π)与sin(-10
π
);(2)cos(523π-)与cos(417π-).
解:(1)因为2π-<10π-<18
π
-<0,正弦函数y=sinx 在区间[2π-,0]上是增函数,所
以sin(18π-)>sin(10π-). (2)cos(523π-)=cos 523π=cos 53π,cos(417π-)=cos 417π=cos 4π
.
因为0<4π<5
3π
<π,且函数y=cosx,x∈[0,π]是减函数,
所以cos 4
π
>cos 53π,即cos(523π-)<cos(417π-).
例3 函数y=sin(21x+3
π
),x∈[-2π,2π]的单调递增区间.
解:令Z =21x+3π
.函数y=sin Z 的单调递增区间是
［2π-+2kπ,2
π
+2kπ］.
由-2π+2kπ≤21x+3π≤2π+2kπ,得35π-+4kπ≤x≤3
π
+4kπ,k∈Z .
由x∈［-2π,2π］可知,-2π≤35π-+4kπ且3π+4kπ≤2π,于是121-≤k≤12
5
,
由于k∈Z ,所以k=0,即35π-≤x≤3π,而［35π-,3
π
］［-2π,2π］,
因此,函数y=sin(2x +3π),x∈[-2π,2π]的单调递增区间是［35π-, 3π
］.
小结：
1.由学生回顾归纳并说出本节学习了哪些数学知识,学习了哪些数学思想方法.这节课我们研究了正弦函数、余弦函数的性质.重点是掌握正弦函数的性质,通过对两个函数从定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、增减性、对称性等几方面的研究,更加深了我们对这两个函数的理解.同时也巩固了上节课所学的正弦函数,余弦函数的图象的画法.
2.进一步熟悉了数形结合的思想方法,转化与化归的思想方法,类比思想的方法及观察、归纳、特殊到一般的辩证统一的观点. 作业：同步练习 课后反思：
1.本节是三角函数的重点内容,设计的容量较大,指导思想是让学生在课堂上充分探究、大量活动.作为函数的性质,从初中就开始学习,到高中学习了幂函数、指数、对数函数后有了较深的认识,这是高中所学的最后一个基本初等函数.但由于以前所学的函数不是周期函数,所以理解较为容易,而正弦函数、余弦函数除具有以前所学函数的共性外,又有其特殊性,共性中包含特性,特性又离不开共性,
这种普通性与特殊性的关系通过教学应让学生有所领悟.
2.在讲完正弦函数性质的基础上,应着重引导学生用类比的方法写出余弦函数的性质,以加深他们对两个函数的区别与联系的认识,并在解题中突出数形结合思想,在训练中降低变化技巧的难度,提高应用图象与性质解题的力度.较好地利用图象解决问题,这也是本节课主要强调的数学思想方法.。