正弦、余弦函数的周期性与奇偶性
正弦函数、余弦函数的性质
2 T
二、奇偶性
y
o
x
正弦函数是奇函数, 余弦函数是偶函数.
三、最大值与最小值
y
o
x
正弦函数当且仅当x 2k 且仅当x 2k
2
, k Z时取得最大值1, 当
2 余弦函数当且仅当x 2k , k Z时取得最大值1,当且仅 当x 2k , k Z时取得最小值 1.
解：（1）∵
3cos( x 2 ) 3cos x
∴自变量x只要并且至少要增加到x+2
y 3cos x, x R 的值才能重复出现.
，函数
所以，函数 y 3cos x, x R 的周期是 2
(2) sin(2 x 2 ) sin 2( x ) sin 2 x
§ 1.4.2 正弦函数、 余弦函数的性质 (一)
引入
y
o
ห้องสมุดไป่ตู้
x
周期函数: 对于函数f(x),若存在一个非零常数 ,使 T
得当x取定义域内的每一个值 都有 时, f ( x T ) f ( x)
称之, 非零常数T叫做这个函数的周期.
新课
若在周期函数 的所有周期中存 f(x) 在一个最小的正数, 则这个最小正数就 叫做f(x)的最小正周期.
, k Z时取得最小值 1;
例2、求下列函数的最 及取得最值时自 值, 变量x的集合:
(1) y cos x 1, x R; ( 2) y 3 sin 2 x, x R;
小结
1. 周期函数的定义，周期，最小正周期
2. 三角函数的奇、偶性
3. 三角函数的单调性；
作业
一、 周期性 正弦函数是周期函数2k( k Z , k 0)都 ,
5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(教学课件)正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性)
当 = −1时，sin − 2π = sin.
知识梳理
知识点一：
1.函数的周期性
(1)一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个 非零常数T，使得
对每一个x∈D都有x＋T∈D，且 f(x＋T)＝f(x) ，那么函数f(x)就叫做周
期函数. 非零常数T 叫做这个函数的周期.
(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 最小的正数 ，那么这个
方法二（公式法）
1
= 中 = , 所以
2
2
2
=
= 4
1
2
学以致用
反思感悟
求三角函数周期的方法
(1)定义法，即利用周期函数的定义求解．
(2)公式法，对形如 y＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ 是常
2π
数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝|ω|. （常用方法）
2 ；
1＋sin x－cos2x
(3)f(x)＝
.
1＋sin x
π
x≠kπ＋ ，k∈Z
解 (1)定义域为 x
2
|
，关于原点对称．因为
f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin x－tan x＝－f(x)，
所以函数 y＝sin x＋tan x 是奇函数．
学以致用
3x 3π
＋
3x
(2)f(x)＝sin 4
针每经过1小时运行一周.分针、时针的转动是否具有周期性？
它们的周期分别是多少？
具有周期性
分针的周期是1小时，时针的周期是12小时。
新知引入
那么观察正弦函数的图像，是否也具有同样的周期性的规律呢？
= sin
三角函数的奇偶性与周期性
三角函数的奇偶性与周期性三角函数是数学中重要的函数之一，在数学和物理等领域得到了广泛的应用。
其中，奇偶性与周期性是三角函数的两个重要特征。
本文将对三角函数的奇偶性与周期性进行详细探讨。
一、正弦函数的奇偶性与周期性正弦函数是最基本的三角函数之一，用sin(x)表示。
在单位圆上，正弦函数的值等于对应角度的纵坐标值。
正弦函数具有以下特点：1. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即满足sin(-x)=-sin(x)。
这意味着正弦函数关于原点对称，即在原点处取对称轴。
2. 周期性：正弦函数的周期为2π，即在[0,2π]范围内，正弦函数的图像重复出现。
在其他范围内，正弦函数的周期可表示为2π的整数倍。
在图像上，正弦函数的曲线呈现一种波动的形态，无论是在[-2π,2π]范围内还是在其他范围内。
这种周期性的特点使得正弦函数在描述周期性现象时非常有用，如振动、波动等。
二、余弦函数的奇偶性与周期性余弦函数是另一种常见的三角函数，用cos(x)表示。
在单位圆上，余弦函数的值等于对应角度的横坐标值。
余弦函数具有以下特点：1. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即满足cos(-x)=cos(x)。
这意味着余弦函数关于y轴对称，即在y轴处取对称轴。
2. 周期性：余弦函数的周期也是2π，与正弦函数相同。
在[0,2π]范围内，余弦函数的图像重复出现。
余弦函数的图像与正弦函数的图像相似，同样呈现一种波动的形态。
但相对于正弦函数，余弦函数的波峰和波谷位置相反，即在同一角度上，正弦函数达到波峰时，余弦函数达到波谷。
三、其他三角函数的性质与周期除了正弦函数和余弦函数，还存在其他几个常见的三角函数，如正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。
它们的性质和周期如下：1. 正切函数（tan(x)）：正切函数是奇函数，周期为π。
2. 余切函数（cot(x)）：余切函数是奇函数，周期为π。
3. 正割函数（sec(x)）：正割函数是偶函数，周期为2π。
4. 余割函数（csc(x)）：余割函数是奇函数，周期为2π。
三角函数的周期性与奇偶性
三角函数的周期性与奇偶性三角函数是高中数学中的一个重要部分，它的周期性和奇偶性是在学习三角函数的过程中需要掌握的基本概念。
三角函数中主要包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
1. 正弦函数的周期性和奇偶性正弦函数的定义式为y = sin x，其中x为自变量，y为因变量。
正弦函数的图像是一条波形曲线，它的周期为2π，即当x增加一个周期时，y的值会重复一次。
具体来说，正弦函数在[0,2π]区间内的最小正周期为2π。
因此，在对正弦函数进行周期性和奇偶性的分析时，可以把自变量限制在[0,2π]之间。
正弦函数的奇偶性是指当x取反时，y的值是否发生变化。
可以通过正弦函数的定义式来进行验证：sin(-x) = -sin x。
因此，正弦函数是一个奇函数，即在[0,2π]内，正弦函数关于坐标轴的原点对称。
2. 余弦函数的周期性和奇偶性余弦函数的定义式为y = cos x，其中x为自变量，y为因变量。
余弦函数的图像也是一条波形曲线，它的周期也是2π。
与正弦函数类似，余弦函数的最小正周期也为2π。
在对余弦函数进行周期性和奇偶性的分析时，也可以把自变量限制在[0,2π]之间。
余弦函数的奇偶性是指当x取反时，y的值是否发生变化。
通过余弦函数的定义式可以得知：cos(-x) = cos x。
因此，余弦函数是一个偶函数，即在[0,2π]内，余弦函数关于y轴对称。
3. 正切函数的周期性和奇偶性正切函数的定义式为y = tan x，其中x为自变量，y为因变量。
正切函数在定义域内有无数个周期，其最小正周期为π，即当x增加π时，y的值会重复一次。
因此，在对正切函数进行周期性和奇偶性的分析时，需要考虑其多个周期的情况。
正切函数的奇偶性是指当x取反时，y的值是否发生变化。
通过正切函数的定义式可以得知：tan(-x) = -tan x。
因此，正切函数是一个奇函数，即在其每个周期内，正切函数关于坐标轴的原点对称。
综上所述，三角函数的周期性和奇偶性是其在数学中的重要概念之一。
正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性 课件
|新知预习| 1．周期函数
(1)周期函数.
条件
①对于函数 f(x)，存在一个非零常数 T ②当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(x＋T)＝f(x)
结论 函数 f(x)叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期
(2)最小正周期.
条件 周期函数 f(x)的12
1 B.2
C．－
3 2
3 D. 2
【解析】 f53π＝f53π－π＝f23π＝
f23π－π＝f－π3＝fπ3＝sinπ3＝ 23. 【答案】 D
方法归纳
三角函数周期性与奇偶性的解题策略 (1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为 y ＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ)的形式，再利用公式求解． (2)判断函数 y＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ)是否具备奇偶 性，关键是看它能否通过诱导公式转化为 y＝Asinωx(Aω≠0)或 y＝ Acosωx(Aω≠0)其中的一个．
(2)法一：因为 f(x)＝|sinx|， 所以 f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sinx|＝f(x)，所以 f(x)的周期为 π. 法二：因为函数 y＝|sinx|的图象如图所示． 由图象可知 T＝π.
方法归纳
求函数周期的方法 (1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数 x 都满足 f(x ＋T)＝f(x)的非零常数 T.该方法主要适用于抽象函数． (2)公式法：对形如 y＝Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)(其中 A， ω，φ 是常数，且 A≠0，ω>0)，可利用 T＝2ωπ来求． (3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期， 特别是对于含绝对值的函数一般采用此法．
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12．求下列函数的周期： (1)y＝2sin12x＋π6，x∈R； (2)y＝1－2cosπ2x，x∈R； (3)y＝|sinx|，x∈R.
解 (1)∵2sin12x＋4π＋π6＝2sin12x＋6π＋2π＝2sin12x＋π6，∴自变量 x 只需并且至少要增加到 x＋4π，
函数 y＝2sin12x＋π6，x∈R 的值才能重复出现，
知周期 T＝π2；选项 C，周期 T＝21π＝8π；选项 D，周期 T＝24π＝2π.故选 BD. 4
9．f(x)＝cosωx－π6 的最小正周期为π5，其中 ω>0，则 ω＝________.
答案 10 解析 ∵T＝2ωπ＝π5，∴ω＝10.
10．已知函数 f(x)的定义域为 R，最小正周期是32π，当 x∈－π2，π时，
答案 A
解析 分别作出函数 y＝|cosx|与 y＝sin|x|的图象，观察可得，y＝|cosx| 是周期函数，y＝sin|x|不是周期函数．故选 A.
8．(多选)下列函数中，周期为π2的是(
)
A．y＝sin2x B．y＝|sin2x|
C．y＝cos4x D．y＝cos4x
答案 BD
解析 选项 A，周期 T＝21π＝4π；选项 B，作出函数 y＝|sin2x|的图象易 2
解析 根据周期函数的定义，任意非零有理数都是 f(x)的周期．
2．(多选)下列是定义在 R 上的四个函数图象的一部分，其中是周期函 数的是( )
答案 ABC
解析 显然 D 中函数图象不是经过相同单位长度，图象重复出现．而 A， C 中每经过一个单位长度，图象重复出现．B 中图象每经过 2 个单位长度， 图象重复出现．所以 A，B，C 中函数是周期函数，D 中函数不是周期函数．故 选 ABC.
三角函数的周期性与奇偶性
三角函数的周期性与奇偶性三角函数是数学中非常重要的一类函数，包括正弦函数sin(x)，余弦函数cos(x)，正切函数tan(x)等。
这些函数在数学、物理、工程等领域中有广泛的应用。
其中，周期性和奇偶性是三角函数的两个重要性质，下面将详细讨论这两个性质。
一、周期性1. 正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)的周期性：正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)都是周期函数，它们的周期都为2π。
也就是说，对于任意实数x，有sin(x+2π) = sin(x)，cos(x+2π) =cos(x)。
这意味着当自变量x增加2π或减少2π时，函数值不变，即函数呈现出周期性的变化规律。
这样的周期性特点使得正弦函数和余弦函数在很多问题中具有重要的意义。
2. 正切函数tan(x)的周期性：正切函数tan(x)也是一个周期函数，它的周期为π。
也就是说，对于任意实数x，有tan(x+π) = tan(x)。
这意味着当自变量x增加π或减少π时，函数值保持不变。
需要注意的是，正切函数在一些特殊点（如π/2，3π/2等）处不定义，因为在这些点上正切函数的值会趋于无穷大，即函数的图像会有垂直渐进线。
二、奇偶性1. 正弦函数sin(x)的奇偶性：正弦函数sin(x)是一个奇函数，它的图像关于原点对称。
也就是说，对于任意实数x，有sin(-x) = -sin(x)。
这意味着当自变量x取相反数时，函数值的相反数与原来的函数值相等，即函数的图像关于y轴对称。
2. 余弦函数cos(x)的奇偶性：余弦函数cos(x)是一个偶函数，它的图像关于y轴对称。
也就是说，对于任意实数x，有cos(-x) = cos(x)。
这意味着当自变量x取相反数时，函数值保持不变，即函数的图像关于y轴对称。
3. 正切函数tan(x)的奇偶性：正切函数tan(x)既不是奇函数也不是偶函数，它的图像既没有关于原点的对称性，也没有关于y轴的对称性。
但是，正切函数有一个特殊的奇偶性质，即tan(-x) = -tan(x)。
高中数学必修一课件：正弦函数、余弦函数的性质(第1课时)
∴函数f(x)＝sin34x＋3π 2 为偶函数．
③f(x)＝
（1－cos2x）＋sin 1＋sin x
x
＝
sin2x＋sin 1＋sin x
x
＝sin
x，但函数应满足1＋sin
x≠
0，∴函数的定义域为{x|x∈R，且x≠2kπ＋32π，k∈Z}．
∵函数的定义域不关于原点对称，
∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．
思考题3 (1)判断下列函数的奇偶性．
①f(x)＝sin
x－tan x
x；
②f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)；
③f(x)＝1－cossi2nx
； x
④f(x)＝ 1－cos x＋ cos x－1.
【答案】 ①偶函数 ②奇函数 ③非奇非偶函数 ④既是奇函数又是偶 函数
(2)函数f(x)＝7sin(23x＋152π)是( A )
(2)若本例(1)中的“偶函数”改为“奇函数”，“π”改为“
11π 12
”，其他
条件不变，结果如何？
【解析】 f5π 3 ＝f5π 3 －111π2 ×2＝f－π6 ＝－fπ6 ＝－sin π6 ＝－12.
(3)若本例(1)中的条件不变，求当x∈[－π，0]时函数的解析式．
【解析】 因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)， 因为x∈0，π2 时，f(x)＝sin x， 所以当x∈－π2 ，0时，－x∈0，π2 ，所以 f(－x)＝sin(－x)＝－sin x＝f(x)， 即当x∈－π2 ，0时，f(x)＝－sin x，
π (2)已知函数f(x)＝ 2sin(x＋ 4 ＋φ)是奇函数，则φ的值可以是( B )
A．0
B．－π4
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正弦、余弦函数的周期性与奇偶性
一、选择题
1．下列函数中最小正周期为π的偶函数是( ) A ．y ＝sin x
2 B ．y ＝cos x
2 C ．y ＝cos x
D ．y ＝cos 2x
D [A 中函数是奇函数，B 、C 中函数的周期不是π，只有D 符合题目要求．] 2．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则函数y ＝f (x )的图象是
( )
B [由f (－x )＝f (x )，则f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称． 由f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )的周期为2.故选B.]
3．函数f (x )＝sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫ωx ＋π6的最小正周期为π5，其中ω＞0，则ω等于( ) 【有知识题：84352090】
A ．5
B ．10
C ．15
D ．20
B [由已知得2π|ω|＝π
5，又ω＞0， 所以2πω＝π
5，ω＝10.]
4．函数y ＝|cos x |－1的最小正周期为( ) A ．π2 B ．π C ．2π
D ．4π B [因为函数y ＝|cos x |－1的周期同函数y ＝|cos x |的周期一致，由函数y ＝
|cos x |的图象(略)知其最小正周期为π，所以y ＝|cos x |－1的最小正周期也为π.]
5．定义在R 上的函数f (x )周期为π，且是奇函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3π4的值为
( )
A ．1
B ．－1
C ．0
D ．2
B [由已知得f (x ＋π)＝f (x )，f (－x )＝－f (x )， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4＝－1.]
二、填空题
6．关于x 的函数f (x )＝sin(x ＋φ)有以下说法： ①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数； ②存在φ，使f (x )是偶函数； ③存在φ，使f (x )是奇函数； ④对任意的φ，f (x )都不是偶函数． 其中错误的是________(填序号).
【有知识题：84352091】
①④ [φ＝0时，f (x )＝sin x ，是奇函数，φ＝π
2时，f (x )＝cos x 是偶函数．] 7．若函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫ωx ＋π3的最小正周期为T ，且T ∈(1,4)，则正整数ω
的最大值为________．
6 [T ＝2πω，1＜2πω＜4，则π
2＜ω＜2π， ∴ω的最大值是6.]
8．若f (x )为奇函数，当x ＞0时，f (x )＝cos x －sin x ，当x ＜0时，f (x )的解析式为________．
f (x )＝－cos x －sin x [x ＜0时，－x ＞0， f (－x )＝cos(－x )－sin(－x )＝cos x ＋sin x ， 因为f (x )为奇函数，
所以f (x )＝－f (－x )＝－cos x －sin x ， 即x ＜0时，f (x )＝－cos x －sin x ．]
三、解答题
9．已知函数y ＝12sin x ＋1
2|sin x |. (1)画出函数的简图；
(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期． [解] (1)y ＝12sin x ＋1
2|sin x |
＝⎩⎨
⎧
sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，0，x ∈[2k π－π，2k π](k ∈Z )，
图象如下：
(2)由图象知该函数是周期函数，且周期是2π. 10．判断函数f (x )＝lg(sin x ＋1＋sin 2x )的奇偶性.
【有知识题：84352092】
[解] ∵f (－x )＝lg[sin(－x )＋1＋sin 2(－x )]
＝lg(1＋sin 2
x －sin x )＝lg (1＋sin 2x )－sin 2
x 1＋sin 2x ＋sin x
＝lg(sin x ＋1＋sin 2x )－1＝－lg(sin x ＋1＋sin 2x ) ＝－f (x )．
又当x ∈R 时，均有sin x ＋1＋sin 2x ＞0， ∴f (x )是奇函数．
[冲A 挑战练]
1．函数f (x )＝1＋sin x －cos 2x
1＋sin x 是( )
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．非奇非偶函数
D ．既是奇函数又是偶函数 C [由1＋sin x ≠0得sin x ≠－1， 所以函数
f (x )的定义域为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ∈R ⎪⎪⎪
x ≠2k π－π2，k ∈Z
，不关于原点对称，所
以f (x )是非奇非偶函数．]
2．设函数f (x )＝sin π
3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝( )
【有知识题：84352093】
A ．32
B ．－3
2 C ．0
D ． 3
D [∵f (x )＝sin π3x 的周期T ＝2π
π3
＝6，
∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝336[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)]＋f (2 017)＋f (2 018)＝
336⎝ ⎛⎭
⎪⎫
sin π3＋sin 23π＋sin π＋sin 43π＋sin 53π＋sin 2π＋
f (336×6＋1)＋f (336×6＋2)＝336×0＋f (1)＋f (2)＝sin π3＋sin 2
3π＝ 3.] 3．已知f (x )是定义在(－3,3)上的奇函数，当0＜x ＜3时，f (x )的图象如图1-4-4所示，那么不等式f (x )cos x ＜0的解集是
______________________．
图1-4-4
⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，3 [∵f (x )是(－3,3)上的奇函数，∴g (x )＝f (x )·cos x 是(－3,3)上的奇函数，从而观察图象(略)可知所求不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪
(0,1)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2，3.]
4．设定义在R 上的函数f (x )满足f (x )·f (x ＋2)＝13.若f (1)＝2，则f (99)＝________.
【有知识题：84352094】
13
2 [因为f (x )·
f (x ＋2)＝13，
所以f (x ＋2)＝13
f (x )
， 所以f (x ＋4)＝
13f (x ＋2)
＝13
13f (x )
＝f (x )， 所以函数f (x )是周期为4的周期函数， 所以f (99)＝f (3＋4×24)＝f (3)＝
13f (1)＝132
.] 5．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π3，若函数g (x )的最小正周期是π，且当x ∈
⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x 2，求关于x 的方程g (x )＝32的解集．
[解] 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π2，π2时，
g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π3.
因为x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6，5π6，
所以由g (x )＝32解得x ＋π3＝－π6或π6，即x ＝－π2或－π
6. 又因为g (x )的最小正周期为π，
所以g (x )＝3
2的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
x ＝k π－π2或x ＝k π－π6，k ∈Z .。