《函数的奇偶性与周期性》教案
第6讲模块复习：函数的奇偶性与周期性教案
第6讲模块复习：函数的奇偶性与周期性教案 第6讲：《函数的奇偶性与周期性》教案一、教学目标1.了解函数奇偶性、周期性的含义.2.会判定奇偶性，会求函数的周期.3.会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题．二、知识梳理1．函数奇偶性的定义设函数y ＝f(x)的定义域为A.假如关于任意的x ∈A ，都有__________，则称f(x)为奇函数；假如关于任意的x ∈A 都有__________，则称f(x)为偶函数．2．奇偶函数的性质(1)f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝____；f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(－x)＝f(|x|)⇔f(x)－f(－x)＝____.(2)f(x)是偶函数⇔f(x)的图象关于____轴对称；f(x)是奇函数⇔f(x)的图象关于______对称．(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有______的单调性．3．函数的周期性(1)定义：假如存在一个非零常数T ，使得关于函数定义域内的任意x ，都有f(x ＋T )＝______，则称f(x)为______函数，其中T 称作f(x)的周期．若T 存在一个最小的正数，则称它为f(x)的________．(2)性质： ①f(x ＋T )＝f(x)常常写作f(x ＋T 2)＝f(x －T 2)．②假如T 是函数y ＝f(x)的周期，则kT(k ∈Z 且k ≠0)也是y ＝f(x)的周期，即f(x ＋kT )＝f(x)．③若关于函数f(x)的定义域内任一个自变量的值x 都有f(x ＋a)＝－f(x)或f(x ＋a)＝1f x 或f(x ＋a)＝－1f x(a 是常数且a ≠0)，则f(x)是以______为一个周期的周期函数．三、题型突破题型一 函数奇偶性的判定例1 判定下列函数的奇偶性． (1)1()(1)1x f x x x -=++； (2)11()()212x f x x =+-； (3) 22()log (1)f x x x =++；(4) 22,0(),0x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩ 变式迁移1 判定下列函数的奇偶性．(1) 23()f x x x =-；(2) 22()11f x x x =-+-；(3) 24()33x f x x -=+-. 题型二 函数单调性与奇偶性的综合应用例2 已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，则满足1(21)()3f x f -<的x 的取值范畴是________．变式迁移2 已知函数3()f x x x =+，对任意的[]2,2m ∈-，(2)()0f mx f x -+<恒成立，则x 的取值范畴为________． 题型三 函数性质的综合应用例3 已知定义在R 上的奇函数()f x ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，若方程()(0)f x m m =>，在区间[－8,8]上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则1234x x x x +++＝________.四、针对训练(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)[来源:学|科|网Z|X|X|K]1．已知2()f x ax bx =+是定义在[]1,2a a -上的偶函数，那么a b +的值为________．2．已知定义域为{}0x x ≠的函数()f x 为偶函数，且()f x 在区间(),0-∞上是增函数，若(3)0f -=，则()0f x x <的解集为________________． 3．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，并满足1(2)()f x f x +=-，当1≤x ≤2时，()2f x x =-，则(6.5)f = ________.4．设()f x 为定义在R 上的奇函数．当0x ≥时，()22x f x x b =++ (b 为常数)，则(1)f -＝________.5．设函数()f x 满足：①(1)y f x =+是偶函数；②在[1，＋∞)上为增函数，则(1)f -与(2)f 大小关系为____________________．6．设定义在R 上的函数()f x 满足()(2)13f x f x +=，若(1)2f =，则(99)f = .7．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若()f x 满足(3)()f x f x +=，且(1)1f >，23(2)1m f m -=+，则m 的取值范畴为________________． 8．函数3()812f x x x =+-在区间[]3,3-上的最大值与最小值之和是 ．二、解答题(共42分)9．(14分)已知()f x 是定义在[－6,6]上的奇函数，且()f x 在[0,3]上是x 的一次式，在[3,6]上是x 的二次式，且当3≤x ≤6时，()f x ≤(5)f ＝3，(6)f ＝2，求()f x 的表达式．10．(14分)设函数2()21(33)f x x x x =---≤≤，(1)证明()f x 是偶函数；(2)画出那个函数的图象；(3)指出函数()f x 的单调区间，并说明在各个单调区间上()f x 是增函数依旧减函数；(4)求函数的值域．11．(14分)已知函数2()a f x x x=+ (x ≠0，常数a ∈R)．(1)讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；(2)若函数()f x 在[2，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范畴．五、参考答案二、知识梳理1．f(－x)＝－f(x) f(－x)＝f(x) 2.(1)0 0 (2)y 原点 (3)相反 3.(1)f(x) 周期 最小正周期 (2)③2a三、题型突破例1 解题导引 判定函数奇偶性的方法．(1)定义法：用函数奇偶性的定义判定．(先看定义域是否关于原点对称)．(2)图象法：f(x)的图象关于原点对称，则f(x)为奇函数；f(x)的图象关于y 轴对称，则f(x)为偶函数．(3)差不多函数法：把f(x)变形为g(x)与h(x)的和、差、积、商的形式，通过g(x)与h(x)的奇偶性判定出f(x)的奇偶性．解 (1)定义域要求1－x 1＋x≥0且x ≠－1， ∴－1<x ≤1，∴f(x)定义域不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．(2)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．∵f(－x)＝－x(12－x －1＋12) ＝－x(2x 1－2x ＋12)＝x(2x 2x －1－12) ＝x(12x －1＋12)＝f(x)． ∴f(x)是偶函数．(3)函数定义域为R.∵f(－x)＝log2(－x ＋x2＋1)＝log21x ＋x2＋1＝－log2(x ＋x2＋1)＝－f(x)，[来源:学&科&网Z&X&X&K]∴f(x)是奇函数．(4)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)2－x ＝－(x2＋x)＝－f(x)；当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x ＝x2－x ＝－(－x2＋x)＝－f(x)．∴对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝－f(x)．故f(x)为奇函数．变式迁移1 解 (1)由于f(－1)＝2，f(1)＝0，f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，从而函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2)f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧4－x2≥0|x ＋3|≠3得，f(x)定义域为[－2,0)∪(0,2]． ∴定义域关于原点对称， 又f(x)＝4－x2x ，f(－x)＝－4－x2x ，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数． 例2 解题导引 本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式．解题的关键是利用函数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式”为“具体的代数不等式”．在关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反．解 偶函数满足f(x)＝f(|x|)，依照那个结论，有f(2x －1)< f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 ⇔ f(|2x －1|)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13， 进而转化为不等式|2x －1|<13，解那个不等式即得x 的取值范畴是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23. 变式迁移2 (－2，23)解析 易知f(x)在R 上为单调递增函数，且f(x)为奇函数，故f(mx －2)＋f(x)<0，等价于f(mx －2)<－f(x)＝f(－x)，现在应用mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0对所有m ∈[－2,2]恒成立，令h(m)＝mx ＋x －2， 现在，只需⎩⎪⎨⎪⎧ h －2<0h 2<0即可，解得x ∈(－2，23)． 例3 解题导引 解决此类抽象函数问题，依照函数的奇偶性、周期性、单调性等性质，画出函数的一部分简图，使抽象问题变得直观、形象，有利于问题的解决．答案 －8解析 因为定义在R 上的奇函数，满足f(x －4)＝－f(x)，因此f(4－x)＝f(x)．因此，函数图象关于直线x ＝2对称且f(0)＝0，由f(x －4)＝－f(x)知f(x －8)＝f(x)，因此函数是以8为周期的周期函数．又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，因此f(x)在[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f(x)＝m(m>0)在[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1<x2<x3<x4.由对称性知x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，因此x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8.四、针对训练 1.13 解析 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝－2a b ＝0，∴⎩⎨⎧ a ＝13b ＝0， ∴a ＋b ＝13. 2．(－3,0)∪(3，＋∞) 解析 由已知条件，可得函数f(x)的图象大致为下图，故f x x <0的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)．3．－0.5[来源:学,科,网Z,X,X,K]解析 由f(x ＋2)＝－1f x ，得f(x ＋4)＝－1f x ＋2＝f(x)，那么f(x)的周期是4，得f(6.5)＝f(2.5)．因为f(x)是偶函数，则f(2.5)＝f(－2.5)＝f(1.5)．而1≤x ≤2时，f(x)＝x －2，∴f(1.5)＝－0.5.综上知，f(6.5)＝－0.5.4．－3解析 因为奇函数f(x)在x ＝0有定义，因此f(0)＝20＋2×0＋b ＝b ＋1＝0，b ＝－1.因此f(x)＝2x ＋2x －1，f(1)＝3，从而f(－1)＝－f(1)＝－3.5．f(－1)>f(2)解析 由y ＝f(x ＋1)是偶函数，得到y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称，∴f(－1)＝f(3)．又f(x)在[1，＋∞)上为单调增函数，∴f(3)>f(2)，即f(－1)>f(2)．6．132 解析 由()(2)13f x f x +=，得(4)(2)13f x f x ++=，因此(4)()f x f x +=，即()f x 是周期函数且周期为4，因此1313(99)(4243)(3)(1)2f f f f =⨯+===． 7．(－1，23)解析 ∵f(x ＋3)＝f(x)， ∴f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)．∵f(x)为奇函数，且f(1)>1，∴f(－1)＝－f(1)<－1，∴2m －3m ＋1<－1. 解得：－1<m<23.8．16解析 设在区间[]3,3-上()x f 的最大值为M,最小值为m ，再设()()()x g x f x g ,8-=的最大值为M-8,最小值为m-8,又()312x x x g -=是奇函数，因此在区间[]3,3-上()(),0min max =+x g x g 即()()16m 08-m 8=+=+-M M ，.9．解 由题意，当3≤x ≤6时，设f(x)＝a(x －5)2＋3，∵f(6)＝2，∴2＝a(6－5)2＋3.∴a ＝－1.∴f(x)＝－(x －5)2＋3(3≤x ≤6)．………………………………………………………(4分)∴f(3)＝－(3－5)2＋3＝－1.又∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0.∴一次函数图象过(0,0)，(3，－1)两点．∴f(x)＝－13x(0≤x ≤3)．…………………………………………………………………(8分)当－3≤x ≤0时，－x ∈[0,3]，∴f(－x)＝－13(－x)＝13x.又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－13x.∴f(x)＝－13x(－3≤x ≤3)．……………………………………………………………(10分)[来源:ZXX K]当－6≤x ≤－3时，3≤－x ≤6，∴f(－x)＝－(－x －5)2＋3＝－(x ＋5)2＋3.又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝(x ＋5)2－3.………………………………………………………………………(13分)∴f(x)＝⎩⎨⎧ x ＋52－3， －6≤x ≤－3，－13x －3<x<3，……………………………………………14分－x －52＋3， 3≤x ≤6.10．解 (1)f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x2－2|x|－1＝f(x)，即f(－x)＝f(x)．∴f(x)是偶函数．………………………………………………………(3分)(2)当x ≥0时，f(x)＝x2－2x －1＝(x －1)2－2，[来源:学+科+网Z+X+X +K]当x<0时，f(x)＝x2＋2x －1＝(x ＋1)2－2， 即f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －12－2， x ≥0，x ＋12－2， x<0. 依照二次函数的作图方法，可得函数图象如下图． ……………………………………………………………………………………………(7分)(3)由(2)中函数图象可知，函数f(x)的单调区间为[－3，－1]，[－1,0]，[0,1]，[1,3]．f(x)在[－3，－1]和[0,1]上为减函数，在[－1,0]，[1,3]上为增函数．………………(10分)(4)当x ≥0时，函数f(x)＝(x －1)2－2的最小值为－2，最大值为f(3)＝2；当x<0时，函数f(x)＝(x ＋1)2－2的最小值为－2，最大值为f(－3)＝2； 故函数f(x)的值域为[－2,2]．……………………………………………………………(14分)11．解 (1)当a ＝0时，f(x)＝x2对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，有f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，∴f(x)为偶函数．…………………………………………………………………………(2分)当a ≠0时，f(x)＝x2＋a x (x ≠0，常数a ∈R)，若x ＝±1时，则f(－1)＋f(1)＝2≠0；∴f(－1)≠－f(1)，又f(－1)≠f(1)，∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．……………………………………………(6分)综上所述，当a ＝0时，f(x)为偶函数；当a ≠0时，f(x)为非奇非偶函数．………………………………………………………(7分)(2)设2≤x1<x2，f(x1)－f(x2)＝x21＋a x1－x22－a x2 ＝x1－x2x1x2[x1x2(x1＋x2)－a]，……………………………………………………………(10分)要使f(x)在x ∈[2，＋∞)上为增函数，必须使f(x1)－f(x2)<0恒成立． ∵x1－x2<0，x1x2>4，即a<x1x2(x1＋x2)恒成立．………………………………………(12分)又∵x1＋x2>4，∴x1x2(x1＋x2)>16，∴a 的取值范畴为(－∞，16]．………………………………………………………(14分)。
函数的奇偶性教案
函数的奇偶性教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解函数奇偶性的概念；（2）学会判断函数的奇偶性；（3）能够运用函数的奇偶性解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳，探索函数的奇偶性；（2）利用函数的奇偶性进行函数图像的变换。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生的逻辑思维能力；（2）激发学生对数学的兴趣，提高学习积极性。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）函数奇偶性的概念及其判断方法；（2）函数奇偶性在实际问题中的应用。
2. 教学难点：（1）函数奇偶性的判断方法；（2）函数奇偶性在实际问题中的应用。
三、教学过程1. 导入新课：（1）复习已学过的函数性质，如单调性、周期性等；（2）提问：同学们，你们知道函数还有其他的性质吗？2. 探究新知：（1）介绍函数奇偶性的概念；（2）通过示例，让学生观察、分析、归纳函数的奇偶性；（3）引导学生掌握判断函数奇偶性的方法。
3. 典例分析：（1）分析函数f(x)=x^3的奇偶性；（2）分析函数f(x)=|x|的奇偶性；（3）分析函数f(x)=sinx的奇偶性。
4. 练习巩固：（2）运用函数的奇偶性解决实际问题。
四、课堂小结本节课，我们学习了函数的奇偶性，掌握了判断函数奇偶性的方法，并能够在实际问题中运用。
希望大家能够继续努力学习，不断提高自己的数学能力。
五、课后作业2. 运用函数的奇偶性解决实际问题：已知函数f(x)=x^2+1的图像关于y轴对称，求函数f(x)在x=-1时的值；3. 探究函数的奇偶性与单调性的关系。
六、教学活动设计1. 小组讨论：让学生分组讨论函数奇偶性的性质，以及如何判断一个函数的奇偶性。
2. 案例分析：通过具体的函数例子，让学生理解并掌握函数奇偶性的判断方法。
3. 互动提问：教师提出问题，引导学生思考并回答，以检查学生对函数奇偶性的理解和掌握程度。
七、教学评价1. 课堂问答：通过提问学生，检查他们对函数奇偶性的概念和判断方法的理解。
函数的基本性质教案
函数的基本性质教案一、教学目标1. 让学生理解函数的概念，掌握函数的基本性质，包括单调性、奇偶性、周期性等。
2. 能够运用函数的基本性质解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
二、教学内容1. 函数的概念及定义2. 函数的单调性3. 函数的奇偶性4. 函数的周期性5. 函数的基本性质在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：函数的基本性质，包括单调性、奇偶性、周期性。
2. 教学难点：函数性质的证明和应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，系统地讲解函数的基本性质。
2. 利用实例进行分析，帮助学生理解函数性质的应用。
3. 引导学生进行自主学习，培养学生的逻辑思维能力。
4. 利用小组讨论，提高学生的合作能力。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生认识函数，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解：讲解函数的概念，定义，并引入函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质。
3. 分析：分析函数性质的证明方法，并通过实例进行分析，让学生理解函数性质的应用。
4. 练习：布置练习题，让学生巩固所学内容。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调函数基本性质的重要性。
6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。
7. 课后辅导：针对学生学习中遇到的问题进行辅导，提高学生的学习能力。
六、教学评价1. 评价方式：采用课堂表现、课后作业和单元测试相结合的方式进行评价。
2. 评价内容：(1) 函数概念的理解和运用；(2) 函数单调性、奇偶性、周期性的理解和证明；(3) 函数性质在实际问题中的应用能力。
七、教学资源1. 教材：《数学分析》；2. 教学课件；3. 实例素材；4. 练习题库；5. 课后辅导资料。
八、教学进度安排1. 第1周：讲解函数的概念及定义；2. 第2周：讲解函数的单调性；3. 第3周：讲解函数的奇偶性；4. 第4周：讲解函数的周期性；5. 第5周：函数性质在实际问题中的应用。
高中数学教案《函数的奇偶性
高中数学教案《函数的奇偶性》一、教学目标：1. 知识与技能：理解函数奇偶性的概念，能够判断函数的奇偶性；学会运用函数的奇偶性解决一些简单问题。
2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，探索函数奇偶性的性质及其判断方法。
3. 情感态度价值观：培养学生的逻辑思维能力，提高学生对数学的兴趣。
二、教学内容：1. 函数奇偶性的定义2. 函数奇偶性的判断方法3. 函数奇偶性的性质三、教学重点与难点：1. 教学重点：函数奇偶性的定义及其判断方法。
2. 教学难点：函数奇偶性的性质及其应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究函数奇偶性的性质；2. 通过实例分析，让学生掌握函数奇偶性的判断方法；3. 利用小组讨论，培养学生的合作能力。
五、教学过程：1. 导入：回顾上一节课的内容，引导学生思考函数的奇偶性与什么有关。
2. 新课讲解：（1）介绍函数奇偶性的定义；（2）讲解函数奇偶性的判断方法；（3）分析函数奇偶性的性质。
3. 例题解析：选取典型例题，分析解题思路，引导学生运用函数奇偶性解决问题。
4. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学内容。
5. 总结与拓展：总结本节课的主要内容，提出拓展问题，激发学生的学习兴趣。
6. 课后作业：布置适量作业，巩固所学知识。
注意：在教学过程中，要关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏，确保学生能够掌握函数奇偶性的相关知识。
六、教学评估：1. 课堂提问：通过提问了解学生对函数奇偶性的理解程度，及时发现并解决学生学习中存在的问题。
2. 练习题解答：检查学生完成练习题的情况，评估学生对函数奇偶性知识的掌握情况。
3. 课后作业：批改课后作业，了解学生对课堂所学知识的巩固程度。
七、教学反思：1. 反思教学内容：检查教学内容是否全面、深入，是否适合学生的认知水平。
2. 反思教学方法：根据学生的反馈，调整教学方法，提高教学效果。
3. 反思教学效果：总结本节课的教学成果，找出不足之处，为下一节课的教学做好准备。
《函数的奇偶性与周期性》教案
《函数的奇偶性与周期性》教案教案：函数的奇偶性与周期性一、教学内容本节课主要内容为函数的奇偶性与周期性。
1.函数的奇偶性概念及判断方法；2.函数的周期性概念及判断方法；3.综合应用题。
二、教学目标1.理解函数的奇偶性的定义；2.掌握函数奇偶性的判断方法；3.了解函数周期的概念，掌握函数周期的判断方法；4.能够应用函数的奇偶性与周期性解决综合问题。
三、教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问与学生交流，引出函数的奇偶性与周期性的概念，比如“大家了解什么是函数的奇偶性吗？可以举几个例子来说明一下。
”“函数的周期性是什么意思呢？”等等。
2.讲解（25分钟）通过投影仪展示PPT，讲解函数的奇偶性与周期性的概念。
1)函数的奇偶性概念及判断方法：函数f(x)为奇函数，当且仅当对于任意x∈D，f(-x)=-f(x)；函数f(x)为偶函数，当且仅当对于任意x∈D，f(-x)=f(x)；判断奇偶性的方法为将函数代入定义进行验证。
2)函数的周期性概念及判断方法：函数f(x)的周期为T，当且仅当对于任意x∈D，有f(x+T)=f(x)；判断函数周期的方法为找出函数的一次性表达式，并将其化简为f(x+T)=f(x)。
3)综合应用题解析：通过一些例题的解析，让学生能够运用奇偶性和周期性的知识解决问题。
3.锻炼与拓展（20分钟）举一些例题进行训练，可以分小组进行讨论与比赛，以增加学生的参与度。
1)设f(x)是定义域为R的周期函数，且f(0)=3，f(1)=2，f(2)=4，f(3)=-1，f(4)=-2，f(5)=-4，求f(2005)的值。
2)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(2)=3，f(4)=-1，求f(x)的表达式。
3)设f(x)=x^3-3x，则f(x)是奇函数还是偶函数?。
4.巩固与评价（10分钟）布置一些练习题，要求学生自主完成，并互相批改答案，提升学生的综合应用能力。
1)设f(x)为周期函数，且f(x)=2x^2-x+1，周期为T，求T的值。
高考数学一轮复习-函数的奇偶性与周期性教案
函数的奇偶性与周期性一、考纲要求函数的奇偶性与周期性 B 二、复习目标1．理解函数奇偶性的定义；2、会判断函数的奇偶性；3、能证明函数的奇偶性；4、理解函数 周期性的定义；5、会求周期函数的周期。
三、重点难点函数奇偶性的判断及证明；函数周期性判断及周期求法。
四、要点梳理1．奇、偶函数的定义：对于函数 f (x)定义域内的任意一个 x ,都有_______________，称 f (x)为偶函数，对于函数f (x)定义域内的任意一个 x ,都有________________，称 f (x)为奇函数． 2．奇、偶函数的性质（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于_________对称；（2）奇函数的图像关于____对称，偶函数的图像关于_________对称； （3）若奇函数的定义域包含0，则_____________；（4）在偶函数中， f ( x )f (x)．（5）在公共定义域内，①两个奇函数的和是___函数，两个奇函数的积是____函数；②两个偶函数 的和、积是___函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是____函数.（填“奇”，“偶”） 3．对于函数y ＝f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都 有 ，那么就称函数y ＝f(x)为周期函数，称T 为这个函数的周期． 4．最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小正数，那么这个 叫做f(x)的最小正周期． 就 5．周期性三个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x ： (1)若f(x ＋a)＝－f(x)，则T ＝2a ；1 1(2)若f(x ＋a)＝ ，则T ＝2a ； (3)若f(x ＋a)＝－ ，则T ＝2a.(a>0)fx fx五、基础自测1．对于定义在R 上的函数 f (x)，下列命题正确的序号是___________． （1）若 f (2) f (2)，则函数 f (x)是偶函数； （2）若 f (2) f (2)，则函数 f (x)不是偶函数； （3）若 f (2) f (2)，则函数 f (x)不是奇函数； （4）若 f (x)是偶函数，则 f (2) f (2)． 2．给出4个函数：① f (x) 1 x2 1x ；④ f (x) x1． 3x 4；② f (x) 2x 5；③ f (x) lg1 xx 1 既不是奇函数也不是偶函数．其中是奇函数； 是偶函数； 3．已知函数 f (x)4x2bx 3a b 是偶函数，其定义域是 [a 6,2a]，则点 a,b 的坐标为__________．3，且f (1) 2，则f(2014)＝________. 2 4．已知定义在R 上的函数 f (x)满足 f (x) f x x a5．若函数 f (x)在[1,1]上是奇函数，则 f (x) x bx 12．六、典例精讲: 例1判断下列函数的奇偶性，并说明理由： （1） f (x) (1 2x ) 21x ；（2） f (x) lg(xx21)；（3） f (x)(1x) 1 x； 2xx 2| x1| 1；（5） f (x)x 11 x2；(6) f (x)22x (x ≥0),（4） f (x)x x 2x (x 0).例2：设 f (x)是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有 f (x 2) f x ．当x∈[0,2]时，f (x) 2xx 。
函数的奇偶性和周期性高三数学第一轮复习教案 人教版 教案
函数的奇偶性和周期性高三数学第一轮复习教案【教学目标】1．了解函数奇偶性定义，懂得判断一些函数的奇偶性；2．理解奇（偶）函数图象的特性； 3．了解几类常见函数的周期【教学重点】奇（偶）函数的性质【教学难点】分段函数和抽象函数奇偶性的判断【例题设置】例1（偶函数的性质），例2（分段函数奇偶性的判断），例3（抽象函数奇偶性的判断【教学过程】 一、例题引入〖例1〗 定义在[2,]a -上的偶函数()g x ，当0x ≥时，()g x 单调递减．(1)()g m g m -<，求实数m 的取值范围． 解：∵定义在[2,]a -上的函数()g x 为偶函数∴区间[2,]a -关于y 轴对称，即20a -+=，解得2a =，并且(|1|)()g m g x -= ∴(1)()(|1|)(||)g m g m g m g m -<⇔-< …………① 又∵当0x ≥时，()g x 单调递减∴不等式①等价于0|1|20||2|1|||m m m m ≤-≤⎧⎪≤≤⎨⎪->⎩，解得112m -≤<∴实数m 的取值范围为1[1,]2-★点评：本题应用了偶函数的一个性质(|1|)()g m g x -=，从而避免了一场“大规模”的分类讨论．二．要点回顾函数的奇偶性（应优先考虑定义域）： 1．定义：（设函数()y f x =的定义域为D ）⑴ 如果对于任意的x D ∈，有()()f x f x -=，那么()y f x =叫做偶函数，其图象关于y 轴对称，在其对应的区间．．．．．．．内有相反的单调性．．．．．．．．． ⑵ 如果对于任意的x D ∈，有()()f x f x -=-，那么()y f x =叫做奇函数，其图象关于原点轴对称，在其对应的．．．．．区间内有相同的单调性．．．．．．．．．．． ★注意：具有奇偶性的函数，其定义域必关于y 轴（或原点）对称．2．奇偶性的等价条件()f x 为偶函数()()()()0f x f x f x f x ⇔-=⇔--=⇔(||)()f x f x =()1()f x f x -⇔=()f x 为奇函数()()()()()()()01()f x f x f x f x f x f x f x f x -⇔-=-⇔=--⇔-+=⇔=-3．判断函数奇偶性的步骤：⑴ 判断函数的定义域是否关于y 轴（或原点）对称（该步很关键且容易被遗漏）； ⑵ 对()f x 进行化简，若已是最简形式，可跳过该步骤； ⑶ 判断()f x -与()f x 的关系．★注：亦可根据函数的图象判断其奇偶性（但不能用来证明奇偶性）．〖例2〗 判断下列各函数的奇偶性：⑴ 221()lg lg f x x x=+⑵()(f x x =-⑶220()0x x x f x x x x ⎧+<=⎨-+>⎩解：⑴ 函数的定义域(,0)(0,)-∞+∞关于y 轴对称，且22()lg lg 0f x x x =-=∴()f x 既为奇函数也为偶函数 ⑵ 由101xx+≥-得原函数定义域为[1,1)-关于y 轴不对称 ∴()f x 既非奇函数也非偶函数 ⑶ 函数的定义域(,0)(0,)-∞+∞关于y 轴对称当0x <时，0x ->，则22()()()()f x x x x x f x -=---=-+=- 当0x >时，0x -<，则22()()()()f x x x x x f x -=--=-+=- 综上所述，对任何x ∈(,0)(0,)-∞+∞都有()()f x f x -=-，故()f x 为奇函数．★点评：分段函数的性质的讨论通法为“分类讨论”．〖例3〗 ()f x 是定义在R 上的函数，对于任意,x y R ∈，()()f x y f x y ++-2()()f x f y =恒成立，且(0)0f ≠,试判断()f x 的奇偶性.解：∵对于任意,x y R ∈，()()f x y f x y ++-2()()f x f y =恒成立 令0x y ==，得(0)(0)2(0)(0)f f f f +=⋅，且(0)0f ≠，∴(0)1f =令0x =，得()()2(0)()f y f y f f y +-=，即()()f y f y -=．故()f x 是偶函数．★点评：抽象函数是近几年高考的热点，研究这类函数的根本方法是“赋值”，解题中要灵活应用题目条件赋值转化．（()0f x ≠）（()0f x ≠）4．奇（偶）函数的性质（补充） ⑴ 奇函数的反函数仍是奇函数；⑵ 若奇函数()f x 在0x =处有定义，则(0)0f = ⑶ 已知2012()n n f x a a x a x a x =++++，则当0240a a a ====（即偶数次项系数都为0）时，()f x 为奇函数； 法1350a a a ====（即奇数次项系数都为0）时，()f x 为偶函数．⑷ 函数()0f x =（定义域D 关于y 轴对称）既为奇函数也为偶函数； ⑸ 奇（偶）函数的导函数为偶（奇）函数；（文科不给，理科证明如下）已知：()f x 为奇函数． 求证：()f x '为偶函数 ∵()f x 为奇函数 ∴()()f x f x -=-证法一：两边同时求导得：()()f x f x ''--=-，即()()f x f x ''-=∴()f x '为偶函数⑹ 若()()f x g x 、都是奇（偶）函数，则()()f x g x ±为奇（偶）函数；()()f x g x ⋅为偶函数；()()f xg x （()0g x ≠）为偶函数；⑺ 若()()f x g x 、中一个为偶函数，一个为奇函数，则()()f x g x ⋅为奇函数；()()f xg x （()0g x ≠）为偶函数；三、函数周期性复习1．定义：如果对于任意的．．．x D ∈（D 为()f x 的定义域），有()()f x T f x +=，那么()y f x =具备周期性，T 叫做函数的一个周期．2．几种常见的函数周期 ⑴ sin()y A x ωϕ=+2||T πω=⑵ cos()y A x ωϕ=+ 2||T πω=⑶ tan()y A x ωϕ=+ ||T πω=⑷ cot()y A x ωϕ=+ ||T πω=⑸ 若对任意的．．．x D ∈，都有()()f x h f x h +=-，则()f x 的周期2T h =推广：若对任意的．．．x D ∈，都有()()f x a f x b +=+，则()f x 的周期||T b a =- ⑹ 若对任意的．．．x D ∈，都有()()f x h f x +=-，则()f x 的周期2T h =⑺ 若对任意的．．．x D ∈，都有1()()f x h f x +=，则()f x 的周期2T h = ⑻ 若对任意的．．．x D ∈，都有()()f x T f x -=，则()f x 的周期为T【课堂小结】1．“定义域必关于y 轴（或原点）对称”是函数具有奇偶性的必要条件； 2．()f x 为偶函数⇔(||)()f x f x =；3．若奇函数()f x 在0x =处有定义，则(0)0f =．在大题中要给出证明： 由()f x 为奇函数知(0)(0)f f =-，故(0)0f =【教后反思】证法二： ∴0()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆0()()()limx f x x f x f x x∆→-+∆--'-=∆0()()limx f x x f x x∆→--∆+=∆ 0()()lim ()x f x x f x f x x-∆→-∆-'==-∆注意()f x '-与[()]f x '-的区别 思考：周期函数的定义域是函数2((2,21))y x k x k k =+∈+其中k Z ∈，其周期为2。
第1课 周期性与奇偶性(经典公开课)
k∈Z;余弦曲线 y=cos x 的对称中心为 + , (k∈Z),对称
轴 x=kπ,k∈Z.
探究一 求三角函数的周期
【例 1】 求下列函数的最小正周期:
(1)y=sin + (x∈R);
(2)y=|cos x|(x∈R).
解:(1)方法一:令 y=f(x)=sin + ,
答案:π
.
三、函数的奇偶性
【问题思考】
1.根据诱导公式三可知,对于x∈R,sin(-x)=-sin x,cos(-x)=cos x,
这说明正弦函数、余弦函数具备怎样的性质?
提示:奇偶性,正弦函数y=sin x是奇函数,余弦函数y=cos x是偶
函数.
2.填空:正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数.
定义域关于原点对称.又 f(-x)=
-
=f(x),故该函数为偶函数.
1.下列是定义在R上的四个函数图象的一部分,其中不是周期
函数的是(
)
答案:D
2.设函数 f(x)=sin -
,x∈R,则 f(x)是(
A.最小正周期为 π 的奇函数
C.最小正周期为的奇函数
判断函数的奇偶性,要按函数奇偶性的定义加以判断,一般不
要把函数式化简,若要化简,则应注意化简前后的等价性.如本
例,若直接将函数式化为y=cos x,则易出现判断该函数为偶函
数的错误.
【变式训练】 判断函数 f(x)=
-
的奇偶性.
解:由 cos x≠1,得 x≠2kπ,k∈Z,即函数的定义域为{x|x≠2kπ,k∈Z},
∴f(x)=0,x=2kπ±(k∈Z).
高中数学教案 第3讲 函数的奇偶性、周期性
第3讲函数的奇偶性、周期性1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及应用.2.会利用函数的奇偶性、周期性解决函数性质的简单问题.1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数f (x )的定义域为D ，如果∀x ∈D ，都有－x ∈D ，且□1f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数关于□2y 轴对称奇函数一般地，设函数f (x )的定义域为D ，如果∀x ∈D ，都有－x ∈D ，且□3f(－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数关于□4原点对称2.周期性(1)周期函数：一般地，设函数f (x )的定义域为D ，如果存在一个非零常数T ，使得对每一个x ∈D 都有x ＋T ∈D ，且□5f (x ＋T )＝f (x )，那么函数y ＝f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个□6最小的正数，那么这个□7最小正数就叫做f (x )的最小正周期.常用结论1.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.2.函数周期性常用结论对f (x )定义域内任一自变量的值x ：(1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0).(2)若f (x ＋a )＝1f （x ），则T ＝2a (a ＞0).(3)若f (x ＋a )＝－1f （x ），则T ＝2a (a ＞0).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y ＝x 2在x ∈(0，＋∞)上是偶函数.()(2)若函数f (x )为奇函数，则一定有f (0)＝0.()(3)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期.()(4)若函数f (x )的图象关于点(a ，0)和点(b ，0)对称，则函数f (x )必为周期函数，2|a －b |是它的一个周期.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2.回源教材(1)(多选)下列给出的函数是奇函数的是()A.f (x )＝1x B.f (x )＝x 2＋1x C.f (x )＝x 3＋1 D.f (x )＝sin x解析：ABD 对于选项A ，B ，D 中的函数，都有f (－x )＝－f (x )，故是奇函数.对于选项C ，f (－x )＝(－x )3＋1＝－x 3＋1≠－f (x )，故不是奇函数.(2)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x (1＋x )，则f (－1)＝.解析：f (1)＝1×2＝2，又f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)＝－2.答案：－2(3)设f (x )是以2为最小正周期的周期函数，且当x ∈[0，2]时，f (x )＝(x －1)2，则f (5)＝，f (92)＝.解析：f (5)＝f (1)＝(1－1)2＝0，f (92)＝f (12)＝(12－1)2＝14.答案：014判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3；(2)f(x)2＋x，x<0，x2＋x，x>0；(3)f(x)＝log2(x＋x2＋1).解：(1)－x2≥0，2－3≥0，得x2＝3，解得x＝±3，即函数f(x)的定义域为{－3，3}，从而f(x)＝3－x2＋x2－3＝0.因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.因为当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，所以函数f(x)为奇函数.(3)显然函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝log2[－x＋（－x）2＋1]＝log2(x2＋1－x)＝－log2(x2＋1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数.反思感悟判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数.(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.训练1(1)(2024·海淀区模拟)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是()A.y＝xB.y＝1x2C.y＝lg|x|D.y＝3x－3－x2解析：C选项A，y＝x是非奇非偶函数，在区间(0，＋∞)上单调递增，不符合题意.选项B，y＝1x2是偶函数，在区间(0，＋∞)上单调递减，不符合题意.选项C，y＝lg|x|是偶函数，在区间(0，＋∞)上单调递增，符合题意.选项D，y＝3x－3－x2是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增，不符合题意.故选C.(2)已知函数f(x)＝sin x，g(x)＝e x＋e－x，则下列结论正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数解析：C选项A，f(x)g(x)＝(e x＋e－x)sin x，f(－x)g(－x)＝(e－x＋e x)sin(－x)＝－(e x＋e－x)sin x＝－f(x)g(x)，是奇函数，判断错误；选项B，|f(x)|g(x)＝|sin x|(e x＋e－x)，|f(－x)|g(－x)＝|sin(－x)|(e－x＋e x)＝|sin x|(e x＋e－x)＝|f(x)|g(x)，是偶函数，判断错误；选项C，f(x)|g(x)|＝|e x＋e－x|sin x，f(－x)|g(－x)|＝|e－x＋e x|sin(－x)＝－|e x＋e－x|sin x＝－f(x)|g(x)|，是奇函数，判断正确；选项D，|f(x)g(x)|＝|(e x＋e－x)sin x|，|f(－x)g(－x)|＝|(e－x＋e x)sin(－x)|＝|(e x＋e－x)sin x|＝|f(x)g(x)|，是偶函数，判断错误.函数奇偶性的应用求解析式(参数或值)例2(1)(2023·全国乙卷)已知f(x)＝x e xe ax－1是偶函数，则a＝()A.－2B.－1C.1D.2解析：D因为f(x)＝x e xe ax－1为偶函数，则f(x)－f(－x)＝x e xe ax－1－（－x）e－x e－ax－1＝x[e x－e（a－1）x]e ax－1＝0，因为x不恒为0，可得e x－e(a－1)x＝0，即e x＝e(a－1)x，则x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2.(2)已知函数f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝2x2－2x＋2，则f(x)＝.解析：由函数f(x)是R上的奇函数，得f(0)＝0，而当x<0时，－x>0，所以有f(x)＝－f(－x)＝－2（－x）2－2×（－x）＋2＝－2x2＋2x＋2，综上所述，f(x)x<0，>0.x<0，>0奇偶性与单调性例3(2024·梧州模拟)已知偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，且f(1)＝0，则不等式xf(x－2)>0的解集为()A.(1，3)B.(3，＋∞)C.(－3，－1)∪(3，＋∞)D.(0，1)∪(3，＋∞)解析：D法一：偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，则在(0，＋∞)上单调递增.因为f(1)＝0，则当x>0时，xf(x－2)>0即f(|x－2|)>0＝f(1)，所以x－2>1或x －2<－1，解得x>3或x<1，所以x∈(0，1)∪(3，＋∞).当x<0时，xf(x－2)>0即f(x－2)<0，f(|x－2|)<0＝f(1)，所以－1<x－2<1，解得1<x<3，所以解集为空集.综上，不等式xf(x－2)>0的解集为(0，1)∪(3，＋∞).故选D.法二：偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，且f(1)＝0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(－1)＝0，所以f(x－2)在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，且当x＝1或x＝3时，f(x－2)＝0.当x>0时，xf(x－2)>0即f(x－2)>0，所以x>3或x<1，所以x∈(0，1)∪(3，＋∞)；当x<0时，xf(x－2)>0即f(x－2)<0，所以1<x<3，所以解集为空集.综上，不等式xf(x－2)>0的解集为(0，1)∪(3，＋∞).故选D.反思感悟1.求参数值的方法利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.2.解函数不等式的方法(1)将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系.(2)利用单调性脱去符号“f”，转化为解不等式(组)的问题.训练2(1)(2024·深圳模拟)已知f(x)为奇函数，且x<0时，f(x)＝e x，则f(e)＝()A.e eB.－e eC.e－eD.－e－e解析：D因为f(x)为奇函数，且x<0时，f(x)＝e x，所以f(e)＝－f(－e)＝－e －e.故选D.(2)(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)·ln2x－12x＋1为偶函数，则a＝()A.－1B.0C.12D.1解析：B因为f(x)为偶函数，则f(1)＝f(－1)，∴(1＋a)ln 13(－1＋a)ln3，解得a ＝0，当a ＝0时，f (x )＝x ln2x －12x ＋1，(2x －1)·(2x ＋1)>0，解得x >12或x <－12，则其定义域为{x |x >12或x <－12}，关于原点对称.f (－x )＝(－x )ln 2（－x ）－12（－x ）＋1＝(－x )ln 2x ＋12x －1＝(－x )ln(2x －12x ＋1)－1＝x ln 2x －12x ＋1＝f (x )，故此时f (x )为偶函数.故选B.(3)偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈(－∞，0)时，f (x )是增函数，则f (－π)，f (2)，f (3)的大小关系是()A.f (－π)>f (2)>f (3)B.f (－π)>f (3)>f (2)C.f (－π)<f (2)<f (3)D.f (－π)<f (3)<f (2)解析：D 因为函数f (x )是偶函数且在(－∞，0)上为增函数，故函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，所以，f (－π)＝f (π)<f (3)<f (2)，故选D.函数的周期性及应用例4(1)函数f (x )满足f (x )f (x ＋2)＝13，且f (1)＝2，则f (2023)＝.解析：∵f (x )f (x ＋2)＝13，∴f (x ＋2)＝13f （x ），∴f (x ＋4)＝13f （x ＋2）＝1313f （x ）＝f (x )，∴f (x )的周期为4，∴f (2023)＝f (3)＝13f （1）＝132.答案：132(2)设f (x )是定义在R 上周期为4的偶函数，且当x ∈[0，2]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则函数f (x )在[2，4]上的解析式为.解析：根据题意，设x ∈[2，4]，则x－4∈[－2，0]，则有4－x∈[0，2]，当x∈[0，2]时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(4－x)＝log2[(4－x)＋1]＝log2(5－x)，又f(x)为周期为4的偶函数，所以f(x)＝f(x－4)＝f(4－x)＝log2(5－x)，x∈[2，4]，则有f(x)＝log2(5－x)，x∈[2，4].答案：f(x)＝log2(5－x)，x∈[2，4]反思感悟1.求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期.2.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.训练3(1)(2024·常州金坛区第二次检测)函数f(x)的定义域为R，且f(1＋x)＝－f(1－x)，f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)是()A.偶函数，又是周期函数B.偶函数，但不是周期函数C.奇函数，又是周期函数D.奇函数，但不是周期函数解析：A法一：因为f(1＋x)＝－f(1－x)，所以f(x＋2)＝－f[1－(x＋1)]＝－f(－x).因为f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(2－x)＝－f(－x)，即f(2＋x)＝－f(x)，所以f(x ＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，则f(x＋2)＝f(x－2).因为f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x－2)＝f(2－x)，所以f(x)＝f(－x)，f(x)是偶函数.故选A.法二：因为f(1＋x)＝－f(1－x)，所以f(x)的图象关于(1，0)中心对称；因为f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)是以4为周期的周期函数，则f(x＋2)＝f(x－2).又f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x－2)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于y轴对称，f(x)是偶函数.故选A.(2)(2024·吕梁模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋3)＝－f(x)，g(x)＝f(x)－2为奇函数，则f(198)＝()A.0B.1C.2D.3解析：C因为f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)的周期为6，又g(x)＝f(x)－2为奇函数，所以f(x)－2＋f(－x)－2＝0，所以f(x)＋f(－x)＝4，令x＝0，得2f(0)＝4，所以f(0)＝2，所以f(198)＝f(0＋6×33)＝f(0)＝2，故选C.限时规范训练(八)A级基础落实练1.(2023·聊城模拟)已知函数f(x)的定义域为R，则“f(x)是偶函数”是“|f(x)|是偶函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：A偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，根据这一特征，若f(x)是偶函数，则|f(x)|是偶函数，若f(x)是奇函数，|f(x)|也是偶函数，所以“f(x)是偶函数”是“|f(x)|是偶函数”的充分不必要条件.2.(2023·福建联合测评)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝e－x －2，则f(ln2)＝()A.－1B.0C.1D.2解析：B因为f(x)是定义在R上的奇函数，且ln2>0，所以f(ln2)＝－f(－ln2)＝－f(ln12)＝－(e－ln12－2)＝0.故选B.3.(2024·河南名校联盟模拟)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)＝4x，则f(－52)＋f(2)等于()A.0B.2C.4D.－2解析：D∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，又f(x)在R上的周期为2，∴f (2)＝f (0)＝0，f (－52)＝f (－12)＝－f (12)＝－412＝－2，∴f (－52)＋f (2)＝－2.4.已知奇函数f (x )与偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝1x －1，则f (x )＝()A.1x 2－1B.11－x 2C.x x 2－1D.x 1－x 2解析：C由f (x )＋g (x )＝1x －1可得f (－x )＋g (－x )＝1－x －1，又f (x )，g (x )分别为奇，偶函数，所以g (x )－f (x )＝1－x －1，由x ）＋g （x ）＝1x －1，（x ）－f （x ）＝1－x －1，解得f (x )＝xx 2－1，故选C.5.设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数，且f (2)＝0，则不等式f （－x ）－f （x ）x≥0的解集为()A.[－2，0]∪[2，＋∞)B.(－∞，－2]∪(0，2]C.(－∞，－2]∪[2，＋∞)D.[－2，0)∪(0，2]解析：D由题意可得，奇函数f (x )在(0，＋∞)和(－∞，0)上都为单调递增函数，且f (－2)＝f (2)＝0，函数图象示意图如图所示.故不等式f （－x ）－f （x ）x ≥0，即－2f （x ）x ≥0，即f （x ）x≤0，结合f(x)的示意图可得它的解集为{x|－2≤x<0或0<x≤2}，故选D.6.已知函数f(x)＝a sin x＋b 3x＋cx＋1，若f(ln2)＝4，则f(ln12)的值为()A.4B.－1C.－2D.－3解析：C设g(x)＝a sin x＋b 3x＋cx，则g(－x)＝a sin(－x)＋b3－x＋c(－x)＝－a sin x－b 3x－cx＝－(a sin x＋b3x＋cx)＝－g(x)，故g(－x)＝－g(x)，即函数g(x)为奇函数.又f(ln2)＝g(ln2)＋1＝4，所以g(ln2)＝3.又ln 12＝－ln2，故f(ln 12)＝f(－ln2)＝g(－ln2)＋1＝－g(ln2)＋1＝－3＋1＝－2，即f(ln12)＝－2，故选C.7.(2024·南通模拟)已知函数f(x)的定义域为R，y＝f(x)＋e x是偶函数，y＝f(x)－3e x是奇函数，则f(x)的最小值为()A.eB.22C.23D.2e解析：B因为函数y＝f(x)＋e x为偶函数，所以f(－x)＋e－x＝f(x)＋e x，即f(x)－f(－x)＝e－x－e x，①因为函数y＝f(x)－3e x为奇函数，所以f(－x)－3e－x＝－f(x)＋3e x，即f(x)＋f(－x)＝3e x＋3e－x，②联立①②可得f(x)＝e x＋2e－x，由基本不等式可得f(x)＝e x＋2e－x≥2e x·2e－x ＝22，当且仅当e x＝2e－x，即x＝12ln2时，等号成立，故函数f(x)的最小值为2 2.故选B.8.(多选)(2024·皖云吉黑四省联考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)，g(x)在(－∞，0]上单调递减，则()A.f(f(1))<f(f(2))B.f(g(1))<f(g(2))C.g (f (1))<g (f (2))D.g (g (1))<g (g (2))解析：BD因为f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，且两函数在(－∞，0]上单调递减，所以f (x )在[0，＋∞)上单调递增，g (x )在[0，＋∞)上单调递减，g (x )在R 上单调递减，所以f (1)<f (2)，g (0)＝0>g (1)>g (2)，所以f (g (1))<f (g (2))，g (f (1))>g (f (2))，g (g (1))<g (g (2))，所以BD 正确，C 错误，若|f (1)|>|f (2)|，则f (f (1))>f (f (2))，A 错误.故选BD.9.写出一个同时满足①②的函数f (x )＝.①f (x )是偶函数，②f (x ＋2)＝－f (x ).解析：因为f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x )＝－f (x －2)，故f (x ＋2)＝f (x －2)，可知函数f (x )的最小正周期为4，结合函数为偶函数，可以构造f (x )＝cos π2.答案：cos π2x (答案不唯一)10.(2023·全国甲卷)若f (x )＝(x －1)2＋ax ＋sin(x ＋π2)为偶函数，则a ＝.解析：因为f (x )＝(x －1)2＋ax ＋sin(x ＋π2)＝(x －1)2＋ax ＋cos x 为偶函数，定义域为R ，所以f (－π2＝f (π2)，即(－π2－1)2－π2a ＋cos(－π2)＝(π2－1)2＋π2a ＋cos π2，则πa ＝(π2＋1)2－(π2－1)2＝2π，故a ＝2，此时f (x )＝(x －1)2＋2x ＋cos x ＝x 2＋1＋cos x ，所以f (－x )＝(－x )2＋1＋cos(－x )＝x 2＋1＋cos x ＝f (x )，又定义域为R ，故f (x )为偶函数，所以a ＝2.答案：211.若函数f (x )＝e x －e －x ，则不等式f (ln x )＋f (ln x －1)>0的解集是.解析：因为f (x )＝e x －e －x ，定义域为R ，且f (－x )＝－(e x －e －x )＝－f (x )，故其为奇函数，又y ＝e x ，y ＝－e －x 均为增函数，故f (x )为R 上的增函数，则原不等式等价于f (ln x )>f (1－ln x )，也即ln x >1－ln x ，整理得ln x >12，解得x>e，故不等式的解集为(e，＋∞).答案：(e，＋∞)12.(2024·西安模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝f(1－x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝2x－m，则f(2023)＝.解析：因为定义在R上的奇函数f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝2x－m，所以f(0)＝20－m＝0，解得m＝1，且f(1－x)＝－f(x－1)，又f(x＋1)＝f(1－x)，所以f(x＋1)＝－f(x－1)，用x－2代替x得f(x－1)＝－f(x－3)，故f(x＋1)＝f(x－3)，故f(x)为周期为4的函数，所以f(2023)＝f(505×4＋3)＝f(3)，f(x＋1)＝f(1－x)中，令x＝2得f(3)＝f(－1)，其中f(－1)＝－f(1)＝－(2－1)＝－1，所以f(2023)＝f(3)＝－1.答案：－1B级能力提升练13.(多选)f(x)是定义在R上的偶函数，对∀x∈R，均有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(2－x)，则下列结论正确的是()A.函数f(x)的一个周期为4B.f(2022)＝1C.当x∈[2，3]时，f(x)＝－log2(4－x)D.函数f(x)在[0，2021]内有1010个零点解析：AC∵f(x)是定义在R上的偶函数，对∀x∈R，均有f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数的周期为4，故A正确；f(2022)＝f(4×505＋2)＝f(2)＝－f(0)＝－1，故B错误；当x∈[2，3]时，x－2∈[0，1]，则f(x)＝－f(x－2)＝－log2[2－(x－2)]＝－log2(4－x)，故C正确；易知f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2019)＝f(2021)＝0，于是函数f(x)在[0，2021]内有1011个零点，故D错误.14.(2023·合肥二模)若定义域为R的奇函数f(x)满足f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)，且f(1)＝2，则f(2024)＝.解析：由f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)，得f(x＋1)＝f(x＋2)＋f(x)，所以f(x)－f(x－1)＝f(x＋2)＋f(x)，即－f(x－1)＝f(x＋2)，于是有－f(x)＝f(x＋3)，所以－f(x＋3)＝f(x＋6)，即f(x)＝f(x＋6).所以函数f(x)的周期为6.因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0.令x＝1，则f(1)＝f(2)＋f(0)，解得f(2)＝f(1)－f(0)＝2，所以f(2024)＝f(337×6＋2)＝f(2)＝2.答案：215.(2024·郑州模拟)已知函数f(x)满足：对于任意x1，x2∈(－∞，＋∞)，且x1≠x2，不等式f（x1）－f（x2）x1－x2<2恒成立.若f(x)是奇函数，且f(a)>2a，则实数a 的取值范围是.解析：因为对于任意的x1，x2∈(－∞，＋∞)，且x1≠x2，都有f（x1）－f（x2）x1－x2<2，不妨设x1>x2，则f(x1)－f(x2)<2x1－2x2，即f(x1)－2x1<f(x2)－2x2，所以g(x)＝f(x)－2x在R上单调递减，又y＝f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，则g(0)＝f(0)－0＝0，因为f(a)>2a，所以f(a)－2a>0，即g(a)>g(0)，因为g(x)＝f(x)－2x在R上单调递减，所以a<0，即不等式f(a)>2a的解集为{a|a<0}，故实数a的取值范围为(－∞，0).答案：(－∞，0)16.(2024·菏泽模拟)定义在R上的函数f(x)，g(x)，满足f(2x＋3)为偶函数，g(x＋5)－1为奇函数，若f(1)＋g(1)＝3，则f(5)－g(9)＝.解析：因为f(2x＋3)为偶函数，g(x＋5)－1为奇函数，所以f(－2x＋3)＝f(2x＋3)，①g(－x＋5)－1＝－g(x＋5)＋1.②在①中，令x＝1，则f(－2×1＋3)＝f(2×1＋3)，即f(1)＝f(5)，在②中，令x＝4，则g(－4＋5)－1＝－g(4＋5)＋1，即g(1)－1＝－g(9)＋1，又因为f(1)＋g(1)＝3，所以f(5)－g(9)＝f(1)＋g(1)－2＝1.答案：1。
函数的奇偶性与周期性(教师版)
预习讲义2.5函数的奇偶性和周期性知识梳理1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.课前训练1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f(x)＝0，x∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数. ( ×)(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称. ( √)(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称. ( √)(4)若函数f(x)＝xx－2 x＋a为奇函数，则a＝2. ( √)(5)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数. ( √)(6)函数f(x)为R上的奇函数，且f(x＋2)＝f(x)，则f(2 014)＝0. ( √)2.已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋1x，则f(－1)等于________.答案－2解析f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2.3.已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________.答案1 3解析依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，∴a ＝13，则a ＋b ＝13.4.已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (2 015)等于________. 答案 －2解析 ∵f (x ＋4)＝f (x )， ∴f (x )是以4为周期的周期函数，∴f (2 015)＝f (503×4＋3)＝f (3)＝f (－1). 又f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2×12＝－2，即f (2 015)＝－2.5.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x 的取值范围是________. 答案 (－1,0)∪(1，＋∞)解析 画草图，由f (x )为奇函数知：f (x )>0的x 的取值范围为(－ 1,0)∪(1，＋∞).2.5函数的奇偶性和周期性例题精讲例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝9－x 2＋x 2－9； (2)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x； (3)f (x )＝4－x2|x ＋3|－3.思维启迪 判断函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称.若对称，再验证f (－x )＝±f (x )或其等价形式f (－x )±f (x )＝0是否成立.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧9－x 2≥0x 2－9≥0，得x ＝±3.∴f (x )的定义域为{－3,3}，关于原点对称. 又f (3)＋f (－3)＝0，f (3)－f (－3)＝0. 即f (x )＝±f (－x ).∴f (x )既是奇函数，又是偶函数. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 1＋x≥01＋x ≠0，得－1<x ≤1.∵f (x )的定义域(－1,1]不关于原点对称. ∴f (x )既不是奇函数，也不是偶函数.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0|x ＋3|－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0.∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称. ∴f (x )＝4－x 2x ＋3 －3＝4－x 2x .∴f (x )＝－f (－x )，∴f (x )是奇函数.例2(1) f (x )为R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝－2x 2＋3x ＋1，求f (x )的解析式．(2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f x，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝________. 解析 (1)当x ＜0时， －x ＞0，则f (－x )＝－2(－x )2＋3(－x )＋1＝－2x 2－3x ＋1. 由于f (x )是奇函数，故f (x )＝－f (－x )， 所以当x ＜0时，f (x )＝2x 2＋3x －1. 因为f (x )为R 上的奇函数，故f (0)＝0.综上可得f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧－2x 2＋3x ＋1，x ＞0，0，x ＝0，2x 2＋3x －1，x ＜0.(2)由已知，可得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2] ＝－1f x ＋2 ＝－1－1f x＝f (x ).故函数的周期为4.∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5). ∵2≤2.5≤3，由题意，得f (2.5)＝2.5. ∴f (105.5)＝2.5.例3 (1)已知奇函数f (x )在定义域(－1,1)内是减函数，则满足f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m 的取值范围为________. 答案 (0,1)解析 f (1－m )<－f (1－m 2)， 即f (1－m )<f (m 2－1)， 于是⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－m <1，－1<1－m 2<1，1－m >m 2－1，解得0<m <1.(2)设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (1－m )＜f (m )，则实数m 的取值范围是________．解析 ∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )＝f (|x |)． ∴不等式f (1－m )＜f (m )⇔f (|1－m |)＜f (|m |)． 又当x ∈[0,2]时，f (x )是减函数．∴⎩⎨⎧|1－m |＞|m |，－2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2，解得－1≤m ＜12课后提升1.已知f (x )＝px 2＋23x ＋q 是奇函数，且f (2)＝53，则f (x )的解析式为________.答案 f (x )＝2x 2＋23x解析 因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＋f (x )＝0，得px 2＋2－3x ＋q ＋px 2＋23x ＋q＝0，得q ＝0， 由f (2)＝53得4p ＋26＝53，得p ＝2，则f (x )＝2x 2＋23x.2、若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x，则g (x )等于________. 解析 ∵f (x )为偶函数，g (x )为奇函数， ∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x ). ∴f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x. 又∵f (x )＋g (x )＝e x，∴g (x )＝e x－e－x 2.答案 12(e x －e －x)3.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x ＝1对称. (1)求证：f (x )是周期为4的周期函数；(2)若f (x )＝x (0<x ≤1)，求x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式. (1)证明 由函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称， 有f (x ＋1)＝f (1－x )，即有f (－x )＝f (x ＋2). 又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，故有f(－x)＝－f(x).故f(x＋2)＝－f(x).从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数.(2)解由函数f(x)是定义在R上的奇函数，有f(0)＝0. x∈[－1,0)时，－x∈(0,1]，f(x)＝－f(－x)＝－－x. 故x∈[－1,0]时，f(x)＝－－x.x∈[－5，－4]时，x＋4∈[－1,0]，f(x)＝f(x＋4)＝－－x－4.从而，x∈[－5，－4]时，函数f(x)＝－－x－4.课后作业一、填空题1.下列函数中，所有奇函数的序号是________.①f (x )＝2x 4＋3x 2；②f (x )＝x 3－2x ；③f (x )＝x 2＋1x；④f (x )＝x 3＋1. 答案 ②③2.设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________. 答案 －9解析 令g (x )＝f (x )－1＝x 3cos x ，∵g (－x )＝(－x )3cos(－x )＝－x 3cos x ＝－g (x )， ∴g (x )为定义在R 上的奇函数.又∵f (a )＝11， ∴g (a )＝f (a )－1＝10，g (－a )＝－g (a )＝－10. 又g (－a )＝f (－a )－1，∴f (－a )＝g (－a )＋1＝－9.3.定义两种运算：a b ＝a 2－b 2，a ⊗b ＝ a －b 2，则f (x )＝2 x 2－ x ⊗2 是________函数.(填“奇”或“偶”) 答案 奇解析 因为2 x ＝4－x 2，x ⊗2＝ x －2 2， 所以f (x )＝4－x22－ x －2 2＝4－x 22－ 2－x ＝4－x2x ， 该函数的定义域是[－2,0)∪(0,2]， 且满足f (－x )＝－f (x ). 故函数f (x )是奇函数.4.已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x－a －x＋2(a >0，且a ≠1).若g (2)＝a ，则f (2)等于________. 答案154解析 ∵f (x )为奇函数，g (x )为偶函数， ∴f (－2)＝－f (2)，g (－2)＝g (2)＝a ， ∵f (2)＋g (2)＝a 2－a －2＋2，①∴f (－2)＋g (－2)＝g (2)－f (2)＝a －2－a 2＋2，② 由①、②联立，g (2)＝a ＝2，f (2)＝a 2－a －2＝154.5.若f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)上递增，且f (－3)＝0，则xf (x )<0的解集是________.答案 (－3,0)∪(0,3) 解析 结合f (x )的草图即可.6.若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________. 答案 0解析 ∵函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即(－x )2－|－x ＋a |＝x 2－|x ＋a |，∴|－x ＋a |＝|x ＋a |，∴a ＝0.7.已知函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈R )，则f (2 015)＝________. 答案 14解析 令x ＝1，y ＝0时，4f (1)·f (0)＝f (1)＋f (1)， 解得f (0)＝12，令x ＝1，y ＝1时，4f (1)·f (1)＝f (2)＋f (0)， 解得f (2)＝－14，令x ＝2，y ＝1时，4f (2)·f (1)＝f (3)＋f (1)， 解得f (3)＝－12，依次求得f (4)＝－14，f (5)＝14，f (6)＝12，f (7)＝14，f (8)＝－14，f (9)＝－12，…可知f (x )是以6为周期的函数， ∴f (2 015)＝f (335×6＋5)＝f (5)＝14.二、解答题8.设f (x )是定义域为R 的周期函数，且最小正周期为2，且f (1＋x )＝f (1－x )，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x . (1)判定f (x )的奇偶性；(2)试求出函数f (x )在区间[－1,2]上的表达式．解 (1)∵f (1＋x )＝f (1－x )， ∴f (－x )＝f (2＋x )．又f (x ＋2)＝f (x )，∴f (－x )＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．(2)当x ∈[0,1]时，－x ∈[－1,0]， 则f (x )＝f (－x )＝x ；进而当1≤x ≤2时，－1≤x －2≤0， f (x )＝f (x －2)＝－(x －2)＝－x ＋2.故f (x )＝⎩⎨⎧－x ，x ∈[－1，0)，x ，x ∈[0，1)，－x ＋2，x ∈[1，2].9.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数.(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围. 解(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ， 所以m ＝2.(2)由(1)知f (x )在[－1,1]上是增函数， 要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增.结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3].10.已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x＋b2x ＋1＋a 是奇函数.(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围. 解 (1)因为f (x )是奇函数，且定义域为R ，所以f (0)＝0， 即－1＋b 2＋a ＝0，解得b ＝1.从而有f (x )＝－2x＋12x ＋1＋a . 又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.经检验适合题意，∴a ＝2，b ＝1. (2)由(1)知f (x )＝－2x＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数.又因f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k ).因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k . 即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0. 从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.11.已知f (x )是偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是增函数，如果f (ax ＋1)≤f (x －2)在x ∈[12，1]上恒成立，求实数a 的取值范围.解 由于f (x )为偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，则在(－∞，0]上为减函数，由f (ax ＋1)≤f (x －2)，则|ax ＋1|≤|x －2|. 又x ∈[12，1]，故|x －2|＝2－x ，即x －2≤ax ＋1≤2－x .∴1－3x ≤a ≤1x －1在[12，1]上恒成立.∴(1x －1)min ＝0，(1－3x)max ＝－2，∴－2≤a ≤0.12.函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋江苏省泰州中学校本教学案 一轮复习11 编者：余静 f (x 2).(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围.解 (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.(2)令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数.(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数，∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16).又f (x )在(0，＋∞)上是增函数.∴0<|x －1|<16，解之得－15<x <17且x ≠1.∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}..。
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教学过程一、课堂导入我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请想一下有哪些美？对于对称美，请想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？若给它适当地建立直角坐标系，那么会发现什么特点？数学中对称的形式也很多，这节课我们就来复习在坐标系中对称的函数二、复习预习1、复习单调性的概念2、复习初中的轴对称和中心对称3、预习奇偶性的概念4、预习奇偶性的应用三、知识讲解考点1 函数的奇偶性[探究] 1.提示：定义域关于原点对称，必要不充分条件．2．若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，是否有f(0)＝0？如果是偶函数呢？提示：如果f(x)是奇函数时，f(0)＝－f(0)，则f(0)＝0；如果f(x)是偶函数时，f(0)不一定为0，如f(x)＝x2＋1.3．是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？若有，有多少个？提示：存在，如f(x)＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集，这样的函数有无穷多个．考点2 周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y ＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．四、例题精析【例题1】【题干】判断下列函数的奇偶性(1)f(x)＝lg 1－x1＋x；(2)f(x)＝⎩⎨⎧x2＋x(x>0)，x2－x(x<0)；(3)f(x)＝lg(1－x2)|x2－2|－2.【解析】(1)由1－x 1＋x>0⇒－1<x <1， 定义域关于原点对称．又f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－x 1＋x －1＝－lg 1－x 1＋x ＝－f (x )， 故原函数是奇函数．(2)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x <0时，－x >0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2－x ，则当x >0时，－x <0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x 2－2|－2≠0，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称，∴f (x )＝lg (1－x 2)－(x 2－2)－2＝－lg (1－x 2)x 2.lg[1－(－x)2](－x)2＝－lg(1－x2)x2＝f(x)，∴f(x)为偶函数．∵f(－x)＝－【例题2】【题干】(1)设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝() A．－3B．－1C．1D．3(2)已知函数f(x)在区间[－5,5]上是奇函数，在区间[0,5]上是单调函数，且f(3)<f(1)，则()A．f(－1)<f(－3) B．f(0)>f(－1)C．f(－1)<f(1) D．f(－3)>f(－5)【答案】A、A【解析】(1)选A因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得b＝－1.所以当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1，所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.(2)选A函数f(x)在区间[0,5]上是单调函数，又3>1，且f(3)<f(1)，故此函数在区间[0,5]上是减函数．由已知条件及奇函数性质，知函数f(x)在区间[－5,5]上是减函数．选项A中，－3<－1，故f(－3)>f(－1)．选项B中，0>－1，故f(0)<f(－1)．同理选项C中f(－1)>f(1)，选项D中f(－3)<f(－5).【例题3】【题干】(1)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且是以2为周期的周期函数．若当x ∈[0,1)时，f (x )＝2x －1，则f ⎝⎛⎭⎫log 126的值为( )A ．－52B ．－5C ．－12D ．－6(2)已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝－f (x )，若f (x )在[－1,0]上是减函数，那么f (x )在[1,3]上是()A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数【答案】(1)选C (2)选D【解析】(1)选C∵－3<log126<－2，∴－1<log126＋2<0，即－1<log1232<0.∵f(x)是周期为2的奇函数，∴f(log126)＝f⎝⎛⎭⎪⎫log1232＝－f⎝⎛⎭⎪⎫－log1232＝－f⎝⎛⎭⎪⎫log232＝－⎝⎛⎭⎫223log2－1＝－12.(2)选D由f(x)在[－1,0]上是减函数，又f(x)是R上的偶函数，所以f(x)在[0,1]上是增函数．由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝－f(x＋1)＝f(x)，故2是函数f(x)的一个周期．结合以上性质，模拟画出f(x)部分图象的变化趋势，如下图．由图象可以观察出，f(x)在[1,2]上为减函数，在[2,3]上为增函数．五、课堂运用【基础】1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为() A．y＝x＋1B．y＝－x3C．y＝1x D．y＝x|x|解析：选D由函数的奇偶性排除A，由函数的单调性排除B、C，由y＝x|x|的图象可知当x≥0时此函数为增函数，又该函数为奇函数．则f(4)＝f(4＋0)＝f(0)＝0，f(8)＝f(4＋4)＝f(4)＝0.2．设偶函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(2)＝0，则不等式f(x)＋f(－x)x>0的解集为()A．(－2,0)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0,2) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2,0)∪(0,2)解析：选B 选B ∵f (x )为偶函数，∴f (x )＋f (－x )x＝2f (x )x >0， ∴xf (x )>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，f (x )>0，或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，f (x )<0.又f (－2)＝f (2)＝0，f (x )在(0，＋∞)上为减函数，∴x ∈(0,2)或x ∈(－∞，－2)．3．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则() A．f(－25)<f(11)<f(80) B．f(80)<f(11)<f(－25)C．f(11)<f(80)<f(－25) D．f(－25)<f(80)<f(11)解析：选D由函数f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是增函数可以推知f(x)在[－2,2]上递增，又f(x－4)＝－f(x)⇒f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，故函数f(x)以8为周期，f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(3－4)＝f(1)，f(80)＝f(0)，故f(－25)<f(80)<f(11)．【巩固】4．若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________.解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝1 3.又函数f(x)＝13x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0.答案：1302a－1 a＋1，则a的取值范围是________．5．设函数f(x)是定义在R上周期为3的奇函数，若f(1)<1，f(2)＝解析：∵f(x)是奇函数，∴f(1)＝－f(－1)<1.∴f(－1)>－1.又∵f(x)的周期为3，∴f(－1)＝f(2)＝2a－1a＋1>－1.即3aa＋1>0，解得a>0或a<－1.答案：(－∞，－1)∪(0，＋∞)【拔高】6．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为()A．6 B．7C．8 D．9解析：选B∵f(x)是最小正周期为2的周期函数，且0≤x<2时，f(x)＝x3－x＝x(x－1)(x＋1)，∴当0≤x<2时，f(x)＝0有两个根，即x1＝0，x2＝1.由周期函数的性质知，当2≤x<4时，f(x)＝0有两个根，即x3＝2，x4＝3；当4≤x＜6时，f(x)＝0有两个根，即x5＝4，x6＝5，x7＝6也是f(x)＝0的根．故函数f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴交点的个数为7.7．已知函数f(x)＝x2＋ax(x≠0，常数a∈R)．(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝0时，f(x)＝x2对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)．故f(x)为偶函数；当a≠0时，f(x)＝x2＋ax(x≠0，常数a∈R)，取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0；f(－1)－f(1)＝－2a≠0，即f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)．故函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)设2≤x1<x2，f(x1)－f(x2)＝x21＋ax1－x22－ax2＝(x1－x2)x1x2[x1x2(x1＋x2)－a]，要使函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，必须f(x1)－f(x2)<0恒成立，∵x1－x2<0，∴x1x2(x1＋x2)－a>0，即x1x2(x1＋x2)>a恒成立．又∵x1＋x2>4，x1x2>4，∴x1x2(x1＋x2)>16. ∴a的取值范围是(－∞，16]．课程小结1.奇、偶函数的有关性质：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件；(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反之亦然；(3)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0；(4)利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于y轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反．2．若函数满足f(x＋T)＝f(x)，由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期；应注意nT(n∈Z且n≠0)也是函数的周期．。