函数的奇偶性与周期性试题(答案)

函数的奇偶性与周期性

一、选择题

1．(2015·四川绵阳诊断性考试)下列函数中定义域为R ，且是奇函数的是( )

A ．f(x)＝x2＋x

B ．f(x)＝tan x

C ．f(x)＝x ＋sin x

D ．f(x)＝lg 1－x 1＋x

2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R ，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )

A ．f(x)g(x)是偶函数

B ．|f(x)|g(x)是奇函数

C ．f(x)|g(x)|是奇函数

D ．|f(x)g(x)|是奇函数

3．(2015·长春调研)已知函数f(x)＝x2＋x ＋1x2＋1，若f(a)＝23

，则f(－a)＝( ) A.23 B ．－23 C.43 D ．－43

4．已知f(x)在R 上是奇函数，且满足f(x ＋4)＝f(x)，当x ∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)等于( )

A ．－2

B ．2

C ．－98

D ．98

5．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f(x)＝x －1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为( )

A ．(1,3)

B ．(－1,1)

C ．(－1,0)∪(1,3)

D ．(－1,0)∪(0,1)

6．设奇函数f(x)的定义域为R ，最小正周期T ＝3，若f(1)≥1，f(2)＝2a －3a ＋1

，则a 的取值范围是( )

A ．a<－1或a≥23

B ．a<－1

C ．－1

D ．a≤23

二、填空题

7．(2014·湖南高考)若f(x)＝ln(e3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.

8．(2015·广州市调研)已知f(x)是奇函数，g(x)＝f(x)＋4，g(1)＝2，则f(－1)的值是________．

9．(2015·嘉兴模拟)函数y ＝(x －2)|x|在[a,2]上的最小值为－1，则实数a 的取值范围为________．

10．(文科)设函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f(x ＋1)＝f(x

－1)，已知当x ∈[0,1]时，f(x)＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫121－x ，则 ①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；③函数f(x)的

最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f(x)＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫12x －3. 其中所有正确命题的序号是________．

10．(理科)(2015·丽水模拟)已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x －4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数．若方程f(x)＝m(m ＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.

三、解答题

11．已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x ＝1对称．

(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；

(2)若f(x)＝x (0

12．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x2＋2x ，x>0，0，x ＝0，

x2＋mx ，x<0

是奇函数．

(1)求实数m 的值；

(2)若函数f(x)在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．

参考答案

一、选择题

1．解析：函数f(x)＝x2＋x 不是奇函数；函数f(x)＝tan x 的定义域不是R ；函数f(x)＝lg 1－x 1＋x

的定义域是(－1,1)．故选C. 答案：C

2．解析：因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，于是f(－x)·g(－x)＝－f(x)g(x)，即f(x)g(x)为奇函数，A 错；|f(－x)|g(－x)＝|f(x)|g(x)，即|f(x)|g(x)为偶函数，B 错；f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，即f(x)|g(x)|为奇函数，C 正确；|f(－x)g(－x)|＝|f(x)g(x)|，即f(x)g(x)为偶函数，所以D 也错．

答案：C

3．解析：根据题意，f(x)＝x2＋x ＋1x2＋1＝1＋x x2＋1，而h(x)＝x x2＋1

是奇函数，故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－23＝43

，故选C. 答案：C

4．解析：∵f(x ＋4)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的函数，

∴f(7)＝f(2×4－1)＝f(－1)，又∵f(x)在R 上是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(－

1)＝－f(1)，而当x ∈(0,2)时，f(x)＝2x2，∴f(1)＝2×12＝2，∴f(7)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，故选A.

答案：A

5．解析：f(x)的图象如图．

当x ∈(－1,0)时，由xf(x)>0得x ∈(－1,0)；

当x ∈(0,1)时，由xf(x)<0得x ∈∅；

当x ∈(1,3)时，由xf(x)>0得x ∈(1,3)．

故x ∈(－1,0)∪(1,3)．

答案：C

6．解析：函数f(x)为奇函数，则f(1)＝－f(－1)．

由f(1)＝－f(－1)≥1，得f(－1)≤－1；

函数的最小正周期T ＝3，则f(－1)＝f(2)，

由2a －3a ＋1≤－1，解得－1

. 答案：C

二、填空题

7．解析：由偶函数的定义可得f(－x)＝f(x)，即ln(e －3x ＋1)－ax ＝ln(e3x ＋1)＋ax ，

∴2ax ＝－ln e3x ＝－3x ，∴a ＝－32

. 答案：－32

8．解析：∵g(x)＝f(x)＋4，∴f(x)＝g(x)－4，

又f(x)是奇函数，

∴f(－1)＝－f(1)＝－g(1)＋4＝2.

答案：2

9．解析：y ＝(x －2)|x|＝⎩⎪⎨⎪⎧ x2－2x ，x>0，0，x ＝0，

－x2＋2x ，x<0.

函数的图象如图所示，当x<0时，由－x2＋2x ＝－1，得x ＝1－ 2.

借助图形可知1－2≤a≤1.

答案：[1－2，1]

10．解析：由已知条件：f(x ＋2)＝f(x)，

则y ＝f(x)是以2为周期的周期函数，①正确；

当－1≤x≤0时0≤－x≤1，

f(x)＝f(－x)＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫121＋x ， 函数y ＝f(x)的图象如图所示：