量子力学教程Ch33
量子力学教程-第四章PPT课件
C (p ,t)* C (p ,t) d p d( p p p )
C (p,t) p*(x) (x,t)dx
量子力学
C(p,t)*C(p,t)dp
.
3
C(p,t) 物理意义
|Ψ(x,t)| 2d x 是在Ψ(x,t)所描写的状态中，测量粒子的 位置所得结果在 x → x + d x 范围内的几率。
(x,t)
m
am(t)um(x)
(x,t) bm(t)um(x)
m
b m ( t) u m (x ) F ˆ(x , i x ) a m ( t) u m (x )
m
m
两边左乘 u*n(x) 并对 x 积分
b m ( t )u n * u m ( x ) d x [u n * F ˆ ( x , i x ) u m ( x ) d ] a m ( t x ) Q表象的
波函数
Q的本征函数u1(x), u2(x), ..., un(x), ... 是 Q表象的基本矢量简称基矢。这相当于直
角坐标系中的单位矢量i,j,k.
a 1 ( t )
a 2(t)
a n(t)
量子力学
是态矢量Ψ在Q表象中沿各基矢方向上 的“分量”。正如矢量A沿i,j,k 三个方 向的分量是（Ax, Ay, Az）一样。Q表 象的基矢有无限多个，所以态矢量所 在的空间是一个无限维的抽象的函数 空间，称为”Hilbert空间”。
b1(t) F11 b2(t) F21
F12 F22
F1m F2m
a1(t) a2(t)
bn(t) Fn1
Fn2
Fnm
am(t)
用F表示这个矩阵，用 Φ表示左边的列矩阵， 用Ψ表示右边的列矩阵
北大《量子力学》chpt3
3.4.续谱本征函数的归一化一、δ函数1. δ函数的定义和表示δ函数不是一般意义下的函数，而是一分布，因对一个处处为0，而仅一点不为零的函数其积分为0。
但习惯上将它看作一函数。
其重要性和意义在积分中体现出来，它可用一函数的极限来定义。
先看不定积分10()00xx x dx x δ-∞>⎧''=⎨<⎩⎰。
这是一阶梯函数，设10()00x U x x >⎧=⎨<⎩,则()()x U x δ'= ，即000()()()()()lim lim lim ()()()2aa a a U x a U x a U x a U x a x F x x a x a aδ+++→→→+--+--===+-- ，所以，当0a +→，()a F x →∞（x )a ,a (∈-）。
但总面积恒为1，即 ()1a F x dx +∞-∞=⎰ （对任意a ），可以证明1()2izxc e U x dz i z π=⎰，所以11()().22izxikx c x U x e dz e dk δππ'===⎰⎰作为函数参量极限δ还可表示为：222222011cos 11sin ()lim lim lim i x x L L Lx Lx x LxLx x x ασασααδππαπ+-→+∞→∞→→-======+ 2.性质：⎩⎨⎧-==∞≠=-⎰+∞∞-dx x x ik x x x x x x )](exp[210)(0000πδ；)'()'(x x x x -=-δδ为偶函数；⎰+∞∞-=-1)'(dx x x δ；⎰⎰+++∞∞-=-=-εεδδ00)()()()()(00x x x f dx xx x f dx xx x f ； )'()'(0)(x x x x x x --⇒==δδ；由傅立叶积分公式得， ⎰⎰+∞∞-+∞∞--=dk x x ik x f dx x f )](exp[)(21)(00π，)'(]/)'(exp[21)'(],/)(exp[21)(00p p p p ix dx p p x x ip dp x x -=-=--==-∴⎰⎰+∞∞-+∞∞-δπδπδ δ函数具有任何级的导数，可以证明()()00()()(1)()n n n x x f x dx f x δ+∞-∞-=-⎰ （注意：微商是对宗量进行的）。
量子力学教程(第二版)周世勋习题解答
(10) (11) (12) (13)
ek1a B sin k 2aC cosk 2aD 0 0
k1ek1a B k 2 cosk 2aC k 2 sin k 2a D 0 0
0 sin k 2aC cosk 2aD ek1a F 0
(x) c (x)
⑤
④乘 ⑤，得 (x) (x) c2 (x) (x) ， 可见，c 2 1 ，所以 c 1
当 c 1时， (x) (x) ， (x) 具有偶宇称，
当 c 1时， (x) (x) ， (x) 具有奇宇称，
18
当势场满足 U (x) U (x) 时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。
3
第一章 绪论
1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律： mT b, b 2.9 10 3 m0C 。
证明：由普朗克黑体辐射公式：
d
8h c33Βιβλιοθήκη 1hd ，
ekT 1
及 c 、 d c d 得
2
8hc 5
1，
hc
ekT 1
令 x hc ，再由 d 0 ，得 .所满足的超越方程为
kT
d
2
(x)
E
2
(x)
②
12
Ⅲ： x a
2 2m
d2 dx2
3
(x)
U
(x)
3
(x)
E
3
(x)
③
由于(1)、(3)方程中，由于U (x) ，要等式成立，必须
1(x) 0 2 (x) 0
即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
方程(2)可变为
d
2 2 ( dx2
量子力学教程（第三版）周世勋课后答案详解高等教育出版社.pdf
1量子力学课后习题详解第一章量子理论基础1．1由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λT=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解根据普朗克的黑体辐射公式dv ec hvd kThv vv 11833−⋅=πρ，（1）以及c v =λ，（2）λρρd dv v v −=，（3）有,118)()(5−⋅=⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−=kT hcv v e hc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：201151186'=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−⋅+−−⋅=−kThc kThce kT hc ehc λλλλλπρ⇒115=−⋅+−−kThc ekThc λλ⇒kThc ekThc λλ=−−)1(5如果令x=kThcλ，则上述方程为xe x =−−)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ把x 以及三个物理常量代入到上式便知Km T m ⋅×=−3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e µ<<动），那么ep E µ22=如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0×，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λ3nmm mE c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=×=××××===−−µµ在这里，利用了meV hc ⋅×=−61024.1以及eVc e 621051.0×=µ最后，对Ec hc e 22µλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
量子力学教程习题答案周世勋
解：
= 1
= 0
*
= 0
同理可证其它的正交归一关系。
*
1
综合两方面，两电子组成体系的波函数应是反对称波函数，即
2
独态：
*
三重态：
单击添加文本具体内容简明扼要地阐述你的观点
单击此处添加副标题
*
解：电子波函数的空间部分满足定态S-方程
*
*
两电子的空间波函数能够组成一个对称波函数和一个反对称波函数，其形式为
*
*
*
*
*
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*
*
*
*
*
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*
*
*
*
跟课本P.39(2.7-4)式比较可知，线性谐振子的能量本征值和本征函数为
式中
02
为归一化因子，即
03
求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。
01
解：
02
*
第五章 微扰理论
*
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《量子力学教程》 习题解答
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《量子力学教程》 习题解答说明 为了满足量子力学教学和学生自学的需要，完善精品课程建设，我们编写了周世勋先生编写的《量子力学教程》的课后习题解答。本解答共分七章，其中第六章为选学内容。 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章
*
01
第一章 绪论
第七章 自旋和全同粒子
03
第三章 力学量的算符表示
单击此处添加正文
05
第五章 微扰理论
单击此处添加正文
02
第二章 波函数和薛定谔方程
单击此处添加正文
04
第四章 态和力学量的表象
单击此处添加正文
量子力学教程量子力学教程
归一化条件表示为
d3 r (r, sz ) 2
sz /2
d3
r(
(r,
/
2),
(r
,
/
2))
(r, / (r,
2) / 2)
d3 r[ r, / 2 2 r, / 2 2 ]
（2）
d3 r 1
（12）
并且
2 x
2 y
2 z
I
（单位算符）
（13）
可以证明 的三个分量反对易
x y y x 0 y z z y 0 z x x z 0
（14）
8.1 电子自旋态与自旋算符
量量子子力力学学教程教程(第二版)
式（11）和（14）联立得
)
1
（6）
a 与β构成电子自选态空间的一组正交完备基.一
般自旋态可以展开为
sz
a b
aa
b
波函数表示为
（7）
(r, sz ) r, / 2a r, / 2 （8）
8.1 电子自旋态与自旋算符
量量子子力力学学教程教程(第二版)
பைடு நூலகம்
x
y
y x
i z
y z z y i x
z x x z i y
式（15）与（13）归纳为
（15）
a a i a
（16）
上式与 概括了Pauli 算符的全部代数性质.
量子力学教程-周世勋-第一章基础
一部分就是电子离开金属表面后的功能。这个能量关系式可以写为：
1 m 2
2
= hυ − w0
为电子脱出金属表面后的运动速度。 w0 为电子脱出金属表面所需要作
其中 m 为电子质量。
的功，称为脱出功。 w0 的大小与材料有关。显然只有当 hυ 大于 w0 时才有光电子产生。 ，光的频率 决定光子的能量，光的强度只决定光子的数目。光子的数目越多，此产生的光电子也越多。这样， 经典理论所不能解释的光电效应便得到了说明。必须注意，自由电子不可能吸收单个光子，这是由 于不能同时满足能量守恒与动量守恒之故。 2 光子 相对论中，质能关系式为：
ρυ dυ = c1υ 3e
− c2
dυ
（1.2-2）
公式（1.2-2）只在辐射频率较高（波长较短）时与实验符合，而在频率较低时与实验不符。 设光波的波点为 k = k1υ + k2 j + k3 k ， L1 , L2 , L3 为长方体沿 υ , j , k 方向的三条边，且满足下述 周期性边界条件：
( hυ ) 2 = k
e kT − 2 + e
hυ
1 T2
−
hυ kT
1 (hυ ) 2 2T 2 = k ch hυ − 1 kT
应用洛毕达（L’Hospital,G..F.）法则得：
1 1 2 k T k 1 k lim 2T = lim = lim( ) = ( )2 T →∞ T →∞ hυ hυ hυ T →∞ hυ hυ hυ −1 ch sh ch kT kT kT 1 2 k 1 lim 2T = lim( ) 2 =0 T →0 T → 0 hυ hυ hυ −1 ch ch kT kT
C 以致可将 C 视为无限大时，则用非相对论也就可以了。
量子力学教程共45页
辐射热平衡状态: 处于某一温度T下的腔壁，单位面积所发射 出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡 状态。
实验发现：
热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线无关。
物理与光电工程学工程学院
能 量 密 度
0
5
10
(104 cm)
物理与光电工程学工程学院
内容
No Image
第一节 经典物理学的困难 第二节 光的波粒二象性 第三节 原子结构的波尔理论 第四节 微光粒子的波粒二象性
物理与光电工程学工程学院
§1 经典I物m 理N 学a 的o g 困难e
(一）经典物理学的成功
19世纪末，物理学理论在当时看来已经发展到 相当完善的阶段。主要表现在以下两个方面：
——光的粒子性的进一步证实 （四）波尔（Bohr）的量子论
物理与光电工程学工程学院
No Image
（一）Planck 黑体辐射定律
究竟是什么机制使空腔的原子产生出所观察到 的黑体辐射能量分布，对此问题的研究导致了 量子物理学的诞生。
•1900年１２月１４日Planck 提出： 如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处
(1) 应用牛顿方程成功的讨论了从天体到地上各种 尺度的力学客体的运动，将其用于分子运动上， 气体分子运动论，取得有益的结果。1897年汤姆 森发现了电子，这个发现表明电子的行为类似于 一个牛顿粒子。
(2) 光的波动性在1803年由杨氏衍射实验有力揭示 出来，麦克斯韦在1864年发现的光和电磁现象之 间的联系把光的波动性置于更加坚实的基础之上。
能
No
量 密
Image
度
•该式称为 Planck
辐射定律
0
Planck 线
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经典力学中物质运动的状态总用坐标、动量、角 动量、自旋、动能、势能、转动能等力学量以决定论 的方式描述。而量子力学的第一个惊人之举就是引入
了波函数 这样一个基本概念，以概率的特征全面地
描述了微观粒子的运动状态。但 并不能作为量子力
学中的力学量。于是，又引入了一个重要的基本概 念——算符，用它表示量子力学中的力学量。算符与 波函数作为量子力学的核心概念相辅相成、贯穿始终。
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
第三章 量子力学中的力学量
The Dynamical variable in Quantum Mechanism
1
引言
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
这部分是量子力学的重要基础理论之一，也是我 们学习中的重点。
2
讲授内容
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
3.1 表示力学量的算符
operator for dynamical variable
3.2 动量算符与角动量算符
momentum operator and angular momentum operator
(r,t)d 3r (r,t) 2 d 3r
坐标平均值
r
r(r,t)d 3r
*(r,t)r (r,t)d 3r
7
3.1 表示力学量的算符（续2）
利用 计算出坐标 r 的平均值 C(P, t)
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
4
重点掌握内容
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
一个基本概念：厄米算符（作用及其基本性质）； 两个假设： 力学量用厄米算符表示；
状态用厄米算符本征态表示，力学量 算符的本征值为力学量的可测值 三个力学量计算值：确定值、可能值、平均值； 四个力学量算符的本征态及本征值：坐标算符，动量 算符，角动量算符及能量算符（哈密顿算 符）及它们的本征值。 一个关系：力学量算符间的对易关系（特别是坐标 算符与动量算符的对易关系，角动量算符 对易关系） 三个定理: 共同本征态定理（包括逆定理） 不确定关系 力学量守恒定理
Relationship between Operator and dynamical variable
3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
Operator commute The Heisenberg Uncertainty Principle
3.8 力学量随时间的变化 守恒律
若已知粒子在坐标表象中的状态波函数 (r,t) ，
按子照坐波标函(x统, y计, z)解或释rr，的利平用均统值计平均方法，可求得粒
若知道粒子在动量表象中的波函数 C( p,t) ，同理
可求出粒子动量
(Px , Py , Pz )或
P
的平均值。
6
3.1 表示力学量的算符（续1）
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
C
(
v P,
t
)
h i
Pe
i h
Pvrv
d
v 3P]d
3rv
对此作一次分部积分
8
3.1 表示力学量的算符（续3）
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
The dynamical variable with respect to time The conservation laws
3
学习内容
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
1．坐标算符、动量算符的表示形式及它们间的对易关系； 2．角动量算符的表示形式及相关的对易关系；
3．动量算符本征函数的两种归一化：箱归一化和 函数归一
化； 4．角动量算符的共同本征函数及所对应的本征值； 5．正点电荷库仓场中电子运动的定态薛定谔方程及其求解的
基本步骤；定态波函数的表达形式；束缚态的能级及其简 并度；氢原子的能级、光谱线的规律；电子在核外的概率 分布；电离能和里德伯常数； 6．量子力学的力学量与厄米算符的关系；厄米算符的本征函 数组成正交完备集； 7．在什么情况下力学量具有确定值；力学量可能值、概率、 平均值的计算方法，两个力学量同时具有确定值的条件； 8．不确定关系及其应用； 9．守恒量的判断方法。
5
3.1 表示力学量的算符
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
1.坐标与动量的平均值及坐标算符与动量算符的引入
由前面的讨论，我们看到，当微观粒子处在某 一状态时，一般而言，其力学量（如坐标、动量和 能量等）不一定具有确定的值，而以一定几率分布 取一系列可能值（当然，可能在某些特殊的状态， 有些力学可取确定值）。
3.3 电子在库仑场中的运动
The motion of electrons in Coulomb field
3.4 氢原子
Hydrogen atom
3.5 厄米算符本征函数的正交性
Orthonormality for eigenfunction of Hermitean operators
3.6 力学量算符与力学量的关系
（1）坐标平均值
设粒子的状态波函数为 (r,t)
或
C ( P, t )
ห้องสมุดไป่ตู้
(rv,
t
)
1
(2 h)3/
2
C
v (P,
t
)e
i h
Pvrv
d
v 3P
v
C(P,
t)
1
(2 h)3/
2
(rv,
t)e
i h
Pvrv
d
3rv
粒子的位置处在：x ~ x dx, y ~ y dy, z ~ z dz 间的几率为
r
C
*
(
P,
t
)rˆC
(
P, t
)d
3
P
rvˆ
ihP
r ih i
Px
r j
Py
v k
Pz
称为坐标算符
Prove： r *(r,t)r (r,t)d3r
1
*(rv,t)rv[
C
(
v P,
t
)e
i h
Pvrv
d
3
v P]d
3rv
(2 h)3/2
1 *(rv,t)[
(2 h)3/2