_数术记遗_是汉献帝时徐岳写的真书
算经十书
算经十书，中国古代十部最著名的数学书《周髀算经》作者不详，有可能成书于公元前100年，它原名为《周髀》，到了唐代才改名《周髀算经》。
它不仅是一部数学著作，而且还是我国最古的天文学著作。
主要阐明了盖天说和四分历法。
在数学上，《周髀》已经采用了相当复杂的分数乘除法，计算太阳在正东西方向离近的时候，运用到了勾股定理。
《九章算术》是一部现有传本的、最古老的中国数学书。
它的编写年代大约是公元100年左右。
作者不详，共分为九章，所以称为《九章算术》。
《九章算术》对我国的数学发展产生了巨大的影响。
16世纪以前的中国数学书，原则上都遵《九章算术》的体例。
它的正文包括“ 题” 、“ 答” 、“ 术” 三部分。
“ 术” 就是解题的思路和方法。
由于它的内容比较深奥，所以晋代刘徵对之作注，使得《九章算术》的解题方法等才能为人们所理解。
《海岛算经》又名《重差》，作者是晋代刘徵。
它原是《九章算术注》的最后一卷。
因为在这一卷里依据两个测望数据推算太阳高、远的方法昌，要用到两个差数，所以把这种测量方法称为“ 重差术” ，给这一卷起名为“ 重差。
” 到了唐代选定十部选经进，把《九章算术》和《重差》分开。
加之它的第一个题目是测望海岛山峰，计算它的高和远，所以又把《重差》改名为《海岛算经》。
作者刘徵总结和发展了“ 二重差方法" ，进一步阐明了相似三角形的性质及其应用。
《孙子算经》的作者不详，估计是公元400年左右的数学著作。
它是一部直接涉及到乘除运算、求面积和体积、处理分数以及开平方和立方的著作。
对筹算的分数算法和筹算开平方法以及当时的度量衡体系，都作了描绘，其中有关数论上原一个“ 物不知数” 的计算问题，是世界上最早提出算法的，被誉为“ 孙子定理” 或“ 中国剩余定理” 。
其具体内容是，有一个数，用3除它余2，用5除它余3，用7除它余2，求这个数。
用现代数学符号来表示是，求一个最小正整数N，满足联立一次同余式。
这个问题后来在民间广为流传，人们称之为“ 韩信点兵” 。
2020高考理科数学二轮考前复习方略练习：专题八 第1讲 数学文化练典型习题 提数学素养 Word版含解析
［练典型习题·提数学素养］ 一、选择题1．“干支纪年法”是中国自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称．天干、地支互相配合，配成六十组为一周，周而复始，依次循环．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号为天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥为地支．如：公元1984年为农历甲子年、公元1985年为农历乙丑年，公元1986年为农历丙寅年．则2049年为农历( )A ．己亥年B ．己巳年C ．己卯年D ．戊辰年解析：选B ．法一：由公元1984年为农历甲子年、公元1985年为农历乙丑年，公元1986年为农历丙寅年，可知以公元纪年的尾数在天干中找出对应该尾数的天干，再将公元纪年除以12，用除不尽的余数在地支中查出对应该余数的地支，这样就得到了公元纪年的干支纪年.2049年对应的天干为“己”，因其除以12的余数为9，所以2049年对应的地支为“巳”，故2049年为农历己巳年．故选B ．法二：易知(年份－3)除以10所得的余数对应天干，则2 049－3＝2 046，2 046除以10所得的余数是6，即对应的天干为“己”．(年份－3)除以12所得的余数对应地支，则2 049－3＝2 046，2 046除以12所得的余数是6，即对应的地支为“巳”，所以2049年为农历己巳年．故选B ．2．北宋数学家沈括的主要成就之一为隙积术，所谓隙积，即“积之有隙”者，如累棋、层坛之类，这种长方台形状的物体垛积．设隙积共n 层，上底由a ×b 个物体组成，以下各层的长、宽依次增加一个物体，最下层(即下底)由c ×d 个物体组成，沈括给出求隙积中物体总数的公式为s ＝n 6[(2a ＋c )b ＋(2c ＋a )d ]＋n6(c －a )，其中a 是上底长，b 是上底宽，c 是下底长，d 是下底宽，n 为层数．已知由若干个相同小球粘黏组成的隙积的三视图如图所示，则该隙积中所有小球的个数为( )A ．83B ．84C ．85D ．86解析：选C ．由三视图知，n ＝5，a ＝3，b ＝1，c ＝7，d ＝5，代入公式s ＝n6[(2a ＋c )b＋(2c ＋a )d ]＋n6(c －a )得s ＝85，故选C ．3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其意思为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，走了六天后(第六天刚好用完)到达目的地．”若将此问题改为“第6天到达目的地”，则此人第二天至少走了( )A ．96里B ．48里C ．72里D ．24里解析：选A ．根据题意知，此人每天行走的路程构成了公比为12的等比数列．设第一天走a 1里，则第二天走a 2＝12a 1(里)．易知a 1[1－⎝⎛⎭⎫126]1－12≥378，则a 1≥192.则第二天至少走96里．故选A ．4．《数术记遗》相传是汉末徐岳(约公元2世纪)所著，该书主要记述了：积算(即筹算)、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算、计数共14种计算方法．某研究性学习小组3人分工搜集整理该14种计算方法的相关资料，其中一人4种，其余两人每人5种，则不同的分配方法种数是( )A ．C 414C 510C 55A 33A 22B ．C 414C 510C 55A 22C 55A 33 C ．C 414C 510C 55A 22D ．C 414C 510C 55解析：选A ．先将14种计算方法分为三组，方法有C 414C 510C 55A 22种，再分配给3个人，方法有C 414C 510C 55A 22×A 33种．故选A ． 5．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(ɡuǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始．若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至之后的那个节气(小暑)晷长是( )A ．五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸解析：选B ．设从夏至到冬至的晷长依次构成等差数列{a n }，公差为d ，a 1＝15，a 13＝135，则15＋12d ＝135，解得d ＝10.所以a 2＝15＋10＝25，所以小暑的晷长是25寸．故选B ．6．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是( )A ．π15B ．2π5C ．2π15D ．4π15解析：选C ．因为该直角三角形两直角边长分别为5步和12步，所以其斜边长为13步，设其内切圆的半径为r ，则12×5×12＝12(5＋12＋13)r ，解得r ＝2.由几何概型的概率公式，得此点取自内切圆内的概率P ＝4π12×5×12＝2π15.故选C ．7．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：依次符号为“”，其表示的十进制数是()A．33 B．34C．36 D．35解析：选B．由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B ．8．《九章算术》中有如下问题：“今有卖牛二、羊五，以买一十三豕，有余钱一千；卖牛三、豕三，以买九羊，钱适足；卖六羊、八豕，以买五牛，钱不足六百，问牛、羊、豕价各几何？”依上文，设牛、羊、豕每头价格分别为x 元、y 元、z 元，设计如图所示的程序框图，则输出的x ，y ，z 的值分别是( )A ．1 3009，600，1 1203B ．1 200，500，300C ．1 100，400，600D ．300，500，1 200解析：选B ．根据程序框图得：①y ＝300，z ＝4603，x ＝6 4009，i ＝1，满足i <3；②y ＝400，z ＝6803，x ＝8 6009，i ＝2，满足i <3；③y ＝500，z ＝300，x ＝1 200，i ＝3，不满足i <3； 故输出的x ＝1 200，y ＝500，z ＝300.故选B ．9．(2019·洛阳市统考)如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影)，设直角三角形有一个内角为30°，若向弦图内随机抛掷200颗米粒(大小忽略不计，取3≈1.732)，则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为( )A ．20B ．27C ．54D ．64解析：选B ．设大正方形的边长为2，则小正方形的边长为3－1，所以向弦图内随机投掷一颗米粒，落入小正方形(阴影)内的概率为(3－1)24＝1－32，向弦图内随机抛掷200颗米粒，落入小正方形(阴影)内的米粒数大约为200×(1－32)≈27，故选B ． 10．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈7264L 2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A ．227B ．258C ．15750D ．355113解析：选A ．依题意，设圆锥的底面半径为r ，则V ＝13πr 2h ≈7264L 2h ＝7264(2πr )2h ，化简得π≈227.故选A ．11．中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之．亦倍下袤，上袤从之．各以其广乘之，并，以高乘之，六而一．”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形，上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为( )A ．392B ．752C ．39D ．6018解析：选B ．设下底面的长为x ⎝⎛⎭⎫92≤x <9，则下底面的宽为18－2x 2＝9－x .由题可知上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，所以其体积V ＝16×3×[(3×2＋x )×2＋(2x ＋3)(9－x )]＝－x 2＋17x 2＋392，故当x ＝92时，体积取得最大值，最大值为－⎝⎛⎭⎫922＋92×172＋392＝752.故选B ．12．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，如图所示，鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且BD ⊥CD ，AB ＝BD ＝CD ，点P 在棱AC 上运动，设CP 的长度为x ，若△PBD 的面积为f (x )，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )解析：选A ．如图，作PQ ⊥BC 于Q ，作QR ⊥BD 于R ，连接PR ，则PQ ∥AB ，QR ∥CD .因为PQ ⊥BD ，又PQ ∩QR ＝Q ，所以BD ⊥平面PQR ，所以BD ⊥PR ，即PR 为△PBD 中BD 边上的高．设AB ＝BD ＝CD ＝1，则CP AC ＝x 3＝PQ 1，即PQ ＝x3，又QR 1＝BQ BC ＝APAC ＝3－x 3，所以QR ＝3－x 3， 所以PR ＝PQ 2＋QR 2＝⎝⎛⎭⎫x 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－x 32＝332x 2－23x ＋3， 所以f (x )＝362x 2－23x ＋3＝66⎝⎛⎭⎫x －322＋34，故选A ．二、填空题13．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n ，3)＝12n 2＋12n ；正方形数 N (n ，4)＝n 2； 五边形数 N (n ，5)＝32n 2－12n ；六边形数 N (n ，6)＝2n 2－n ； ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10，24)＝________．解析：易知n 2前的系数为12(k －2)，而n 前的系数为12(4－k )．则N (n ，k )＝12(k －2)n 2＋12(4－k )n ，故N (10，24)＝12×(24－2)×102＋12×(4－24)×10＝1 000.答案：1 00014. (2019·湖南师大附中模拟)庄子说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话描述的是一个数列问题，现用程序框图描述，如图所示，若输入某个正整数n 后，输出的S ∈⎝⎛⎭⎫1516，6364，则输入的n 的值为________．解析：框图中首先给累加变量S 赋值0，给循环变量k 赋值1， 输入n 的值后，执行循环体，S ＝12，k ＝1＋1＝2.若2>n 不成立，执行循环体，S ＝34，k ＝2＋1＝3.若3>n 不成立，执行循环体，S ＝78，k ＝3＋1＝4.若4>n 不成立，执行循环体，S ＝1516，k ＝4＋1＝5.若5>n 不成立，执行循环体，S ＝3132，k ＝5＋1＝6.若6>n 不成立，执行循环体，S ＝6364，k ＝6＋1＝7.…由输出的S ∈(1516，6364)，可得当S ＝3132，k ＝6时，应该满足条件6>n ，所以5≤n <6，故输入的正整数n 的值为5.答案：515．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，莞草第1天长高1尺．以后，蒲草每天长高前一天的一半，莞草每天长高前一天的2倍．问第几天蒲草和莞草的高度相同？”根据上述的已知条件，可求得第________天时，蒲草和莞草的高度相同．(结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg 3≈0.477 1，lg 2≈0.301 0)．解析：由题意得，蒲草的长度组成首项为a 1＝3，公比为12的等比数列{a n }，设其前n 项和为A n ；莞草的长度组成首项为b 1＝1，公比为2的等比数列{b n }，设其前n 项和为B n .则A n ＝3⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12，B n ＝2n －12－1，令3⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝2n －12－1，化简得2n ＋62n ＝7(n ∈N *)，解得2n ＝6，所以n ＝lg 6lg 2＝1＋lg 3lg 2≈3，即第3天时蒲草和莞草长度相等． 答案：316．刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方，得两堑堵．邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值2∶1，这一结论今称刘徽原理．如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为________．解析：由三视图得阳马是一个四棱锥，如图中四棱锥P -ABCD ，其中底面是边长为1的正方形，侧棱P A ⊥底面ABCD 且P A ＝1，所以PC ＝3，PC 是四棱锥P -ABCD 的外接球的直径，所以此阳马的外接球的体积为4π3⎝⎛⎭⎫323＝3π2.答案：3π2。
第62讲 随机抽样与用样本估计总体达标检测学生版(1)
《随机抽样与用样本估计总体》达标检测[A组]一应知应会1. （2020春•合肥期末）某地区小学、初中、高中三个学段的学生人数分别为2400人，2000人，1200人, 现采用分层抽样的方法调查该地区中小学生的“智慧阅读”情况，在抽取的样本中，初中学生人数为35 人，则该样本中高中学生人数为（）A. 21 人B. 42 人C. 64 人D. 98 人2. （2020春•海安市校级期中）一组数据90, 92, 99, 97, 96, X的众数是92,则这组数据的中位数是（）A. 94B. 95C. 96D. 973. （2020・天津）从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：〃〃〃），将所得数据分为9组：[5.31,5.33）, [5.33, 5.35）,…，[5.45, 5.47）, [5.47, 5.49],并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，A. 10B. 18C. 20D. 364. （2020春•烟台期末）某市从2017年秋季入学的高一学生起实施新高考改革，学生需要从物理、化学、生物、政治、历史、地理六门课中任选3门作为等级考科目.已知该市高中2017级全体学生中，81%选考物理或历史，39%选考物理，51%选考历史，则该市既选考物理又选考历史的学生数占全市学生总数的比例为（）A. 9%.B. 19%C. 59%D. 69%5. （2020•新课标In）设一组样本数据Xi, X2,…，X“的方差为0.01,则数据IOXI, 10x2,…，104的方差为（）A. 0.01B. 0.1C. 1D. 104 6. （2020・新课标ΠI）在一组样本数据中，1, 2, 3, 4出现的频率分别为pi, pz，p3, p，,且工闭=1,则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）A. p∣=p4=0.1, P2=P3=O∙4B. pι=p4=0.4, p2=p3=O∙lC. PI=P4=0.2, p2=p3=O.3D. p∣=p4=0.3, p2=p3=O.27. （2020春♦平顶山期末）用样本估计总体的统计思想在我国古代数学名著《数书九章》中就有记载，其中有道“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来一批米，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得250粒内夹谷25粒，若这批米内夹谷有160石，则这一批米约有（）A. 600 石B. 800 石C. 1600 石D. 3200 石8. （2020春•黔南州期末）已知数据用，X2, X3, X4, X5的方差为5,则数据2xι - 3, 2x2-3, 2x3 - 3, 2x4 -3, 2x5-3的方差为（）A. 10B. 15C. 17D. 209. （2020•碑林区校级模拟）2020年3月某省教研室组织了一场关于如何开展线上教学的大型调研活动，共收到有效问卷558982份，根据收集的教学类型得到统计数据如图：以上面统计数据为标准对线上学习的教学类型进行分析，下面说法正确的是（）A.本次调研问卷的学生中采用纯直播教学形式进行学习的学生人数超过了30万B,线上利用了直播平台进行学习的学生比例超过了90%C.线上学习观看过录播视频的学生比例超过了40%D.线上学习使用过资源包的学生的比例不足25%10. （2020春•济宁期末）“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标.常用区间［0, 10］内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.甲、乙两位同学分别随机抽取10位本地市民调查他们的幸福感指数，甲得到十位市民的幸福感指数为5, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 9,乙得到十位市民的幸福感指数的平均数为8.方差为2.2,则这20位市民幸福感指数的方差为（）A. 1.75B. 1.85C. 1.95D. 2.0511. （2020春•宣城期末）2020年4月24日下午，随着最后1例新冠肺炎重症患者治愈，武汉重症病例实现了清零，抗疫工作取得了阶段性重大胜利.某方舱医院从出院的新冠肺炎患者中随机抽取IOO 人，将 这些患者的治疗时间（都在［5, 30］天内）进行统计，制作出频率分布直方图如图所示，则估计该院新冠肺炎患者治疗时间的中位数是（ ） 频率A. 16B. 17C. 18D. 19 12.（多选）（2020春•枣庄期末）在对某中学高一年级学生身高（单位：的）的调查中，随机抽取了男生 23人、女生27人，23名男生的平均数和方差分别为170和10.84, 27名女生的平均数和方整分别为160 和 28.84,则（ ）A.总样本中女生的身高数据比男生的高散程度小B.总样本的平均数大于164C.总样本的方差大于45D.总样本的标准差大于713.（多选）（2020春•厦门期末）对300名考生的数学竞赛成绩进行统计,得到如图所示的频率分布直方图.则 下列说法正确的是（ ）0.100.050.030.010 时间（天） 5 10 1520 25 30A. α=0.01B.成绩落在[80, 90）的考生人数最多C.成绩的中位数大于80D.成绩的平均分落在[70, 80）14. （2020春•开封期末）雷神山医院从开始设计到建成完工，历时仅十天.完工后，新华社记者要对部分参与人员采访.决定从300名机械车操控人员，160名管理人员和240名工人中按照分层抽样的方法抽取35人，则从工人中抽取的人数为.15. （2020•江苏）已知一组数据4, 2a, 3 - α, 5, 6的平均数为4,则。
专项测试04-定序问题倍缩法(解析版)-2020-2021学年排列组合常考题型专项测试
人教版选修2-3第一章排列组合常考题型专项测试04——定序问题倍缩法一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020·陕西高三期末）元宵节灯展后，悬挂有8盏不同的花灯需要取下，如图所示，每次取1盏，则不同的取法共有（）．A．32种B．70种C．90种D．280种【答案】B【分析】因为取灯时每次只能取一盏，所以每串灯必须先取下面的灯，由定序问题可求解.【详解】因为取灯时每次只能取一盏，所以每串灯必须先取下面的灯，即每串灯取下的顺序确定，取下的方法有88 44 4470AA A=种．2．（2020·沈阳市·辽宁实验中学）现有5名学生：甲、乙、丙、丁、戊排成一队照相，要求甲与乙相邻，且甲、乙、丁的左右顺序固定，站法种数为（）A．36B．24C．20D．12【答案】D【分析】由题意结合相邻问题、定序问题的解法直接计算即可得解.【详解】因为甲与乙相邻，且甲、乙、丁的左右顺序固定，所以可将甲和乙看作一个整体，共有1种站法，再与其余三人进行排列，共有442212AA=种站法.3．（2020·首都师范大学附属中学高二期中）要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各2节，自习课1节的功课表，其中上午5节，下午2节，若要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（）A．84B．54C．42D．18【答案】C【分析】根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午；②语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午.分别求出每一种情况的安排方法数目，由分类加法计数原理可得答案．【详解】根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午，要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻，将2节语文课和2节数学课分别捆绑，然后在剩余3节课中选1节到上午，由于2节英语课不加以区分，此时，排法种数为1233232218C A AA=种；②语文和数学都一个安排在上午，一个安排在下午.语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午，但2节语文课不加以区分，2节数学课不加以区分，2节英语课也不加以区分，此时，排法种数为14242224C AA=种.综上所述，共有182442+=种不同的排法.4．（2020·重庆高二期末）将4本不同的课外书全部分给3名同学，每名同学最多可分得2本，则不同的分配方法种数为A．32B．48C．54D．72【答案】C【分析】根据题意将情况分为：3个同学得到书和2个同学得到书两种情况，相加得到答案.【详解】当3名同学都得到书时有：234336C A⨯=；当2名同学都得到书时有：2224232218 C CAA⨯⨯=共有36+18=54种情况5．（2020·全国高三专题练习）《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳（约公元2世纪）所著，该书主要记述了：积算（即筹算）太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算计数14种计算器械的使用方法某研究性学习小组3人分工搜集整理14种计算器械的相关资料，其中一人4种、另两人每人5种计算器械，则不同的分配方法有（）A ．455314105322C C C A A B ．455214105233C C C A A C ．4551410522C C C AD ．45514105C C C【答案】A 【分析】本题涉及平均分组问题，先计算出分组的方法，然后乘以33A 得出总的方法数. 【详解】先将14种计算器械分为三组，方法数有4551410522C C C A 种，再排给3个人，方法数有455314105322C C C A A ⨯种，故选A. 6．（2020·全国高三专题练习）“花开疫散，山河无恙，心怀感恩，学子归来，行而不缀，未来可期．”武汉某高中高二年级2020年10月的月考正在进行，请你用2个0、2个2和1个6排成一个五位数，则这样的五位数有（ ）个． A ．12 B ．18 C ．20D ．24 【答案】B 【分析】首先排0，再排其他元素，除掉重复元素的顺序. 【详解】首位不能是0，所以在后面4个位置选2个位置排0，有24C 种方法，2个2和1个6全排列，但两个2是重复元素，需除以22A ，所以这样的五位数一共有23432218C A A =个.7．（2020·东至县第二中学高二月考）某次数学获奖的6名高矮互不相同的同学站成两排照相，后排每个人都高于站在他前面的同学，则共有多少种站法（ ） A ．36 B ．90C ．360D ．720【答案】B 【分析】6个高矮互不相同的人站成两排，后排每个人都高于站在他前面的同学的站法数为2223642333C C CAA，由此能求出结果．【详解】6个高矮互不相同的人站成两排，后排每个人都高于站在他前面的同学的站法数为222342633390 C C CAA⋅=，8．（2020·北京密云区·高三期末）阶段测试后，甲、乙、丙、丁、戊五位同学排成一排按序走上领奖台领奖，其中甲和乙都在丙的前面走，则不同的排序方法种数共有（）A．20B．40C．60D．80【答案】B【分析】先求出甲乙丙顺序确定时的所有方法，再考虑甲乙内部的排列即可.【详解】根据题意，若甲乙丙顺序确定，则所有排法有5533AA种，再考虑甲和乙的顺序，则所有排法有52523340AAA⨯=种.9．（2020·江苏徐州市·高三月考）4名护士和2名医生站成一排，2名医生顺序固定，则不同的排法种数为（）A．480B．360C．288D．144【答案】B【分析】先将6个元素作全排列，再除以22A可得答案.【详解】4名护士和2名医生站成一排，共有66A种，又因为2名医生顺序固定，所以不同的排法种数为6 6 2 2720360 2AA==种.10．（2021·湖北高三期末）贴春联、挂红灯笼是我国春节的传统习俗.现准备在大门的两侧各挂四盏一样的红灯笼，从上往下挂，可以一侧挂好后再挂另一侧，也可以两侧交叉着挂，则挂红灯笼的不同方法数为（）A．8B．1680C．140D．70【答案】D 【分析】首先计算8盏灯笼任意挂有88A 种不同的挂法，再除以左边顺序一定44A 种，右边顺序一定44A 种，即可求解.【详解】若8盏灯笼任意挂，不同的挂法由88A种，又因为左右两边4盏灯顺序一定，故有88444470A A A =种，11．（2020·河北张家口市·高三二模）今年3月10日湖北武汉某方舱医院“关门大吉”，某省驰援湖北“抗疫”的9名身高各不相同的医护人员站成一排合影留念，庆祝圆满完成“抗疫”任务，若恰好从中间往两边看都依次变低，则身高排第4的医护人员和最高的医护人员相邻的概率为（ ） A ．27B ．29C ．514D ．17【答案】A 【分析】将身高从低到高的9个人依次编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，则9号定在正中间，两边是四个元素的定序排列，6号与9号分左右两边相邻，与6在同一边的另外3个元素(从1，2，3，4，5种任选3个)定序排列，另一边的四个元素定序排列， 最后根据古典概型的概率公式可得答案. 身高最高 【详解】将身高从低到高的9个人依次编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，则9号必须排在正中间，从其余8个人中任选4人排在9号的左边，剩下的4个人排在9号的右边，有4870C =种，当排名第四的6号排在最高的9号的左边时，从1，2，3，4，5中任选3个排在6号的左边，其余四个排在9号的右边，有3510C =种，同理当当排名第四的6号排在最高的9号的右边时，也有10种，所以身高排名第四的6号与最高的9号相邻的排法有10+10=20种，所以身高排第4的医护人员和最高的医护人员相邻的概率为202707=. 12．（2021·全国）在探索系数A ，ω，ϕ，,b 对函数()()sin 0,0y A x b A ωϕω=++>>图象的影响时，我们发现，系数A 对其影响是图象上所有点的纵坐标伸长或缩短，通常称为“振幅变换”；系数ω对其影响是图象上所有点的横坐标伸长或缩短，通常称为“周期变换”；系数ϕ对其影响是图象上所有点向左或向右平移，通常称为“左右平移变换”；系数b 对其影响是图象上所有点向上或向下平移，通常称为“上下平移变换”.运用上述四种变换，若函数()sin f x x =的图象经过四步变换得到函数()2sin 213g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象，且已知其中有一步是向右平移3π个单位，则变换的方法共有（ ）A ．6种B ．12种C ．16种D ．24种【答案】B 【分析】根据题意，将其转化为排列问题，并且根据平移的量得到左右平移变换在周期变换之前，根据定序问题求解即可. 【详解】根据题意，该图象变换的过程有振幅变换、周期变换、左右平移变换和上下平移变换共四步，因为左右平移变换是向右平移3π个单位，所以要求左右平移变换在周期变换之前，所以变换的方法共有442212A A =种，二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（2019·广东广州市·执信中学高三月考）有6张卡片分别写有数字1、1、1、2、2、2，从中任取4张，可排出的四位数有________个. 【答案】14 【分析】根据题意，分三种情况讨论：①取出的4张卡片有3张1、1张2；②取出的4张卡片有3张2、1张1；③取出的4张卡片有2张2、2张1.分别计算出每一种情况中的四位数数目，由加法原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分三种情况讨论：①取出的4张卡片有3张1、1张2，有44334A A =个四位数；②取出的4张卡片有3张1、1张2，有44334A A =个四位数；③取出的4张卡片有2张2、2张1，有4422226A A A =个四位数.综上所述，共有44614++=个四位数.14．（2020·九龙坡区·重庆市育才中学高三开学考试）如图所示，某货场有三堆集装箱，每堆2个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是____________（用数字作答）.【答案】90【分析】根据有六个集装箱，需要全部装运，得到66A种取法，再根据每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，由排列中的定序问题求解.【详解】因为有六个集装箱，需要全部装运，共有66720A=种取法，又因为每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，由排列中的定序问题，可知不同的取法有66222222720908AA A A==种.15．（2021·浙江高三月考）某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题.并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有___________种不同的答题顺序.【答案】60【分析】首先将6只灯笼全排，因为每次只能取其中一串最下面的一只灯笼内的谜题，每次取灯的顺序确定，即除以内部排序即可.【详解】将6只灯笼全排，即66A，因为每次只能取其中一串最下面的一只灯笼内的谜题，每次取灯的顺序确定，取谜题的方法有66323260 AA A=⋅.16．（2020·双峰县第一中学高二开学考试）书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有_____种不同的插法（具体数字作答）【答案】504【分析】利用定序相除法进行求解，先求9本书的所有排法，再求原来6本书的排法，相除可得结果.【详解】原来的6本书，加上新买的3本书，随意排列共有99A 种排法，原来的6本书随意排列共有66A 种排法，而原来特有的顺序只有1种，所以共有9966=987=504A A ⨯⨯种方法.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（2021·苏州市第三中学校）某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共6节课 （1）如果数学必须比语文先上，则不同的排法有多少种？（2）如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种排法？（3）原定的6节课已排好，学校临时通知要增加生物化学地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？ 【答案】（1）360；（2）504；（3）504. 【分析】（1）根据数学必须比语文先上定序问题的排列用除法即倍缩法可求解； （2）分别计算两类体育排在最后一节，和体育不排在最后一节，求和即可； （3）根据九科中六科的顺序一定，利用除法即倍缩法可求解. 【详解】（1）如果数学必须比语文先上，则不同的排法有66226543213602A A ⨯⨯⨯⨯⨯==种； （2）如果体育排在最后一节，有55120A =种，体育不排在最后一节有114444384C C A =种， 所以共有120384504+=种，（3）若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有9966987504A A =⨯⨯=种【点睛】方法点睛：常见排列数的求法为： （1）相邻问题采取“捆绑法”； （2）不相邻问题采取“插空法”； （3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.18．（2020·全国高三专题练习）5男5女排成一排，按下列要求各有多少种排法： （1）男女相间；（2）女生按指定顺序排列. 【答案】（1）28800；（2）30240. 【分析】（1）男女相间排列共分两类，即男女男女…男女排列与女男女男…女男排列； （2）女生按指定顺序排列，为部分定序问题. 【详解】（1）男女相间排列共分两类，即男女男女…男女排列与女男女男…女男排列，当按照男女男女…男女顺序排列时：男生排列共55A 种，女生排列共55A 种，根据分步乘法原理，当按照男女男女…男女顺序排列时共555514400A A ⨯=种，同理，当按照女男女男…女男排列时共14400种，再根据分类加法原理，得男女相间排列共144001440028800+=种.（2）女生按指定顺序排列，为部分定序问题，10人全排列，共1010A 种，5名女生排列，共55A 种，故女生按指定顺序排列共10105530240A A =种.【点睛】(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．19．（2020·上海高三专题练习）（1）4本不同的书平均分成两堆，每堆两本，有几种分法？ （2）10人坐成一排，要求甲、乙、丙三人按从左到右的顺序就坐（不一定要相邻），有几种坐法？ 【答案】（1）3种（2）604800种 【分析】（1）根据均分的方法，直接计算，即可得出结果；（2）先求出10人任意就坐的情况，再由三人顺序确定，即可得出结果. 【详解】（1）4本不同的书平均分成两堆，每堆两本，共有224232C C ⋅=种分法；（2）10人任意就坐，有1010A 种情况；甲、乙、丙三人不同的就坐顺序有33A 种，因此甲、乙、丙三人按从左到右的顺序就坐，共有10103310!6048003!A A ==种坐法. 20．（2020·江西省靖安中学高二月考）在班级活动中，4名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）（1）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？（2）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）（3）现在有7个座位连成一排，仅安排4个男生就坐，怡好有两个空座位相邻的不同坐法共有多少种？ 【答案】（1）3720；（2）840；（3）480. 【分析】（1）根据题意，分2种情况讨论：①，女生甲站在右端，其余6人全排列，②，女生甲不站在右端，甲有5种站法，女生乙有5种站法，将剩余的5人全排列，安排在剩余的位置，由加法原理计算可得答案； （2）根据题意，首先把7名同学全排列，再分析甲乙丙三人内部的排列共有33A 种结果，要使的甲乙丙三个人按照一个高矮顺序排列，结果数只占6种结果中的一种，由倍分法分析可得答案；（3）根据题意，分2种情况：①，两个相邻空座位在两边，12或67上，第三个空座4种选择；②，两个相邻空座位在中间，可能是23，34，45，56中的一个，第三个空位有3种选择，由分类和分步计数原理计算可得答案． 【详解】（1）根据题意，分2种情况讨论：①，女生甲站在右端，其余6人全排列，有66720A =种情况，②，女生甲不站在右端，甲有5种站法，女生乙有5种站法，将剩余的5人全排列，安排在剩余的位置，有55120A =种站法，则此时有551203000⨯⨯=种站法，则一共有65655572030003720A A +⨯⨯=+=种站法；（2）根据题意，首先把7名同学全排列，共有77A 种结果，甲乙丙三人内部的排列共有336A =种结果，要使的甲乙丙三个人按照一个高矮顺序排列，结果数只占6种结果中的一种，则有7733840A A =种. （3）根据题意，恰好有两个空座位相邻分2种情况：①两个相邻空座位在两边，12或67上，第三个空座有4种选择；②两个相邻空座位在中间，可能是23，34，45，56中的一个，第三个空位有3种选择，4个男生全排列有4424A =种坐法，共(2443)24480⨯+⨯⨯=种选派方法．21．（2020·南京市秦淮中学）2名女生、4名男生排成一排，求：（1）2名女生不相邻的不同排法共有多少种？（2）女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相邻）的不同排法共有多少种？【答案】（1）480种（2）360种【分析】（1）不相邻问题利用插空法法；（2）女生顺序已定，先排女生，再排男生，最后根据分步乘法计算原理计算可得；【详解】（1）2名女生不相邻的排列可以分成2步完成：第一步 将4名男生排成一排，有44A 种排法；第二步 排2名女生.由于2名女生不相邻，可以在每2名男生之间及两端共5个位置中选出2个排2名女生，有25A 种排法.根据分步计数原理，不同的排法种数是42452420480A A =⨯=.（2）女生甲必须排在女生乙左边的排列可以分成2步完成：第一步：排2名女生，女生的顺序已经确定，这2名女生的排法种数为从6个位置中选出2个位置的组合数，即为26C ；第二步：排4名男生.将4名男生在剩下的4个位置上进行排列的方法数有44A 种.根据分步计数原理，不同的排法种数是24641524360C A =⨯=.答：分别有480和360种不同的排法.22．（2017·湖北宜昌市一中）高二全体师生今秋开学前在新校区体验周活动中有优异的表现，学校拟对高二年级进行表彰；（1）若要表彰3个优秀班级，规定从6个文科班中选一个，14个理科班中选两个班级，有多少种不同的选法？（2）年级组拟在选出的三个班级中再选5名学生，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有多少种？（3）选中的这5名学生和三位年级负责人徐主任，陈主任，付主任排成一排合影留念，规定这3位老师不排两端，且老师顺序固定不变，那么不同的站法有多少种？【答案】（1）546种；（2）90种；（3）2400种【分析】（1）根据分步计算原理即可求出答案.（2）根据题意可得，5名学生分成三组，一组一人，另两组都是2人，计算其分组的方法种数，进而将三个组分到3个班，即进行全排列，计算可得答案.（3）先计算出2名学生排在两端，剩下的学生和老师全排的种数，再除以老师的顺序数，问题得以解决.【详解】（1）要表彰3个优秀班级，规定从6个文科班中选一个，14个理科班中选两个班级，有12614546C C =种；（2）5名学生分成三组，一组1人，另两组都是2人，有1225422215C C C A =种方法，再将3组分到3个班，共有331590A ⋅=种不同的分配方案；（3）先选2名学生排在两端，剩下的学生和老师全排有265614400A A =种，因为老师的顺序有336A =种，故有1440024006=种.。
重庆市九龙坡区高2023届学业质量调研抽测(第二次)高三数学试卷及参考答案
重庆市九龙坡区高2023届学业质量调研抽测（第二次）高三数学试卷（考试时间120分钟，满分150分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}2,0,2M =-，{}5,0,5N =-，{}5,2,2,5T =--，则（）A ．M N =∅B ．M N T= C ．()M N T T= D ．()M N T T= 2．已知复数z 满足345i z z +=+，i 是虚数单位，则2z =（）A ．2i-B ．2iC ．1i+D ．1i-3．下图是根据某班学生在一次体能素质测试中的成绩画出的频率分布直方图，则由直方图得到的80%分位数为（）A ．75B ．77.5C ．78D ．78.54．正多面体统称为柏拉图体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成（各面都是全等的正多边形，且每个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成的二面角都相等），正多面体共有5种，它们分别是正四面体、正六面体（即正方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体．连接正方体中相邻面的中心（如图1），得到另一个柏拉图体，即正八面体P ABCD Q --（如图2），设E ，F ，H 分别为PA ，PB ，BC 的中点，则下列说法正确的是（）A ．AP 与CQ 为异面直线B ．经过E ，F ，H 的平面截此正八面体所得的截面为正五边形C ．平面PAB ⊥平面PCDD ．平面EFH ∥平面PCD5．已知拋物线C ：()220y px p =>与直线240x y --=交于A ，B 两点，且AB =，设抛物线C 的焦点为F ，则AF BF +=（）A ．B ．7C ．6D ．56．《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著，该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算（即筹算）、，太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算和计数．某学习小组有甲、乙、丙、丁四人，该小组要收集九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、珠算6种算法的相关资料，要求每种算法只能一人收集，每人至少收集其中一种，则不同的分配方案种数有（）A ．1560种B ．2160种C ．2640种D ．4140种7．已知三棱锥P ABC -的顶点都在以PC 为直径的球M 的球面上，PA BC ⊥．若球M 的表面积为48π，4PA =，则三棱雉P ABC -的体积的最大值为（）A ．163B ．323C ．643D ．328．已知偶函数()f x 的定义域为ππ,22⎛⎫-⎪⎝⎭，其导函数为()f x '，当π02x <<时，有()()cos sin 0f x x f x x '+>成立，则关于x 的不等式()π2cos 3f x f x ⎛⎫>⋅ ⎪⎝⎭的解集为（）A ．ππ,33⎛⎫-⎪⎝⎭B ．ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭C ．ππππ,,2332⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎝⎭⎝⎭D ．πππ,0,332⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
(人教版)高中历史必修三：第8课《古代中国的发明和发现》优化训练及答案
古代中国的科学技术与文学艺术第8课古代中国的发明和发现1．在今天的“非典”和“禽流感”中，中国古代文明日益受到重视，与之相关的代表性著作是( )A．《九章算术》 B．《齐民要术》C．《伤寒杂病论》 D．《授时历》答案：C2．(原创题)某古代科技书籍记载：“别有一种玉米，或称玉麦，或称玉蜀秫，盖亦从他方得种。
”这本书是( )A．《齐民要术》 B．《氾胜之书》C．《农书》 D．《农政全书》解析：本题考查再认再现能力。
根据所学可知玉米是在明代时期由美洲传入中国。
故选D项。
A、B、C项分别出现于北魏、汉代、元代。
答案：D3．(2013·重庆文综)某中学生参加电视节目的知识竞赛，有一道关于中国古代四大发明的题，他很难确定其中表述正确的选项，向你电话求助。
你应帮他选择( )A．“司南”最早出现于春秋时期B．“蔡侯纸”是中国古代最早的纸C．火药在唐代开始应用于军事D．活字印刷书籍的出现始于元朝解析：本题考查再认再现能力。
结合所学可知选C项。
“司南”最早出现于战国时期；最早的纸出现于西汉前期；活字印刷术出现于北宋时期。
答案：C4．国外一些学者称誉中国的道教是“世界上唯一不强烈反对科学的神秘主义”。
以下能佐证这一观点的是( )A．纸的发明 B．指南针的发明C．火药的发明 D．活字印刷术的发明解析：本题考查再认再现能力。
结合所学可知火药是在道教炼丹求仙过程中发明的，故选C项。
答案：C5．人丁兴旺是国治邦安的表征之一，所以健身除病的传统医学十分发达。
这表明中国古代科技的特征是( )A．重经验 B．重实用C．重自然 D．重血统解析：本题考查理解分析能力。
“健身除病的传统医学十分发达”，表明中国古代医学的重视实用。
故B项正确。
答案：B6．(2013·江苏学业水平测试)英国思想家弗朗西斯·培根认为：“四大发明对于彻底改造近代世界并使之与古代及中世纪划分开来，比任何宗教的信仰、任何星象的影响或任何征服者的伟业所起的作用都要大。
张岱年《中国文化概论》(修订版)配套题库-第7章 中国古代科学技术【圣才出品】
第7章 中国古代科学技术一、填空题1．为了让历法更好地配合天象和自然季节，用以安排农业生产，中国古代创制了“______”。
[厦门大学2011年研]【答案】二十四节气【解析】古人创制“二十四节气”的目的是让历法更好地配合天象和自然季节，用以安排农业生产，中国最早出现的是“二分”与“二至”，即春分、秋分，冬至、夏至。
2．北魏贾思勰所著的《______》是中国历史上最重要的农学著作之一。
[首都师范大学2010年研]【答案】齐民要术【解析】北魏贾思勰所著的《齐民要术》，系统总结了黄河流域的农业生产经验，阐述了古代因地制宜、因时制宜的农学思想，根据北方农业生产的特点，提出了一系列精耕细作、保墒施肥的方法，成为中国历史上最重要的农学著作之一。
3．最早详细记述珠算的是《______》。
[北京大学2012年研]【答案】数术记遗【解析】“珠算”一词最早见于汉代徐岳编撰的《数术记遗》。
书中云：“珠算，控带四时，经纬三才。
”该书记载了十四种上古算法，其中有一种便是“珠算”。
4．从汉到明，中国著名的医学著作有《______》《脉经》《千金药方》《本草纲目》等。
[北京大学2012年研]【答案】伤寒杂病论【解析】汉代“医圣”张仲景《伤寒杂病论》贯彻了“理、法、方、药”一致的原则。
提出辨证施治原则，奠定了中医临床学的基础。
5．中医四诊法是指望、闻、问、______。
[中山大学2011、2010年研]【答案】切【解析】中医诊治强调“四诊”“八纲”。
“四诊”即“望（望色）、闻（闻味）、问（问情）、切（切脉）”，“八纲”即“阴、阳、表、里、寒、热、虚、实”。
6．在中医看来，在人体这个错综复杂的生命网络中，有直行和横行的部分就是______，它们上下左右贯通起来就是人的生命体的隐藏系统。
[中国传媒大学2010年研]【答案】经脉【解析】经脉是中医所指的人体内气血运行的通路。
经脉可分为正经和奇经两类。
正经有十二条，即手足三阴经和手足三阳经，合称“十二经脉”，是气血运行的主要通道。
压轴题10 概率统计(选填题)-【考前冲刺】2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用)
压轴题10 概率统计（选填题）-【考前冲刺】2023年高考数学压轴题专项训练（全国通用）一、单选题(共8题；共40分)1．（5分）某校大一新生A，B，C，D欲加入该校的文学社、书法社、羽毛球社．已知这4名大一新生每人只加入了1个社团，则这4名大一新生恰好加入其中2个社团的不同情况有（）A．21种B．30种C．42种D．60种2．（5分）“回文”是古今中外都有的一种修辞手法，如“我为人人，人人为我”等，数学上具有这样特征的一类数称为“回文数”､“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如121，241142等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有（）A．100个B．125个C．225个D．250个3．（5分）已知甲盒子中有3个红球，1个白球，乙盒子中有2个红球，2个白球，同时从甲，乙两个盒子中取出i个球进行交换，交换后，分别记甲、乙两个盒中红球个数ξi ，ηi(i=1，2)，则（）A．E(ξ1)=E(η1)B．E(ξ1)<E(η1)C．E(ξ2)=E(η2)D．E(ξ2)<E(η2)4．（5分）如图，两个半径为R的相交大圆，分别内含一个半径为r的同心小圆，且同心小圆均与另一个大圆外切.已知R=√2，r=2−√2时，在两相交大圆的区域内随机取一点，则该点取自两大圆公共部分的概率为（）A．4−π3π+2B．π−24πC．π−23π+2D．π−13π+25．（5分）已知直线ax+by+c=0的斜率大于零，其系数a、b、c是取自集合{−2，−1，0，1，2}中的3个不同元素，那么这样的不重合直线的条数是（）A．11B．12C．13D．146．（5分）《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著，该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算（即筹算）、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算和计数.某学习小组有甲、乙、丙三人，该小组要收集九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算5种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，但甲不收集九宫算和了知算的资料，则不同的分配方案种数有（）A．38B．56C．62D．807．（5分）已知(x+ax2)6展开式的常数项的取值范围为[135,240]，且x2+alnx≥(a+2)x恒成立.则a 的取值范围为（）A．[−4,−3]∪[3,4]B．[−4,−1]∪[3,4]C．[1,4]D．[−4,−3]8．（5分）设复数z=(x−1)+yi（x,y∈R，i为虚数单位），若|z|≤1，则y≥√3x的概率为()A．16+√34πB．56+√34πC．56−√34πD．16−√34π二、多选题(共5题；共25分)9．（5分）已知sin15°是函数f(x)=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0(a4，a3，a2，a1，a0∈Z，a4≠0)的零点，则下列说法正确的是（）A．a4a0=16B．f(cos15°)=0C．f(−x)=f(x)D．f(x)min=−310．（5分）甲、乙两人进行围棋比赛，共比赛2n(n∈N∗)局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为12.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为P(n)，则（）A．p(2)=516B．p(3)=1116C．p(n)=12(1−C2n n22n)D．p(n)的最大值为1411．（5分）已知(2−x)8=a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a8x8，则（）A．a=28B．a1+a2+⋯+a8=1C．|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|a8|=38D．a1+2a2+3a3+⋯+8a8=−812．（5分）若数列{a n}的通项公式为a n=(−1)n−1，记在数列{a n}的前n+2(n∈N∗)项中任取两项都是正数的概率为P n，则（）A．P1=13B．P2n<P2n+2C．P2n−1<P2nD．P2n−1+P2n<P2n+1+P2n+2.13．（5分）已知n∈N∗，n≥2,p+q＝1,设f(k)=C2n k p k q2n−k，其中k∈N,k≤2n,则（）A ．∑f(k)2nk=0=1B ．∑kf(k)2nk=0=2npqC ．若 np ＝4 ，则 f(k)≤f(8)D ．∑f(2k)<12n k=0<∑f(2k −1)n k=1三、填空题(共10题；共65分)14．（10分）有一种投掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第1站、第2站、第3站、…、第10站，共10站，设棋子跳到第n 站的概率为P n ，若一枚棋子开始在第1站，棋手每次投掷骰子一次，棋子向前跳动一次．若骰子点数小于等于3，棋子向前跳一站；否则，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第9站（失败）或者第10站（获胜）时，游戏结束．则P 3= ；该棋手获胜的概率为 ．15．（5分）设非空集合Q ⊆M ，当Q 中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称Q 是M 的偶子集，若集合M ={1，2，3，4，5，6，7}，则其偶子集Q 的个数为 .16．（5分）四名志愿者参加某博览会三天的活动，若每人参加一天，每天至少有一人参加，其中志愿者甲第一天不能参加，则不同的安排方法一共有 种（结果用数值表示）17．（5分）如图，在 3×3 的点阵中，依次随机地选出 A 、 B 、 C 三个点，则选出的三点满足 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ <0 的概率是 ．18．（5分）2013年国家提出“一带一路”发展战略，共建“一带一路”致力于亚欧非大陆及附近海洋的互联互通，建立和加强沿线各国互联互通伙伴关系，构建全方位､多层次､复合型的互联互通伙伴关系，实现沿线各国多元､自主､平衡､可持续的发展，为积极响应国家号召，中国的5家企业，对“一带一路”沿线的3个国家进行投资，每个国家至少一个企业，则有 种不同的方案.19．（10分）现有A 、B 、C 、D 、E 、F6个不同的货柜，准备用甲、乙、丙三辆卡车一次运送出去，每台卡车至少运一个货柜，则不同的分配方案的种数为 .设卡车甲运送货柜的数量为随机变量X ，则期望 E(X)= .20．（5分）某校 13 名学生参加军事冬令营活动，活动期间各自扮演一名角色进行分组游戏，角色按级别从小到大共 9 种，分别为士兵、排长、连长、营长、团长、旅长、师长、军长和司令.游戏分组有两种方式，可以 2 人一组或者 3 人一组.如果 2 人一组，则必须角色相同；如果 3 人一组，则 3 人角色相同或者 3 人为级别连续的 3 个不同角色.已知这 13 名学生扮演的角色有 3 名士兵和 3 名司令，其余角色各 1 人，现在新加入 1 名学生，将这 14 名学生分成 5 组进行游戏，则新加入的学生可以扮演的角色的种数为 .21．（10分）已知 (1+x)6−(2+x)6=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯⋯+a 5x 5+a 6x 6 ，则 a 6= ， |a 0|+|a 1|+|a 2|+⋯⋯+|a 5|+|a 6|= .22．（5分）已知六个函数：①y =1x2 ；②y =cosx ；③y =x 12 ；④y =arcsinx ；⑤y =lg(1+x1−x ) ；⑥y =x +1 ，从中任选三个函数，则其中既有奇函数又有偶函数的选法共有 种.23．（5分）记 a,b,c,d,e,f 为 1,2,3,4,5,6 的任意一个排列，则 (a +b)(c +d)(e +f) 为偶数的排列的个数共有 .答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】4名大一新生分成2个组，一组1人另一组3人或2个组各2人，有C 41+C 42A 22种方案，3个社团选择2个社团，有C 32种方案，把2个组分配给2个社团，有A 22种方案， 由题意可得这4名大一新生恰好加入其中2个社团的不同情况有(C 41+C 42A 22)C 32A 22=42种．故答案为：C【分析】利用已知条件结合排列数公式和组合数公式，再结合分步乘法计数原理，进而得出这4名大一新生恰好加入其中2个社团的不同情况的种数。
湖南师大附中2021-2022学年高三下学期月考数学试卷(七)
湖南师大附中2022届高三月考试卷（七）数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={-3，-2，-1，0，1，2，3}，集合A={-1，0，1，2}，B={-3，2，3}，则A (ðU B )=（А．{-1，0}）B ．{0，1}C ．{-1，1}D ．{-1，0，1}2．已知sin⎛33πα+⎫⎭⎪= ⎝，则sin ⎛2α+6π⎫⎭⎪的值为（ ⎝）A ．79B ．-79C．9D ．-93．某种活性细胞的存活率y （%）与存放温度x （℃）之间具有线性相关关系，样本数据如下表所示：存放温度x （℃）104-2-8存活率y （％）20445680经计算，回归直线的斜率为-3.2．若这种活性细胞的存放温度为6℃，则其存活率的预报值为（A ．32％）B ．33％C ．34％D ．35％4．已知双曲线C ：x 2y 2=1（k >0），若对任意实数m ，直线4x +3y +m =0与C 至16k -多有一个交点，则C 的离心率为（）A ．45B ．53C ．43D ．95．已知函数f (x )=⎨⎪⎛⎪f (x -1),x >21⎫,x ≤2⎝2x⎧ ⎭⎪⎩，则f (log 212)=（）A ．31B ．-6C ．61D ．-36．中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，其中AA 1⊥底面ABCD ，底面扇环所对的圆心角为2π，A D 的长度为B C 的长度的3倍，AA 1=3，CD=2，则该曲池的体积为（）C ．A ．9π2B ．6π11π2D ．5π第6题图7．考察下列两个问题：①已知随机变量X~B （第9题图n ，p ），且E （X ）=4，D （X ）=2，记P （X=1）=a ；②甲、乙、丙三人随机到某3个景点去旅游，每人只去一个景点，设A 表示“甲、乙、丙所去的景点互不相同”，B 表示“有一个景点仅甲一人去旅游”，记P （A|B ）=b ，则（）A ．a =b 3B ．a =b 4C ．a =b 5D ．a =b 68．在△ABC 中，角B ，C 的对边长分别为b ，c ，点O 为△ABC 的外心，若b 2+c 2=2b ， 则BC ⋅AO 的取值范围是（）A ．⎡1,0⎫⎭⎪4-⎢⎣B ．(0,2)C ．⎡1,+∞⎫⎭⎪4-⎢⎣D ．⎡1,2⎫⎭⎪4-⎢⎣二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图所示，用一个与圆柱底面成θ（0<θ<2）角的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若）π圆柱的底面圆半径为2，θ=A ．椭圆的长轴长等于4，则（3πB ．椭圆的离心率为32C ．椭圆的标准方程可以是x 2y 2=1164+D ．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为4-10．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R ，有f (1+x )=-f (1-x )，当x ∈[0,1]时，f (x )=x 2+x -2，则（A ．f (x )是以4为周期的周期函数B ．f (2021)+f (2022)=-2）C ．函数y =f (x )-log 2(x +1)有3个零点D ．当x ∈[3,4]时，f (x )=x 2-9x +1811．已知函数f (x )=A sin (ωx +ϕ)（A >0，ω>0，-π<ϕ<-2）的部分图象如图π所示，把函数f (x )图象上所有点的横坐标伸长为原来的1110倍，得到函数y =g (x )的图象，则（）A ．g ⎛3x +π⎫⎭⎪为偶函数 ⎝B ．g (x )的最小正周期是πC ．g (x )的图象关于直线x =23π对称D ．g (x )在区间（71π2，π）上单调递减第11题图第12题图12．如图，棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的内切球球心为O ，E 、F 分别是棱AB 、CC 1的中点，G 在棱BC 上移动，则（A ．对于任意点G ，OA ∥平面EFGB ．存在点G ，使OD ⊥平面EFGC ．直线EF 的被球O）D ．过直线EF 的平面截球O 所得截面圆面积的最小值为2π三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知复数z 满足z (1-i )=4+2i ，则z =________（用代数式表示）．14．《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著．该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算（即筹算）、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算和计数．某中学研究性学习小组有甲、乙、丙、丁四人，该小组拟全部收集九宫算、运筹算、了知算、成数算和把头算等5种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，且每种算法只由一个人收集，但甲不收集九宫算和了知算的资料，则不同的分工收集方案共有________种．15．已知直线l过点P（0，1），且与圆O：x2+y2=3相交于A，B两点，设OC=OA+OB，若点C在圆O上，则直线l的倾斜角为________．16．已知函数f(x)=x-ae x+2．（1）若对任意实数x，f(x)<0恒成立，则a的取值范围是________；（2）若存在实数x1，x2（x1≠x2），使得f(x1)=f(x2)=0，则a的取值范围是________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在△ABC中，已知sin2A-sin2B=sin C(sin B+sin C)．（1）求角A的值；（2）设∠BAC的平分线交BC边于D，若AD=1，BC=，求△ABC的面积．在数列{a n}中，已知a1=2，n(a n+1-a n)=a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；S n（2）设b n=(-1)n a n，S n为数列{b n}的前n项和，求满足>100的正整数n的最小值．19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P−ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，AC⊥BC，△PAC是边长为2的正三角形，BC=4，E，F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为l．（1）证明：直线l⊥平面PAC；（2）设点Q在直线l上，直线PQ与平面AEF所成的角为α，异面直线PQ与EF所成的π角为θ，求当AQ为何值时，α+θ=．2某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额，网购次数和支付方式等进行了问卷调查．经统计，这100位居民的网购消费金额均在区间[0，30]内（单位：千元），按[0，5），（5，10]，（10，15]，（15，20]，（20，25]，[25，30]分成6组，其频率分布直方图如图所示．（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；（2）将一年来网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”；（3）调查显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响．统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示：网购总次数支付宝支付次数银行卡支付次数微信支付次数甲80401624乙90601812将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为ξ，求ξ的数学期望．附：观测值公式：K 2=(a ()())(d )()(d )．2a b c +d ad bc b c +a c b ++-+++临界值表：P (K 2≥k 0)0.100.050.0250.0100.0050.001k 0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828已知抛物线E ：x 2=2py （p >0）的焦点为F ，直线x=4分别与x 轴交于点P ，与抛物线E 交于点Q ，且54QF PQ =．（1）求抛物线E 的方程；（2）如图，设点A ，B ，C 都在抛物线E 上，若△ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形， 求AB ⋅AC 的最小值．22．（本小题满分12分）已知函数f (x )=x 3+a ln x ，其中a ≥-3为常数．（1）设f '(x )为f (x )的导函数，当a=6时，求函数g (x )=f (x )-f '(x )+x9的极值；（2）设点A （x 1，f (x 1)），B （x 2，f (x 2)）（x 1>x 2≥1），曲线y =f (x )在点A ，B 处的切线的斜率分别为k 1，k 2，直线AB 的斜率为k ，证明k 1+k 2>2k ．。
人教B版高中数学选择性必修第二册精品课件 第3章 排列、组合与二项式定理 分层作业4 组合数的应用
9.[探究点一·北师大版教材习题]从1,3,5,7,9中任取3个数字,从2,4,6,8中任 取2个数字,一共可以组成多少个没有重复数字的五位数? 解 先取元素后排列,分三步完成: 第一步,从 1,3,5,7,9 中取 3 个数字,有C53种取法; 第二步,从 2,4,6,8 中取 2 个数字,有C42种取法; 第三步,将取出的 5 个数字全排列,有A55种排法. 故共有符合条件的五位数C53 ·C42 ·A55=7 200 个.
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(4)(方法一 直接法)至少有 1 名男生和 1 名女生参加的选法可分 4 类:1 男 4 女;2 男 3 女;3 男 2 女;4 男 1 女. 所以共有C112C84 + C122C83 + C132C82 + C142C81=14 656 种不同的选法. (方法二 间接法)从无限制条件的选法种数中减去 5 名都是男生和 5 名都是 女生的选法种数所得的结果即所求, 即共有C250-(C152 + C85)=14 656 种不同的选法.
解析 依题意,先将 13 种算法分为 3 组,方法种数为C153AC2284C44,再分配给 3 个人, 方法种数为C153AC2284C44 × A33.故选 A.
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7.[探究点一] 上海某小学组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内
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13. 现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张,从中任
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《数术记遗》记载了数位无穷的黄帝大数十等其用有三 的命数法和隶首注术乃有多种的十三种记数工具，其中有 彩色游珠算盘六种：太乙、两仪、三才、九宫、了知、珠算。因 珠算无算法，只得借用筹算算法，三重张位代以三盘相叠、 数位相对乘除。随考古进展，甘肃新石器齐家文化武威、永 靖三处墓地 "( 座墓出土记数小石子 ##$# 块；殷周时期岐 山周原宫室遗址出土彩色陶丸 *$ 粒，鉴定为古珠算的游 珠；扶风周遗址出土和收集到黄色陶球、石球 !$ 余枚，考古 界也认为是算珠。史料、文物证明我国珠算有它的发生发展 历程，绝非来自西洋或印度，也不是由筹算演变而来，更不 是源于筹算。
·珠算史·
《 齐 鲁 珠 坛 》#$$# 年 第 ! 期 % 总 第 !$& 期 ’
《数术记遗》是汉献帝时徐岳写的真书
周全中
《数术记遗》撰著人徐岳，岳师刘洪，洪师天目先生。《袁 山松后汉书》：“刘洪，字元卓，泰山蒙阴人也。鲁王之宗室 也。延熹中以校尉应太史征，拜郎中。迁常山长史，以父忧去 官。后为上计掾，拜郎中，检东观著作律历记；迁谒者，谷城 门侯，会稽东部都尉。征还未至，领山阳太守，卒官。洪善算， 当世无偶，作七曜术，及在东观与蔡邕共述律历记，考验天 官；及造乾象术十余年，考验日月与象相应，皆传于世。”《数 术记遗》原文：“及于太山，见刘会稽，博识多闻，偏于数述。 余因受业，颇染所由。……”甄鸾注：“会稽，官号。汉中人 也。按历志称灵帝光和中，谷城门侯太山刘洪造乾象历。又 制月行迟疾阴阳历，自洪始也。方于太初、四分，转精密矣。 洪后为会稽太守。……”《四库全书纪昀数述记遗提要》：… …书中称于泰山见刘会稽，博识多文，偏于数术。……然按 《后汉书》注引袁山松书曰：‘泰山蒙阴人。延熹中以校尉应 太史征，拜郎中。后为会稽东部都尉。征还未至，领丹阳太守 卒官。’……且洪在会稽乃官都尉，其为太守实在丹阳，而注 以为官会稽太守，错互殊甚。……唐代选举之制，算学九章 五曹之外，兼习此书。此必当时求购古算，好事者因托为之， 而嫁名于岳耳。……” 校点校点算经十书的钱宝琮说：“我们认为它是北周甄鸾依 托伪造的书。”《数术记遗》真伪异说，中外人士争论二百多 年，至今尚无定论。
这里，以唐人的刘洪成说套用于刘洪徐岳的师徒情况 上，结果是错的。且洪在东观造乾象术十余年，始于光和元 年 % 公元 !() 年 ’ ；熹平三年 % 公元 !(" 年 ’ 是洪上作七曜术 之年，乾象术还没开始。!*)+ 陈美东《刘洪生平，天文学成 就和思想》% 见《自然科学史研究》& 卷 - 期 !*)+。’ 对刘洪生 平占有丰富资料，也看出袁山松书最为详细，为洪一生提出 线索，但还有两点差错。一是把侯国误为王国，让洪在山阳 太守后迁侯国相，这不仅郡级降为县级，且与领山阳太守卒 官相背。二是洪造乾象术十余年半途而废。因月食历后于 天，让洪到资料仪器集中的东观求答案，造乾象术十余年至 灵帝末得到基本数据，月食历天相合，才迁离洛阳的。“恐即 《仲祺》% 记遗失而复得者鲍浣之的字 ’ 所伪撰。”
李俨生先 !*-$《中国算学小史》：“徐岳字公河，东莱人， ·!"·
生于汉末，受历学于汉灵帝 % 公元 !+) . !)* 年 ’ 时会稽东部 尉刘洪，会稽因述天目先生之语，岳为成《数术记遗》一卷。 三国吴中书令阚泽受刘洪乾象法于东莱徐岳，著有《乾象历 注》。隋书唐书并记徐岳撰九章，今已亡失。”!)-"《中国算学 史》：“唐释慧琳大藏音义卷六云：刘洪 % 公元 !&) . !)) 年时 人 ’ 有九章 % 一作京 ’ 算术；”宋李日’方太平御览卷七五四；引魏 王郎塞势云：“东莱徐 % 岳 ’ 先生，素习九章，能为计数；”隋书 称：“徐岳撰有九章；三国时吴时书令阚泽受刘洪乾象法 % 公 元后 !(" 年作 ’ 于东莱徐岳，———”
以范晔《后汉书》、陈寿《三国志纪传注》加以考订：桓帝 时刘洪为曲城侯国相，政教清均，吏民畏爱。延熹年间，洪以 校尉应太史征，拜郎中。灵帝熹平三年% 公元 !(" 年 ’ 常山长 史刘洪上作七曜术。旋以父忧去官 % 守制为 #( 个月 ’ 熹平六 年 % 公元 !(( 年 ’ 为上计掾，拜郎中。光和元年 % 公元 !() 年 ’ ，与蔡邕检东观叙述律历记；半年后蔡邕钳徙北方，洪造 乾象述；二年 % 公元 !(* 年 ’ 洪迁谒者，谷城门侯，中平五年 % 公元 !)) 年 ’ 乾象术初成，提供行用。翌年 % 公元 !)* 年 ’ ， 洪迁会稽东部都尉，撰写乾象历初稿。献帝建安元年 % 公元 !*+ 年 ’ ，孙策取会稽，太守王朗拒战败绩，亡走浮海；策自领 会稽太守。洪征还，至徐州，与避地的郑玄相遇，将乾象历初 稿亲授郑玄。玄以为穷幽极微，又加注焉。洪领山阳太守；两 年多后于太山遇徐岳，结为师徒, 建安十一年 % 公元 #$+ 年 ’ ，洪完成乾象历定稿。徐岳与好事后生撰成数述记遗一 卷，给我们留下：数位无穷黄帝大数十等其用有三的命数法 和隶首注术乃有多种的记数计算工具，内有彩色游珠算盘 六种、筹算五种、针算 % 八卦算 ’ 和龟算。
% 作者地址：北京八角南路 !) 楼 #( 号，!$$$"- ’ % #$$! . !# . #$ 收稿 ’