2019年春高中数学 第1章 解三角形 1.2 应用举例 第1课时 距离问题同步练习 新人教B版必修5

2019年春高中数学 第1章 解三角形 1.2 应用举例 第1课时 距离问题同步练习 新人教B 版必修5一、选择题1．海上有A 、B 两个小岛相距10 n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是( )A ．10 3 n mileB ．10 6 n mileC ．5 2 n mileD ．5 6 n mile[答案] D[解析] 如图，由正弦定理，得 BCsin60°＝10sin45°，∴BC ＝5 6.2．某人向正东方向走x km 后，他向右转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离出发点恰好 3 km ，那么x 的值为( )A ． 3B ．2 3C ．23或 3D ．3[答案] C[解析] 由题意画出三角形如图．则∠ABC ＝30°，由余弦定理，得cos30°＝x 2＋9－36x，∴x ＝23或 3.3．两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a kmB ．3a kmC ．2a kmD ．2a km[答案] B[解析] ∠ACB ＝120°，AC ＝BC ＝a ，由余弦定理可得AB ＝3a (km)．4．(2016·三亚高二检测)有一长为10 m 的斜坡，它的倾斜角是75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延伸( )A ．5 mB ．10 mC ．10 2 mD ．10 3 m[答案] C[解析] 如图，在△ABC 中，由正弦定理，得xsin45°＝10sin30°，∴x ＝10 2 m.5．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距( )A ．10 3 mB ．100 3 mC ．20 3 mD ．30 m[答案] D[解析] 设炮台顶部为A ，两条船分别为B 、C ，炮台底部为D ，可知∠BAD ＝45°，∠CAD ＝60°，∠BDC ＝30°，AD ＝30.分别在Rt △ADB 、Rt △ADC 中，求得BD ＝30，DC ＝30 3.在△DBC 中，由余弦定理，得BC 2＝DB 2＋DC 2－2DB ·DC cos30°，解得BC ＝30.6．(2016·南昌模拟)当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C 处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋30°角的方向沿直线前往B 处营救，则sin θ的值为( )A ．217 B ．22C ．32D ．5714[答案] A[解析] 连接BC ．在△ABC 中，AC ＝10，AB ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AB ·AC ·cos120°＝700，∴BC ＝107，再由正弦定理，得BC sin ∠BAC ＝AB sin θ，∴sin θ＝217.二、填空题7．两船同时从A 港出发，甲船以每小时20 n mile 的速度向北偏东80°的方向航行，乙船以每小时12 n mile 的速度向北偏西40°方向航行，一小时后，两船相距________ n mile.[答案] 28[解析] 如图，△ABC 中，AB ＝20，AC ＝12，∠CAB ＝40°＋80°＝120°，由余弦定理，得BC 2＝202＋122－2×20×12·cos120°＝784， ∴BC ＝28(n mile)．8．一船以24 km/h 的速度向正北方向航行，在点A 处望见灯塔S 在船的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见灯塔在船的北偏东65°方向上，则船在点B 时与灯塔S 的距离是______ km.(精确到0.1 km)[答案] 5.2[解析] 作出示意图如图．由题意知，则AB ＝24×1560＝6，∠ASB ＝35°，由正弦定理，得6sin35°＝BSsin30°，可得BS ≈5.2(km)． 三、解答题9.如图，甲船以每小时30 2 n mile 的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20 n mile.当甲船航行20 min 到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距10 2 n mile ，问乙船每小时航行多少n mile?[解析] 解法一：如图，连接A 1B 2，由已知，A 2B 2＝102，A 1A 2＝302×2060＝102，∴A 1A 2＝A 2B 2，又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°， ∴△A 1A 2B 2是等边三角形， ∴A 1B 2＝A 1A 2＝10 2. 由已知，A 1B 1＝20，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°， 由△A 1B 2B 1中，由余弦定理，得B 1B 22＝A 1B 22＋A 1B 21－2A 1B 1·A 1B 2·cos45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200. ∴B 1B 2＝10 2.因此乙船的速度的大小为10220×60＝302(n mile/h)．答：乙船每小时航行30 2 n mile. 解法二：如图，连结A 2B 1.由已知，A 1B 1＝20，A 1A 2＝302×2060＝102，∠B 1A 1A 2＝105°，cos105°＝cos(45°＋60°) ＝cos45°cos60°－sin45°sin60°＝21－34.sin105°＝sin(45°＋60°) ＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝21＋34.在△A 2A 1B 1中，由余弦定理，得A 2B 21＝A 1B 21＋A 1A 22－2A 1B 1·A 1A 2·cos105°＝(102)2＋202－2×102×20×21－34＝100(4＋23)． ∴A 2B 1＝10(1＋3)． 由正弦定理，得sin ∠A 1A 2B 1＝A 1B 1A 2B 1·sin∠B 1A 1A 2 ＝20＋3×2＋34＝22， ∴∠A 1A 2B 1＝45°，即∠B 1A 2B 2＝60°－45°＝15°， cos15°＝sin105°＝21＋34.在△B 1A 2B 2中，由已知，A 2B 2＝102，由余弦定理，得B 1B 22＝A 2B 21＋A 2B 22－2A 2B 1·A 2B 2·cos15° ＝102(1＋3)2＋(102)2－2×10(1＋3)×102×21＋34＝200.∴B 1B 2＝102，乙船速度的大小为10220×60＝30 2 n mile/h ，答：乙船每小时航行30 2 n mile.一、选择题1．如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距20 n mile ，随后货轮按北偏西30°的方向航行30 min 后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A ．20(2＋6) n mile/hB ．20(6－2) n mile/hC ．20(6＋3) n mile/hD ．20(6－3) n mile/h[答案] B[解析] 由题意可知∠NMS ＝45°，∠MNS ＝105°，则∠MSN ＝180°－105°－45°＝30°.而MS ＝20， 在△MNS 中，由正弦定理，得MN sin30°＝MSsin105°，∴MN ＝20sin30°sin105°＝10＋＝10sin60°cos30°＋cos60°sin30°＝106＋24＝10(6－2)． ∴货轮的速度为10(6－2)÷12＝20(6－2)(n mile/h)．2．一船向正北航行，看见正西方向有相距10 n mile 的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时( )A ．5 n mileB ．5 3 n mileC ．10 n mileD ．10 3 n mile[答案]C[解析] 如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，∴∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10， 在Rt △ABC 中，求得AB ＝5，∴这艘船的速度是50.5＝10(n mile/h)．二、填空题3．甲船在岛A 的正南B 处，以4 km/h 的速度向正北航行，AB ＝10 km ，同时乙船自岛A 出发以6 km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为________．[答案]1507min [解析] 如图，当两船航行t h 时，甲船到D 处，乙船到C 处，则AD ＝10－4t ，AC ＝6t ，∠CAD ＝120°，若AD ′＝4t －10，AC ＝6t ，∠CAD ′＝60°，所以CD 2＝(6t )2＋(10－4t )2－2×6t ×(10－4t )×(－12)＝28t 2－20t ＋100，∴当t ＝514h 时，CD 2最小，即两船最近，t ＝514h ＝1507min.4．已知船在A 处测得它的南偏东30°的海面上有一灯塔C ，船以每小时30 n mile 的速度向东南方向航行半小时后到达B 点，于B 处看到灯塔在船的正西方向，问这时船和灯塔相距________ n mile.[答案]563－2[解析] 如图，∠CAB ＝45°－30°＝15°，∠ACB ＝180°－60°＝120°，AB ＝30×12＝15，∴BC ＝AB ×sin∠CAB sin ∠ACB ＝15×sin15°sin120°.∵sin15°＝sin(45°－30°) ＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝6－24， ∴BC ＝562(3－1)(n mile)．三、解答题5．如图，我炮兵阵地位于地面A 处，两观察所分别位于地面点C 和D 处，已知CD ＝6 000 m ．∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，目标出现于地面B 处时测得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝15°.求炮兵阵地到目标的距离．(结果保留根号)[解析] 由于∠ADC ＝75°，∠BDC ＝15°，∴∠ADB 为直角．题中有多个三角形而抓住△ABD 为直角三角形作为突破口可简化计算．在△ACD 中，∠CAD ＝60°，AD ＝CD ·sin45°sin60°＝63CD ． 在△BCD 中，∠CBD ＝135°，BD ＝CD ·sin30°sin135°＝22CD ， ∠ADB ＝90°.在Rt △ABD 中，AB ＝AD 2＋BD 2＝426CD＝1 00042(m)．答：炮兵阵地到目标的距离为100042米．6．如图所示，表示海中一小岛周围3.8 n mile 内有暗礁，一船从A 由西向东航行望见此岛在北75°东．船行8 n mile 后，望见这岛在北60°东，如果该船不改变航向继续前进，有没有触礁的危险．[解析] 在△ABC 中，AC ＝8，∠ACB ＝90°＋60°＝150°，∠CAB ＝90°－75°＝15°，∴∠ABC ＝15°.∴△ABC 为等腰三角形，BC ＝AC ＝8，在△BCD 中，∠BCD ＝30°，BC ＝8，∴BD ＝BC ·sin30°＝4>3.8.故该船没有触礁危险．7.碧波万顷的大海上，“蓝天号”渔轮在A 处进行海上作业，“白云号”货轮在“蓝天号”正南方向距“蓝天号”20 n m ile 的B 处．现在“白云号”以每小时10 n mile 的速度向正北方向行驶，而“蓝天号”同时以每小时8n mile 的速度由A 处向南偏西60°方向行驶，经过多少小时后，“蓝天号”和“白云号”两船相距最近．[解析] 如右图，设经过t h ，“蓝天号”渔轮行驶到C 处，“白云号”货轮行驶到D 处，此时“蓝天号”和“白云号”两船的距离为CD ．则根据题意，知在△ACD 中，AC ＝8t ，AD ＝20－10t ，∠CAD ＝60°.由余弦定理，得CD 2＝AC 2＋AD 2－2×AC ×AD cos60°＝(8t )2＋(20－10t )2－2×8t ×(20－10t )×cos60° ＝244t 2－560t ＋400＝244(t －7061)2＋400－244×(7061)2，∴当t ＝7061时，CD 2取得最小值，即“蓝天号”和“白云号”两船相距最近．答：经过7061h 后，“蓝天号”和“白云号”两船相距最近．。