2020届四川省成都市石室中学高考一诊试卷数学(理科)(PDF版)

18.【答案】解：（1）∵
且 sin（A+C）=sinB
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∴
，又∵
∴
，
∴
，
∴
，
∴，
∴
．
（2）由题意知：a+b+c=8，故 b=8-（a+c）
∴
，
∴
∴，
，
∴
∴，
或
（舍），即
∴
（当 a=c 时等号成立）
综上，△ABC 的面积的取值范围为
．
【解析】（1）直接利用三角函数关系式的变换的应用和倍角公式的应用求出结果．
A. 1+i
B. 1-i
C.
3. 若等边△ABC 的边长为 4，则 • =（ ）
D. -1-i
A. 8
B. -8
C.
4. 在（2x-1）（x-y）6 的展开式中 x3y3 的系数为（ ）
D. -8
A. 50
B. 20
C. 15
D. -20
5. 若等比数列{an}满足：a1=1，a5=4a3，a1+a2+a3=7，则该数列的公比为（ ）
16.【答案】[ ，1）∪{2}∪[e，+∞）
17.【答案】解：（1）100 位会员中，至少消费两次的会员有 40 人，
∴估计一位会员至少消费两次的概率为
．
（2）该会员第一次消费时，公司获得利润为 200-150=50（元）， 第 2 次消费时，公司获得利润为 200×0.95-150=40（元），
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的分布列和数学期望 E（X）．
18. △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设
．
（Ⅰ）求 sinB； （Ⅱ）若△ABC 的周长为 8，求△ABC 的面积的取值范围．
19. 如图，在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，且∠ADC=60°，
15. 已知双曲线 C：x2- =1 的左，右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线 l 分别与两条渐进线交于 A，B 两点，
若 • =0， =λ ，则 λ=______．
16. 若函数 f（x）=
恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是______．
三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. 某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按 200 元/次收费，并注册成为会员，
C. 4
D.
12. 设函数 f（x）=cos|2x|+|sinx|，下述四个结论：
①f（x）是偶函数；②f（x）的最小正周期为 π；
③f（x）的最小值为 0；④f（x）在[0，2π]上有 3 个零点．
其中所有正确结论的编号是（ ）
A. ①②
B. ①②③
C. ①③④
D. ②③④
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
，
．
（Ⅰ）证明：平面 CDD1⊥平面 ABCD； （Ⅱ）求二面角 D1-AD-C 的余弦值．
20. 设椭圆
，过点 A（2，1）的直线 AP，AQ 分别交 C 于不同的两点 P，Q，直线 PQ 恒过点
B（4，0）． （Ⅰ）证明：直线 AP，AQ 的斜率之和为定值； （Ⅱ）直线 AP，AQ 分别与 x 轴相交于 M，N 两点，在 x 轴上是否存在定点 G，使得|GM|•|GN|为定值？
20.【答案】解：（Ⅰ）证明：设 P（x1，y1），Q（x2，y2），
直线 PQ、AP、AQ 的斜率分别为 k，k1，k2，
由
得（1+4k2）x2-32k2x+64k2-8=0，
△＞0，可得： ，
，
，
=
=
；
（Ⅱ）设 M（x3，0），N（x4，0）， 由 y-1=k1（x-2），令 y=0，得 x3=2- ，即 M（2- ，0），
（m 为参数）相交于
23. 已知函数 f（x）=|x+1|+|ax-1|． （Ⅰ）当 a=1 时，求不等式 f（x）≤4 的解集； （Ⅱ）当 x≥1 时，不等式 f（x）≤3x+b 成立，证明：a+b≥0．
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答案和解析
1.【答案】C 2.【答案】A 3.【答案】A 4.【答案】B 5.【答案】B 6.【答案】C 7.【答案】A 8.【答案】C 9.【答案】B 10.【答案】D 11.【答案】C 12.【答案】B 13.【答案】n 14.【答案】0.4 15.【答案】1
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若存在，求出点 G 的坐标，若不存在，请说明理由．
21. 设函数
，
，
．
（Ⅰ）证明：f（x）≤0；
（Ⅱ）当
时，不等式
恒成立，求 m 的取值范围．
22. 在直角坐标系 xOy 中，直线 l：
（t 为参数）与曲线 C：
不同的两点 A，B．
（Ⅰ）当 α= 时，求直线 l 与曲线 C 的普通方程；
（Ⅱ）若|MA||MB|=2||MA|-|MB||，其中 M（ ，0），求直线 l 的倾斜角．
∴公司这两次服务的平均利润为
（元）．
（3）由（2）知，一位会员消费次数可能为 1 次，2 次，3 次，4 次，5 次，当会员仅消费 1 次时，利润为 50 元，当会员仅消费 2 次时，平均利润为 45 元，当会员仅消费 3 次时，平均利润为 40 元，当会员仅消费 4 次时，平均利润为 35 元，当会员仅消费 5 次时，平均利润为 30 元， 故 X 的所有可能取值为 50，45，40，35，30，X 的分布列为：
B. D1E≠AF，且直线 D1E，AF 相交 D. D1E=AF，且直线 D1E，AF 相交
8. 设函数
，若 f（x）在点（3，f（3））的切线与 x 轴平行，且在区间[m-1，m+1]上单
调递减，则实数 m 的取值范围是（ ）
A. m≤2
B. m≥4
C. 1＜m≤2
D. 0＜m≤3
9. 国际羽毛球比赛规则从 2006 年 5 月开始，正式决定实行 21 分的比赛规则和每球得分制，并且每次得
同理
，即 N（2- ，0），
设 x 轴上存在定点 G（x0，0），
=|（x0-2）2+（x0-2）（ ）+ |=
，
要使|GM|•|GN|为定值，即 x0-2=1，x0=3， 故 x 轴上存在定点 G（3，0）使|GM|•|GN|为定值，该定值为 1．
【解析】（Ⅰ）设 P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线 y=k（x-4）和椭圆方程，运用韦达定理，直线 PQ、 AP、AQ 的斜率分别为 k，k1，k2，运用直线的斜率公式，化简整理即可得到得证； （Ⅱ）设 M（x3，0），N（x4，0），由 y-1=k1（x-2），令 y=0，求得 M 的坐标，同理可得 N 的坐标，再 由两点的距离公式，化简整理可得所求乘积． 本题考查椭圆的方程和运用，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式，以及 存在性问题的解法，考查化简运算能力，属于中档题．
2020 年四川省成都市石室中学高考一诊试卷
数学（理科）
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 已知集 A={x∈N|x＞1}，B={x|x＜5}，则 A∩B=（ ）
A. {x|1＜x＜5}
B. {x|x＞1}
C. {2，3，4}
D. {1，2，3，4，5}
2. 已知复数 z 满足 iz=1+i，则 z 的共轭复数 =（ ）
A. -2
B. 2
C. ±2
D.
6. 若实数 a，b 满足|a|＞|b|，则（ ）
A. ea＞eb B. sina＞sinb
C.
D.
7. 在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，AA1=4，AB=2，点 E，F 分别为棱 BB1，CC1 上两点，且 BE= BB1，
CF= CC1，则（ ）
A. D1E≠AF，且直线 D1E，AF 异面 C. D1E=AF，且直线 D1E，AF 异面
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（Ⅱ）g′（x）= -sinx+m（x- ），g″（x）= -cosx+m，
当 m≥0 时，g′（x）≤0，则 g（x）在[0， ]上单调递减，所以 g（x）min=g（ ）= ，满足题意．
∴
，∴
，
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∴
．
【解析】（1）令 CD 的中点为 O，连接 OA，OD1，AC，证明 D1O⊥DC，D1O⊥OA，然后证明平面 CDD1⊥ 平面 ABCD． （2）过 O 作直线 OH⊥AD 于 H，连接 D1H，说明∠D1HO 为二面角 D1-AD-C 所成的平面角，通过求解三 角形，求解即可． 本题考查平面与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力， 是中档题．
分者发球，所有单项的每局获胜分至少是 21 分，最高不超过 30 分，即先到 21 分的获胜一方赢得该局
比赛，如果双方比分为 20：20 时，获胜的一方需超过对方 2 分才算取胜，直至双方比分打成 29：29
时，那么先到第 30 分的一方获胜．在一局比赛中，甲发球赢球的概率为 ，甲接发球赢球的概率为 ，
（2）利用余弦定理和不等式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学
生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
19.【答案】（1）证明：令 CD 的中点为 O，连接 OA，OD1，AC，
∵
，
∴D1O⊥DC 且
又∵底面 ABCD 为边长为 2 的菱形，且∠ADC=60°，
∴AO= ，
又∵