安徽省合肥市四十二中2018-2019学年第一学期期中考试九年级数学试卷含解析
安徽省合肥市包河区2018-2019学年第一学期期中教学质量检测九年级数学试卷(含解析)
安徽省合肥市包河区2018-2019学年第一学期期中教学质量检测九年级数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 抛物线132++=)(-x y 的顶点坐标是（ ▲ ）A. （3，1）B. （1，3）C.（-3，1）D. （1，-3） 2. 下面四条线段中，是比例线段的是（ ▲ ）A. 3cm 、6cm 、8cm 、9cmB. 3cm 、6cm 、9cm 、18cmC. 3cm 、6cm 、7cm 、9cmD. 3cm 、5cm 、6cm 、9cm3. 将抛物线2x y 21-=平移，得到抛物线23212-)(-+=x y ，下列平移方式，正确的是（ ▲ ）A. 先向右平移3个单位，再向上平移2个单位B. 先向右平移3个单位，再向下平移2个单位C. 先向左平移3个单位，再向上平移2个单位D. 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位4. 已知点)-(21，A ，点)2(a B ，都在反比例函数)≠(0k xky =的图像上，过点B 分别作两坐标轴的垂线，两垂线与两坐标轴围成的矩形面积为（ ▲ ）A. 1B. 2C. 4D. 65. 已知点），），（，（21y y 23-均在抛物线122++=x x y -上，则21y y 、的大小关系为（ ▲ ）A. 21y y <B. 21y y >C. 21y y ≤D. 21y y ≥ 6. 如图，在ABC 中，若BC DE ∥，54=EC AE ，1=DE ，则BC 的长是（ ▲ ） A. 45 B. 23 C. 49 D. 413 7. 二次函数)≠(02a c bx ax y ++=的部分图像如图所示，则不等式02<++c bx ax 的解集是（ ▲ ） A. -3>x B. 1<x C. 13<<x - D. 1><x x 或-3第6题图第7题图第8题图8. 如图，在ABC 中，点D 是边AC 上的一点，BDC ABC ∠∠=，2=AD ，3=CD ，则边BC 的长为（ ▲ ）A. 6B. 10C. 15D. 529. 某种商品每件进价为18元，调查表明：在某段时间内若以每件x 元（3018≤≤x ，且x 为整数）出售，可卖出（x -30）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为（ ▲ ） A. 18元 B. 20元 C. 22元 D. 24元 10. 已知函数使m y =成立的x 的值有4个时，m 的取值范围是（ ▲ ）A. 1<<m 8-B. -8>mC. 08-<<mD. 1<<m 4- 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）11. 已知反比例函数)(-是常数k xk y 1=的图像有一支在第四象限，那么k 的取值范围为 。
【初三数学】合肥市九年级数学上期中考试测试题(含答案解析)
新人教版九年级（上）期中模拟数学试卷及答案一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）1．（3分）如图，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）若y＝（m﹣2）x+3x﹣2是二次函数，则m等于（）A．﹣2B．2C．±2D．不能确定3．（3分）方程x2﹣2x﹣4＝0和方程x2﹣4x+2＝0中所有的实数根之和是（）A．2B．4C．6D．84．（3分）若将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（）A．y＝（x+2）2+3B．y＝（x﹣2）2+3C．y＝（x+2）2﹣3D．y＝（x﹣2）2﹣3 5．（3分）如图，已知在⊙O中，点A，B，C均在圆上，∠AOB＝80°，则∠ACB等于（）A．130°B．140°C．145°D．150°6．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，系列结论：（1）4a+b＝0；（2）4a+c＞2b；（3）5a+3c＞0；（4）方程a （x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的两根是x1＝0，x2＝6．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2015的值为．8．（3分）已知A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）两点都在二次函数y＝（x+1）2+m 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为．9．（3分）将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图的位置，若∠AOD＝110°，则∠COB ＝度．10．（3分）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B 的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为．11．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为．12．（3分）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．当α为度时，△AOD是等腰三角形？三、（本大题共5小题，每小题12分，共30分）13．（12分）用适当的方法解下列方程：（1）（x﹣3）2＝2x﹣6；（2）2x2+5x﹣3＝014．（8分）随着港珠澳大桥的顺利开通，预计大陆赴港澳旅游的人数将会从2018年的100万人增至2020年的144万人，求2018年至2020年这两年的赴港旅游人数的年平均增长率．15．（10分）如图，有一座抛物线型拱桥，桥下面水位AB宽20米时，此时水面距桥面4米，当水面宽度为10米时就达到警戒线CD，若洪水到来时水位以每小时0.2米的速度上升，问从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？（平面直角坐标系是以桥顶点为点O的）16．（6分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．（1）如图（1），在抛物线y＝ax2+bx+c找一点D，使点D与点C关于抛物线对称轴对称．（2）如图（2），点D为抛物线上的另一点，且CD∥AB，请画出抛物线的对称轴．17．（13分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE 交BC于点F，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）当AD＝BF时，求∠BEF的度数．四．（本大题共3小题，每小题10分，共24分）18．（10分）已知一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k＝0与x2+mx﹣1＝0有一个相同的根，求此时m的值．19．（8分）如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．（1）求S与x的函数关系式及x值的取值范围；（2）要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？20．（10分）如图，已知直线P A交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠P AE，过C作CD⊥P A，垂足为D．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DC+DA＝6，⊙O的直径为10，求AB的长度．五．（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是2和4，则方程x2﹣6x+8＝0就是“倍根方程”．（1）若一元二次方程x2﹣3x+c＝0是“倍根方程”，则c＝；（2）若（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式的值；（3）若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是倍根方程，且不同的两点M（k+1，5），N（3﹣k，5）都在抛物线y＝ax2+bx+c上，求一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根．22．（9分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是AB的中点，DE⊥BC，垂足为点E，连接CD．（1）如图1，DE与BC的数量关系是；（2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系．六、（本大题共12分）23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．2018-2019学年江西省赣州市南康区五校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）1．【解答】解：根据中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，可知A、B、C是中心对称图形；D不是中心对称图形．故选：D．2．【解答】解：由题意，得m2﹣2＝2，且m﹣2≠0，解得m＝﹣2，故选：A．3．【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣4＝0的根的判别式△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝20＞0，∴方程x2﹣2x﹣4＝0有两个不相等的实数根，两根之和为2；∵方程x2﹣4x+2＝0的根的判别式△＝（﹣4）2﹣4×1×2＝8＞0，∴方程x2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根，两根之和为4．∵2+4＝6，∴两方程所有的实数根之和是6．故选：C．4．【解答】解：将抛物线y＝x2向右平移2个单位可得y＝（x﹣2）2，再向上平移3个单位可得y＝（x﹣2）2+3，故选：B．5．【解答】解：设点E是优弧AB上的一点，连接EA，EB∵∠AOB＝80°∴∠E＝∠AOB＝40°∴∠ACB＝180°﹣∠E＝140°．故选：B．6．【解答】解：由对称轴为直线x＝2，得到﹣＝2，即b＝﹣4a，∴4a+b＝0，故（1）正确；当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，即4a+c＜2b，故（2）错误；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，∴b＝a+c，∴﹣4a＝a+c，∴c＝﹣5a，∴5a+3c＝5a﹣15a＝﹣10a，∵抛物线的开口向下∴a＜0，∴﹣10a＞0，∴5a+3c＞0；故（3）正确；∵方程ax2+bx+c（a≠0）＝0的两根为x1＝﹣1，x2＝5，∴方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的两根是x1＝0，x2＝6，故（4）正确．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．【解答】解：由题意可知：2m2﹣3m﹣1＝0，∴2m2﹣3m＝1∴原式＝3（2m2﹣3m）+2015＝2018故答案为：20188．【解答】解：∵二次函数y＝（x+1）2+m，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，函数有最小值，顶点坐标为（﹣1，m），∵点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）两点都在二次函数y＝（x+1）2+m的图象上，﹣1﹣（﹣2）＝1，﹣1﹣（﹣1）＝0，1﹣（﹣1）＝2，∴y2＜y1＜y3，故答案为：y2＜y1＜y3．9．【解答】解：由题意可得∠AOB+∠COD＝180°，又∠AOB+∠COD＝∠AOC+2∠COB+∠BOD＝∠AOD+∠COB，∵∠AOD＝110°，∴∠COB＝70°．故答案为：70．10．【解答】解：设半圆圆心为O，连OA，OB，如图，∵∠ACB＝∠AOB，而∠AOB＝86°﹣30°＝56°，∴∠ACB＝新九年级（上）数学期中考试题(答案)一、选择题（每小题4分，共30分）1．下列二次根式中，最简二次根式为（）A．B．C．D．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式中的两个条件（被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式）．是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．解：A、被开方数含分母，故A错误；B、被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，故B正确；C、被开方数中含能开得尽方的因数或因式，故C错误；D、被开方数中含能开得尽方的因数或因式，故D错误；故选：B．【点评】本题考查了最简二次根式，规律总结：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．2．已知2x＝3y（y≠0），则下面结论成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据等式的性质，可得答案．解：A、两边都除以2y，得＝，故A符合题意；B、两边除以不同的整式，故B不符合题意；C、两边都除以2y，得＝，故C不符合题意；D、两边除以不同的整式，故D不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了等式的性质，利用等式的性质是解题关键．3．下列事件中，是必然事件的是（）A．将油滴入水中，油会浮在水面上B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯C．如果a2＝b2，那么a＝bD．掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．解：A、将油滴入水中，油会浮在水面上是必然事件，故A符合题意；B、车辆随机到达一个路口，遇到红灯是随机事件，故B不符合题意；C、如果a2＝b2，那么a＝b是随机事件，D、掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上是随机事件，故选：A．【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）A．B．C．D．【分析】根据勾股定理求出△ABC的三边，并求出三边之比，然后根据网格结构利用勾股定理求出三角形的三边之比，再根据三边对应成比例，两三角形相似选择答案．解：根据勾股定理，AB＝＝2，BC＝＝，AC＝＝，所以△ABC的三边之比为：2：＝1：2：，A、三角形的三边分别为2，＝，＝3，三边之比为2：：3＝：：3，故A选项错误；B、三角形的三边分别为2，4，＝2，三边之比为2：4：2＝1：2：，故B选项正确；C、三角形的三边分别为2，3，＝，三边之比为2：3：，故C选项错误；D、三角形的三边分别为＝，＝，4，三边之比为：：4，故D选项错误．故选：B．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与网格结构的知识，根据网格结构分别求出各三角形的三条边的长，并求出三边之比是解题的关键．5．一元二次方程x2﹣4x+5＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根【分析】首先求出一元二次方程x2﹣4x+5＝0根的判别式，然后结合选项进行判断即可．解：∵一元二次方程x2﹣4x+5＝0，∴△＝（﹣4）2﹣4×5＝16﹣20＝﹣4＜0，即△＜0，∴一元二次方程x2﹣4x+5＝0无实数根，故选：A．【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题要掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根，此题难度不大．6．用配方法解方程x2﹣2x﹣8＝0，下列配方结果正确的是（）A．（x+1）2＝9B．（x+1）2＝7C．（x﹣1）2＝9D．（x﹣1）2＝7【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上1，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．解：x2﹣2x＝8，x2﹣2x+1＝9，（x﹣1）2＝9．故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．7．如果代数式+有意义，那么直角坐标系中点A（a，b）的位置在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】先根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，可知a、b的取值范围，再根据直角坐标系内各象限点的特征确定所在象限．解：∵代数式+有意义，∴a≥0且ab＞0，解得a＞0且b＞0．∴直角坐标系中点A（a，b）的位置在第一象限．故选：A．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．同时考查了直角坐标系内各象限点的特征．8．如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝13，sin B＝，则边BC的长为（）A．7B．8C．12D．17【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ABD中，利用锐角三角函数求出AD的长，利用勾股定理再分别求出BD和CD的长即得结果．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D．∵sin B＝，即＝，∴AD＝12．在Rt△ABD中，BD＝＝12．在Rt△ACD中，CD＝＝＝5．∴BC＝BD+CD＝12+5＝17．故选：D．【点评】本题考查了解直角三角形，题目难度不大．构造直角三角形，充分利用∠B的正弦、AB、AC的长是解决本题的关键．9．如图，四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形，且AC：AF＝2：3，则下列结论不正确的是（）A．四边形ABCD与四边形AEFG是相似图形B．AD与AE的比是2：3C．四边形ABCD与四边形AEFG的周长比是2：3D．四边形ABCD与四边形AEFG的面积比是4：9【分析】本题主要考查了位似变换的定义及作图，位似变换就是特殊的相似，且位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比，因而周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．解：∵四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形；A、四边形ABCD与四边形AEFG一定是相似图形，故正确；B、AD与AG是对应边，故AD：AE＝2：3；故错误；C、四边形ABCD与四边形AEFG的相似比是2：3，故正确；D、则周长的比是2：3，面积的比是4：9，故正确．故选：B．【点评】本题主要考查了位似的定义及性质：周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．10．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝的图象上，第二象限内的点B在反比例函数y＝的图象上，且OA⊥OB，cos A＝，则k的值为（）A．﹣3B．﹣4C．﹣D．﹣2【分析】过A作AE⊥x轴，过B作BF⊥x轴，由OA与OB垂直，再利用邻补角定义得到一对角互余，再由直角三角形BOF中的两锐角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，又一对直角相等，利用两对对应角相等的三角形相似得到三角形BOF与三角形OEA 相似，在直角三角形AOB中，由锐角三角函数定义，根据cos∠BAO的值，设出AB与OA，利用勾股定理表示出OB，求出OB与OA的比值，即为相似比，根据面积之比等于相似比的平方，求出两三角形面积之比，由A在反比例函数y＝上，利用反比例函数比例系数的几何意义求出三角形AOE的面积，进而确定出BOF的面积，再利用k的集合意义即可求出k的值．解：过A作AE⊥x轴，过B作BF⊥x轴，∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠BOF +∠EOA ＝90°，∵∠BOF +∠FBO ＝90°，∴∠EOA ＝∠FBO ，∵∠BFO ＝∠OEA ＝90°，∴△BFO ∽△OEA ，在Rt △AOB 中，cos ∠BAO ＝＝， 设AB ＝，则OA ＝1，根据勾股定理得：BO ＝， ∴OB ：OA ＝：1， ∴S △BFO ：S △OEA ＝2：1，∵A 在反比例函数y ＝上，∴S △OEA ＝1，∴S △BFO ＝2，则k ＝﹣4．故选：B ．【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，勾股定理，以及反比例函数k 的几何意义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）11．在Rt △ABC 中，sin A ＝，则∠A 等于 30 °．【分析】根据sin30°＝解答．解：在Rt △ABC 中，sin A ＝，∴∠A ＝30°，故答案为：30．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．12．某服装原价为100元，连续两次涨价a%，售价为121元，则a的值为10．【分析】根据该服装的原价及经两次涨价后的价格，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．解：根据题意得：100（1+a%）2＝121，解得：a1＝10，a2＝﹣210（舍去）．故答案为：10．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．13．一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球，2个黄球，1个红球．现添加同种型号的1个球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是，那么添加的球是红球．【分析】根据已知条件即可得到结论．解：∵这三种颜色的球被抽到的概率都是，∴这三种颜色的球的个数相等，∴添加的球是红球，故答案为：红球．【点评】本题考查了概率公式，熟练掌握概率的概念是解题的关键．14．如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，则OD：OB＝1：2．【分析】依据BD，CE分别是边AC，AB上的中线，可得DE是△ABC的中位线，即可得到DE∥BC，DE＝BC，再根据△DOE∽△BOC，即可得到OD：OB的值．解：∵BD，CE分别是边AC，AB上的中线，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△DOE∽△BOC，∴＝＝，故答案为：1：2．【点评】本题主要考查了三角形的重心，三角形中位线定理以及相似三角形的性质的运用，解题时注意：相似三角形的对应边成比例．15．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0的一个根是0，则k的值是0．【分析】由于方程的一个根是0，把x＝0代入方程，求出k的值．因为方程是关于x的二次方程，所以未知数的二次项系数不能是0．解：由于关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0的一个根是0，把x＝0代入方程，得k2﹣k＝0，解得，k1＝1，k2＝0当k＝1时，由于二次项系数k﹣1＝0，方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0不是关于x的二次方程，故k≠1．所以k的值是0．故答案为：0【点评】本题考查了一元二次方程的解法、一元二次方程的定义．解决本题的关键是解一元二次方程确定k的值，过程中容易忽略一元二次方程的二次项系数不等于0这个条件．16．如图，点B、C是线段AD上的点，△ABE、△BCF、△CDG都是等边三角形，且AB ＝4，BC＝6，已知△ABE与△CDG的相似比为2：5．则①CD＝10；②图中阴影部分面积为．【分析】①利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解；②设AG与CF、BF分别相交于点M、N，根据等边对等角求出∠CAG＝∠CGA，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CGA＝30°，然后求出AG⊥GD，再根据相似三角形对应边成比例求出CM，从而得到MF，然后求出MN，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．①解：∵△ABE、△CDG都是等边三角形，∴△ABE∽△CDG，∴＝，即＝，解得CD＝10；②解：如图，设AG与CF、BF分别相交于点M、N，∵AC＝AB+BC＝4+6＝10，∴AC＝CG，∴∠CAG＝∠CGA，又∵∠CAG+∠CGA＝∠DCG＝60°，∴∠CGA＝30°，∴∠AGD＝∠CGA+∠CGD＝30°+60°＝90°，∴AG⊥GD，∵∠BCF＝∠D＝60°，∴CF∥DG，∴△ACM∽△ADG，∴MN⊥CF，＝，即＝，解得CM＝5，所以，MF＝CF﹣CM＝6﹣5＝1，∵∠F＝60°，∴MN＝MF＝，∴S＝MF•MN＝×1×＝，△MNF即阴影部分面积为．故答案为：10；．【点评】本题考查了相似三角线的判定与性质等边三角形的性质，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，难点在于②判断出直角三角形．三、解答题（共86分）17．（8分）计算：÷+×﹣tan60°【分析】先利用二次根式的乘除法则和特殊角的三角函数值进行计算，然后合并即可．解：原式＝+﹣×＝4+﹣＝4．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．18．（8分）（1）（x﹣3）2﹣49＝0（2）5x2+2x﹣1＝0【分析】（1）先变形为（x﹣3）2＝49，然后利用直接开平方法解方程；（2）利用求根公式法解方程．解：（1）（x﹣3）2＝49，x﹣3＝±7，所以x1＝10，x2＝﹣4；（2）△＝22﹣5×5×（﹣1）＝29，x＝所以x1＝，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．也考查了直接开平方法解一元二次方程．19．（8分）如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，原点O 和△ABC 的顶点均为格点．（1）以O 为位似中心，在网格图中作△A ′B ′C ′，使△A ′B ′C ′与△ABC 位似，且位似比为1：2；（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）（2）若点C 坐标为（2，4），则点A '的坐标为（ ﹣1 ， 0 ），点C ′的坐标为 （ 1 ， 2 ），周长比C △A ′B ′C ′：C △ABC ＝ 1：2 ．【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用（1）中所画图形得出对应点坐标． 解：（1）如图所示：△A ′B ′C ′即为所求；（2）若点C 坐标为（2，4），则点A '的坐标为（﹣1，0），点C ′的坐标为 （1，2）， 周长比C △A ′B ′C ′：C △ABC ＝1：2．故答案为：（﹣1，0），（1，2），1：2．【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．20．（8分）全面两孩政策实施后，甲、乙两个家庭有了各自的规划，假定生男生女的概率相同，回答下列问题：（1）甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是；（2）乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率．【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出至少有一个孩子是女孩的结果数，然后根据概率公式求解．解：（1）第二个孩子是女孩的概率＝；故答案为；（2）画树状图为：共有4种等可能的结果数，其中至少有一个孩子是女孩的结果数为3，所以至少有一个孩子是女孩的概率＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．21．（9分）如图，小王在长江边某瞭望台D处测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE ＝3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1：0.75，坡长BC＝10米，则此时AB的长约为多少米？（结果精确到0.1，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）【分析】延长DE交AB延长线于点P，作CQ⊥AP，可得CE＝PQ＝2、CQ＝PE，由i＝，可设CQ＝4x、BQ＝3x，根据BQ2+CQ2＝BC2求得x的值，即可知DP ＝11，由AP＝，结合AB＝AP﹣BQ﹣PQ可得答案．解：如图，延长DE交AB延长线于点P，作CQ⊥AP于点Q，∵CE∥AP，∴DP⊥AP，∴四边形CEPQ为矩形，∴CE＝PQ＝2（米），CQ＝PE，∵i＝，∴设CQ＝4x、BQ＝3x，由BQ2+CQ2＝BC2可得（4x）2+（3x）2＝102，解得：x＝2或x＝﹣2（舍），则CQ＝PE＝8（米），BQ＝6（米），∴DP＝DE+PE＝11（米），在Rt△ADP中，∵AP＝≈13.1（米），∴AB＝AP﹣BQ﹣PQ＝13.1﹣6﹣2＝5.1（米）．【点评】此题考查了俯角与坡度的知识．注意构造所给坡度和所给锐角所在的直角三角形是解决问题的难点，利用坡度和三角函数求值得到相应线段的长度是解决问题的关键．22．（10分）已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE 与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．（1）求证：△ABC∽△FCD；（2）若S＝5，BC＝10，求DE的长．△FCD【分析】（1）利用D是BC边上的中点，DE⊥BC可以得到∠EBC＝∠ECB，而由AD＝AC可以得到∠ADC＝∠ACD，再利用相似三角形的判定，就可以证明题目结论；（2）利用相似三角形的性质就可以求出三角形ABC的面积，然后利用面积公式就求出了DE的长．（1）证明：∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD．∵D是BC边上的中点，DE⊥BC，∴EB＝EC，∴∠EBC＝∠ECB．∴△ABC∽△FCD；（2）解：过A作AM⊥CD，垂足为M．∵△ABC∽△FCD，BC＝2CD，∴＝．＝5，∵S△FCD∴S＝20．△ABC又∵S＝×BC×AM，BC＝10，△ABC∴AM＝4．又DM＝CM＝CD，DE∥AM，∴DE：AM＝BD：BM＝，∴DE＝．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，也利用了三角形的面积公式求线段的长．23．（9分）已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，关于x的方程a（1﹣x2）+2bx+c（1+x2）＝0有两个相等实根，且3c＝a+3b（1）试判断△ABC的形状；（2）求sin A+sin B的值．【分析】（1）先把方程整理为一般式，再根据判别式的意义得到△＝4b2﹣4（c﹣a）（a+c）＝0，则a2+b2＝c2，然后根据勾股定理的逆定理判断三角形形状；（2）由于a2+b2＝c2，3c＝a+3b，消去a得（3c﹣3b）2+b2＝c2，变形为（4c﹣5b）（c﹣b）＝0，则b＝c，a＝c，根据正弦的定义得sin A＝，sin B＝，所以sin A+sin B＝，然后把b＝c，a＝c代入计算即可．解：（1）方程整理为（c﹣a）x2+2bx+a+c＝0，根据题意得△＝4b2﹣4（c﹣a）（a+c）＝0，∴a2+b2＝c2，∴△ABC为直角三角形；（2）∵a2+b2＝c2，3c＝a+3b∴（3c﹣3b）2+b2＝c2，∴（4c﹣5b）（c﹣b）＝0，∴4c＝5b，即b＝c，∴a＝3c﹣3b＝c∵sin A＝，sin B＝，∴sin A+sin B＝＝＝．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了勾股定理的逆定理和锐角三角函数的定义．24．（12分）综合实践课上，某小组同学将直角三角形纸片放到横线纸上（所有横线都平行，且相邻两条平行线的距离为1），使直角三角形纸片的顶点恰巧在横线上，发现这样能求出三角形的边长．（1）如图1，已知等腰直角三角形纸片△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC，同学们通过构造直角三角形的办法求出三角形三边的长，则AB＝；（2）如图2，已知直角三角形纸片△DEF，∠DEF＝90°，EF＝2DE，求出DF的长；（3）在（2）的条件下，若橫格纸上过点E的横线与DF相交于点G，直接写出EG的长．【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得出AD＝CE＝3，BE＝DC＝2，进而利用勾股定理解答即可；（2）过点E作横线的垂线，交l1，l2于点M，N，根据相似三角形的判定和性质解答即可；（3）利用梯形的面积公式解答即可．解：（1）如图1，∵∠DAC+∠ACD＝90°，∠ACD+∠ECB＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ADC与△BCE中，，∴△ADC≌△BCE，∴AD＝CE＝3，BE＝DC＝2，∴，∴AB＝＝；故答案为：（2）过点E作横线的垂线，交l1，l2于点M，N，∴∠DME＝∠EDF＝90°，∵∠DEF＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∵∠1+∠3＝90°，∴∠1＝∠2，∴△DME∽△ENF，∴，∵EF＝2DE，∴，∵ME＝2，EN＝3，∴NF＝4，DM＝1.5，根据勾股定理得DE＝2.5，EF＝5，，（3）根据（2）可得：，即，解得：EG＝2.5．【点评】此题考查三角形综合题，关键是根据全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质进行解答．25．（14分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为（2，2）；（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证：＝；②设AD＝x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．【分析】（1）求出AB、BC的长即可解决问题；（2）存在．先推出∠ACO＝30°，∠ACD＝60°由△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED＝EC，∠DCE＝∠EDC＝30°，推出∠DBC＝∠BCD＝60°，可得△DBC是等边三角形，推出DC＝BC＝2，由此即可解决问题；（3）①先表示出DN，BM，再判断出△BMD∽△DNE，即可得出结论；②作DH⊥AB于H．想办法用x表示BD、DE的长，构建二次函数即可解决问题；解：（1）∵四边形AOCB是矩形，∴BC＝OA＝2，OC＝AB＝2，∠BCO＝∠BAO＝90°，∴B（2，2）．故答案为（2，2）．（2）存在．理由如下：∵OA＝2，OC＝2，∵tan∠ACO＝＝，∴∠ACO＝30°，∠ACB＝60°①如图1中，当E在线段CO上时，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED＝EC，∴∠DCE＝∠EDC＝30°，∴∠DBC＝∠BCD＝60°，∴△DBC是等边三角形，∴DC＝BC＝2，在Rt△AOC中，∵∠ACO＝30°，OA＝2，∴AC＝2AO＝4，∴AD＝AC﹣CD＝4﹣2＝2．∴当AD＝2时，△DEC是等腰三角形．②如图2中，当E在OC的延长线上时，△DCE是等腰三角形，只有CD＝CE，∠DBC＝∠DEC＝∠CDE＝15°，∴∠ABD＝∠ADB＝75°，∴AB＝AD＝2，综上所述，满足条件的AD的值为2或2．（3）①如图1，过点D作MN⊥AB交AB于M，交OC于N，∵A（0，2）和C（2，0），∴直线AC的解析式为y＝﹣x+2，设D（a，﹣a+2），∴DN＝﹣a+2，BM＝2﹣a∵∠BDE＝90°，∴∠BDM+∠NDE＝90°，∠BDM+∠DBM＝90°，∴∠DBM＝∠EDN，∵∠BMD＝∠DNE＝90°，∴△BMD∽△DNE，∴＝＝．②如图2中，作DH⊥AB于H．在Rt△ADH中，∵AD＝x，∠DAH＝∠ACO＝30°，∴DH＝AD＝x，AH＝＝x，∴BH＝2﹣x，在Rt△BDH中，BD＝＝，∴DE＝BD＝•，∴矩形BDEF的面积为y＝[]2＝（x2﹣6x+12），即y＝x2﹣2x+4，∴y＝（x﹣3）2+，∵＞0，∴x＝3时，y有最小值．【点评】本题考查相似形综合题、四点共圆、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、勾股定理、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，学会构建二次函数解决问题，属于中考压轴题．新九年级（上）数学期中考试题(答案)(1)一、选择题1.已知∠A=40°,则它的余角为( )A.40°B.50°C.130°D.140°答案 B2.如图，四个立体图形中,从左面看,所看到的图形为长方形的( )A.①③B.①④C.②③D.③④答案 B。
合肥市42中2018-2019学年九年级(上)第一次段考
（时间 120min；满分 150 分） 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分） 1. 下列函数中， y 是 x 的二次函数的是（ ）
A. y 2x 3
B. y= x 1
C. y x2 1
2. 如果反比例函数图象 y k 经过点 2,3 ，那么该函数的图象也经过点（
SDBC
1 2
SABC
,求点
D
的坐标.
5
23. (本题 14 分)九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第 x（1 x 80 且 x 为正整数）天
的售价与销量的相关信息如下表：
时间（天）
1 x 40
41 x 80
售价（元/件）
x 40
90
每天销量（件）
200 2x
已知该商品的进价为每件 30 元，设销售该商品的每天利润为 y 元．
C.
D.
第9题
第 10 题
9. 如图,过 y 轴上一个动点 M 作 x 轴的平行线,交双曲线 y 4 于点 A ,交双曲线 y 10 于点 B ,点 C ,点
x
x
D 在 x 轴上运动,且始终保持 DC AB ,则平行四边形 ABCD 的面积是（
）
A. 7
B. 10
C. 14
D. 28
10. 如图,已知：正方形 ABCD 边长为 1, E、F、G、H 分别为各边上的点,且 AE BF CG DH ,设小正
方形 EFGH 的面积为 s , AE 为 x ,则 s 关于 x 的函数图象大致是（
）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分）
安徽省合肥四十二中九年级数学上学期期中试题(含解析) 新人教版-新人教版初中九年级全册数学试题
某某省某某四十二中2016届九年级数学上学期期中试题一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．若点A（a，b）在反比例函数y=的图象上，则代数式ab﹣4的值为( )A．0 B．﹣2 C．2 D．﹣62．二次函数y=x2+4x+3的图象可以由二次函数y=x2的图象平移而得到，下列平移正确的是( )A．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位C．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位3．对于y=2（x+3）2+2的图象下列叙述错误的是( )A．顶点坐标为（﹣3，2） B．对称轴为x=﹣3C．当x＜﹣3时y随x增大而增大D．函数有最大值为24．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为( )A．10m B．12m C．15m D．40m5．当﹣1＜x＜3时，下列函数：①y=2x；②；③；④y=x2+6x+8，函数值y随自变量x增大而增大的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个6．下列关于二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，正确的是( ) A．没有交点B．只有一个交点，且它位于y轴右侧C．有两个交点，且它们均位于y轴左侧D．有两个交点，且它们均位于y轴右侧7．若反比例函数y1=的图象和一次函数y2=ax+b的图象如图所示，则当y1＜y2时，相应的x的取值X围是( )A．﹣5＜x＜﹣1或x＞0 B．x＜﹣5或x＞﹣1 C．﹣5＜x＜﹣1 D．x＜﹣5或﹣1＜x＜08．如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD•AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．49．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤c﹣a＞1，其中所有正确结论的序号是( )A．①② B．①③④C．①②③⑤ D．①②③④⑤10．如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，平行于对角线BD的直线l从O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l与正方形没有交点为止．设直线l扫过正方形OBCD的面积为S，直线l运动的时间为t（秒），下列能反映S与t之间函数关系的图象是( )A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．如图，M为反比例函数y=的图象上的一点，MA垂直y轴，垂足为A，△MAO的面积为2，则k的值为__________．12．已知y=（m﹣2）+3x+6是二次函数，则m=__________，顶点坐标是__________．13．如图所示，△ABC中，E、F、D分别是边AB、AC、BC上的点，且满足，则△EFD 与△ABC的面积比为__________．14．报幕员在台上时，若站在黄金分割点处，会显得活泼而生动，已知舞台长10米，那么报幕员要至少走__________米报幕．三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）15．已知，求和的值．16．点P（1，a）在反比例函数y=的图象上，它关于y轴的对称点在一次函数y=2x+4的图象上，求此反比例函数的解析式．四.（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．如图，抛物线经过点A、B、C．（1）求此抛物线的解析式；（2）若抛物线和x轴的另一个交点为D，求△ODC的面积．18．如图，平行四边形ABC中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE=CD．（1）求证：△ABF∽△CEB；（2）若△DEF的面积为2，求平行四边形ABCD的面积．五．（本大题共5小题，每小题10分，共20分）19．如图，已知反比例函数y=的图象与一次函数y=kx+4的图象相交于A、B两点，并且点A的纵坐标为6．（1）求这个一次函数的解析式；（2）根据图象直接回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？20．在4×6的方格中（1）画出与格点△ABC相似的△DEF（相似比不为1，且顶点应在格点上）；（2）证明你的结论．21．对于抛物线 y=x2﹣4x+3．（1）它与x轴交点的坐标为__________，与y轴交点的坐标为__________，顶点坐标为__________；（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；x ……y ……（3）利用以上信息解答下列问题：若关于x的一元二次方程x2﹣4x+3﹣t=0（t为实数）在﹣1＜x＜的X围内有解，则t的取值X围是__________．22．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=9，∠ABC=70°，点E，F分别在线段AD，DC上（点E与点A，D不重合），且∠BEF=110°．（1）当点E为AD中点时，求DF的长；（2）在线段AD上是否存在一点E，使得F点为CD的中点？若存在，求出AE的长度；若不存在，试说明理由．23．（14分）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1（单位：元）、销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系．（1）请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；（2）求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式；（3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？2015-2016学年某某省某某四十二中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．若点A（a，b）在反比例函数y=的图象上，则代数式ab﹣4的值为( )A．0 B．﹣2 C．2 D．﹣6【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】先把点（a，b）代入反比例函数y=求出ab的值，再代入代数式进行计算即可．【解答】解：∵点（a，b）反比例函数y=上，∴b=，即ab=2，∴原式=2﹣4=﹣2．故选B．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．2．二次函数y=x2+4x+3的图象可以由二次函数y=x2的图象平移而得到，下列平移正确的是( )A．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位C．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】把二次函数y=x2+4x+3化为顶点坐标式，再观察它是怎样通过二次函数y=x2的图象平移而得到．【解答】解：根据题意y=x2+4x+3=（x+2）2﹣1，按照“左加右减，上加下减”的规律，它可以由二次函数y=x2先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到．故选B．【点评】此题不仅考查了对平移的理解，同时考查了学生将一般式转化顶点式的能力．3．对于y=2（x+3）2+2的图象下列叙述错误的是( )A．顶点坐标为（﹣3，2） B．对称轴为x=﹣3C．当x＜﹣3时y随x增大而增大D．函数有最大值为2【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：顶点坐标为（﹣3，2），故正确；B、对称轴为直线x=﹣3，故正确；C、当x＜﹣3时，y随x增大而增大，故正确；D、函数的最小值2，故错误；故选D．【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了开口方向，顶点坐标，对称轴以及二次函数的增减性．4．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为( )A．10m B．12m C．15m D．40m【考点】相似三角形的应用．【分析】根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解．【解答】解：设旗杆高度为x米，由题意得，=，解得：x=15．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，需熟记．5．当﹣1＜x＜3时，下列函数：①y=2x；②；③；④y=x2+6x+8，函数值y随自变量x增大而增大的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】二次函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质．【分析】一次函数当a＞0时，函数值y总是随自变量x增大而增大，反比例函数当k＜0时，在每一个象限内，y随自变量x增大而增大，二次函数根据对称轴及开口方向判断增减性．【解答】解：①②为一次函数，且a＞0时，函数值y总是随自变量x增大而增大；③为反比例函数，当x＞0或者x＜0时，函数值y随自变量x增大而增大，当﹣1＜x＜3时，就不能确定增减性了；④为二次函数，对称轴为x=﹣3，开口向上，故当﹣1＜x＜3时，函数值y随自变量x增大而增大，符合题意的是①②④，故选C．【点评】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的增减性．6．下列关于二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，正确的是( ) A．没有交点B．只有一个交点，且它位于y轴右侧C．有两个交点，且它们均位于y轴左侧D．有两个交点，且它们均位于y轴右侧【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】压轴题．【分析】根据函数值为零，可得相应的方程，根据根的判别式，公式法求方程的根，可得答案．【解答】解：当y=0时，ax2﹣2ax+1=0，∵a＞1∴△=（﹣2a）2﹣4a=4a（a﹣1）＞0，ax2﹣2ax+1=0有两个根，函数与有两个交点，x=＞0，故选：D．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用了函数与方程的关系，方程的求根公式．7．若反比例函数y1=的图象和一次函数y2=ax+b的图象如图所示，则当y1＜y2时，相应的x的取值X围是( )A．﹣5＜x＜﹣1或x＞0 B．x＜﹣5或x＞﹣1 C．﹣5＜x＜﹣1 D．x＜﹣5或﹣1＜x＜0【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】观察函数图象，当﹣5＜x＜﹣1时，反比例函数图象在一次函数图象下方．【解答】解：由图象知：当﹣5＜x＜﹣1或x＞0时，y1＜y2．故选A．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，也考查了观察函数图象的能力，正确的识图是解题的关键．8．如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD•AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4【考点】相似三角形的判定．【分析】由图可知△ABC与△ACD中∠A为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答．【解答】解：有三个．①∠B=∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；②∠ADC=∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；③中∠A不是已知的比例线段的夹角，不正确④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；故选：C．【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的掌握情况．9．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤c﹣a＞1，其中所有正确结论的序号是( )A．①② B．①③④C．①②③⑤ D．①②③④⑤【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线当x=1、x=﹣1和x=﹣2时的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①当x=1时，y=a+b+c＜0，故①正确；②当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞1，故②正确；③由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c＞0，对称轴为x==﹣1，得2a=b，∴a、b同号，即b＜0，∴abc＞0，故③正确；④∵对称轴为x==﹣1，∴点（0，1）的对称点为（﹣2，1），∴当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c=1，故④错误；⑤∵x=﹣1时，a﹣b+c＞1，又﹣=﹣1，即b=2a，∴c﹣a＞1，故⑤正确．故选：①②③⑤．【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式10．如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，平行于对角线BD的直线l从O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l与正方形没有交点为止．设直线l扫过正方形OBCD的面积为S，直线l运动的时间为t（秒），下列能反映S与t之间函数关系的图象是( )A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【专题】动点型．【分析】根据三角形的面积即可求出S与t的函数关系式，根据函数关系式选择图象．【解答】解：①当0≤t≤4时，S=×t×t=t2，即S=t2．该函数图象是开口向上的抛物线的一部分．故B、C错误；②当4＜t≤8时，S=16﹣×（8﹣t）×（8﹣t）=﹣t2+8t﹣16．该函数图象是开口向下的抛物线的一部分．故A错误．故选：D．【点评】本题考查了动点问题的函数图象．本题以动态的形式考查了分类讨论的思想，函数的知识和等腰直角三角形，具有很强的综合性．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．如图，M为反比例函数y=的图象上的一点，MA垂直y轴，垂足为A，△MAO的面积为2，则k的值为4．【考点】反比例函数系数k的几何意义．【专题】计算题．【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义得到|k|=2，然后去绝对值得到满足条件的k的值．【解答】解：∵MA垂直y轴，∴S△AOM=|k|，∴|k|=2，即|k|=4，而k＞0，∴k=4．故答案为4．【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=的图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．12．已知y=（m﹣2）+3x+6是二次函数，则m=﹣1，顶点坐标是（，）．【考点】二次函数的定义．【分析】根据二次函数定义得m2﹣m=2，且m﹣2≠0，计算出m的值，代入y=（m﹣2）+3x+6，再根据二次函数的顶点坐标为（﹣，），计算顶点坐标．【解答】解：由题意得：m2﹣m=2，且m﹣2≠0，解得：m=﹣1，则y=﹣3x2+3x+6，∵a=﹣3，b=3，c=6，∴﹣=﹣=，==，∴顶点坐标是（，）．故答案为：m=﹣1；（，）．【点评】此题主要考查了二次函数的定义，以及二次函数顶点坐标，关键是掌握形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，掌握顶点坐标的算法．13．如图所示，△ABC中，E、F、D分别是边AB、AC、BC上的点，且满足，则△EFD 与△ABC的面积比为2：9．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】先设△AEF的高是h，△ABC的高是h′，由于，根据比例性质易得==．而∠A=∠A，易证△AEF∽△ABC，从而易得h′=3h，那么△DEF的高就是2h，再设△AEF的面积是s，EF=a，由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，那么S△AEF：S△ABC=1：9，于是S△ABC=9s，根据三角形面积公式易求S△DEF=2s，从而易求S△DEF：S△ABC的值．【解答】解：设△AEF的高是h，△ABC的高是h′，∵，∴==．又∵∠A=∠A，∴△AEF∽△ABC，∴=，===，∴h′=3h，∴△DEF的高=2h，设△AEF的面积是s，EF=a，∴S△ABC=9s，∵S△DEF=•EF•2h=ah=2s，∴S△D EF：S△ABC=2：9．故答案是：2：9．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是先证明△AEF∽△ABC，并注意相似三角形高的比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方．14．报幕员在台上时，若站在黄金分割点处，会显得活泼而生动，已知舞台长10米，那么报幕员要至少走（15﹣5）米报幕．【考点】黄金分割．【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．报幕员要走的路程为较短线段，依此即可求解．【解答】解：报幕员要走的路程为：10×（1﹣）=15﹣5（米）．故答案为：（15﹣5）．【点评】本题考查了黄金分割的应用．关键是明确黄金分割所涉及的线段的比．三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）15．已知，求和的值．【考点】比例的性质．【分析】根据比例的性质用b表示出a，用d表示出c，然后分别代入比例式进行计算即可得解．【解答】解：∵==2，∴a=2b，c=2d，∴==，==．【点评】本题考查了比例的性质，是基础题，分别用b表示出a，用d表示出c是解题的关键．16．点P（1，a）在反比例函数y=的图象上，它关于y轴的对称点在一次函数y=2x+4的图象上，求此反比例函数的解析式．【考点】待定系数法求反比例函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征；关于x轴、y轴对称的点的坐标．【专题】待定系数法．【分析】先求出点P（1，a）关于y轴的对称点，代入y=2x+4，求出a的值，再把P点坐标代入y=即可求出k的值．【解答】解：点P（1，a）关于y轴的对称点是（﹣1，a），∵点（﹣1，a）在一次函数y=2x+4的图象上，∴a=2×（﹣1）+4=2，∵点P（1，2）在反比例函数y=的图象上，∴k=2，∴反比例函数的解析式为y=．【点评】此题结合对称，考查了用待定系数法求函数解析式，将坐标代入解析式即可求出k 的值．四.（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．如图，抛物线经过点A、B、C．（1）求此抛物线的解析式；（2）若抛物线和x轴的另一个交点为D，求△ODC的面积．【考点】待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点．【专题】计算题．【分析】（1）由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y=a（x﹣1）2﹣4，然后把A点坐标代入求出a的值即可；（2）利用抛物线的对称性易得D点坐标，然后根据三角形面积公式求解．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2﹣4，把A（﹣1，0）代入得a•（﹣1﹣1）2﹣4=0，解得a=1，所以抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣4；（2）因为抛物线的对称轴为直线x=1，则点A（﹣1，0）关于直线x=1的对称点D的坐标为（3，0），所以△ODC的面积=×3×4=6．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．18．如图，平行四边形ABC中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE=CD．（1）求证：△ABF∽△CEB；（2）若△DEF的面积为2，求平行四边形ABCD的面积．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】（1）要证△ABF∽△CEB，需找出两组对应角相等；已知了平行四边形的对角相等，再利用AB∥CD，可得一对内错角相等，则可证．（2）由于△DEF∽△EBC，可根据两三角形的相似比，求出△EBC的面积，也就求出了四边形BCDF的面积．同理可根据△DEF∽△AFB，求出△AFB的面积．由此可求出▱ABCD的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AB∥CD，∴∠ABF=∠CEB，∴△ABF∽△CEB；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB平行且等于CD，∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，∵DE=CD，∴=（）2=，=（）2=，∵S△DEF=2，∴S△CEB=18，S△ABF=8，∴S四边形BCDF=S△BCE﹣S△DEF=16，∴S四边形ABCD=S四边形BCDF+S△ABF=16+8=24．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟悉相似三角形的性质和判定是解决问题的关键．五．（本大题共5小题，每小题10分，共20分）19．如图，已知反比例函数y=的图象与一次函数y=kx+4的图象相交于A、B两点，并且点A的纵坐标为6．（1）求这个一次函数的解析式；（2）根据图象直接回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）首先根据点A的纵坐标是6，结合反比例函数y=的图象求得点A的横坐标，再根据点P的坐标求得一次函数的解析式；（2）先求出点B的坐标，根据函数值大在图象上就在上方解答即可．【解答】解：（1）把y=6代入y=∴x=2，把（2，6）代入一次函数y=kx+4，∴k=1，∴一次函数的解析式是y=x+4；（2）由题意得：，解得或，∴点B的坐标为（﹣6，﹣2）．当﹣6＜x＜0或x＞2时，一次函数的值大于反比例函数的值．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．此题要求学生既能够根据函数的解析式求得点的坐标，也能够根据点的坐标求得函数的解析式．20．在4×6的方格中（1）画出与格点△ABC相似的△DEF（相似比不为1，且顶点应在格点上）；（2）证明你的结论．【考点】作图—相似变换．【专题】作图题．【分析】（1）把△ABC缩小可画出△DEF；（2）先计算出两个三角形的各边长，然后利用三组对应边的比相等的两三角形相似进行判断．【解答】解：（1）如图，△DEF为所作；（2）证明如下：∵AB=4，BC==2，AC==2，DE=2，EF==，DF==，∴==，==，==，∴==，∴△DEF∽△ABC．【点评】本题考查了作图﹣相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．21．对于抛物线 y=x2﹣4x+3．（1）它与x轴交点的坐标为（3，0）（1，0），与y轴交点的坐标为（0，3），顶点坐标为（2，﹣1）；（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；x ……y ……（3）利用以上信息解答下列问题：若关于x的一元二次方程x2﹣4x+3﹣t=0（t为实数）在﹣1＜x＜的X围内有解，则t的取值X围是﹣1≤t＜8．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的图象；二次函数的性质．【分析】运用二次函数与x轴相交时，y=0，与y轴相交时，x=0，即可求出，用公式法可求出顶点坐标，利用列表，描点，连线可画出图象．【解答】解：（1）它与x轴交点的坐标为：（﹣1，0）（﹣3，0），与y轴交点的坐标为（0，3），顶点坐标为（2，﹣1）；故答案为：（1，0）（3，0），（0，3）（2，﹣1）（2）列表：x …0 1 2 3 4 …0 3 …y … 3 0 ﹣1图象如图所示．（3）∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+3﹣t=0（t为实数）在﹣1＜x＜的X围内有解，∵y=x2﹣4x+3的顶点坐标为（2，﹣1），若x2﹣4x+3﹣t=0有解，方程有两个根，则：b2﹣4ac=16﹣4（3﹣t）≥0，解得：﹣1≤t 当x=﹣1，代入x2﹣4x+3﹣t=0，t=8，当x=，代入x2﹣4x+3﹣t=0，t=，∵x＞﹣1，∴t＜8，∴t的取值X围是：﹣1≤t＜8，故填：﹣1≤t＜8【点评】此题主要考查了二次函数与坐标轴的交点求法，以及用描点法画二次函数图象和结合图象判定一元二次方程的解的情况．22．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=9，∠ABC=70°，点E，F分别在线段AD，DC上（点E与点A，D不重合），且∠BEF=110°．（1）当点E为AD中点时，求DF的长；（2）在线段AD上是否存在一点E，使得F点为CD的中点？若存在，求出AE的长度；若不存在，试说明理由．【考点】相似三角形的判定与性质；一元二次方程的应用；梯形．【专题】探究型．【分析】（1）由AD与BC平行得到同旁内角互补，又AB=DC，得到同一底上的两个角相等，从而得到∠A=∠D=110°，在三角形ABE中，利用三角形的内角和定理得到其他两角之和为70°，又∠BEF=110°，根据平角定义得到剩下的两个角之和也为70°，等量代换可得∠ABE=∠DEF，根据两对对应角相等的两三角形相似可得三角形ABE与三角形DEF相似，由相似得比例，由E为AD中点，求出AE与ED的长，把各边的长代入比例式，即可求出DF 的长；（2）假设存在这样的E使F为CD的中点，则DF等于CD的一半，即为4.5，设AE=x，则DE=9﹣x，把表示出的各边的长代入（1）得到的比例式中，得到关于x的一元二次方程，由根的判别式小于0得到此方程无解，故假设错误，所以不存在这样的E使F为DC中点．【解答】解：（1）在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠ABC=70°，∴∠A=∠D=110°，∴∠AEB+∠ABE=180°﹣110°=70°．∵∠BEF=110°，∴∠AEB+∠DEF=180°﹣110°=70°，∴∠ABE=∠DEF．∴△ABE∽△DEF，∴，又∵E为AD中点，AB=DC=AD=9，∴AE=DE=4.5，AB=9，∴DF===2.25；（2）不存在．假设点E存在，设AE=x，则DE=9﹣x，又F为CD中点，得到DF=CD=4.5，由（1）得，可得，整理得x2﹣9x+40.5=0，∵△=81﹣4×40.5=﹣81＜0，即方程无实数根，∴E点不存在．【点评】此题考查了相似三角形的判断与性质，等腰梯形的性质以及一元二次方程的解法，是一道探究型的题，第一小问注意利用角度之间的转换，证两三角形相似是解题的关键；第二小问，先对结论作出存在的假设，然后由假设出发，结合已知的条件或已挖掘的结论，结合图形，借助数学思想和方法，进行正确的计算和推理，得出结果，检验其结果是否与题设、定理及公理相符，若无矛盾，说明假设正确；若矛盾，假设错误，故不存在．23．（14分）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1（单位：元）、销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系．（1）请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；（2）求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式；（3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？【考点】二次函数的应用．【专题】压轴题．【分析】（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；（2）根据线段AB经过的两点的坐标利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；（3）利用总利润=单位利润×产量列出有关x的二次函数，求得最值即可．【解答】解：（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；（2）设线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式为y=k1x+b1，∵y=k1x+b1的图象过点（0，60）与（90，42），∴∴，∴这个一次函数的表达式为；y=﹣0.2x+60（0≤x≤90）；（3）设y2与x之间的函数关系式为y=k2x+b2，∵经过点（0，120）与（130，42），∴，解得：，∴这个一次函数的表达式为y2=﹣0.6x+120（0≤x≤130），设产量为xkg时，获得的利润为W元，当0≤x≤90时，W=x[（﹣0.6x+120）﹣（﹣0.2x+60）]=﹣0.4（x﹣75）2+2250，∴当x=75时，W的值最大，最大值为2250；当90≤x≤130时，W=x[（﹣0.6x+120）﹣42]=﹣0.6（x﹣65）2+2535，由﹣0.6＜0知，当x＞65时，W随x的增大而减小，∴90≤x≤130时，W≤2160，∴当x=90时，W=﹣0.6（90﹣65）2+2535=2160，因此当该产品产量为75kg时，获得的利润最大，最大值为2250．【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度不大．。
安徽省合肥市 九年级(上)期中数学试卷(含答案)
九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.下列函数中是二次函数的是（）A. B. C. D.2.抛物线y=2（x-3）2-1的顶点坐标是（）A. B. C. D.3.反比例函数y=的图象在（）A. 第一、三象限B. 第一、二象限C. 第二、四象限D. 第三、四象限4.已知：，那么下列式子成立的是（）A. B. C. D.5.抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（）A. B. C.D.6.若（2，5），（4，5）是抛物线y=ax2+bx+c上的两个点，则它的对称轴是（）A. B. C. D.7.如图，在△ABC中，已知∠ADE=∠B，则下列等式成立的是（）A.B.C.D.8.如图，矩形ABOC的顶点A在反比例函数y=-（x＜0）的图象上，则矩形ABOC的面积等于（）A. 8B. 6C. 4D. 29.已知点A（-2，y1），B（3，y2）是反比例函数y=（k＜0）图象上的两点，则有（）A. B. C. D.10.已知二次函数y=ax2+bx+c+2的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＜0；②b2=4ac；③a+c=b-2；④m（am+b）+b＞a（m≠-1），其中结论正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11.已知=，则的值是______．12.反比例函数y=图象经过点（7，4），若点（1，n）在该图象上，则n= ______ ．13.已知二次函数的图象过原点，则a的值为______ ．14.设a＜-1，0≤x≤-a-1，且函数y=x2+ax的最小值为-，则常数a= ______ ．三、解答题（本大题共9小题，共90.0分）15.若==（x、y、z均不为零），求的值．16.如图，一次函数y=k1x+b与反比例函数y=的图象相交于A（2，2），B（-1，m）．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）直接写出一次函数的值小于反比例函数值的x的范围．17.如图，l1∥l2∥l3，AB=3，AD=2，DE=4，EF=7.5，求BC、BF的长．18.某蓄水池的排水管每小时排水8m3，6h可将满池水全部排空，如果增加排水管，使每小时的排水量达到x（m3），将满池水排空所需的时间y（h）．（1）直接写出y与x的关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）如果要在4～5h内将满池水排空，那么每小时的排水量应该控制在什么范围内？19.如图，已知E是正方形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F．（1）求证：△ABF∽△EAD；（2）当AD=2，=时，求AF的长．20.如图，在△ABC中，BD是AC边上的中线，E是BC上一点，AE与BD相交于点F．求证：=．21.某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件，如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？22.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+6的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点C为抛物线的顶点，且A、B两点的横坐标分别为1和3．（1）写出A、B两点的坐标；（2）求二次函数的解析式；（3）在（2）的抛物线上，是否存在一点P，使得∠BAP=45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．23.如图所示，在长32m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）围成逐渐隔有两道篱笆的矩形花圃，设AB的长为xm，花圃的面积为Sm2．（1）求S与x的函数关系式（不用自变量取值范围）；（2）如果能围成面积为48m2的花圃，那么AB的长是多少m？（3）能围成比48m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积及AB的值；如果不能，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：二次函数的一般式是：y=ax2+bx+c，（其中a≠0）（A）最高次数项为1次，故A错误；（B）最高次数项为3次，故B错误；（C）y=x2+2x+1-x2=2x-1，故C错误；故选（D）形如y=ax2+bx+c（a≠0）的关系式称为二次函数，根据此定义即可判断．本题考查二次函数的定义，解题的关键是对二次函数一般式的正确理解，本题属于基础题型．2.【答案】B【解析】解：抛物线y=2（x-3）2-1的顶点坐标是（3，-1）．故选B．根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式求顶点坐标的方法是解题的关键．3.【答案】A【解析】解：反比例函数y=的图象在第一、三象限，故选：A．根据反比例函数的性质：当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大可得答案．此题主要考查了反比例函数的性质，关键是熟练掌握反比例函数的性质．4.【答案】D【解析】解：A、∵，∴2x=3y，故A错误；B、∵，∴设x=3k，y=2k（k≠0），则xy=6k2，故B错误，C、∵，∴，故C错误；D、∵，∴，故D正确．故选D．根据比例的基本性质逐项判断．熟练掌握比例的性质．5.【答案】A【解析】【分析】根据图象向下平移减，向右平移减，可得答案．本题考查了二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．【解答】解：抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是y=3（x-1）2-2，故选：A．6.【答案】C【解析】解：因为点（2，5）、（4，5）在抛物线上，根据抛物线上纵坐标相等的两点，其横坐标的平均数就是对称轴，所以，对称轴x==3；故选C．由已知，点（2，5）、（4，5）是该抛物线上关于对称轴对称的两点，所以只需求两对称点横坐标的平均数．本题考查了二次函数的对称性．二次函数关于对称轴成轴对称图形．7.【答案】B【解析】解：∵∠A=∠A，∠ADE=∠B，∴△AED∽△ACB，∴；故选：B．首先证明△AED∽△ACB，再根据相似三角形的性质：对应边成比例可得答案．此题主要考查了相似三角形的判定与性质，关键是掌握判断三角形相似的方法和相似三角形的性质．8.【答案】C【解析】解：∵四边形ABOC是矩形，∴AC⊥y轴，AB⊥x轴，∵点A在反比例函数y=-的图象上，∴S=|k|=4．矩形ABOC故答案为：4．由矩形的性质可得出AC⊥y轴、AB⊥x轴，再根据点A在反比例函数y=-的图象上利用反比例函数系数k的几何意义即可得出矩形ABOC的面积．本题考查了反比例函数系数k的几何意义以及矩形的性质，根据反比例函数=|k|．系数k的几何意义找出S矩形ABOC9.【答案】B【解析】解：∵反比例函数y=（k＜0）中，k＜0，∴此函数图象在二、四象限，∵-2＜0，∴点A（-2，y1）在第二象限，∴y1＞0，∵3＞0，∴B（3，y2）点在第四象限，∴y2＜0，∴y1，y2的大小关系为y2＜0＜y1．故选：B．先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点解答．此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单．10.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换的熟练运用．①由抛物线开口向下a＞0，抛物线和y轴的正半轴相交，c＞0，-＜0，b＜0，所以abc ＜0；②根据抛物线与x轴有一个交点，得到b2-4ac=0，于是得到b2=4ac；③根据x=-1时，y=a+c-b=0，判断结论；④⑤根据x=-1时，函数y=a+b+c的值最小，得出当m≠-1时，有a-b+c＞am2+bm+c，判断结论．【解答】解：∵开口向上，∴a＞0，∵抛物线和y轴的正半轴相交，∴c＞0，∵对称轴为，∴b=2a＜0，∴abc＜0，故①正确；∵抛物线与x轴有一个交点，∴b2-4ac=0，∴b2=4ac；故②正确；∵当x=-1时，a-b+c=0，∴a+c=b，故③错误；∵当x=-1时，二次函数有最小值，所以当m≠-1时，有a-b+c＜am2+bm+c，所以a＜m（am+b）+b，故④正确．故选C．11.【答案】【解析】解：由分比性质，得==，故答案为：．根据分比性质，可得答案．本题考查了比例的性质，利用了分比性质：=⇒=．12.【答案】28【解析】解：∵反比例函数y=的图象经过点A（7，4），∴k=7×4=28；∵点（1，n）在该反比例函数图象上，∴1×n=28，解得n=28．故答案为：28．直接根据反比例函数中k=xy的特点进行解答即可．本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数y=（k≠0）中k=xy是定值，且保持不变．13.【答案】0【解析】解：把（0，0）代入y=（a-1）x2+3x+a（a-1），得a（a-1）=0，解得a=0或1，∵a-1≠0，∴a≠1，∴a=0，故答案为0．直接把原点坐标代入二次函数解析式得到关于a的方程，然后解方程，还要使a-1≠0即可．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象上点的坐标满足其解析式．14.【答案】或【解析】【分析】本题主要考查二次函数的最值，掌握二次函数的单调性是解题的关键，注意分类讨论思想的应用．根据已知条件得到抛物线y=x2+ax与x轴的交点为（0，0），（-a，0），求得-a＞1，抛物线y=x2+ax的对称轴为直线，当时，求得；当时，求得．【解答】解：令y=0，则x2+ax=0，解得：x=0或-a，∴抛物线y=x2+ax与x轴的交点为（0，0），（-a，0），∵a＜-1，∴-a＞1，∵抛物线y=x2+ax的对称轴为直线，∴当时，即当x=1时，函数y=x2+ax有最小值，∴，∴；当时，即当时，函数y=x2+ax有最小值，∴，∴；∵a＜-1，∴，综上所述：常数或，故答案为或．15.【答案】解：设===k，x=6k，y=4k，z=3k．==．【解析】根据等比性质，可得答案．本题考查了比例的性质，利用等比性质是解题关键．16.【答案】解：（1）把（2，2）代入y=得k2=4，则反比例函数的解析式是y=，把（-1，m）代入解析式得m=-4，则B的坐标是（-1，-4）．根据题意得，解得：，则一次函数的解析式是y=2x-2；（2）根据图象可得x的范围是：x＜-1或x＞2．【解析】（1）利用待定系数法求得反比例函数解析式，然后把B的坐标代入反比例函数解析式，求得B的坐标，最后用待定系数法求得一次函数解析式；（2）一次函数的值小于反比例函数值的x的范围，就是反比例函数图象在一次函数图象上边时对应的x的范围．本题考查了待定系数法求函数的解析式，理解求一次函数的值小于反比例函数值的x的范围，就是求反比例函数图象在一次函数图象上边时对应的x的范围是关键．17.【答案】解：∵l1∥l2∥l3，∴，∵AB=3，AD=2，DE=4，∴，解得BC=6，∵l1∥l2∥l3，∴，∴，解得BF=2.5．【解析】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，解题的关键是由平行得到线段AB与已知条件中的线段之间的关系．由平行线分线段成比例解答即可．18.【答案】解：（1）∵蓄水池的排水管每小时排水8m3，6h可将满池水全部排空，∴蓄水量为6×8=48m3，∴xy=48，∴此函数的解析式y=；（3）当t=4时，V==12m3；当t=5时，V==9.6m3；∴每小时的排水量应该是9.6-12m3；【解析】（1）首先求得水池的蓄水量，然后根据xy=蓄水量即可得到y与x之间的函数关系式；（2）此题须把t=4和t=5代入函数的解析式即可求出每小时的排水量；本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，再运用函数关系式解题．19.【答案】（1）证明：∵正方形ABCD中，AB∥CD，∴∠BAF=∠AED，∵BF⊥AE，∴∠AFB=90°，∴∠AFB=∠D=90°，∴△ABF∽△EAD．（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD=AB=2∵=，∴DE=CD=，在Rt△ADE中，AE===，∵△ABF∽△EAD，∴=，∴=，∴AF=2．【解析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明．（2）首先求出DE、AE，由△ABF∽△EAD，得=，由此即可解决问题．本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，属于中考常考题型．20.【答案】证明：作EH∥AC交BD于H，∴=，=，∵AD=CD，∴=．【解析】作EH∥AC交BD于H，根据平行线分线段成比例定理得到=，=，由AD=CD，即可证明=．本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，正确作出辅助线、灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．21.【答案】解：（1）由题意得：y=（210-10x）（50+x-40）=-10x2+110x+2100（0＜x≤15且x为整数）；（2）根据（1）得：y=-10x2+110x+2100=-10（x-5.5）2+2402.5，∵a=-10＜0，∴当x=5.5时，y有最大值2402.5．∵0＜x≤15，且x为整数，当x=5时，50+x=55，y=2400（元），当x=6时，50+x=56，y=2400（元）∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元；（3）根据题意得，-10x2+110x+2100≥2200，解得：1≤x≤10，故1≤x≤10且x为整数时，每个月的利润不低于2200元．【解析】（1）根据进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件，再根据每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件和销售利润=件数×每件的利润列出关系式，即可得出答案．（2）根据（1）得出的函数关系式，再进行配方得出y=-10（x-5.5）2+2402.5，当x=5.5时y有最大值，从而得出答案；（3）由“每个月的利润不低于2200元”列出关于x的不等式，解之可得．本题考查二次函数的实际应用，关键是读懂题意，找出之间的等量关系，根据每天的利润=一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．22.【答案】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+6的图象交x轴于A、B两点，且A、B两点的横坐标分别为1和3，∴A（1，0），B（3，0）；（2）由（1）知，A（1，0），B（3，0），∵二次函数y=ax2+bx+6的图象交x轴于A、B两点，∴ ，∴ ，∴二次函数的解析式为y=2x2-8x+6；（3）假设存在点P，设直线AP的解析式为y=mx+n，∵∠BAP=45°，∴|m|=1，当点P在x轴上方时，m=1，∵A（1，0），∴直线AP的解析式为y=x-1①，∵点P在抛物线y=2x2-8x+6②上，∴联立①②得，∴ （舍去）或，∴P（，），当点P在x轴下方时，m=-1，∵A（1，0），∴直线AP的解析式为y=-x+1③，联立②③得，∴ （舍）或，∴P（，-），即：P（，）或（，-）．【解析】（1）根据x轴上点的特点直接得出点A，B坐标；（2）将点A，B坐标代入抛物线解析式，解方程组即可；（3）根据∠BAP=45°，得|m|=1，再分点P在x轴上方和x轴下方两种情况求出直线AP的解析式，联立抛物线解析式求出交点坐标即可．此题是二次函数综合题，主要考查待定系数法求抛物线和直线的解析式，求直线和抛物线的交点坐标，解方程组，用待定系数法求出直线AP和抛物线的解析式是解本题的关键．23.【答案】解：（1）设AB=x米，则BC=32-4x米，∴S=x（32-4x）=-4x2+32x；（2）根据题意得：-4x2+32x=48，即x2-8x+12=0，解得：x=2或x=6，∵32-4x≤10，即x≥5.5，∴x=6，即AB=6米；（3）能，∵S=-4x2+32x=-4（x-4）2+64，∴当x＞4时，S随x的增大而减小；∵x≥5.5，∴x=5.5时，S取得最大值，最大值为55m2．【解析】（1）设AB=x米，则BC=32-4x米，由矩形的面积公式可得；（2）根据题意列出方程，解方程求得x的值，结合墙的最大可用长度为10m即32-4x≤10，可得x的范围，从而得出答案；（3）将函数解析式配方成顶点式，结合x的范围求得最值即可得．本题主要考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，根据矩形的面积公式求得函数解析式是根本，熟练掌握二次函数的性质求得最值是解题的关键．。
2018-2019学年安徽省合肥市瑶海区九年级(上)期中数学试卷
2018-2019学年安徽省合肥市瑶海区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）下列函数是二次函数的是()A．2y ax bx c=++B．23y x =-C．2213y x x=+D．281y x =+2．（4分）在平面直角坐标系中，抛物线21y x =-与x 轴交点的个数()A．3B．2C．1D．03．（4分）在同一直角坐标系中，函数2y ax b =+与(0)y ax b ab =-≠的图象大致如图()A．B．C．D．4．（4分）已知35a b a -=，那么ab等于()A．25B．52C．25-D．52-5．（4分）已知点1(1,)y -，2(2,)y -，3(3,)y 在反比例函数21k y x--=的图象上，下列正确的是()A．132y y y >>B．123y y y >>C．312y y y >>D．321y y y >>6．（4分）如图中阴影部分的面积与函数2122y x x =-++的最大值相同的是()A．B．C．D．7．（4分）下列判断中唯一正确的是()A．函数2y ax =的图象开口向上，函数2y ax =-的图象开口向下B．二次函数2y ax =，当0x <时，y 随x 的增大而增大C．22y x =与22y x =-图象的顶点、对称轴、开口方向、开口大小完全相同D．抛物线2y ax =与2y ax =-的图象关于x 轴对称8．（4分）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论：①0abc >；②20a b +>；③0a b c -+<；④240ac b -<；⑤0b a +<，其中正确的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个9．（4分）若c a bk a b b c a c ===+++，则k 的值为()A．12B．1C．1-D．112-或10．（4分）已知二次函数2y ax bx c =++中，当0x =时，2y =-，且b 的平方等于a 与c 的乘积，则函数值有()A．最大值 1.5-B．最小值 1.5-C．最大值 2.5-D．最小值 2.5-二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）把2米长的线段进行黄金分割，则分成的较长的线段长为．12．（5分）把抛物线2y ax bx c =++先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到抛物线222y x x =--，那么原抛物线的解析式为．13．（5分）在平面直角坐标系的第一象限内，边长为l 的正方形ABCD 的边均平行于坐标轴，A 点的坐标为(,)a a ．如图，若曲线4(0)y x x=>与此正方形的边有交点，则a 的取值范围是．14．（5分）已知二次函数223y x x =--+，当3m x m + 时，y 的取值范围是04y ，则m 的值为．三、解答题（本题90分）15．（8分）已知抛物线2y x bx c =++的图象经过点(0,1)和(1,0)．求这个二次函数的关系式．16．（8分）已知三个数2、4、8，请你再添上一个数，使它们成比例，求出所有符合条件的数．17．（8分）抛物线246y x x =-+-．（1）请把二次函数写成2()y a x h k =++的形式；（2）x 取何值时，y 随x 的增大而减小？18．（8分）已知，矩形OABC 中，6BC =，4AB =，它在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过矩形OABC 对角线的交点D ．（1）试确定反比例函数的表达式；（2）若反比例函数(0)ky k x=≠的图象与AB 交于点E ，求点E 的坐标．19．（8分）如图，抛物线2122y x bx =+-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且(1,0)A -．（1）求抛物线的解析式；（2）判断ABC ∆的形状，证明你的结论．20．（10分）合肥三十八中为预防秋季疾病传播，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y （毫克）与燃烧时间x （分钟）之间的关系如图所示（即图中线段OA 和双曲线在A 点及其右侧的部分），根据图象所示信息，解答下列问题：（1）写出从药物释放开始，y 与x 之间的函数关系式及自变量的取值范围；（2）据测定，只有当空气中每立方米的含药量不低于5毫克时，对预防才有作用，且至少持续作用20分钟以上，才能完全杀死这种病毒，请问这次消毒是否彻底？21．（12分）如图，一次函数y kx b =+与反比例函数6(0)y x x=>的图象交于(,6)A m ，(3,)B n 两点．（1）求一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出使6kx b x+<成立的x 的取值范围；（3）求ABO ∆的面积．22．（14分）冬天来了，晒衣服成了头疼的事情，聪明的小华想到一个好办法，在家后院地面()BD 上立两根等长的立柱AB 、CD （均与地面垂直），并在立柱之间悬挂一根绳子．由于挂的衣服比较多，绳子的形状近似成了抛物线20.8y ax x c =-+，如图1，已知立柱 2.6AB CD ==米，8BD =米．（1）求绳子最低点离地面的距离；（2）为了防止衣服碰到地面，小华在离AB 为3米的位置处用一根垂直于地面的立柱MN 撑起绳子（如图2)，使左边抛物线1F 的最低点距MN 为1米，离地面1.6米，求MN 的长．23．（14分）某旅游风景区出售一种纪念品，该纪念品的成本为12元/个，这种纪念品的销售价格为x （元/个）与每天的销售数量y （个)之间的函数关系如图所示．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）销售价格定为多少时，每天可以获得最大利润？并求出最大利润．（3）“十 一”期间，游客数量大幅增加，若按八折促销该纪念品，预计每天的销售数量可增加200%，为获得最大利润，“十 一”假期该纪念品打八折后售价为多少？2018-2019学年安徽省合肥市瑶海区九年级（上）期中数学试卷答案一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）下列函数是二次函数的是()A．2y ax bx c=++B．23y x =-C．2213y x x=+D．281y x =+【解答】解：A 、2y ax bx c =++，二次项系数a 不能确定是否为0，不是二次函数；B 、23y x =-，是一次函数；C 、221y x x=+，不是含自变量的整式，不是二次函数；D 、是二次函数；故选：D ．2．（4分）在平面直角坐标系中，抛物线21y x =-与x 轴交点的个数()A．3B．2C．1D．0【解答】解：24041(1)40b ac -=-⨯⨯-=> ∴二次函数21y x =-的图象与x 轴有两个交点．3．（4分）在同一直角坐标系中，函数2y ax b =+与(0)y ax b ab =-≠的图象大致如图()A．B．C．D．【解答】解：A 、由抛物线可知，0a >，由直线可知，0a <，错误；B 、由抛物线可知，0a <，0b =，由直线可知，0a >，0b <，错误；C 、由抛物线可知，0a >，0b <，由直线可知，0a >，0b >，错误；D 、由抛物线可知，0a <，0b <，由直线可知，0a <，0b <，正确．故选：D ．4．（4分）已知35a b a -=，那么ab等于()A．25B．52C．25-D．52-【解答】解：由原式子可得出：5()3a b a -=，即：25a b =；所以52a b =，故选：B ．5．（4分）已知点1(1,)y -，2(2,)y -，3(3,)y 在反比例函数21k y x--=的图象上，下列正确的是()A．132y y y >>B．123y y y >>C．312y y y >>D．321y y y >>【解答】解： 反比例函数21k y x--=中，210k --<，∴此函数的图象在二、四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大，3012>>->- ，A ∴、B 在第二象限，点C 位于第四象限，1230y y y ∴>>>，故选：B ．6．（4分）如图中阴影部分的面积与函数2122y x x =-++的最大值相同的是()A．B．C．D．【解答】解：22132(1)22y x x x =-++=--+，1a =- ，y ∴有最大值，其最大值为32，A 、如图，作AD y ⊥轴于D ，AE x ⊥轴于E ，1AD AE ==，可证ADB AEC ∆≅∆，1ADOE S S ∴==阴影部分正方形，所以A 选项错误；B 、 当1x =时，3y =，A ∴点坐标为(1,3)，131322OAB S S ∆∴==⨯⨯=阴影部分，所以B 选项正确；C 、(0,1)A -，令0y =，则210x -=，解得1x =±，则B 点坐标为(1,0)-，C 点坐标为(1,0)，12112ABC S S ∆∴==⨯⨯=阴影部分，所以C 选项错误；D 、1212OAB S S ∆==⨯=阴影部分，所以D 选项错误．故选：B ．7．（4分）下列判断中唯一正确的是()A．函数2y ax =的图象开口向上，函数2y ax =-的图象开口向下B．二次函数2y ax =，当0x <时，y 随x 的增大而增大C．22y x =与22y x =-图象的顶点、对称轴、开口方向、开口大小完全相同D．抛物线2y ax =与2y ax =-的图象关于x 轴对称【解答】解：A 、若当0a <时，则函数2y ax =的图象开口向下，函数2y ax =-的图象开口向上，故A 不正确；B 、若0a >时，则二次函数2y ax =开口向上，当0x <时，y 随x 的增大而减小，故B 不正确；C 、由于两函数中二次项系数互为相反数，故两抛物线的开口方向相反，故C 不正确；D 、因为a 和a -互为相反数，所以抛物线2y ax =与2y ax =-的开口方向相反，对称轴、顶点坐标都相同，故其图象关于x 轴对称；故选：D ．8．（4分）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论：①0abc >；②20a b +>；③0a b c -+<；④240ac b -<；⑤0b a +<，其中正确的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①由图知0a <，0c >，0b >，0abc ∴<，故①错误；② 12bx a=-<，20b a ∴+<，故②错误；③由图知当1x =-时，0y <，0a b c ∴-+<，故③正确；④ △240b ac =->，240ac b ∴-<，故④正确；⑤0a b c ++= ，0c >，0a b ∴+<，故⑤正确；故选：C ．9．（4分）若c a bk a b b c a c ===+++，则k 的值为()A．12B．1C．1-D．112-或【解答】解：当0a b c ++=时，()a b c =-+，因而()1a b c k b c b c-+===-++；当0a b c ++≠时，1()()()2a b c k b c a b a c ++==+++++．故k 的值是1-或12．故选：D ．10．（4分）已知二次函数2y ax bx c =++中，当0x =时，2y =-，且b 的平方等于a 与c 的乘积，则函数值有()A．最大值 1.5-B．最小值 1.5-C．最大值 2.5-D．最小值 2.5-【解答】解：当0x =时，2y =-，即可得出2c =-，又b 的平方等于a 与c 的乘积即22b a =-，∴得出0a <，∴二次函数2y ax bx c =++的图象开口向下，由最大值，所以排除B ，D ．44ac aca-又最大值为，244334442ac b ac ac c y a a --====-．故选：A ．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）把2米长的线段进行黄金分割，则分成的较长的线段长为51-．【解答】解：设分成的较长的线段长为x ，则22(2)x x -=，2x ，22241(4)x -±-⨯⨯-151x =，251x =-（负数不符合题意，舍去），故答案为：51．12．（5分）把抛物线2y ax bx c =++先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到抛物线222y x x =--，那么原抛物线的解析式为221y x x =++．【解答】解：由题意可知：即将222y x x =--先向上平移3个单位，再向左平移2个单位，22(2)2(2)2321y x x x x ∴=+-+-+=++，故答案是：221y x x =++．13．（5分）在平面直角坐标系的第一象限内，边长为l 的正方形ABCD 的边均平行于坐标轴，A 点的坐标为(,)a a ．如图，若曲线4(0)y x x=>与此正方形的边有交点，则a 的取值范围是23a ．【解答】解：A 点的坐标为(,)a a ．(1,1)C a a ∴--，当C 在双曲线4y x =时，则411a a -=-，解得3a =；当A 在双曲线4y x =时，则4a a=，解得2a =，a ∴的取值范围是23a ．故答案为：23a ．14．（5分）已知二次函数223y x x =--+，当3m x m + 时，y 的取值范围是04y ，则m 的值为3m =-或2m =-．【解答】解：2223(1)4y x x x =--+=-++ ，∴对称轴是1x =-．①当x m =时，1m <-，2230m m --+=，解得：11m =（舍)，23m =-，3m ∴=-；②当3x m =+时，31m +>-，2(3)2(3)30m m -+-++=，解得：16m =-（舍)，22m =-，2m ∴=-，综上得：3m =-或2m =-．故答案为：3m =-或2m =-．三、解答题（本题90分）15．（8分）已知抛物线2y x bx c =++的图象经过点(0,1)和(1,0)．求这个二次函数的关系式．【解答】解：把(0,1)和(1,0)代入抛物线2y x bx c =++，得：110c b c =⎧⎨++=⎩，解得2b =-，1c =．故解析式为221y x x =-+．16．（8分）已知三个数2、4、8，请你再添上一个数，使它们成比例，求出所有符合条件的数．【解答】解：设添加的数为x ，当2:48:x =时，16x =；当4:8:2x =时，1x =；当8:4:2x =时，4x =；当4:82:x =时，4x =，所以可以添加的数有：1，4，16．17．（8分）抛物线246y x x =-+-．（1）请把二次函数写成2()y a x h k =++的形式；（2）x 取何值时，y 随x 的增大而减小？【解答】解：（1）2222246(4)6(424)6(2)2y x x x x x x x =-+-=---=--+--=--- ，故二次函数写成2()y a x h k =++的形式为：2(2)2y x =---；（2）10a =-<，图象开口向下，对称轴2x =，所以当2x >时，y 随x 的增大而减小．18．（8分）已知，矩形OABC 中，6BC =，4AB =，它在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过矩形OABC 对角线的交点D ．（1）试确定反比例函数的表达式；（2）若反比例函数(0)ky k x=≠的图象与AB 交于点E ，求点E 的坐标．【解答】解：（1） 矩形OABC 中，6BC =，4AB =，∴点D 坐标为(3,2)，反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过点D ，23k ∴=，6k =，∴反比例函数的表达式为6y x=；（2） 当6x =时，616y ==，∴反比例函数(0)ky k x=≠的图象与AB 的交点E 的坐标是(6,1)．19．（8分）如图，抛物线2122y x bx =+-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且(1,0)A -．（1）求抛物线的解析式；（2）判断ABC ∆的形状，证明你的结论．【解答】解：（1）A 点坐标为(1,0)-，代入抛物线2122y x bx =+-得，210(1)22b =⨯---，解得32b =-，∴原抛物线的解析式为：213222y x x =--；（2）当0x =时，2y =-，(0,2)C ∴-，2OC =，当0y =时，2132022x x --=，解得1x =-或4，(4,0)B ∴，1OA ∴=，4OB =，5AB =，225AB = ，2225AC OA OC =+=，22220BC OB OC =+=，222AC BC AB ∴+=，ABC ∴∆是直角三角形．20．（10分）合肥三十八中为预防秋季疾病传播，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y （毫克）与燃烧时间x （分钟）之间的关系如图所示（即图中线段OA 和双曲线在A 点及其右侧的部分），根据图象所示信息，解答下列问题：（1）写出从药物释放开始，y 与x 之间的函数关系式及自变量的取值范围；（2）据测定，只有当空气中每立方米的含药量不低于5毫克时，对预防才有作用，且至少持续作用20分钟以上，才能完全杀死这种病毒，请问这次消毒是否彻底？【解答】解：（1）设反比例函数解析式为ky x=，将(25,6)代入解析式得，256150k =⨯=，则函数解析式为150(15)y x x=，将10y =代入解析式得，15010x=，解得15x =，故(15,10)A ，设正比例函数解析式为y nx =，将(15,10)A 代入上式即可求出n 的值，102153n ==，则正比例函数解析式为2(015)3y x x = ．综上：2(015)3150(15)x x y x x⎧⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩（2）将5y =代入150y x =得30x =，将5y =代入23y x =得到7.5x =，307.522.520Q =-=>，∴这次消毒很彻底．21．（12分）如图，一次函数y kx b =+与反比例函数6(0)y x x=>的图象交于(,6)A m ，(3,)B n 两点．（1）求一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出使6kx b x+<成立的x 的取值范围；（3）求ABO ∆的面积．【解答】解：（1） 点(,6)A m ，(3,)B n 两点在反比例函数6(0)y x x=>的图象上，636m n ∴==，1m ∴=，2n =，(1,6)A ∴，(3,2)B ．又 点(,6)A m ，(3,)B n 两点在一次函数y kx b =+的图象上，∴623k bk b =+⎧⎨=+⎩．解得28k b =-⎧⎨=⎩，则该一次函数的解析式为：28y x =-+；（2）根据图象可知使6kx b x+<成立的x 的取值范围是01x <<或3x >；（3）如图，分别过点A 、B 作AE x ⊥轴，BC x ⊥轴，垂足分别是E 、C 点．直线AB 交x 轴于D 点．令280x -+=，得4x =，即(4,0)D ．(1,6)A ，(3,2)B ，6AE ∴=，2BC =，114642822AOB AOD BOD S S S ∆∆∆∴=-=⨯⨯-⨯⨯=．22．（14分）冬天来了，晒衣服成了头疼的事情，聪明的小华想到一个好办法，在家后院地面()BD 上立两根等长的立柱AB 、CD （均与地面垂直），并在立柱之间悬挂一根绳子．由于挂的衣服比较多，绳子的形状近似成了抛物线20.8y ax x c =-+，如图1，已知立柱 2.6AB CD ==米，8BD =米．（1）求绳子最低点离地面的距离；（2）为了防止衣服碰到地面，小华在离AB 为3米的位置处用一根垂直于地面的立柱MN 撑起绳子（如图2)，使左边抛物线1F 的最低点距MN 为1米，离地面1.6米，求MN 的长．【解答】解：（1） 抛物线经过点(0,2.6)A 、(8,2.6)C ，∴22.680.88 2.6c a c =⎧⎨⨯-⨯+=⎩，解得，0.1a =， 2.6c =，220.10.8 2.60.1(4)1y x x x ∴=-+=-+，∴当4x =时，y 取得最小值，此时1y =，即绳子最低点离地面的距离1米；（2）由题意可得，抛物线1F 的顶点坐标为(2,1.6)，设抛物线1F 的函数解析式为21(2) 1.6y a x =-+，点(0,2.6)A 在抛物线1F 上，212.6(02) 1.6a ∴=-+，得10.25a =，∴抛物线1F 的函数解析式为20.25(2) 1.6y x =-+，当3x =时，20.25(32) 1.6 1.85y =-+=，即MN 的长是1.85米．23．（14分）某旅游风景区出售一种纪念品，该纪念品的成本为12元/个，这种纪念品的销售价格为x （元/个）与每天的销售数量y （个)之间的函数关系如图所示．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）销售价格定为多少时，每天可以获得最大利润？并求出最大利润．（3）“十 一”期间，游客数量大幅增加，若按八折促销该纪念品，预计每天的销售数量可增加200%，为获得最大利润，“十 一”假期该纪念品打八折后售价为多少？【解答】解：（1）设y kx b =+，根据函数图象可得：1015020100k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：5200k b =-⎧⎨=⎩，5200y x ∴=-+；（2）设每天获利w 元，则22(12)526024005(26)980w x y x x x =-=-+-=--+，∴当26x =时，w 最大，最大利润为980元；（3）设“十一”假期每天利润为P 元，则2255(0.812)(1200%)12660720012()18752P x y x x x =-+=-+-=--+ ，∴当552x =时，P 最大，此时售价为550.8222⨯=，答：“十 一”假期该纪念品打八折后售价为22元．。
2018-2019年合肥42中第一学期九年级第一次月考 数学试题(无答案)
合肥市第四十二中学18～19年度第一学期月考考试一、选择题（本大题共10小题, 每小题4分，满分40分）1．下列函数关系中，y 是x 的二次函数的是（ ） A ． y=2x+3 B ．C ． y=2x -1D ． y=21x +1 2．如果反比例函数y ＝kx的图象经过点(－2，3)，那么该函数的图象也经过点( ) A ． (－2，－3) B ． (3，2) C ． (3，－2) D ． (－3，－2) 3．关于x 的二次函数()212y x =--+，下列说法正确的是（ ） A ． 图象的开口向上 B ． 图象与y 轴的交点坐标为（0，2）C ． 当1x >时， y 随x 的增大而减小D ． 图象的顶点坐标是（－1，2） 4．已知二次函数269y kx x =--的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围为 A ． k>-1 B ． k>-1且k≠0 C ． k≥-1 D ． k<-15．在平面直角坐标系中，将抛物线y=x 2-4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）A ． y=(x+2)2+2B ． y=(x-2)2-2C ． y=(x-2)2+2D ． y=(x+2)2-26．已知抛物线21y x x =--与x 轴的一个交点为(0)m ，，则代数式22008m m -+的值为 A ．2016 B ．2017 C ．2018 D ．2019 （ ） 7．下表是一组二次函数y=x 2+3x ﹣5的自变量x 与函数值y 的对应值：那么方程x 2+3x ﹣5=0的一个近似根是（ ） A ． 1 B ． 1.1 C ． 1.2 D ． 1.38．在同一坐标平面中，正比例函数y=kx （k≠0）和二次函数y=kx 2﹣4的图象可能是（ ）9．如图，过y 轴上一个动点M 作x 轴的平行线，交双曲线y ＝4x-于点A ，交双曲线学校_____________ 班级______________ 姓名_____________ 考场_____________ 座位号_____________……………………………………装……………订………………………………线…………………………………………y ＝10x于点B ，点C 、点D 在x 轴上运动，且始终保持DC=AB ，则平行四边形ABCD 的面积是 （ ） A 、7 B 、10 C 、14 D 、2810．如图，正方形ABCD 的边长为1，E 、F 、G 、H 分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH ，设小正方形EFGH 的面积为s ，AE 为x ，则s 关于x 的函数图象大致是 （ ）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）11．若二次函数y=（m+1）x 2+m 2﹣9有最小值，且图象经过原点，则m= ． 12．已知函数25(1)my m x -=+是反比例函数，且图像在第二、四象限内，则m = 。
安徽省合肥市四十二中2018-2019学年第一学期期中考试九年级数学试卷 含解析
2018-2019学年第一学期期中考试九年级数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）1．若3x﹣4y＝0，则的值是（）A．B．C．D．2．对于二次函数y＝﹣3（x﹣8）2+2，下列说法中，正确的是（）A．开口向上，顶点坐标为（8，2）B．开口向下，顶点坐标为（8，2）C．开口向上，顶点坐标为（﹣8，2）D．开口向下，顶点坐标为（﹣8，2）3．抛物线y＝3x2+2x﹣1向上平移3个单位长度后的函数解析式为（）A．y＝3x2+2x﹣4 B．y＝3x2+2x﹣4 C．y＝3x2+2x+2 D．y＝3x2+2x+3 4．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．＝D．＝5．如图，平面直角坐标系中，点A是x轴负半轴上一个定点，点P是函数y＝（x＜0）上一个动点，PB⊥y轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会（）A．先增后减B．先减后增C．逐渐减小D．逐渐增大6．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，点C在y轴的正半轴上，且OA＝OC，则（）A．ac+1＝b B．ab+1＝c C．bc+1＝a D．以上都不是7．在反比例函数中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数y＝ax2﹣ax的图象大致是下图中的（）A．B．C．D．8．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是（）A．2：3 B．C．D．9．如图，反比例函数y＝的图象过矩形OABC的顶点B，OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，OC：OA＝2：5，若直线y＝kx+3（k≠0）平分矩形OABC面积，则k的值为（）A．B．C．D．10．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形ABCD中，AD边的中点处有一动点P，动点P沿P→D→C→B→A→P运动一周，则P点的纵坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，滴分20分）11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D．若AD＝2cm，DB＝6cm，则CD＝．12．如图，正比例函数y＝kx与反比例函数的图象相交于点A、B，过B作x轴的垂线交x轴于点C，连接AC，则△ABC的面积是．13．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：则﹣2＜x＜2时，y的取值范围是．14．如图，在四边形纸片ABCD中，AB＝10，CD＝2，AD＝BC＝5，∠A＝∠B，现将纸片沿EF 折叠，使点A的对应点A′落在边AB上，连接A′C，如果△A′BC恰好是以AC为腰的等腰三角形，则AE的长是．三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）15．如图，在平面直角坐标系中，把以格点为顶点的三角形称为格点三角形（每个小方格都是边长为1的正方形）．图中△ABC是格点三角形，点A，B，C的坐标分别是（﹣4，﹣1），（﹣2，﹣3），（﹣1，﹣2）．（1）以O为旋转中心，把△ABC绕O点顺时针旋转90°后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；（2）以O为位似中心，在第一象限内把△ABC放大2倍后得到△A2B2C2，画出△2B2C2；（3）△ABC内有一点P（a，b），写出经过（2）位似变换后P的对应点P1的坐标．16．以长为2的线段为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上，如图所示．（1）求AM、DM的长；（2）求证：AM2＝AD•DM．四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）17．市政府为改善居民的居住环境，修建了环境幽雅的环城公园，为了给公园内的草评定期喷水，安装了一些自动旋转喷水器，如图所示，设喷水管AB高出地面1.5m，在B处有一个自动旋转的喷水头，﹣瞬间喷出的水流呈抛物线状．喷头B与水流最高点C的连线与地平面成45°的角，水流的最高点C离地平面距离比喷水头B离地平面距离高出2m，水流的落地点为D．在建立如图所示的直角坐标系中：（1）求抛物线的函数解析式；（2）求水流的落地点D到A点的距离是多少m？18．如图，已知△ABC，（1）按如下步骤尺规作图（保留作图痕迹）：①作AD平分∠BAC，交BC于D；②作AD的垂直平分线MN分别交AB，AC于点E、F；（2）连接DE、DF．若BD＝12，AF＝8，CD＝6，求BE的长．五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分）19．如图，函数y1＝k1x+b的图象与y2＝（x＞0）的图象交于点A（2，1）和点B，交y 轴于点C（0，3）．（1）求函数y1与y2的表达式及点B的坐标；（2）观察图象，比较当x＞0时y1与y2的大小．20．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，连接DE，F为线段DE 上一点，且∠AFE＝∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB＝4，，，求AE的长．六、（本题满分12分）21．如图，在一面靠墙的空地上用长24m的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x（m），面积S（m2）．（1）求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）若墙的最大可用长度为8m，求围成花圃的最大面积．七、（本题满分12分）22．如图，抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A（2，0）、C（0，4）两点．（1）分别求该抛物线和直线AC的解析式；（2）横坐标为m的点P是直线AC上方的抛物线上一动点，△APC的面积为S．①求S与m的函数关系式；②S是否有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由．（3）点M是直线AC上一动点，ME垂直x轴于E，在y轴（原点除外）上是否存在点F，使△MEF为等腰直角三角形？若存在，直接写出对应的点F，M的坐标；若不存在，说明理由．八、（本题满分14分）23．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，点D在边AC上，连接BD，过A作BD 的垂线交BD的延长线于点E．（1）若M，N分别为线段AB，EC的中点，如图1，求证：MN⊥EC；（2）如图2，过点C作CF⊥EC交BD于点F，求证：AE＝2BF；（3）如图3，以AE为一边作一个角等于∠BAC，这个角的另一边与BE的延长线交于P 点，O为BP的中点，连接OC，求证：OC＝（BE﹣PE）．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．若3x﹣4y＝0，则的值是（）A．B．C．D．【分析】根据等式性质，可用y表示x，根据分式的性质，可得答案．【解答】解：由3x﹣4y＝0，得x＝，当x＝时，＝＝，故选：B．2．对于二次函数y＝﹣3（x﹣8）2+2，下列说法中，正确的是（）A．开口向上，顶点坐标为（8，2）B．开口向下，顶点坐标为（8，2）C．开口向上，顶点坐标为（﹣8，2）D．开口向下，顶点坐标为（﹣8，2）【分析】根据二次函数的性质对各选项进行判断．【解答】解：y＝﹣3（x﹣8）2+2，∵﹣3＜0，∴开口向下，顶点坐标为（8，2）．故选：B．3．抛物线y＝3x2+2x﹣1向上平移3个单位长度后的函数解析式为（）A．y＝3x2+2x﹣4 B．y＝3x2+2x﹣4 C．y＝3x2+2x+2 D．y＝3x2+2x+3 【分析】利用平移规律“上加下减”，即可确定出平移后解析式．【解答】解：抛物线y＝3x2+2x﹣1向上平移3个单位长度的函数解析式为y＝3x2+2x﹣1+3＝3x2+2x+2，故选：C．4．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．＝D．＝【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．【解答】解：A、当∠ABP＝∠C时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；B、当∠APB＝∠ABC时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；C、当＝时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．故选：D．5．如图，平面直角坐标系中，点A是x轴负半轴上一个定点，点P是函数y＝（x＜0）上一个动点，PB⊥y轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会（）A．先增后减B．先减后增C．逐渐减小D．逐渐增大【分析】过点P作PC⊥x轴于点C，根据k的几何意义可知矩形PBOC的面积为6，然后只需要讨论△APC的面积大小即可．【解答】解：过点P作PC⊥x轴于点C，∵点P在y＝﹣（x＜0）∴矩形PBOC的面积为6设A的坐标为（a，0），P坐标（x，）（x＜0），△APC的面积为S，当a＜x＜0时，∴AC＝x﹣a，∴PC＝﹣∴△APC的面积为S＝（x﹣a）•＝﹣3（1﹣）∵a＜0，∴﹣a＞0，∴﹣在a＜x＜0上随着x的增大而减小，∴1﹣在a＜x＜0上随着x的增大而减小，∴﹣3（1﹣）在a＜x＜0上随着x的增大而增大，∴S＝S△APC+6∴S在a＜x＜0上随着x的增大而增大，当x≤a时，∴AC＝a﹣x，∴PC＝﹣∴△APC的面积为S＝（a﹣x）•＝﹣3（﹣1）∵a＜0，∴在x＜a随着x的增大而增大，∴﹣1在x＜a上随着x的增大而增大，∴﹣3（﹣1）在x＜a上随着x的增大而减小，∴S＝6﹣S△APC∴S在x＜a上随着x的增大而增大，∴当P的横坐标增大时，S的值是逐渐增大，故选：D．6．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，点C在y轴的正半轴上，且OA＝OC，则（）A．ac+1＝b B．ab+1＝c C．bc+1＝a D．以上都不是【分析】根据图象易得C（0，c）且c＞0，再利用OA＝OC可得A（﹣c，0），然后把A（﹣c，0）代入y＝ax2+bx+c即可得到a、b、c的关系式．【解答】解：当x＝0时，y＝ax2+bx+c＝c，则C（0，c）（c＞0），∵OA＝OC，∴A（﹣c，0），∴a•（﹣c）2+b•（﹣c）+c＝0，∴ac﹣b+1＝0，即ac+1＝b．故选：A．7．在反比例函数中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数y＝ax2﹣ax的图象大致是下图中的（）A．B．C．D．【分析】根据反比例函数的性质判断a的符号；再根据a的符号，判断二次函数y＝ax2﹣ax的图象大致位置．【解答】解：由已知，根据反比例函数的性质可得a＜0；所以抛物线y＝ax2﹣ax的开口向下，应排除A、B；因为x＝﹣＝﹣＞0，所以抛物线的对称轴在y轴的右侧，排除D．故选：C．8．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是（）A．2：3 B．C．D．【分析】由直角三角形的性质可得AC＝AB，DC＝AC，通过证明△ABE∽△DCE，可得，即可求解．【解答】解：∵∠CAB＝90°，∠B＝∠ACB＝45°，∴AC＝AB，∵∠ACD＝90°，∠D＝30°，∴DC＝AC，∵∠CAB＝∠ACD，∴AB∥CD，∴△ABE∽△DCE∴∴，故选：D．9．如图，反比例函数y＝的图象过矩形OABC的顶点B，OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，OC：OA＝2：5，若直线y＝kx+3（k≠0）平分矩形OABC面积，则k的值为（）A．B．C．D．【分析】根据题意可以求出点B的坐标，根据中点的坐标的特征，可求出OB中点的坐标，一次函数过OB中点即可把矩形的面积平分，代入求出k的值．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象过矩形OABC的顶点B，∴OA•OC＝10，∵OC：OA＝2：5，∴OC＝2，OA＝5，∴点B（5，2）连接OB，则OB的中点的坐标为（，1），把（，1）代入y＝kx+3得，k＝﹣，故选：A．10．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形ABCD中，AD边的中点处有一动点P，动点P沿P→D→C→B→A→P运动一周，则P点的纵坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是（）A．B．C．D．【分析】将动点P的运动过程划分为PD、DC、CB、BA、AP共5个阶段，分别进行分析，最后得出结论．【解答】解：动点P运动过程中：①当0≤s≤时，动点P在线段PD上运动，此时y＝2保持不变；②当＜s≤时，动点P在线段DC上运动，此时y由2到1逐渐减少；③当＜s≤时，动点P在线段CB上运动，此时y＝1保持不变；④当＜s≤时，动点P在线段BA上运动，此时y由1到2逐渐增大；⑤当＜s≤4时，动点P在线段AP上运动，此时y＝2保持不变．结合函数图象，只有D选项符合要求．故选：D．二．填空题（共4小题）11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D．若AD＝2cm，DB＝6cm，则CD＝2cm．【分析】由CD是Rt△ABC斜边AB上的高，易证得△ACD∽△CBD，由相似三角形的对应边成比例，即可求得CD的长．【解答】解：∵CD是Rt△ABC斜边AB上的高，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∴∠B+∠2＝90°，∠2+∠1＝90°，∴∠B＝∠1，∴△ACD∽△CBD，∴＝，∵AD＝2cm，DB＝6cm，∴＝，∴CD＝2（cm）．故答案是：cm．12．如图，正比例函数y＝kx与反比例函数的图象相交于点A、B，过B作x轴的垂线交x轴于点C，连接AC，则△ABC的面积是 3 ．【分析】由反比例函数、正比例函数的对称性可得，S△BOC＝S△AOC，而S△BOC＝可以通过反比例函数的关系式求得，于是S△ABC＝2S△BOC求出结果．【解答】解：由反比例函数、正比例函数的对称性可得，S△BOC＝S△AOC，S△BOC＝|k|＝，∴S△ABC＝2S△BOC＝3．故答案为：3．13．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：则﹣2＜x＜2时，y的取值范围是﹣6≤y＜3 ．【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以得到当﹣2＜x＜2时，y的取值范围．【解答】解：由表格可知，该函数的对称轴是直线x＝＝﹣1，该函数图象开口向上，x＝2和x＝﹣4时的函数值相等，则﹣2＜x＜2时，y的取值范围是：﹣6≤y＜3，故答案为：﹣6≤y＜3．14．如图，在四边形纸片ABCD中，AB＝10，CD＝2，AD＝BC＝5，∠A＝∠B，现将纸片沿EF 折叠，使点A的对应点A′落在边AB上，连接A′C，如果△A′BC恰好是以AC为腰的等腰三角形，则AE的长是1或．【分析】过点C作CM⊥AB于点M，过点D作DN⊥AB于点N，由“AAS”可证△ADN≌△BCM，可得AN＝BM，DN＝CM，即可证四边形DCMN是矩形，可得CD＝MN＝2，AN＝BM＝4，由折叠性质可得AE＝A'E，分A'C＝BC和A'C＝A'B两种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解．【解答】解：如图1，过点C作CM⊥AB于点M，过点D作DN⊥AB于点N，在△ADN和△BCM中，，∴△ADN≌△BCM（AAS）∴AN＝BM，DN＝CM，且DN∥CM，DN⊥AB∴四边形DCMN是矩形，∴CD＝MN＝2∴AN＝BM＝＝4，∵将纸片沿EF折叠，使点A的对应点A'落在AB边上，∴AE＝A'E，若A'C＝BC，且CM⊥AB，∴BM＝A'M＝4，∴AA'＝AB﹣A'B＝10﹣8＝2，∴AE＝1，若A'C＝A'B，过点A'作A'H⊥BC，如图2所示：∵CM2＝BC2﹣BM2＝A'C2﹣A'M2，∴25﹣16＝A'B2﹣（4﹣A'B）2，∴A'B＝，∴AA'＝AB﹣A'B＝10﹣＝，∴AE＝AA'＝；故答案为：1或．三．解答题（共9小题）15．如图，在平面直角坐标系中，把以格点为顶点的三角形称为格点三角形（每个小方格都是边长为1的正方形）．图中△ABC是格点三角形，点A，B，C的坐标分别是（﹣4，﹣1），（﹣2，﹣3），（﹣1，﹣2）．（1）以O为旋转中心，把△ABC绕O点顺时针旋转90°后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；（2）以O为位似中心，在第一象限内把△ABC放大2倍后得到△A2B2C2，画出△2B2C2；（3）△ABC内有一点P（a，b），写出经过（2）位似变换后P的对应点P1的坐标．【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A1、B1、C1，从而得到△A1B1C1；（2）把点A、B、C的横纵坐标都乘以﹣2得到点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可得到△2B2C2；（3）利用（2）的对应点的坐标特点求解．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，△2B2C2为所作；（3）点P的对应点P1的坐标为（﹣2a，﹣2b）．16．以长为2的线段为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上，如图所示．（1）求AM、DM的长；（2）求证：AM2＝AD•DM．【分析】（1）由勾股定理求PD，根据AM＝AF＝PF﹣PA＝PD﹣PA，DM＝AD﹣AM求解；（2）由（1）计算的数据进行证明．【解答】（1）解：在Rt△APD中，PA＝AB＝1，AD＝2，∴PD＝＝，∴AM＝AF＝PF﹣PA＝PD﹣PA＝﹣1，DM＝AD﹣AM＝2﹣（﹣1）＝3﹣；（2）证明：∵AM2＝（﹣1）2＝6﹣2，AD•DM＝2（3﹣）＝6﹣2，∴AM2＝AD•DM．17．市政府为改善居民的居住环境，修建了环境幽雅的环城公园，为了给公园内的草评定期喷水，安装了一些自动旋转喷水器，如图所示，设喷水管AB高出地面1.5m，在B处有一个自动旋转的喷水头，﹣瞬间喷出的水流呈抛物线状．喷头B与水流最高点C的连线与地平面成45°的角，水流的最高点C离地平面距离比喷水头B离地平面距离高出2m，水流的落地点为D．在建立如图所示的直角坐标系中：（1）求抛物线的函数解析式；（2）求水流的落地点D到A点的距离是多少m？【分析】（1）把抛物线的问题放到直角坐标系中解决，是探究实际问题常用的方法，本题关键是解等腰直角三角形，求出抛物线顶点C（2，3.5）及B（0，1.5），设顶点式求解析式；（2）求AD，实际上是求当y＝0时点D横坐标．【解答】解：在如图所建立的直角坐标系中，由题意知，B点的坐标为（0，1.5），∠CBE＝45°，∴△BEC为等腰直角三角形，∴BE＝2，∴C点坐标为（2，3.5）（1）设抛物线的函数解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），则抛物线过点（0，1.5）顶点为（2，3.5），∴当x＝0时，y＝c＝1.5由，得b＝﹣4a，由，得解之，得a＝0（舍去），a＝﹣，∴b＝﹣4a＝2．所以抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+．（2）∵D点为抛物线y＝﹣x2+2x+的图象与x轴的交点，∴当y＝0时，即：﹣x2+2x+＝0，解得x＝2±，x＝2﹣不合题意，舍去，取．∴D点坐标为（2+，0），∴AD＝（2+）（m）．答：水流的落地点D到A点的距离是（2+）m．18．如图，已知△ABC，（1）按如下步骤尺规作图（保留作图痕迹）：①作AD平分∠BAC，交BC于D；②作AD的垂直平分线MN分别交AB，AC于点E、F；（2）连接DE、DF．若BD＝12，AF＝8，CD＝6，求BE的长．【分析】（1）利用角平分线的作法和线段的垂直平分线的作法画出AD和EF；（2）先证明四边形AEDF为菱形得到AE＝AF＝8，DE∥AC，然后根据平行线分线段成比例定理计算BE的长．【解答】解：（1）如图，AD和EF为所作；（2）∵EF垂直平分AD，∴EA＝ED，FA＝FD，AD⊥EF，∴AD平分∠EAF，∴AD平分EF，即AD和EF互相垂直平分，∴四边形AEDF为菱形，∴AE＝AF＝8，DE∥AC，∴＝，即＝，∴BE＝16．19．如图，函数y1＝k1x+b的图象与y2＝（x＞0）的图象交于点A（2，1）和点B，交y 轴于点C（0，3）．（1）求函数y1与y2的表达式及点B的坐标；（2）观察图象，比较当x＞0时y1与y2的大小．【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数关系式可以确定反比例函数的关系式，把点A、点C的坐标代入一次函数关系式可求出一次函数的关系式，两个关系式组成方程组求出方程组的解，即为交点坐标，（2）根据图象直观得出，自变量x的在某个取值范围内两个函数值的大小，注意分段分析考虑．【解答】解：（1）把点A（2，1）代入y2＝得，k＝2，∴y2＝，把点A（2，1），点C（0，3）代入y1＝k1x+b得，，解得：k＝﹣1，b＝3，∴y1＝﹣x+3；由题意得，，解得，，；∴点B（1，2）答：函数y1的关系式为：y1＝﹣x+3；函数y2的表达式为：y2＝，点B的坐标为（1，2）．（2）观察图象可得：当0＜x＜1或x＞2时，y1＜y2，当1＜x＜2时，y1＞y2，当x＝1或x＝2时，y1＝y2，20．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，连接DE，F为线段DE 上一点，且∠AFE＝∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB＝4，，，求AE的长．【分析】（1）△ADF和△DEC中，易知∠ADF＝∠CED（平行线的内错角），而∠AFD和∠C是等角的补角，由此可判定两个三角形相似；（2）由（1）知△ADF∽△DEC，根据相似三角形的性质：对应边的比值相等即可求出DE的长，再利用勾股定理即可求出AE的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠B+∠C＝180°，∠ADF＝∠DEC．∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B∴∠AFD＝∠C∴△ADF∽△DEC；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝4，由（1）知△ADF∽△DEC，∴，∴．在Rt△ADE中，由勾股定理得：．21．如图，在一面靠墙的空地上用长24m的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x（m），面积S（m2）．（1）求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）若墙的最大可用长度为8m，求围成花圃的最大面积．【分析】（1）根据花圃的宽AB为x米，得出BC，再根据长方形的面积公式列式计算即可；（2）根据S与x之间的函数关系式，结合x的取值范围求出函数的最值即可．【解答】解：（1）∵花圃的宽AB为x米，∴BC＝（24﹣4x）米，∴S＝x（24﹣4x）＝﹣4x2+24x（0＜x＜6）；（2）∵S＝﹣4x2+24x＝﹣4（x﹣3）2+36，∵24﹣4x≤8，∴x≥4，∵0＜x＜6，∴4≤x＜6，∵a＝﹣4＜0，∴S随x的增大而减小，∴当x＝4时，S最大值＝32，答；当x取4时所围成的花圃的面积最大，最大面积是32平方米．22．如图，抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A（2，0）、C（0，4）两点．（1）分别求该抛物线和直线AC的解析式；（2）横坐标为m的点P是直线AC上方的抛物线上一动点，△APC的面积为S．①求S与m的函数关系式；②S是否有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由．（3）点M是直线AC上一动点，ME垂直x轴于E，在y轴（原点除外）上是否存在点F，使△MEF为等腰直角三角形？若存在，直接写出对应的点F，M的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）根据点A、C的坐标，利用待定系数法可求出一次函数和二次函数的解析式；（2）①表示P的坐标为（m，﹣2m2+2m+4），过点P作PH∥y轴交AC于点H，则H（m，﹣2m+4），求出PH的长，由S△APC＝S△PHC+S△PHA，可求出，则函数关系式可求出；②利用二次函数求最值的方法，求出△ACP面积的最大值即可；（3）根据点E在x轴上，根据点M在直线y＝﹣2x+4上，设点M的坐标为（a，﹣2a+4），然后分①∠EMF＝90°时，利用点M到坐标轴的距离相等列式求解即可；②∠MFE＝90°时，根据等腰直角三角形的性质，点M的横坐标的长度等于纵坐标长度的一半，然后列式进行计算即可得解．【解答】解：（1）设直线AC的解析式为y＝kx+b，∵A（2，0）、C（0，4），∴，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣2x+4；又∵抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A（2，0）、C（0，4）两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+2x+4；（2）①设P的坐标为（m，﹣2m2+2m+4），如图1，过点P作PH∥y轴交AC于点H，则H（m，﹣2m+4），∴PH＝﹣2m2+2m+4﹣（﹣2m+4）＝﹣2m2+4m，∵S△APC＝S△PHC+S△PHA，∴＝＝﹣2m2+4m．②∵0＜m＜2，S＝﹣2m2+4m＝﹣2（m﹣1）2+2，∴m＝1时，△APC的面积为S有最大值，最大值为2．（3）存在．理由如下：如图2，∵点M在直线y＝﹣2x+4上，∴设点M的坐标为（a，﹣2a+4），①∠EMF＝90°时，∵△MEF是等腰直角三角形，∴|a|＝|﹣2a+4|，即a＝﹣2a+4或a＝﹣（﹣2a+4），解得a＝或a＝4，∴点F坐标为（0，）时，点M的坐坐标为（），点F坐标为（0，﹣4）时，点M的坐标为（4，﹣4）；②∠MFE＝90°时，∵△MEF是等腰直角三角形，∴|a|＝|﹣2a+4|，即a＝﹣（﹣2a+4），解得a＝1，﹣2a+4＝2×1＝2，此时，点F坐标为（0，1），点M的坐标为（1，2），或a＝﹣此时无解，综上所述，点F坐标为（0，）时，点M的坐标为（），点F坐标为（0，﹣4）时，点M的坐标为（4，﹣4）；点F坐标为（0，1），点M的坐标为（1，2）．23．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，点D在边AC上，连接BD，过A作BD 的垂线交BD的延长线于点E．（1）若M，N分别为线段AB，EC的中点，如图1，求证：MN⊥EC；（2）如图2，过点C作CF⊥EC交BD于点F，求证：AE＝2BF；（3）如图3，以AE为一边作一个角等于∠BAC，这个角的另一边与BE的延长线交于P点，O为BP的中点，连接OC，求证：OC＝（BE﹣PE）．【分析】（1）连接EM、CM，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得EM＝CM；再由等腰三角形三线合一的性质得出结论；（2）证明△AEC∽△BFC，得，由AC＝2BC得AE＝2BF；（3）证明△ACB∽△AEP，得，从而知道AE＝2PE，由AE＝2BF得PE＝BF；根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得OC＝EF，代入得结论．【解答】证明：（1）如图1，连接EM、CM，∵AE⊥BE，M是AB的中点，∴EM＝AB，CM＝AB，∴EM＝CM，∵N是EC的中点，∴MN⊥EC；（2）如图2，∵∠ECF＝90°，∠ACB＝90°，∴∠ECA+∠ACF＝90°，∠ACF+∠FCB＝90°，∴∠ECA＝∠FCB，∵∠CFB＝∠ECF+∠CEF＝90°+∠CEF，∠AEC＝∠AEB+∠CEF＝90°+∠CEF，∴∠CFB＝∠AEC，∴△AEC∽△BFC，∴，∵AC＝2BC，∴AE＝2BF；（3）如图3，过点C作CF⊥EC交BD于点F，∵∠AEP＝∠ACB＝90°，∠BAC＝∠PAE，∴△ACB∽△AEP，∴，∵AC＝2BC，∴AE＝2PE，∵AE＝2BF，∴PE＝BF，∵O为BP的中点，∴PO＝BO，∴EO＝FO，∴CO＝EF＝（BE﹣BF）＝（BE﹣PE）．。
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2018-2019学年第一学期期中考试九年级数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）1．若3x﹣4y＝0，则的值是（）A．B．C．D．2．对于二次函数y＝﹣3（x﹣8）2+2，下列说法中，正确的是（）A．开口向上，顶点坐标为（8，2）B．开口向下，顶点坐标为（8，2）C．开口向上，顶点坐标为（﹣8，2）D．开口向下，顶点坐标为（﹣8，2）3．抛物线y＝3x2+2x﹣1向上平移3个单位长度后的函数解析式为（）A．y＝3x2+2x﹣4 B．y＝3x2+2x﹣4 C．y＝3x2+2x+2 D．y＝3x2+2x+3 4．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．＝D．＝5．如图，平面直角坐标系中，点A是x轴负半轴上一个定点，点P是函数y＝（x＜0）上一个动点，PB⊥y轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会（）A．先增后减B．先减后增C．逐渐减小D．逐渐增大6．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，点C在y轴的正半轴上，且OA＝OC，则（）A．ac+1＝b B．ab+1＝c C．bc+1＝a D．以上都不是7．在反比例函数中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数y＝ax2﹣ax的图象大致是下图中的（）A．B．C．D．8．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是（）A．2：3 B．C．D．9．如图，反比例函数y＝的图象过矩形OABC的顶点B，OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，OC：OA＝2：5，若直线y＝kx+3（k≠0）平分矩形OABC面积，则k的值为（）A．B．C．D．10．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形ABCD中，AD边的中点处有一动点P，动点P沿P→D→C→B→A→P运动一周，则P点的纵坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，滴分20分）11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D．若AD＝2cm，DB＝6cm，则CD＝．12．如图，正比例函数y＝kx与反比例函数的图象相交于点A、B，过B作x轴的垂线交x轴于点C，连接AC，则△ABC的面积是．13．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：则﹣2＜x＜2时，y的取值范围是．14．如图，在四边形纸片ABCD中，AB＝10，CD＝2，AD＝BC＝5，∠A＝∠B，现将纸片沿EF 折叠，使点A的对应点A′落在边AB上，连接A′C，如果△A′BC恰好是以AC为腰的等腰三角形，则AE的长是．三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）15．如图，在平面直角坐标系中，把以格点为顶点的三角形称为格点三角形（每个小方格都是边长为1的正方形）．图中△ABC是格点三角形，点A，B，C的坐标分别是（﹣4，﹣1），（﹣2，﹣3），（﹣1，﹣2）．（1）以O为旋转中心，把△ABC绕O点顺时针旋转90°后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；（2）以O为位似中心，在第一象限内把△ABC放大2倍后得到△A2B2C2，画出△2B2C2；（3）△ABC内有一点P（a，b），写出经过（2）位似变换后P的对应点P1的坐标．16．以长为2的线段为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上，如图所示．（1）求AM、DM的长；（2）求证：AM2＝AD•DM．四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）17．市政府为改善居民的居住环境，修建了环境幽雅的环城公园，为了给公园内的草评定期喷水，安装了一些自动旋转喷水器，如图所示，设喷水管AB高出地面1.5m，在B处有一个自动旋转的喷水头，﹣瞬间喷出的水流呈抛物线状．喷头B与水流最高点C的连线与地平面成45°的角，水流的最高点C离地平面距离比喷水头B离地平面距离高出2m，水流的落地点为D．在建立如图所示的直角坐标系中：（1）求抛物线的函数解析式；（2）求水流的落地点D到A点的距离是多少m？18．如图，已知△ABC，（1）按如下步骤尺规作图（保留作图痕迹）：①作AD平分∠BAC，交BC于D；②作AD的垂直平分线MN分别交AB，AC于点E、F；（2）连接DE、DF．若BD＝12，AF＝8，CD＝6，求BE的长．五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分）19．如图，函数y1＝k1x+b的图象与y2＝（x＞0）的图象交于点A（2，1）和点B，交y 轴于点C（0，3）．（1）求函数y1与y2的表达式及点B的坐标；（2）观察图象，比较当x＞0时y1与y2的大小．20．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，连接DE，F为线段DE 上一点，且∠AFE＝∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB＝4，，，求AE的长．六、（本题满分12分）21．如图，在一面靠墙的空地上用长24m的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x（m），面积S（m2）．（1）求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）若墙的最大可用长度为8m，求围成花圃的最大面积．七、（本题满分12分）22．如图，抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A（2，0）、C（0，4）两点．（1）分别求该抛物线和直线AC的解析式；（2）横坐标为m的点P是直线AC上方的抛物线上一动点，△APC的面积为S．①求S与m的函数关系式；②S是否有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由．（3）点M是直线AC上一动点，ME垂直x轴于E，在y轴（原点除外）上是否存在点F，使△MEF为等腰直角三角形？若存在，直接写出对应的点F，M的坐标；若不存在，说明理由．八、（本题满分14分）23．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，点D在边AC上，连接BD，过A作BD 的垂线交BD的延长线于点E．（1）若M，N分别为线段AB，EC的中点，如图1，求证：MN⊥EC；（2）如图2，过点C作CF⊥EC交BD于点F，求证：AE＝2BF；（3）如图3，以AE为一边作一个角等于∠BAC，这个角的另一边与BE的延长线交于P 点，O为BP的中点，连接OC，求证：OC＝（BE﹣PE）．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．若3x﹣4y＝0，则的值是（）A．B．C．D．【分析】根据等式性质，可用y表示x，根据分式的性质，可得答案．【解答】解：由3x﹣4y＝0，得x＝，当x＝时，＝＝，故选：B．2．对于二次函数y＝﹣3（x﹣8）2+2，下列说法中，正确的是（）A．开口向上，顶点坐标为（8，2）B．开口向下，顶点坐标为（8，2）C．开口向上，顶点坐标为（﹣8，2）D．开口向下，顶点坐标为（﹣8，2）【分析】根据二次函数的性质对各选项进行判断．【解答】解：y＝﹣3（x﹣8）2+2，∵﹣3＜0，∴开口向下，顶点坐标为（8，2）．故选：B．3．抛物线y＝3x2+2x﹣1向上平移3个单位长度后的函数解析式为（）A．y＝3x2+2x﹣4 B．y＝3x2+2x﹣4 C．y＝3x2+2x+2 D．y＝3x2+2x+3 【分析】利用平移规律“上加下减”，即可确定出平移后解析式．【解答】解：抛物线y＝3x2+2x﹣1向上平移3个单位长度的函数解析式为y＝3x2+2x﹣1+3＝3x2+2x+2，故选：C．4．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．＝D．＝【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．【解答】解：A、当∠ABP＝∠C时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；B、当∠APB＝∠ABC时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；C、当＝时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．故选：D．5．如图，平面直角坐标系中，点A是x轴负半轴上一个定点，点P是函数y＝（x＜0）上一个动点，PB⊥y轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会（）A．先增后减B．先减后增C．逐渐减小D．逐渐增大【分析】过点P作PC⊥x轴于点C，根据k的几何意义可知矩形PBOC的面积为6，然后只需要讨论△APC的面积大小即可．【解答】解：过点P作PC⊥x轴于点C，∵点P在y＝﹣（x＜0）∴矩形PBOC的面积为6设A的坐标为（a，0），P坐标（x，）（x＜0），△APC的面积为S，当a＜x＜0时，∴AC＝x﹣a，∴PC＝﹣∴△APC的面积为S＝（x﹣a）•＝﹣3（1﹣）∵a＜0，∴﹣a＞0，∴﹣在a＜x＜0上随着x的增大而减小，∴1﹣在a＜x＜0上随着x的增大而减小，∴﹣3（1﹣）在a＜x＜0上随着x的增大而增大，∴S＝S△APC+6∴S在a＜x＜0上随着x的增大而增大，当x≤a时，∴AC＝a﹣x，∴PC＝﹣∴△APC的面积为S＝（a﹣x）•＝﹣3（﹣1）∵a＜0，∴在x＜a随着x的增大而增大，∴﹣1在x＜a上随着x的增大而增大，∴﹣3（﹣1）在x＜a上随着x的增大而减小，∴S＝6﹣S△APC∴S在x＜a上随着x的增大而增大，∴当P的横坐标增大时，S的值是逐渐增大，故选：D．6．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，点C在y轴的正半轴上，且OA＝OC，则（）A．ac+1＝b B．ab+1＝c C．bc+1＝a D．以上都不是【分析】根据图象易得C（0，c）且c＞0，再利用OA＝OC可得A（﹣c，0），然后把A（﹣c，0）代入y＝ax2+bx+c即可得到a、b、c的关系式．【解答】解：当x＝0时，y＝ax2+bx+c＝c，则C（0，c）（c＞0），∵OA＝OC，∴A（﹣c，0），∴a•（﹣c）2+b•（﹣c）+c＝0，∴ac﹣b+1＝0，即ac+1＝b．故选：A．7．在反比例函数中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数y＝ax2﹣ax的图象大致是下图中的（）A．B．C．D．【分析】根据反比例函数的性质判断a的符号；再根据a的符号，判断二次函数y＝ax2﹣ax的图象大致位置．【解答】解：由已知，根据反比例函数的性质可得a＜0；所以抛物线y＝ax2﹣ax的开口向下，应排除A、B；因为x＝﹣＝﹣＞0，所以抛物线的对称轴在y轴的右侧，排除D．故选：C．8．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是（）A．2：3 B．C．D．【分析】由直角三角形的性质可得AC＝AB，DC＝AC，通过证明△ABE∽△DCE，可得，即可求解．【解答】解：∵∠CAB＝90°，∠B＝∠ACB＝45°，∴AC＝AB，∵∠ACD＝90°，∠D＝30°，∴DC＝AC，∵∠CAB＝∠ACD，∴AB∥CD，∴△ABE∽△DCE∴∴，故选：D．9．如图，反比例函数y＝的图象过矩形OABC的顶点B，OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，OC：OA＝2：5，若直线y＝kx+3（k≠0）平分矩形OABC面积，则k的值为（）A．B．C．D．【分析】根据题意可以求出点B的坐标，根据中点的坐标的特征，可求出OB中点的坐标，一次函数过OB中点即可把矩形的面积平分，代入求出k的值．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象过矩形OABC的顶点B，∴OA•OC＝10，∵OC：OA＝2：5，∴OC＝2，OA＝5，∴点B（5，2）连接OB，则OB的中点的坐标为（，1），把（，1）代入y＝kx+3得，k＝﹣，故选：A．10．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形ABCD中，AD边的中点处有一动点P，动点P沿P→D→C→B→A→P运动一周，则P点的纵坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是（）A．B．C．D．【分析】将动点P的运动过程划分为PD、DC、CB、BA、AP共5个阶段，分别进行分析，最后得出结论．【解答】解：动点P运动过程中：①当0≤s≤时，动点P在线段PD上运动，此时y＝2保持不变；②当＜s≤时，动点P在线段DC上运动，此时y由2到1逐渐减少；③当＜s≤时，动点P在线段CB上运动，此时y＝1保持不变；④当＜s≤时，动点P在线段BA上运动，此时y由1到2逐渐增大；⑤当＜s≤4时，动点P在线段AP上运动，此时y＝2保持不变．结合函数图象，只有D选项符合要求．故选：D．二．填空题（共4小题）11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D．若AD＝2cm，DB＝6cm，则CD＝2cm．【分析】由CD是Rt△ABC斜边AB上的高，易证得△ACD∽△CBD，由相似三角形的对应边成比例，即可求得CD的长．【解答】解：∵CD是Rt△ABC斜边AB上的高，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∴∠B+∠2＝90°，∠2+∠1＝90°，∴∠B＝∠1，∴△ACD∽△CBD，∴＝，∵AD＝2cm，DB＝6cm，∴＝，∴CD＝2（cm）．故答案是：cm．12．如图，正比例函数y＝kx与反比例函数的图象相交于点A、B，过B作x轴的垂线交x轴于点C，连接AC，则△ABC的面积是 3 ．【分析】由反比例函数、正比例函数的对称性可得，S△BOC＝S△AOC，而S△BOC＝可以通过反比例函数的关系式求得，于是S△ABC＝2S△BOC求出结果．【解答】解：由反比例函数、正比例函数的对称性可得，S△BOC＝S△AOC，S△BOC＝|k|＝，∴S△ABC＝2S△BOC＝3．故答案为：3．13．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：则﹣2＜x＜2时，y的取值范围是﹣6≤y＜3 ．【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以得到当﹣2＜x＜2时，y的取值范围．【解答】解：由表格可知，该函数的对称轴是直线x＝＝﹣1，该函数图象开口向上，x＝2和x＝﹣4时的函数值相等，则﹣2＜x＜2时，y的取值范围是：﹣6≤y＜3，故答案为：﹣6≤y＜3．14．如图，在四边形纸片ABCD中，AB＝10，CD＝2，AD＝BC＝5，∠A＝∠B，现将纸片沿EF 折叠，使点A的对应点A′落在边AB上，连接A′C，如果△A′BC恰好是以AC为腰的等腰三角形，则AE的长是1或．【分析】过点C作CM⊥AB于点M，过点D作DN⊥AB于点N，由“AAS”可证△ADN≌△BCM，可得AN＝BM，DN＝CM，即可证四边形DCMN是矩形，可得CD＝MN＝2，AN＝BM＝4，由折叠性质可得AE＝A'E，分A'C＝BC和A'C＝A'B两种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解．【解答】解：如图1，过点C作CM⊥AB于点M，过点D作DN⊥AB于点N，在△ADN和△BCM中，，∴△ADN≌△BCM（AAS）∴AN＝BM，DN＝CM，且DN∥CM，DN⊥AB∴四边形DCMN是矩形，∴CD＝MN＝2∴AN＝BM＝＝4，∵将纸片沿EF折叠，使点A的对应点A'落在AB边上，∴AE＝A'E，若A'C＝BC，且CM⊥AB，∴BM＝A'M＝4，∴AA'＝AB﹣A'B＝10﹣8＝2，∴AE＝1，若A'C＝A'B，过点A'作A'H⊥BC，如图2所示：∵CM2＝BC2﹣BM2＝A'C2﹣A'M2，∴25﹣16＝A'B2﹣（4﹣A'B）2，∴A'B＝，∴AA'＝AB﹣A'B＝10﹣＝，∴AE＝AA'＝；故答案为：1或．三．解答题（共9小题）15．如图，在平面直角坐标系中，把以格点为顶点的三角形称为格点三角形（每个小方格都是边长为1的正方形）．图中△ABC是格点三角形，点A，B，C的坐标分别是（﹣4，﹣1），（﹣2，﹣3），（﹣1，﹣2）．（1）以O为旋转中心，把△ABC绕O点顺时针旋转90°后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；（2）以O为位似中心，在第一象限内把△ABC放大2倍后得到△A2B2C2，画出△2B2C2；（3）△ABC内有一点P（a，b），写出经过（2）位似变换后P的对应点P1的坐标．【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A1、B1、C1，从而得到△A1B1C1；（2）把点A、B、C的横纵坐标都乘以﹣2得到点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可得到△2B2C2；（3）利用（2）的对应点的坐标特点求解．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，△2B2C2为所作；（3）点P的对应点P1的坐标为（﹣2a，﹣2b）．16．以长为2的线段为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上，如图所示．（1）求AM、DM的长；（2）求证：AM2＝AD•DM．【分析】（1）由勾股定理求PD，根据AM＝AF＝PF﹣PA＝PD﹣PA，DM＝AD﹣AM求解；（2）由（1）计算的数据进行证明．【解答】（1）解：在Rt△APD中，PA＝AB＝1，AD＝2，∴PD＝＝，∴AM＝AF＝PF﹣PA＝PD﹣PA＝﹣1，DM＝AD﹣AM＝2﹣（﹣1）＝3﹣；（2）证明：∵AM2＝（﹣1）2＝6﹣2，AD•DM＝2（3﹣）＝6﹣2，∴AM2＝AD•DM．17．市政府为改善居民的居住环境，修建了环境幽雅的环城公园，为了给公园内的草评定期喷水，安装了一些自动旋转喷水器，如图所示，设喷水管AB高出地面1.5m，在B处有一个自动旋转的喷水头，﹣瞬间喷出的水流呈抛物线状．喷头B与水流最高点C的连线与地平面成45°的角，水流的最高点C离地平面距离比喷水头B离地平面距离高出2m，水流的落地点为D．在建立如图所示的直角坐标系中：（1）求抛物线的函数解析式；（2）求水流的落地点D到A点的距离是多少m？【分析】（1）把抛物线的问题放到直角坐标系中解决，是探究实际问题常用的方法，本题关键是解等腰直角三角形，求出抛物线顶点C（2，3.5）及B（0，1.5），设顶点式求解析式；（2）求AD，实际上是求当y＝0时点D横坐标．【解答】解：在如图所建立的直角坐标系中，由题意知，B点的坐标为（0，1.5），∠CBE＝45°，∴△BEC为等腰直角三角形，∴BE＝2，∴C点坐标为（2，3.5）（1）设抛物线的函数解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），则抛物线过点（0，1.5）顶点为（2，3.5），∴当x＝0时，y＝c＝1.5由，得b＝﹣4a，由，得解之，得a＝0（舍去），a＝﹣，∴b＝﹣4a＝2．所以抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+．（2）∵D点为抛物线y＝﹣x2+2x+的图象与x轴的交点，∴当y＝0时，即：﹣x2+2x+＝0，解得x＝2±，x＝2﹣不合题意，舍去，取．∴D点坐标为（2+，0），∴AD＝（2+）（m）．答：水流的落地点D到A点的距离是（2+）m．18．如图，已知△ABC，（1）按如下步骤尺规作图（保留作图痕迹）：①作AD平分∠BAC，交BC于D；②作AD的垂直平分线MN分别交AB，AC于点E、F；（2）连接DE、DF．若BD＝12，AF＝8，CD＝6，求BE的长．【分析】（1）利用角平分线的作法和线段的垂直平分线的作法画出AD和EF；（2）先证明四边形AEDF为菱形得到AE＝AF＝8，DE∥AC，然后根据平行线分线段成比例定理计算BE的长．【解答】解：（1）如图，AD和EF为所作；（2）∵EF垂直平分AD，∴EA＝ED，FA＝FD，AD⊥EF，∴AD平分∠EAF，∴AD平分EF，即AD和EF互相垂直平分，∴四边形AEDF为菱形，∴AE＝AF＝8，DE∥AC，∴＝，即＝，∴BE＝16．19．如图，函数y1＝k1x+b的图象与y2＝（x＞0）的图象交于点A（2，1）和点B，交y 轴于点C（0，3）．（1）求函数y1与y2的表达式及点B的坐标；（2）观察图象，比较当x＞0时y1与y2的大小．【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数关系式可以确定反比例函数的关系式，把点A、点C的坐标代入一次函数关系式可求出一次函数的关系式，两个关系式组成方程组求出方程组的解，即为交点坐标，（2）根据图象直观得出，自变量x的在某个取值范围内两个函数值的大小，注意分段分析考虑．【解答】解：（1）把点A（2，1）代入y2＝得，k＝2，∴y2＝，把点A（2，1），点C（0，3）代入y1＝k1x+b得，，解得：k＝﹣1，b＝3，∴y1＝﹣x+3；由题意得，，解得，，；∴点B（1，2）答：函数y1的关系式为：y1＝﹣x+3；函数y2的表达式为：y2＝，点B的坐标为（1，2）．（2）观察图象可得：当0＜x＜1或x＞2时，y1＜y2，当1＜x＜2时，y1＞y2，当x＝1或x＝2时，y1＝y2，20．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，连接DE，F为线段DE 上一点，且∠AFE＝∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB＝4，，，求AE的长．【分析】（1）△ADF和△DEC中，易知∠ADF＝∠CED（平行线的内错角），而∠AFD和∠C是等角的补角，由此可判定两个三角形相似；（2）由（1）知△ADF∽△DEC，根据相似三角形的性质：对应边的比值相等即可求出DE的长，再利用勾股定理即可求出AE的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠B+∠C＝180°，∠ADF＝∠DEC．∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B∴∠AFD＝∠C∴△ADF∽△DEC；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝4，由（1）知△ADF∽△DEC，∴，∴．在Rt△ADE中，由勾股定理得：．21．如图，在一面靠墙的空地上用长24m的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x（m），面积S（m2）．（1）求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）若墙的最大可用长度为8m，求围成花圃的最大面积．【分析】（1）根据花圃的宽AB为x米，得出BC，再根据长方形的面积公式列式计算即可；（2）根据S与x之间的函数关系式，结合x的取值范围求出函数的最值即可．【解答】解：（1）∵花圃的宽AB为x米，∴BC＝（24﹣4x）米，∴S＝x（24﹣4x）＝﹣4x2+24x（0＜x＜6）；（2）∵S＝﹣4x2+24x＝﹣4（x﹣3）2+36，∵24﹣4x≤8，∴x≥4，∵0＜x＜6，∴4≤x＜6，∵a＝﹣4＜0，∴S随x的增大而减小，∴当x＝4时，S最大值＝32，答；当x取4时所围成的花圃的面积最大，最大面积是32平方米．22．如图，抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A（2，0）、C（0，4）两点．（1）分别求该抛物线和直线AC的解析式；（2）横坐标为m的点P是直线AC上方的抛物线上一动点，△APC的面积为S．①求S与m的函数关系式；②S是否有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由．（3）点M是直线AC上一动点，ME垂直x轴于E，在y轴（原点除外）上是否存在点F，使△MEF为等腰直角三角形？若存在，直接写出对应的点F，M的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）根据点A、C的坐标，利用待定系数法可求出一次函数和二次函数的解析式；（2）①表示P的坐标为（m，﹣2m2+2m+4），过点P作PH∥y轴交AC于点H，则H（m，﹣2m+4），求出PH的长，由S△APC＝S△PHC+S△PHA，可求出，则函数关系式可求出；②利用二次函数求最值的方法，求出△ACP面积的最大值即可；（3）根据点E在x轴上，根据点M在直线y＝﹣2x+4上，设点M的坐标为（a，﹣2a+4），然后分①∠EMF＝90°时，利用点M到坐标轴的距离相等列式求解即可；②∠MFE＝90°时，根据等腰直角三角形的性质，点M的横坐标的长度等于纵坐标长度的一半，然后列式进行计算即可得解．【解答】解：（1）设直线AC的解析式为y＝kx+b，∵A（2，0）、C（0，4），∴，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣2x+4；又∵抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A（2，0）、C（0，4）两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+2x+4；（2）①设P的坐标为（m，﹣2m2+2m+4），如图1，过点P作PH∥y轴交AC于点H，则H（m，﹣2m+4），∴PH＝﹣2m2+2m+4﹣（﹣2m+4）＝﹣2m2+4m，∵S△APC＝S△PHC+S△PHA，∴＝＝﹣2m2+4m．②∵0＜m＜2，S＝﹣2m2+4m＝﹣2（m﹣1）2+2，∴m＝1时，△APC的面积为S有最大值，最大值为2．（3）存在．理由如下：如图2，∵点M在直线y＝﹣2x+4上，∴设点M的坐标为（a，﹣2a+4），①∠EMF＝90°时，∵△MEF是等腰直角三角形，∴|a|＝|﹣2a+4|，即a＝﹣2a+4或a＝﹣（﹣2a+4），解得a＝或a＝4，∴点F坐标为（0，）时，点M的坐坐标为（），点F坐标为（0，﹣4）时，点M的坐标为（4，﹣4）；②∠MFE＝90°时，∵△MEF是等腰直角三角形，∴|a|＝|﹣2a+4|，即a＝﹣（﹣2a+4），解得a＝1，﹣2a+4＝2×1＝2，此时，点F坐标为（0，1），点M的坐标为（1，2），或a＝﹣此时无解，综上所述，点F坐标为（0，）时，点M的坐标为（），点F坐标为（0，﹣4）时，点M的坐标为（4，﹣4）；点F坐标为（0，1），点M的坐标为（1，2）．23．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，点D在边AC上，连接BD，过A作BD 的垂线交BD的延长线于点E．（1）若M，N分别为线段AB，EC的中点，如图1，求证：MN⊥EC；（2）如图2，过点C作CF⊥EC交BD于点F，求证：AE＝2BF；（3）如图3，以AE为一边作一个角等于∠BAC，这个角的另一边与BE的延长线交于P点，O为BP的中点，连接OC，求证：OC＝（BE﹣PE）．【分析】（1）连接EM、CM，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得EM＝CM；再由等腰三角形三线合一的性质得出结论；（2）证明△AEC∽△BFC，得，由AC＝2BC得AE＝2BF；（3）证明△ACB∽△AEP，得，从而知道AE＝2PE，由AE＝2BF得PE＝BF；根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得OC＝EF，代入得结论．【解答】证明：（1）如图1，连接EM、CM，∵AE⊥BE，M是AB的中点，∴EM＝AB，CM＝AB，∴EM＝CM，∵N是EC的中点，∴MN⊥EC；（2）如图2，∵∠ECF＝90°，∠ACB＝90°，∴∠ECA+∠ACF＝90°，∠ACF+∠FCB＝90°，∴∠ECA＝∠FCB，∵∠CFB＝∠ECF+∠CEF＝90°+∠CEF，∠AEC＝∠AEB+∠CEF＝90°+∠CEF，∴∠CFB＝∠AEC，∴△AEC∽△BFC，∴，∵AC＝2BC，∴AE＝2BF；（3）如图3，过点C作CF⊥EC交BD于点F，∵∠AEP＝∠ACB＝90°，∠BAC＝∠PAE，∴△ACB∽△AEP，∴，∵AC＝2BC，∴AE＝2PE，∵AE＝2BF，∴PE＝BF，∵O为BP的中点，∴PO＝BO，∴EO＝FO，∴CO＝EF＝（BE﹣BF）＝（BE﹣PE）．。