流体力学习题解答 (解答)

习题一 场论和张量代数

(习题一中黑体符号代表矢量)

1．(一)用哈密顿符号法证明：

rot n n n n n n n n n n n n n n

C C ⨯=-⨯∇⨯=-⨯∇⨯=-∇⋅+⋅∇=-∇⋅+⋅∇()()()()()()C 1

2

因为n 为单位向量，n n ⋅=1，故 ∇⋅=()n n 0，于是rot n n n n ⨯=⋅∇(). 注意： 将rot n n ⨯写成rot n n n n ⨯=∇⨯⨯()是不正确的。右端表示矢量

][)(p

k q jpq

ijk x n n ∂∂εε.

直接写rot n n n n n n n n ⨯=-⨯∇⨯=-∇⋅+⋅∇()()()尽管也能给出证明，但由第二步(反用混合积公式)到第三步却是错误的，一定要引入辅助矢量n C 才能进行正确的推导。 (二)张量表示法证明：

()()1()()2n n n ijk jmn

k jik jmn k im kn km in k m m m

k i k k k k i k i

n n n

n n n x x x n n n n n n x x x εεεεδδδδ∂∂∂⨯==-=--∂∂∂∂∂∂⋅=-

+=-+⋅∇=⋅∇∂∂∂rot n n n n n n

2．(一)哈密顿符号法：

grad(a n a n n a n a ⋅=∇⋅=⨯∇⨯+⋅∇)()()()； rot(a n a n n a n a ⨯=∇⨯⨯=⋅∇-∇⋅)()()().

于是

n a n a n n n a n a n n a a a ⋅⋅-⨯=⋅⨯∇⨯+∇⋅=⋅∇⋅=∇⋅=[()()][()()]()grad rot div

(二)张量表示法：

()()[grad()rot()]()j j j p k i ijk i j ijk kpq q i j i j j p j i

i j ip jq iq jp q i j j i j i j a n a a n n n n x x x x a a a a n n n n n n x x x x εεεδδδδ⎛⎫

⎛⎫∂∂∂∂⨯⋅⋅-⨯=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝

⎭⎡⎤∂∂∂∂=--=-⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥⎣⎦a n n a n a n div j i j j

i i j

a n x a Q n n Q x ⎡⎤∂+⎢⎥

∂⎢⎥⎣⎦∂=+=+∂ a

其中()0j j i i i j

j

i j j i i

j i j

a a a a

Q n n n n n n n x x x x ∂∂∂∂=-=-=∂∂∂∂(进行j i ,指标互换)，证毕。 3．(一)哈密顿符号法：

注意到哈密顿算子对它右端所有的矢量都起作用，有

()()()∇⨯⨯=∇⨯⨯+∇⨯⨯a b a b a b C C

根据矢量混合积的公式，上式右边第一项

b

a b a b a b a b a b a b a b a b a C C )(]

)()([)()()()(∇⋅-⨯-=∇⋅+⨯∇⨯-⋅∇=⋅∇-⋅∇=⨯⨯∇rot div C C C

上式右边第二项

b a a b a b b a C ⨯=⨯-=⨯∇⨯-=⨯⨯∇rot rot )()(C

两项相加即证。

(二)张量表示法：

左端可用张量记号表示和整理

j

j i i k k j j i k i k j

n k n j k ij nk ki nj j n k mjk

imn x b a x b

a b x a b x a x b

a b x a x b a ∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-

=∂∂+∂∂-=∂∂=⨯⨯∇ ))((])([)(δδδδεεb a

同理，右端可用张量记号表示和整理

-⋅∇-⨯⨯+()a b a b a b a b rot +rot div =

j

j i

k m n

jm n ijk m n km n j ijk j i j

x b a b x a x b a x b a ∂∂+∂∂+∂∂-∂∂-][][εεεε =j j i

k m n

m k in nk im m n j in jm jn im j i j

x b a b x a x b a x b a ∂∂+∂∂--∂∂--∂∂-)()(δδδδδδδδ =j

j i

k k i k i k j i j i j j j i j

x b a b x a

b x a x b a x b a x b a ∂∂+∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂- =j

j i

k k i

k i k i j

j

x b a b x a b x a x b a ∂∂+∂∂+∂∂-∂∂- 4．证明：根据张量运算规则，

()()11,,22ij ij ji ij ij ji P S A s p p a p p =+=

+=- ，定义w 为 1

2

i ijk jk w p ε=。 ()()()i ij j i ij j ij i j i j P P u p p u p u u ⋅⋅-⋅⋅=-=-u v v u v v v v ，

另外，2()()()ijk jk imn m n jm kn km jn jk m n jk j k k j p u v p u v p u v u v εεδδδδ⋅⨯==-=-w u v

显然以上两等式右端相等，得证。

附：