数学分析考研真题试题推荐
数学分析考研试题及答案
数学分析考研试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)在点x=a处可导，则下列说法正确的是：A. f(x)在x=a处连续B. f(x)在x=a处不可导C. f(x)在x=a处不一定连续D. f(x)在x=a处可微答案：A2. 极限lim(x→0)(sinx/x)的值为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B3. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点为：A. 1B. 2C. 3D. 1和2答案：D4. 若函数f(x)在区间(a,b)上连续，则下列说法错误的是：A. f(x)在(a,b)上必有最大值B. f(x)在(a,b)上必有最小值C. f(x)在(a,b)上可以没有最大值D. f(x)在(a,b)上可以没有最小值答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2+3x+2，则f'(x)=_________。
答案：2x+32. 函数y=x^3-3x+1在x=1处的切线斜率为_________。
答案：13. 设函数f(x)=ln(x)，则f'(x)=_________。
答案：1/x4. 若函数f(x)=x^2-4x+c在x=2处取得极小值，则c=_________。
答案：4三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的单调区间。
答案：函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-12x+11。
令f'(x)>0，解得x<1或x>3；令f'(x)<0，解得1<x<3。
因此，函数f(x)在(-∞,1)和(3,+∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减。
2. 求极限lim(x→0)(x^2sinx/x^3)。
答案：lim(x→0)(x^2sinx/x^3) = lim(x→0)(sinx/x^2) = 0。
3. 证明函数f(x)=x^3+3x^2-9x+1在x=-3处取得极小值。
武汉大学近二十年数学分析考研真题
其中 N > 0 为一常数，且逐点有 fn (x) → f (x) （当 n → +∞ ）。证明： （1） f (x) 在[a,b] 上连续。
（2） fn (x)→ f (x) 。
6．设
f
(x,
y)
=
⎪⎪⎧ g ( x, ⎨
y ) sin
⎪0,
⎪⎩
1, x2 + y2
(x, y) ≠ (0,0)
，证明
+
1 32
−
1 4
+
1 52
+"+
1 (2n −1)2
−
1 2n
+ " 是否收敛？为什么？
∑ 3．求级数 ∞ ⎜⎛1 + 1 ⎟⎞n(n+1) x n 的收敛区域。
n=1 ⎝ n ⎠ 4．求函数 f (x, y, z) = xyz 在条件 x + y = 1 及 x − y + z 2 = 1下的极值。
∫+∞⎡
lim
n→+∞
−∞⎢⎣
f
⎜⎛ ⎝
y
+
1 n
⎟⎞ − ⎠
f
⎤ ( y)⎥⎦dy
=
0。
3．设 f (x, y) 为连续函数，且当 (x, y) ≠ (0,0) 时，f (x, y) > 0 ，及满足 f (cx,cy) = cf (x, y) ，
∀c > 0 。证明存在α , β > 0 ，使得α x2 + y 2 ≤ f (x, y) ≤ β x2 + y 2 。
其中
∆u
=
∂2u ∂x 2
+
数学分析考研试题及答案
数学分析考研试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，哪个不是有界函数？A. f(x) = sin(x)B. f(x) = e^xC. f(x) = x^2D. f(x) = 1/x2. 函数f(x) = x^3在区间(-∞, +∞)上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 有增有减D. 常数函数3. 如果函数f(x)在点x=a处连续，那么：A. f(a)存在B. f(a) = 0C. lim(x->a) f(x) = f(a)D. lim(x->a) f(x) 不存在4. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/4C. 1/2D. 2/35. 函数序列fn(x) = x^n在[0, 1]上一致收敛的n的取值范围是：A. n = 1B. n > 1C. n < 1D. n = 26. 级数∑(1/n^2)是：A. 收敛的B. 发散的C. 条件收敛的D. 无界序列7. 如果函数f(x)在区间[a, b]上可积，那么：A. f(x)在[a, b]上连续B. f(x)在[a, b]上一定有界C. f(x)在[a, b]上单调递增D. f(x)在[a, b]上无界8. 函数f(x) = |x|在x=0处：A. 连续B. 可导C. 不连续D. 不可导9. 微分方程dy/dx + y = 0的通解是：A. y = Ce^(-x)B. y = Ce^xC. y = Csin(x)D. y = Ccos(x)10. 函数f(x) = e^x在x=0处的泰勒展开式是：A. f(x) = 1 + x + ...B. f(x) = x + ...C. f(x) = 1 + x^2 + ...D. f(x) = 1 + x^3 + ...二、填空题（每题4分，共20分）11. 极限lim(x->0) (sin(x)/x) 的值是 _______。
12. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的拐点是 _______。
考研数学分析试题及答案
考研数学分析试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a) = f(b) = 0，若f(x)在区间(a, b)内至少有一个最大值点，则下列说法正确的是（）。
A. f(x)在[a, b]上必有最大值B. f(x)在[a, b]上必有最小值C. 函数f(x)在[a, b]上单调递增D. 函数f(x)在[a, b]上单调递减2. 下列级数中，发散的是（）。
A. ∑(-1)^n / nB. ∑1/n^2C. ∑(1/n - 1/(n+1))D. ∑sin(n)3. 已知函数F(x)在点x=c处可导，且F'(c)≠0，那么下列说法中正确的是（）。
A. F(x)在x=c处连续B. 函数F(x)在x=c处一定取得最大值或最小值C. 可导性不能保证函数的连续性D. F(x)在x=c处取得极值4. 对于函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 5，其在区间[1, 5]上的最大值是（）。
A. 5B. 10C. 15D. 205. 设f(x)在[a, b]上可积，若∫[a, b] f(x) dx = 10，则下列说法中错误的是（）。
A. f(x)在[a, b]上非负B. 存在x₀∈[a, b]，使得f(x₀) > 0C. 存在x₀∈[a, b]，使得f(x₀) = 10/b - aD. f(x)可以是负函数6. 函数f(x) = e^x / (1 + e^x)的值域是（）。
A. (-∞, 0)B. (0, 1/2)C. (0, 1)D. (1/2, +∞)7. 下列选项中，不是有界函数的是（）。
A. y = sin xB. y = e^xC. y = x^2D. y = 1/x8. 设函数f(x)在点x=1处可导，且f'(1) = 2，那么f(1 + h) - f(1)在h趋近于0时的表达式是（）。
A. 2hB. 2h + o(h)C. h^2D. o(h)9. 对于函数f(x) = x^2，其在区间[-1, 1]上满足拉格朗日中值定理的条件，且存在ξ∈(-1, 1)，使得（）。
安徽大学数学科学学院数学分析历年考研真题汇编(含部分答案)
目录2002年安徽大学数学分析考研真题及详解（答案仅供参考）说明：以下试题答案为网上搜集整理，仅供参考，特此说明！一、（15分）判定下列命题的真伪，若真，给出证明；若伪，举出反例．1．数列收敛于的充要条件是对任意给定的正数，中含有的无限多项．答：不真，如，在中有中的无限多项，而不收敛（关键是在邻域外面只有有限项）．2．函数在上可积，一定绝对可积．答：真．因为在上可积，则某个分割，s.t.,而故即在上可积，所以在上绝对可积．3．若存在，则与均存在．答：不真．例如，显然有但是不存在．（构造函数要具有特殊性，里面有一个）．二、（16分）叙述数列收敛的柯西（Cauchy）收敛原理，并证明之．答：柯西收敛原理如下：数列收敛时有．证明如下：（）设，则，当时因而故必要性成立．（）先证明有界．取，当及时有则．令，则．将二等分，将含有无穷多项的那部分记作；再将二等分，将含有无穷多项的那部分记作，如此下去得到区间列，且因此是一个区间列；由区间套定理知．因此在含有的无穷多项，从而，即收敛．三、（14分）设函数在上可导，对于任意的有且证明：存在唯一的使得．证明：由题意知，作辅助函数，则由零点存在定理知，使得，即．由知．假设在内有两个零点且由Rolle定理知，，使得，即，这与相矛盾，故在内存在唯一的零点，即．四、（16分）讨论二元函数在原点处的连续性及可微性．解：对当时有故在处连续．由偏导数公式可得又，从而不唯一，所以在处不可微．五、（15分）设有级数1．当取何值时，级数条件收敛；2．当取何值时，级数绝对收敛；3．证明级数在上内闭一致收敛．解：因为1．当时，收敛，此时绝对收敛．2．当，由于的部分和数列有界，单调递减且，由Diric hlet判别法知收敛．当时，绝对收敛．从而当时绝对收敛，条件收敛．3．对任意的，由，有由Cauchy收敛准则知在上一直收敛，故在内闭一致收敛．六、（12分）计算曲面积分，其中为锥面在柱体的内部．解：因为所以七、（12分）证明函数在上具有无限次的导数．证明：（1）先证明在上可微．,,使得在上，考察由于，，而由比较判别法知级数收敛，从而可知函数项级数在上一致收敛．故函数在上可微且特别地，由的任意性，在上可微，且（2）在证明对任意的，均有成立．事实上，当时，由（1）知结论成立．假设时结论也成立，则当时，考察由于而，故级数收敛，从而函数项级数在上一致连续，故函数在上可微，且由以上证明可知在上无穷次可微．2004年安徽大学441数学分析考研真题2005年安徽大学440数学分析考研真题2006年安徽大学440数学分析考研真题2007年安徽大学440数学分析考研真题2008年安徽大学811数学分析考研真题2009年安徽大学数学分析考研真题2010年安徽大学数学分析考研真题2011年安徽大学数学分析考研真题及详解（答案仅供参考）1．求极限．解：2．计算，为取逆时针方向．解：记，，则而由格林公式知3．计算，为，．解：计算如下4．求函数在闭区域上的最大值与最小值．解：由，知的极值点为且．求在上的最大值与最小值．利用Lagrange乘数法，记则知或直接计算有故．由知而其有非零解（否则与矛盾）。
硕士研究生数学分析真题试卷
硕士研究生数学分析真题试卷一、选择题（每小题 5 分，共 30 分）1、函数＄f(x) ＝＼frac{x^2 1}｛x 1}＄在＄x ＝ 1$ 处（）A 连续B 可导C 有极限但不连续D 以上都不对2、设函数＄f(x)＄在＄a,b$ 上连续，在＄（a,b)＄内可导，且＄f(a) ＝ f(b)＄，则在＄（a,b)＄内（）A 至少存在一点＄＼xi$，使得＄f'（＼xi) ＝ 0$B 一定不存在点＄＼xi$，使得＄f'（＼xi) ＝ 0$C 恰存在一点＄＼xi$，使得＄f'（＼xi) ＝ 0$D 不一定存在点＄＼xi$，使得＄f'（＼xi) ＝ 0$3、下列级数收敛的是（）A ＄＼sum_{n=1}＾｛＼infty} ＼frac{1}｛n}＄B ＄＼sum_{n=1}＾｛＼infty} ＼frac{（－1)＾n}｛n}＄ C ＄＼sum_{n=1}＾｛＼infty}＼frac{1}｛n^2}＄ D ＄＼sum_{n=1}＾｛＼infty} ＼frac{1}｛＼sqrt{n}｝＄4、函数＄f(x) ＝ x^3 3x^2 ＋ 2$ 的单调递增区间是（）A ＄（＼infty, 0)＄B ＄（0, 2)＄C ＄（2, ＋＼infty)＄D ＄（＼infty, 0) ＼cup （2, ＋＼infty)＄5、设函数＄f(x)＄具有二阶连续导数，且＄f(0) ＝ 0$，＄f'（0)＝ 1$，＄f'＇（0) ＝ 2$，则＄＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{f(x) x}｛x^2}＄等于（）A 0B 1C 2D 不存在6、曲线＄y ＝＼ln x$ 上与直线＄x ＋ y ＝ 1$ 垂直的切线方程为（）A ＄y ＝ x 1$B ＄y ＝ x ＋ 1$C ＄y ＝ x ＋ 1$D ＄y ＝ x 1$二、填空题（每小题 5 分，共 30 分）1、极限＄＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼sin 3x}｛x}＄＝＿_______。
华中师范大学数学分析历年考研真题卷珍藏版
华中师范大学数学分析考研真题以上是01年数分2003年数学分析（综合卷）1.(16)求下列极限：(1))/1(2)!(lim n n n +∞→. (2))(x f 在]1,1[-上连续，恒不为0，求131sin )(1lim 30--+→x x x x f2.(15)设)(x f 在],[b a 上二阶可导,过点))(,(a f a A 与))(,(b f b B 的直线与曲线)(x f y =相较于))(,(c f c C ,其中b c a <<,证明:在),(b a 中至少存在一点ξ,使0)(=''ξf .3.(15) 证明:x x n n 21ln ∑∞=在]1,0(上一致收敛.4.(15) 设))}({(x f n 是],[b a 上的函数序列,满足对每一个],[b a x ∈导函数)(x f n '存在),2,1( =n 并且满足下列条件:(1)存在某一个],[0b a x ∈,使))}({(0x f n 收敛；(2)导函数列)}({x f n '在],[b a 上一致收敛. 证明: )}({x f n 在],[b a 上一致收敛.5.(14)设)(x f 在],[b a 上可导,其导函数)(x f '在],[b a 可积,对任意的自然数n .记⎰∑---+==ba n i n dx x f n ab n a b i a f )()(1σ , 证明:)]()([2lim a f b f a b n n n --=+∞→σ.2004年数学分析1.求下列极限(共50分,第1,2小题各10分,第3,4小题各15分)(1)21sin 0lim(cos )x x x →(2)n(3)74lim x x →∞- (4)1lim sin (sin)2n n k k n nππ→∞=∑ 2.(15)设)(),(x g x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,若12,x x 是)(x f 在区间],[b a 上的两个零点，证明：存在[,]a b ξ∈，使得'()()'()0f f g ξξξ+=3.(15)设)(x f 在)0](,[>>a b b a 上连续,在),(b a 内可导,证明:在),(b a 内存在,ξη使b a f f ⋅'⋅=')()(2ηηξ.4.(15)设)(x f 在],[b a 上黎曼可积,证明:()f x e 在],[b a 上也是黎曼可积的.5.(15)'()(1,2,3,n f x n =…）在],[b a 上连续,函数)(x g 在],[b a 上也连续,且对],[b a 中任意的12,x x 和正整数n ,有1212|()()|||n n M f x f x x x n -≤-(0>M ),证明:lim ().'()0b n n a g x f x dx →+∞=⎰. 6.(15)设()n f x ( ,2,1=n )在],[b a 上连续,且{()}n f x 在],[b a 上一致收敛与)(x f .证明:(1)存在0>M ,使对任何自然数n ,有|()|,|()|n f x M f x M ≤≤及. (2)若)(x F 为-∞+∞（，）上连续函数,则(())n F f x 一致收敛于))((x f F . 7.(10)设函数)(x f 在闭区间]1,1[-上具有三阶连续导数,且0)0(,1)1(,0)1(='==-f f f ,证明:在)1,1(-内至少存在一点ξ,使得(3)()3fξ=.8.(15)函数),(y x F 在点00(,)x y 的某个邻域内有连续的二阶偏导数,且00000000(,)0,'(,)0,'(,)0,''(,)0x y xx F x y F x y F x y F x y ==><,证明:由方程),(y x F 确定的隐函数()y f x =在0x 点取得极小值. 2005年数学分析1.求下列极限或指定函数的值:(1)1!2!3!!lim !n n n →∞++++(10分) (2)5(21)lim 62n n n→∞-分) (3)132lim [().2x x x x x e →+∞-+(10分) (4)设)(x f 在0=x 的邻域二阶可导,且130()lim(1)x x f x x e x →++=,求(0),'(0),''(0)f f f 的值.(15分) 2.(15)设函数)(),(x g x f 在],[b a 上可导,且在),(b a 上'()0g x ≠,证明:存在)()'()(,)()()'()f a f f a bg g b g ξξξξξ-∈=-(使. 3.(15)设函数()f x 在]4,2[上有连续的一阶导函数,且(2)(4)0f f ==,证明：4242max |'()||()|x f x f x dx ≤≤≥⎰. 4.(13)设有方程.sin (01)x m q x q =+<<.若0101,.sin ,,sin ,,n n x m x m q x x m q x +==+=+证明:{}n x 收敛; 设lim n n x l →+∞=,再证明l 是方程.sin x m q x =+的唯一解.5.(13)证明:函数项级数11((1))x n n x e n n ∞=-+∑在任何有穷区间[,]a b 上一致收敛. 6.(13)设()f x 在[,]a b 上二阶可导,且''()0f x >,证明:1()()2ba ab f f x dx b a +≤-⎰. 7.(13)设12,,,,n a a a 均为常数,证明:函数项级数101..!x n t n n a t e dt n ∞-=∑⎰在[,]a b 上一致收敛. 8.(13)设()f x 在[,]a b 上黎曼可积，()0,f x c ≥≥用可积准则证明：函数ln ()f x 在[,]a b 上黎曼可积.9.(10)设()f x 在[,]a b 上具有连续的二阶导数,证明:在(,)a b 内存在ξ,使得31()()()().''()224ba ab f x dx b a f b a f ξ+=-+-⎰ 2006年数学分析1.(30) (1)111sin )1(sin lim 121----→x x e x x . (2) 设x x a x y +=,求y '. (3) dx x x ⎰+ln 1ln ln . (4)设yx y x y x f y arcsin )1(),(2-+=,求)1,(x f x '.(5)dxdy e y x y xD 22)(+⎰⎰+,其中}1),{(22≤+=y x y x D . (6) 求⎰-=Lydx ydy x I cos sin ,其中L 是从点)0,0(O 到点)0,(πA 的正弦曲线有x y sin =. 2.(20)设)(x f 在(,)a +∞上可导,且'()f x 在(,)a +∞上有界,证明:(1) )(x f 在(,)a +∞上一致连续. (2)()lim ()lim ()x x a f a f x f x ++→∞→=存在，但不一定存在. (3)若)(lim x f x +∞→存在，且)(lim )(lim x f x f ax x +→+∞→=，则)(x f '在(,)a +∞上至少有一个零点。
数学分析考研真题答案
数学分析考研真题答案一、选择题1. 极限的概念是数学分析中最基本的概念之一。
下列选项中，哪一个是极限的定义？A. 函数在某一点的值B. 函数在某一点的左极限与右极限相等时的值C. 函数在某一点的值趋于一个常数D. 函数在某一点附近的行为答案： C2. 以下哪个选项是连续函数的定义？A. 在某点可导B. 在某点的极限存在且等于函数值C. 在某区间内的所有点都有定义D. 在某区间内的所有点都有定义且可导答案： B二、填空题1. 若函数\( f(x) \)在点\( x_0 \)处可导，则\( f(x) \)在\( x_0 \)处的导数定义为\( \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) -f(x_0)}{h} \)。
答案： \( \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \)2. 定积分\( \int_{a}^{b} f(x) \, dx \)的几何意义是函数\( f(x) \)在区间\( [a, b] \)上的曲线与x轴所围成的面积。
答案：曲线与x轴所围成的面积三、解答题1. 证明：若函数\( f(x) \)在区间\( [a, b] \)上连续，则定积分\( \int_{a}^{b} f(x) \, dx \)存在。
证明：由于\( f(x) \)在\( [a, b] \)上连续，根据连续函数的性质，\( f(x) \)在\( [a, b] \)上是一致连续的。
根据达布定理（Darboux's Theorem），对于任意的分割\( P \)，上和\( U(f, P) \)与下和\( L(f, P) \)之差\( U(f, P) - L(f, P) \)可以任意小。
因此，存在一个共同的极限\( I \)，即\( \lim_{||P|| \to 0} U(f, P) = \lim_{||P|| \to 0} L(f, P) = I \)，这就证明了定积分\( \int_{a}^{b} f(x) \, dx \)的存在性。
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数学分析考研真题试题推荐
数学分析是考研数学科目中的一项重要内容，也是很多考生头疼的难点。
在备考过程中，了解和熟悉真题试题是非常重要的，因为真题试题能够帮助考生更好地了解考试的难度和出题的规律。
本文将推荐一些数学分析的真题试题，希望对考生备考有所帮助。
一、极限与连续
1. 设函数f(x)满足f(0)=0，且对任意x，y满足|f(x)-f(y)|≤|x-y|^2，证明f(x)在x=0处可导，并求出f'(0)的值。
这道题考察了函数的局部性质和极限的定义。
通过对函数的性质进行分析，可以得出函数在x=0处可导，并且求出导数的值。
2. 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且对任意的x∈[a,b]，有f(x)≥0。
证明：若∫[a,b]f(x)dx=0，则在[a,b]上f(x)恒为0。
这道题考察了积分与连续函数之间的关系。
通过对积分的性质进行分析，可以得出函数在[a,b]上恒为0的结论。
二、微分中值定理与导数的应用
1. 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0。
证明：存在ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0。
这道题考察了导数的中值定理的应用。
通过对函数在区间[a,b]上连续和可导的性质进行分析，可以得出存在ξ使得f'(ξ)=0的结论。
2. 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f'(x)≠0。
证明：f(x)在区间(a,b)上严格单调。
这道题考察了导数与函数单调性的关系。
通过对导数的性质进行分析，可以得
出函数在区间(a,b)上严格单调的结论。
三、积分与定积分
1. 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且对任意的x∈[a,b]，有f(x)≥0。
证明：
∫[a,b]f(x)dx=0的充要条件是f(x)在[a,b]上恒为0。
这道题考察了定积分与连续函数之间的关系。
通过对定积分的性质进行分析，
可以得出函数在[a,b]上恒为0的充要条件。
2. 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且对任意的x∈[a,b]，有f(x)>0。
证明：
∫[a,b]f(x)dx>0。
这道题考察了定积分与连续函数之间的关系。
通过对定积分的性质进行分析，
可以得出定积分的值大于0的结论。
以上是数学分析的一些真题试题推荐，通过对这些试题的学习和分析，考生可
以更好地了解数学分析的考点和解题思路。
在备考过程中，多做一些真题试题，并结合教材进行练习，可以提高解题能力和应对考试的能力。
希望考生在备考
中取得好成绩！。