数学分析考题2

《数学分析》考试试题一、叙述题1叙述闭区间套定理；2用肯定的形式叙述函数)(x f 在数集D 上无上阶；3叙述Rolle 微分中值定理；二、计算题1 求极限x x x x )11(lim -+∞→ ； 2 求摆线⎩⎨⎧-=-=ty t t x cos 1sin π20≤≤t ， 在π=t 处的二阶导数22dx y d 的值； 3 设x e x f =)(2，求不定积分⎰dx x x f )( ；4 求不定积分⎰-+dx e ex x 1arctan 2 ；三、讨论题 1讨论函数=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧≤0 ,00 , 1sin x x x x 在0=x 点处的左、右导数； 2设221)(xn nx x f n += ，[]A e x .∈ ，)0(+∞ A e 2 1 ）、、（ =n ，讨论)(x f n 在[]A e .上的单调性的最大值点；四、证明题1用定义证明21121lim=-+∞→x x x ； 2证明：方程033=+-c x x ，（其中c 为常数）在[]1,0上可能有两个不同的实根；3若数列{}n x 收敛于a （有限数），它的任何子列{}k n x 也收敛于a 。

（十一） 一年级《数学分析》考试题 一（ 满分 1 0 分，每小题 2 分）判断题：1 设数列}{n a 递增且 （有限）. 则有}sup{n a a =. ( )2 设函数)(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义. 若对)(0x U x n ∈∀,当0x x n →时, 数列)}({n x f 都收敛于同一极限. 则函数)(x f 在点0x 连续. ( )3 设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义. 若存在实数A ,使0→∆x 时,),()()(00x x A x f x x f ∆=∆--∆+ 则)(0x f '存在且A x f =')(0. ( )4 若),(0)( ,0)()(2121x f x f x f x f ''<<''='='则有).()(21x f x f >( )5 设 ⎰⎰+=+=c x G dx x g c x F dx x f )()( ,)()(. 则当)()(x G x F ≠时,有)()(x g x f ≠. ( )二（ 满分 1 5 分，每小题 3 分）填空题: 1 =+=∞→+=∑n n n k n a k n a lim .911612 . 2 函数 |3|ln 3)(--=x x x f 的全部间断点是 . 3. )1ln()(2x x f +=, 已知 56)2()(lim 000=--→h h x f x f h , =0x . 4. 函数193)(23+--=x x x x f 的既递减又下凸的区间是 .5. ⎰⎰='+=dx x f x c x dx x f )( ,sin )(2 .二 （ 满分 3 6 分，每小题 6 分）计算题: 1 1111lim 30-+-+→x x x .2 求函数54)15(4)(+-=x x x f 的极值 . 3 ⎰+12x xdx . 4 ⎰++dx x x )1ln(2. 5 ⎰+-+dx x x x 5232. 6 在边长为 a 的正三角形的三个角上剪去长为x 的四边形(如右上图),然后折起来做成底为正三角形的盒子. 求最大体积 .三 （ 满分 7 分）验证题: 用“δε-”定义验证函数 254)(2-+=x x x f 在点20=x 连续 . 四 （ 满分 3 2 分，每小题 8 分）证明题:1 设函数f 在区间]2 , 0 [a 上连续 , 且 ) 2 () 0 (a f f =. 试证明 :] , 0 [ a c ∈∃, 使 )() (a c f c f +=.2 设函数)(x f 在区间 I 上可导, 且导函数 )(x f '在该区间上有界 .试证明函数 )(x f 在区间 I 上一致连续 .3 设函数)(x f 在区间] , 0 [a 上二阶可导,且 0) (=a f . )()(2x f x x F =.试证明: ) , 0 ( a ∈∃ξ, 使 0) (=''ξF .4 试证明: 对 R ∈∀n x x x ,,, 21 , 有不等式 nx x x n x x x n n 2222121 +++≤+++ .（十二） 一年级《数学分析》考试题一 判断题（正确的记（√ ），错误的记（×））（共18分，每题3分）：1. 设)(x f 在],[b a 上连续，M 与m 分别是)(x f 的最大值和最小值，则对于任何数)(M c m c ≤≤，均存在],[b a ∈ξ，使得c f =)(ξ。

（ ）2. 设)(),(t g x f 在),(b a 内可导，且)()(x g x f >，则)(')('x g x f >。

（ ）3. 设}{n x 的极限存在，}{n y 的极限不存在，则}{n ny x +的极限未必不存在。

（ ）4. 如0x x =是函数)(x f 的一个极点，则0)('0=x f 。

（ ）二 证明：欧氏空间的收敛点列必是有界的。

（10分）三 证明：n R 中任意有界的点列中必有收敛的子点列。

（10分）四 计算下列极限：（9分） 1 xxy y x )sin(lim )0,0(),(→ ； 2 42)(lim 22)0,0(),(y x y x y x +→； 3 22)0,1(),()log(lim y x e x x y x ++→；五 计算下列偏导数：（10分）（1）)(222z y x x e u++=； （2）)log(21n x x x z +⋅⋅⋅++=；六（10分）计算下列函数f 的Jacobian Jf ： （1）)sin(),,(2yz y x z y x f =； （2）2/12222121)(),,,(n n x x x x x x f +⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅；七 （10分）设隐函数 )(x y 由方程定义，求 'y 及 ''y 。

八（11分）在椭球内嵌入有最大体积的长方体，问长方体的尺寸如何？九、（10分）求椭球面过其上的点),,(000z y x p = 处的切平面的方程。

十、（10分）设函数),(),,(y x g y x f 是定义在平面开区域G 内的两个函数，在G 内均有连续的一阶偏导数，且在G 内任意点处，均有又设有界闭G D⊂，试证：在 D 中满足方程组的点至多有有限个。

（十三）一年级《数学分析》考试题一 判断题（正确的记（√ ），错误的记（×））（共18分，每题3分）：1设)(x f 在],[b a 上连续，M 与m 分别是)(x f 的最大值和最小值，则对于任何数)(M c m c ≤≤，均存在],[b a ∈ξ，使得c f =)(ξ。

（ ）5. 设)(),(t g x f 在),(b a 内可导，且)()(x g x f >，则x y x y a r c ta n 2=1222222=++cz b y a x 1222222=++cz b y a x 0≠∂∂∙∂∂-∂∂∙∂∂xg y f y g x f ⎩⎨⎧==0),(0),(y x g y x f )0(≠x)(')('x g x f >。

（ ）6. 设}{n x 的极限存在，}{n y 的极限不存在，则}{n n y x +的极限未必不存在。

（ ）7. 如0x x =是函数)(x f 的一个极点，则0)('0=x f 。

（ ）8. 存在这样的函数，它在有限区间中有无穷多个极大点和无穷多个极小点。

（ ）9. 对于函数x x x cos +，由于)sin 1(lim ')'cos (lim x x x x x x -=+∞→∞→不存在，根据洛必达法制，当x 趋于无穷大时，xx x cos +的极限不存在。

（ ）二 计算下列极限：（18分） 1 )1sin (lim nn n ∞→ 2 )sin 1(lim n nn ∞→； 3 )1...2111(lim nn n n n ++++++∞→； 4 x ox x sin lim +→； 5 )ln )(ln(lim x a x x x -+∞→； 6 4202cos lim x e x x x -→-。

三 计算下列函数的导数：（20分）（1）x x e x f x arcsin )log ()(3+=；（2）)12(ln )(-=x x f x； （3）22,0ln sin 2dx y d y x x y 求=+； （4）⎩⎨⎧==;cos ,sin 22t t y t t x （5）设)(x f 二次可导，求'))'(arctan (x f 。

四 计算不定积分（12分）：（1）dx x x ⎰+-20)2)(1(； （2）dx x x x ⎰++cos 1sin ； （3）dx x e x ⎰2sin ；（4）dx e dx x ⎰+2)1(。

五 （8分）求函数x e x f sin )(=在0=x 处的5次Taylor 多项式：六 （8分）用Lagrange 中值定理证明：如果函数)(x f 在),([+∞a 可微，并且0)('lim =+∞→x f x ，则0)(lim =+∞→xx f x 。

七 （8分）证明：若函数)(x f 在),[+∞a 上连续，且A x f x =+∞→)(lim （有限数），则)(x f 在),[+∞a 上一致连续。

八 （8分）求母线为l 的圆锥之最大体积。