通讯卫星姿态调整

1 引言随着科学技术发展，通信卫星的用处越来越大，备受人们的关注。

卫星在绕地球转动时不免受到外力的影响，轨道会有所偏移，为了使卫星的运行轨道保持一个标准状态，必须对卫星的姿态进行调整，寻求卫星的时间最优控制规律，使卫星轨道稳定下来。

在合理的假设下，本文针对该问题，建立了通信卫星姿态调整的模型。

并利用李雅普诺夫稳定性理论和状态反馈极点配置，假设合理的数据，对模型进行求解，使系统趋于稳定，然后利用数学软件MATLAB和SIMULINK进行了卫星姿态调整的仿真模拟。

最后进行一些有意义的讨论。

2 预备知识2.1 状态空间的基本概念1）状态任何一个系统在特定时刻都有一个特定的状态，系统在0t 时刻的状态是0t 时刻的一种信息量，它与此后的输入一起唯一地确定系统在0t t ≥时的行为。

2）状态变量状态变量是一个完全表征系统时间域行为的的最小内部变量组。

3）状态向量设系统有n 个状态变量，用()()()12,,,n x t x t x t 表示，而且把这些状态变量看做向量()x t 的分量，则向量()x t 称为状态向量，记为：()()()()12,,,Tn x t x t x t x t =⎡⎤⎣⎦ .4）状态空间以状态变量()()()12,,,n x t x t x t 为轴的n 维实向量空间称为状态空间。

5）状态方程描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组（连续时间系统）或一阶差分方程组（离散时间系统）称为系统的状态方程，它表征了输入对内部状态的变换过程，其一般形式为：()()(),,x t f x t u t t =⎡⎤⎣⎦ .其中，t 是时间变量，()u t 是输入变量。

6）输出方程描述系统输出量与系统状态变量和输入变量之间函数关系的代数方程称为输出方程，它表征了系统内部状态变化和输入所引起的系统输出变换，是一个变化过程。

输出方程的一般形式为：()()(),,y t g x t u t t =⎡⎤⎣⎦.7）状态空间表达式状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式，也称动态方程，它表征一个系统完整的动态过程，其一般形式为：()()()()()(),,,,xt f x t u t t y t g x t u t t ⎧=⎡⎤⎪⎣⎦⎨=⎡⎤⎪⎣⎦⎩. 通常，对于线性定常系统，状态方程为：xAx Bu y Cx Du =+⎧⎨=+⎩. 其中，()12,,Tn x x x x = 表示n 维状态向量，()n n ij n nA a R ⨯⨯=∈表示系统内部状态的系数矩阵，称为系统矩阵n n A ⨯，()n r ij n rB b R ⨯⨯=∈表示输入对状态作用的矩阵，称为输入（或控制）矩阵n r B ⨯，()m n ij m nC c R ⨯⨯=∈表示输出对状态关系的矩阵，称为输出矩阵m n C ⨯，()m r ij m rD d R ⨯⨯=∈表示输入直接对输出作用的矩阵，称为直接转移矩阵m r D ⨯，也称前馈系数矩阵。

A 由系统内部结构及其参数决定，体现了系统内部的特性，而B 则主要体现了系统输入的施加情况，通常情况下0D =。

2.2李雅普诺夫意义下的稳定定义2.21[3] [李雅普诺夫意义下的稳定] 称自治系统的孤立平衡状态0e x = 在时刻0t 为李雅普诺夫意义下的稳定，如果对任给一个实数0ε>，都对应存在另一个依赖于ε和0t 的实数0(,)0t δε>，使得满足不等式：00(,)e x x t δε-≤.的任一初始状态0x 出发的受扰运动00(;,)t x t φ都满足不等式：000(;,),e t x t x t t φε-≤∀≥.对上述李雅普诺夫意义下稳定的定义，进而给出如下几点说明。

(1) 稳定下的几何解释李雅普诺夫意义下稳定具有直观的几何意义。

为此，把不等式看成为状态空间中以ex 为球心和以ε为半径的一个超球体，其球域表为()S ε；把不等式看成为状态空间中以e x 为球心和以0(,)t δε为半径的一个超球体，其球域表为()S δ，且球域的大小同时依赖于ε和0t ，在此基础下，李雅普诺夫意义下稳定的几何含义就是，由域()S δ内任意一点出发的运动轨线00(;,)t x t φ对所有时刻0[,)t t ∈∞都不越出域()S ε的边界()H ε，对二维系统，上述几何含义可由图2.41形象地表示。

(2) 李雅普诺夫意义下的一致稳定在李雅普诺夫意义下的稳定定义中，若对取自时间定义区间的任一初始时刻0t 。

对任给实数0ε>都存在与初始时刻0t 无关的实数()0δε>，使相应受扰运动00(;,)t x t φ满足条件时称平衡状态e x 为李雅普诺夫意义下的一致稳定。

通常，对于时变系统，一致稳定比之稳定更有实际意义。

一致稳定意味着若系统在一个初始时刻0t 为李雅普诺夫意义下稳定，则系统在取自时间定义区间的所有初始时刻0t 均为李雅普诺夫意义下稳定。

(3) 时不变系统的稳定属性对于时不变系统，不管线性系统还是非线性系统，连续时间系统还是离散时间系统，李雅普诺夫意义下的稳定和一致稳定上必为等价。

换句话说，若时不变系统的平衡状态为李雅普诺夫意义下稳定，则e x 必为李雅普诺夫意义下的一致稳定。

(4) 李雅普诺夫意义下稳定的实质定义表明，李雅普诺夫意义下稳定只能保证系统受扰运动相对于平衡状态的有界性，不能保证系统受扰运动相对于平衡状态的渐近性。

因此，相比于稳定性的工程理解，李雅普诺夫意义下的稳定实质上就是工程意义下的临界不稳定。

稳定性问题中，无论理论上还是应用上，渐近稳定往往更有意义和更具有重要性。

有鉴于此，渐近稳定的讨论受到更大的重视和关注。

定义2.22[3] [渐近稳定] 称自治系统的孤立平衡状态0e x =在时刻0t 为渐近稳定，如果：（i ）0e x =在时刻0t 为李雅普诺夫意义下稳定；(ii)对实数0(,)0t δε>和任给实数0μ>，都对应地存在实数0(,,)0T t μδ>，使得满足不等式的任一初始状态0x 出发的受扰运动00(;,)t x t φ还同时满足不等式：0000(;,),(,,)e t x t x t t T t φμμδ-≤∀≥+，下面，对渐近稳定概念作如下几点说明。

)()a 图2.22渐近稳定的平衡状态(1) 渐近稳定的几何解释以二维系统为例，渐近稳定的几何含义如图所示。

其中，图(a)表征受扰运动相对于平衡状态的有界性，图(b)反映受扰运动相对于平衡状态随时间变化的渐近性。

(2) 渐近稳定的等价定义在渐近稳定定义中，若取0μ→，则对应地有0(,,)T t μδ→∞。

基此，可进而对渐近稳定引入等价定义，以更为直观的形式反映稳定过程的渐近特征。

等价定义可表述为，称自治系统的孤立平衡状态0e x =在时刻0t 为渐近稳定，如果：（i ）由任一初始状态()0x S δ∈出发的受扰运动00(;,)t x t φ相对于平衡状态0e x =对所有0[,)t t ∈∞均为有界。

（ii ）受扰运动相对于平衡状态0e x =满足渐近性，即成立：()()000lim ;,0,t t x t x S φδ→∞=∀∈.(3) 一致渐近稳定在渐近稳定定义中，若对取自时间定义区间的任意初始时刻0t ，由任给实数0ε>都存在与初始时刻0t 无关的实数()0δε>，由实数()δε和任给实数0μ>都存在与初始时刻0t 无关的实数(,)0T μδ>，使得相应受扰运动00(;,)t x t φ相对于平衡状态为有界且满足条件，则称平衡状态e x 为一致渐近稳定。

同样，对时变系统，一致稳定比之渐近稳定更有意义。

(4) 时不变系统的渐近稳定属性对于时不变系统，不管线性系统还是非线性系统，连续时间系统还是离散时间系统，平衡状态的渐近稳定和一致稳定为等价，即有：e e x x ⇔一致渐近稳定渐近稳定.定义2.23[3] [不稳定] 称自治系统的孤立平衡状态0e x =在时刻0t 为不稳定，如果不管取实数0ε>为多么大，都不存在对应一个实数0(,)0t δε>，使得满足不等式00(,)e x x t δε-≤.的任意初始状态0x 出发的受扰运动00(;,)t x t φ满足不等式：000(;,),e t x t x t t φε-≤∀≥.对于二维系统，不稳定的几何含义如图所示。

可以看出，若平衡状态0e x =为不稳定，则不管取域()εS 多么大，也不管取域()δS 多么小，总存在非零点()*0δ∈x S ，使由()*0δ∈x S 出发的受扰运动轨线越出域()εS 。

实质上，李雅普诺夫意义下不稳定等同于工程意义下发散性不稳定。

2.3状态反馈极点配置在系统循环了其属性的基础上，下面给出多输入情形下状态反馈可任意配置全部极点即特征值的条件，即极点配置定理。

结论[极点配置定理] 对多输入n 维连续时间线性时不变系统，系统可通过状态反馈任意配置全部n 个极点即特征值的充分必要条件为{,}A B 完全能控。

2．31单输入极点配置算法给定n 维单输入连续时间线性时不变受控系统(,)A b 和一组任意的期望闭环特征值***12{,,,}n λλλ⋅⋅⋅，要求确定1n ⨯状态反馈矩阵k ，使成立*(),1,2,,i i A bk i n λλ-==⋅⋅⋅.Step 1:判断(,)A b 能控性，若完全能控，进入下一步，若不完全能控，转到Step 8。

Step 2计算矩阵A 特征多项式，有0,)t H 图2.23不稳定的平衡状态1110det()()n n n sI A a s s a s a s a ---==++⋅⋅⋅++.Step 3:计算由期望闭环特征值，决定的特征多项式，有***1**1101()()nn n i n i a s s s a s a s a λ--==-=++⋅⋅⋅++∏. Step 4：计算**0011,,n n K a a a a --⎡⎤=-⋅⋅⋅-⎣⎦。

Step 5:计算能控规范形变换矩阵11111[,,,]1n n n a P A b Ab b a a ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⋅⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦. Step 6:计算1Q p -=。

Step 7:计算k kQ =。

Step 8:停止计算。

2.32多输入状态反馈算法给定n 维多输入连续时间线性时不变受控系统{,}A B 和一缓组任意期望闭环特征值***12{,,,}n λλλ⋅⋅⋅，要求确定一个p n ⨯状态反馈矩阵K ，使成立*()1,2,,i i A BK i n λλ-==⋅⋅⋅。

为叙述上简便，下面以9n =和3p =的一般性例子，说明算法的步骤。

Step 1:将能控矩阵对{,}A B 化为龙伯格能控规范形，对所讨论例子，有1011121415161718191212223202126272829313233343530313233010000000001000000000000000000000100000000010000000001A S AS αααβββββββββααβββββββββαααα-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---------⎢⎥⎢⎥⎢⎥==---------⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---------⎣⎦100000010000010000000000001B S B γ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.Step 2:将期望闭环特征值组，按龙伯格能控规范形的A -对角块阵个数和维数，分组计算每组对应多项式，对所讨论例子，将***129{,,,}λλλ⋅⋅⋅分为3组，计算：****3*2**1123121110()()()()a s s s s s a s a s a λλλ=---=+++ ***2**2452120()()()a s s s s a s a λλ=--=++ *****4*3*2**3678933323130()()()()()a s s s s s s a s a s a s a λλλλ=----=++++. Step 3：对龙伯格能控规范形{,}A B ，按如下形式选取p n ⨯，状态反馈矩阵K ，对所讨论例子为*****1010111112121420201521211626172718281929**2020212126272829****3030313132323333()()00000000a a a a a a a a a a K a a a a a a a a a a a a βγβγβγββγββγββγβββββ⎡⎤-----------⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥----⎣⎦.Step 4：计算化{,}A B 为龙伯格能控规范形{,}A B 的变换矩阵1S -。