高一下学期期末考试数学试卷含答案(上海市)

高一数学下学期期末考试试卷（沪教版2020）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1． 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．2． 本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3． 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息． 考试范围：必修二一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤ ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则()f x =______．2．化简：()()cos cot 2sin tan 22παπαππαα-+⋅=⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______． 3．已知一扇形的弧所对的圆心角为60，半径20r cm =，则扇形的周长为_________cm ．4．若()()21z m m i =-++为纯虚数（i 为虚数单位），m R ∈，则z =__________． 5．已知向量(),1a x =，()2,3b =-，若//a b ，则实数x 的值是______． 6．计算2021i =______．（i 为虚数单位)7．已知[]0,x π∈，向量()sin ,1a x =，()2,cos b x =，当a b ⋅取到最大值时，x 的值是______． 8．在△ABC 中，若2cos c a B =，则△ABC 的形状是______三角形． 9．已知tan 4,α=则sin 2cos sin 3cos αααα+=-_____________．10．已知a 、b 满足4a =，b 在a 方向上的数量投影为2-，则3a b -的最小值为______．11．如图，O 是线段AB 外一点，3OA =，2OB =，P 是线段AB 的垂直平分线l 上的动点，则OP AB ⋅的值为______．12．已知函数()4sin(2)6f x x π=-，[0x ∈，13]3π，若()()3F x f x =-的所有零点依次记为1x ，2x ，3x ，⋯，n x ，且123n x x x x <<<⋯<，则1231222n n x x x x x -+++⋯++=___________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．在中，若20AB BC AB ⋅+=，则的形状一定是（ ） A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形14．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的五角星中，以A ，B ，C ，D ，E 为顶点的多边形为正五边形，且．若ES AP BQ λ-=（λ∈R ），则λ＝（ ）A 51+ B 51- C ．51+D 15-15．13i -的三角形式是（ ） A ．ππ2cos isin 33⎛⎫-+ ⎪⎝⎭B ．2π2π2cos isin 33⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦C ．7π7π2sin i cos 66⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D ．7π7π2cos isin 66⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 16．设1z ､2z 为复数，则22120z z +=是120z z ==的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．已知复数z 满足4z +为纯虚数，且2iz -为实数；若复数()2i z m +在复平面上对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围.18．若在复数范围内，关于x 的方程2220x ax a a -+-=至少有一个模为2的根，求实数a 的值.19．如图，平行四边形ABCD 中，23BM BC =.（1）若34AN AB =，E 为AM 中点，求证：点D ，E ，N 共线； （2）若60DAB ∠=︒，12AB AD ⋅=，求AM 的最小值，及此时AD 的值.20．已知向量()1,2a =，()1,0b =-； （1）求a ，b 的夹角,a b ；（2）若()()32a b ka b -⊥+，求实数k 的值.21．已知在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，定义非零向量(),a M b O =的“相伴函数”为()sin cos y a x b x x R =+∈，向量(),a M b O =称为函数sin cos y a x b x =+的“相伴向量”；记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S .（1）已知α∈R ，()()cos 2cos h x x x α=++，若函数()y h x =为集合S 中的元素，求其“相伴向量”的模的取值范围；（2）已知点(),M a b 满足条件：3a =，0b <≤OM 的“相伴函数”()y f x =在0x x =处取得最大值，当b 在区间(变化时，求0tan 2x 的取值范围.高一数学下学期期末（沪教版）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：4． 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．5． 本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．6． 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息． 考试范围：必修二二、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤ ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则()f x =______．【答案】2sin 4x π⎛⎫⎪⎝⎭【分析】根据函数的最值、最小正周期、特殊点进行求解即可. 【详解】由函数的图象可知函数的最大值为2，所以2A =， 由函数的图象可知函数的最小正周期为8，而0>ω，所以有284ππωω=⇒=，又因为函数过原点，所以()02sin 0f ϕ==，而2πϕ≤，所以0ϕ=，所以()2sin 4f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故答案为：2sin 4x π⎛⎫⎪⎝⎭2．化简：()()cos cot 2sin tan 22παπαππαα-+⋅=⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______． 【答案】1【分析】直接利用诱导公式化简即可 【详解】解：()()cos cot 2sin tan 22παπαππαα-+⋅⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos cos cot tan 2ααπαα-=⋅⎛⎫-- ⎪⎝⎭cos cot cos 1cot αααα-=⋅=- 故答案为：13．已知一扇形的弧所对的圆心角为60，半径20r cm =，则扇形的周长为_________cm ． 【答案】20403π+【分析】根据弧长公式：l r α=求出扇形的弧长，即可求出扇形的周长． 【详解】由题意，扇形的弧长为202033ππ⨯=，所以扇形的周长为202024033r ππ+=+故答案为20403π+【点睛】本题考查扇形的弧长公式，属于基础题．4．若()()21z m m i =-++为纯虚数（i 为虚数单位），m R ∈，则z =__________． 【答案】3【分析】由题可知，复数z 的实部为0，虚部不为0，求出实数m 即可，然后再求复数的模． 【详解】解：若复数z 满足(2)(1)(z m m i i =-++为虚数单位）为纯虚数，其中m R ∈，则2010m m -=⎧⎨+≠⎩，解得：则2m =，得3z i =，所以||3z =． 故答案为：3.【点睛】本题考查复数的模以及对纯虚数的定义的理解．5．已知向量(),1a x =，()2,3b =-，若//a b ，则实数x 的值是______． 【答案】23-【分析】应用向量共线的坐标表示得230x +=，即可求x . 【详解】由题意知：230x +=，解得23x =-.故答案为：23-6．计算2021i =______．（i 为虚数单位) 【答案】i【分析】根据虚数单位i 的幂运算的周期性进行求解即可.【详解】450521120i i i ⨯+==， 故答案为：i7．已知[]0,x π∈，向量()sin ,1a x =，()2,cos b x =，当a b ⋅取到最大值时，x 的值是______．【答案】1arctan 22π-（或 2π-2π-） 【分析】由向量数量积的坐标表示、辅助角公式得5sin()a b x ϕ⋅=+且1tan 2ϕ=，由a b ⋅取到最大值有22x k ππϕ=+-，k Z ∈，结合x 的范围即可求x 的值.【详解】由2sin cos )a b x x x ϕ⋅=+=+，且1tan 2ϕ=， ∴当a b ⋅取到最大值时，有sin()1x ϕ+=，即22x k ππϕ=+-，k Z ∈.∵[]0,x π∈， ∴0k =时，1arctan22x π=-.故答案为：1arctan 22π-（或 2π-2π-） 8．在△ABC 中，若2cos c a B =，则△ABC 的形状是______三角形． 【答案】等腰【分析】由已知，结合正弦定理边角关系及两角和差的正弦公式可得in 0()s A B -=，即可判断△ABC 的形状.【详解】由题设知：sin 2sin cos C A B =，又()C A B π=-+，∴sin[()]sin()2sin cos A B A B A B π-+=+=，即sin cos cos sin sin()0A B A B A B -=-=， ∴在△ABC 中A B =，即△ABC 是等腰三角形. 故答案为：等腰 9．已知tan 4,α=则sin 2cos sin 3cos αααα+=-_____________．【答案】6【分析】分子分母除以cos α，利用同角三角函数间的基本关系化简，把tan α的值代入计算即可求出值． 【详解】tan 4α=， ∴tan 266tan 31sin 2cos sin 3cos αααααα+==-=-=+．故答案为：610．已知a 、b 满足4a =，b 在a 方向上的数量投影为2-，则3a b -的最小值为______．【答案】10【分析】根据数量投影的定义，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】设a 、b 的夹角为([0,])θθπ∈，因为b 在a 方向上的数量投影为2-，所以cos 2b θ⋅=-，因此(,]2πθπ∈，因此cos [1,0)θ∈-，所以2b ≥，22223(3)961696cos a b a b a b a b b a b θ-=-=+-⋅=+-⋅⋅⋅，因此有23649a b b -=+，因为2b ≥，所以当2b =时，3a b -有最小值，最小值为2649210+⨯=， 故答案为：1011．如图，O 是线段AB 外一点，3OA =，2OB =，P 是线段AB 的垂直平分线l 上的动点，则OP AB ⋅的值为______．【答案】52-【分析】根据平面向量加法的几何意义，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】设线段AB 的中点为C ，()OP AB OC CP AB OC AB CP AB ⋅=+⋅=⋅+⋅，因为P 是线段AB 的垂直平分线l 上的动点，所以0CP AB CP AB ⊥⇒⋅=，所以22221115()()()(23)2222OP AB OC AB OA OB AO OB OB OA ⋅=⋅=+⋅+=-=-=-，故答案为：52-12．已知函数()4sin(2)6f x x π=-，[0x ∈，13]3π，若()()3F x f x =-的所有零点依次记为1x ，2x ，3x ，⋯，n x ，且123n x x x x <<<⋯<，则1231222n n x x x x x -+++⋯++=___________. 【答案】1003π【分析】根据函数解析式求解函数零点分布 ，再化简计算求解代数式的值. 【详解】解：令2()62x k k Z πππ-=+∈，可得1()23x k k Z ππ=+∈， ∴函数的对称轴为1()23x k k Z ππ=+∈， 又()f x 的周期为222T πππω===， ∴令113233k πππ+=，解得8k ，∴函数在[0x ∈，13]3π上有9条对称轴， 由正弦函数的性质可知，1223x x π+=⨯，231ππππ12,,723232n n x x x x -⎛⎫⎛⎫+=+⨯⨯⋅⋅⋅+=+⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 将以上各式相加可得:12312523100222()26663n n x x x x x ππππ-+++⋯++=++⋅⋅⋅+⨯=. 故答案为：1003π. 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．在中，若20AB BC AB ⋅+=，则的形状一定是（ ） A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形【答案】B【分析】先利用数量积运算化简得到2cos ac B c =，再利用余弦定理化简得解. 【详解】因为20AB BC AB ⋅+=，所以2cos()0ac B c π-+=， 所以2cos ac B c =，所以22222a c b ac c ac+-⨯=， 所以222b c a +=，所以三角形是直角三角形. 故选：B14．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的五角星中，以A ，B ，C ，D ，E 为顶点的多边形为正五边形，且．若ES AP BQ λ-=（λ∈R ），则λ＝（ ）A 51+ B 51- C ．51+D 15-【答案】D【分析】根据图象的对称性和向量的运算法则，化简得到512RQ QB -=，即可求解. 【详解】根据图形的对称性，可得ES RC =，AP QC =， 由和向量的运算法则，可得ES AP RC QC RC CQ RQ -=-=+=， 又由RQ PT =，||||BQ AT =，故512RQ QB -=，所以15λ-=故选：D.15．13i -的三角形式是（ ） A ．ππ2cos isin 33⎛⎫-+ ⎪⎝⎭B ．2π2π2cos isin 33⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦C ．7π7π2sin i cos 66⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D ．7π7π2cos isin 66⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 【答案】B【分析】提取复数的模，结合三角函数的值即可化代数形式为三角形式． 【详解】解：132213i 22cos isin 233ππ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭． 故选：B ．16．设1z ､2z 为复数，则22120z z +=是120z z ==的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据题意，分别判断充分性与必要性即可. 【详解】若11z =，2i z =，则22120z z +=成立且120z z ==不成立， 而若120z z ==，则22120z z +=成立， 故22120z z +=是120z z ==的必要不充分条件. 故选：C.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．已知复数z 满足4z +为纯虚数，且2iz -为实数；若复数()2i z m +在复平面上对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围. 【答案】(2,2)-【分析】设i(,)z x y x y =+∈R ，则4(4)i z x y +=++，由实部为0求得x 值，再把2iz-利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为0求得y 值，则z 可求，把2(i)z m +变形为复数的代数形式，再由实部大于0且虚部小于0列不等式组即可求解m 的范围．【详解】设i(,)z x y x y =+∈R ，则4(4)i z x y +=++，4z +为纯虚数，40x ∴+=且0y ≠，即4x =-，0y ≠．又4i (4i)(2i)824i 2i 2i (2i)(2i)55z y y y y R -+-++---===+∈---+， 240y ∴-=，即2y =．42i z ∴=-+，m 为实数，且222(i)[4(2)i](124)8(2)i z m m m m m +=-++=---+，由题意，212408(2)0m m m ⎧-->⎨-+<⎩，解得22m -<<．∴实数m 的取值范围为(2,2)-．18．若在复数范围内，关于x 的方程2220x ax a a -+-=至少有一个模为2的根，求实数a 的值.【答案】a =4a =，或1a =． 【分析】若两根为实根时，由条件求得a 的值；②若两根为虚根时，由条件求得a 的值，综合可得结论． 【详解】①若两根为实根时，不妨设12x =，则12x =±，当12x =时，则2540a a -+=，解得1a =或4a =；当12x =-时，则2340a a ++=，由于△91670=-=-<，可得a 无解．②若两根为虚根时，则12x x =，2121||4x x x ⋅==，即24a a -=，求得1172a -±=．再根据此时△222(2)4()(117)16a a a =---=±-，△0<时，1712a -=． 综上可得，1712a -=，或4a =，或1a =． 19．如图，平行四边形ABCD 中，23BM BC =.（1）若34AN AB =，E 为AM 中点，求证：点D ，E ，N 共线； （2）若60DAB ∠=︒，12AB AD ⋅=，求AM 的最小值，及此时AD 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）||AM 2||AD 6 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则得到2133AE AN AD =+，即可证明点D ，E ，N 共线； （2）设||0AB x =>，||0AD y =>，根据60DAB ∠=︒，12AB AD ⋅=，可得1xy =，22||()AM AB BM =+转化为关于x 、y 的不等式，利用基本不等式可解决此问题． 【详解】解：（1）平行四边形ABCD 中，23BM BC =，34AN AB =，E 为AM 中点， ∴1114221()()2223333AE AM AB BM AN BC AN AD ==+=+=+，所以32AE AN AD =+，22AE AN AD AE -=-，即2NE ED =，所以//NE EDD ∴，E ，N 共线；（2）设||||0DC AB x ==>，||||0BC AD y ==>，根据60DAB ∠=︒，12AB AD ⋅=，可得1xy =，222222224144242||()()233299333AM AB BM AB BC x xy y x y xy =+=+=+⨯+=+++=，||2AM ∴，当且仅当23x y =且1xy =，即6x =，6y =||AM 2，此时||AD 620．已知向量()1,2a =，()1,0b =-； （1）求a ，b 的夹角,a b ；（2）若()()32a b ka b -⊥+，求实数k 的值.【答案】（1）π-（2）517k =.【分析】（1）由cos a b a bθ⋅=⋅，再由向量坐标求解数量积和模长代入求解即可；（2）由()()32a b ka b -⊥+，可得()()320a b ka b -⋅+=，进而由坐标运算可得解. 【详解】（1）设a 与b 的夹角为θ，因为向量()1,2a =，()1,0b =-，所以2121a b =+=，1(1)1a b ⋅=⨯-=-，1cos 51a b a bθ⋅-∴===⨯⋅(0,)θπ∈，所以θπ=-.所以a ，b 的夹角,a b 为π-（2）因为+(1,2)ka b k k =-，()3256a b -=，，又()()32a b ka b -⊥+，所以()()320a b ka b -⋅+=， 所以()()()()3251+620a b ka b k k -⋅+=-⨯=，解得517k =. 21．已知在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，定义非零向量(),a M b O =的“相伴函数”为()sin cos y a x b x x R =+∈，向量(),a M b O =称为函数sin cos y a x b x =+的“相伴向量”；记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S .（1）已知α∈R ，()()cos 2cos h x x x α=++，若函数()y h x =为集合S 中的元素，求其“相伴向量”的模的取值范围；（2）已知点(),M a b 满足条件：3a =，0b <≤OM 的“相伴函数”()y f x =在0x x =处取得最大值，当b 在区间(变化时，求0tan 2x 的取值范围.【答案】（1）[]1,3；（2）[.【分析】（1）只要将()y h x =化为sin cos a x b x 即可，再利用向量的模的计算公式以及三角函数值域的求法即可解出；（2）利用三角函数求()f x 取最大值时的x 值，结合倍角公式以及换元bm a=即可求出0tan 2x 的范围． 【详解】(1) 证明: ()cos()2cos sin sin (2cos )cos h x x x x x ααα=++=-⋅++, ∴函数()h x 的相伴向量(sin ,2cos ),().OM h x S αα=-+∴∈(sin OM =cos 1α∴=时, max ||3,cos 1OM α===-时,min ||1OM ==.OM ∴的模的取值范围为[]1,3.(2)OM的相伴函数()sin cos )f x a x b x x ϕ=++, 其中cos ϕϕ==当2,2x k k Z πϕπ+=+∈, 即02,2x k k Z ππϕ=+-∈时, ()f x 取得最大值,01tan tan 22tan a x k bππϕϕ⎛⎫∴=+-== ⎪⎝⎭0022022tan 2tan 21tan 1ax b x b a x a a bb ⨯∴===-⎛⎫-- ⎪⎝⎭, 令b m a =, 则02tan 2,1x m m m⎛=∈⎝⎦-,当m ⎛∈ ⎝⎦时, 1,m m ⎛-∈-∞ ⎝⎦, 0tan 2[x ∴∈.。