2020-2021学年上海交大附中高一(上)期末数学试卷
上海市宝山区上海交通大学附属中学2020-2021学年高一上学期期末考试物理试题 Word版含答案
上海交通大学附属中学2020-2021学年度第一学期高一物理期末考试卷一、单项选择题（共40分。
第1-8小题，每小题3分；第9-12题，每小题4分。
）1. 一个物体作竖直上抛运动则下列说法正确的是（）A. 上升和下落过程的位移相同B. 上升到最高点时，瞬时速度为零，加速度也为零C. 运动过程中，任何相等时间内的速度变化量都相同D. 运动过程中，相等时间内的位移相同2. 如图所示，羽毛球运动员在比赛过程中用球拍回击飞过来的羽毛球，下列说法正确的（）A. 球拍击羽毛球的力大于羽毛球撞击球拍的力B. 羽毛球先对球拍有力的作用，球拍才对羽毛球有力的作用C. 羽毛球撞击球拍的力是由羽毛球发生形变引起的D. 羽毛球对球拍的力和球拍对羽毛球的力是一对平衡力3. 如图，一机械臂铁夹夹起质量为m的小球，机械臂与小球沿水平方向做加速度为a的匀加速直线运动，则铁夹对球的作用力（）A. 大小为mg，方向竖直向上B. 大小为ma，方向水平向右C. 大小与小球加速度大小无关D. 方向与小球的加速度大小有关4. 伽利略相信，自然界的规律是简单明了的。
他从这个信念出发，猜想落体的速度应该是均匀变化的。
为验证自己的猜想，他做了“斜面实验”，如图所示。
发现铜球在斜面上运动的位移与时间的平方成正比，改变球的质量或增大斜面倾角，上述规律依然成立。
于是，他外推到倾角为90°的情况，得出落体运动的规律。
结合以上信息，判断下列说法正确的是（ ）A. 伽利略通过“斜面实验”来研究落体运动规律时为了便于测量速度B. 伽利略通过“斜面实验”来研究落体运动规律时为了便于测量加速度C. 由“斜面实验”的结论可知，铜球运动的速度随位移均匀增大，说明速度均匀变化成立。
D. 由“斜面实验”的结论可知，铜球运动的速度随时间均匀增大，说明速度均匀变化成立。
5. 一辆公交车在平直的公路上从A 站出发运动至B 站停止，经历了匀加速、匀速、匀减速三个过程，设加速和减速过程的加速度大小分别为1a 、2a ，匀速过程的速度大小为0v ，则（ ）A. 增大1a ，保持2a 、0v 不变，加速过程的平均速度不变B. 减小1a ，保持2a 、0v 不变，匀速运动过程的时间将变长C. 增大0v ，保持1a 、2a 不变，全程时间变长D. 只要0v 不变，不论1a 、2a 如何变化，全程平均速度不变6. 如图所示为一边长为1m 的立方体包装纸箱，有一只聪明的蚂蚁沿纸箱表面以最短的路程从顶点A 到达顶点G 用了10s 时间，则该过程中蚂蚁的平均速度大小和平均速率分别是（ ）A. 3/s 、5/s 10B. 3m /s 、3m /s 10C. 5/s 、21m /s 10D. 3m /s 、21m /s 10+7. 如图甲，某同学在实验中通过定滑轮将质量为m 的物体提升到高处，并在这过程中测量物体获得的加速度a 与绳子对货物竖直向上的拉力T 的关系.若滑轮的质量和摩擦均不计，物体获得的加速度a 与绳子对货物竖直向上的拉力T 之间的函数关系如图乙所示.由图可以判断不正确的是（ ）A. 图线与纵轴的交点M 的值M a g =-B. 图线与横轴的交点N 的值M T mg =C. 图线的斜率等于物体的质量mD. 改变拉力T 的方向，图线的斜率不变8. 如图，悬挂物体甲的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上O 点处；轻绳的一端固定在墙上，另一端跨过光滑的定滑轮后悬挂乙物体。
上海交通大学附属中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题
交大附中高一期末数学试卷2022.01一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1. 函数1sin 22y x =的最小正周期T =__________； 【答案】π 【解析】【详解】分析：直接利用三角函数的周期公式，求出函数的周期即可 详解：由三角函数的周期公式可知： 函数122y sin x =的最小正周期22T ππ== 故答案为π点睛：本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基础题． 2. 已知函数()22f x ax x =+是奇函数，则实数a =______．【答案】0 【解析】【分析】由奇函数定义入手得到关于变量的恒等式后，比较系数可得所求结果． 【详解】∵函数()f x 为奇函数， ∴()()f x f x -=-， 即2222ax x ax x -=--， 整理得20ax =在R 上恒成立， ∴0a =． 故答案为0．【点睛】本题考查奇函数定义，解题时根据奇函数的定义得到恒等式是解题的关键．另外，取特殊值求解也是解决此类问题的良好方法，属于基础题． 3. 若集合{}2A x x =<，101B xx ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，则A B =______．【答案】{}12x x -<<## ()1,2- 【解析】【分析】求解绝对值不等式解得集合A ，求解分式不等式求得集合B ，再求交集即可. 【详解】因为{}2A x x =<{|22}x x =-<<，101B xx ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭{}1x x =-，故可得A B ={|12}x x -<<.故答案：{}12x x -<<.4. 方程()lg 21lg 1x x ++=的解为______. 【答案】2. 【解析】 【分析】由对数的运算性质可转化条件为()21100210x x x x ⎧+=⎪>⎨⎪+>⎩，即可得解.【详解】方程()lg 21lg 1x x ++=等价于()lg 2110210x x x x ⎧+=⎪>⎨⎪+>⎩，所以()21100210x x x x ⎧+=⎪>⎨⎪+>⎩，解得2x =.故答案为：2.【点睛】本题考查了对数方程的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.5. 设函数21(0)()2(0)x x f x x x ⎧+≥=⎨<⎩，那么1(10)f -=_____【答案】3 【解析】 【分析】欲求1(10)f-,根据原函数的反函数为1()f x -知,只要求满足于()10f x =的值即可,故只解方程()10f x =即得.【详解】解答：令()10f t =,则1(10)t f -=,当0t <有2105t t =⇒=不合,当0t ≥有21103t t +=⇒=±,3t =-（舍去） 那么1(10)3f-=故答案为3【点睛】本题主要考查了反函数,一般地,设函数()()y f x x A =∈的值域是C ,根据这个函数中,x y 的关系,用y 把x 表示出,得到()x f y =.6. 若集合{}3cos23,xA x x x R π==∈，{}21,B y y y R ==∈，则A B ⋂=_______．【答案】{}1 【解析】【分析】易知{}1,1B =-，分别验证1,1-和集合A 的关系即可得结果. 【详解】因为{}{}21,1,1B y y y R ==∈=-，13cos 23π=，()13cos 23π--≠，即1A ∈，1A -∉，所以{}1A B ⋂=， 故答案为：{}1.7. 幂函数y x α=，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线（如图）．设点(1,0)(0,1)A B 、，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数12y x y x αα==、的图像三等分，即有BM MN NA ==．那么12αα=_______．【答案】1 【解析】【分析】求出,M N 的坐标，不妨设1y x =α，2y x =α，分别过12(,)33M ，21(,)33N ，分别代入点的坐标，变形可解得结果.【详解】因为(1,0)A ，(0,1)B ，BM MN NA ==， 所以12(,)33M ，21(,)33N ，不妨设1y x =α，2y x =α，分别过12(,)33M ，21(,)33N ，则12133⎛⎫= ⎪⎝⎭α，21233⎛⎫= ⎪⎝⎭α，则112212333⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα1223⎛⎫= ⎪⎝⎭αα，所以121=αα． 故答案为：18. 已知函数()()1201x f x a a a +=->≠，，的图象不经过第四象限，则a 的取值范围为__________． 【答案】[2,)+∞. 【解析】 【分析】根据01a <<和1a >两种情况讨论，令()0f x ≥，得出不等式，即可求解.【详解】当01a <<时，令()0f x ≥，可得20a -≥，此时不等式的解集为空集，（舍去）；当1a >时，令()0f x ≥，可得20a -≥，即2a ≥，即实数a 的取值范围[2,)+∞， 综上可得，实数a 的取值范围[2,)+∞. 故答案为：[2,)+∞.9. 已知函数()sin cos f x a x x =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为2-，则实数a 的值为_________． 【答案】-2 【解析】【分析】根据函数()sin cos f x a x x =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为2-，分()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，递减和不单调，利用三角函数的性质求解. 【详解】因为函数()sin cos f x a x x =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为2-，所以当()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增时，()f x 的最小值为(0)12f =≠-，不成立； 当()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减时，()f x 的最小值为()22f a π==- ， 此时()()2sin cos 5,04f x x x x πϕϕ⎛⎫=-+=--<< ⎪⎝⎭， 因为 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则,22x ππϕ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，而sin y x =在 ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，成立； 当()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调时，()2()sin cos 1sin ϕ=+=++f x a x x a x ， 令212a -+=-，解得 3a =3a =当 3a =()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以 2,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以 min ()1f x =，不成立；当3a = ()2sin 6f x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，因为 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以 ,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，min ()3f x =-，不成立；故实数a 的值为-2， 故答案为：-210. 给出四个命题：①存在实数α，使sin cos 1αα=；②存在实数α，使3sin cos 2αα+=；③5sin 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是偶函数；④8x π=是函数5sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一条对称轴方程；⑤若αβ、是第一象限角，且αβ>，则sin sin αβ>． 其中所有正确命题的序号是_____________． 【答案】③④ 【解析】【分析】利用二倍角的降幂公式结合正弦函数的有界性可判断①的正误；利用辅助角公式结合正弦函数的有界性可判断②的正误；化简函数解析式，结合余弦函数的奇偶性可判断③的正误；利用代入检验法可判断④的正误；利用特殊值法可判断⑤的正误.【详解】对于命题①，111sin cos sin 2,222ααα⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，所以，不存在实数α使得sin cos 1αα=，①错误；对于命题②，sin cos 22,24πααα⎛⎫⎡+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，所以，不存在实数α使得3sin cos 2αα+=，②错误； 对于命题③，si o 5s 2n c 2i s n 222x y x x ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝-⎭-⎭=⎝，因为()cos 2cos2x x -=， 所以函数5sin 22y x π⎛⎫⎪⎝=⎭-是偶函数，③正确；对于命题④，当8x π=时，min 53sin 2sin 1842y y πππ⎛⎫=⨯+==-= ⎪⎝⎭， 所以，8x π=是函数5sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程，命题④正确；对于命题⑤，取9244παππ=+=，4πβ=，αβ>，但2sin sin 2==αβ，⑤错误.因此，正确命题的序号为③④. 故答案为：③④.11. 某同学向王老师请教一题：若不等式4ln 1x x e a x x --≥+对任意()1,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围．王老师告诉该同学：“1x e x ≥+恒成立，当且仅当0x =时取等号，且()4ln g x x x =-在()1,+∞有零点”．根据王老师的提示，可求得该问题中a 的取值范围是__________． 【答案】(],4-∞- 【解析】 【分析】由参变量分离法可得出41ln x x e x a x---≤，利用已知条件求出函数41ln x x e x y x ---=在()1,+∞上的最小值，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】1x >，ln 0x ∴>，由4ln 1x x e a x x --≥+可得44ln 11ln ln x x x x e x e x a x x------≤=， 由于不等式1x e x ≥+恒成立，当且仅当0x =时取等号，且存在01x >，使得()0004ln 0g x x x =-=，所以，()4ln 4ln 1114ln ln x x x x x e x x x--+----≥=-，当且仅当0x x =时，等号成立，4a ∴≤-.因此，实数a取值范围是(],4-∞-.故答案为：(],4-∞-.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.12. 设二次函数()()22,f x mx x n m n =-+∈R ，若函数()f x 的值域为[)0,∞+，且()12f ≤，则222211m n n m +++的取值范围为___________. 【答案】[1,13] 【解析】【分析】根据二次函数的性质和已知条件得到m 与n 的关系，化简222211m n n m +++后利用不等式即可求出其范围.【详解】二次函数f (x )对称轴为1x m=， ∵f (x )值域为[]0,∞+，∴0m >且21121001f m n n mn m m mm ⎛⎫⎛⎫=⇒⋅-+=⇒=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，n ＞0.()12224f m n m n ≤⇒-+≤⇒+≤，∵()()()()2222224422222222221111111m m n n m n m n m n n m m n m n m n +++++++==+++++++ =()22222222222m n m n m n m n +-++++=()()222222222m n mn m n +++-++=()()222222212mn m n m n +++-++=221mn +-∴221211m n mn +-≥-=，22221()34313m n m n +-=+-≤-=，∴222211m n n m +++∈[1,13]. 故答案为：[1,13].二、选择题（本大题共4题，满分20分）13. 一个扇形的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，则它的圆心角是（ ）弧度 A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A 【解析】【分析】结合扇形面积公式及弧长公式可求l ，r ，然后结合扇形圆心角公式可求.【详解】设扇形半径r ，弧长l ，则24 112l r lr +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1r =，2l =， 所以圆心角为 2lr=， 故选：A.14. 对于函数f （x ）=asinx+bx+c(其中，a,b ∈R,c ∈Z),选取a,b,c 的一组值计算f （1）和f （-1），所得出的正确结果一定不可能是 A. 4和6 B. 3和1C. 2和4D. 1和2【答案】D 【解析】【详解】试题分析：求出f （1）和f （﹣1），求出它们的和；由于c和Z ，判断出f （1）+f （﹣1）为偶数．解：f （1）=asin1+b+c 和 f （﹣1）=﹣asin1﹣b+c 和 和+和得：f （1）+f （﹣1）=2c 和c和Z和f （1）+f （﹣1）是偶数 故选D考点：函数的值．15. 设函数21(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x==+∈≠，若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是 A. 当0a <时，12120,0x x y y +<+> B. 当0a <时，12120,0x x y y +>+< C. 当0a >时，12120,0x x y y +<+< D. 当0a >时，12120,0x x y y +>+> 【答案】B 【解析】【详解】令()()f x g x =,可得21ax b x =+． 设21(),F x y ax b x ==+ 根据题意()F x 与直线y ax b =+只有两个交点， 不妨设12x x <，结合图形可知，当0a >时如右图，y ax b =+与()F x 左支双曲线相切，与右支双曲线有一个交点，根据对称性可得12||>x x ，即120->>x x ，此时120x x +<，21122111,0y y y y x x =>=-∴+>-， 同理可得，当0a <时如左图，120x x +>，120y y +< 故选：B ．【点睛】本题从最常见了两类函数出发进行了巧妙组合，考查数形结合思想、分类讨论思想，函数与方程思想等，难度较大，不易入手,具有很强的区分度. 16. 设函数3()22,||1xxf x x x -=-+∈+R ，对于实数a ､b ，给出以下命题：命题1:0p a b +；命题22:0p a b -；命题:()()0q f a f b +.下列选项中正确的是（ ）A. 12p p ､中仅1p 是q 的充分条件B. 12p p ､中仅2p 是q 的充分条件C. 12p p ､都不是q 的充分条件D. 12p p ､都是q 的充分条件 【答案】D 【解析】【分析】令3()()(),()=22(),||,1x xf xg xh x g x h x x x -=+-=∈+R ，g (x )是奇函数，在R 上单调递增，h (x )是偶函数，在(－∞，0)单调增，在(0，＋∞)单调减，且h (x )＞0，根据这些信息即可判断.【详解】令3()()(),()=22(),||,1x xf xg xh x g x h x x x -=+-=∈+R ，g (x )是奇函数，在R 上单调递增，h (x )是偶函数，在(－∞，0)单调增，在(0，＋∞)单调减，且h (x )＞0.()()0()()f a f b f a f b +≥⇒≥-，即g (a )＋h (a )≥－g (b )－h (b )， 即g (a )＋h (a )≥g (－b )＋[－h (b )]，①当a ＋b ≥0时，a ≥－b ，故g (a )≥g (－b )，又h (x )＞0，故h (a )＞－h (b )，∴此时()()0f a f b +，即1p 是q 的充分条件；②当220a b a b ≥-⇒≥时，a ≥0，a b a ≤≤a b a -≤-≤(i)当a ≥1时，a a b ≤a ，故g (a )≥g (－b )；此时，h (a )＞0，－h (b )＜0，∴h (a )＞－h (b )，∴()()0f a f b +成立； (ii)当a ＝0时，b ＝0，f (0)＋f (0)＝6≥0成立，即()()0f a f b +成立； (iii)∵g (x )在R 上单调递增，h (x )在(－∞，0)单调递增， ∴()()()f x g x h x =+在(－∞，0)单调递增， ∵f (－1)＝0，∴f (x )＞0在(－1，0)上恒成立；又∵x ≥0时，g (x )≥0，h (x )＞0，∴f (x )＞0在[0，＋∞)上恒成立， ∴f (x )＞0在(－1，＋∞)恒成立，故当0＜a ＜1时，a a ＜1，11a b a -<≤≤，∴f (a )＞0，f (b )＞0， ∴()()0f a f b +成立.综上所述，20a b -时，均有()()0f a f b +成立，∴2p 是q 的充分条件. 故选：D.【点睛】本题的关键是将函数f (x )拆成一个奇函数和一个函数值始终为正数的偶函数之和，考察对函数基本性质的掌握与熟练运用.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17. 已知函数()1ln 1xf x x+=-的定义域为集合A ，集合(),1B a a =+，且B A ⊆. 和1）求实数a取值范围；和2）求证：函数()f x 是奇函数但不是偶函数. 【答案】和1和[1,0]- ;和2和见解析. 【解析】【详解】试题分析和和1和由对数的真数大于0，可得集合A ，再由集合的包含关系，可得a的不等式组，解不等式即可得到所求范围；（2）求得()f x 的定义域，计算()f x -与()f x 比较，即可得到所求结论． 试题解析和和1）令101xx+>-，解得11x -<<和所以()1,1A =-和 因为B A ⊆，所以111a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得10a -≤≤和即实数a 的取值范围是[]1,0-和2和函数()f x 的定义域()1,1A =-，定义域关于原点对称()()()1ln 1x f x x ---=+- ()1111ln ln ln 111x x x f x x x x -+--⎛⎫===-=- ⎪-++⎝⎭而1ln32f ⎛⎫=⎪⎝⎭和11ln 23f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以1122f f ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数()f x 是奇函数但不是偶函数.18. 如图，在半径为20cm 的半圆形（O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中点A 、B 在直径上，点C 、D 在圆周上．和1和①设BOC θ∠=，矩形ABCD 的面积为()S g θ=，求()g θ表达式，并写出θ的范围：②设(cm)BC x =，矩形ABCD 的面积为()S f x =，求()f x 表达式，并写出x 的范围： 和2和怎样截取才能使截得的矩形ABCD 的面积最大？并求最大面积． 【答案】（1）①400s ()in 2g θθ=()2cm，π02θ<<；②24()200x g x θ=-()2cm ，020x <<.（2）当截取202cm AB =，102BC =cm 时能使截得矩形ABCD 的面积最大，最大面积为4002cm 【解析】【分析】（1）①用BOC θ∠=和半径表达出边,AB BC ，进而表达出面积并写出θ的取值范围，②用(cm)BC x =表达出222400AB OB x ==-x 的取值范围；（2）利用三角函数的有界性求面积最大值.【小问1详解】①连接OC ，则20OC =cm ，sin 20sin BC OC θθ=⋅=cm ，cos 20cos OB OC θθ=⋅=cm ，则40cos AB θ=cm ，则800sin cos 400)2(sin g AB BC θθθθ⋅===()2cm ，π02θ<<.②连接OC ，则20OC =cm ，由勾股定理得：2400OB x =- cm ，222400AB OB x ==-cm ，则20()240AB BC x x g θ⋅==-()2cm ，020x <<，【小问2详解】由（1）知：400s ()in 2g θθ=，π02θ<<，所以()20,πθ∈，当π22θ=，即π4θ=时，400s ()in 2g θθ=取得最大值，最大值为4002cm ，此时π40cos202cm 4AB ==，π20sin1024BC ==cm ，所以当截取202cm AB =，102BC =cm 时能使截得的矩形ABCD 的面积最大，最大面积为4002cm19. 在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦：()e e sinh 2x xx --=，双曲余弦函数：()e e cosh 2x xx -+=．（e 是自然对数的底数，e 2.71828=）．和1和解方程：()cosh 2x =；和2和类比两角和的正弦公式，写出两角和的双曲正弦公式：()sinh x y +=________，并证明；和3和若对任意[]0,ln 2t ∈，关于x 的方程()()sinh cosh t x a +=有解，求实数a 的取值范围．【答案】（1）(ln 23x =+或(ln 23x =；（2）()()()()()sinh sinh cosh cosh sinh x y x y x y +=+，证明见解析；（3）74a ≥. 【解析】【分析】（1）由已知可得出2e 4e 10x x -+=，求出e x 的值，即可求得x 的值；（2）类比两角和的正弦公式可得出两角和的双曲正弦公式，再利用指数的运算性质可证得结论成立；（3）分析可知e e 12t t a --≥+恒成立，利用函数的单调性可求得实数a 的取值范围.【小问1详解】解：由()e e cosh 22x xx -+==，可得2e 4e 10x x -+=，可得e 23x =±(ln 23x =或(ln 23x =.【小问2详解】解：()()()()()sinh sinh cosh cosh sinh x y x y x y +=+， 右边()()()()()()()()e e e e e +e e e sinh cosh cosh sinh 4xx y y x x y y x y x y ----=-++-+=()e e e e e e e e e e sinh 42x y x y y x x y x y x y y x x y x y x yx y +----+----+--+--+-+--===+.【小问3详解】解：[]0,ln 2t ∈，则1e 2t≤≤，则()()e e e e sinh cosh 22t t x xa t x ---+=+=+， 所以，e e e e e e 122t t x xx x a ----+-=≥⋅=，当且仅当0x =时，等号成立，则e e 12t ta --≥+恒成立，因为函数e ty =、e ty -=-均为[]0,ln 2上增函数，故函数()e e 12t tg t --=+在[]0,ln 2上为增函数，所以，()()max 7ln 24a g t g ≥==. 20. 对闭区间I ，用I M 表示函数()y f x =在I 上的最大值． 和1和对于4()f x x x=+，求[1,4]M 的值：和2和已知()sin cos 32f x a x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()y f x =偶函数，[,]3a b M =b a -的最大值：和3和已知()sin f x x =，若有且仅有一个正数a 使得[0,][,2]a a a M kM =成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）5 （2）43π（3）112k << 【解析】【分析】小问1：判断()y f x =的单调性即可求解；小问2：由偶函数求得2a =，根据()y f x =的最大值判断,a b 范围，即可求解； 小问3：讨论01k <<与1k ≤，当[0,][,2]a a a M kM =时，判断正数a 的取值个数，即可求解．【小问1详解】对任意[]12,1,2x x ∈，且12x x <时， 由()()()121212121244410f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意[]12,2,4∈x x ，且12x x <时， 由()()()121212121244410f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以4()f x x x=+在[]1,2上单调递减，在[]2,4上单调递增； 又44(1)15(4)4514f f =+=+＝，＝ 所以[1,4]5M = 【小问2详解】由于()y f x =偶函数，所以()()66f f ππ-= 则sin cos sin cos 63626362a a ππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-+=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭解得2a =则()2sin cos 332f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为[,]3a b M =522,33k a b k k Z ππππ+≤<≤+∈ 故b a -的最大值为43π. 【小问3详解】①当01k <<时，由于[0,][,2]a a a M kM =，则[0,][,2]a a a M M <，所以02a π<<，若04a π<<时，有[0,]sin a M a =，[,2]sin 22sin cos a a a a a M ==所以sin 2sin cos a k a a =，得1cos 2a k=； 若102k <≤时，有[)1cos 1,2a k=∈+∞，此时a 无解； 若122k <<时，有12cos ,122a k ⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，此时a 有一解； 21k ≤<时，有112cos 22a k ⎛=∈ ⎝⎦，此时a 无解； 若42a ππ≤<时，有[0,]sin a M a =，[,2]sin12a a M π==所以sin a k =，因为2sin a ⎫∈⎪⎪⎣⎭若102k <≤时，此时a 无解，若1222k <<时，此时a 无解； 若212k ≤<时，此时a 有一解； ②当1k ≤时，由于[0,][,2]a a a M kM =，则[0,][,2]a a a M M ≥，所以2a π≤，有[0,]sin12a M π==，则[,2]1a a kM =若1k =，则[,2]1a a M =得π2a 或54a π=等，若1k <，[,2]1a a k M =，则1sin a k =或1sin 2a k =，在5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦a必有两解．综上所述：112k << 21. 定义域为R 的函数()y f x =，对于给定的非空集合A ，A ⊆R ，若对于A 中的任意元素a ，都有()()f x a f x +≥成立，则称函数()y f x =是“集合A 上的Z -函数”. （1）给定集合{}1,1A =-，函数()y f x =是“集合A 上的Z -函数”，求证：函数()y f x =是周期函数；（2）给定集合{}1A =，()2g x ax bx c =++，若函数()y g x =是“集合A 上的Z -函数”，求实数a 、b 、c 所满足的条件；（3）给定集合[]0,1A =，函数()y h x =是集合A 上的Z -函数，求证：“()y h x =是周期函数”的充要条件是“()y h x =是常值函数”． 【答案】（1）证明见解析； （2）0a =，0b ≥，R c ∈； （3）证明见解析. 【解析】【分析】（1）推导出()()1f x f x ≥+且()()1f x f x +≥，可得出()()1f x f x =+，由此可证得结论成立；（2）由已知可得20ax a b ++≥对任意的R x ∈恒成立，由此可得出a 、b 、c 所满足的条件；（3）利用Z -函数的定义、函数周期性的定义结合充分条件、必要条件的定义可证得结论成立.【小问1详解】证明：由题意可知，对任意的R x ∈，()()1f x f x -≥，可得()()1f x f x ≥+， 对任意的R x ∈，()()1f x f x +≥，所以，()()1f x f x =+， 因此，函数()y f x =为周期函数. 【小问2详解】解：由题意可知，对任意的R x ∈，()()1g x g x +≥，即()()2211a x b x c ax bx c ++++≥++，可得20ax a b ++≥对任意的R x ∈恒成立，所以，200a a b =⎧⎨+≥⎩，即0a =，0b ≥，R c ∈.【小问3详解】证明：若函数()y h x =是周期函数，设其周期为()0T T >， 因为函数()y h x =是集合A 上的Z -函数，则存在()10,1a ∈、N k *∈，使得()111ka T k a ≤≤+， 所以，1101T ka a ≤-≤<，()1011k a T a ≤+-≤<， 对任意的0R x ∈，()()()()()()0010101100h x h x a h x ka h x ka T ka h x T h x ≤+≤≤+≤++-=+=⎡⎤⎣⎦，所以，()()()()001010h x h x a h x ka h x T =+==+=+，所以，对任意的[]00,x x x T ∈+，()()0h x h x =， 对任意的Z n ∈，()()00h x h x nT =+， 并且[][][]000000R 2,,,x T x T x T x x x T =---+，所以，对任意的R x ∈，()()0h x h x C ==为常数， 即“()y h x =是周期函数”⇒“()y h x =是常值函数”；若函数()y h x =是常值函数，对任意的R x ∈、a A ∈，()()h x a h x +≥成立， 且()12h x h x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以，函数()y h x =是周期函数. 即“()y h x =是周期函数”⇐“()y h x =是常值函数”.综上所述，“()y h x =是周期函数”的充要条件是“()y h x =是常值函数”.【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义，本题第三问的难点在于利用函数的周期性推导出函数为常值函数，需要充分利用题中“Z -函数”的定义结合函数值的不等关系以及函数的周期性来进行推导.。
2021-2022学年上海交大附中高一(上)期末数学试卷
2021-2022学年上海交大附中高一（上）期末数学试卷试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）函数 $y=\frac{1}{2}sin2x$ 的最小正周期T=___ ．2.（填空题，4分）已知函数f（x）=ax2+2x是奇函数，则实数a=___ ．3.（填空题，4分）已知集合A={x||x|＜2}，B={x| $\frac{1}{x+1}$ ＞0}，则A∩B=___ ．4.（填空题，4分）方程lg（2x+1）+lgx=1的解集为 ___ ．5.（填空题，4分）设函数 $f(x)=\left\{{\left.\begin{array}{l}{{x^2}+1(x≥0)}\\{2x(x＜0)}\end{array}\right.}\right.$ ，那么f-1（10）=___ ．6.（填空题，4分）若集合A={x|3cos2πx=3x，x∈R}，B={y|y2=1，y∈R}，则A∩B=___ ．7.（填空题，5分）幂函数y=xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）．设点A（1，0），B（0，1），连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα，y=xβ的图象三等分，即有BM=MN=NA．那么αβ=___ ．8.（填空题，5分）已知函数f（x）=a x+1-2（a＞0且a≠1）的图象不经过第四象限，则a的取值范围为___ ．9.（填空题，5分）已知函数f（x）=asinx+cosx在 $[{0，\frac{π}{2}}]$上的最小值为-2，则实数a的值为 ___ ．10.（填空题，5分）给出四个命题：其中所有的正确命题的序号是___① 存在实数α，使sinαcosα=1；② 存在实数α，使$sinα+cosα=\frac{3}{2}$ ；③ $y=sin(\frac{5π}{2}-2x)$ 是偶函数；④ $x=\frac{π}{8}$是函数 $y=sin(2x+\frac{5π}{4})$的一条对称轴方程；⑤ 若α，β是第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ．11.（填空题，5分）某同学向王老师请教一题：若不等式x-4e x-alnx≥x+1对任意x∈（1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．王老师告诉该同学：“e x≥x+1恒成立，当且仅当x=0时取等号，且g（x）=x-4lnx在（1，+∞）有零点”．根据王老师的提示，可求得该问题中a的取值范围是___ ．12.（填空题，5分）设二次函数f（x）=mx2-2x+n（m，n∈R），若函数f（x）的值域为[0，+∞），且f（1）≤2，则 $\frac{{m}^{2}}{{n}^{2}+1}$ + $\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}+1}$ 的取值范围为 ___ ．13.（单选题，5分）一个扇形的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，则它的圆心角是（）弧度A.2B.3C.4D.514.（单选题，5分）对于函数f（x）=asinx+bx+c（其中，a，b∈R，c∈Z），选取a，b，c 的一组值计算f（1）和f（-1），所得出的正确结果一定不可能是（）A.4和6B.3和1C.2和4D.1和215.（单选题，5分）设函数f（x）= $\frac{1}{x}$ ，g（x）=ax2+bx（a，b∈R，a≠0）若y=f （x）的图象与y=g（x）图象有且仅有两个不同的公共点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列判断正确的是（）A.当a＜0时，x1+x2＜0，y1+y2＞0B.当a＜0时，x1+x2＞0，y1+y2＜0C.当a＞0时，x1+x2＜0，y1+y2＜0D.当a＞0时，x1+x2＞0，y1+y2＞016.（单选题，5分）设函数f（x）=2x-2-x+ $\frac{3}{|x|+1}$ ，x∈R，对于实数a、b，给出以下命题：命题p1：a+b≥0；命题p2：a-b2≥0；命题q：f（a）+f（b）≥0．下列选项中正确的是（）A.p1、p2中仅p1是q的充分条件B.p1、p2中仅p2是q的充分条件C.p1、p2都不是q的充分条件D.p1、p2都是q的充分条件17.（问答题，15分）已知函数 $f(x)=lg\frac{1+x}{1-x}$ 的定义域为集合A，集合B=（a，a+1），且B⊆A．（1）求实数a的取值范围；（2）求证：函数y=f（x）是奇函数但不是偶函数．18.（问答题，15分）如图，在半径为20cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上．（1）请你在下列两个小题中选择一题作答即可：① 设∠BOC=θ，矩形ABCD的面积为S=g（θ），求g（θ）的表达式，并写出θ的范围．② 设BC=x（cm），矩形ABCD的面积为S=f（x），求f（x）的表达式，并写出x的范围．（2）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积．19.（问答题，15分）在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦： $sinh(x)=\frac{{e^x}-{e^{-x}}}{2}$ ，双曲余弦函数： $cosh(x)=\frac{{e^x}+{e^{-x}}}{2}$ ．（e是自然对数的底数，e=2.71828⋯）．（1）解方程：cosh（x）=2；（2）类比两角和的正弦公式，写出两角和的双曲正弦公式：sinh（x+y）=___ ，并证明；（3）若对任意t∈[0，ln2]，关于x的方程sinh（t）+cosh（x）=a有解，求实数a的取值范围．20.（问答题，15分）对闭区间I，用M I表示函数y=f（x）在I上的最大值．（1）对于 $f(x)=x+\frac{4}{x}$ ，求M[1，4]的值；（2）已知 $f(x)=asin({x+\frac{π}{3}})+cos({x+\frac{π}{2}})$，且y=f（x）偶函数，${M_{[a，b]}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求b-a的最大值；（3）已知f（x）=sinx，若有且仅有一个正数a使得M[0，a]=kM[a，2a]成立，求实数k的取值范围．21.（问答题，16分）定义域为R的函数y=f（x），对于给定的非空集合A，A⊆R，若对于A 中的任意元素a，都有f（x+a）≥f（x）成立，则称函数y=f（x）是“集合A上的Z-函数”．（1）给定集合A={-1，1}，函数y=f（x）是“集合A上的Z-函数”，求证：函数y=f（x）是周期函数；（2）给定集合A={1}，g（x）=ax2+bx+c，若函数y=g（x）是“集合A上的Z-函数”，求实数a、b、c所满足的条件；（3）给定集合A=[0，1]，函数y=h（x）是“集合A上的Z-函数”，求证：“y=h（x）是周期函数”的充要条件是“y=h（x）是常值函数”．2021-2022学年上海交大附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）函数 $y=\frac{1}{2}sin2x$ 的最小正周期T=___ ．【正确答案】：[1]π【解析】：直接利用三角函数的周期公式，求出函数的周期即可．【解答】：解：由三角函数的周期公式可知，函数y= $\frac{1}{2}$ sin2x的最小正周期为T= $\frac{2π}{2}$=π故答案为：π．【点评】：本题考查三角函数的周期公式的应用，是基础题，送分题．函数f（x）=Asin （ωx+φ）的最小正周期为；T= $\frac{2π}{|ω|}$．2.（填空题，4分）已知函数f（x）=ax2+2x是奇函数，则实数a=___ ．【正确答案】：[1]0【解析】：由奇函数定义入手寻找特殊值是解决此问题的最简解法．【解答】：解：由奇函数定义有f（-x）=-f（x），则f（-1）=a-2=-f（1）=-（a+2），解得a=0．【点评】：本题考查奇函数定义．3.（填空题，4分）已知集合A={x||x|＜2}，B={x| $\frac{1}{x+1}$ ＞0}，则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]{x|-1＜x＜2}【解析】：利用绝对值不等式及分式不等式的解法，我们易求出集合A，B，再根据集合交集运算法则，即可求出答案．【解答】：解：∵集合A={x||x|＜2}=（-2，2）B={x| $\frac{1}{x+1}$ ＞0}=（-1，+∞）∴A∩B=（-1，2）={x|-1＜x＜2}故答案为：{x|-1＜x＜2}【点评】：本题考查的知识点是交集及其运算，其中根据绝对值不等式及分式不等式的解法，求出集合A，B，是解答本题的关键．4.（填空题，4分）方程lg（2x+1）+lgx=1的解集为 ___ ．【正确答案】：[1]{2}【解析】：在保证对数式的真数大于0的前提下由对数的和等于乘积的对数去掉对数符号，求解一元二次方程得答案．【解答】：解：∵lg（2x+1）+lgx=1，∴lg（x（2x+1））=lg10，∴ $\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{2x+1＞0}\\{x(2x+1)=10}\end{array}\right.$ ，解得：x=2．故答案为：{2}．【点评】：本题考查了对数的运算性质，关键是注意对数式本身有意义，是基础题．5.（填空题，4分）设函数 $f(x)=\left\{{\left.\begin{array}{l}{{x^2}+1(x≥0)}\\{2x(x＜0)}\end{array}\right.}\right.$ ，那么f-1（10）=___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：欲求f-1（10），根据原函数的反函数为f-1（x）知，只要求满足于f（x）=10的x 的值即可，故只要解方程f（x）=10即得．【解答】：解：令f（t）=10，则t=f-1（10），当t＜0有2t=10⇒t=5，不合，当t≥0有t2+1=10⇒t=-3（舍去）或t=3，那么f-1（10）=3故答案为：3．【点评】：本题主要考查了反函数，一般地，设函数y=f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用y把x表示出，得到x=f（y）．若对于y在C中的任何一个值，通过x=f（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=f（y）就表示y是自变量，x是因变量y的函数，这样的函数x=f（y）（y∈C）叫做函数y=f（x）（x∈A）的反函数，记作y=f-1（x）．6.（填空题，4分）若集合A={x|3cos2πx=3x，x∈R}，B={y|y2=1，y∈R}，则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]{1}【解析】：利用余弦函数和指数函数的图象化简集合A，求解二次方程化简集合B，然后直接取交集运算．【解答】：解：函数y=3cos2πx与y=3x的图象如图，所以A={x|3cos2πx=3x，x∈R}={x1，x2，1}，B={y|y2=1，y∈R}={-1，1}，所以A∩B={x1，x2，1}∩{-1，1}={1}．故答案为{1}．【点评】：本题考查了交集及其运算，考查了余弦函数和指数函数的图象，解答的关键是由余弦函数和指数函数的图象化简集合A．是基础题．7.（填空题，5分）幂函数y=xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）．设点A（1，0），B（0，1），连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα，y=xβ的图象三等分，即有BM=MN=NA．那么αβ=___ ．【正确答案】：[1]1【解析】：先确定M、N的坐标，然后求得α，β；再求αβ的值．【解答】：解：BM=MN=NA，点A（1，0），B（0，1），所以M $(\frac{1}{3}，\frac{2}{3})$N $(\frac{2}{3}，\frac{1}{3})$ ，分别代入y=xα，y=xβ$α={log}_{\frac{2}{3}}^{\frac{1}{3}}，\;\;\;β={log}_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}}$$αβ={log}_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}}\bullet {log}_{\frac{2}{3}}^{\frac{1}{3}}=1$故答案为：1【点评】：本题考查指数与对数的互化，幂函数的图象，是基础题．8.（填空题，5分）已知函数f（x）=a x+1-2（a＞0且a≠1）的图象不经过第四象限，则a的取值范围为___ ．【正确答案】：[1][2，+∞）【解析】：根据指数函数的图象与性质，求出f（x）恒过定点，结合题意列不等式求出a的取值范围．【解答】：解：函数f（x）=a x+1-2（a＞0且a≠1）中，令x+1=0，得x=-1，所以f（-1）=1-2=-1，即f（x）的图象过定点（-1，-1）；由f（x）的图象不经过第四象限，则f（0）=a-2≥0，解得a≥2，所以a的取值范围是[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．【点评】：本题主要考查了指数型函数的图象与性质的应用问题，是基础题．9.（填空题，5分）已知函数f（x）=asinx+cosx在 $[{0，\frac{π}{2}}]$上的最小值为-2，则实数a的值为 ___ ．【正确答案】：[1]-2【解析】：f（x）=asinx+cosx在 $[{0，\frac{π}{2}}]$上的最小值为-2，可分a≥0与a＜0两类讨论，结合题意求得实数a的值．【解答】：解：∵函数f（x）=asinx+cosx在 $[{0，\frac{π}{2}}]$上的最小值为-2，① 若a≥0，则y=asinx≥0，y=cosx≥0，f（x）≥0，与题意不符；② 若a＜0，则y=asinx与y=cosx均在 $[{0，\frac{π}{2}}]$上单调递减，∴f（x）=asinx+cosx在 $[{0，\frac{π}{2}}]$上单调递减，∴f（x）min=f（ $\frac{π}{2}$）=a=-2，符合题意，故答案为：-2．【点评】：本题考查三角函数的单调性与最值，考查分类讨论思想与逻辑思维能力及运算求解能力，属于中档题．10.（填空题，5分）给出四个命题：其中所有的正确命题的序号是___① 存在实数α，使sinαcosα=1；② 存在实数α，使$sinα+cosα=\frac{3}{2}$ ；③ $y=sin(\frac{5π}{2}-2x)$ 是偶函数；④ $x=\frac{π}{8}$是函数 $y=sin(2x+\frac{5π}{4})$的一条对称轴方程；⑤ 若α，β是第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ．【正确答案】：[1] ③ ④【解析】：根据二倍角公式得到sinαcosα= $\frac{1}{2}$ sin2α，结合正弦函数的值域可判断① 正误；根据两角和与差的正弦公式可得到sinα+cosα= $\sqrt{2}$ sin（α+ $\frac{π}{4}$）结合正弦函数的可判断② 正误；根据诱导公式得到 $y=sin(\frac{5π}{2}-2x)$ =sin（ $\frac{π}{2}$ -2x）=cos2x，再由余弦函数的奇偶性可判断③ 正误；将 $x=\frac{π}{8}$代入到 $y=sin(2x+\frac{5π}{4})$得到sin（2× $\frac{π}{8}$ +$\frac{5π}{4}$）=sin $\frac{3π}{2}$ =-1，根据正弦函数的对称性可判断④ 正误．利用反例判断⑤ 的正误，即可．【解答】：解：对于① ，由sinα•cosα=1，得sin2α=2，矛盾；① 错误．对于② ，由$sinα+cosα=\frac{3}{2}$ ，得 $\sqrt{2}$ sin（α+ $\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{2}$ ，矛盾；② 错误．对于③ ， $y=sin(\frac{5π}{2}-2x)$ =sin（ $\frac{π}{2}$ -2x）=cos2x，是偶函数；③ 正确．对于④ ，将 $x=\frac{π}{8}$代入到 $y=sin(2x+\f rac{5π}{4})$得到sin（2× $\frac{π}{8}$ + $\frac{5π}{4}$）=sin $\frac{3π}{2}$ =-1， $x=\frac{π}{8}$是函数$y=sin(2x+\frac{5π}{4})$的图象的一条对称轴方程．④ 正确．对于⑤ ，不妨取β=60°，α=390°，α＞β但是sinα＜sinβ．∴ ⑤ 不正确．故③ ④ 正确故答案为：③ ④ ．【点评】：本题主要考查二倍角公式、两角和与差的公式、诱导公式和三角函数的对称性．考查三角函数公式的综合应用．三角函数的公式比较多，很容易记混，平时要注意积累．是基础题．11.（填空题，5分）某同学向王老师请教一题：若不等式x-4e x-alnx≥x+1对任意x∈（1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．王老师告诉该同学：“e x≥x+1恒成立，当且仅当x=0时取等号，且g（x）=x-4lnx在（1，+∞）有零点”．根据王老师的提示，可求得该问题中a的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-∞，-4]【解析】：根据函数h（x）=x-4lnx在（1，+∞）有零点，设为x0，得到x0=4lnx0，e x0=x04，根据函数h（x）的单调性求出x0的范围，根据f（x0）=-（a+4）lnx0≥0，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】：解：x-4e x-alnx≥x+1，即 $\frac{{e}^{x}}{{x}^{4}}$ -alnx≥x+1，令f（x）= $\frac{{e}^{x}}{{x}^{4}}$ -alnx-x-1，（x＞1），函数h（x）=x-4lnx在（1，+∞）有零点，设为x0，则h（x0）=x0-4lnx0=0，则x0=4lnx0，则e x0= ${{x}_{0}}^{4}$ ，h′（x）=1- $\frac{4}{x}$ = $\frac{x-4}{x}$ ，令h′（x）＞0，解得：x＞4，令h′（x）＜0，解得：1＜x＜4，故h（x）在（1，4）递减，在（4，+∞）递增，而h（1）=1，h（4）=4-4ln4＜0，故1＜x0＜4，故f（x0）= $\frac{{e}^{{x}_{0}}}{{{x}_{0}}^{4}}$ -alnx0-x0-1=$\frac{{{x}_{0}}^{4}}{{{x}_{0}}^{4}}$ -alnx0-4lnx0-1=-（a+4）lnx0≥0，∵lnx0＞0，∴a+4≤0，故a≤-4，故a的取值范围是（-∞，-4]，故答案为：（-∞，-4]．【点评】：本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道综合题．12.（填空题，5分）设二次函数f（x）=mx2-2x+n（m，n∈R），若函数f（x）的值域为[0，+∞），且f（1）≤2，则 $\frac{{m}^{2}}{{n}^{2}+1}$ + $\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}+1}$ 的取值范围为 ___ ．【正确答案】：[1][1，13]【解析】：根据二次函数的性质以及基本不等式的性质求出代数式的取值范围即可．【解答】：解：二次函数f（x）=mx2-2x+n（m，n∈R），若函数f（x）的值域为[0，+∞），则Δ=4-4mn=0，解得：mn=1，且m＞0，又f（1）=m-2+n≤2，n= $\frac{1}{m}$ ，则m+ $\frac{1}{m}$ ≤4，∴ $\frac{{m}^{2}}{{n}^{2}+1}$ + $\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}+1}$= $\frac{{m}^{2}}{1+\frac{1}{{m}^{2}}}$ + $\frac{\frac{1}{{m}^{2}}}{1{+m}^{2}}$= $\frac{{m}^{6}+1}{{m}^{2}(1{+m}^{2})}$= $\frac{{m}^{4}{-m}^{2}+1}{{m}^{2}}$=m2+ $\frac{1}{{m}^{2}}$ -1，而由m+ $\frac{1}{m}$ ≤4，m＞0，得2≤m2+ $\frac{1}{{m}^{2}}$ ≤14，故m2+ $\frac{1}{{m}^{2}}$ -1的取值范围是[1，13]，即 $\frac{{m}^{2}}{{n}^{2}+1}$ + $\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}+1}$ 的取值范围是[1，13]，故答案为：[1，13]．【点评】：本题考查了二次函数的性质，考查基本不等式的性质，是中档题．13.（单选题，5分）一个扇形的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，则它的圆心角是（）弧度A.2B.3C.4D.5【正确答案】：A【解析】：结合扇形面积公式及弧长公式可求l，r，然后结合扇形圆心角公式可求．【解答】：解：设扇形半径r，弧长l，则$\left\{\begin{array}{l}{l+2r=4}\\{\frac{1}{2}lr=2}\end{array}\right.$ ，解得r=1，l=2，所以圆心角为 $\frac{l}{r}$ =2．故选：A．【点评】：本题主要考查了扇形面积公式及弧长公式，属于基础题．14.（单选题，5分）对于函数f（x）=asinx+bx+c（其中，a，b∈R，c∈Z），选取a，b，c 的一组值计算f（1）和f（-1），所得出的正确结果一定不可能是（）A.4和6C.2和4D.1和2【正确答案】：D【解析】：求出f（1）和f（-1），求出它们的和；由于c∈Z，判断出f（1）+f（-1）为偶数．【解答】：解：f（1）=asin1+b+c ①f（-1）=-asin1-b+c ②① + ② 得：f（1）+f（-1）=2c∵c∈Z∴f（1）+f（-1）是偶数故选：D．【点评】：本题考查知函数的解析式求函数值、考查偶数的特点．15.（单选题，5分）设函数f（x）= $\frac{1}{x}$ ，g（x）=ax2+bx（a，b∈R，a≠0）若y=f （x）的图象与y=g（x）图象有且仅有两个不同的公共点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列判断正确的是（）A.当a＜0时，x1+x2＜0，y1+y2＞0B.当a＜0时，x1+x2＞0，y1+y2＜0C.当a＞0时，x1+x2＜0，y1+y2＜0D.当a＞0时，x1+x2＞0，y1+y2＞0【正确答案】：B【解析】：画出函数的图象，利用函数的奇偶性，以及二次函数的对称性，不难推出结论．【解答】：解：当a＜0时，作出两个函数的图象，若y=f（x）的图象与y=g（x）图象有且仅有两个不同的公共点，必然是如图的情况，因为函数f（x）= $\frac{1}{x}$ 是奇函数，所以A与A′关于原点对称，显然x2＞-x1＞0，即x1+x2＞0，-y1＞y2，即y1+y2＜0，同理，当a＞0时，有当a＞0时，x1+x2＜0，y1+y2＞0【点评】：本题考查的是函数图象，直接利用图象判断；也可以利用了构造函数的方法，利用函数与导数知识求解．要求具有转化、分析解决问题，由一般到特殊的能力．题目立意较高，很好的考查能力．16.（单选题，5分）设函数f（x）=2x-2-x+ $\frac{3}{|x|+1}$ ，x∈R，对于实数a、b，给出以下命题：命题p1：a+b≥0；命题p2：a-b2≥0；命题q：f（a）+f（b）≥0．下列选项中正确的是（）A.p1、p2中仅p1是q的充分条件B.p1、p2中仅p2是q的充分条件C.p1、p2都不是q的充分条件D.p1、p2都是q的充分条件【正确答案】：D【解析】：令f（x）=g（x）+h（x），g（x）=2x-2-x，h（x）= $\frac{3}{|x|+1}，x∈R$，g （x）是奇函数，在R上单调递增，h（x）是偶函数，在（-∞，0）单调增，在（0，+∞）单调减，且h（x）＞0，根据这些信息即可判断．【解答】：解：令f（x）=g（x）+h（x），g（x）=2x-2-x，h（x）= $\frac{3}{|x|+1}，x∈R$，g（x）是奇函数，在R上单调递增，h（x）是偶函数，在（-∞，0）单调增，在（0，+∞）单调减，且h（x）＞0，f（a）+f（b）≥0⇒f（a）≥-f（b），即g（a）+h（a）≥-g（b）-h（b），即g（a）+h（a）≥g（-b）+[-h（b）]，① 当a+b≥0时，a≥-b，故g（a）≥g（-b），又h（x）＞0，故h（a）＞-h（b），∴此时f（a）+f（b）≥0，可得p1是q的充分条件；② 当a-b2≥0时，则有：a≥0， $-\sqrt{a}≤b≤\sqrt{a}$ ， $-\sqrt{a}≤-b≤\sqrt{a}$ ，（i）当a≥1时，a≥ $\sqrt{a}$ ，则-b≤a，故g（a）≥g（-b）；此时，h（a）＞0，-h（b）＜0，∴h（a）＞-h（b），∴f（a）+f（b）≥0成立；（ii）当a=0时，b=0，f（0）+f（0）=6≥0成立，即f（a）+f（b）≥0成立；（iii）∵g（x）在R上单调递增，h（x）在（-∞，0）单调递增，∴f（x）=g（x）+h（x）在（-∞，0）单调递增，∵f（-1）=0，∴f（x）＞0在（-1，0）上恒成立；又∵x≥0时，g（x）≥0，h（x）＞0，∴f（x）＞0在[0，+∞）上恒成立，∴f（x）＞0在（-1，+∞）恒成立，故当0＜a＜1时，a＜ $\sqrt{a}$ ＜1，-1＜- $\sqrt{a}≤b≤\sqrt{a}＜1$ ，∴f（a）＞0，f（b）＞0，∴f（a）+f（b）≥0成立．综上所述，a-b2≥0时，均有f（a）+f（b）≥0成立，∴p2是q的充分条件．故选：D．【点评】：本题的关键是将函数f（x）拆成一个奇函数和一个函数值始终为正数的偶函数之和，考查对函数基本性质的掌握与熟练运用．17.（问答题，15分）已知函数 $f(x)=lg\frac{1+x}{1-x}$ 的定义域为集合A，集合B=（a，a+1），且B⊆A．（1）求实数a的取值范围；（2）求证：函数y=f（x）是奇函数但不是偶函数．【正确答案】：【解析】：（1）由 $\frac{1+x}{1-x}$ ＞0可求得f（x）的定义域A，由B=（a，a+1），且B⊆A，列式计算可求得答案；（2）可证得f（x）+f（-x）=0，从而可得结论成立．【解答】：解：（1）由 $\frac{1+x}{1-x}$ ＞0得-1＜x＜1，∴函数 $f(x)=lg\frac{1+x}{1-x}$ 的定义域A=（-1，1）；又B=（a，a+1），且B⊆A，∴ $\left\{\begin{array}{l}{a≥-1}\\{a+1≤1}\end{array}\right.$ ，解得-1≤a≤0，即a∈[-1，0]；（2）证明：∵f（x）+f（-x）=lg $\frac{1+x}{1-x}$ +lg $\frac{1-x}{1+x}$ =lg（ $\frac{1+x}{1-x}$ • $\frac{1-x}{1+x}$ ）=lg1=0，∴f（-x）=-f（x），f（-x）≠f（x），∴函数y=f（x）是奇函数但不是偶函数．【点评】：本题考查函数奇偶性的性质与判断，考查推理能力与运算求解能力，属于中档题．18.（问答题，15分）如图，在半径为20cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上．（1）请你在下列两个小题中选择一题作答即可：① 设∠BOC=θ，矩形ABCD的面积为S=g（θ），求g（θ）的表达式，并写出θ的范围．② 设BC=x（cm），矩形ABCD的面积为S=f（x），求f（x）的表达式，并写出x的范围．（2）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积．【正确答案】：【解析】：（1）① 连接OC，设∠BOC=θ，矩形ABCD的面积为S，则S=AB•BC=2OB•BC=900sin2θ，由三角函数的知识，得出S的最大值以及对应BC的值．② 连接OC，设BC=x，矩形ABCD的面积为S；则S=AB•BC=2x $\sqrt{400-{x}^{2}}$ =2 $\sqrt{{x}^{2}(400-{x}^{2})}$ ，由基本不等式可得S的最大值以及对应的x的取值；（2）根据（1）问的解答，即可得出怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大及最大值．【解答】：解：如图所示，（1）① 连接OC，设∠BOC=θ，矩形ABCD的面积为S，则BC=20sinθ，OB=20cosθ（其中0＜θ＜ $\frac{π}{2}$）；∴S=AB•BC=2OB•BC=400sin2θ，且当sin2θ=1，即θ= $\frac{π}{4}$时，S取最大值为400，此时BC=10 $\sqrt{2}$ ；所以，取BC=10 $\sqrt{2}$ 时，矩形ABCD的面积最大，最大值为400cm2．② 连接OC，设BC=x，矩形ABCD的面积为S；则AB=2 $\sqrt{400-{x}^{2}}$ （其中0＜x＜20），∴S=2x $\sqrt{400-{x}^{2}}$ =2 $\sqrt{{x}^{2}(400-{x}^{2})}$ ≤x2+（400-x2）=400，当且仅当x2=400-x2，即x=10 $\sqrt{2}$ 时，S取最大值400；所以，取BC=10 $\sqrt{2}$ cm时，矩形ABCD的面积最大，最大值为400cm2．（2）由（1）知，取∠BOC= $\frac{π}{4}$时，得到C点，从而截得的矩形ABCD，此时截得的矩形ABCD的面积最大，最大值为400cm2．【点评】：本题综合考查了二次函数、三角函数的最值问题，这里应用了基本不等式的方法求出了函数的最值．19.（问答题，15分）在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦： $sinh(x)=\frac{{e^x}-{e^{-x}}}{2}$ ，双曲余弦函数： $cosh(x)=\frac{{e^x}+{e^{-x}}}{2}$ ．（e是自然对数的底数，e=2.71828⋯）．（1）解方程：cosh（x）=2；（2）类比两角和的正弦公式，写出两角和的双曲正弦公式：sinh（x+y）=___ ，并证明；（3）若对任意t∈[0，ln2]，关于x的方程sinh（t）+cosh（x）=a有解，求实数a的取值范围．【正确答案】：sinh（x）cosh（y）+cosh（x）sinh（y）【解析】：（1）cosh（x）=2，即e x+e-x=4，化简得（e x）2-4e x+1=0，即可求解，（2）sinh（x+y）=sinh（x）cosh（y）+cosh（x）sinh（y），将双曲正弦与双曲余弦函数分别代入左右两边验证，即可证明，（3）分析可知a≥ $\frac{{e}^{t}-{e}^{-t}}{2}$ +1有解，利用函数的单调性可求得实数a的取值范围．【解答】：解：（1）cosh（x）=2，即：e x+e-x=4，整理得（e x）2-4e x+1=0，解得：x=ln（2± $\sqrt{3}$ ）．（2）sinh（x+y）=sinh（x）cosh（y）+cosh（x）sinh（y），理由：左边=sinh（x+y）= $\frac{{e}^{x+y}-{e}^{-x-y}}{2}$ ，右边=sinh（x）cosh（y）+cosh（x）sinh（y）= $\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$ ×$\frac{{e}^{y}+{e}^{-y}}{2}$ + $\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$ × $\frac{{e}^{y}-{e}^{-y}}{2}$ = $\frac{{e}^{x+y}+{e}^{x-y}-{e}^{y-x}-{e}^{-x-y}}{2}$ × $\frac{1}{2}$ +$\frac{{e}^{x+y}+{e}^{y-x}-{e}^{x-y}-{e}^{-x-y}}{4}$ = $\frac{{e}^{x+y}-{e}^{-x-y}}{2}$ ，左边等于右边，于是sinh（x+y）=sinh（x）cosh（y）+cosh（x）sinh（y）成立．（3）因为t∈[0，ln2]，则1≤e t≤2，则a=sinh（t）+cosh（x）= $\frac{{e}^{t}-{e}^{-t}}{2}$ + $\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$ ，所以a- $\frac{{e}^{t}-{e}^{-t}}{2}$ = $\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$ ≥ $\sqrt{{e}^{x}\bullet {e}^{-x}}$ =1，当且仅当x=0时取等号，则a≥ $\frac{{e}^{t}-{e}^{-t}}{2}$ +1有解，因为函数y=e t，y=-e-t均为[0，ln2]上的增函数，故函数g（t）= $\frac{{e}^{t}-{e}^{-t}}{2}$ +1在[0，ln2]上为增函数，所以a≥g（t）min=g（0）=1，故实数a的取值范围为[1，+∞）．【点评】：本题考查的知识要点：函数的性质，函数的单调性，基本不等式，构造函数的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．20.（问答题，15分）对闭区间I，用M I表示函数y=f（x）在I上的最大值．（1）对于 $f(x)=x+\frac{4}{x}$ ，求M[1，4]的值；（2）已知 $f(x)=asin({x+\frac{π}{3}})+cos({x+\frac{π}{2}})$，且y=f（x）偶函数，${M_{[a，b]}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求b-a的最大值；（3）已知f（x）=sinx，若有且仅有一个正数a使得M[0，a]=kM[a，2a]成立，求实数k的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）判断y=f（x）的单调性即可求解；（2）由偶函数求得a=2，根据y=f（x）的最大值判断a，b范围，即可求解；（3）讨论0＜k＜1与1≤k，当M[0，a]=kM[a，2a]时，判断正数a的取值个数，即可求解．【解答】：解：（1）对任意x1，x2∈[1，2]，且x1＜x2时，由 $f(x_{1})-f(x_{2})=x_{1}+\frac{4}{x_{1}}-(x_{2}+\frac{4}{x_{2}})=(x_{1}-x_{2})(1-\frac{4}{x_{1}x_{2}})＞0$ ，对任意x1，x2∈[2，4]，且 x1＜x2时，由 $f(x_{1})-f(x_{2})=x_{1}+\frac{4}{x_{1}}-(x_{2}+\frac{4}{x_{2}})=(x_{1}-x_{2})(1-\frac{4}{x_{1}x_{2}})＜0$ ，所以 $f(x)=x+\frac{4}{x}$ 在[1，2]上单调递减，在[2，4]上单调递增；又 $f(1)=1+\frac{4}{1}=5，f(4)=4+\frac{4}{4}=5$ ，所以M[1，4]=5；（2）由于y=f（x）是偶函数，所以 $f(-\frac{π}{6})=f(\frac{π}{6})$，则 $asin(-\frac{π}{6}+\frac{π}{3})+cos(-\frac{π}{6}+\frac{π}{2})=asin(\frac{π}{6}+\frac{π}{3})+cos(\frac{π}{6}+\frac{π}{2})$，解得a=2；则 $f(x)=2sin(x+\frac{π}{3})+cos(x+\frac{π}{2})=\sqrt{3}cosx$ ，因为 ${M}_{[a，b]}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，所以 $\f rac{π}{3}+2kπ≤a＜b≤\frac{5π}{3}+2kπ，k∈Z$，故b-a的最大值为 $\frac{4π}{3}$．（3）① 当0＜k＜1时，由于M[0，a]=kM[a，2a]，则M[0，a]＜M[a，2a]，所以 $0＜a＜\frac{π}{2}$，若 $0＜a＜\frac{π}{4}$时，有M[0，a]=sina，M[a，2a]=sin2a=2sinacosa，所以sina=2ksinacosa，得 $cosa=\frac{1}{2k}$ ；若 $0＜k≤\frac{1}{2}$ 时，有 $cosa=\frac{1}{2k}∈[1，+∞)$，此时a无解；若 $\frac{1}{2}＜k＜\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，有 $cosa=\frac{1}{2k}∈(\frac{\sqrt{2}}{2}，1)$ ，此时a有一解；若 $\frac{\sqrt{2}}{2}≤k＜1\;\\;时，\\;\\;有cosa=\frac{1}{2k}∈(\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}]$ 时有 $cosa=\frac{1}{2k}∈(\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}]$ ，此时 a 无解；若$\frac{π}{4}≤a＜\frac{π}{2}$时，有$M_{[0，a]}=sina，M_{[a，2a]}=sin\frac{π}{2}=1$，所以sina=k，因为$sina∈[\frac{\sqrt{2}}{2}，1)$ ，若 $0＜k≤\frac{1}{2}$ 时，此时a无解；若 $\frac{1}{2}＜k＜\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，此时a无解；若 $\frac{\sqrt{2}}{2}≤k＜1$ 时，此时a有一解；② 当k≥1时，由于M[0，a]=kM[a，2a]，则M[0，a]≥M[a，2a]，所以 $\frac{π}{2}≤a$，有 $M_{[0，a]}=sin\frac{π}{2}=1$，则 $M_{[a，2a]}=\frac{1}{k}$ ，若k=1，则M[a，2a]=1 得 $a=\frac{π}{2}$或 $a=\frac{5π}{4}$等，若 $1＜k，M_{[a，2a]}=\frac{1}{k}$ ，则 $sina=\frac{1}{k}$ 或 $sin2a=\frac{1}{k}$ ，在$[\frac{π}{2}，\frac{5π}{4}]$上，a 必有两解．综上所述： $\frac{1}{2}＜k＜1$ ，即k的取值范围是（ $\frac{1}{2}$ ，1）．【点评】：本题考查了三角函数的最值问题，用到分类讨论的思想，属于难题．21.（问答题，16分）定义域为R的函数y=f（x），对于给定的非空集合A，A⊆R，若对于A 中的任意元素a，都有f（x+a）≥f（x）成立，则称函数y=f（x）是“集合A上的Z-函数”．（1）给定集合A={-1，1}，函数y=f（x）是“集合A上的Z-函数”，求证：函数y=f（x）是周期函数；（2）给定集合A={1}，g（x）=ax2+bx+c，若函数y=g（x）是“集合A上的Z-函数”，求实数a、b、c所满足的条件；（3）给定集合A=[0，1]，函数y=h（x）是“集合A上的Z-函数”，求证：“y=h（x）是周期函数”的充要条件是“y=h（x）是常值函数”．【正确答案】：【解析】：（1）推导出f（x）≥f（x+1）且f（x+1）≥f（x），可得出f（x）=f（x+1），由此能证明结论成立；（2）由已知可得2ax+a+b≥0对任意x∈R恒成立，由此能求出实数a、b、c所满足的条件；（3）利用Z-函数的定义、函数的周期性的定义，结合充分条件、必要条件的定义，能证明结论成立．【解答】：解：（1）证明：由题意得对任意x∈R，f（x-1）≥f（x），可得f（x）≥f（x+1），对任意的x∈R，f（x+1）≥f（x），∴f（x）=f（x+1），∴函数y=f（x）是周期函数．（2）由题意可知，对任意的x∈R，g（x+1）≥g（x），即a（x+1）2+b（x+1）+c≥ax2+bx+c，∴2ax+a+b≥0对任意的x∈R恒成立，∴ $\left\{\begin{array}{l}{2a=0}\\{a+b≥0}\end{array}\right.$ ，∴a=0，b≥0，c∈R．（3）证明：若函数y=h（x）是周期函数，设其周期为T（T＞0），∵函数y=h（x）是集合Ah的Z-函数，则存在a1∈（0，1），k∈N*，使得ka1≤T≤（k+1）a1，∴0≤T-ka1≤a1≤1，0≤（k+1）a1-T≤a＜1，对任意的x0∈R，h（x0）≤h（x0+a1）≤•••≤h（x0+ka1）≤h[（x0+ka1）+T-ka1]=h（x0+T）=h（x0），∴h（x0）=h（x0+a1）=•••=h（x0+ka1）=h（x0+T），∴对任意的x∈[x0，x0+T]，h（x）=h（x0），对任意的n∈Z，h（x0）=h（x0+nT），且R=•••∪[x0-2T，x0-T]∪[x0-T，x0]∪[x0，x0+T]∪•••，∴对任意的x∈R，h（x）=h（x0）=C为常数，即”y=h（x）是周期函数“⇒”y=h（x）是常值函数“，若函数y=h（x）是常值函数，对任意的x∈R，a∈A，h（x+a）≥h（x）成立，且h（x+ $\frac{1}{2}$ ）=h（x），∴函数y=h（x）是周期函数，即”y=h（x）是常值函数“⇒”y=h（x）是周期函数“，综上，“y=h（x）是周期函数”的充要条件是“y=h（x）是常值函数”．【点评】：本题考查周期函数、充要条件的证明，考查满足条件的实数的求法，考查函数的周期性、函数值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。
2020-2021学年上海市交通大附属中学高一上学期期中考试数学试卷(含详解)
上海交通大学附属中学2020-2021学年第一学期高一数学期中考试试卷一､填空题(1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分)1.已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，{}2,3B =则A B ⋂=______.2.函数20202022(0,1)x y aa a +=+>≠的图像恒过定点______.3.已知幂函数()()22322n nf x n n x-=+-（n Z ∈）的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上是减函数，则n 的值为______.4.函数132xy x-=+的图象中心是______.5.函数y =的定义域是______.6.已知实数a 满足()()3322211a a --->+，则实数a 的取值范围是_________.7.已知6x <，求2446x x x ++-的最大值______.8.设log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，则log b ac =______.9.著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是_______．10.若关于x 的方程222210()x xa a a R +⋅++=∈有实根，则实数a 的取值范围是______.11.已知函数)()lg f x ax =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是____________．12.若实数、满足114422x y x y +++=+，则22x y S =+的取值范围是_______．二､选择题(每小题5分，共20分)13.已知,a b ∈R ，则“33a b >”是“33a b >”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件14.若函数()()log a f x x b =+的大致图象如图，其中,a b 为常数，则函数()xg x a b =+的大致图像是（）A. B.C. D.15.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割）,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ,且满足Q M N ⋃=，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素,则称(,)M N 为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割(,)M N ,下列选项中,不可能成立的是（）A.M 没有最大元素,N 有一个最小元素 B.M 没有最大元素,N 也没有最小元素C.M 有一个最大元素,N 有一个最小元素D.M 有一个最大元素,N 没有最小元素16.设函数()y f x =的定义域D ，若对任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，则称函数()y f x =具有性质M .下列结论：①函数3xy =具有性质M ；②函数3y x x =-具有性质M ；③若函数8log (2)y x =+，[]0,x t ∈具有性质M ，则510t =.其中正确的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个三､解答题(共5题，满分76分)17.已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若()4f x ≥，求a 的取值范围.18.有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速所度可以表示为函数301log lg 2100x v x =-，单位是km /min ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数0x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（参考数据lg 20.3,= 1.2 1.43 3.74,3 4.66==）（1）若05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（2）若雄鸟的飞行速度为1.5km /min ，雌鸟的飞行速度为1km /min ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？19.柯西不等式具体表述如下：对任意实数1a ，2a ，n a 和1b ，2b n b ，(,2)n Z n ∈≥都有()()()222222212121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++L L L ，当且仅当1212n na a ab b b ===L 时取等号.（1）请用柯西不等式证明：对任意正实数a ，b ，x ，y ，不等式222()a b a b x y x y++≥+成立，(并指出等号成立条件)（2）请用柯西不等式证明：对任意正实数1x ，2x ， ，n x ，且121n x x x +++= ，求证：12212211111x x x x x x n+++≥++++ (并写出等号成立条件).20.已知函数､()y f x =的表达式为()(0,1)xf x a a a =>≠，且1(2)4f -=，（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若()()22log ()4()0m f x f x -+=在区间[]0,2上有解，求实数m 的取值范围；（3）已知113k ≤<，若方程()10f x k --=的解分别为1x ､()212x x x <，方程()1021k f x k --=+的解分别为3x ､()434x x x <，求1234x x x x -+-的最大值.21.对于集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ ，其中每个元素均为正整数，如果任意去掉其中一个元素(1,2,3,)i a i n = 之后，剩余的所有元素组成集合(1,2,)i A i n = ，并且i A 都能分为两个集合B 和C ，满足B C =∅ ，i B C A ⋃=，其中B 和C 的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”.（1）判断集合{}1,2,3,4和{}1,3,5,7,9,11,13是否是“可分集合”(不必写过程)；（2）求证：五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；（3）若集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 是“可分集合”.①证明：n 为奇数；②求集合A 中元素个数的最小值.上海交通大学附属中学2020-2021学年第一学期高一数学期中考试试卷一､填空题(1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分)1.已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，{}2,3B =则A B ⋂=______.【答案】{}1【解析】【分析】通过全集，计算出{}0,1,4B =，根据交集的定义即可．【详解】因为{}0,1,2,3,4U =，{}2,3B =，所以{}0,1,4B =所以{}1A B ⋂=．故答案为：{}1．2.函数20202022(0,1)x y aa a +=+>≠的图像恒过定点______.【答案】()2020,2023-【解析】【分析】根据01(0,1)a a a =>≠，结合条件，即可求得答案.【详解】 01(0,1)a a a =>≠，令20200x +=，得2020x =-，020222023y a =+=，∴函数20202022(0,1)x y a a a +=+>≠的图象恒过定点()2020,2023-，故答案为：()2020,2023-.3.已知幂函数()()22322n n f x n n x -=+-（n Z ∈）的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上是减函数，则n 的值为______.【答案】1【解析】【分析】根据函数是幂函数得2221+-=n n ，求得3n =-或1，再检验是否符合题意即可.【详解】因为()()22322n n f x n n x -=+-是幂函数，2221n n ∴+-=，解得3n =-或1，当3n =-时，()18=f x x 是偶函数，关于y 轴对称，在()0,∞+单调递增，不符合题意，当1n =时，()2f x x -=是偶函数，关于y 轴对称，在()0,∞+单调递减，符合题意，1n ∴=.故答案为：1.4.函数132xy x-=+的图象中心是______.【答案】()2,3--【解析】【分析】将函数化成ky b x a=++，根据的对称中心为(,)a b -，即可得出答案.【详解】1373(2)73222x x y x x x --+===-+++，因为函数72y x =+的图象的对称中心是()2,0-，所以函数732y x =-+的图象的对称中心是()2,3--.故答案为：()2,3--.【点睛】对称性的3个常用结论：（1）若函数()y f x a =+是偶函数，即()()f a x f a x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称；（2）若对于R 上的任意x 都有(2)()f a x f x -=或(2)()f a x f x +=-，则()y f x =的图象关于直线x a =对称；（3）若函数()y f x b =+是奇函数，即((0))f x b f x b +++-=，则函数()y f x =关于点(,0)b 中心对称.5.函数y =的定义域是______.【答案】(7,)+∞【解析】【分析】根据被开方数非负且分母不为零可得132log 05x ⎛⎫>⎪-⎝⎭，解对数不等式即可求得定义域.【详解】1322log 00155x x ⎛⎫>⇒<<⎪--⎝⎭，()()271075055x x x x x -<⇒>⇒-->--且5x ≠，解得5x <或7x >，2055x x <⇒>-，∴函数y =(7,)+∞.故答案为：(7,)+∞6.已知实数a 满足()()3322211a a --->+，则实数a 的取值范围是_________.【答案】1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据幂函数的定义域和单调性得到关于a 的不等式，解之可得实数a 的取值范围.【详解】由题意知，3322(21)(1)a a --->+，>由于幂函数32y x =的定义域为[0,)+∞，且在[0,)+∞上单调递增，则2101121110a a a a ->⎧⎪⎪>⎨-+⎪+>⎪⎩，即：()()12202111a a a a a ⎧>⎪⎪-⎪>⎨-+⎪⎪>-⎪⎩，所以1221a a a ⎧>⎪⎪<⎨⎪>-⎪⎩，所以实数a 的取值范围是：122a <<．故填：1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查幂函数的定义域和单调性，属于基础题．7.已知6x <，求2446x x x ++-的最大值______.【答案】0【解析】【分析】原式化为64(6)166x x -++-，结合基本不等式即可求解最大值．【详解】6x < ，所以60x ->，2244(6)16(6)6464(6)16666x x x x x x x x ++-+-+==-++---因为64(6)6x x -+-64[(6)]166x x =--+-=--，当且仅当2x =-时，取等号；∴2244(6)16(6)6464(6)160666x x x x x x x x ++-+-+==-++---．即2446x x x ++-的最大值为0．故答案为：0．【点睛】方法点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.8.设log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，则log b ac =______.【答案】3737±【解析】【分析】根据题意由韦达定理得log log 5c c a b +=-，log log 3c c a b ⋅=-，进而得()2log log 37c c a b -=，再结合换底公式得137log 37log b acc b a==±【详解】解：因为log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，所以由韦达定理得log log 5c c a b +=-，log log 3c c a b ⋅=-，所以()()22log log log log 4log log 37c c c c c c a b a b a b -=+-⋅=，所以log log c c b a -=所以1137log log log 37log b c c acc b b a a===±-.故答案为：3737±【点睛】本题解题的关键在于根据韦达定理与换底公式进行计算，其中()()22log log log log 4log log c c c c c c a b a b a b -=+-⋅，1log log b acc b a=两个公式的转化是核心，考查运算求解能力，是中档题.9.著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是_______．【答案】存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.【解析】【分析】从命题的否定入手可解.【详解】反证法先否定命题，故答案为存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.【点睛】本题主要考查反证法的步骤，利用反证法证明命题时，先是否定命题，结合已知条件及定理得出矛盾，从而肯定命题.10.若关于x 的方程222210()x xa a a R +⋅++=∈有实根，则实数a 的取值范围是______.【答案】(,4-∞-【解析】【分析】利用换元法，设20x t t =>，，转化为方程2210t at a +++=，有正根，分离参数，求最值.【详解】设20x t t =>，，转化为方程2210t at a +++=，有正根，即221(2)4(2)55[(2)]4222t t t a t t t t ++-++=-=-=-++++++，022t t >∴+> ，，则5[(2)4442t t -+++≤-+=-+当且仅当5(2)2t t +=+，即2t =时取等，(,4a ∴∈-∞-故答案为：(,4-∞-11.已知函数)()lgf x ax =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是____________．【答案】[1,1]-【解析】【分析】根据对数函数的真数大于0，得出+ax ＞0恒成立，利用构造函数法结合图象求出不等式恒成立时a 的取值范围．【详解】解：函数f （x ）＝lg （+ax ）的定义域为R ，+ax ＞0恒成立，-ax 恒成立，设y =，x ∈R ，y 2﹣x 2＝1，y ≥1；它表示焦点在y 轴上的双曲线的一支，且渐近线方程为y ＝±x ；令y ＝﹣ax ，x ∈R ；它表示过原点的直线；由题意知，直线y ＝﹣ax 的图象应在y =的下方，画出图形如图所示；∴0≤﹣a ≤1或﹣1≤﹣a <0，解得﹣1≤a ≤1；∴实数a 的取值范围是[﹣1，1]．故答案为[﹣1，1]．【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查数形结合思想与转化思想，是中档题．12.若实数、满足114422x y x y +++=+，则22x y S =+的取值范围是_______．【答案】24S <≤【解析】【详解】1122224+4=2+2(2)(2)2(22)(22)2222(22)x y x y x x y x y x y x y ++⇒+=+⇒+-⋅⋅=+22222xyS S -=⋅⋅，又22(22)022222x y xyS +<⋅⋅≤=．22022S S S <-≤，解得24S <≤二､选择题(每小题5分，共20分)13.已知,a b ∈R ，则“33a b >”是“33a b >”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分、必要条件定义判定即可.【详解】解：当33a b >时，根据指数函数3x y =是定义域内的增函数可得a b >，因为幂函数3y x =是定义域内的增函数，所以33a b >，所以充分性成立，当33a b >时，因为幂函数3y x =是定义域内的增函数，所以a b >，又指数函数3x y =是定义域内的增函数，所以33a b >，所以必要性成立，综上：“33a b >”是“33a b >”的充要条件.故选：C.【点睛】充分条件、必要条件的三种判定方法:（1）定义法：根据,p q q p ⇒⇒进行判断，适用于定义、定理判断性问题；（2）集合法：根据,p q 对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题；（3）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题.14.若函数()()log a f x x b =+的大致图象如图，其中,a b 为常数，则函数()xg x a b =+的大致图像是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】由函数()log ()a f x x b =+的图象为减函数可知，01a <<，且01b <<，可得函数()x g x a b =+的图象递减，且1(0)2g <<，从而可得结果.【详解】由函数()log ()a f x x b =+的图象为减函数可知，01a <<，再由图象的平移知，()log ()a f x x b =+的图象由()log a f x x =向左平移可知01b <<，故函数()x g x a b =+的图象递减，且1(0)2g <<，故选B.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.15.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割）,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ,且满足Q M N ⋃=，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素,则称(,)M N 为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割(,)M N ,下列选项中,不可能成立的是（）A.M 没有最大元素,N 有一个最小元素 B.M 没有最大元素,N 也没有最小元素C.M 有一个最大元素,N 有一个最小元素 D.M 有一个最大元素,N 没有最小元素【答案】C 【解析】【分析】由题意依次举出具体的集合,M N ，从而得到,,A B D 均可成立．【详解】对A ，若{|0}M x Q x =∈<，{|0}N x Q x =∈；则M 没有最大元素，N 有一个最小元素0，故A 正确；对B ，若{|M x Q x =∈<，{|N x Q x =∈；则M 没有最大元素，N 也没有最小元素，故B 正确；对C ，M 有一个最大元素，N 有一个最小元素不可能，故C 错误；对D ，若{|0}M x Q x =∈，{|0}N x Q x =∈>；M 有一个最大元素，N 没有最小元素，故D 正确；故选：C ．【点睛】本题考查对集合新定义的理解，考查创新能力和创新应用意识，对推理能力的要求较高．16.设函数()y f x =的定义域D ，若对任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，则称函数()y f x =具有性质M .下列结论：①函数3xy =具有性质M ；②函数3y x x =-具有性质M ；③若函数8log (2)y x =+，[]0,x t ∈具有性质M ，则510t =.其中正确的个数是（）A.0个 B.1个C.2个D.3个【答案】C 【解析】【分析】根据函数性质M 的定义和指数对数函数的性质，结合每个选项中具体函数的定义，即可判断.【详解】解：对于①：3x y =的定义域是R ，所以1212()()13x x f x f x +⋅==，则120x x +=.对于任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，所以函数3x y =具有性质M ，①正确；对于②：函数3y x x =-的定义域为R ，所以若取10x =，则1()0f x =，此时不存在2x R ∈，使得12()()1f x f x ⋅=，所以函数3y x x =-不具有性质M ，②错误；对于③：函数8log (2)y x =+在[]0,t 上是单调增函数，其值域为[]88log 2,log (2)t +，要使得其具有M 性质，则88881log 2log (2)1log (2)log 2t t ⎧≤⎪+⎪⎨⎪+≤⎪⎩，即88log 2log (2)1t ⨯+=，解得3(2)8t +=，510t =，故③正确；故选：C.【点睛】本题考查函数新定义问题，对数和指数的运算，主要考查运算求解能力和转换能力，属于中档题型.三､解答题(共5题，满分76分)17.已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若()4f x ≥，求a 的取值范围.【答案】（1）32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞ .【解析】【分析】（1）分别在3x ≤、34x <<和4x ≥三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到()()21f x a ≥-，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当2a =时，()43f x x x =-+-.当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤；当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥；综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭.（2）()()()()22222121211f x x a x a x ax a a a a =-+-+≥---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号），()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞ .【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.18.有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速所度可以表示为函数301log lg 2100xv x =-，单位是km /min ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数0x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（参考数据lg 20.3,= 1.2 1.43 3.74,3 4.66==）（1）若05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（2）若雄鸟的飞行速度为1.5km /min ，雌鸟的飞行速度为1km /min ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？【答案】（1）466；（2）3倍.【解析】【分析】（1）将05x =，0v =代入函数解析式，计算得到答案．（2）根据题意得到方程组13023011.5log lg 210011log lg 2100x x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相减化简即可求出答案．【详解】（1）将05x =，0v =代入函数301log lg 2100x v x =-，得：31log lg 502100x-=，即()3log 2lg 521lg 2 1.40100x==-=，所以1.403 4.66100x==，所以466x =．故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位．（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为1x ，雌鸟每分钟耗氧量为2x ，由题意可得：13023011.5log lg 210011log lg 2100x x x x⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相减可得：13211log 22x x =，所以132log 1x x =，即123x x =，故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍．【点睛】方法点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.19.柯西不等式具体表述如下：对任意实数1a ，2a ，n a 和1b ，2b n b ，(,2)n Z n ∈≥都有()()()222222212121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++L L L ，当且仅当1212n na a ab b b ===L 时取等号.（1）请用柯西不等式证明：对任意正实数a ，b ，x ，y ，不等式222()a b a b x y x y++≥+成立，(并指出等号成立条件)（2）请用柯西不等式证明：对任意正实数1x ，2x ， ，n x ，且121n x x x +++= ，求证：12212211111x x x x x x n+++≥++++ (并写出等号成立条件).【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据任意正实数a ，b ，x ，y ，由柯西不等式得222()(()a b x y a b x y +++，从而证明222()a b a b x yx y+++成立；（2）由121n x x x ++=…+，得121(1)(1)(1)n n x x x +=++++⋯++，然后利用柯西不等式，即可证明12212211111x x xx x x n++⋯⋯+++++成立．【详解】（1）对任意正实数a ，b ，x ，y ，由柯西不等式得()()()()222222222a b a b x y a b x y ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎢⎥++=++⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当且仅当x y a b=时取等号，∴222()a b a b x y x y+++．（2）121n x x x ++⋯+= ，121(1)(1)(1)n n x x x ∴+=++++⋯++，2221212()(1)111n nx x x n x x x ++⋯+++++222121212()[(1)(1)(1)]111n n nx x x x x x x x x =++⋯+++++⋯+++++212()1n x x x ++⋯+=，当且仅当121n x x x n==⋯==时取等号，∴222121211111n nx x x x x x n ++⋯+++++．【点睛】方法点睛：利用柯西不等式求最值或证明不等式时，关键是对原目标代数式进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件,配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标代数式进行配凑后利用柯西不等式解答.20.已知函数､()y f x =的表达式为()(0,1)xf x a a a =>≠，且1(2)4f -=，（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若()()22log ()4()0m f x f x -+=在区间[]0,2上有解，求实数m 的取值范围；（3）已知113k ≤<，若方程()10f x k --=的解分别为1x ､()212x x x <，方程()1021k f x k --=+的解分别为3x ､()434x x x <，求1234x x x x -+-的最大值.【答案】（1）()2x f x =；（2）[]3,1-；（3）2log 3-.【解析】【分析】（1）由2211(2)4f aa --===可得答案.（2）由条件可得()2()4()1m f x f x -+=在区间[]0,2上有解，设2x t =，由[]0,2x ∈，则14t ≤≤，即()24123t t t m -+==--在区间[]1,4t ∈上有解，可得答案.（3）由条件121x k =-，221x k =+，即12121x x k k --=+，以及431221xk k +=+或3+1221x k k =+，所以341312x x k k -+=+，从而可得()()1234341241111322213131331x x x x x x x x k k k k k k k -+---+-+-=⋅=⨯==-++++，求出最大值可得答案.【详解】（1）由2211(2)4f a a --===，所以2a =所以()2xf x =（2）()()22log ()4()0m f x f x -+=在区间[]0,2上有解即()2()4()1m f x f x -+=在区间[]0,2上有解即()22421x x m -+⨯=在区间[]0,2上有解即设2x t =，由[]0,2x ∈，则14t ≤≤所以()24123t t t m -+==--在区间[]1,4t ∈上有解当[]1,4t ∈时，[]2134,1t t ∈--+所以31m -≤≤（3）由()10f x k --=，即21x k =+或21x k=-由方程()10f x k --=的解分别为1x ､()212x x x <，则121x k =-，221x k=+所以12121x x k k--=+由()1021k f x k --=+，即31212121x k k k k +=+=++或+1212121xk k k k =-=++方程()1021k f x k --=+的解分别为3x ､()434x x x <，则431221x k k +=+或3+1221xk k =+所以341312x xk k -+=+所以()()1234341241111322213131331x x x x x x x x k k k k k k k -+---+-+-=⋅=⨯==-++++函数431133y k =++-在113k ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，上单调递减，当13k =时，431133y k =++-有最大值13.所以()()1234123x x x x -+-≤，则1322421log log 33x x x x -=-+≤-所以1234x x x x -+-的最大值为2log 3-【点睛】关键点睛：本题考查指数的运算和方程有解求参数，方程根的关系，解答本题的关键是由题意可得()22421x x m -+⨯=在区间[]0,2上有解，设2x t =，分类参数即()24123t t t m -+==--在区间[]1,4t ∈上有解，以及根据方程的根的情况可得()()1234341241111322213131331x x x x x x x x k k k k k k k -+---+-+-=⋅===-++++，属于中档题.21.对于集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ ，其中每个元素均为正整数，如果任意去掉其中一个元素(1,2,3,)i a i n = 之后，剩余的所有元素组成集合(1,2,)i A i n = ，并且i A 都能分为两个集合B 和C ，满足B C =∅ ，i B C A ⋃=，其中B 和C 的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”.（1）判断集合{}1,2,3,4和{}1,3,5,7,9,11,13是否是“可分集合”(不必写过程)；（2）求证：五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；（3）若集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 是“可分集合”.①证明：n 为奇数；②求集合A 中元素个数的最小值.【答案】（1）集合{}1,2,3,4不是，集合{}1,3,5,7,9,11,13是；（2）证明见解析；（3）①证明见解析；②7.【解析】【分析】（1）根据“可分集合”定义直接判断即可得到结论；（2）不妨设123450a a a a a <<<<<，分去掉的元素是1a 时得5234a a a a =++①，或2534a a a a +=+②，去掉的元素是2a 得5134a a a a =++③，或1534a a a a +=+④，进而求解得矛盾，从而证明结论.（3）①设集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 所有元素之和为M ，由题可知，()1,2,3,,i M a i n -= 均为偶数，所以()1,2,3,,i a i n = 的奇偶性相同，进而分类讨论M 为奇数和M 为偶数两类情况，分析可得集合A 中的元素个数为奇数；②结合（1）（2）问依次验证3,5,7n n n ===时集合A 是否为“可分集合”从而证明.【详解】解：（1）对于集合{}1,2,3,4，去掉元素1，剩余的元素组成的集合为{}12,3,4A =，显然不能分为两个集合B 和C ，满足B C =∅ ，1B C A ⋃=，其中B 和C 的所有元素之和相等，故{}1,2,3,4不是“可分集合”对于集合{}1,3,5,7,9,11,13，去掉元素1，{}13,5,7,9,11,13A =，显然可以分为{}{}11,13,3,5,7,9B C ==，满足题意；去掉元素3，{}21,5,7,9,11,13A =，显然可以分为{}{}1,9,13,5,7,11B C ==，满足题意；去掉元素5，{}31,3,7,9,11,13A =，显然可以分为{}{}1,3,7,11,9,13B C ==，满足题意；去掉元素7，{}41,3,5,9,11,13A =，显然可以分为{}{}1,9,11,3,5,13B C ==，满足题意；去掉元素9，{}51,3,5,7,11,13A =，显然可以分为{}{}7,13,1,3,5,11B C ==，满足题意；去掉元素11，{}61,3,5,7,9,13A =，显然可以分为{}{}3,7,9,1,5,13B C ==，满足题意；去掉元素13，{}71,3,5,7,9,11A =，显然可以分为{}{}1,3,5,9,7,11B C ==，满足题意；故{}1,3,5,7,9,11,13是可分集合.（2）不妨设123450a a a a a <<<<<，若去掉的是1a ，则集合{}12345,,,A a a a a =可以分成{}{}5234,,,B a C a a a ==或{}{}2534,,,B a a C a a ==，即：5234a a a a =++①或2534a a a a +=+②若去掉的是2a ，则集合{}21345,,,A a a a a =可以分成{}{}5134,,,B a C a a a ==或{}{}1534,,,B a a C a a ==，即：5134a a a a =++③或1534a a a a +=+④，由①③得21a a =，矛盾；由①④21a a =-，矛盾；由②③得21a a =-，矛盾；由②④21a a =，矛盾；所以五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；（3）①证明：设集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 所有元素之和为M ，由题可知，()1,2,3,,i M a i n -= 均为偶数，所以()1,2,3,,i a i n = 的奇偶性相同，若M 为奇数，则()1,2,3,,i a i n = 也均为奇数，由于12n M a a a =+++ ，所以n 为奇数；若M 为偶数，则()1,2,3,,i a i n = 也均为偶数，此时设()21,2,3,,i i a b i n == ，则{}12,,,n b b b 也是“可分集合”，重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“可分集合”，此时各项之和也为奇数，集合A 中的元素个数为奇数.综上所述，集合A 中的元素个数为奇数.②当3n =时，显然任意集合{}123,,A a a a =不是“可分集合”；当5n =时，第二问已经证明集合{}12345,,,,A a a a a a =不是“可分集合”；当7n =时，第一问已验证集合{}1,3,5,7,9,11,13A =是“可分集合”.所以集合A 中元素个数的最小值为7.【点睛】本题考查集合新定义的问题，对此类题型首先要多读几遍题，将新定义理解清楚，然后根据定义依次验证，证明即可.注意对问题思考的全面性，考查学生的思维迁移能力，分析能力.本题第二问解题的关键在于假设123450a a a a a <<<<<，以去掉元素1a 和2a 两种情况下的可分集合推出矛盾，进而证明，是难题.。
上海市杨浦区交通大学附属中学2020-2021学年高一上学期10月月考数学试卷(解析版)
【分析】对 分 、 、 、 和 五种情况讨论得解.
【详解】当 时，不等式 的解为 ；
当 时，不等式对应方程的根为 或2，
①当 时，不等式 即 的解集为 ；
②当 时，不等式 的解集为 ；
③当 时，不等式 的解集为 ；
④当 时，不等式 的解集为 .
综上所述，当 时，不等式解集 ；
当 时，不等式的解集为 ；
，解不等式即得解
【详解】由题意，
故 且 ，可得
由 可得， 或 ；
由 可得，
因此：
故答案为：
8.设 ，且 ， ，则 最大值为___________;
【答案】10；
【分析】首先由条件可知 ， ，再表示 ，再根据不等式的性质求 的最大值即可.
【详解】 ， ，
， ， ，
设 ，
得 ，解得： ，
即 ，
，
，即 ，
（2）假设 ，试确定当 为何值时， 取得最小值，并求出 的最小值.
【答案】（1） ， ；（2） ， .
【分析】（1）由时间 路程/速度，代入具体数值，即得解；
（2）转化 ，利用均值不等式即得解
【详解】（1）由题意，时间 路程/速度
因此
（2）当 时，
当且仅当 ，即 时，等号成立
故当 时，
12.解关于x的不等式 .
交大附中高一数学10月月考试
一填空题
1.若 ，则 _______ （填入等号或者不等式）
【答案】≥
【分析】直接套用三角不等式 即可得出答案.
【详解】∵ ，
∴ .
故答案为：≥
2.二次不等式 的解集是 ，则 =_______；
【答案】
【分析】利用一元二次不等式的解集求得 ，由此求得 .
2020-2021学年上海市交大附中高一上学期期中化学试卷
2020-2021学年上海市交大附中高一（上）期中化学试卷一、选择题（每小题只有一个正确选项）1．自从1803年英国化学家、物理学家道尔顿提出原子假说以来，人类对原子结构的研究不断深入、不断发展，通过实验事实不断地丰富、完善原子结构理论．请判断下列关于原子结构的说法正确的是（）A．所有的原子都含有质子、中子和电子三种基本构成微粒B．所有的原子中的质子、中子和电子三种基本构成微粒的个数都是相等的C．原子核对电子的吸引作用的实质是原子核中的质子对核外电子的吸引D．原子中的质子、中子和电子三种基本构成微粒不可能再进一步分成更小的微粒2．下列有关化学用语表示正确的是（）A．中子数为10的氧原子：OB．钠离子的电子式：C．Mg2+的结构示意图：D．电离方程式：NaClO→Na++Cl﹣+O2﹣3．下列实验现象描述错误的是（）A．氢气在氯气中燃烧，火焰呈苍白色B．钠在氯气中燃烧火焰呈黄色C．铁丝在氯气中燃烧时产生棕褐色烟雾D．氯气的水溶液呈浅黄绿色4．下列叙述中正确的是（）A．强电解质溶液的导电性一定比弱电解质溶液的导电性强B．稀盐酸溶液能导电，所以稀盐酸是电解质C．二氧化硫溶于水能导电，故二氧化硫属于电解质D．硫酸钡虽然难溶于水，但硫酸钡属于电解质5．16O的质量数常被当做氧元素近似相对原子质量，“近似”不包括的含义是（）A．氧的其他同位素的丰度太低，被忽略了B．质子和中子的相对原子质量都很接近1C．元素的近似相对原子质量一定是整数D．电子的质量太小6．下列仪器中，具有能配制溶液、溶解固体、加热较多试剂三种用途的是（）A．容量瓶B．烧杯C．量筒D．试管7．同温同压同体积的H2和CO（）A．密度不同B．质量相同C．分子大小相同D．分子间距不同8．在标准状况下，如果V升氯化氢中有n个原子，则阿伏加德罗常数为（）A．B．C．D．9．将氯气制成漂白粉的主要目的是（）①使它转化为较易溶于水的物质②转变为较稳定、便于贮存和运输的物质③提高氯的百分含量④提高漂白能力A．①②B．②③C．①②④D．只有②10．下列变化过程中不能直接实现的是（）①HCl ②Cl2③Ca（ClO）2④HClO ⑤CO2。
2020-2021学年上海市青浦区高一(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年上海市青浦区高一（上）期末数学试卷一、填空题（共12小题）.1．已知全集U＝{﹣1，0，2}，集合A＝{﹣1，0}，则＝．2．不等式的解集是．3．已知log32＝a，则用a表示log827＝．4．若a，b∈R，且|a|≤1，|b|≤5，则|a+b|的最大值是．5．已知幂函数y＝（a2﹣a+1）x a+2为奇函数，则实数a的值为．6．已知条件α：0＜x＜4和条件β：0＜x＜a，若α是β的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．7．函数y＝的值域为．8．已知正实数x，y满足+2y＝3，则的最大值为．9．已知函数y＝，则该函数的零点是．10．在创全国文明城区的活动中，督查组对城区的评选设计了x1，x2，x3，x4四项多元评价指标，并通过经验公式来计算各城区的综合得分，S的值越高则评价效果越好．若某城区在自查过程中各项指标显示为0＜x3＜x4＜x2＜x1，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S的值增加最多，那么该指标应为．（填入x1，x2，x3，x4中的一个）11．已知函数y＝f（x），其中f（x）＝x3+x，关于x的不等式f（mx2+2）+f（﹣x）＜0在区间[1，5]上有解，则实数m的取值范围是．12．已知函数f（x）的定义域为R，f（1）＝3，对任意两个不等的实数a，b都有，则不等式f（2x﹣1）＜2x+1的解集为．二、选择题（共4小题）.13．若0＜a＜1，b＜﹣1，则函数f（x）＝a x+b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限14．下列函数中，定义域为R的偶函数是（）A．y＝2x B．y＝x|x|C．y＝|x2﹣1|D．y＝log2|x|15．下列不等式中，恒成立的是（）A．B．|x﹣y|+≥2C．|x﹣y|≥|x﹣z|+|y﹣z|D．x2+16．已知集合A＝[0，），B＝[，1]，f（x）＝，若x0∈A，且f（f（x0））∈A，则x0的取值范围是（）A．B．C．D．三、解答题（本大题满分52分）17．（8分）已知不等式|1﹣2x|＜7的解集是A，函数y＝的定义域是B，求A∩B．18．（10分）已知函数y＝f（x），其中．（1）判断函数y＝f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若g（x）＝f（x）•x+ax，且y＝g（x）在区间（0，2]上是严格减函数，求实数a 的取值范围．19．（10分）设f（x）＝（m+1）x2﹣mx+m﹣1（m∈R）．（1）若不等式f（x）＞0解集为∅，求实数m的取值范围；（2）若不等式f（x）＞0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．20．（10分）研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y与听课时间x（单位：分钟）之间的变化曲线如图所示．当x∈[0，16]时，曲线是二次函数图象的一部分；当x∈[16，40]时，曲线是函数y＝log0.8（x+a）+80图象的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”．（1）求函数y＝f（x）的解析式；（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）21．（14分）定义：如果函数y＝f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在实数x0（a＜x0＜b），满足f（x0）＝，那么称函数y＝f（x）是区间[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．（1）判断函数f（x）＝x4是否是区间[﹣1，1]上的“平均值函数”，并说明理由；（2）若函数g（x）＝﹣4x+m•2x是区间[0，1]上的“平均值函数”，求实数m的取值范围；（3）设函数h（x）＝kx2+x﹣4（k＞0，k∈N）是区间[﹣2，t]（t＞0，t∈N）上的“平均值函数”，1是函数h（x）的一个均值点，求所有满足条件的数对（k，t）．参考答案一、填空题（共12小题）.1．已知全集U＝{﹣1，0，2}，集合A＝{﹣1，0}，则＝{2}．解：全集U＝{﹣1，0，2}，集合A＝{﹣1，0}，由补集的定义＝{x|x∈U且x∉A}，可得＝{2}．故答案为：{2}．2．不等式的解集是（﹣∞，0）∪（2，+∞）．解：当x＞0时，去分母得：x＞2，所以原不等式的解集为：（2，+∞）；当x＜0时，去分母得：x＜2，所以原不等式的解集为：（﹣∞，0），综上，原不等式的解集为：（﹣∞，0）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣∞，0）∪（2，+∞）3．已知log32＝a，则用a表示log827＝．解：因为log32＝a，所以log827＝．故答案为：．4．若a，b∈R，且|a|≤1，|b|≤5，则|a+b|的最大值是6．解：∵|a|≤1，|b|≤5，根据绝对值不等式的性质，得||a|﹣|b||≤|a+b|≤|a|+|b|，∴|a+b|的最大值是6，当a＝1，b＝5或a＝﹣1，b＝﹣5时，|a+b|取得最大值6．故答案为：6．5．已知幂函数y＝（a2﹣a+1）x a+2为奇函数，则实数a的值为1．解：由题意得：a2﹣a+1＝1，解得：a＝0或a＝1，故a＝0时，y＝x2，是偶函数，不合题意，a＝1时，y＝x3，是奇函数，符合题意，故答案为：1．6．已知条件α：0＜x＜4和条件β：0＜x＜a，若α是β的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（4，+∞）．解：∵α是β的充分不必要条件，∴α⫋β，∴a＞4，故答案为：（4，+∞）．7．函数y＝的值域为（﹣1，1）．解：函数y＝，因为x∈R，所以2x+1＞1，所以（﹣2，0），则1﹣（﹣1，1），故函数的值域为（﹣1，1）．8．已知正实数x，y满足+2y＝3，则的最大值为．解：∵正实数x，y满足+2y＝3，∴0＜y＜，则＝y（3﹣2y）＝﹣2（y﹣）2+，∴当y＝时，的最大值为，故答案为：．9．已知函数y＝，则该函数的零点是x＝2．解：因为函数y＝，当x＞0时，令2x﹣x2＝0，解得x＝2或x＝0（舍）；当x＜0时，令x2﹣2x＝0，解得x＝2或x＝0（舍）；综上可得，该函数的零点是x＝2．故答案为：x＝2．10．在创全国文明城区的活动中，督查组对城区的评选设计了x1，x2，x3，x4四项多元评价指标，并通过经验公式来计算各城区的综合得分，S的值越高则评价效果越好．若某城区在自查过程中各项指标显示为0＜x3＜x4＜x2＜x1，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S的值增加最多，那么该指标应为x3．（填入x1，x2，x3，x4中的一个）解：∵，∴要使S增加，则应该增加分子x1或x3，减小分母x2或x4，又0＜x3＜x4＜x2＜x1，且在分子都增加1的前提下，分母越小时，S的值增加越多，∴要使S的值增加最多，则应该增加x3．故答案为：x3．11．已知函数y＝f（x），其中f（x）＝x3+x，关于x的不等式f（mx2+2）+f（﹣x）＜0在区间[1，5]上有解，则实数m的取值范围是（﹣∞，）．解：f（﹣x）＝﹣x3﹣x＝﹣f（x），∴f（x）是奇函数，又f′（x）＝3x2+1＞0，∴f（x）在R上是增函数，∵f（mx2+2）+f（﹣x）＜0在[1，5]上有解，∴f（mx2+2）＜﹣f（﹣x）＝f（x）在[1，5]上有解∴mx2+2＜x在[1，5]上有解，即m＜在[1，5]上有解．令g（x）＝，x∈[1，5]，则只需m＜g max（x）即可．∵g′（x）＝，∴当1≤x＜4时，g′（x）＞0，当4＜x≤5时，g′（x）＜0，∴g max（x）＝g（4）＝，∴m＜，故答案为（﹣∞，）．12．已知函数f（x）的定义域为R，f（1）＝3，对任意两个不等的实数a，b都有，则不等式f（2x﹣1）＜2x+1的解集为（﹣∞，1）．解：不妨令a＞b，则等价于f（a）﹣a＞f（b）﹣b，构造函数h（x）＝f（x）﹣x，则h（x）是R上的增函数，因为f（1）＝3，所以f（2x﹣1）＜2x+1等价于f（2x﹣1）﹣（2x﹣1）＜f（1）﹣1，即2x﹣1＜1，解得x＜1．故答案为：（﹣∞，1）．二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分．13．若0＜a＜1，b＜﹣1，则函数f（x）＝a x+b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：函数f（x）＝a x（0＜a＜1）的是减函数，图象过定点（0，1），在x轴上方，过一、二象限，函数f（x）＝a x+b的图象由函数f（x）＝a x的图象向下平移|b|个单位得到，∵b＜﹣1，∴|b|＞1，∴函数f（x）＝a x+b的图象与y轴交于负半轴，如图，函数f（x）＝a x+b的图象过二、三、四象限．故选：A．14．下列函数中，定义域为R的偶函数是（）A．y＝2x B．y＝x|x|C．y＝|x2﹣1|D．y＝log2|x|解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝2x，是指数函数，不是偶函数，不符合题意，对于B，y＝x|x|＝，不是偶函数，不符合题意，对于C，y＝|x2﹣1|，定义域为R，有f（﹣x）＝|x2﹣1|＝f（x），是定义域为R的偶函数，符合题意，对于D，y＝＝log2|x|，定义域不是R，不符合题意，故选：C．15．下列不等式中，恒成立的是（）A．B．|x﹣y|+≥2C．|x﹣y|≥|x﹣z|+|y﹣z|D．x2+解：当x＝﹣1时，x+＝﹣5＜4，故选项A错误；又当x＝1，y＝2时，|x﹣y|+＝0＜2，故选项B错误；由绝对值不等式的性质可得：|x﹣z|+|y﹣z|≥|（x﹣z）﹣（y﹣z）|＝|x﹣y|，故选项C错误；对于选项D：当x＜0时，显然有x2+；当x＞0时，令f（t）＝t+，t＞0，则f（t）在（0，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，又当x＞1时，x2＞x＞1，则有：f（x2）＞f（x），即x2+＞x+，当x＝1时，x2＝x，则有f（x2）＝f（x），即x2+＝x+，当0＜x＜1时，0＜x2＜x＜1，则有f（x2）＞f（x），即x2+＞x+，综上，x2+≥x+，故选项D正确，故选：D．16．已知集合A＝[0，），B＝[，1]，f（x）＝，若x0∈A，且f（f（x0））∈A，则x0的取值范围是（）A．B．C．D．解：根据题意，f（x）＝，若x0∈A，即0≤x0＜，f（x0）＝x0+，有≤f（x0）＜1，则f（f（x0））＝2[1﹣f（x0）]＝1﹣2x0，若f（f（x0））∈A，则0≤1﹣2x0＜，解可得：＜x0＜，即x0的取值范围是（，），故选：B．三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17．（8分）已知不等式|1﹣2x|＜7的解集是A，函数y＝的定义域是B，求A∩B．解：∵A＝{x||1﹣2x|＜7}＝{x|﹣3＜x＜4}，B＝{x|x2+2x﹣8≥0}＝{x|x≤﹣4或x≥2}，∴A∩B＝[2，4）．18．（10分）已知函数y＝f（x），其中．（1）判断函数y＝f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若g（x）＝f（x）•x+ax，且y＝g（x）在区间（0，2]上是严格减函数，求实数a 的取值范围．解：（1），定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且f（﹣x）＝﹣x+＝﹣（x+）＝﹣f（x），所以函数y＝f（x）为奇函数．（2）g（x）＝f（x）•x+ax＝x2+ax+1，因为y＝g（x）在区间（0，2]上是严格减函数，所以﹣≥2，解得a≤﹣4，即实数a的取值范围为（﹣∞，﹣4]．19．（10分）设f（x）＝（m+1）x2﹣mx+m﹣1（m∈R）．（1）若不等式f（x）＞0解集为∅，求实数m的取值范围；（2）若不等式f（x）＞0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）由不等式f（x）＞0解集为∅，可得，即为，可得m≤﹣，即m的取值范围是（﹣∞，﹣]；（2）由不等式f（x）＞0对一切实数x恒成立，当m+1＝0，即m＝﹣1时，f（x）＝x﹣2，则f（x）＞0不恒成立；当m+1＜0时，f（x）的图象为开口向下的抛物线，f（x）＞0不恒成立；当m+1＞0，且△＜0，f（x）＞0恒成立，由，即为，解得m＞，即m的取值范围是（，+∞）．20．（10分）研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y与听课时间x（单位：分钟）之间的变化曲线如图所示．当x∈[0，16]时，曲线是二次函数图象的一部分；当x∈[16，40]时，曲线是函数y＝log0.8（x+a）+80图象的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”．（1）求函数y＝f（x）的解析式；（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）解：（1）当x∈[0，16]时，设f（x）＝b（x﹣12）2+84，（b＜0），所以f（16）＝b（16﹣12）2+84＝80，解得，所以，当x∈[16，40]时，f（x）＝log0.8（x+a）+80，由f（16）＝log0.8（16+a）+80＝80，解得a＝﹣15，所以f（x）＝log0.8（x﹣15）+80，综上可得，；（2）当x∈[0，16]时，令＜68，解得x∈[0，4]，当x∈[16，40]时，令f（x）＝log0.8（x﹣15）+80＜68，解得x∈[30，40]，故在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有4+10＝14分钟．21．（14分）定义：如果函数y＝f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在实数x0（a＜x0＜b），满足f（x0）＝，那么称函数y＝f（x）是区间[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．（1）判断函数f（x）＝x4是否是区间[﹣1，1]上的“平均值函数”，并说明理由；（2）若函数g（x）＝﹣4x+m•2x是区间[0，1]上的“平均值函数”，求实数m的取值范围；（3）设函数h（x）＝kx2+x﹣4（k＞0，k∈N）是区间[﹣2，t]（t＞0，t∈N）上的“平均值函数”，1是函数h（x）的一个均值点，求所有满足条件的数对（k，t）．解：（1）是；理由：根据新定义，可得在区间[﹣1，1]上有解，可得x＝0，所以（1）是“平均值函数”；（2）函数g（x）＝﹣4x+m•2x是区间[0，1]上的“平均值函数”，可得＝﹣4x+m•2x在区间[0，1]上有解，可得4x﹣m•2x+m﹣3＝0在区间[0，1]上有解，令2x＝t，t∈[1，2]，则t2﹣mt+m﹣3＝0在区间[1，2]上有解，令g（t）＝t2﹣mt+m﹣3∴或g（1）•g（2）≤0，即此时不等式组无解；或﹣2•（1﹣m）≤0；解得m≤1．故实数m的取值范围（﹣∞，1]；（3）函数h（x）＝kx2+x﹣4（k＞0，k∈N）是区间[﹣2，t]（t＞0，t∈N）上的“平均值函数”，1是函数h（x）的一个均值点，即，可得k（3﹣t）＝4，∴k＝∵k∈N，k＞0，t＞0，t∈N，则≥1解得3＞t≥﹣1，当t＝1，k不是整数，当t＝2时，可得k＝4，故所有满足条件的数对（4，2）．。
2020-2021学年上海市交大附中高一(下)期中数学试卷
2020-2021学年上海市交大附中高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1. 一个扇形的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，则它的圆心角是( )A. 2弧度B. 3弧度C. 4弧度D. 5弧度2. 方程tanx =2的解集为( )A. {x|x =2kπ+arctan2,k ∈Z}B. {x|x =2kπ±arctan2,k ∈Z}C. {x|x =kπ+arctan2,k ∈Z}D. {x|x =kπ+(−1)k arctan2,k ∈Z}3. 角α的终边属于第一象限，那么α3的终边不可能属于的象限是( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. 已知定义域是全体实数的函数y =f(x)满足f(x +2π)=f(x)，且g(x)=f(x)+f(−x)2，ℎ(x)=f(x)−f(−x)2，现定义函数y =p(x)，y =q(x)为：p(x)={g(x)−g(x+π)2cosx(x ≠kπ+π2)0 (x =kπ+π2),q(x)={ℎ(x)+ℎ(x+π)2sin2x(x ≠kπ2)0 (x =kπ2)，其中k ∈Z ，那么下列关于y =p(x)，y =q(x)叙述正确的是( )A. 都是偶函数且周期为πB. 都是奇函数且周期为πC. 都是周期函数但既不是奇函数又不是偶函数D. 都不是周期函数二、单空题（本大题共12小题，共54.0分）5. 已知平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，其终边上有一点P(5,−12)，则tanα= ______ ．6. 计算：tan(arctan 12+arctan 13)= ______ ． 7. 若sinα=35，α∈(0,π2)，则tanα= ______ ． 8. 已知tanα=2，则2sin 2α+sinαcosα= ______ ．9. 把sinα−√3cosα化为Asin(α+φ)(其中A >0，φ∈(−π,π))的形式：______ ． 10. 函数y =2sin(2x +π6)的最小正周期为______ ．11.已知：sin(θ+3π)=−23，则tan(−5π−θ)⋅cos(θ−2π)⋅sin(−3π−θ)tan(7π2+θ)⋅sin(−4π+θ)⋅cot(−θ−π2)+2tan(6π−θ)⋅cos(−π+θ)=______ ．12.若sin(α+β)=45，sin(α−β)=34，则tanαtanβ=______ ．13.小媛在解试题：“已知锐角α与β的值，求α+β的正弦值”时，误将两角和的正弦公式记成了sin(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ，解得的结果为√6+√24，发现与标准答案一致，那么原题中的锐角α的值为______ .(写出所有的可能值)14.如图，平面上有一条走廊宽为3米，夹角为120°，地面是水平的，走廊两端足够长.那么能够通过走廊的钢筋(看作线段，不考虑粗细)的最大长度为______ 米.15.设对任意θ∈[0,π2]，不等式sin2θ+3mcosθ−6m−4<0恒成立，则实数m的范围是______ ．16.如图，已知等腰三角形ABC的顶角A=π7，D是腰AB上一点.若AD=1，CD=√2，则BC=______ ．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.设α∈(0,π3),β∈(π6,π2)，且α，β满足{5√3sinα+5cosα=8√2sinβ+√6cosβ=2(1)求cos(α+π6)的值．(2)求cos(α+β)的值．18.如图，一条河的两岸相互平行.两岸边各有一个小镇A与B，它们的直线距离为2千米，河宽AC为1千米.根据规划需在线段BC上选择一个点D，沿AD铺设水下电缆，沿BD铺设地下电缆.建立数学模型寻找如何铺设电缆费用最低．(1)模型建立：我们假设：①B、D之间的地下电缆沿______铺设，每千米地下电缆的铺设费用不变，不妨设为1；②A、D之间的水下电缆沿______铺设，每千米水下电缆的铺设费用不变，根据调查为每千米地下电缆铺设费用的两倍；如果设∠ADC=θ；则θ的取值范围为______.可以将该项工程的总费用y表示为θ的函数，这个函数的解析式为______．因此，原实际问题的数学模型为：求______，该项工程的总费用y最低．(2)模型求解：请求解上述模型．19.已知三角形ABC中，tan A、tan B是方程x2+ax+4=0的两个实数根．(1)若a=−8，求tan C的值；(2)求tan C的最小值，并指出此时对应的实数a的值．20.某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案(阴影区域)”，其中A，B，C，D是抛物线y=x2上的四个不同的点，且AC⊥BD(点A、B在第二象).点E为y轴上一点，限，且点A在点B的左上方).AC、BD交于点F(0, 14记∠EFA=α，其中α为锐角.设线段AF的长为m．(1)用m与α表示点A的横坐标；(2)将m表示为α的函数；(3)求“蝴蝶形图案”面积的最小值，并指出取最小值时α的大小？21.设y=f(x)是定义在D上的函数，若对任何实数α∈(0,1)以及D中的任意两数x1、x2，恒有f(αx1+(1−α)x2)≤αf(x1)+(1−α)f(x2)，则称f(x)为定义域上的C函数．(1)判断函数y=1，x∈(−∞,0)是否为定义域上的C函数，请说明理由；x(2)函数y=x3，x∈(M,+∞)是定义域上的C函数，求实数M的最小值；(3)若y=f(x)是定义域为R的周期函数，且最小正周期为T.试判断y=f(x)是否可能为定义域上的C函数.如果可能，请给出至少一个符合条件的函数y=f(x)；如果不可能，请说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：设扇形半径r，弧长l，则{l+2r=4 12lr=1，解得r=1，l=2，所以圆心角为lr=2．故选：A．结合扇形面积公式及弧长公式可求l，r，然后结合扇形圆心角公式可求．本题主要考查了扇形面积公式及弧长公式，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：由tanx=2，根据正切函数图象及周期可知：x=kπ+arctan2．故选C根据反三角函数的定义及正切函数的周期为kπ，即可得到原方程的解．此题考查学生掌握正切函数的图象及周期性，是一道基础题．3.【答案】D【解析】解：因为角α的终边在第一象限，所以2kπ<α<π2+2kπ，k∈Z，所以2kπ3<α3<π6+2kπ3，k∈Z，当k=3n(n∈Z)时，此时角α的终边落在第一象限，当k=3n+1(n∈Z)时，此时角α的终边落在第二象限，当k=3n+2(n∈Z)时，此时角α的终边落在第三象限，综上所述，角α的终边不可能落在第四象限，故选：D．首先利用终边相同角的表示方法，写出α的表达式，再写出α3的表达式，由此判断终边位置． 本题考查了终边相同角的表示方法，象限角的概念．属于基础知识和基础题目．4.【答案】A【解析】解：∵g(x)=f(x)+f(−x)2，g(−x)=f(−x)+f(x)2，∴g(x)=g(−x)，∴g(x)为偶函数，又g(x +π)=f(x+π)+f(−x−π)2=f(x−π)+f(−x+π)2=g(x −π)，∴g(x)的一个周期为2π，当x ≠kπ+π2时，p(x −π)=g(x−π)−g(x)2cos(x−π)=g(x+π)−g(x)−2cosx=g(x)−g(x+π)2cosx=p(x)，p(−x)=g(−x)−g(−x+π)2cos(−x)=g(x)−g(x−π)2cosx=g(x)−g(x+π)2cosx=p(x)，当x =kπ+π2时，p(x)=0，满足p(x −π)=p(x)，p(−x)=p(x)， ∴p(x)为偶函数且周期为π； 同理，∵ℎ(x)=f(x)−f(−x)2，ℎ(−x)=f(−x)−f(x)2，∴ℎ(x)=−ℎ(−x)，∴ℎ(x)为奇函数，又ℎ(x +π)=f(x+π)−f(−x−π)2=f(x−π)−f(−x+π)2=ℎ(x −π)，)，∴ℎ(x)的一个周期为2π，当x ≠kπ2时，q(x −π)=ℎ(x−π)+ℎ(x)2sin2(x−π)=ℎ(x+π)+ℎ(x)2sin2x=q(x)， q(−x)=ℎ(−x)+ℎ(−x+π)2sin(−2x)=−ℎ(x)−ℎ(x−π)−2sin2x=−ℎ(x)−ℎ(x+π)−2sin2x=ℎ(x)+ℎ(x+π)2sin2x=q(x)，当x =kπ2时，q(x)=0，满足q(x −π)=q(x)，q(−x)=q(x)，∴q(x)为偶函数且周期为π． 故选：A ．利用f(x +2π)=f(x)，推出g(x)和ℎ(x)的奇偶性和周期性，进而得到p(x)和q(x)的奇偶性和周期性． 该题考查的是函数的奇偶性和周期性的判断，需要学生对函数奇偶性周期性的基础知识有比较深入的理解，考查了学生逻辑推理的能力，是中档题．5.【答案】−125【解析】解：由于角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，其终边上有一点P(5,−12)， 则tanα=−125=−125．故答案为：−125．由题意利用任意角的三角函数的定义，即可求得tanα的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．6.【答案】1【解析】解：tan(arctan12+arctan13)=tan(arctan12)+tan(arctan13)1−tan(arctan12)⋅tan(arctan13)=12+131−12×13=1，故答案为：1．由题意利用两角和的正切公式，反正切函数的定义，求得要求式子的值．本题主要考查两角和的正切公式，反正切函数的定义，属于中档题．7.【答案】34【解析】解：因为sinα=35，α∈(0,π2)，所以cosα=√1−(35)2=45，所以tanα=sinαcosα=3545=34．故答案为：34．根据α的范围，利用同角三角函数的基本关系式求出cosα的值，然后求出tanα即可．本题考查同角三角函数的基本关系式的应用，注意角的范围以及三角函数值的符号，考查计算能力．8.【答案】2【解析】解：由tanα=2，得2sin2α+sinαcosα=2sin2α+sinαcosαsin2α+cos2α=2tan2α+tanαtan2α+12×22+222+1=105=2．故答案为：2．利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．9.【答案】2sin(α−π3)【解析】解：sinα−√3cosα=2(12sinα−√32cosα)=2sin(α−π3).故答案为：2sin(α−π3).直接利用辅助角公式即可进行化简．本题主要考查了辅助角公式，属于基础题．10.【答案】π【解析】解：函数y=2sin(2x+π6)的最小正周期为2π2=π，故答案为：π．由题意利用正弦函数的周期性，得出结论．本题主要考查正弦函数的周期性，属于基础题．11.【答案】23【解析】【分析】本题考查了诱导公式的应用．三角函数式的化简求值是三角函数中的基本问题，也是常考的问题之一．得到sinθ=23，再用诱导公式对所求问题化简整理即可得出答案．【解答】解：因为sin(θ+3π)=−23，∴sinθ=23．∵tan(−5π−θ)⋅cos(θ−2π)⋅sin(−3π−θ)tan(7π2+θ)⋅sin(−4π+θ)⋅cot(−θ−π2)+2tan(6π−θ)⋅cos(−π+θ)=tan(−θ)⋅cosθ⋅sinθ−cotθ⋅sinθ⋅(−tanθ)+2(−tanθ)⋅(−cosθ)=−sinθ+2sinθ=sinθ=23．故答案为：23．12.【答案】31【解析】解：由于sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=45，① sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ=34，② ①+②得：2sinαcosβ=45+34=3120，③， ①−②得：2cosαsinβ=45−34=120.④③④得：tanαtanβ=31． 故答案为：31．直接利用三角函数的和角和差角的正弦公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的和角和差角的正弦公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．13.【答案】π3，π4，π6【解析】解：由题意可得：sinαcosβ+cosαsinβ=cosαcosβ+sinαsinβ=√6+√24=√22×√32+√22×12，观察可得：锐角α的值可能为π3，π4，π6． 故答案为：π3，π4，π6．由已知利用两角和与差的正弦函数余弦函数公式及特殊角的三角函数值即可计算得解．本题主要考查了两角和与差的正弦函数余弦函数公式及特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．14.【答案】12【解析】解：如图，过走廊转角内顶点P 任意作水平直线与走廊外侧交于点A ，B ， 则在水平位置通过走廊的钢筋长度小于或等于AB ， 设∠BAQ =α，则∠ABQ =60°−α，则AB =AP +PB=3sinα+3sin(60∘−α)≥6√1sinα⋅sin(60∘−α)=6√112[cos(2α−60∘)−cos60∘]≥6√21−12=12，当且仅当α=30°时取等号，AB 的最小值即为在水平位置通过走廊的钢筋的最大长度， 故能通过走廊的钢筋的最大长度为12米． 故答案为：12．过走廊转角内顶点P 任意作水平直线与走廊外侧交于点A ，B ，设∠BAQ =α，则∠ABQ =60°−α，可得AB =AP +PB =3sinα+3sin(60∘−α)，利用基本不等式及积化和差公式即可求解AB 的最小值，从而可得结论．本题主要考查解三角形在实际问题中的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．15.【答案】(−12,+∞)【解析】解：sin 2θ+3mcosθ−6m −4<0即为3m(cosθ−2)<4−sin 2θ=3+cos 2θ， 由于θ∈[0,π2]，cosθ∈[0,1]，cosθ−2∈[−2,−1]， 可得3m >3+cos 2θcosθ−2，设t =cosθ−2，t ∈[−2,−1]，则cosθ=2+t ， 设f(t)=3+(2+t)2t=t +7t +4，则f(t)在[−2,−1]递减，可得f(t)的最大值为f(−2)=−32， 所以3m >−32，即m >−12． 则m 的取值范围是(−12,+∞)． 故答案为：(−12,+∞)．由余弦函数的值域和参数分离法，结合三角换元，以及对勾函数的单调性，求得最值，可得所求范围． 本题考查不等式恒成立问题解法，以及三角函数的值域、对勾函数的单调性，考查换元法和转化思想、运算能力，属于中档题．16.【答案】1【解析】解：因为A =π7，设α=π14，则A =2α，所以7α=π2，所以3α=π2−4α；所以sin3α=sin(π2−4α)=cos4α，得3sinα−4sin 3α=2(1−2sin 2α)2−1，化简得8sin 4α+4sin 3α−8sin 2α−3sinα+1=0；即(sinα+1)(8sin 3α−4sin 2α−4sinα+1)=0．又sinα+1>0，所以8sin 3α−4sin 2α−4sinα+1=0，即−4sinαcos2α−4sin 2α+1=0；...①设BC =x ，AC =y ；△ACD 中，A =2α，AD =1，CD =√2，由余弦定理得DC 2=AD 2+AC 2−2AD ⋅AC ⋅cosA ，即2=1+y 2−2×1×y ×cos2α，解得cos2α=y 2−12y ，...②等腰三角形ABC 中，可得sinα=12BC AC =x 2y ；...③ 把②③代入①，得−4×x 2y ×y 2−12y −4×x 24y 2+1=0， 化简得(x −1)(1+x +y 2)=0；因为1+x +y 2>0，所以x −1=0，解得x =1，即BC =1．故答案为：1．可设α=π14，得出7α=π2，3α=π2−4α，sin3α=cos4α，并化简．设BC =x ，AC =y ；在△ACD 中，利用余弦定理求出cos2α，在等腰三角形ABC 中求出sinα，代入化简的式子即可求得x 的值．本题考查了三角函数的化简与运算问题，也考查了解三角形的应用问题，是难题．17.【答案】解：(1)∵5√3sinα+5cosα=8，∴10(√32sinα+12cosα)=8，即sin(α+π6)=45，(3分) ∵α∈(0,π3)，∴α+π6∈(π6,π2)，∴cos(α+π6)=√1−sin 2(α+π6)=35；(4分)(2)又∵√2sinβ+√6cosβ=2，∴2√2(12sinβ+√32cosβ)=2，即sin(β+π3)=√22，(6分)∵β∈(π6,π2)，∴β+π3∈(π2,5π6)，∴cos(β+π3)=−√22，(7分)∴cos(α+β)=sin[π2+(α+β)]=sin[(α+π6)+(β+π3)]=sin(α+π6)cos(β+π3)+cos(α+π6)sin(β+π3)=45×(−√22)+35×√22=−√210.(12分)【解析】(1)将等式5√3sinα+5cosα=8左边提取10，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值求出sin(α+π6)的值，由α的范围求出α+π6的范围，利用同角三角函数间的基本关系化简即可求出cos(α+π6)的值；(2)等式√2sinβ+√6cosβ=2左边提取2√2，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出sin(β+π3)的值，由β的范围求出β+π3的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos(β+π3)的值，将所求式子利用诱导公式sin(π2+θ)=cosθ变形，其中的角π2+α+β变形为(α+π6)+(β+π3)，利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．此题考查了两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式，灵活变换角度是解本题的关键，同时注意角度的范围．本题中灵活运用角的变换的技巧达到了用已知表示未知，在求值题中，这是一个重要的经验！18.【答案】解：(1)由题设CD=cotθ，AD=1sinθ，CB=√AB2−AC2=√3，DB=√3−cotθ，所以y=2AD+1⋅BD=2sinθ+(√3−cotθ)=√3+2−cosθsinθ，θ∈[π6,π2]，①B、D之间的地下电缆沿线段BD铺设，每千米地下电缆的铺设费用不变，不妨设为1；②A、D之间的水下电缆沿线段AD铺设，每千米水下电缆的铺设费用不变，根据调查为每千米地下电缆铺设费用的两倍；如果设∠ADC=θ；则θ的取值范围为θ∈[π6,π2]，可以将该项工程的总费用y表示为θ的函数，这个函数的解析式为y=√3+2−cosθsinθ．因此，原实际问题的数学模型为：求θ，该项工程的总费用y最低．(2)设t=tanθ2(tan15°≤t≤1)，则sinθ=2t1+t2，tanθ=2t1−t2，代入(1)的结论，得y=√3+2−cosθsinθ=√3+2−1−t21+t22t1+t2=√3+32t+12t≥2√3，当且仅当32t=12t时取等号，即t=√33时，y min=2√3，再由t=tanθ2得θ=π3，答：当θ=π3时，工程总费用y最低为2√3．【解析】(1)设∠ADC=θ，得θ的取值范围为θ∈[π6,π2]，然后将该项工程的总费用y表示为θ的函数，即可得到这个函数的解析式；(2)设t=tanθ2(tan15°≤t≤1)，然后利用万能公式将sinθ、tanθ表示成关于t的函数，最后利用基本不等式可求出所求．本题主要考查了解三角形的应用题，以及万能公式和基本不等式的应用，同时考查了转化的思想和运算求解的能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)由题意得tanA+tanB=−a=8，tanAtanB=4，所以tanC=−tan(A+B)=tanA+tanBtanAtanB−1=81−4=−83；(2)由题意得tanA+tanB=−a，tanAtanB=4>0，即tan A，tan B同正，因为△=a2−16≥0，tanA+tanB=−a>0，故a≥4或a≤−4，且a<0，所以a≤−4，所以tanC=−tan(A+B)=tanA+tanBtanAtanB−1=−a3≥43，所以tan C的最小值43，此时a=−4．【解析】(1)结合方程的根与系数关系可求tanA+tanB，tan A tan B，然后结合两角和的正切公式及诱导公式可求；(2)由题意得tanA+tanB=−a，tanAtanB=4>0，即tan A，tan B同正，然后结合二次方程根的存在条件可求a的范围再由诱导公式及两角和的正切公式展开可求．本题主要考查了方程的根与系数关系，两角和的正切公式及诱导公式在求解三角形中的应用，属于中档题．20.【答案】解：(1)如图：过点A 作AH 垂直y 轴交y 轴于点H ，AH =msinα，所以点A 的横坐标为−msinα，(2)点A(−msinα,mcosα+14)，∴mcosα+14=(−msinα)2， ∴m 2sin 2α−mcosα−14=0，解得m =cosα±12sin 2α，由于m >0，所以m =cosα+12sin 2α(α∈(0,π2))； (3)同理|BF|=1−sinα2cos 2α，|DF|=1+sinα2cos 2α，|CF|=1−cosα2sin 2α， 所以“蝴蝶形图案”面积：S =12AF ×BF +12CF ×DF =1−sinαcosα4(sinαcosα)2(α∈(0,π2))，令t =sinαcosα，t ∈(0,12]，所以1t ∈[2,+∞)，∴S =1−t4t 2=14(1t −12)2−116， 所以t =12，即α=π4时，“蝴蝶形图案“的面积最小值为12．【解析】(1)过点A 作AH 垂直y 轴，即可表示出点A 的横坐标；(2)将点A 的坐标表示出来，代入抛物线方程，即可解出；(3)由(2)知可将BF ，CF ，DF 的长度表示出来，进而将蝴蝶形图案的面积表示出来，进而解出面积的最大值．本题考查了函数模型的实际应用，学生的数学运算能力，数据处理能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)y=1x(x<0)不是C函数．说明如下(举反例)：取x1=−3，x2=−1，α=12，则f(αx1+(1−α)x2)−αf(x1)−(1−α)f(x2)=f(−2)−12f(−3)−12f(−1)=−12+16+12>0，即f(αx1+(1−α)x2)>αf(x1)+(1−α)f(x2)，所以y=1x，x∈(−∞,0)不是C函数；(2)作出y=x3的图象如右图：当M<0时，可取x1=−3，x2=1，α=12，可得f(αx1+(1−α)x2)=f(−1)=−1，αf(x1)+(1−α)f(x2)=12×(−27+1)=−13，不满足f(αx1+(1−α)x2)≤αf(x1)+(1−α)f(x2)；当m=0时，对(0,+∞)中任意实数x1，x2及α∈(0,1)，且x1<x2，x0=αx1+(1−α)x2，如图，设A(x1,x13)，B(x2,x23)，可得C的纵坐标为αx13+(1−α)x23，可得(αx1+(1−α)x2)3<αx13+(1−α)x23，即f(αx1+(1−α)x2)<αf(x1)+(1−α)f(x2)，所以M的最小值为0；(3)假设f(x)是R上的C函数，若存在m<n且m，n∈[0,T)，使得f(m)≠f(n)．(i)若f(m)<f(n)，记x1=m，x2=m+T，α=1−n−mT，则0<α<1，且n=αx1+(1−α)x2，那么f(n)=f(αx1+(1−α)x2)≤αf(x1)+(1−α)f(x2)=αf(m)+(1−α)f(m+T)=f(m)，这与f(m)<f(n)矛盾；(ii)若f(m)>f(n)，记x1=n，x2=n−T，α=1−n−mT，同理也可得到矛盾；所以f(x)在[0,T)上是常数函数，又因为f(x)是周期为T的函数，所以f(x)在R上是常数函数，这与f(x)的最小正周期为T矛盾．所以f(x)不是R上的C函数．【解析】(1)对任意实数x1，x2及α∈(0,1)，证得f(αx1+(1−α)x2)≤αf(x1)+(1−α)f(x2)，结合C函数的定义，可得结论；(2)当M<0时，取x1=−3，x2=1，α=1，推得f(αx1+(1−α)x2)>αf(x1)+(1−α)f(x2)；讨论M=02时，结合图象，可得M的最小值；(3)假设f(x)是R上的C函数，若存在m<n且m，n∈[0,T)，使得f(m)≠f(n).可得f(x)在R上是常数函数，这与f(x)的最小正周期为T矛盾，进而得到f(x)不是R上的C函数．本题考查函数的新定义的理解和运用，以及函数的周期性，考查分类讨论思想和数形结合思想、运算能力和推理能力，属于难题．。
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2020-2021学年上海交大附中高一（上）期末数学试卷
1.（填空题，4分）f（x）=a x-1（a＞0且a≠1）的图象经过一个定点，这个定点的坐标是___ ．
2.（填空题，4分）函数y= √ln(7−x)的定义域为___ ．
3.（填空题，4分）在过去的2020年，我们经历了一场疫情，在大家的齐心协力之下，终于
共渡了难关．而在公元2222年，有一种高危传染病在全球范围内蔓延，被感染者的潜伏期可
以长达10年，期间会有约0.05%的概率传染给他人，一旦发病三天内即死亡，某城市总人口
约200万人，专家分析其中约有1000名传染者，为了防止疾病继续扩散，疾病预防控制中心现决定对全市人口进行血液检测以筛选出被感染者，由于检测试剂十分昂贵且数量有限，需要将血样混合后一起检测以节约试剂，已知感染者的检测结果为阳性，未被感染者为阴性，另外检测结果为阳性的血样与检测结果为阴性的血样混合后检测结果为阳性，同一检测结果的血样混合后结果不发生改变．若对全市人口进行平均分组，同一分组的血样将被混合到一起检测，若发现结果为阳性，则再在该分组内逐个检测排查．设每个组有x个人（每组人数相同），
那么在最坏的情况下，需要检测的次数尽可能少，每个组的最优人数x为___ 人．
4.（填空题，4分）函数f（x）= {(3−a)x−4a，x＜1
log a x，x≥1
是定义在R上的单调递增函数，则实
数a的取值范围是 ___ ．
5.（填空题，4分）在等差数列{a n}中，a1+a2+a3+…+a9=36，则a22+a52+a82的最小值为___ ．
6.（填空题，4分）函数f（x）=2x|log0.5x|-1的零点个数为___ ．
7.（填空题，5分）若函数f（x）=lg[（a2-1）x2+（a+1）x+1]的定义域为R，则实数a的取
值范围是___ ．
8.（填空题，5分）已知函数f(x)={2x(x≤0)
log2x(0＜x＜1)
的反函数是f-1（x），则f−1(1
2
) =___ ．
9.（填空题，5分）当|lga|=|lgb|，a＜b时，则a+2b的取值范围是___ ．
10.（填空题，5分）函数f（x）= 1
4−2x
的图象关于点___ 成中心对称．
11.（填空题，5分）设M={y|y=x-2}，N={y|y=（1
m−1
-1）（x-1）+（|m|-1）（x-2），
1≤x≤2}，若N⊆M，则实数m的取值范围是 ___ ．
12.（填空题，5分）已知函数f（x）=ax2+4x+1，若对任意x∈R，f（f（x））＞0恒成立，实数a的取值范围是___ ．
13.（单选题，5分）下列四个函数中，图象如图所示的只能是（ ）
A.y=x+lgx
B.y=-x+lgx
C.y=x-lgx
D.y=-x-lgx
14.（单选题，5分）已知函数 f (x )={log 12(1−x )−1≤x ≤n 22−|x−1|−3n ＜x ≤m
（n ＜m ）的值域是[-1，1]，有下列结论：
① 当n=0时，m∈（0，2]；
② 当 n =12 时， m ∈(12，2] ；
③ 当 n ∈[0，12) 时，m∈[1，2]；
④ 当 n ∈[0，12) 时，m∈（n ，2]．
其中结论正确的所有的序号是（ ）
A. ① ②
B. ③ ④
C. ② ③
D . ② ④
15.（单选题，5分）计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”，如：（1101）2表示二进制的数，将它转换成十进制的形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13，那么将二进制数（11111111）2转换成十进制的形式是（ ）
A.29-2
B.28-1
C.28-2
D.27-1
16.（单选题，5分）已知函数 f (x )=√a −x +√x （a 为常数，且a∈N *），对于定义域内的任意两个实数x 1、x 2，恒有|f （x 1）-f （x 2）|＜1成立，则正整数a 可以取的值有（ ）
A.4个
B.5个
C.6个
D.7个
17.（问答题，14分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且对于任意的x∈R，f（1+x）=f（1-x）恒成立，当x∈[0，1]时，f（x）=2x，若关于x的方程f（x）=ax有5个不同的解，求实数a的取值范围．
18.（问答题，14分）已知函数f（x）=|2x-a|+|2x+3|，g（x）=|x-1|-2．
（1）解不等式|g（x）|＜5；
（2）若y∈{y|y=f（x）-2}是y∈{y|y=|g（x）|}的充分条件，求实数a的取值范围．
19.（问答题，14分）由函数y=f（x）确定数列{a n}，a n=f（n），若函数y=f（x）的反函数y=f-1（x）能确定数列{b n}，b n=f-1（n），则称数列{b n}是数列{a n}的“反数列”．
（1）若函数f(x)=2√x确定数列{a n}的反数列为{b n}，求{b n}的通项公式；
（2）对（1）中{b n}，不等式√1
b n+1+√1
b n+2
+⋯+√1
b2n
＞1
2
log a(1−2a)对任意的正整数n
恒成立，求实数a的取值范围；
（3）设c n=1+(−1)λ
2•3n+1−(−1)λ
2
•(2n−1)(λ为正整数)，若数列{c n}的反数列为{d n}，{c n}与
{d n}的公共项组成的数列为{t n}，求数列{t n}前n项和S n．
20.（问答题，16分）若数列{a n}的每一项都不等于零，且对于任意的n∈N*，都有a n+2
a n
=q（q 为常数），则称数列{a n}为“类等比数列”．已知数列{b n}满足：b1=b（b＞0），对于任意的
n∈N*，都有b n•b n+1=-9×28-n．
（1）求证：数列{b n}是“类等比数列”；
（2）若{|b n|}是单调递减数列，求实数b的取值范围；
（3）若b=2，求数列{b n}的前n项之积取最大值时n的值．
21.（问答题，18分）已知函数g（x）=ax2-2ax+1+b，a＞0在区间[2，3]上的最大值为4，最小值为1，记f（x）=g（|x|），x∈R．
（1）求实数a，b的值；
（2）若不等式f（x）+g（x）≥log22k-2log2k-3对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围；（3）对于定义在[p，q]上的函数m（x），设x0=p，x n=q，用任意的x i（i=1，2，…，n-1）将[p，q]划分成n个小区间，其中x t-1＜x t＜x t+1，若存在一个常数M＞0，使得|m（x0）-m （x1）|+|m（x1）-m（x2）|+…+|m（x n-1）-m（x n）|≤M恒成立，则称函数m（x）为在[p，q]上的有界变差函数．
（ⅰ）试证明函数f（x）是在[1，3]上的有界变差函数，并求出M的最小值；
（ⅱ）写出f（x）是在[p，q]上的有界变差函数的一个充分条件，使上述结论成为其特例（不要求证明）．。