压杆稳定
材料力学之压杆稳定
材料力学之压杆稳定引言材料力学是研究物体内部受力和变形的学科，压杆稳定是其中的一个重要内容。
压杆稳定是指在受到压力作用时，压杆能够保持稳定，不发生失稳或破坏的现象。
本文将介绍压杆稳定的基本原理、稳定条件以及一些常见的失稳形式。
压杆的受力分析在进行压杆稳定分析前，我们首先需要对压杆受力进行分析。
压杆通常是一根长条形材料，两端固定或铰接。
在受到外部压力作用时，压杆会受到内部的压力，这些压力会导致杆件产生变形和应力。
在分析压杆稳定性时，我们主要关注压杆的弯曲和侧向稳定性。
压杆的基本原理压杆的稳定性是由杆件的弯曲和侧向刚度共同决定的。
当压杆弯曲和侧向刚度足够大时，压杆能够保持稳定。
所以，为了提高压杆的稳定性，我们可以采取以下几种措施：1.增加杆件的截面面积，增加抗弯能力；2.增加杆件的高度或长度，增加抗弯刚度；3.增加杆件的横向剛性，增加抗侧向位移能力；4.添加支撑或加固结构，增加整体稳定性。
压杆的稳定条件压杆稳定的基本条件是在承受外部压力时，内部应力不超过材料的极限强度。
当内部应力超过材料的极限强度时，压杆将会发生失稳或破坏。
在实际工程中，我们一般采用压杆的临界压力比来判断压杆的稳定性。
临界压力比是指杆件在失稳前的临界弯曲载荷与临界弯曲载荷之比。
当临界压力比大于1时，压杆是稳定的；当临界压力比小于1时，压杆是不稳定的。
临界压力比的计算可以采用欧拉公式或者Vlasov公式等方法。
这些方法能够给出压杆在不同边界条件下的临界压力比。
在工程实践中，我们可以根据具体问题选择合适的方法来计算临界压力比。
压杆的失稳形式压杆失稳通常有两种形式：弯曲失稳和侧向失稳。
弯曲失稳压杆的弯曲失稳是指杆件在受到外部压力作用时，发生弯曲变形并导致失稳。
在弯曲失稳中，压杆的弯曲形态可以分为四种：1.局部弯曲失稳：杆件出现弯曲局部失稳，形成凸起或凹陷；2.局部弯扭失稳：杆件出现弯曲和扭曲共同失稳；3.全截面失稳：整个杆件截面均发生失稳；4.全体失稳：整个杆件完全失稳并失去稳定性。
材料力学第九章 压杆稳定
02
创新研究方法与手段
积极探索新的实验技术和数值模拟方法，提高压杆稳定研究的精度和可
靠性。
03
拓展应用领域
将压杆稳定研究成果应用于更多领域，解决实际工程问题，推动科学技
术进步。
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稳定性取决于压杆的初始弯曲程度、压力的大小 和杆件的材料特性。
当压杆受到微小扰动时，如果能够恢复到原来的 平衡状态，则称其为稳定；反之，则为不稳定。
压杆的临界载荷
临界载荷是指使压杆由稳定平衡 状态转变为不稳定平衡状态的载
荷。
当压杆所受压力小于临界载荷时， 压杆保持稳定平衡状态；当压力 大于临界载荷时，压杆将失去稳
相应措施进行解决。
建筑结构中的压杆问题
02
高层建筑、大跨度结构等建筑中的梁、柱等部件可能发生失稳，
需要加强设计和施工控制。
压力容器中的压杆问题
03
压力容器中的管道、支撑部件等可能发生失稳，需要采取相应
的预防和应对措施。
05
压杆稳定的未来发展与展望
压杆稳定研究的新趋势
跨学科交叉研究
压杆稳定与材料科学、计算科学、工程结构等领域相互渗透，形 成多学科交叉的研究趋势。
工程中常见的压杆问题
1 2
细长杆失稳
细长杆在压力作用下容易发生弯曲，导致失稳。
短粗杆失稳
短粗杆在压力作用下可能发生局部屈曲，导致失 稳。
3
弹性失稳
材料在压力作用下发生弹性变形，当压力超过某 一临界值时，杆件发生失稳。
解决压杆失稳的方法与措施
加强材料质量
选择优质材料，提高材料的弹 性模量和抗拉强度，以增强压
材料力学第九章 压杆稳 定
• 引言 • 压杆稳定的基本理论 • 压杆稳定的实验研究 • 压杆稳定的工程应用 • 压杆稳定的未来发展与展望
工程力学压杆稳定
MA=MA =0 相当长为2l旳两端简支杆
Fcr
EI 2
(2l ) 2
l
F
0.5l
两端固定 EI 2
Fcr (0.5l) 2
图形比拟：失稳时挠曲线 上拐点处旳弯矩为0，故可设想 此处有一铰，而将压杆在挠曲 线上两个拐点间旳一段看成为 两端铰支旳杆，利用两端铰支 旳临界压力公式，就可得到原 支承条件下旳临界压力公式。
两端铰支
= 1
一端固定，一端自由 = 2
一端固定，一端铰支 = 0.7
两端固定
= 0.5
§11-4中小揉度杆旳临界压力
一、临界应力与柔度
cr
Fcr A
对细长杆
cr
2 EI (l)2 A
2 Ei2 ( l ) 2
2E ( l )2
记 l
i
i
cr
2E 2
––– 欧拉公式
：柔度，长细比
[cr] = [] < 1，称为折减系数
[ cr ] [ ]
根据稳定条件
F Fcr nst
F A
Fcr Anst
cr
nst
[ cr ： 工作压力
： 折减系数
A： 横截面面积
[]：材料抗压许用值
解：首先计算该压杆柔度，该丝杆可简化为图示
下端固定，上端自由旳压杆。
＝2
F
l=0.375m
i I d A4
l l 2 0.375 75
i d 0.04 / 4 4
查表， = 0.72
F
A
80 103
0.72 0.042
88.5106 88.5MPa [ ] 160MPa
4
故此千斤顶稳定性足够。
第七章压杆稳定
第七章压杆稳定一、压杆稳定的基本概念受压直杆在受到干扰后，由直线平衡形式转变为弯曲平衡形式，而且干扰撤除后，压杆仍保持为弯曲平衡形式，则称压杆丧失稳定，简称失稳或屈曲。
压杆失稳的条件是受的压力P P cr。
P cr称为临界力。
二、学会各种约束情形下的临界力计算压杆的临界力P cr cr A，临界应力cr 的计算公式与压杆的柔度所处的范围有关。
以三号钢的压杆为例：p ，称为大柔度杆，cr 22Es p ，称为中柔度杆，cr a b s ，称为小柔度杆，crs 。
三、压杆的稳定计算有两种方法1）安全系数法n P P cr n st，n st为稳定安全系数。
2）稳定系数法PP [ ] st [ ] ，为稳定系数A四、学会利用柔度公式，提出提高压杆承载能力的措施根据l，i A I，愈大，则临界力（或临界应力）愈低。
提高压杆承载能力的措施为：1）减小杆长。
2）增强杆端约束。
3）提高截面形心主轴惯性矩I。
且在各个方向的约束相同时，应使截面的两个形心主轴惯性矩相等。
4）合理选用材料。
§15-1 压杆稳定的概念构件除了强度、刚度失效外，还可能发生稳定失效。
例如，受轴向压力的细长杆，当压 力超过一定数值时， 压杆会由原来的直线平衡形式突然变弯 （图 15-1a ），致使结构丧失承载能力；又如，狭长截面梁在横向载荷作用下，将发生平面弯曲，但当载荷超过一定数值时， 梁的平衡形式将突然变为弯曲和扭转 （图 15-1b ）；受均匀压力的薄圆环， 当压力超过一定数 值时， 圆环将不能保持圆对称的平衡形式，而突然变为非圆对称的平衡形式 （图 15-1c ）。
上 述各种关于 平衡形式的突然变化 ，统称为 稳定失效 ，简称为 失稳或屈曲 。
工程中的柱、 桁架 中的压杆、薄壳结构及薄壁容器等，在有压力存在时，都可能发生失稳。
由稳定平衡转变为不稳定平衡时所 受的轴向压力，称为临界载荷，或简称 为临界力 ，用 P cr 表示。
压 杆 稳 定
压杆稳定
环保设 备
2.不同约束条件下压杆的欧拉公式
压杆稳定
压杆稳定
三、压杆的稳定性校核
F [F ] Fcr nst
工作安全系数
或
压杆稳定性条件
Fcr — 压杆临界压力
nst— 稳定安全系数
n
Fcr F
nst
n cr
nst
n
Fcr F
nst
F— 压杆实际压力
四、提高压杆稳定性的措施
1.合理的选用材料 2.减小压杆的柔度 (1) 选择合理的截面形状，增大截面的惯性矩 (2) 减小压杆的长度。 (3) 改善压杆支承。
一、压杆稳定的概念
压杆稳定
压力小于临界力
压力大于临界力
压力等于临界力
压杆稳定
压力等于临界力
压杆的稳定性试验
压杆丧失直 线状态的平衡， 过渡到曲线状态 的平衡。称为丧 失稳定，简称失 稳，也称为屈曲
压杆稳定
二、计算临界力的欧拉公式
1.两端铰支中心压杆的欧拉公式
----欧拉公式
适用条件： •理想压杆（轴线为直线，压 力与轴线重合，材料均匀） •线弹性，小变形 •两端为铰支座
环保设 备
当细长杆受压时，在应力远远 低于极限应力时，会因突然 产生显著的弯曲变形而失去 承载能力。
当压力超过一定数值后，在外 界微小的扰动下，其直线平 衡形式将转变为弯曲形式， 从而使杆件或由之组成的机 器丧失正常功能。这是一种 区别于强度失效与刚度失效 的又一种失效形式，称为
“稳定失效”。ຫໍສະໝຸດ 压杆稳定
压杆稳定的概念
二、压杆的失稳12-2 细长压杆临界力公式——欧拉公式一、两端钝支细长压杆的j l P令： EI K j =则： Y K Y ⋅-=即： 02=⋅+''Y K Y此微分方程的通解：Y=C ；kx C kx cos sin 2+ ——（1） 边界条件： 当X=0， 02=C ， kx C Y sin 1= ——（2） 又杆上端边界条件：X=l 代入（2）式kl sin 0=——（3） 若要使（3）式成立必有1C 或0sin =kl 方可。
如果 01=C 式就不成立，所以必定是0sin =kl πn kl =当 ππππn kl 3,2,,0=时，0sin =kl 得 ln EI P K jl π==又得 222l EI n P j l π= n=1 时， 2min2l EI P j l π=——临界力欧拉公式j l P ——临界力min I ——截面z I 、y I 选小值l ——杆长二、其他支座j l P()2min25.0l EI P j l π= u=0.5三、临界应力()()()2222min22min2r ul EAul EI Aul EI AP lj l j πππσ====——（1）式中： AI r min= ——截面的回转半径λ=rul——压杆的长细比 （1）式可成： 22λπσEjl =12-3 临界应力总图目的： 了解临界应力适应范围 关键是看懂j l σ总图一、临界应力的公式的适用范围（因为挠曲线近似微分方程只在材料服从虎克定律的前提下成立，即在材料不超过比例极限时成立，而j l P 又是通过挠曲线微分方程推倒出来的故p l j σσ≤）P l E jσλπσ≤=22 即： P p EE σπσπλ=≥2 即只有当λ大于或等于极限值p p Eσπλ=时 22λπσEjl *=方成立。
那么j l σ适用的范围总：p λλ≥ 如：钢 100≥p λ 铸铁 80≥p λ 木材 100≥p λ二、超过p σ后压杆的临界应力⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21c l j λλασσ ——经验公式其中： s σ——材料的屈服极限 α——系数 0.43 Sc Eσπλ57.0=例： S A 钢： cmkgs 2400=σ 26102cm kgE ⨯=20715.02400λσ-=j l三、j l σ总图总图：p l j σσ≤和p l j σσ>的图形， j l σλ-曲线图12-4 压杆稳定计算一、压杆的稳定条件： []σϕσ≤=APjj l l K P P ≤其中j l P 压杆的临界力jl K 稳定安全系数，随λ变化比例强度安全系数K 的实际作用在杆上的应力则： []j jjj j l l l l l K K A P A Pσσσ==*≤=其中σ为实际杆内力[]j l σ为稳定许用应力稳定条件：[]j l σσ≤ []jjj l ll K σσ=，[]Kσσ=[]︒*=∴σσσKK JJJ L LL ，[][]σϕσ= 其中 ϕ 为折减系数，可查表 又[]σϕσ≤=∴AP说明：（1）式中j l σ总小于︒σ，()︒<σσj l ；k K j l > 故ϕ是小于1的。
压杆稳定
例11-3 校核木柱稳定性。已知l＝6m,圆截面d＝20cm,两端
铰接，轴向压力P＝50kN，木材许用应力[σ]=10MPa。
解：
i I d 20 l 1 600 5cm; 1; 120; A 4 4 i 5
20 d 20 l 1l 600 1 600 5cm ;5cm ; 1 ; 1; 120 ; 120; 4 4 i i 5 5
y
120
z
200
z 200
y
120
（图a）
（图b）
解：（1）计算最大刚度平面内的临界压力
120 200 80106 m m4 中性轴为y轴：I y 12
3
y
120
z 200
木柱两端铰支，，则得：
Plj
2 EI y
l 2
3.142 10103 80106 123kN 2 1 8000
压杆稳定
压杆稳定的概念
压杆的稳定计算
细长压杆的临界力
小结
压杆的临界应力
第一节
压杆稳定的概念
压杆稳定—压杆保持其原有直线平衡状态的能力，称其 稳定性。（指受压杆件其平衡状态的稳定性） 细长压杆在压力逐渐增大至某一数值时，突然变弯直至 弯断的现象称为丧失稳定或失稳。
临界力—压杆在临界平衡状态时所受的轴向压力。
4 d C
64
;
a
B
l
i
11000 142 .9 p 123; 大柔度杆； 7
A
2 E 2 200000 lj 2 96.7 MPa 2 142.9
N CB a
P B
第八章：压杆稳定
材料
（强度极限 b/ MPa ） （屈服点 S /MPa ）
a
b
（MPa） （MPa）
P
S
Q235 钢( b 372 , S 235 ) 304 1.12 100
62
优质碳钢( b 471 ,S 306 ) 461 2.568 100
60
硅钢 ( b 510 , S 353 ) 578 3.744 100
二、其他支座条件下细长压杆的临界应力 表8-1 压杆的长度系数
Fcr
2EI ( l)2
杆端约束 情况
一端固定 一端自由
两端铰支
一端固定 一端铰支
两端固定
挠 曲 线 形 状
长度系数
2.0
1.0
0.7
0.5
第二节：细长压杆的临界荷载
例8-3 图示细长压杆，已知材料的弹性模量 E 210GPa，压杆
第二节：细长压杆的临界荷载
例8-1 细长压杆为钢制空心圆管，外径和内径分别为 20mm 和 16mm，杆长 0.8m，钢材的弹性模量为 210GPa，
压杆两端铰支，试求压杆的临界载荷 Fcr。
解：压杆横截面的惯性矩为
I (D4 d 4 ) (0.024 0.0164 ) m4
64
64
4.63109 m4
(2)如果 F k l ，即 F k l ，则杆将继续偏斜，不能回复到原来的竖直平衡位
置，表明其原来的竖直平衡状态是不稳定的；
(3)如果 F k l ，即 F k l ，则杆不仅在竖直位置保持平衡，而且在偏斜状
态也能够保持平衡。
第一节：压杆稳定的概念
临界压力或临界力：当压力逐渐增加到某一极限值时，如果再作用 一个微小的侧向干扰力，使其产生微小的侧向变形，在除去干扰力 后，压杆将不再能够恢复其原来的直线平衡状态，这说明压杆原来 直线形状的平衡是不稳定的，上述压力的极限值称为临界压力或临 界力。一般用Fcr表示，它是判断压杆是否失稳的一个指标。
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2
6
3 两端固定
Pcr
C，D为拐点
AD
Fcr
2EI
(0.5l)
2
l
C
B
7
4 一端固定,另端自由
Fcr
2EI
(2l)2
l 2l
8
9
欧拉公式 的统一形式
F
cr
2 EI (l)2
为压杆的长度系数; l 为相当长度。
讨论：
（1）相当长度 l 的物理意义
1 压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当
1.6a
(1)
(2)
(3)
(l)1 2a (l)2 1.3a (l)3 0.7 1.6a 1.12a （1）杆能承受的压力最小，最先失稳；
（3）杆能承受的压力最大，最稳定。
12
例：图示各细长压杆材料和截面均相同，试比较各杆的 承载能力。
细长压杆，可用欧拉公式求临界压力 Fcr 2EI /(l)2
长度 l 。
2 l 是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当于
半波正弦曲线的一段长度
10
F
cr
2 EI (l)2
为长度系数 l 为相当长度
（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I 1 若杆端在各个方向的约束情况相同（球形绞等），则 I
应取最小的形心主惯性矩。 2 若杆端在各个方向的约束情况不同（柱形绞），应分别
6 12
z 24
6 y 22
15
解：
在xy平面内失稳时，z为中性轴
Iz
1 12
12
243
2
(1 12
22
63)
2(22 6 152)
F
cr1
I 2E z
( zl1)2
I 2E z
(1l1)2
在xz平面内失稳时，y为中性轴
Iy
1 12
(24123)
2
1 12
计算杆在不同方向失稳时的临界力。I 为其相应的对
中性轴的惯性矩。
11
例题 2： 图示各杆材料和截面均相同，试问哪一根杆能承 受的压力最大， 哪一根的最小？
F F
F 因为 l1 l2 l3
又
Fcr
2EI
l 2
可知
Fcr1 Fcr2 Fcr3
a 1.3 a
3
10
12
4.1710
9
m
4
10 30
z
y
Fcr
2Im (1l
E in )2
24.17200 (0.70.5)2
67
.14
kN
图(b)：P393查表，得
(4545 6) 等边角钢
图(b)
IminI z 3.8910 8 m4
Fcr
2 IminE (2l)2
2 EI y L2
2
②绕 z 轴，左端固定，右端铰支：
=0.7，
bh3 I z 12 ,
Fcrz
2EIz
(0.7 L1 ) 2
③压杆的临界力 Fcr min( Fcry , Fcrz )
17
例6 求下列细长压杆的临界力。 解：图(a)
L L
F 图(a)
F
I
m
in
5010 12
6223
F
cr 2
I 2E y
( yl 2)2
I 2E y
(1l 2)2
F F F cr min{ ,cr1 } cr2
6 12
z 24
6 y 22
16
例5 求下列细长压杆的临界力。
y
y
z L1 L2
x
z
h
b
解：①绕 y=轴1.0，，两端铰支I y ：b132h ,
Fcry
2
压杆失稳的现象： 1. 轴向压力较小时，杆件能保持稳定的直线平衡状态； 2. 轴向压力增大到某一特殊值时，直线不再是杆件唯
一的平衡状态；
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
稳定：
理想中心压杆能够保持稳定的（唯一的） 直线平衡状态；
失稳： 理想中心压杆丧失稳定的（唯一的）直 线平衡状态；
临界力
压杆失稳时，两端轴向压力的特殊值
3
§9-2 临界载荷的欧拉公式
20.389200 (20.5)2
76
.8kN
18
例7、图示三角架结构，BC杆为细长压杆，已知：AC=1.5m， BC=2m，d=2cm，E=200GPa，求不会使刚架失效的载荷F。
解： 1）计算压杆BC的临界力
F
F BC cr
2EI
L2
3.76(KN)
2）计算许可载荷[P]
Fy
0 : [F ]
F BC cr
1.5 2
0
F
[F ] 2.82(KN)
19
例8：图示结构，①、②两杆截面和材料相同，为细长压杆。 确定使载荷 F 为最大值时的θ角（设0<θ<π/2）。
F
① 90 ②
20
解：由静力平衡条件可解得两杆的压力分别为：
FN1 F cos ，FN 2 F sin
F
解： lAB 0.7 a 0.7 a
c
lBC 1 0.5a 0.5a
B
F AB cr
2EI
(0.7a)2
A
FBC cr
2EI
0.5a 2
a
故取
2EI
Fcr 0.7a2
14
例4 由A3钢加工成的工字型截面杆，两端为柱形绞。在xy平面 内失稳时，杆端约束情况接近于两端绞支，z = 1，长度为 l1 。在 xz平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端固定 y = 0.6 ，长度 为 l2 。试用欧拉公式求 Fcr。
§9-1 压杆稳定的概念
不稳定平衡
微小扰动就使小球远 离原来的平衡位置
稳定平衡
微小扰动使小球离开原 来的平衡位置，但扰动撤销 后小球回复到平衡位置
1
F
F（较小） F（较小） F（特殊值） F（特殊值）
轴压
压弯
恢复
直线平衡 曲线平衡 直线平衡
压弯
失稳
曲线平衡 曲线平衡
保持常态、稳定
失去常态、失稳
5m
5m
5m
7m
9m
3m
5m
5m
(a)
μl=1×5=5
(b)
0.7×7=4.9
(c)
0.5×9=4.5
(d)
2×3=6
(e)
上1×5=5 下0.7 ×5=3.5
(f)
上0.7×5=3.5 下0.5 ×5=2.5
承载能力依次为：d<a=e<b<c<f
13
例题3 已知：图示细长压杆EI,求：临界压力
a\2
两杆的临界压力分别为：
Fc r1
2E l12
I
，
Fcr 2
2E
l22
I
F
要使F最大，只有 FN1、FN 2都达
适用条件： •理想压杆（轴线为直线，压力 与轴线重合，材料均匀） •线弹性，小变形 •两端为铰支座
4
例题1
解： 截面惯性矩
临界力
269103 N 269kN
5
二、其他支座条件下细长压杆的临界压力
1 两端绞支
2EI
F l cr
2
Pc
r
2 一端固定另端绞支
A
l
C
B
C为拐点
Fcr
2EI