数学实验3

其中 这里 ξ 是 x0与 x 之间的某个值.
实验三 级数
练习2 练习 利用幂级数计算指数函数。指数函数可展开为幂级数 x 2 x3 xn x e = 1 + x + + + L + + L , x ∈ (−∞, ∞) 2! 3! n! n x 其通项为 n! ，因此用下列循环相加就可计算出这个级数。 >>x=input('x=');n=input('n=');y=1;%输入原始数据,初始化y >>for k=1:n y=y+x^k/prod(1:k);end,vpa(y,10), %将通项循环相加，得y 执行此程序，分别带入x=1,2,4,-4这四个数，取n=0，得到结 果如下：
实验三 级数
运行结果为 >> taylor(sin(x),0,1) ans = 0 >> taylor(sin(x),0,2) ans = x >> taylor(sin(x),0,3) ans = x >> taylor(sin(x),0,4) ans = x-1/6*x^3 >> taylor(sin(x),0,5) ans = x-1/6*x^3 >> taylor(sin(x),0,6) ans = x-1/6*x^3+1/120*x^5
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
y=sin(x)与其x=0处的3次Taylor多项式
5 y 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -10 x
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
8
10
y=sin(x)与其x=0处的9次Taylor多项式
5 y 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -10 x
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
y=sin(x)与其x=0处的13次Taylor多项式
5 y 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -10 x
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
y=sin(x)与其x=0处的19次Taylor多项式
5 y 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -10 x
实验三 级数
然后在同一坐标系里作出函数 y = sin x 和其 Taylor展开式的前几项构成的多项式函数
y = x,
x3 y = x− , 3!
x3 x5 y = x − + ,L , 3! 5!
的图形
y=sin(x)与其x=0处的1次Taylor多项式
5 y 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -10 x
其中 这里 ξ 是 x0与 x 之间的某个值.
背景知识
18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之 18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之 一的英国数学家泰勒 一的英国数学家泰勒（Brook Taylor），于1685 泰勒（ Taylor），于 年8月18日在米德尔塞克斯的埃德蒙顿出生。泰 18日在米德尔塞克斯的埃德蒙顿出生。泰 勒的主要著作是1715年出版的《 勒的主要著作是1715年出版的《正的和反的增量 方法》，书内以下列形式陈述出他已于1712 方法》，书内以下列形式陈述出他已于1712年7 1712年 月给其老师梅钦（数学家 、天文学家）信中首 先提出的著名定理——泰勒定理 先提出的著名定理——泰勒定理，当x＝0时便称 泰勒定理，当x 作麦克劳林定理。1772年 作麦克劳林定理。1772年 ，拉格朗日强调了此 公式之重要性，而且称之为微分学基本定理，但 泰勒于证明当中并没有考虑级数的收敛性，因而 布鲁克·泰勒 使证明不严谨， 这工作直至十九世纪二十年代 Brook Taylor 布鲁克 泰勒 才由柯西完成。
实验三 级数
(2)可以利用exp(-x)=1/exp(x)来避免交错级数的计算。 (2)可以利用exp(-x)=1/exp(x)来避免交错级数的计算。 (3)为了减少乘法次数，设一个中间变量z，它的初始值为z=ones(sine(x))， (3)为了减少乘法次数，设一个中间变量z，它的初始值为z=ones(sine(x))， 把循环体中的计算语句改为 y=y+z; z=x.*z/k; y=y+z; z=x.*z/k; 这样，求得的z就是z=x.^k/k!， 这样，求得的z就是z=x.^k/k!，于是每个循环只需做一次乘法，计算整个 级数只需n次乘法。按这种方法，y的初始值改为y=zeros(size(x))。 级数只需n次乘法。按这种方法，y的初始值改为y=zeros(size(x))。 (4)为了按精度选择循环次数，不应使用for循环，而用while语句，它可以 (4)为了按精度选择循环次数，不应使用for循环，而用while语句，它可以 设置循环的条件语句，通常可用y+z-y>tol，tol是规定的允许误差，只 设置循环的条件语句，通常可用y+z-y>tol，tol是规定的允许误差，只 要相邻的两次y值之差大于tol，循环就继续进行，直到小于tol为止。 要相邻的两次y值之差大于tol，循环就继续进行，直到小于tol为止。 当x较大时，exp(x)仍能很快收敛，还可以利用关系式，令x1=x/k。k通常 较大时，exp(x)仍能很快收敛，还可以利用关系式，令x1=x/k。 取大于x而接近x 的幂，例如x=100，就取k=128，可以保证x1的绝 取大于x而接近x的2的幂，例如x=100，就取k=128，可以保证x1的绝 对值小于1，这时级数收敛的很快。从练习中可以看出，n 10时就能 对值小于1，这时级数收敛的很快。从练习中可以看出，n取10时就能 保证7位有效数字，而可以化为，即exp(x1)的 次自乘，总共享17次乘 保证7位有效数字，而可以化为，即exp(x1)的7次自乘，总共享17次乘 法就可完成？的计算，既保证了精度，又提高了速度。
实验三 级数
针对上面的四个问题,可以采用下面的四种方法改进: 针对上面的四个问题,可以采用下面的四种方法改进: (1)允许数组输入,改进输出显示 (1)允许数组输入, x=input('x=');n=input('n=');y=ones(size(x)); %输入原始数据,初始化y 输入原始数据,初始化y for k=1:n y=y+x.^k/prod(1:k);%循环相加 y=y+x.^k/prod(1:k);%循环相加 s1=sprintf('%13.0f',i);s2=sprintf('%15.8f',y); s1=sprintf('%13.0f',i);s2=sprintf('%15.8f',y); %将结果变为字符串 disp([s1,s2])%显示 disp([s1,s2])%显示 end, 执行此程序,输入x=[1 执行此程序,输入x=[1 2 4 -4],n=10,结果为 4],n=10,结果为
symsum(s,k,a,b)表达式s关于变量k从a到b求和 taylor(f,a,n)将函数f在点a展为n-1阶Talor多项式 vpa(v,d)将变量v保留10位有效数字
实验三 级数
练习1 先用Taylor命令观察函数 练习1 先用Taylor命令观察函数 y = sin xMaclaurin 展开式的前几项,若观察前6 相应的MATLIB代 展开式的前几项,若观察前6项,相应的MATLIB代 码为 >>clear;syms x; >>taylor(sin(x),0,1) >>taylor(sin(x),0,2) >>taylor(sin(x),0,3) >>taylor(sin(x),0,4) >>taylor(sin(x),0,5) >>taylor(sin(x),0,6)
实验三 级数
1 2.00000000 3.00000000 5.00000000 -3.00000000 2 2.50000000 5.00000000 13.00000000 5.00000000 3 2.66666667 6.33333333 23.66666667 -5.66666667 4 2.70833333 7.00000000 34.33333333 5.00000000 5 2.71666667 7.26666667 42.86666667 -3.53333333 6 2.71805556 7.35555556 48.55555556 2.15555556 7 2.71825397 7.38095238 51.80634921 -1.09523810 8 2.71827877 7.38730159 53.43174603 0.53015873 9 2.71828153 7.38871252 54.15414462 -0.19223986 10 2.71828180 7.38899471 54.44310406 0.09671958
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
泰勒(Taylor)中值定理 泰勒(Taylor)中值定理 如果函数f 在含有x 如果函数f (x)在含有x0的某个开区间 (a,b) a,b) 内具有直到(n+1)阶的导数，则当x a,b) 内具有直到(n+1)阶的导数，则当x在(a,b)内 的一个n 时，f 可以表示为( 时，f (x)可以表示为(x-x0)的一个n次多项式 与一个余项R 与一个余项Rn(x) 之和：
泰勒(Taylor)中值定理 泰勒(Taylor)中值定理 如果函数f 在含有x 如果函数f (x)在含有x0的某个开区间 (a,b) a,b) 内具有直到(n+1)阶的导数，则当x a,b) 内具有直到(n+1)阶的导数，则当x在(a,b)内 的一个n 时，f 可以表示为( 时，f (x)可以表示为(x-x0)的一个n次多项式 与一个余项R 与一个余项Rn(x) 之和：