25。2.1用列举法求概率(1)
人教版九年级上册第25章第二节第一课时《25.2.1用列举法求概率》赛课教案
第二十五章概率初步25.2用列举法求概率第1课时运用直接列举或列表法求概率教学内容：人教版九年级上册第25章第二节第一课时运用直接列举或列表法求概率学习目标：1.2. 学会正确“列表”表示出所有可能出现的结果.3. 知道如何利用“列表法”求随机事件的概率.会用“直接列举法”和“列表法”列举所有可能出现的结果.教学重难点重点：知道如何利用“列表法”求随机事件的概率.难点：会正确“列表”表示出所有可能出现的结果.教学方法教法：创设情景提问法、演示法、启发式教学.学法：小组合作、讨论交流.教学过程：一、情境导入1、12.4 H国家宪法日（PPT出示志愿者图片）（设计意图：通过宪法的导入, 让学生们了解宪法，增强法律意识）2、再由我校也将开展进社区宣传宪法的活动，向每班招募一名志愿者，但是小辛玉和安琪都想去，引出抛硬币活动，正面向上小车玉去，反面向上安琪去，学生判断公平的依据。
学生说概率公式P （A）=-n（设计意图：增强学生对社会的服务意识，复习旧知）3、当小车玉抛出硬币是正面，决定小车玉去参加活动时，安琪提出一人抛一枚硬币更公平。
老师提问：同时抛两枚硬币，怎么制定规则比较公平呢？（设计意图：引出本节课的主题：用列举法求概率）4、确定本节课的学习目标。
二、探索新知（一）用直接列举法求概率问题1：同时掷两枚质地均匀的硬币，求下列事件的概率：（1）两枚硬币全部正面向上；（2）两枚硬币全部反面向上；（3）一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上。
学生抛硬币，得出结论：抛掷两枚硬币的所有可能为：正正，正反，反正，反反请学生分别回答上面三个问题。
（学生做出判断，老师评价，及时表扬）（设计意图：由学生自己动手操作，得出结论，吸引学生的兴趣）问题2：如何制定规则，让小车玉和安琪都觉得公平呢？学生回答：落地后一正一反，小车玉赢；如果落地后两面一样，安琪赢.其他学生判断公平性。
（设计意图：使学生理解公平与概率之间的关系）问题3：“同时掷两枚硬币”与“先后两次掷一枚硬币”，这两种试验的所有可能结果一样吗？学生以小组为单位讨论，并由小组汇报讨论结果。
25.2.1 用列表法求概率课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册
B.
1
2
1
(1，1)
(1，2)
2
(2，1)
(2，2)
C.
D.
由列表可知，两次摸出小球的号码之积共有
4种等可能的情况，
)
知识讲解
知识点2 用列表法求概率
【例 2】一只不透明的袋子中装有两个完全相同的小球，上面分别标有1，
2两个数字，若随机地从中摸出一个小球，记下号码后放回，再随机地摸
1
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
(3)至少有一个骰子的点数为2.
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
4
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
5
(1,5)
(2,5)
（B ）
A.
B.
C.
D.
随堂练习
2. 某次考试中，每道单项选择题一般有4个选项，某同学有两道题不
会做，于是他以“抓阄”的方式选定其中一个答案，则该同学的这两
道题全对的概率是（ B ）
A.
B.
C.
D.
随堂练习
3. 在6张卡片上分别写有1－6的整数，随机地抽取一张后放回，再随机
25.2.1 运用直接列举或列表法求概率
=
7
18
1.小明和小华参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社
会调查”其中一项那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为( A )
1
A.
4
1
B.
3
1
C.
2
3
D.
4
2.有A，B两个不透明的口袋，每个口袋里装有两个相同的球，A袋中的两个
球上分别写了“细”、“致”的字样,B袋中的两个球上分别写了“信”、
“心”的字样,从每个口袋里各摸出一个球，刚好能组成“细心”字样的概
率是( B )
1
A.
3
1
B.
4
2
C.
3
3
D.
4
3.若从长度分别为3、5、6、9的四条线段中任取三条,则能组成三角形的概
率为( A )
1
A.
2
3
B.
4
1
C.
3
1
D.
4
4.学校组织校外实践活动，安排给九年级三辆车，小明与小红都可以从这
三辆车中任选一辆搭乘,小明与小红同车的概率是( C )
(1)两枚硬币全部正面向上；
(2)两枚硬币全部反面向上；
(3)一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上.
上述这种列举法我们称为直接列举法，即把事件可能出现的结果一一列出.
【适用范围】直接列举法比较适合用于最多涉及两个试验因素或分两步
进行的试验，且事件总结果的种数比较少的等可能性事件.
上述这种列举法我们称为直接列举法，即把事件可能出现的结果一一列出.
【点睛】当一次试验要涉及两个因素（例如掷两个骰子）并且可能出现
11
所以P(C)=
36
人教版数学九年级上册25.2.1《用列举法求概率》教案
人教版数学九年级上册25.2.1《用列举法求概率》教案一. 教材分析《用列举法求概率》是人教版数学九年级上册第25章第二节的第一课时，本节课主要内容是让学生掌握用列举法求概率的方法，并能够运用列举法解决一些简单的实际问题。
教材通过引入实际问题，引导学生用列举法列出所有可能的结果，再找出符合条件的结果，从而计算概率。
本节课的内容对于学生来说比较抽象，需要通过大量的练习来理解和掌握。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了概率的基本概念，如随机事件、必然事件等，并掌握了用树状图法求概率的方法。
但是，由于九年级学生的逻辑思维能力和空间想象能力还在发展阶段，对于用列举法求概率的方法可能会感到困惑。
因此，在教学过程中，教师需要耐心引导，让学生逐步理解和掌握列举法求概率的方法。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握用列举法求概率的方法，并能够运用列举法解决一些简单的实际问题。
2.过程与方法目标：通过学生自主探究、合作交流，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.重点：用列举法求概率的方法。
2.难点：如何引导学生理解和掌握用列举法求概率的方法，以及如何解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与课堂。
2.互动教学法：通过学生之间的合作交流，培养学生解决问题的能力。
3.引导发现法：教师引导学生发现列举法求概率的步骤和方法，培养学生自主学习的能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示相关例题和练习题。
2.练习题：准备一些实际问题，让学生课后练习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入一些实际问题，如抛硬币、抽奖等，引导学生思考如何求解这些问题。
让学生意识到用列举法求概率的重要性。
2.呈现（10分钟）教师展示一些简单的例题，如抛硬币两次，求正正、正反、反正、反反的概率。
25.2._1用列举法求概率(1)
所以，选乙袋成功的机会大。
例1：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，求下列事件
的概率：
(1)两枚硬币全部正面朝上； (2)两枚硬币全部反面朝上； (3)一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上； “掷两枚硬币”共有几种结果？
正正
正反
反正
反反
为了不重不漏地列出所有这些结果, 你有什么好办法么？
例1：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，求下列事件
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,5)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
P(点数相同）= P(至少有1次骰子的点数是2 ）=
6 1 36 6
4 1 P(点数和是9）= 36 9 11
1、一个袋子中装有2个红球和2个绿球，任意摸出一个 球，记录颜色后放回，再任意摸出一个球，请你计算两 次都摸到红球的概率。
甲 解：
甲
1 2 3
5 6
乙
4 5 7 6
7
共有12种不同结果，每 种结果出现的可能性相 同，其中数字和为偶数 的有 种
乙
4
1
(1，4) (1，5) (1，6) (1，7) (2，4) (2，5) (2，6) (2，7) (3，4) (3，5) (3，6) (3，7)
6
2
3
∴P（数字和为偶数） 6 1 = 12 2
若第一次摸出一球后，不放回，结果又会怎样？ “放回”与“不放回”的区别： (1)“放回”可以看作两次相同的试验； (2)“不放回”则看作两次不同的试验。
小结
1.“列表法”的意义
2.随机事件“同时”与“先后”的关系;
3.“放回”与“不放回”的关系.
25.2.1用列举法求概率(1)
随机事件
随机事件
随机事件的两个特征：
1.出现的结果有有限多个;
2.各结果发生的可能性相等； ．
那么随机事件的概率 可以用列举法来求得。
例1：同时掷两枚质地均匀的硬币， 求下列事件的概率：
(1)两枚硬币全部正面朝上。
(2)两枚硬币全部反面朝上。
(3)一枚硬币正面朝上、一枚硬币反 面朝上。
没有变化
小试牛刀:
小明和小亮做扑克游戏，桌面上放有两堆牌,分 别是红桃和黑桃的1,2,3,4,5,6,小明建议:我从 红桃中抽取一张牌,你从黑桃中取一张,当两张 牌数字之积为奇数时，你得1分，为偶数我得1 分,先得到10分的获胜”。如果你是小亮,你愿 意接受这个游戏的规则吗?
这个游戏对小亮和小明公 平吗？
（1）摸出两个黑球（记为事件A）的结果有3种，即（黑1，黑2） （黑1，黑3）（黑2，黑3），所以
P（A）= 3 = 1 62
（2）摸出一个红球、一个黑球（记为事件B）的结果有3种，即 （红，黑1）（红，黑2）（红，黑3）,所以
P（B）= 3 = 1 62
（3）摸出两个红球（记为事件C）的结果有0种，所以
分析：当一次试验可能出现的结果数目较少时，为不重不
漏地列出所有可能结果，通常采用 直接列举法.
解：列举出所有可能出现的结果：正正，正反，反正，反 反，共4种，并且它们出现的可能性相等.
（1）两枚硬币全部正面朝上（记为事件A）的结果只有 1种，即“正正”，所以P(A)=1/4.
（2）两枚硬币全部反面朝上（记为事件B）的结果只有 1种，即“反反”，所以P(B)=1/4.
13
2
游戏规则是: 如果所摸球上的数字与转盘转出的数字之和为2, 那么游戏者获胜.求游戏者获胜的概率.
《25.2.1用列举法求概率(1)》名师教案(人教版九年级上册数学)
25.2.1 用列举法求概率（彭小永）一、教学目标（一）学习目标1．了解列举法的含义．2．理解“包含两步并且每一步的结果为有限多个情形”的意义．3．会用列举法计算简单的随机事件的概率．（二）学习重点用列举法计算简单的随机事件的概率（三）学习难点包含两步的随机事件的概率二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）古典概型试验有两个特点：①一次试验中，可能出现的结果有有限个；②一次试验中，各种结果发生的可能性大小相同 .（2）列表法求概率：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较少时，为不重不漏列出所有可能结果，通常采用列举法 .（3）抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是 0.5 ，反面朝上的概率是 0.5 .2.预习自测（1）甲、乙、丙三人站成一排拍照，则甲站在中间的概率为（）A． B． C． D．【知识点】随机事件的概率【解题过程】解：甲有左、中、右三个位置可以选择，所以甲站中间的概率为.【思路点拨】列举甲站位所有的可能性，找出符合条件的，便可算出其概率.【答案】B（2）有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着1、2、3、4、5，随机抽取3张，用抽到的 3个数字作为边长，恰好构成三角形的概率是（）A． B． C． D．【知识点】随机事件的概率【数学思想】分类讨论思想【解题过程】解：所有的可能结果有：（1，2，3）、（1，2，4）、（1，2，5）、（1，3，4）、（1，3，5）、（1，4，5）、（2，3，4）、（2，3，5）、（2，4，5）、（3，4，5）共10种情况，只有（2，3，4）、（2，4，5）、（3，4，5）三种情况可以构成三角形，所以结果为.【思路点拨】列举出所有可能的情况，再利用“三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，找出符合条件的3组值，便得到答案.【答案】A（3）从-2、-1、0、1、2这5个数中任取一个数，作为关于的一元二次方程的值，则所得的方程有两个不相等的实数根的概率是 .【知识点】概率，根的判别式【解题过程】解：因为方程x2-x+k=0有两个不相等的实根，所以根的判别式，所以，有-2、-1和0满足要求，其概率为.【思路点拨】弄清一元二次方程有两个不相等实根的条件，找出的取值范围，再计算其概率.【答案】（4）在一个不透明的袋子中，有两个红球和两个白球，它们只有颜色上区别，从袋子里随机摸出一个球记下颜色后放回，再随机地摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是 . 【知识点】用列举法求概率【解题过程】解：设4个球分别为红1、红2、白1、白2，则可列出下表：第二次第一次红1红2白1白2红1（红1，红1）（红1，红2）（红1，白1）（红1，白2）红2（红2，红1）（红2，红2）（红2，白1）（红2，白2）白1（白1，红1）（白1，红2）（白1，白1）（白1，白2）白2（白2，红1）（白2，红2）（白2，白1）（白2，白2）从表中可以看出，在总共16种情况中，只有4种符合要求，所以，所求的概率为.【思路点拨】用列表的方法便可轻松地找到答案. 如果第一次摸了不放回，则在表格中的从左上到右下这条对角线上的四组数据不会出现. 也就是说，做这种题时，要特别注意第一次摸出后是否放回的问题，它对结果有较大的影响.【答案】(二)课堂设计1.知识回顾（1）必然事件、不可能事件发生的概率分别是 1和0 ；随机事件的概率大于0且小于1 . （2）如果在一次试验中，有n种可能的结果，它们发生的可能性都相同，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）= ( ) .2.问题探究探究一温故知新，引出课题●活动①请思考后，回答下列问题（1）抛掷两枚质地均匀的硬币，有哪些可能的结果？请写出这些结果.（2）抛掷一枚质地均匀的硬币两次，有哪些可能的结果？请写出这些结果.（3）“同时抛掷两枚质地均匀的硬币两次”与“先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币”，这两种试验的所有可能结果是一样的吗？由学生思考后，举手回答.【设计意图】让学生通过回答前两个问题，初步学会使用列举法解决问题.探究二利用列举法求概率，解决实际问题●活动①初试列举法例1 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，求下列事件的概率：（1）两枚硬币全部正面朝上；（2）两枚硬币全部反面朝上；（3）一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上.【知识点】用列举法求概率【数学思想】分类讨论思想【解题过程】解：同时抛掷两枚硬币，有以下四种结果：（正，正）、（正、反）、（反，正）、（反、反）；（1）由于全部正面朝上的结果（正，正）这只有1种，所以，P（两次正面朝上）；（2）由于全部反面朝上的结果（反，反）这只有1种，所以，P（两次反面朝上）（3）由于一枚正面朝上、一枚反面朝上的结果有（正，反）与（反，正）两种，所以，P（一正.一反）【思路点拨】排列出所有可能的结果，再找出符合条件的，便可轻松得解. 特别注意试验结果要不重不漏.【答案】（1）；（2）；（3）.练习：在一个不透明的盒子里有3个分别标有5、6、7的小球，他们除数字外其他均相同. 充分摇匀后，先摸出1个球不放回，再摸出一个球，那么这两个球上的数字之和为奇数的概率为 .【知识点】用列举法求概率【数学思想】分类讨论思想【解题过程】解：∵摸出的所有可能结果有：（5，6）、（5，7）、（6，5）、（6，7）、（7，5）、（7，6）共6种情况，它们之和分别为11、12、11、13、12、13共4个奇数和2个偶数，∴P（两数之和为奇数）【思路点拨】用列举法得出所有可能的结果，找出符合条件的，问题便迎刃而解.特别注意事先摸出的球是否放回对概率的影响，还要注意不重不漏.【答案】【设计意图】让学生在列举法的使用上熟能生巧.●活动②用列表法求概率例2 同时掷两枚质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：（1）两枚骰子的点数相同；（2）两枚骰子的点数和是9；（3）至少有一枚骰子的点数为2.【知识点】用列表法求概率【数学思想】分类讨论思想【解题过程】解：两枚骰子分别记为1和2，可用下表列举出所有可能的结果：第1枚1 2 3 4 5 6第2枚1 （1，1）（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）2 （1，2）（2，2）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）3 （1，3）（2，3）（3，3）（4，3）（5，3）（6，3）4 （1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（5，4）（6，4）5 （1，5）（2，5）（3，5）（4，5）（5，5）（6，5）6 （1，6）（2，6）（3，6）（4，6）（5，6）（6，6）由上表可以看出，同时掷两枚骰子，可能出现36种结果，并且它们出现的可能性相等. （1）两枚骰子的点数相同（记为事件A）的结果有6种，分别是（1，1）、（2，2）、（3，3）、（4，4）、（5，5）、（6，6），所以P（A）=；（2）两枚骰子的点数之和为9（记为事件B）的结果有4种，分别是（3，6）、（4，5）、（5，4）、（6，3）所以P（B）=；（3）至少有一枚点数为2（记为事件C）的结果有11种（见上表），所以P（C）=.【思路点拨】分横行和纵列将两枚骰子的点数排列出来，计算符合条件的结果即可. 要注意不重不漏.【答案】（1）；（2）；（3）练习：有A、B两只不透明口袋，每只口袋里装有两只相同的球，A袋中的两只球上分别写了“细”“致”的字样，B袋中的两只球上分别写了“信”“心”的字样，从每只口袋里各摸出一只球，刚好能组成“细心”字样的概率是( )A.13B.14C.23D.34【知识点】用列表法求概率【解题过程】解：摸球的结果如下：A袋B袋细致信细信致信心细心致心共有4种可能的结果，且每种结果是等可能性的. 所以抽出“细心”的概率为 . 【思路点拨】用列表法可以轻松得解，注意不重不漏，还要注意摸球讲不讲顺序.【答案】 .●活动③拓展提高，解答概率综合题例3 有一枚均匀的正四面体，四个面上分别标有数字1、2、3、4，小红随机地抛掷一次，把着地一面的数字记为，另有三张背面完全相同，正面分别写着-2、-1、1的卡片，小亮将其混合，正面朝下旋转在桌面上，并从中抽取一张，把卡片正面的数字记为.然后他们计算出S=x+y的值.和-2 -1 11 -1 0 22 0 1 33 1 2 44 2 3 5（1）用列表法表示出S的所有可能情况；（2）分别求出当S=0和S<2时的概率. 【知识点】用列表法求概率【数学思想】分类讨论思想【解题过程】解：（1）列表如右，共12种情况.（2）P（S=0）=； P（S<2）.【思路点拨】用表格将所有情况列举出来，然后找出符合条件的即可轻松得解.【答案】（1）共有如上表的12种情况. （2）P（S=0）=；P（S<2）.练习：某中学要在全校学生中举办“中国梦·我的梦”主题演讲比赛，要求每班选一名代表参赛. 九年级1班经过投票初选，小亮和小丽票数全班并列第一，现在他们都想代表全班参赛. 经过班长与他们协商决定，用掷骰子的办法让获胜者去参赛. 规则如下：两人同时随机各掷一枚完全相同且质地均匀的骰子一次，向上一面的点数都是奇数，则小亮胜；向上一面都是偶数，则小丽胜；否则视为平局，若为平局，继续上述游戏，直到分出胜负为止. 如果小亮和小丽都按上述规则各掷一次骰子，解答下列问题：（1）小亮掷得向上一面的点数为奇数的概率是多少？（2）该游戏是否公平？请用列表法说明理由.【知识点】用列表法求概率【解题过程】解：（1）∵朝上一面的点数为奇数有3种情况，∴P（奇数）（2）由题意知，可列表如下：1 2 3 4 5 61 （1，1）（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）2 （1，2）（2，2）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）3 （1，3）（2，3）（3，3）（4，3）（5，3）（6，3）4 （1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（5，4）（6，4）5 （1，5）（2，5）（3，5）（4，5）（5，5）（6，5）6 （1，6）（2，6）（3，6）（4，6）（5，6）（6，6）由上表可知：共有36种等可能的结果，其中小亮和小丽获胜各有9种结果，∴P（小亮胜）P（小丽胜）.【思路点拨】列表法求概率是一种很常见的方法.【答案】（1）P（奇数）；（2）公平.小亮与小丽获胜的概率同样大（表格见上）. 【设计意图】强化列表法求概率，使其熟练掌握.3. 课堂总结知识梳理（1）列举法的使用条件：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率．（2）列表法的使用条件：当一次试验要涉及的因素只有两个(我们也常称为两步操作试验)，且每一步的结果为有限多个情形，我们常通过列表的方法列举所有可能的结果，找出事件A可能发生的结果，再利用公式P（A）求它的概率.（3）使用列举法求概率时，要求做到不重不漏.重难点归纳（1）只有有限多个情形时，我们可以使用列举法；（2）当一次试验要涉及两个因素（或叫两步），且每一步的结果为有限多个情形，我们可以通过列表法求它的概率；（3）使用列举法求概率时，要求做到不重不漏. （三）课后作业 基础型 自主突破1. 为支援灾区，小明准备通过爱心热线捐款，他只记得号码的前5位，后三位由5、1、2这三个数字组成，但具体顺序忘记了．他第一次就拨通电话的概率是( ) A. 12 B. 14 C. 16 D. 18【知识点】用列举法求概率 【数学思想】分类讨论思想【解题过程】5、1、2这三个数字的排列方式有：512、521、125、152、215、251共6种，其中只有一种是正确的，所以，他第一次就拨通电话的概率是16.【思路点拨】用列举法不重不漏地将三个数排列出来是关键. 【答案】C 2.在的空格□中，分别填上“＋”或“－”，在所得的代数式中，能构成完全平方式的概率是( )A ．1 B.34 C.12 D.14【知识点】用列举法求概率 【解题过程】解：方框中符号的填法共有：（+，+）（-，-）、（+，-）、（-，+）4 种，只有 （+，+）与（-，+）2种符合要求，所以能构成完全平方式的概率为12.【思路点拨】记住完全平方式的符号特点，再用列举法排列出所有的情况，便可求得其概率. 【答案】C3.如图所示，每一个标有数字的方块均是可以翻动的木牌，其中只有两块木牌的背面贴有中奖标志，则随机翻动一块木牌中奖的概率为_______． 【知识点】用列举法求概率【解题过程】解：翻动木牌有6种情形，只有两种情况可以中奖，中奖的概率为【思路点拨】找出所有的情形和符合条件的个数即可计算出相应的概率.【答案】.4.从－2、－1、2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是________.【知识点】用列举法求概率【解题过程】－2、－1、2这三个数学共有6种排法，分别是（-2，-1）、（-1，-2）、（-2，2）、（-1，2）、（2，-2）、（2，-1），其中只有（2，-2）和（2，-1）在第四象限，其它的均不合要求，所以该点在第四象限的概率为.【思路点拨】第四象限的点的横、纵坐标分别为正和负，只有两个点符合条件，其概率为.【答案】5.将长度为8厘米的木棍截成三段，每段长度均为整数厘米．如果截成的三段木棍长度分别相同算作同一种截法(如：5，2，1和1，5，2)，那么截成的三段木棍能构成三角形的概率是________．【知识点】用列举法求概率【解题过程】长度为8厘米的木棍截成长为整数的三段，共有5组结果，它们分别是：（1，1，6）、（1，2，5）、（1，3，4）、（2，2，4）、（2，3，3），其中只有（2，3，3）这一种情形能构成三角形，其概率为.【思路点拨】注意不重不漏；还要注意三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.【答案】 .6. 小明和小华参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项，那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为( )A.14B.13C.12D.34【知识点】用列举法求概率小明小华A BA （A，A）（B，A）B （A，B）（B，B）【解题过程】分别将“打扫社区卫生”和“参加社会调查”记为事件A和事件B，则两人的选择有如下情况，同时选择“参加社会调查”（事件B）的只有一种情况，其概率为14.【思路点拨】用表格排列出所有的情况和符合条件的情况，即可求出其概率.【答案】1 4能力型师生共研7. 如图是一个能自由转动的正六边形转盘，这个转盘被三条分割线分成形状相同，面积相等的三部分，且分别标有“1”“2”“3”三个数字，指针的位置固定不动，让转盘自由转动两次，当每次转盘停止后，记录指针指向的数(当指针指向分割线时，视其指向分割线左边的区域)，则两次指针指向的数都是奇数的概率为________．【知识点】用列表法求概率【思想方法】分类讨论思想【解题过程】解：可列表如右，共有9种可能的情况，其中只有4种情况符合题意，所以P（两次都是奇数）.1 2 31 （1，1）（2，1）（3，1）2 （1，2）（2，2）（3，2）3 （1，3） （2，3） （3，3）【思路点拨】利用表格排列出所有可能的情况，再找出符合题意的即可.【答案】P （两次都是奇数）.8. 一个口袋中有4个相同的小球，分别写有字母A 、B 、C 、D ，随机地抽取一个小球后放回，再随机抽取一个小球．(1)试用列表法列举出两次抽出的球上字母的所有可能结果； (2)求两次抽出的球上字母相同的概率． 【知识点】用列表法求概率 【数学思想】分类讨论思想 【解题过程】解：（1）根据题意，可以列表如右，共有16种可能的结果.（2）因为在总共的16种情况中，只有4种是两个字母相同的情况，所以P （两次的字母相同）.【思路点拨】利用表格排列出所有可能的情况，再找出符合题意的即可.【答案】（1）共有16种情况（见上表）； （2）P （两次的字母相同）.探究型 多维突破9. 用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色. 求可配成紫色的概率. 【知识点】用列表法求概率 【数学思想】数形结合思想 【解题过程】第1次 第2次A B C DA (A ，A) (B ，A) (C ，A) (D ，A) B (A ，B) (B ，B) (C ，B) (D ，B) C(A ，C) (B ，C) (C ，C) (D ，C)D(A ，D) (B ，D) (C ，D) (D ，D)红 蓝1 蓝2红 （红，红） （红，蓝1） （红，蓝2）解：由于必须是等可能性的，所以需将第2个转盘的蓝色分成蓝1和蓝2 ，因此可列出右表，从表中可以看出，共有6种等可能情况，有3种可以配成紫色，所以P （配成紫色）.【思路点拨】只有红配蓝或者蓝配红可以配成紫色；用列表法可以轻松得出所有可能的情况.【答案】P （配成紫色） .10. 如图，电路图上有四个开关A 、B 、C 、D 和一个小灯泡，闭合开关D 或同时闭合开关A 、B 、C 都可以使小灯泡发光．(1)任意闭合其中一个开关，小灯泡发光的概率是多少？ (2)任意闭合其中的两个开关，小灯泡发光的概率是多少？ 【知识点】用列举法求概率 【数学思想】分类讨论思想 【解题过程】解：（1）由电路图可知，闭合开关D 可以使灯光发光，只闭合A 、B 、C 三个都不使灯光发光，所以，P （闭合一个开关可发光）.（2）闭合两个开关的情况如表中所示，其中只有开关D 闭合的才能让小灯光发光，共有6种情况，所以，P （闭合两个开关可发光）. 第1 个 第2个A BCDA （B ，A ） （C ，A ） （D ，A ）B （A ，B ）（C ，B ） （D ，B ）C （A ，C ） （B ，C ）（D ，C ）D（A ，D ） （B ，D ） （C ，D ）【思路点拨】注意灯泡发光的一个基本条件是连通有电源的电路.蓝 （蓝，红） （蓝，蓝1） （蓝，蓝2）【答案】（1）P（闭合一个开关可发光）；（2）P（闭合两个开关可发光）.自助餐1.从2、3、4、5中任选两个数，分别记作m、n，那么点（ m，n）在函数图象上的概率为（）A． B． C． D．【知识点】用列举法求概率【数学思想】函数思想，分类讨论思想【解题过程】.从2、3、4、5中任选两个数作为点的坐标，分别是（2，3）、（2，4）、（2，5）、（3，2）、（3，4）、（3，5）、（4，2）、（4，3）、（4，5）、（5，2）、（5，3）、（5，4）共有12种情况，在函数图象上的只有（3，4）和（4，3）两个点，所以P（点在函数上）. 【思路点拨】选两个数，相当于选了一个数后，不放回，再选一个数. 选了第一个数后是否放回对结果有直接的影响，务必重视.【答案】D2.小强和小华两人玩“石头、剪子、布”游戏，随机出手一次，则两人平局的概率为（）A． B． C． D．【知识点】用列举法求概率【数学思想】分类讨论思想【解题过程】若三个动作分别简记为“石、剪、布”，则两人出手的情况包括：（石，石）、（石，剪）、（石，布）、（剪，石）、（剪，剪）、（剪，布）、（布，石）、（布，剪）、（布，布）九种情况，平局只有3种，所以两人平局的概率为.【思路点拨】用列举法排出所有可能的情况，指出平局的3种情况，即可得到答案.【答案】B3.同时抛掷A、B两个小正方体骰子，正面朝上的数字分别记为，并以此确定点P（），那么，点P落在抛物线上的概率为 .【知识点】用列举法求概率【数学思想】函数思想，数形结合思想【解题过程】解：如下表所示，得到的点共有36种情况，只有（1，2）、（2，2）两个点满足要求，所以，点P在抛物线上的概率为 .x y 1 2 3 4 5 61 （1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）2 （2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）3 （3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）4 （4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）5 （5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）6 （6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）【思路点拨】用列表法找出所有的点，再将1、2、3、4、5、6作为变量的值代入函数的解析式，求出的值，找出符合条件的点P，便可轻松得解.【答案】.4.甲、乙两人玩猜数字游戏，游戏规则如下：有四个数字0、1、2、3，先由甲任选一个数字，记为m，将它放回后，再由乙任选一个数字，记为n. 若m、n满足，则称两人心有灵犀，那么两人心有灵犀的概率是 .【知识点】用列举法求概率【数学思想】分类讨论思想【解题过程】解：从下表可知，共有16种可能的情况，符合条件的有10种，其概率为.甲结果0 1 2 3乙0 0 1 2 31 1 0 1 22 2 1 0 13 3 2 1 0【思路点拨】用表格排列出所有可能的情况，找出符合条件的情况即可轻松得解.【答案】 .5.一只不透明的袋子中装有颜色分别为红、黄、蓝、白的球各一个，这些球除颜色外都相同．求下列事件的概率：(1)搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球；(2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，两次都是红球．【知识点】用列举法求概率【解题过程】解：（1）共有4种情况，摸出红球的概率为；（2）如图，共有16种情况，两次均为红色的只有1种，其概率为.第1 次红黄蓝白第2次红（红，红）（黄，红）（蓝，红）（白，红）黄（红，黄）（黄，黄）（蓝，黄）（白，黄）蓝（红，蓝）（黄，蓝）（蓝，蓝）（白，蓝）白（红，白）（黄，白）（蓝，白）（白，白）【思路点拨】第一次摸出后是否放回对结果有着重大影响.【答案】（1）摸出红球的概率为；（2）两次均为红色的概率为.6．六一儿童节前夕，某市“关心下一代工作委员会”决定对品学兼优的“留守儿童”进行彰．某校八年级8个班中只能选两个班级参加这项活动，且八(1)班必须参加，另外再从其他班级中选一个班参加活动．八(5)班有学生建议采用如下的方法：将一个带着指针的圆形转盘分成面积相等的4个扇形，并在每个扇形上分别标有1、2、3、4四个数字，转动转盘两次，将两次指针所指的数字相加(当指针指在某一条等分线上时视为无效，重新转动)，和为几就选哪个班参加．你认为这种方法公平吗？请说明理由．【知识点】用列表法求概率【数学思想】数形结合思想【解题过程】解：我认为这个方法不公平，理由如下：我们可以用下表列出所有可能的情况. 两次得到的数字之和分别为2、3、4、5、3、4、5、6、4、5、6、7、5、6、7、8共16种情况. 所以，八(2)班被选中的概率为116，八(3)班被选中的概率为216＝18，八(4)班被选中的概率为316，八(5)班被选中的概率为416＝14，八(6)班被选中的概率为316，八(7)班被选中的概率为216＝18，八(8)班被选中的概率为116，所以这种方法不公平.第1 次和第2次1 2 3 41 2 3 4 52 3 4 5 63 4 5 6 74 5 6 7 8【思路点拨】用列表法将所有可能的情况排列出来，算出各个班被选中的概率，通过比较确定是否公平.【答案】这种方法不公平，理由如上.。
25.2_用列举法求概率(1)
1. 用数字1、2、3,组成三位数,求其中恰有2个相同的数 字的概率. 组数开始
百位 十位
1 1 2 3 1
2 2 3 1
3 2 3
个位 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
解: 由树形图可以看出,所有可能的结果有27种,它们出 现的可能性相等. 其中恰有2个数字相同的结果有18个.
甲
丙
石 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 剪 布
剪
布
石
剪
布
石
剪
布
解: 由规则可知,一次能淘汰一人的结果应是:“石石剪” 由树形图可以看出 ,游戏的结果 “剪剪布” “布布石”三类 . 有27种,它们出现的可能性相等.而满足条件(记为事件A) 9 1 的结果有9种 ∴ P(A)=27= 3
乙 石剪布 石剪布石剪布石剪布石剪布石剪布石剪布石剪布石剪布
数学病院
用下图所示的转盘进行“配紫色” 游戏，游戏者获胜的概率是多少？
刘华的思考过程如下：
随机转动两个转盘，所有可能出现的结果如下： 你认为她的 蓝 （灰，蓝） 绿 （灰，绿） 灰 想法对吗， 黄 （灰，黄） 为什么？ 蓝 （白，蓝） 绿 （白，绿） 白 开始 黄 （白，黄 蓝 （红，蓝） ） 绿 （红，绿） 红 黄 （红，黄） 用树状图或列表 总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，而能 法求概率时，各 够 配成紫色的结果只有一种： （红，蓝），故游戏 种结果出现的可 者获胜的概率为1∕9 。 能性务必相同。
(1)利用列表的方法 表示游戏者所有可能 出现的结果. (2)游戏者获胜的概 率是多少?
红
黄 白 A盘 绿 B盘 蓝
想一想
4