第9讲第6节置换群
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近世代数第9讲
近世代数第9讲置换群(pormutation group)本讲的教学目的和要求:置换群是一种特殊的变换群。
换句话说，置换群就是有限集上的变换群。
由于是定义在有限集上，故每个置换的表现形式，固有特点都是可揣测的。
这一讲主要要求：1、弄清置换与双射的等同关系。
2、掌握置换—轮换—对换之间的联系和置换的奇偶性。
3、置换的分解以及将轮换表成对换之积的基本方法要把握。
4、对称群与交错群的结构以及有限群的cayley定理需要理解。
本讲的重点与难点：对于置换以及置换群需要侧重注意的是：对称群和交错群的结构和置换的分解定理（定理2）。
注意：由有限群的cayley定理可知：如把所有置换群研究清楚了。
就等于把所有有限群都研究清楚了，但经验告诉我们，研究置换群并不比研究抽象群容易。
所以，一般研究抽象群用的还是直接的方法。
并且也不能一下子把所有群都不得找出来。
因为问题太复杂了。
人们的方法是将群分成若干类（即附加一定条件）；譬如有限群；无限群；变换群；非变换群等等。
对每个群类进行研究以设法回答上述三个问题。
可惜 ， 人们能弄清的群当今只有少数几类（后面的循环群就是完全解决了的一类群）大多数还在等待人们去解决。
变换群是一类应用非常广泛的群，它的具有代表性的特征—置换群，是现今所研究的一切抽象群的来源，是抽象代数创始人E.Galais(1811-1832)在证明次数大于四的一元代数方程不可能用根号求解时引进的。
一． 置换群的基本概念定义1.任一集合A 到自身的映射都叫做A 的一个变换，如果A 是有限集且变换是一一变换（双射），那么这个变换为A 的一个置换。
有限集合A 的若干个置换若作成群，就叫做置换群。
含有n 个元素的有限群A 的全体置换作成的群，叫做n 次对称群。
通常记为n S .明示：由定义1知道，置换群就是一种特殊的变换群（即有限集合上的变换群）而n 次对称群n S 也就是有限集合A 的完全变换群。
现以{}321 , , a a a A =为例，设π：A →A 是A 的一一变换。
循环群与置换群共26页
综上所述知：( G, ∗) ≅ ( T(G ),◦)
定义7.3.4 设 S为含n个元素的有限集合，σ是 S上 的一个双射，则称 σ是 S上的一个 n元置换。 S上的若干个置换关于运算◦构成的群，称为 n元 置换群；S 上的全体置换构成的群，称为 n次对称 群，记为Sn
• n次对称群的阶是 n! 。
• 同半群时的讨论类似， G ={ gk | k ∈ Z} (其中可能 有相同的元素)
• 循环群是可交换的。
例7.3.1 整数加群(Z, +)是一个循环群，其生成元为 1或-1，即Z =<1>或Z =<-1> 。
例7.3.2 模 n的剩余类加群(Zn, +n)是一个循环群。
[p]n∈Zn是Zn的一个生成元当且仅当 p与 n互素。
② n=∞，在G ={ gk | k ∈ Z }中，假若 gs= gt，则有gs-t=e因 此 G没有相同的元素，故 G的阶 m=∞ 。
• 循环群是交换群。 • 若( G,◦)为循环群， g为G的生成元，则G的结构
在同构的意义下完全由 g的阶所确定：
（1）若 g的阶= n，则 ( G,◦) ≅ (Zn, +n)； （2）若 g的阶=∞，则 ( G,◦) ≅ (Z , + )。
例如： (AF ,∘) ≅ (Z3, +3)
证. （1）注意到，在G ={ gk | k ∈ Z }中,
gs= gt ⇔ s≡t (mod n)。
作映射 f : G → Zn , f ( gk )=[k]n ， 则 f 是双射。 又 f (gs◦gt )= f (gs+t )=[s + t ]n =[s]n +n [t]n
即 f 是同构，故( G,◦) ≅ (Zn, +n) 。
定义7.3.4 设 S为含n个元素的有限集合，σ是 S上 的一个双射，则称 σ是 S上的一个 n元置换。 S上的若干个置换关于运算◦构成的群，称为 n元 置换群；S 上的全体置换构成的群，称为 n次对称 群，记为Sn
• n次对称群的阶是 n! 。
• 同半群时的讨论类似， G ={ gk | k ∈ Z} (其中可能 有相同的元素)
• 循环群是可交换的。
例7.3.1 整数加群(Z, +)是一个循环群，其生成元为 1或-1，即Z =<1>或Z =<-1> 。
例7.3.2 模 n的剩余类加群(Zn, +n)是一个循环群。
[p]n∈Zn是Zn的一个生成元当且仅当 p与 n互素。
② n=∞，在G ={ gk | k ∈ Z }中，假若 gs= gt，则有gs-t=e因 此 G没有相同的元素，故 G的阶 m=∞ 。
• 循环群是交换群。 • 若( G,◦)为循环群， g为G的生成元，则G的结构
在同构的意义下完全由 g的阶所确定：
（1）若 g的阶= n，则 ( G,◦) ≅ (Zn, +n)； （2）若 g的阶=∞，则 ( G,◦) ≅ (Z , + )。
例如： (AF ,∘) ≅ (Z3, +3)
证. （1）注意到，在G ={ gk | k ∈ Z }中,
gs= gt ⇔ s≡t (mod n)。
作映射 f : G → Zn , f ( gk )=[k]n ， 则 f 是双射。 又 f (gs◦gt )= f (gs+t )=[s + t ]n =[s]n +n [t]n
即 f 是同构，故( G,◦) ≅ (Zn, +n) 。
第9讲 第2章第6节 置换群
(1234 (1243 (1324 (1342 (1423 (1432 ), ), ), ), ), )
混合循环
(12)(34), (13)(24), (14)(23)
2 4 6 1 3 5 1 5 2 6 3 4 2 4 6 1 3 5 3 6 4 2 1 5 2 4 6 1 3 5 3 6 5 1 4 2
1 5 3
5 1 4
S3 是有限非交换群.
而且，可以说 S3 是最小的有限非交换群.因为我们 后面会看到，阶数小于6的群都是交换的。
命题1
设 1 j1 2 j1
j1 j1(1)
jk jk
jk jk (1) jk 1 jk 1(2)
2 n k2 kn
1 2 n 2.单位（恒等）置换： 1 2 n
3.置换的逆：
1 p1 2 p2 n p1 1 pn 1
p2 pn 2 n
2 2 1 3 1 3 5 1 3 1 2 1 2 3 2 2 1 3 1 3 1 2 3 1 5 3 1 3 1 2 3 2 1 2 2 2 1 3 1 3 1 2 3 5 1 1 2 3 1 2 3 2 3 1
求（1）循环置换分解，（2）逆元，（3）阶 （4） ,
性质1 两个不相连的循环置换是可以交换的. 性质2 k—循环置换的阶为k.
性质3 不相连的循环置换乘积的阶为各个阶的 最小公倍数.
性质4
i1i2 ik
1
ik ik 1 i1
混合循环
(12)(34), (13)(24), (14)(23)
2 4 6 1 3 5 1 5 2 6 3 4 2 4 6 1 3 5 3 6 4 2 1 5 2 4 6 1 3 5 3 6 5 1 4 2
1 5 3
5 1 4
S3 是有限非交换群.
而且，可以说 S3 是最小的有限非交换群.因为我们 后面会看到，阶数小于6的群都是交换的。
命题1
设 1 j1 2 j1
j1 j1(1)
jk jk
jk jk (1) jk 1 jk 1(2)
2 n k2 kn
1 2 n 2.单位（恒等）置换： 1 2 n
3.置换的逆：
1 p1 2 p2 n p1 1 pn 1
p2 pn 2 n
2 2 1 3 1 3 5 1 3 1 2 1 2 3 2 2 1 3 1 3 1 2 3 1 5 3 1 3 1 2 3 2 1 2 2 2 1 3 1 3 1 2 3 5 1 1 2 3 1 2 3 2 3 1
求（1）循环置换分解，（2）逆元，（3）阶 （4） ,
性质1 两个不相连的循环置换是可以交换的. 性质2 k—循环置换的阶为k.
性质3 不相连的循环置换乘积的阶为各个阶的 最小公倍数.
性质4
i1i2 ik
1
ik ik 1 i1
《循环群与置换群》课件
在实际应用中，同态和同构的概念可 以用于比较不同置换群之间的相似性 和差异性，以及进行置换群的分类和 结构分析。此外，同态和同构也是研 究其他代数结构的重要工具和方法。
06
应用实例
在密码学中的应用
加密算法
置换群和循环群在加密算法中有着广泛的应用，如凯撒密码、栅栏密码等。这些 算法利用置换群中的置换操作对明文进行加密，保护信息的安全。
编码理论
置换群在编码理论中也有着广泛的应用，如线性码和循环码等。这些编码利用置换群的性质，能够设 计出高效可靠的编码方案。
在几何学中的应用
几何变换
置换群在几何变换中有着重要的应用 ，如矩阵表示和仿射变换等。通过利 用置换群的性质，可以研究几何图形 在不同变换下的性质和关系。
分形几何
循环群在分形几何中也有着一定的应 用，如Mandelbrot集和Julia集等。 这些分形结构通过循环群的迭代和递 归生成，展现出复杂而美丽的几何图 案。
《循环群与置换群》PPT课件
目录
• 群的基本概念 • 置换群 • 循环群与置换群的关系 • 循环群的性质 • 置换群的性质 • 应用实例
01
群的基本概念
群的定义
1
群是由一个集合以及定义在这个集合上的二元运 算所组成的一个代数结构。
2
群中的元素称为群元，通常用小写字母表示，如 $a, b, c, ldots$。
子群的构造
通过选择置换群中的若干个置换作为子群的元素，可以构造出置换群的子群。子群可以由单位元和若干个非单位元的 置换构成，其中非单位元的置换可以两两复合得到。
子群在置换群中的作用
子群在置换群的结构和性质研究中具有重要的作用。通过研究子群的性质和分类，可以进一步了解整个 置换群的性质和结构。
置换群2-6
2 1 3 5 3 1 2
2 1 3 4 1 3 2
, 三次对称群为：S3 0 1 , 2 , 3 , 4 , 5
2 3 1 3 2 1 1 3 1 2 2 3 2 1 3 1 3 2 0 1 3 1 2 2 3 2 1 3 1 3 2 2 3 1 3 2 1
定理3 每一个有限群都与一个置换群同构.
S4 {
2013-8-14
17:21
作业：给出下列6元置换： 2 4 6 1 3 5 1 5 2 6 3 4
2 4 6 1 3 5 3 6 4 2 1 5 2 4 6 1 3 5 1 4 2 3 6 5
1 2n 可表示成 : k1 k 2 k n
1 2 n 我们用 k k k 来表示 n 1 2
A 的一个置换,当然也可以用
1 n , k1 kn
17:21
1 k1
2 n 2 , k2 kn k2
求（1）循环置换分解，（2）逆元，（3）阶 （4） ,
2013-8-14 17:21
1
2
3
2013-8-14
17:21
2013-8-14
17:21
1
3
2
2013-8-14
17:21
1
2
3
2013-8-14
17:21
定义4 设 i1 , i2 ,, ik 和 j1 , j2 ,, js 都是循环置换,如果 与 不含相同元素， 则称 与 是不相连的.
2 4 2 4 1 3 5 1 3 5 1 3 5 (135)(24) 2 4 4 2 3 5 1
2 1 3 4 1 3 2
, 三次对称群为：S3 0 1 , 2 , 3 , 4 , 5
2 3 1 3 2 1 1 3 1 2 2 3 2 1 3 1 3 2 0 1 3 1 2 2 3 2 1 3 1 3 2 2 3 1 3 2 1
定理3 每一个有限群都与一个置换群同构.
S4 {
2013-8-14
17:21
作业：给出下列6元置换： 2 4 6 1 3 5 1 5 2 6 3 4
2 4 6 1 3 5 3 6 4 2 1 5 2 4 6 1 3 5 1 4 2 3 6 5
1 2n 可表示成 : k1 k 2 k n
1 2 n 我们用 k k k 来表示 n 1 2
A 的一个置换,当然也可以用
1 n , k1 kn
17:21
1 k1
2 n 2 , k2 kn k2
求（1）循环置换分解，（2）逆元，（3）阶 （4） ,
2013-8-14 17:21
1
2
3
2013-8-14
17:21
2013-8-14
17:21
1
3
2
2013-8-14
17:21
1
2
3
2013-8-14
17:21
定义4 设 i1 , i2 ,, ik 和 j1 , j2 ,, js 都是循环置换,如果 与 不含相同元素， 则称 与 是不相连的.
2 4 2 4 1 3 5 1 3 5 1 3 5 (135)(24) 2 4 4 2 3 5 1
第6节置换群
定义
, ik 和 j1 , j2 , , js 都是循环置换,如果 与 不含相同元素，
设 i1 , i2 ,
则称 与 定理3
ik
是不相连（交）的.
每个置换都可表成不相连循环置换之积.
j1 j2 js a js a i1 j1 j2 b b
（i1 i2 i3 ik )，（i2 i3 ik i1 )， ，或（ik i1 i2 ik 1 )
注：循环置换的表示一般也不是唯一的。 习惯上，称2-轮换为对换；单位置换常记为
(1) (2) (3)
( n)
S3 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 例 三次对称群为：
, 2 , 3 ,求A的全体置换. 例1 设 A 1
2 3 1 0 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2
2 3 1 1 3 2 1 2 3 1 3 3 1 2
1 p1 2 p2 n p1 1 pn 1
p2 2 pn n
注意：置换乘法没有交换律。如
2 3 2 3 1 1 5 1 3 2 1 1 3 2 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 5 3 2 3 2 1 3 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 5 1 3 2 1 1 3 2 2 3 1
二、置换的矩阵表示
考虑任意有限集合，不妨设 A 置换
1, 2,
n pn
, n
: 1 p1 , 2 p2 ,
, n pn
可表示为
置换群全同粒子系统的对称群
置换群全同粒子系统的对称群
目 录
• 置换群基础概念 • 全同粒子系统基础概念 • 对称群基础概念 • 置换群全同粒子系统的对称群 • 对称群在置换群全同粒子系统中的应用
01 置换群基础概念
置换群定义
置换群定义
置换群是集合元素之间的置换所构成的群。具 体来说，设 $G$ 是集合 $S$ 的一个子集，如 果对于任意元素 $a in G$，都存在一个元素 $b in G$，使得 $a$ 和 $b$ 交换后仍属于 $G$，则称 $G$ 为一个置换群。
置换群的表示
置换群可以用矩阵或置换图来表示， 其中矩阵表示法更为常用。
置换群的性质
封闭性
置换群中的元素之间经过置换后仍属于该集 合。
结合性
置换群中的元素之间经过多次置换后仍属于 该集合。
单位元存在性
置换群中存在一个单位元，即不进行任何置 换的元素。
逆元存在性
对于任意元素 $a in G$，存在一个逆元 $b in G$，使得 $a$ 和 $b$ 交换后仍属于 $G$。
对称群在科学技术进步中发挥了重要作用，通过对称群的研究，可以推 动新材料、新能源等领域的发展，为科学技术进步做出贡献。
对称群在置换群全同粒子系统中的未来发展
深入研究新型态物质的对称性
随着科学技术的不断发展，将会有更多新型态的物质被发现，深入研究这些新型态物质的对称性，将有助于揭示物质 的基本性质和推动物理学的发展。
全同粒子系统的基本特征是粒子的不 可分辨性，即无法区分系统中的任何 一个粒子与其他粒子。
全同粒子系统的性质
全同粒子系统具有平移对称性， 即在空间中移动整个系统不会改
变系统的性质。
全同粒子系统还具有旋转对称性， 即旋转整个系统也不会改变系统
目 录
• 置换群基础概念 • 全同粒子系统基础概念 • 对称群基础概念 • 置换群全同粒子系统的对称群 • 对称群在置换群全同粒子系统中的应用
01 置换群基础概念
置换群定义
置换群定义
置换群是集合元素之间的置换所构成的群。具 体来说，设 $G$ 是集合 $S$ 的一个子集，如 果对于任意元素 $a in G$，都存在一个元素 $b in G$，使得 $a$ 和 $b$ 交换后仍属于 $G$，则称 $G$ 为一个置换群。
置换群的表示
置换群可以用矩阵或置换图来表示， 其中矩阵表示法更为常用。
置换群的性质
封闭性
置换群中的元素之间经过置换后仍属于该集 合。
结合性
置换群中的元素之间经过多次置换后仍属于 该集合。
单位元存在性
置换群中存在一个单位元，即不进行任何置 换的元素。
逆元存在性
对于任意元素 $a in G$，存在一个逆元 $b in G$，使得 $a$ 和 $b$ 交换后仍属于 $G$。
对称群在科学技术进步中发挥了重要作用，通过对称群的研究，可以推 动新材料、新能源等领域的发展，为科学技术进步做出贡献。
对称群在置换群全同粒子系统中的未来发展
深入研究新型态物质的对称性
随着科学技术的不断发展，将会有更多新型态的物质被发现，深入研究这些新型态物质的对称性，将有助于揭示物质 的基本性质和推动物理学的发展。
全同粒子系统的基本特征是粒子的不 可分辨性，即无法区分系统中的任何 一个粒子与其他粒子。
全同粒子系统的性质
全同粒子系统具有平移对称性， 即在空间中移动整个系统不会改
变系统的性质。
全同粒子系统还具有旋转对称性， 即旋转整个系统也不会改变系统
置换群的表示方法及循环
§6.置换群
• 6.1 置换群 • 6.2 置换的表示方法:2-行法 • 6.3 循环 • 6.4 补充结论
变换群的一种特例,叫做置换群,在代数 里占一个很重要的地位.比方说,在解决方程 能不能用根号解这个问题时就要用到这种 群．这种群还有一个特点，就是它们的元 可以用一种很具体的符号来表示，使得这 种群里的计算比较简单．现在我们把这种 群讨论一下．
表示置换的第一个方法就是把以上这个置换写成
1
k1
2 k2
L L
n
kn
形式不唯一.在这种表示方法里，第一行的 n
个数字的次序显然没有什么关系，比方说以上的
我们也可用
213L n
k2
k1
L
kn
例１ n 3．假如
: a1 a2 , a2 a3, a3 a1
那么
123
231
132
1
我们再用归纳法．
I.当 不使任何元变动的时候，就是当 是
恒等置换的时候，定理是对的．
II. 假定对于最多变动 r 1(r n) 个元的 定理是对的．现
在我们看一个变动 r 个元的 ．我们任意取一个被 变动
的元 ai1 ，从 ai1 出发我们找 ai1 的象 ai2，ai2 的象 ai3 ，这样找
们用符号
(i1i2 L ik ) ，(i2i3 L iki1) ，…或 (iki1 L ik1) 来表示．2-循环称为对换.
例３ 我们看 S5 ，这里
12345
23145
123
231
312
12345
23451
12345
23451
L
51234
12345 12345
1
• 6.1 置换群 • 6.2 置换的表示方法:2-行法 • 6.3 循环 • 6.4 补充结论
变换群的一种特例,叫做置换群,在代数 里占一个很重要的地位.比方说,在解决方程 能不能用根号解这个问题时就要用到这种 群．这种群还有一个特点，就是它们的元 可以用一种很具体的符号来表示，使得这 种群里的计算比较简单．现在我们把这种 群讨论一下．
表示置换的第一个方法就是把以上这个置换写成
1
k1
2 k2
L L
n
kn
形式不唯一.在这种表示方法里，第一行的 n
个数字的次序显然没有什么关系，比方说以上的
我们也可用
213L n
k2
k1
L
kn
例１ n 3．假如
: a1 a2 , a2 a3, a3 a1
那么
123
231
132
1
我们再用归纳法．
I.当 不使任何元变动的时候，就是当 是
恒等置换的时候，定理是对的．
II. 假定对于最多变动 r 1(r n) 个元的 定理是对的．现
在我们看一个变动 r 个元的 ．我们任意取一个被 变动
的元 ai1 ，从 ai1 出发我们找 ai1 的象 ai2，ai2 的象 ai3 ，这样找
们用符号
(i1i2 L ik ) ，(i2i3 L iki1) ，…或 (iki1 L ik1) 来表示．2-循环称为对换.
例３ 我们看 S5 ，这里
12345
23145
123
231
312
12345
23451
12345
23451
L
51234
12345 12345
1
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3
1 2 3
2 3 1
4
1 2 3
3 1 2
5
1 2 3
3 2 1
三次对称群中所有置换都是循环置换
S3 {(1), (12), (13), (23), (123), (132)}
第11页/共16页
1 2 3 4 5
3 4 5 2 1
第5页/共16页
完全类似地可有：
S1
1
1
;
1 2 1 2
S2
1
2
,
2
1
S5 , S6, L L
第6页/共16页
关于置换的运算
1.置换的乘积：
1
p1
2L p2 L
n pn
,
p1 k1
p2 k2
L L
pn
kn
1
k1
2L k2 L
n
kn
2.单位（恒等）置换：
1
1
2 2
不是循环置换，但
1 2 3 4 5 3 4 5 2 1
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 3 2 5 4 1 1 4 3 2 5
(135)(24)
第12页/共16页
定义 设 i1, i2,L , ik 和 j1, j2,L , js
n
an
第9页/共16页
三、循环置换及置换的循环置换分解表示
定义 Sn中的一个将 i1 变到 i2 ，i2 变到 i3 , , ik
变回到 i1 ，而其余元素（如果还有其他元素）不发生
变化的置换，叫做 k—循环(置换)或轮换，记为
（i1 i2 i3 L ik )，（i2 i3 L iki1 )，L ，或（iki1 i2 L ik1 )
4-循环 (1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432)
混合循环 (12)(34),(13)(24),(14)(23)
第14页/共16页
1 2 3 4 5 6 6 1 3 5 4 2
1 2 3 4 5 6
2 3 1 6 5 4
第6节 置换群
第1页/共16页
一、置换和置换群
定义1：一个有限集合的一个一一变换叫做一 个置换。 定义2： 一个有限集合的若干个置换构成的群 称为一个置换群。 定义3：一个含有n个元素的有限集合的所有 置换构成一个群，称为n次对称群。记作Sn
第2页/共16页
定理1：n次对称群Sn的阶是n！。 注：置换群是有限群。 定理2 任何有限群都同一个置换群同构。
jk 1 L
jn
jn
2
j1 j1
L L
jk
jk 1 L
jk
j (2ห้องสมุดไป่ตู้ k 1
L
jn
j (2) n
则
1 2
j1 j (1)
1
L L
jk
jk1 L
j (1)
k
j (2)
k 1
L
jn
j (2)
n
命题2
设 , 是两个置换，其中
1 a1
2 a2
n an
则
1
1
a1
2 L a2 L
L L
n n
3.置换的逆：
1 2 L
p1
p2 L
n pn
1
p1 1
p2 L 2L
pn
n
第7页/共16页
1
1 2 3 1 3 2
5
1 2 3
3 2 1
1 5
1 2 3
1 3 2
1 2 3
3 2 1
1 3
2 1
3 2
1 5 3
注：循环置换的表示一般也不是唯一的。 习惯上，称2-轮换为对换；单位置换常记为 (1) (2) (3) L (n)
第10页/共16页
例 三次对称群为：S3 0 ,1,2,3,4,5
0
1 2 3
1 2 3
2
1 2 3
2 1 3
1
1 2 3
1 3 2
1 2 3 4 5 6
3 1 6 4 5 2
求（1）循环置换分解，（2）逆元，（3）阶
（4） ,
第15页/共16页
性质1 两个不相连的循环置换是可以交换的. 性质2 k—循环置换的阶为k.
性质3 不相连的循环置换乘积的阶为各个阶的 最小公倍数.
性质4
i1i2 L ik 1 ikik1 L i1
51
1 2 3 1 2 3
3 2 1 1 3 2
1 2
2 3
3
1
51 4
S3 是有限非交换群.
而且，可以说 S3 是最小的有限非交换群.因为我们
后面会看到，阶数小于6的群都是交换的。
第8页/共16页
命题1
设1
j1 j (1)
1
L L
jk jk 1 L
j (1) k
第16页/共16页
对其变动 的数字个 数作归纳
第13页/共16页
例：将S4中的置换写成循环置换乘积的形式。 1-循环 (1) 2-循环 (12),(13),(14),(23),(24),(34) 3-循环 (123), (124 ), (132 ), (134 ), (142 ), (143)
(234 ), (243)
第4页/共16页
设 A 1 , 2 , 3 ,求A的全体置换.
0
1 2 3
1 2 3
2
1 2 3
2 1 3
4
1 2 3
3 1 2
1
1 2 3
1 3 2
3
1 2 3
2 3 1
5
1 2 3
3 2 1
三次对称群为： S3 0 ,1,2,3,4,5
都是循环置换,如果 与 不含相同元素，
则称 与 是不相连（交）的.
每个置换都可表成不相连循环置换之积.
证：
i1 i2
i2 L i3 L
ik i1
j1 j2 L js a L b j1 j2 L js a L b
i1, i2,L , ik
注：将置换写成不相连的循环置换之积是
表示置换的第二种方法.
第3页/共16页
考虑任意有限集合，不妨设A 1, 2,L , n
置换 : 1 p1, 2 p2,L , n pn
可表示为
1
p1
其中 p1, p2 ,L , pn
2 L n
p2 L
pn
是 1, 2,L , n 的全排列.
称作一个n阶置换或n次置换。
注：一个n阶置换可以有n!种不同的表示形式。