第1章-波函数和schrodinger方程
动量空间表象的波函数(PPT课件)
描述同一状态
这与经典波不同。经典波波幅增大一倍（原来的 2 倍），则相应的波动 能量将为原来的 4 倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波无归一化 问题。
归一化常数
若 Ψ (r , t )
没有归一化，
∫∞ |Ψ (r , t )|2 dτ= A （A 是大于零的常数），则有
∫∞ |(A)-1/2Ψ (r , t )|2 dτ= 1
积分变换：把函数类A中的函数f(x), 经过某种可逆的积分手续
F ( p ) k ( x, p) f ( x)dx
变成另一类函数B中的函数F(p), F(p)称为f(x)的象， f(x)称为f(p)的原象
F ( )
1 f ( x) 2
f ( x)eix dx F ( )为f ( x)的付里叶变换
p
*
i [ E E ]t * ( r ) ( r )d ( r , t ) p ( r , t )d e p p
1 A A1 A2 A3 [2]3 / 2
e
i [ E E ]t
( p p) ( p p)
这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射实验。 电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增加呈 现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在 一起时才有的现象，单个电子就具有波动性。 事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子（只 含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量 子现象。 波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀了 粒子的波动性的一面，具有片面性。
波函数PPT课件
作代换：px x，px x0，则
(
px
px )
1
2
e dx i (
p
x
px
)
x
13
（4）平面波归一化 I Dirac —函数
定义：
0 ( x x0 )
x x0 x x0
x0 x0
(x
x0 )dx
( x x0 )dx 1
( 0)
或等价的表示为：对在x=x0 邻域 连续的任何函数 f（x）有：
—函数 亦可写成 Fourier 积分形式： 令 k=px/ , dk= dpx/ , 则 性质： ( x) ( x)
0
x0
x
(x
x0 )
1
2
dk
e ik ( x x0 )
(x
x0 )
1
2
e dp i
p
x
(
x
x0
)
x
(ax) 1 ( x)
|a|
f ( x) ( x x0 ) f ( x0 ) ( x x0 ) .
p(r )
i [ p•r]
Ae
px ( x) py ( y) pz (z)
A e A e A e i [
p
x
x
]
i[
p
y
y
]
i[
pz
z
]
1
2
3
考虑一维积分
px * ( x, t )px ( x, t )dx
ei[
E
x
E
x
]t
px * ( x) px ( x)dx
(
px
2
2
C(r1 , t ) (r1 , t )
19-(3)波函数 薛定谔方程
1
一 波函数
波函数：描述具有波粒二象性粒子的运动函数。 设一自由粒子，不受外力作用，则粒子作匀速直线运动（设 沿X轴），其动量、能量保持恒定。 X
E const
P const
E h
h p
恒定！ 恒定！
从波动观点看来：这种波只能是单色平面波。
2
自由粒子的波函数 X
波函数：描述具有波粒二象性粒子的运动函数。 注意：波函数一般要用复数表示!
5
二 波函数的统计解释（波恩Born）
代表什么？
粒子的观点 极大值 极小值 中间值 较多电子到达 较少电子到达 介于二者之间 波动的观点 波强度大 波强度小 介于二者之间
b
x
p h
大量粒子的一次性行为和一个粒子多 次性重复性行为是等价的。 统一地看：粒子出现的几率正比
E Ek
Px
2m
i
t
2
2 2
2m x
( 6)
15
2 势场中的薛定谔方程
若粒子处在势场中，势能为U（x、t），总能量：
E Px
2
U ( x , t )(7)
Px
2
2m
E U ( x , t ) ( 8)
2m
将（5）式看成一般情况下的特例：
2
( x , y , z ) U ( x , y , z ) E ( x , y , z )(18)
2
2m
定态薛定谔方程： 2
2m
2
( E U ) 0(19)
19
2
波函数与Schrodinger方程
第1章波函数与Schrodinger方程1.1 波函数的统计诠释1.2 Schrodinger方程1.3 量子态叠加原理第2章一维势场中的粒子2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质2.2 方势2.3 δ势2.4 一维谐振子第3章力学量用算符表达3.1 算符的运算规则3.2 厄米算符的本征值与本征函数3.3 共同本征函数3.4 连续谱本征函数的“归一化”第4章力学量随时间的演化与对称性4.1 力学量随时间的演化*4.2 波包的运动，Ehrenfest定理4.3 Schrodinger图像与Heisenberg图像4.4 守恒量与对称性的关系4.5 全同粒子体系与波函数的交换对称性第5章中心力场5.1 中心力场中粒子运动的一般性质*5.2 无限深球方势阱5.3 三维各向同性谐振子5.4 氢原子第6章电磁场中粒子的运动6.1 电磁场中荷电粒子的运动，两类动量6.2 正常Zeeman效应6.3 Landau能级第7章量子力学的矩阵形式与表象变换7.1 量子态的不同表象，幺正变换7.2 力学量(算符)的矩阵表示7.3 量子力学的矩阵形式7.4 Dirac符号第8章自旋8.1 电子自旋态与自旋算符8.2 总角动量的本征态8.3 碱金属原子光谱的双线结构与反常Zeeman效应8.4 自旋单态与三重态，*自旋纠缠态第9章力学量本征值问题的代数解法9.1 谐振子的Schrodinger因式分解法9.2 角动量的本征值与本征态*9.3 两个角动量的耦合，Clebsch-Gordan系数第10章微扰论10.1 束缚态微扰论*10.2 散射态微扰论第11章量子跃迁11.1 量子态随时间的演化*11.2 突发微扰与绝热微扰11.3 周期微扰，有限时间内的常微扰*11.4 能量-时间不确定度关系*11.5 光的吸收与辐射的半经典理论第12章其他近似方法*12.1 Fermi气体模型12.2 变分法*12.3 分子结构注：加星号的部分只做概念上的要求。
量子力学基本原理与基本概念小结-第16讲
薛定谔方程的评论
2、薛定谔方程是时间一次、坐标二次偏微分方程， 不具有相对论协变性（时空对称性），因而不是 微观粒子的相对论性量子力学运动方程。薛定谔 方程是建立在非相对论时空和非相对论运动学基 础之上的非相对论量子力学。
3、非相对论性量子多体理论，虽然引进了粒子产生、 消灭算符和二次量子化表象，但它们描述的是粒子 从一个量子态向另一个量子态的跃迁与转变，并没 有真正涉及粒子的产生和消灭。
薛定谔方程中的波函数的物理本质是什么呢？
波恩的观点：
薛定谔方程中的波函数代表的是一种概率，而 绝对不是薛定谔本人所理解的是电荷（电子） 在空间中的实际分布。波函数，准确地说 r 2 代表了电子在某个地点出现的概率，电子本身 不会像波那样扩展开去，但它的出现概率则像 一个波。
“微观粒子的运动状态用波函数描述，描写粒 子的波是概率波”，这是量子力学的一个基本 假设（基本原理）
WII
WII
N
III
(c e c e ) III iknIII ( xb) n
III iknIII ( xb) n
n1
2 ny
sin( ).
WIII
WIII
超晶格结构中电子的薛定谔方程与波函数如何写？
理想超晶格
d
含缺陷结构超晶格
复杂体系中电子运动
多粒子系统的Schrődinger方程
原则上只要对上式进行求解即可得出所有物理性质，然而由于电子之间的相互作用的复杂性， 要严格求出多电子体系的Schrődinger方程解是不可能的，必须在物理模型上进一步作一系列 的近似。
（一）薛定谔方程
Schrodinger 的方程一般表达式
i
(r,t)
Hˆ (r, t )
量子力学专题二(波函数和薛定谔方程)
量子力学专题二：波函数和薛定谔方程一、波粒二象性假设的物理意义及其主要实验事实（了解）1、波动性：物质波（matter wave ）——de Broglie （1923年）p h =λ实验：黑体辐射2、粒子性：光量子（light quantum ）——Einstein （1905年）hE =ν 实验：光电效应二、波函数的标准化条件（熟练掌握）1、有限性：A 、在有限空间中，找到粒子的概率是有限值，即有=⎰ψψτ*d 有限值有限空间 B 、在全空间中，找到粒子的概率是有限值，即有=⎰ψψτ*d 有限值 全空间 2、连续性：波函数ψ及其各阶微商连续；3、单值性：2ψ是单值函数（注意：不是说ψ是单值！）三、波函数的统计诠释（深入理解） 1、∝dV 2ψ在dV 中找到粒子的概率；2、ψ和ψC 表示的是同一个波函数（注意：我们关心的只是相对概率）；四、态叠加原理以及任何波函数按不同动量的平面波展开的方法及其物理意义（理解）1、态叠加原理：设1ψ，2ψ是描述体系的态，则2211ψψψC C +=也是体系的一个态。
其中，1C 、2C 是任意复常数。
2、两种表象下的平面波的形式：A 、坐标表象中r d e p r r p i 3/2/3)()2(1)( •⎰=ϕπψ B 、动量表象中p d e r p r p i 3/2/3)()2(1)( •-⎰=ψπϕ 注意：2/3)2( π是热力学中，Maxwell速率分布的一个常数，也可以使原子物理中，一个相空间的大小！五、Schrodinger Equation （1926年）1、Schrodinger Equation 的建立过程（熟练掌握）ψψH ti ˆ=∂∂ 其中，V T H ˆˆˆ+=。
2、定态薛定谔方程，定态与非定态波函数的意义及相关联系（深入了解）A 、定态：若某一初始时刻（0=t ）体系处于某一能量本征态)()0,(r r E ψψ=，则/)(),(iEt E e r t r -=ψψ说描述的态，叫做定态（stationary state ）；B 、非定态：由不同能量能量本征态线性叠加而形成的态，叫做非定态（nonstationary state ）。
15-7波函数 玻恩统计解释
为了区别于经典波动，将上式写成：
( x, t ) 0e
i 2 (t x )
i (Et px)
0e
ψ0 e
第十五章
量子物理
1
物理学
第五版
15-7波函数 波函数物理意义
பைடு நூலகம்
玻恩统计解释
物质波与光波的对比
（波动观点） （微粒观点）
光波振幅平方大 光强大 光子在该处出现 的概率大
物理学
第五版
15-7波函数
玻恩统计解释
一、波函数（描写物质波的函数） 自由粒子的波函数 由波动理论，沿x轴传播的平面波波动方程：
y( x, t ) A cos 2 (t x )
y( x , t ) Ae
i 2 (t x )
只取实部
i 2 ( Et px ) h
2 2 势场中的一维运动粒子 E p i 2 2m x t
第十五章 量子物理
6
粒子在该处出现的 （微粒观点） 概率大 在空间某点波函数的平方和粒子在该点出现的 概率成正比. —玻恩统计解释.
第十五章 量子物理
2
物质波的 强度大
波函数振幅的平方大 （波动观点） | |2= *
物理学
第五版
15-7波函数
玻恩统计解释
物质波与经典波的本质区别
物质波是复函数，本身无具体的物理意义，
玻恩统计解释
一维自由粒子薛定谔方程 自由粒子波函数:
( x , t ) 0e
i ( Et px )
2 p2 2 2 x
非相对论粒子:
i E t
p2 E 2m
波函数及薛定谔方程详解课件
03ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
CATALOGUE
薛定谔方程在量子力学中的应用
无限深势阱
无限深势阱模型描述粒子被限 制在一定空间范围内运动的情 形，通常用于描述微观粒子在
势能无限高区域的行为。
在无限深势阱中，波函数具有 特定的边界条件，即在势阱边
界处波函数为零。
薛定谔方程在无限深势阱中的 解为分段函数，表示粒子在不 同势阱内的能量状态。
波函数及薛定 谔 方程详解课件
contents
目录
• 波函数简介 • 薛定谔方程概述 • 薛定谔方程在量子力学中的应用 • 波函数与薛定谔方程的关系 • 实验验证与实例分析 • 总结与展望
01
CATALOGUE
波函数简介
波函数的定 义
波函数是一种描述微观粒子状 态的函数，它包含了粒子在空 间中的位置和动量的信息。
06
CATALOGUE
总结与展望
波函数与薛定谔方程的意义
波函数
波函数是描述微观粒子状态的函数， 它包含了粒子在空间中的位置、动量 和自旋等所有信息。通过波函数，我 们可以计算出粒子在给定条件下的行 为和性质。
薛定谔方程
薛定谔方程是描述波函数随时间变化 的偏微分方程，它反映了微观粒子在 运动过程中所遵循的规律。通过求解 薛定谔方程，我们可以预测粒子在不 同条件下的行为和性质。
时间相关形式
在有限域中，薛定谔方程的形式为 ifrac{dpsi}{dt}=Hpsi，其中H为哈密 顿算子。
薛定谔方程的解
分离变量法
对于具有周期性势能的情况，可以将波函数分离为几个独立的函数，分别求解 后再组合得到原方程的解。
微扰法
对于势能存在微小扰动的情况，可以通过微扰法求解薛定谔方程，得到近似解。
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例1.2 初速为零的电子，被电压为V的电场 加速，求其de Broglie波长。
解：若V不大时为非相对论情形，
由
eV
Ek
Ek 0
1 2
， m0v2
有
从而由（1.2）可求得
v 2eV m0
h h h 1 1.23 nm
h p h / k
2.微粒的波粒二象性
Bohr理论所遇到的困难说明探索微观 粒子运动规律的迫切性。
1924年de Broglie 在光有波粒二象性 的启示下，提出微观粒子也具有波动性的 假说：粒子的能量ε和动量p与波的频率ν 和波长λ之间的关系，正像光子和光波的 关系一样，为：
h p h / k
第1章 波函数和Schrödinger方程
内容：
§1.1光及微粒的波粒二象性 §1.2波函数的统计解释
—波粒二象性的物理图像 §1.3态叠加原理 §1.4 Schrödinger方程 §1.5粒子流密度和粒子数守恒定律 §1.6波函数的标准条件 §1.7定态Schrödinger方程
§1.1光及微粒的波粒二象性
在经典物理中，声波和光波都遵从
叠加原理：两个可能的波动过程1 和 2
的线性叠加a1
b
也是一个可能的波动
2
过程。
在量子力学中，概率波亦有如下的态
叠加原理：
如果1, 2 所描写的都是体系可能
实现的状态,那么它们的线性叠加 c11 c22
所描写的也是体系的一个可能实现的状态。
在电子在晶体表面衍射的实验中，粒子在
|2
d
3r
发散，故不能按上述方法归一化，其归一化
方法见下一章。
习题1.2 设
( x, t )
Ae
1 2
2
x
2
it
(为常数
)
，求归一化常数A = ？。
习题1.3 自由粒子波函数
(r , t)
Ae i(k r t )
Ae i
(
pr
Et
)
粒子的位置概率分布如何？这个波函数能 否归一化？
§1.3态叠加原理
d sin n,
取n=1,有：＝dsin 0.215sin500 0.165nm
而由de Broglie公式，有： 1.23 0.167nm
54
两结果吻合较好。
§1.2波函数的统计解释 —波粒二象性的物理图像
如何理解场和微粒具有波粒二象性？
Born给出解释：波函数在空间某点的强度
|
(r ,
hc
Ek
1.24 Ek (eV )
nm, 光子p
Ek
/
c
h p
h ,非相对论粒子p 2m0 Ek
2m0Ek , 电＝
1.226 nm Ek (eV )
hc
,相对论粒子p 1
EK (Ek 2m0c2 )
c
Ek (Ek 2m0c2 )
习题1.1氦原子的动能为 E 3 kT，求 T 1K 2 时氦原子的de Broglie波长。
1.光的波粒二象性
光的波动性早在十七世纪就已发现， 光的干涉、衍射和偏振现象及其电磁理论 解释从实验和理论两方面充分肯定了光的 波动性。
Einstein 的光量子假设及其对光电效应和 Compton散射的解释又肯定了光的量子性。
这样，光就具有微粒和波动的双重性 质，称之为波粒二象性。描述光的粒子性 的物理量（能量ε和动量p)和描述光的波动 性的物理量（频率ν和波长λ）之间由 Planck常数相联系：
m02c 2
所以
h
2em0V
(1
eV 2m0c2
)
2em0V (1
eV 2m0c 2
)
将 e 1.6 1019 C ，m0 9.110 31 kg ， c 3108 m / s
代入可求得
1.228 nm
(1 9.77 107V )V
不同情况下，de Broglie波长的计算公式
晶p体 运表动面，上以反确射定后的，动可量能p以运各动种的不状同态的用动波量
函数
p
(r,
t)
Ae
|
(r ,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
t
)
|2
③在时刻t，全空间中找到粒子的概率是
|
(r ,
t)
|
2
d 3r
1
（1.4）
满足上式的波函数为归一化波函数。
波函数在归一化后仍有一个常数因子 ei (为实常数）的不确定性，因为｜ei｜ 2＝1，因子
ei 不影响概率分布和归一化条件。通常
可取δ＝0。
对于自由粒子的波函数
，因为
|
(r , t)
t
)
|2
和在该点找到粒子的概率成正比。
描写粒子的波是概率波。
①在时空点
(r ,
t
)，波的强度是|
(r ,
t)
|
2
*
在时空点 的概率是
(dr, t()r处, t )体| 元(dr,
t)
d3r 内找到粒子
|2 d
②在时空点(r,t) 处单位体积内找到粒子的
概率（概率密度）是
(r, t )
d(r,t) / d
( h )
2
例1.1 计算质量为m＝0.05kg,以速率300m/s 运动的子弹（非相对论粒子）的de Broglie 波长。
解：因为 v c ，故有 p m0v / 1 v2 / c2 m0v
从而由（1.2）可求得
h h 6.6261034 4.41026 nm
p m0v 0.05 300
m0v 2eVm0 2em0 V V
当V＝100伏时， 0.123nm ,比电子大小
de 10 5 nm
大很多，但与一般晶格常数同量级。
若要考虑相对论情形，电场对电子做功使
其能量增加，有
eV
Ek
mc2
m0c2
m
(m0
eV c2
)
由 p 2c 2 m 2c 4 m02c 4
有
p
(m0
eV )2 c 2 c2
3.自由粒子的波函数：
自由粒子的能量和动量都是常数，所以
由de Broglie关系可知，与自由粒子联系的
波，它的频率和波长都不变，为一平面波
（称之为de
(r,t)
BAcroosg(klier波 ）t)， A可co表s[2示 (为r n
t)]
写成复数形式为：
(r , t)
Ae i(k r t )
Ae i
(
pr
Et)
称
(r ,
t)
为波函数。
4.de Broglie波的验证 ――电子衍射实验和杨氏双缝实验
1927年Davisson和Germer用晶体对电子 的衍射实验验证了de Broglie波假说的正确 性。
实验装置：
d
实验曲线：
I
实验数据：
7.35
V
晶格常数 d＝0.215nm，当 50 0 ,V 54(V（) 54＝7.35)时，电流I出现峰值 理论解释：由衍射的相长干涉公式