第1章-波函数和schrodinger方程

hc
Ek
1.24 Ek (eV )
nm, 光子p
Ek
/
c
h p
h ,非相对论粒子p 2m0 Ek
2m0Ek , 电＝
1.226 nm Ek (eV )
hc
,相对论粒子p 1
EK (Ek 2m0c2 )
c
Ek (Ek 2m0c2 )
习题1.1氦原子的动能为 E 3 kT，求 T 1K 2 时氦原子的de Broglie波长。
h p h / k
2.微粒的波粒二象性
Bohr理论所遇到的困难说明探索微观 粒子运动规律的迫切性。
1924年de Broglie 在光有波粒二象性 的启示下，提出微观粒子也具有波动性的 假说：粒子的能量ε和动量p与波的频率ν 和波长λ之间的关系，正像光子和光波的 关系一样，为：
h p h / k
m0v 2eVm0 2em0 V V
当V＝100伏时， 0.123nm ,比电子大小
de 10 5 nm
大很多，但与一般晶格常数同量级。
若要考虑相对论情形，电场对电子做功使
其能量增加，有
eV
Ek
mc2
m0c2
m
(m0
eV c2
)
由 p 2c 2 m 2c 4 m02c 4
有
p
(m0
eV )2 c 2 c2
d sin n,
取n=1,有：＝dsin 0.215sin500 0.165nm
而由de Broglie公式，有： 1.23 0.167nm
54
两结果吻合较好。
§1.2波函数的统计解释 —波粒二象性的物理图像
如何理解场和微粒具有波粒二象性？
Born给出解释：波函数在空间某点的强度
|
(r ,
( h )
2
例1.1 计算质量为m＝0.05kg,以速率300m/s 运动的子弹（非相对论粒子）的de Broglie 波长。
解：因为 v c ，故有 p m0v / 1 v2 / c2 m0v
从而由（1.2）可求得
h h 6.6261034 4.41026 nm
p m0v 0.05 300
t
)
|2
和在该点找到粒子的概率成正比。
描写粒子的波是概率波。
①在时空点
(r ,
t
)，波的强度是|
(r ,
t)
|
2
*
在时空点 的概率是
(dr, t()r处, t )体| 元(dr,
t)
d3r 内找到粒子
|2 d
②在时空点(r,t) 处单位体积内找到粒子的
概率（概率密度）是
(r, t )
d(r,t) / d
可见，子弹的de Broglie波长与子弹的尺寸 相比太小，所以无需考虑子弹的波动性。
例1.2 初速为零的电子，被电压为V的电场 加速，求其de Broglie波长。
解：若V不大时为非相对论情形，
由
eV
Ek
Ek 0
1 2
， m0v2
有
从而由（1.2）可求得
v 2eV m0
h h h 1 1.23 nm
|
(r ,
t
)
|2
③在时刻t，全空间中找到粒子的概率是
|
(r ,
t)
|
2
d 3r
1
（1.4）
满足上式的波函数为归一化波函数。
波函数在归一化后仍有一个常数因子 ei (为实常数）的不确定性，因为｜ei｜ 2＝1，因子
ei 不影响概率分布和归一化条件。通常
可取δ＝0。
对于自由粒子的波函数
，因为
|
(r , t)
3.自由粒子的波函数：
自由粒子的能量和动量都是常数，所以
由de Broglie关系可知，与自由粒子联系的
波，它的频率和波长都不变，为一平面波
（称之为de
(r,t)
BAcroosg(klier波 ）t)， A可co表s[2示 (为r n
t)]
写成复数形式为：
(r , t)
Ae i(k r t )
晶p体 运表动面，上以反确射定后的，动可量能p以运各动种的不状同态的用动波量
函数
p
(r,
t)
Ae
|2
d
3r
发散，故不能按上述方法归一化，其归一化
方法见下一章。
习题1.2 设
( x, t )
Ae
1 2
2
x
2
it
(为常数
)
，求归一化常数A = ？。
习题1.3 自由粒子波函数
(r , t)
Ae i(k r t )
Ae i
(
pr
Et
)
粒子的位置概率分布如何？这个波函数能 否归一化？
§1.3态叠加原理
1.光的波粒二象性
光的波动性早在十七世纪就已发现， 光的干涉、衍射和偏振现象及其电磁理论 解释从实验和理论两方面充分肯定了光的 波动性。
Einstein 的光量子假设及其对光电效应和 Compton散射的解释又肯定了光的量子性。
这样，光就具有微粒和波动的双重性 质，称之为波粒二象性。描述光的粒子性 的物理量（能量ε和动量p)和描述光的波动 性的物理量（频率ν和波长λ）之间由 Planck常数相联系：
m02c 2
所以
h
2em0V
(1
eV 2m0c2
)
2em0V (1
eV 2m0c 2
)
将 e 1.6 1019 C ，m0 9.110 31 kg ， c 3108 m / s
代入可求得
1.228 nm
(1 9.77 107V )V
不同情况下，de Broglie波长的计算公式
Ae i
(
pr
Et)
称
(r ,
t)
为波函数。
4.de Broglie波的验证 ――电子衍射实验和杨氏双缝实验
1927年Davisson和Germer用晶体对电子 的衍射实验验证了de Broglie波假说的正确 性。
实验装置：
d
实验曲线：
I
实验数据：
7.35
V
晶格常数 d＝0.215nm，当 50 0 ,V 54(V（) 54＝7.35)时，电流I出现峰值 百度文库论解释：由衍射的相长干涉公式
第1章 波函数和Schrödinger方程
内容：
§1.1光及微粒的波粒二象性 §1.2波函数的统计解释
—波粒二象性的物理图像 §1.3态叠加原理 §1.4 Schrödinger方程 §1.5粒子流密度和粒子数守恒定律 §1.6波函数的标准条件 §1.7定态Schrödinger方程
§1.1光及微粒的波粒二象性
在经典物理中，声波和光波都遵从
叠加原理：两个可能的波动过程1 和 2
的线性叠加a1
b
也是一个可能的波动
2
过程。
在量子力学中，概率波亦有如下的态
叠加原理：
如果1, 2 所描写的都是体系可能
实现的状态,那么它们的线性叠加 c11 c22
所描写的也是体系的一个可能实现的状态。
在电子在晶体表面衍射的实验中，粒子在